Multiscale modelling of complex fluids: A ...

!#"%$& (' ) * ,+-. (/ 0 1 (203 465879;:=A@BDC5879FEA>HGJIK ü}!5ÿØ4 mö1h úáöùù?Oÿ(ÿúáõ|ûsöö;öû ûû m|¶ùù Pù?6Sùÿ ý õ öLû 6 ÿsü ùþZö1úÿ/ý sù z3Jù ü 7ö 6ûdùõ Z ÿsù =Üüÿ\õ û döWhõ ý ûdýü õ Lù p h/ ý2 W2`ÿdh.ÿs-ý W2/5ù +> ! 4 hýWZõ ý m2ûdù2 !5 :5 !5"75ù 2 > !54 hSÿsùù 6ö Zÿ |ù sùzöWõÜÿsü ùzÿ |ù?ý ,þZö1úÿ W õ dý ûsü ý mÿ\üçû ZýûsüöWõZÿSüçõÜýõØüçõ Zÿkû sü}ý öWõFûsù û 6ö ù |ý ù PþZö1úÿ(ý sù Jùõ|ù dý Üö sù ö ü ý1ûdù 6û Zýõû |ùÜÿ\ü çùþZö1úÿ ¶ÿ\ù ûs)/ö ! ¶2ý 2 hý > ûd5! ù 4dü_h^ùáû |ö ù Zù ù6ö þZö Jö1üúýÿ(ý sùdö û Pù|sü ûsüý ùÿÜ6öL6 õ|öû û |ù&|ö þ Ü|öü |Jÿ ùp;õ|ùÿ ö ZÿÞp þ¶ö1úÿæmù ý Pdùùõ Zý ÿ(çöJù õ û Zù2ÿ Zý `ù 31ý düý çù .

) 7 7 7 , '7 7 ,47 7 ) 9 47 ,+ !9 .9 . 6 !9 +9 '

*9 &7 7 9 , ! , 47 7 7 7 ,+ 9

, 7 7 ) 9

, 9 7

7

7

∇u

7

9

9 :: 3 7

7 ' 47

7

,

∇u

x

y

inflow

outflow

V

y=L

u

PP,öù ü ûksúzûsüdùöWù ùõ õâgÿp\ûkùúz2 ùö õ |6ù dÜöýWõ|ýûsùüûÿ-Zúù/dùüçûsû ö jdù3Wgûÿsù ùç|õFö ù8ûhý1þZüÊûsû ö1üöWúÏõæüsöLÿ,ö 6Ký ý çÿsù ü |ùö ù#Üÿ ù |ûsùù ý UþZ ö1õú ý õáöüçõ | ù õ|ûsûsüÊûdù8ùþ¶ÿsüö1æú ý p ýWöJõ õ õ|ù ý ZýWÿzû |ùM6ö çö1úüõ 6ö jp W õý=ÿsü çù2ÿ |ùý zþZö1ú û |ù 3Jù ö üçû ú |ù sù ýõ üÿ-û |ù2ÿ |ùý hý1ûdù O |eù h.- 2/ + f h )/=! h9 p ýõ û |ù ++ h9 6 h,2/)/!57636 2,+%2,7)%2 h ! 7!5+ 52oh9 +.2 h4h p æ öJý õZÿ\ûd¶ýùõFû ÜpýWùõýJÿ Psù öû ù Pù dýWü Üõ ùõJûhý 31ýõZ|üÿ ö øO ù|ú-ü}ûdÿöWüõ|ÿü}ýõ|õöWû þ û||ü |ù ÿ NûýWÿsZùùÜüõ ÿ |Jù?ùý õ|Mù 3dýüÿ * 6öFö ÿ\`üçû &3ü}ÿküÿ÷

öù ýJÿkûdü (þ |ü |ÿ W õ Zý \ûdü ý P6ö æýWõ Üõ|öJõm÷nøùú-ûdöWõ|ü}ýõþ |ü |ÿ üÿý mù dùýWÿsüõ velocity profile

# : 6 )

47

7

7

,' 7 6 7 7

x = (x, y, z)

7

! 7 9 * 7 9

7

u

7

7

u(t, x) = (γ(t)y, ˙ 0, 0),

γ˙

7

7

-

)

(u(t, y), 0, 0)

η(t) =

0

9

7

'&

η

9 ::

τ x,y (t) , γ(t) ˙

9:

N1 (t) = τ x,x (t) − τ y,y (t), N2 (t) = τ y,y (t) − τ z,z (t),

9 #

) 7

769 N N , 9 1 2 1

7

, 7 7 7

,

η

.

E .

M

[

ü,2 ö ü h2/ÿ ),6d ö ù # s ÿsü öp FÜ2 û/ù Z¶ù öæý1Üûdü ù ddü ùáþ sZù?üÿ\|ùÿõJpbûhý1û ûd|üçùöJõ+.! ö76568:)6ûk2úz ö ,|õ| ù2 P#ù 2% ) ûsù ù6û9ö /|ýõFõ ûsù sûüõF|ûù |!üçûs4ü 23W ù hPù ¶-4ý=!53J ÷ #

47 7 9

7

7 +

) 7 &+

úú |||õ ùù õõ ûsüöWõ0WJööö7ù6ùÿÿáûdûsöö ûüç^õ|ù üdÿ õ|ö üçû sö ý¶ùõ \û ëWöü}ÿùÿ,ûdý ö2ÿ\ù ö Üh:ù-43g2/5ý +9Z8 ù - 4û |ù 2 W+.ö!5ù?8 ÿh.-4ûd2%öë + ý +.öW2 õZÿ\f ûd hýW)%õF!aû h9 PSÿsù ùûkù úzW õ ,ùùü õ hý ûkd úáù ûsö ü ù ÿ çüõõmÏýù õ6dþZÿ üö1õ ú O ÿ2õ||üçý ûsùsù?ùÿ\ö ü mæÿ\ûûsýù |Püçù ö ësüûsõüçüõ öWmõ ù û=|ùü}|öÿ ùÜ þZù ö1ûdù ùú hûÿ bûýZõ |ùâù¶üù2õ|þ õ|ý|ù ü =döJ¶ö õ|ùmùüçü õ æü}ÿ ý1 ûdsùöJöWõûdý1 ûdõ|üçõù ý ÿsü O |ùùÏÿ |ÿ\ù?ü ý -þZçùÏö1ú ÿ |ù"wý ùþZúö1ü ú dæù û ý ésõâý }ûsÿsö=ö û |Püù ÿZüçõ ÿsù 2 6 ù ûsüûsöWöÞõ ÿ\< û û |ù õZý Üü ÿLö 62û |ù þú|üçû ü ûZ|ÿ\ùüõ m&iù ý6ö õæöJÿ ý1 ûsü üöW}ý1õ;ûdüçüõ ÿ âsù ù ý ûsüçù ûdýûsûsüöWöæõ*û p |ùØù ýJÿkûdü üÊû 67ö 6/û |ù2þ O |ü|ùÜüçOõ |ùØZýJö mÿ\ù ûs7ö ù?6 ÿ P¶öWõ¶ýWÿsÿ\ùù dùÿ ¶öJõZÿ\ùüÿ sù ýûsù &ûsöû |ù 3Fü}ÿ öJÿsüçû âLö 6/û |ùØþ |ü O |üÿ ýõ PùØù?ýWÿsü |õ mù dÿ\ûsöö 6ö /ù |ý ùzöJõ=û |ùÿsü ù 5 ý úzù Üö mù sù?ÿ\ùõJûdù ¶ù çö1ú Fýõ =ýõæýWõZý ö úüÊû ù ù zû dù ü 6ö dù;ü ý |üçûdÿ dùAÿdÿ\ÿ\ùüù õ Ï,ü û Zù sù ÜR ö mù çüõ üõ mùûdýWü }ÿ çùû Zÿ =ùõFûsüöWõÛÿsö Üù Pù çü}ý Pù Z"ý=3ù üö hÿádÿ\öLû 6,mÿsù?ö ÿÜsùü Põ|ùÜöWõ|û ÷Ý|ø(ùù+.ú-! ûs6 öJ8:õ|) 2ü}ýõâþ |ü |2ÿ 2/), Sÿsùù ,ü dù ö N úáùõZÿ2ýõ O ø |ü ü Zÿ 8 : ,ü [ dö wü}ÿ2üõFû dö ù ÏüçõÏû |ùæþ |ü ëýõ Ïüÿ söWûdý1ûdù op 6ö 2ý&ø(ùú-ûsöJõ|ü}ýõwþ |ü Küõ|ù \ûdüý ý Zÿsùÿ û ZùÜþ |ü wûsö mü wõZùý û |ù dö ÏýWõ dü}ÿ\ùæý1û ûûZ|ù ü}ÿú-ü}ý ÿ ÿ ý |ù ö 6-û ÿs|ö ùÜù õ|2,öW h+õmh ÷n2,ø ù/2ú-,+ ûsöJõ|2 üýW2/õ),þ Zü O ||ÿ ûü}ÿ Zù(|ùþ õ|Zö ü Üæùõ|ý öJõ6ý ü}ÿ û dZù ý }ý1ûdù 6çü ûdöæâõ|ûöWZCõ ù ^dù ö dö õ|ö æõ|ý NöWû ÿ\|û dù ù ÿdÿù m¶ü Pù sù ü sÜùõ ù õFù?û ÿ ü}ÿSÿsû ù|ù ù ! 42 2, öh W-4ù !5*[ 8 2 2/),Sÿsùù bü sù ö N úzùõZÿ û3ýZõüÿ ù öþ O ù |üýJø ÿkûdÿkü ûh(ý |þ sü ûd|ÿzüü |¶ûdÿöæÿ mûþZ|ö18 ú²ù : öaü b3WüZù ü-û |Wùùù ùZ ÿ-WöJù õPýþ¶¶õ ö1ù?âúý Wüçû õù |-=ùõüöÿ-|ü}ûdÿ û ü çûsù |û ÿ\ÿkö=û dûýWZü ý1Fû ûýÜý ÿJæýWüçýõ Nû|ö d(ùýÿ\ö ÜLö ù 6 Üh9 ü +9söW8 õ|0÷ öWæû ý|! ;ù dh.ö ÿ- 2/Üs5ü ö1+ m> ù 5! ,ù 4 ýWõ ù ¶ýþ ù |sÿsüü ü Üùüõ|õFçüçûùØûs-úü}õý |=ü ýù ûsü dúáùý ÿ\ùû/ýúö õ ü PmöWûhùõ ý1 ûsý üõ|öWù õ ù&A¶ûsÿ\ö ùùûkù úádù 2 ùù ùdõØö ûdüçûköJúáõ öù< }úý1üüÊûsÿ(û ù?ûÿ,|üýùÿ ÿ||ö ùØý ø(sù ùú-ûsöJöJõ|õ|ù ü}ýõÏ}ý1þ ûs|ùü ü}|ÿ ÿ Üû aö |3ùgüçõ 3Wù mýçöõ üçû û |ùsö öW û |ù ù döWö õ|ùdùü}ÿ ÿdÿs ü_3Jmù ù 4 sAù?ÿ\ý ùù |bù?ÿ ü ÜsöWù?õ|ÿ öWûsöWýWõZõ ü gý : ûÿ\Zûdý1ùâûdüçÿ\öJûdõZý1ýûdüçöJõZ31ý ý |Lù ÿ\ûdp,ýû ûs|ù üÿü|ÿ-ö û Ø|ù3ÿsö a!Üf5ù2 ++ Ph:-4ö ! ! Ü ù d|ü ùÜõ|þ ö |Üü ZùõZÿ ûöWõ |ù 3Jù ö üÊû Wöù?ÿ Pù WöJõ ëüçûdÿ 6

7 η∞ 7 (& γ˙ η0 7 9 γ˙ , 47 7 7

, ) ) 9 7 1

7

# : 93* 6 7 ) ) 7 9 6 7 9 7 7 ) 7 7

, 9 7 7 γ(t) ˙ = γ0 cos(ωt) 7 7 7 7 69 7 7 + 7 7

, 9 7 ) 7 ) 7 4 !# 9 . 7 ) 7

, 9 ) 7 # !9 9 * 9 !9 237 9 7

, : # : 9

, 7

, 7

7 9 #

7 ) 7 7 7 ( 9 7 ' 7 ' 8 !9 9 9 7 7 + &+ # 9 9 * 9 !9 2 7 #

9 9 9 ) " 7 7 : : :: 7 , 7 7 ' 7 69 # , 7 ,5 " 9 7 7 ,47 ) ) 7 0 1 , 7 + 9

, &

) + 7 7 7

!# 9 : #

, 7 47 7 9 # 7 !) 7 7 7 69 7

γ˙

.

E .

Re=0.1 Epsilon=0.9, T=1.

M

98 :

Re=0.1 Epsilon=0.9, We=0.5, T=1.

u

10

u

1

0

01 L 0

01

L 0

10

y

y

Wûs,ü ù üÜçö ùÿ düÊùû üçõ:,pû |/ùdöù ûsö çüù =üçûùØüçõFýWdûdÿÜöù 4 ýn3gýù 6 |ýJõ ÿá ýûsüöW6 |õ0õ Zö7ö ûd6 üçöJ¶õzÿö öL\ù6NùÜûsü =ù,dü ù`ü 6öþ dzù|üý |Øÿh/ üS5ÿ öW+9õ d8 ù 0û |dù ù! ÿsdùü õFh.- ûsFù2/û 5+ý>ýWû ÿs!5ù2314 ýöLd6/üO öû ||Zùùÿ úö|üö çWùùû ýW|õ üÿüÿõZöPû-ù û |ù Üü ýWsÿsöWù`÷ æ6ö ý øsö ùú-Üûsö öJ|õ|ùüýWbõýWþ õØ|öaü 3Jù ShöWÿ õ6ZöFû öW|ûbù öL6Zùû6û9Z ù3Wù ö üçû üÿö Zÿsù 43Wù " " " ? ðKòbDí A&A &F Hð G ð )4# íFï ð E%,(- ò,ó "ö P|ù ùõÏû |û ù |ùæÿ\ü þ |ü ç_ü 6 ýüçõ Êû |ýWö ÿdÿ 3|üûsÿ ü öWö õZZÿ ÿ büùýçõ m üöõ ûsö3dù ÿd ÿsü < ùû ýZõ ù 6ö Zçö ö1Üúöüõ J2ùõ|ÿ ùmö ÿkûdZù ÿ mLö ö6Nù?ù ÿõ|Zöý1û÷ ûsüöWõ¶ÿ-üÿ-ûdö ¶ù Zÿsù |üçõ üçù 6Lö 6 [ n÷/ 8 p m_ü 3 : |ü_3 ú |ù sùû Zù2ÿkû sù?ÿsÿ ¶ýWÿ Pùùõ mù ö PöJÿsù 6ý öWõ R ûûWZZü 3ùØùüçõ ÿkøû ùsù?|ú-ÿsü ûsÿ\öJû æõ| üýýWûsöõ ù û |öJù(õJ7ûûs!5sù ü 8æ= mÿûd26üç4'öJõ ! 4ù 5ýsöù?õ ÿsÿsùù m_ü û 3 hýJýæÿÿküõ*û ssù?ù? ÿsÿ ÿ/P$ 6 01! 2 76 + # - 2 28 5 2 2 +9 f52 )%! ' f52,! " ! 01+ 2 045 !5, h#-4a f52& ! %2 ! 6 $2/6)%! +98 +.2 h ! 65 2 ímù DsüB 31ý1% ûsñ ü 3Wù " > - 2 - +2 6 )/2,!5+9' f5f52/5), f f52 2 h 6 2,+9 f55/2 f 2)/!5' h/6 2,+%2% 6 h9h 04)%)% - 2 2 2/= 6h - -42 2 çö1úzPùù ss÷÷ öWöWDõDõ 3W3Jùù ûdûdùù m ù sü ,31! ý1+ ûsü 3Wù '-4! 2+ -452 )/ 5öW2 ÷ dö01ûh+ ý14ûd=! üçöJh õZ2 h ý h m2/ù 2 dü_312%ý) ûs ü 3W!5ù $ # -4% 22 2 2 2,-4+ 2 /2h ,2 6 2 +94 f555+9 ),f 02 h2 5!+ 2/2 - 2 2 +.2 h/7 88 6 +%2 !+9 f5+95 f 2 2 ' /2f5/)%5 +90D5h 72()/2 2 5h 44 !5h ! 2/!52/)/0D- h 52 * ) +9h h 2 01h 4 4 - 2 2 -4a 0Df5h92 )/- =! h - 2 2 5-472 2,0 ) 42,+98:! )/6 ! 26' 2 hf52%) h, 2%2/62 762 2 2/h ) h9! 04& )/- = h - '2 h - 2 5h ! 8 -4- 2 2 ! =h954)/7! 2,+ !! # 6 2 2 2 D0 h-42%6(2 62,+92 h f52 55 D0 f5h 2! 6 2 2 ! ) + +.=! h-4)/'2 ! 7 *)-) ='!)+8 6 8 !+.62 2 i2 6 f 2 2 )/2 ! 2eh.)/- !5 2 f2$2/+%) 2, 01f52+9 6 2 +9!C f5h9504 )% f- 2 h ! 6 4262/2 h"5++ 2 h 2 - +3, !5 $ 2 +965 +.h 65) 0D- h4h9! )/! - -4 22,+ 4- =h97)/2/52 2 5 2 h,. ! +%6 / 0 #+ h9+%!5 356 = h+h 2 1+ - 7 2 3+ 24 ù POù d|ù ü Üù õ|ùù õJûhý ædö ý ö sZöFÿsÿ ù=4ö 3W|ö ù ü mù ¶Üù Zö ZýW|=ý ÿù 3}ÿ\üçÿMöù d3W6öÿ ù dý 3Uü}þ¶ÿ ýgöúù ÿ}ýWPýÿ\Jûsÿü dùþ F|ý ü Z|ÿ ÿZüçý=ûd3JÿùØý Zû ü ZüÊû ÿ &Pûdùö ùõ dù mdù ödü_3Jù ù Wý ùõ|ö1ùúhüçý õ üçû 6mÿö 6ý ¶Üùû\ö ûdmù &ù }ÿ ý dùdùý ù*Üp ùõFû Pù ûkúzùùõÿ\ü }ý1ûdüçöJõÛýõ éù Pù düçùõ ù W õ 6 aR O 7

& 7 ( Re > 0 7 ) 7 + 9 7 1) ) 7 ,

7 7

, + 7 ) 9 9

&

+

!

0

*+

'+

+

-

(+

-

7

λ

&

&

+

+

-

7 7 9 )

+*+

&

*+ - . ) ) , ) 47

+

+*+

+

/

&

∂ui ∂xj

∂uj ∂xi

&

-

(∇u)i,j =

(∇u)i,j =

&

&

-

9 9

'+

*

-

+

We > 0 ∈ (0, 1) %351 9 ) ,47 7 7 47 7 7 47 ,

4

, !7

∂τ p + u · ∇τ p − ∇uτ p − τ p (∇u)T ∂t

+ &

+

,

+

)

7 !) 9

˙ ˙ = ηp γ, + T (τ p , γ)

9

.

E .

M

=< :

úÜ|ö ù msù ù }ÿý dù=û |ùe6û ö |ö1ü úý üçõ |û ù Psùùùõ |ÿ-O õZ|öWù õ üçõZ2ùh,ý 2 =0Dh öJõ ! 6 262 OSÿs|ùùù =öFÿkN û üç ù?ö ÿ\ù =¶ÿ öJõ < ¶ÿ\üù õm÷ 3Wö _3Jùÿ-ý Zý hý1ûdü (ûsù jp < ú |ù O sù |ù ü}ÿ- 5ý 8 mù - &2 ÿ ý }ý 472,+ ! 6 62 2 OO ü}ÿ mù sü 3Wù j6 dö ý }ý1û\ûdü ù Üö mù Sÿsùù ø Zýõ|÷ O |üùõ&ýõ W O ýõZõ|ù 8P< W ûú süçûsù?ÿip 7 , ˙ T (τ , γ) p 7

7 9 51

λ

7

7

9 !9 9

α

7

2

7

"1

!9

+ τp + α

9

:

9

τp

∂τ p + u · ∇τ p − ∇uτ p − τ p (∇u)T ∂t

!9 2 7

λ

7

:

9

λ ˙ τ p τ p = ηp γ. ηp

ξ ∂τ p ˙ p + τ p γ) ˙ = ηp γ, ˙ + u · ∇τ p − ∇uτ p − τ p (∇u)T +Z(tr(τ p ))τ p + λ (γτ ∂t 2 9 0

úüçû 6ûkúáö |öJü ùÿ 6ö -û |ùM6 |õ ûsüöWõ 7

47

7

Z

p

1

1 + φλ tr(τ p ) ηp , Z(tr(τ p )) = exp φλ tr(τ p ) ηp

9

ú |ù O sù |ù' *ý)-õ =')8+ý sù ! m6 ù 2662 Wúÿ Zý }ü ý =hÿ úáù-úü sùû dõûdöüçõ 2 ù ûsüöWõ R Wüÿ mù sü 3Wù 6 dö ý ÿsöWüçõZõ ù ûs ü : b=ýö õ mù 2 ù SÿsùûdùüçöJõ R ù ûdW ùû dçüùõ ý Z 9ÿi8p R Uýõ áü ,Y(öWûdÿsöWõ6ýõ âø Jö |õm÷ 7Z W úüçû 7[ úö76|ýWù ÿsù dù }ý1ü}ÿ-ûdù û |ù ûsö6mü û Ü|ùùõZæÿsüöWý mõ&ü Ü7ö 6bý û /|ù ù2ýûsùõZ|ÿsüü|ùõFü ûüÊû ÿ¶ö7ý 6z ùû |ýùõ Pö üÿÜýÜù ÿ ý ZýýW#üçõZû ÿZý1ù ûü}Pÿzù û ||ö ù ÏFüõ û û Zù þ |-ü |û |ÿ ù?Sÿ\ÿsù6ùùõ|ûöJ|õ ù çüõ|ù?#ý ø kÜ6ö ö |ù }ù ÿ Pù üù ö1ú ZýûsPüöWù õûsûsù R :dù[ ÿ : çûdÿû ZýWõ û |ù dö Üö mù Zýõ 6ÿdý1ûdüÿ 6Sý ûsö sü âý dùùúüçû &ù Pù dü ÜùõJûhÿöWõÿsü ùþZö1úÿ O |ù ýõ ¶ù 6 sû |ù Jùõ|ù dý çü ^ù öJõZÿsü mù süõ ÿsiù 3Jù hý dù }ý |ý1ûdüçöJõûdü Üùÿ ýõ ÿ\ù 3Wù hý 3Fü}ÿ öJÿsüç÷ ûsÿ üùbÿ 3Jù mû2úzù=úü /õ|öû dö ùù C6 \û |ù üõ;û |üÿ |ü dù ûsüöWõ;üõû |ü}ÿüçõFû sö ûsö " > " ? ð¶ñ1íð (E í F ñ % A;B ðUòbDí AAó P ùùû ù Zÿ üdù üÊû û sõú ûsdö6üçû\ûsû ùZõ&ùæüçöWõ6õ|ûsùù ÷ mæü Üÿ-ùLö õZ6bÿsüû öW|õZùý üçõF5ûdù ý hmý úápù Üö mù W ûdÿÿ\ö mûdüçöJõ æý : 8 7

"

ξ φ 7 ,+ :

!92

9

9 7 47 : '

9 .9. 4 2 9 9

9

!9 9 7

7

 ∂τ p  T  λ + Z(tr(τ p ))τ p + u · ∇τ − ∇uτ − τ (∇u)  p p p ∂t ηp ∂   ˙ −λ τ + + u · ∇ ln (Z(tr(τ ))) = ηp γ,  p p λ ∂t Z(tr(τ p )) = 1 +

d b

1+λ

tr(τ p ) d ηp

9

9

,

7 7 7 ) 7 7 7 d b 7 -

) 7 !47 ) 7 , 7 !#&% '% ) %351 9 9 ' 7 , 47 ) 7 7 * - . + 0 7 9 7 ) 7 -

λi 6) 7 7 7 ηp,i 9

)

7

/

t − t0 τ (t) = τ (t0 ) exp − λ

-

7

+

Z

t

t0

9 : 9

η t−s γ(s) ˙ ds. exp − λ λ

9

0 E . M

JöØûdö ZýWõ âýJÿsÿ Üüõ Pö |õ mù 6ú |ùõ ü}ÿ ¶ö |õ mù |úzùö mûhýüõ*p ùû\ûdüçõ : Y ùõ|öWûsüõ p : ýõ üõFûsù dýûsüõ Zý sûdÿ úáùö mûdýWüçõ&ý 6ö ù |ü 31ý ùõFû-ûsö( : p :P: O |ü}ÿ 6ö ù ü üçû &ÿ |ö1úÿû Zýû NýWÿ ýõ|õ|ö |õ ù ù?ý çüù |û |ù öWõZÿ\û hýüõFû ý1û ûsü =ù mý ù ¶ùù6õ |ý ÿáöWõÜ2 !û Z5ù + |ü}/ÿk01ûdö ) !5Lö 6Nû |ù |ù 6ö æý1ûdüçöJõ O Zù 6 |õ ûsüöWõ ü}ÿ#Lö 6ûsùõ O |ù&öWõ|ù÷ |ü Üùõ¶ÿ\üöWõZý ö |ûdý1ûdüçöJõ Pù b6ö Üù Þý Paö 3Wù ýõ ¶ù Jùõ|ù dý çü ^ù Ïûsö |ü |ù mü =ùõZÿsüçöJõZÿýõ üçù Ziÿ p : R W úmù|õ|ù ösûdù ùÿáû |ü}ÿ8ùý ÿsöÜ÷ ù ý Üùö 6 Z õ 2 ûd+ üçöJ õ 2 , h ! ü+3ÿáSý ýWûzü ûd3Wü ùÜõ ù sù?ý ,31O ý Z|ù ù }ý1ûs6 ûsZù õ üûdÿáüçöJû õZùFýWüçõDõ 3Wù dÿsùûdùõZÿsö ö76bû |ù 04)%- 6 2 ,!5+ 5 !5 2,'h,! +Dp : < ú |ù sù :P0 ûsü}ÿÜü Üû ùW|ûù ü}ûdmÿÜö ù ù6¶öýWöFÿsüæÿ\üç0ûsý1üûdöWÿ\üçõZùöJùÿõ0õÞýûsû-û ùZõ¶ûsýü ÿ\=ûæö ù û |ýù õ ¶ù \÷ öJü}Dõÿæ3Wû ù | ùûsù þZö1mú ù sü Z31ý1ý ûssüû 3Wù& æLö ý6 û ||üù õ ,üç¶õ öFWÿ\ù üçÜûsüöWûdõ¶ùõZÿÿsöý1û 31ýõ|ü}ÿ |ùÿ " |ùõ ýõ Kû |ü}ÿÿ |ö1úÿû ¶ý1û ûmZù ù2 õ|ÿ ùmÿ\ûsù ûs ö: R6ö -Jÿdý1ù ûdûü(ÿ û |ùÿù Z üÿ\ Pûs ö O öL6bZûù |Zù ý mhùý 6Üö ùæûsù ýûsüöWõ Üö mù }ÿû |ù2ûdü ÜùØõ|ùù mù í !5D,B h % 5ñ 76e"f55! +95 Mh&h ,!5+ - 2 - )/2 = h 42 2! #+.65 2 #2,+.! 2 6 426 2 h 5 24! +.! 6 652 042 h)/2/6 - 2 /!+.a2 f522 h9 2 2 +9 f52 2 2)/!5+.5 2 f 2/) 88 f 2#6)% 2 +9 f /2 2 f52 h 2 ! 2/6 %2#7)/2/!52 , h96 2,+.2/ 6 +.h 6 2 f52 +.5 20 )/- # + +. ) h9 2,+.+9!5 h9 ) 6 2 h a 5h47h 6 f 2 1+ h )%a! h9 !2 h+ , 2 +9 +.65 ,!5+Mh904)/-(2 2 ,h9!5'h .

t0

:

−∞

τ (t) =

)1

Z

t−s η γ(s) ˙ ds. exp − λ λ

t

−∞

)

τ

)

τ (t) =

Z

t

−∞

7

7

7

−∞

M

t

&

51

9 :

7

)

)

9

69 7

9 :

η t−s γ(t, s) ds. exp − λ2 λ

7 , 7 7 7 7 7 & &9 7 / 7 7 '

Z

)

γ˙

 d   γ(t0 , t) = γ(t) ˙ dt ,   γ(t0 , t0 ) = 0

)1

τ p (t, x) = −

7

η λ2

9

exp )

− t−s λ

M (t − s)f C −1 − C −1 t (s, x) ( t (s, x)) ds.

6

f

9

t

(-

7

6 7

t

9

C −1 t (s, x)

9

C t (s, x) = F t (s, x)T F t (s, x)

7 7

t

7

7

9

7

)

7

7

7 7

+

& -

7

χt (s)

7

7

#

7

&

λ i

τp

)

69

7

47

7 ηp t−s f =1 exp − 2 λ λ 9 9 7 ! 7 λ

&

ηp,i

s

9

M (t − s) =

9

9

F t (s, x) = ∇(χt (s))(x)

1 * * $ M

+ i , n: , , öaöWO 3WõZ|ùù ù bs3ùáý1üùùûsúzùmWüù ÿ\ö6ûdÿ,6üõýö7õû 6zZüçõ õ|ù öWsõmù s÷nmùøü3Fùüú-ö ¶ûs}ÿ(öJý õ|ÿsüùWýWù õûd31üçöJþý õs|üü ù û|û |ÿù ö7Ü 6|õZöõ|öWmù=õmù ü÷nøüçõ Pùâú-ö sûsöLûdöW6 ýWõZõF3üûýWüÿ õ öþ ýJù |ÿs}ÿýWü |ÿ\ö7ÿûs6áü õ|"wþ öWùZõmü÷nZ|øý=ÿ ù3Jú-ù O ûsöJ|dõ|üü}ù ÿüþýWüõ ÿ þø|ùü ú-|ûsÿöJüõ|ÿüýWû õ |Cù Z6Sýý dÜý üûdÞù (Lö ö16úz> ù01ÿ(a6ûsöâh û4'Zù- sù?ÿ\) ù+.õ =! h9ù= +97ö 046 ),Ü01+.ü 2 dh öJÿ\û Zö û ÿ dù0ÿ PöþL6|ûsü ù|õ ÿ -ûÜö|dùùØõ|ýöWûõmý ÷ Üù û ùÿsýöJÿ dùö |ù ü | ý ÿ ý ùùûÿâZ7öý6õ6þ ý1|ûü ý2|ÿ6û úüÊû ÜÜü üsöFsÿ öFÿkö û |ü û öJõ|sù ù?ÿ 2 õZ,ö1ú ö Üçöù ödü þçü |ü||ü ÿ 6ö öWõ sùû ûs|ù ù ýûsù Wö úzùúü 6ö ZÿöWõüõû |ù=ÿsù |ù õ¶ý ö Wö Zÿ(ÿ üùõFûdü ùõ |ù=ý 3Wö dÿ ýWõ ¶ù 6ö ö1úáù `6ö KöWû |ù Kþ |ü ZÿKúüçû Üü döJÿ\û û dùÿ O |ù Pöûsûsö ü õ|ù 6ö Kû |ù Üö mù üçõ d7ö ù 6æû |ýùüõZÜÿ pKü ú sdöFüÊÿkûdû ù(ýõæû ù sù?¶ÿ ý1mûûsüöW|õùõ ýû8|ùû Zù Üùü û ZsöFùÿ õ|ööJ|õmü÷Ýø(çùù ú-3Wù ûd|öWûõ|¶ü}ýý1õ û | öJùÿõFû ddü ü Pù|ÿûsüû öW|õ ù(ù 3Wö ûdmöæûdûüçöJ|õ ù üÿ\õZû dÿ\ùü O ÿdFÿ |ûù öWO õ6dùöZÿsû ùÿâ|õFù ýû#-ÿs¶û ù ù Pûsû\ûdüùöWù ÿõÜLö ü6Kÿ8¶þ öWýZõ õFü |ûsØüçÿûdý ýúûsüüÊd3Wû üù ù 6pÜ|üçõFõ ü ûmddù öJö hÿ\ÿkû ûhý õ ûsü|û öWüçõÜõ dùûsÿöû 2 |ù ù( ÿûsüöWõ kù 1wû úOü ö Jsù?ü_3Jý ù;Üÿ\ö öÜdùù öWzõ&ü û |ù çûsü}ÿ \ûdý üÿdù ÿ Üö m ù çæüõ ÿkû söLöJ6 õ æö ýõ çù 6þ ý|üWZÿdÿ ÿsPúý Wáù ù s ùi6ù (ûs öæ û |ù Ü(öJõ|û\ûsö üõ dJý ù Z ÿ p 8 P5 ù hÿ Púáù ùûsõZçüù3Wÿõùýýýõ õ djù OY Y |ùiO 3ü ü dçmü ù Zù?ÿ ÿ ù 9 : 8 R : 'Y5 (û |Y(dù öJùüõ dW ù: ù $Ø01ý 6adüh ÿsù O |" ù s|ù ù?ûõÜ|û |ù ù Z ýöJüõ õZ ÿ ùZõFûýWhÿsý1ü ûsýüöWõ=ü}ü ÿ WçõZö1ö ú dù#WöWùõ|ý ù2ÿ ¶öù?û |ý mù ÿ/güLö çõF6ûdù h ý 4ûd üç62õ 2 úüçû öWõ|ùýWõ|öû |ù æöJõ û dö û |ùÿsö 3WùõFû O |ü}ÿæü}ÿÜû Zù ýWÿsù6úáù&úü æýWüçõ :

7

,

, 9 7 3) , 9 7 9 # 47 , 7 47 7

3 , 7 , 9 1) ,51 , 4

, 7 9 2 , , 7 7 51 9 + ) 7 7! , 9 7 3) 7 3 5 7 , 7 ) 7 7 ! 7 7 ) 7 τ 9 7 ) 5

9 + p 7 7

7 , 9 7 ' ) 7 ) 9 7 3 7 7 9 . 4 769 +9 ' *9 :: : / +9 * : : 0 9 * 932 7 /9 * 7 7 7 , : # 9

09 9 / 9

9 # 9 %3 4 0 9 2 9 '

9 9 , : / 9 # " .+9 /9 .

) 7

7

7

, 9*

7 7 7 ! ) 7 1 , , 9 + & )1 6 ) 7 ! ) ) 7 ) 7 ) 4 9 7 ) 7 !47 " + & 9 2 , ) ,5 7 ) 6 47 ) ) 1 7 7 47 1 ) ) + ,9 7 ) 4 7 1 7 7 ) 6 3 7 47 N ) 47 N = 1 N = 5 N = 25 47 ! , 9 N > 2000 N 7

7 ) 7

) 9 N = 100 N = 1000 7 47 7 7 47 , 9 7 7 7 !47

7 7 , 7 7 ) 7 47 9 " 7 47 51 , 47 9 - )

7 1 7 7 7 47 7 9 # 8 9 4 7 7 7 7 47 9 7 7 " & + & 9 7 7 47 ) , 47 7 7 7 7 7 7 9 7 7 ' 7

Z * * $ M

öJõZÿsü mù üçõû |ùÿsù |ù O |ùæöWû |ù ù û dù Üù ýWÿsù=üÿû |ù ýJÿ\ùÜö76 6 2 ,h 2 4!52 2 +9) > 016=h 8ý }ÿsö ý ù 4!52 2 + 22 &h W õm÷ Pù ûkúzùùõ /öWõ|ù õ |ÿ ¶ö Üù dü æþ |ü |ÿ=úüÊû üüõJõ ûdmù ùù Üù û m|ü}ùý1ûdÜù öJöWÿ\õû üùõFõFûsûù dsýù?ûsÿkûdüöWüçõ õZ6ÿ öWõZù6pNûû Zdùù(ý|Põ|öaü 3Wý ù-û sýùõ ù ;ýüõ ûsù JZö ÿ\dû üçdù?ü}ÿý ¶ö O Ü|ùùü ÜÜù öÊûhmÿù 6ö üçõ Z|ü}ýJÿ-ÿ û æZùý ö mù Lö d6ùý1+.û 2 7 s ö ! dù ÿdÿ-üçõýWÿsû ü |ùý [ mü0 Ê8 û ÿ/üúÿ üç û öWõ¶ûÿ\|ü mù ù d ùöWõFû û s¶ü ý1mû Pöûdüç1öJúõZÿüõ =eûsY(öæù û |N ù ùmõ|ùõ|õZù?ÿ\ÿ üçýû õ öL6 PýÜö ÿ\õ¶ý ÜWùùsüü õ&ý ¶mýüùõZõZÿ ÿsù sù?Zÿ\ÿùõFû|ömùý ýÜâÿ Zÿsýüçõ |ù ù ûsûsüUZüýWõ6üçõ ý Üaöý3Wûsùùÿzö7üõ6/ÿ û ¶|ý ù Zdù ùû\ÿsûdùüÿ õ ùLö 6Köû |ù hÿ çü Wù Üý düù s|öFö1ù ÿkúz|û ûdùiý13Wûdù üçû /öJõ ÿ\sü ù?WÜÿ/õ|ö ÿ\ü ümÜù ý}ü ÿ#}õFý ûý /=müõü ö p|ÿù ZõFdùûü dõ üÊû/ æùûdý1ÿ öû Zû 5 Zù æöJý ÿsý1ù-sûdöFûü ÿZý ýö û8|úü ûüsö3Jù Pù hùÿ\üZöWæý1õ¶ûdýÿ,üçõ|öJý ü õZÿsÿ ö6}öý1ù 8ûdmù ü}û ÿk|û ù(PùùW õ3Wö1ö ú ýWõmûdO üçöJZõ=ýWù ÿsdLö ù ù 6 Üö mù }*ÿ 6ö ¶ö Üù Üù çûdÿý dù ùÿdÿ Zõ mù hÿ\ûsöö æý1û Zù æý1ûdü ý û ¶ýõ Üö mù ÿ 6ö üçõ õ|üÊûdù mü mûdù ¶ö Üù hÿ Zö 2û |ü}ÿ dùýWÿsöWõ Kúzùúü #õZöû dö ùù n6 sû |ù üõ û Züÿ |ü dù ûsüöWõ6üçõâû |ù sù?ÿ\ùõJû æý1û |ù æýûsü ý |ü}ýWÿsù ûsù û í2D2B E h % ñ h 2%2 > ,E! + 7 2 2, D0 h 2 2 f5j2 h ! 27(2/),6 2, !55 2 h(# /! 01 -4h9204)/+.- 2 5!!5 6 2 !2 6 -42 2 2 ,!5+) 4+.=! 5! h 2 )/!27)+ f55+9 62 2h +.2 655 2 - ,2h9),!5017+ f5 2 2 0172% +f52% ) h !5) + hh4+.h 2 +.52 #h 2, 2/ h6 - 2!ah9h96 !+.)/2/! - ), = h9!5 ) h ! 4+.!)/- )/2 2 2 h++.h 2 74' 4 - - 2 +.f52 5 42 045! 232 h 2 + )% -4- 5+.2/ 2 - 2 ! 2 +98+2 57) 2 045 !5(+90 2 3-42 2if ! 2 01 !5 ! h ! :

7 51 9 7 7 7 + & + & 9 /)

, 7 ' 9 * 7 ) 7 '

7 47 , 9 7 7 7 7 7 ) ) : 7 7 +

9 . + , 7 7 1 ,+47 47

47 7

7 " " ) 76 7 7 9 1 7 51 7 7 7 ) ' ) 9 7 7 8 9 ,

9 1 & 3 47! 7 7 9 # 7 ! 7 7 ' 7 7 , ) 9

+

-

,+

(U t , St )

&

+

+

&

+

(+

x

-

+

+

Ut &

+

St St

+

-

(0, 1)

-

(U t , St )

|ü

∂ψ(t, x, U , S) + u(t, x) · ∇x ψ(t, x, U , S) ∂t _3 = − U (∇x u(t, x) U − ∇x u(t, x) : U ⊗ U U ) ψ(t, x, U , S) 1 ∂ 2 ψ(t, x, U , S) . λ ∂S 2

2 ,- 042 /!! 01 6 +. 2 + )/! 65 !5'h ,! + 6 h90 2 2 2, &-412 ! 2 +9+8 2 ) 4 - 2 +.2 h -427 2 /2h '042 - h h9012 +,,04 )/2 ! (2 %h a,h9!01+ +.2 !52 2 -2 ,2 01h f55-42 2,2,+%2 !3 2,6 + 2 h 2 &+ &! &4 - h928 h9 ! )/- =h9 ) 7+.! )/2h+h 57)#6 i2 f ! 2 h901 ! )%!5-4= h9! ) - 2i2 f5!5+.2 01! )/ 2 !5h+h ! - -4232 01642 f 2/) !a+h h +.!5 5 2/6 ,!52 2 !54' -42 > !54 22 6 )/- = - 2h 22 4!55! #2 2 2 h ,)/!5++ +%h0 2,2 ! - 2 g2 /2 ,h92% 64+%2/2 +%2,h+5h 6 2,! ' 32h,5! 7+601)/45 ,!5+ - 32+92 h, 2h /2!54 -)/!2-4 2 h 401- 2/+%2 62%+. 2 D0 )%-4h/2 h -42 )/!5!5+ 4+% +9 201 ,++ 4h ! -,! )/!+9- 8 &0! 42 2 Eh95 & - 2 2 5+ 5 !3)%E: 2 ,04 2 h95! 7 6& h -1 !h )66 2 2 != h 2h2&+9-4 2 !5+.! D0) +.h !2 8 - 23),+.6 ! 5! 6 262) % h #! - 42 2 +.+.2 !h9)/2 h+h í)/5D B % 2 h ñ ! /2> " )/! ,h92 h6! 2 ,+.! 2/+6 )/!57)/-42,2,+. h/ 02/; 6 4) 5! 2,2 2 & &

7 7

, ) ) 7 7 , 7 !47 9 47 47 69 # 7 '47 7 ! N 7 47 7 ) 47 9 % 47 7 ) : ! 9 7 7 47 69 ) ) ) 7 7 9 7 7 a # 9 7 7 47 6

47 ,' ' ) ) + (& (& t x ψ , )

7

t

x

ö76 ù (ýWõ ùÿzöL6bû |ù |õ|üçû 3Wù ûsö dÿ ý öWõ Øû |ü}ÿ dù dùÿsùõFûhý1ûsü 3Wù ZýWüçõ O Zÿ &%

(θ1 , ϕ1 , ..., θN −1 , ϕN −1 )

7

ui

7

47

69

7

&: 9 :

ü}ÿ8û |ù ¶ùdûkö úá¶ùý ù|õ6ü çû ü ûZØù û Zdýÿ\û#û-û ûkZúáù ö PZùýWý üçõ |ÿ ZýJý ÿá¶ýWù õçù ùÿ ¶ýWõùûkúá ùù|ùõ û ýõ üWõZöJÿküçûdõ 2 ù2öý Üâûsö=ùLö öW6 õ öFû |ý ùhÿ\Jùý ùù û 6hZýýý üõ|K3Jüýõù ûsö Ü¶çýWüÿ Üÿý üÊûdmùsû(ù?âý úzõ ùúPPùü ùùKõ-õ|ö7Pö16búù bû 6|ö ù?dÿ\öÜù ùù¶ù ù?&ý |öWÿ õ| |ÿù2öWdõ¶ýÿ\ûsÿ\üù mjù d6 ü|ýõ sWû õ |û ù |ùù ÿsçü ù "Ü¶üçùØù?õ¶ý ý1ý |ûsdùùÿ õ ¶ÿ\üõ Pù =ý ¶7ö ù?6 üý =|¶ÿüçù?ûsüý üõ|ÿzÿ û |Wùù smö 65ûØ0 ù ü}ÿ=úád/2ù 6ù Ü2 2 ý PýJ ù ÿ\ùûö1Zú ýù õ 8Púz8 ù úO ü |NùâPüõgÿsùü ý 6S|ý ÿûçù?üõmæÿkû ÷ ý¶¶üùõ öFûkúáÿsÿsùü ùöJõ çùõ ùOýJõJÿ\ûZù dùûýûsû ù ZýöW|û=õ6ü Löý üÊû 6 üõâû W|õÏù2ö ÿsù m|ù ù ûsö dù ù=û |ù mù?ÿ sü mûsüöWõw7ö 6áû |ù ZýWüçõûsö6û |ùæÿ\ü çù õ|ö1ú ù JùØLö 6 Pùý Zÿ Fúáù ý dù WöWüõ ûsö öWõ¶ÿ\ü mù 8û |ù 3Wù ûsö çüõ üõ û Zù hÿkû ¶ù?ý =ûsö2û |ù 7

dϕ1 )

ψ(θ1 , ϕ1 , ..., θN −1 , ϕN −1 )dθ1 dϕ1 . . . dθN −1 dϕN −1

) )

)

7

7 +47 )

7

) ) :

+7 ) 7 )

" 1 ) 7 N − ) +) " ) 9 : ) 7 Nb = 2 7 51 09 4 7 7 ) , 7

Nb = 2

7

(θ1 , ϕ1 ) 999

(θ1 + dθ1 , ϕ1 +

)1 , 7 ) 7 9 7 )

Nb ) /) 69 7 , N7 b ) 7 47

r

7 " " 7 )

7

* * $ M

}ýWýWÿzÿ\û û |öWù2õZÿù O |ü}ÿ 3Jù ûsö ü}ÿ ý çù û Zù 2 6 8 ! 8:2,76 f52/), !5+(Aÿ\ùù ,ü dù0 (ýWõ ú düçûsùÿ & : úPù|ý ù Zsÿù çüùÿüüçÿ õ û|Zùùù |õZýæüÊMû ÿ 3Wù PûsöJö ÿsù |ùÿ ý dü |Jüùõ õû |ù¶ù ÷Aû üçõ Lö 6z¶ù ûkù?úzý |ùùÿ õO û ||ùÜù ù F¶û ýsüù õ6Üü}ù2ÿ 6ûkdúzùöù ûsdöö Pdööûûhý1ûd"wù-ùý s ö h|ÿkõ û Ømùù?ýÿ s=ü ¶öLù6¶ûý |pùÿsû ù|ù Pù¶ý öFZÿsÿiÿsüpbû ç|ù üõöWõ û Zü hýý1ûdüçöJõZûsöÿ#Lö û Z6ù(ý ý pû |ù ö76Ný ¶Üù?ùý |Zÿ ýWõ|W ü õ6ý ý Üùÿsùõ ö öJmõ ù3Wæù 6ÿ\öûsûsöù û |JúùzO ùûk|úzù úöüÜù öZûdû ýW_ü d31ÿdù ý1ÿÜûdûdüçù öJöõ Pû |ù6ýùö |çÿü Üû Zû|üÊüû|ÿ ù çsü ù ÜüÊû ö |dûdö ýüùõ|ÿdüüõÿõ üö ÿýæm7ö ù 6ÿ\8ûd ýûsö ûsö2ü}ÿköhûdÿ\mü ù=ûdÿýWû üçöW¶õ|õ6ý1ù û æû |ý Jù_ü d3Jùù ùõ õw÷Hû ûsù|öù ÷ ûkúzö=ù û dù Üù ¶ù?ý |ÿ û |ù öWû |ù ¶ù?ý |ÿ(ý dù üõ&ù û dù Üù }ý Wùõ Pù ý7ö6bõ æû z|ý1ù ûæû#ùý ÷Hû |mü çù üçü õ=dûsü ù ú süçPûsùSù?õZhÿ ý1ý ûÜùsù Wû6ö |ù ^ù sdö ö Z3Jý Zù ü ö üÊû üÊû mù õ¶ù ÿ\üçû 6ö6ö =8û û ZZù&ù ÿ sù ö z|ýõ õ müõ çù?;ÿ ÿsö 3WùõFû ÿsüçõ dÿsüçüöõ ûdÜýûsûdù?öØÿ2ýWý õ|ëdöö ûù||õ ù |zü öWù?sõ|ý ö ù ZFýý W|Põ ü ùæüÊý û ûw,ûZ7ö 6ÿ8|ùâûû ||öùù6daöüçö ù3WdõJù üçûhùdý1õJý ûdûhüçý1öJûdõZüçsöJÿö õëZö76ý 7ö |6üçü õû üÊ|û üÿØÿ mý ùdüçõõZùæÿ\üçüçõ û m ù 6Pöÿáùû õ û|||ù ùùõFÿsûZù ý6 üd|õ ö ùõ 6 d ùù(öWù õ|Lö ù 6 ü}ÿÿ\ü æû |ù sö û ýõ ùÿ ÿsüçõ & : : ZýJõ ÿ=ý ÿ\3Wûdù ýhûsý ü}ÿkJûdù ü 31ý ý |Zù ýWõJûdüÊû ö ¶ÿ\ù b31ý çù |ù Pùõ müõ öJõû |ùÿkûhý1ûdùzLö 6¶û |ù ZýWüçõØû Zÿ & : R ú |ù sù ýõ |ö üçõZÿ\ûdýWõ ù |üçûüÿýÜÿsü ù ý ýûsüöWõû Zýû & : < ú |ù W sû ù 6ö çmö1ùúõ|ÿzöûdû ùZÿzý1ûû |û ù |ù çùõ dö û Zý P|ù ü ûküçúzû ùùmõ6ùõ¶ûkúáÿ\üçöû ¶6ù?ö ý -|û ÿ |ùùõ ÷Aûdö÷Ýùõ g3Wù ûdö sù?ý |ÿ p & : 0 úd |ÿsüù õ sù E : üÿ: 6mýö Øæÿ\üý æçýù Y mü dûý ÿ\ö ÜæùýWúÿdÿ#ZýWýõ û#ûsù müö û ZZÿ ù |ý õZüÊû 3Wýù ûsüöWûsö õ#ÿ Lö |6 ö1úÿ8ûù Zýýû-õ ýWõçù?ÿý mù Zý1ûdù :

7

9

7

+

7

#

r=

7 7 u ) i ) 9 7 9 )

7

47 ' ) 7 7

N −1 X

"

N −2

7 + ) )

i

)1 5 ) ) 1 47 ) 7 7 7

7

7

7

hBi =

7

#

7

Z

)

a

7

7 7 ) 7 ) )

Z

1 4π

N −1 NY −1

(θi , ϕi

47

51

9

θi .

i=1

7

ϕN −1 = (ϕ1 , ..., ϕN −1 )

!

P (r) =

7 δ 9

B

θi ,

47 , 9

7 ) 9

7 '47

7

9

B(θN −1 , ϕN −1 ) ψ(θN −1 , ϕN −1 ) dθN −1 dϕN −1

θN −1 = (θ1 , ..., θN −1 )

)

7 7 '%

7 " 9 7 ' " ) ) 7 7

(θ1 , ϕ1 , ..., θN −1 , ϕN −1 )

51

1 4π

ψ(θ1 , ϕ1 , ..., θN −1 , ϕN −1 ) =

9

i=1

51 )

7 "

aui ,

) 7 7 " 9. 7

i ) ) 9 7 !47 N −2 7 ) 7 " 1 7 7 ) ! 7 ) N 7 + 4 ) N −→ +∞ ) 7 ) ) 7 7 ' 7 7 )

ψi (θi , ϕi ) =

δ r−

' +)

9

7

9

h|r|2 i = (N − 1)a2 ) 9 7

N −1 X

aui

i=1

7

!

r

9

ψ(θN −1 , ϕN −1 ) dθN −1 dϕN −1 ,

7 +

ui

7

6% 7

(θi , ϕi ) 51

9

P * * $ M

ö76 Pùý |ÿ ùý ü =süö õZmýü ûsæù ý1|üûsüöWÿ õ 6ö ýC6ö ,üõ û |ù ü =üçûÜö76(ý }ý Wùõ Pù ý Jù &: 1 ü}Oýÿ õ |ù öWüçõZsûdüÿsÿ ù Fû\|s÷ ö ùZZõFýWýû õ |ü ýÿsüÊû ü mN ýù ý 7ö Zs6$ùÿsÿsE Jü}: ýù õ1m8û31üýýWÿzdÿzü}õ|ýû ö1|ú ù2ù ÿ\|ûdý1öFdûdÿ\öüùÿ\õÜûsü ûsû ýö |ù¶mõ6ù ùöWÿû Zõ dùFöü mJûsõ düöWö Üõ6¶ûý 7ö||6,ùü çû ü ù|û õ ùù÷AýgûdõFúéöûs÷Ýü sùöLùõ6 Zú3WýWù üçõ |ûsüö í/2/D B6=h % ñ +.2h9> > 0 2 5!5 + 2%6 h ! 2-1 6h 2%6 h )/ 52%6 )/5 2 2 2 -)% 2 )/! =, h h23$4 )/-- 52 ' h! 4'23 4- 4Eh ! ! ! + 6 262 0 2 8 2 2 +%2 2 5 !5 2 h )/5 2 2 h -42 45! 2 2 +&)/- 5 !5+ 016 2 ++ h9 6 %! 016 5+ 2 2/),E h 2 ,!504' h/ 72 6 +.2,!a/!+35f 016 2 65 4!+ !2326 )/7+.!522 7h96540 2- Eh2 !5+.,' 2!5h + -!5 2- 2# - ! 22 4 2 +5 2 2 >+92 h !) 4! > 01-4016 2 > 7 - 5! 24 62 h2 772%2 72/6! , ! 02 /2 h9/2),0+%2 2 =! h 2 )/2/!! 66 62 4') 2 h !-)/!50 6 6 22 6 8 2 4'/2h+h9 04-2,2 2 f,5!5+ h9+2,! +.+-42/2/6 !52 ,! !5- +7)/f 2 - 2 h h ! +%7! 4012 2,+ +9 2a! h,2 2 hh 7 ! 2%01 M/2+ h/2-472 )/2/!2 5!01-4722/66 )%5! +9 24h 52 2 +9! / 5+%+.! 2 ! h ! h904-4-1)%2 - h9)%-4h)/552/) 2/ $6 )h !h9 6 04262 2 h8 !5, h h)/!5, h96 2,+.2/6(-45 - 2 6 0 /22 2 ! 6 62 2 5 2 +.2/ 6 f 2 h 2 )/2 2 2 2 4 5, h 4 2 ++ h 01 -1 h 2 h !36 2 42,76=h 0 4!5 - 2 ,! +.)/2 22 6=h -45 4' 2 2 %2 0Dh 2%6 -42 701+ !ah,2 ! - 2 72/ 2 ) ! h 2/), !5 h 2 ), 2 !(+%! 6 04)%2 h904)%-* ,! +.)/2 -42,++ h:4' 2 2 %2 2,! 2/6( í ðUð ¶í %, B ðUòbDí A > & " SU "wù ù8|ü õ|ö1Pú ù ëZ=ý ú3Wüçù/û 0ö ý N öJõý Z ÿsÿsü}dýýõ ûsüöWdõö ÿZ¶ý ý | ü ùçü õû ¶wý ýÜûØù ù Zû Zü ý1ü ûKsLö ü 6|ýÿ\üõ ù ù8û ùZõ ÿ÷HõZûsùö÷Ýùû õ mù 3J ù õ| ùâûsö û |ù 6ö ù?ÿáû |ü}ÿùõ ÷Aûdö÷Ýùõ g3Wù ûdö -ù Pù düçùõ ù?ÿ õ|PöWù ûkû úz"ù ùùùõ dõ|ù¶ùÿdù?ù ÿ(ý |ý ûsÿ ö W 2/ùû,)/-ú| üü 4éh)/û ý15|û 2 ù|sù ü 3WWù üÜ mûsüçö öû |ù |ýõ3ù2úüçûd2 û ö4Û 6+.öÿs! ö 7Üù) ùÿ d¶öü dLWü 68üJmü üçmüÊõFû üçûsû ù ddýù ûs}öý12 ûd=ù üÛ2ûdõ¶öý ý1û û dZü ùJsüù31|ý üÊûdZü}öý1ûsmmüöWöüçõ õ¶ùÿÿ 7ö 6pû |ù öJõ dýûsüöWõZÿLö 6¶û |ù ý û Zý |ùõFûsü sù ZýWüçõæú ZùõÜû Zùùõ m÷Aûdö÷Ýùõ 3Wù ûdö 8üçûdÿsù _6 31ý düçù?ÿ ûs öWöJ÷Hõ ùO õ ö (Zd3Wýõ ù ûsmüûsùöWöhõÜÿ\ûdö7ýZ6Nõ ýWû ÿ|ùû çù|ùõ üõFÿ ûsû ü 0sù ù û ù Z|Zÿý ýüöWõæû õ û ¶ý1Üû ùõFö ûsüsöWù?õ6ÿ PûköWúzõ öÜ|ùÿûsûzûö=dù ÿ |Üù ùdùÿ\ýüçüû õÿ¶ý1ùöWûsõ õ|üùöW÷Hõ¶ûsýWÿöWõ ÷HùW õ6,öWeû õ |3Wùù ùûsöJõ ö õ|ù ÷ ûsõZö7öW6ý ÷H=ù õöJù õC6 3Jû ù |dùûdýö ûsZüöWZýWõZüçýWõÿ ÿ Nÿ6 söý dùùÿ ù¶õ ûdöJùõ ûõ mmüùõ ;ýWûdÿö ý31ýÿ\ûdhüçö ýZü ÿæFûÿ ZýüçõZPûPù ù|ÿæù W söLõ ùØ62 üý ÿöJõFýû Zõ;hýýWùüÿ\õ õ|û öZúö76ÜZûsö ùöW¶õûdÿý û õ|çùùõ ùõPûù ÷ ÿ||õ ö |sù ûUhùÿkûhõ ýmõ ÷Aûdû öZû÷Ýý1ù|û õ ü}ÿ `J_ü 3W3Jùù dûdüö ÿshùØÿ ûsdöýûÿ |ù Nû ýZõwýWõ ùõçöJõ ÷AûdööW÷ÝõZùõùÿ 3WW û ù dûsù ö æýüõZ8ÿNõFõZû dö1ö ú;ûdö úü ZýõFû ûsüçZûd`ÿýûs6Sü =ý 3W3Jù ö ý Zü "üÊû ù FýgõZú ö1ú 6 dö ö 2 mûdûdý1ýWûdüçüõZÿ\ùûsügý 6 sö 5 ù & Z: ý1 õ|:ü mûÿ/ý |Mù 6 dÜùùùõFùûdõ|ÿ,ù û Zý1æû ü}ÿ6ö W#ü 3Wýùÿ õ ÿ\ûsù úüçû dö m÷ 6

P (r)

N

≈

7 + 7 /7 9 51 ) ) "

+

3/2

+

-

+

(

+

Nb

+

&

Nb = 20

&

+

+ +

'&

-

&

+

+

-

'+

-

-

+

'+

-

7

51 4 7

7

) ) 7 r , 7 7

51

)

)

7

,+

&

+

7 47 69

r

47

&

+

'+

9

+

+

.

&

+

Nb = 10

-

')

N −2

7 + ) ) 7 7

&

-

+*+ & + & + &

-

1 )

3|r|2 exp − 2(N − 1)a2

47 ) ) 9 # 7 7 , 6 '&+

&+

3 2π(N − 1)a2

+

7

P

9

7

5 ) 9

9 7

9 47 , + 3 , '47 7 7

r 7

7 , 7

9

7 ' 9 7

7 7 7

|r| = (N − 1)a 7 +47 7 47

7 47

7 9 7 7

+ 7 7 7 ) |r| = (N − 1)a/2 7 4 7 7 7 47

9 % 7 (N − 1)a 7

7 7 9 51

7 9 "

)

P (r)

)

,

47

9

, 7

7

A(r) = A0 − kT ln P (r)

)

7 )

*

$ M

*

:

,ö ü Wü dý ù s1Dù p sù?Pÿ\ùö õFûdý1Üûdüçù öJsõâü ýJÿZýýWüçõ öWõZÿsPüÿ\ù ûsüõ öL6 Fÿdý Wû |ü \û Pùý Zÿ#ýõ ÜüÊûhÿ Zùõ|ö =ùõ|ö÷ "ú |ý1|ù ûsùsüõ&ùöWõ û |dùØ|ùý ùùZõ|õ ÿöWûs÷HùûsÿáöW÷Hûdùù õ ¶3Wù ùdýûsû ö dù ü}ÿ Üö ümÿü ý ù öJõZÿ\ûdýõFû¶ûý|õ ù dùÿ û |çù ûsüõzö ç6 ûbd^ ùæùýùõ|õ|õ ù öJõZ=ÿkûhöýõFmûüç÷ # 1 ,'47 , ) ) 09 7 7

T

7

0 A

'

7 )

)

3 7

7 . k 7 !

dr

9

E : Z ZýWõ Wõ ùüû ÿ |ùÏsù öýû ûsZù ù ûsZöÜýû õ |ù(úûsùõZ|ÿ\ùüöWõÛõ ûdù ö7¶6,ù ûd|ýùû dZù;ýWüçü}õÿ Wù mû öWõZÿ\ûdýWõFû û |ùn6 sùùùõ|ù & : [ áö Zý süõ &: Z áýWõ &: [ |úzùö mûdýWüçõâû Zùûsùõ¶ÿ\üöWõ E : 8 W õëöû |ù úzö |ÿ Uû ZùæùõFû dö |ü 6ö ù ù dùÿdÿsù üçõÏûdù Üÿ27ö 6zû |ùùõ ÷HûsöW÷Hùõ 3Wù ûdö d6ö âö Zû ýZ|ùwü çÿü û üÿ(smö6 ù|2 õ¶õ ÿ\müçû2/üõ6&ö7ýW6áÿ=ÿsö û û |Z3WùÜùù õJùû õ (ýhý ÷Amûdõ üöù÷ÝõFùûÜõ nm7ö ù 6 3Wù ûsûdù ö úPý1ù üÊûûhý1ù û d|ùdü ÿùçPü ù dü ûÜO ûd|ö ü}ÿ ^ùmdúù ög Zõ|3Jù üÊùdûdùüçö öJõÛüÊû Lö üÿæ62 ûû ù ||ùù ùõFû sö |ü 6ö ùüÿ öWõZÿsü}ÿkûdùõFûúüÊû &û |ù 6Sý ûû Zý1û ü}ÿüçõ mùù 6ýæÿ\ûdýûsüöWõZý ö768âû ÿ\|ö ùØmùûdõ üçöJõ ÷ 6ö û Zù õZý Üü ÿû Zý1ûúü ¶ù mù õ|ù ;öWõ;û |ù dö Zý |ü üçû mùõZÿsüÊû ûsü}ÿ-öW÷Hõ|ùöõ û ^3Jù ùd öûsöSö mSûsÿs÷HùLö ù 6÷Hù ZZü ýüûsüöWsõü & : ÿsüÊû Z ý1Pûdù üçöJö1õú áú |ùõû |Mù 3Wù çö üÊû ù âüõû Zùÿsö 3WùõFû O |ùùõ ÷Aûdö÷Ýùõ g3Wù ûdö zû |ù sùi6ö dùý ûhÿýWÿý üçõ|ù?ý ÿ düçõ úüÊû &ÿ\ûsü põ|ùÿdÿ 47

*

7 7 7 '

9

6 7

7

dA = −kT d ln P (r), 3kT = r · dr. (N − 1)a2 7 !4 7

F

9

4 7

9

)

7

,

4

9 :

3kT r. (N − 1)a2

51 )

9 7 ' 7 7 7 P 7 ) 7 ) ) %351 9 7 7 : : ) 5 ) 9

7 7 7

7

dA = F (r) · dr.

F (r) =

7 r ) ) 7 7

7

" )

9

F ln P

7

3kT . (N − 1)a2

7 r P 7 ψ 7 7

7

7 , 7

8

|ù Üö mù Uö mûdýWüçõZù âüÿ ý çù û |ù ! ! 2/5 650 /262 2 ! 6 22 ýPWÿdöJÿ ÿdÿ\O ü |mùù ûsýüöW¶"wõZöaÿ 3Jù ù m2 dù ùùd3W6ü_ù ù312hýý ûsûs üö öWüõ&¶öFüÿÿkdû ûöa¶|3WöJùØù õ|Üÿ\ùæü ùû õF|ûdù ÿâçù?ÿkö7û d62ù¶ûÿsöF|ùõFÿsù ÿsûhü ý1öûsçüùöWö õëöJJõ|ùöLùýW6õ ÿZ6ýWö ÿsù 6ù ü öW&õ: döaöa3J83Wùù h=ÿ\ý ü ùsùõFûdüçÿ õ ü 6 |mõFùüõùûdü 2 ù ûsüöWõ R ù û Zÿ =ö ÜùõFûdý sü éýJÿsÿ Üù;úzù ¶ý=3Wùý 6ö ù döûdPööJû ÿsù |múü zý ù N|ù ö=|ý õZöû æù ý¶Jùùüçõ Üsùû | ü}ù ÿ\ù (öû F|ö ùWù?ù ýgõ s6ù?ö ÿsÿs üöWù õ& : Lö 6 98 Zýõ üõâû d|ö ù2 ùÿsùù gý1|û 6 ù ZsûýW|õ ù û |õ ù H=

O

7 )

'

7 ) ! 9 ) 9 9 , ) ' "

7

7

9

+

)

7

7 7 7 " 4 7

)

"

9 :

4 9 : 47 4 7 7 F (r) 7 9 * 7 51 09

F (r)

*

&0 9:

7

"

)

47

7

09 09 69

7 47

Xtn+1 − Xtn =

Z

7 '

69

9

7

+

Btn+1 − Btn 7 47 tn+1 − tn = ∆t

(Gn )n≥0

'&

X n+1 = X n + b(tn , X n ) ∆t + σ

7

'

X n+1 = X n + b(tn , X n ) ∆t + σ (Btn+1 − Btn ).

,

(&

n a

9

7 47 , ) 7 , ) 7 47 , 8 9 E (ϕ(Xt )) , 7 9 ) 9 7 " 7 7 7

47 47

'

&

&

P(|X n − Xtn | ≥ a) ≤

"

+

* &

n ∈ [0, T /∆t] E ϕ(X n ) − E (ϕ(Xtn )) ≤ C (∆t)β ,

-

7

'

C∞

'

-

-

)

Xn

tn = n∆t

+ +

9:

√

b(t, Xt ) dt + σ tn

∆t Gn ,

tn+1

Z

9:

)

7

9:

) 9 7

tn+1

dBt , tn

ü}ÿ(|ù ùÜmý ÿ\ù û OöJ6õ |û ü}ÿ¶üý1ü}õFÿûûsùû ö7|6/dùØûýZÿ\ûsûüù=öWdöWõý õ üÜõdö öû |mùü ùædý1ü ö7ûd6üçJöJûsõ÷ öW¶õDö7ý3W6/õ ù ûZJÿsù ùü õ m ù ù ù P¶ZýùùWÿ üçõ õ &|6ùØúáù üç|ù õFý ûsùù û ý=pû3Jhýù|Pýûsù öæWõ û d|ù ù ü}ü}ÿ(dÿsùüçû öJý |õmù ù sö ùi6ûmö |dù ùù ûdýJÿ ûsö |ù û |ü}ÿü}ÿý }ÿ\ö=û Zùúáù?ý æö mù zöL6 öWõD3Wù Jùõ ù O

7

≈ b(tn , Xtn ) ∆t + σ (Btn+1 − Btn ).

7 7 07 , ) 7 4 7 7 7 ) 0

7 9 7 7 7 7 α=1 " 47 4" 7 7 " 4 9

:D1 $M í ! D B - 2 % )%ñ ah 2 ! ! E #)/),! ,04h95 2 2 4$' 65- 2 0D h9/!a! f5 25+ ah 0 2 ,$ h h!52 + - ! 2 5+%2# h 22/+% ! 65+9 26 2 h9h h 2/2/6 ) $ !) !56 2-4 2 2M+ &h !52 401h9! )6 D0 h9 !5- 2 --42 52 2, + 6 6 2 2442,2 7=6 6 h !5! - 2 2 h,! 2 0101 !5-45 - 6 ! $2h h ! 6 2 2 6 - 2 (-42)0 2 2,M+ h )/- 2 2 R 8 ) 04 2012 ( 5 2 h +.! 2 )/5 52 2 ,2%6 h! -42 4 2/ çù \!5÷ 5+%6 ý2 + Fý æýæÿ Zù Ü- 2 ù 3+%2% hah !5!5 2 2 !2 h(h9 +.! -42! 6 +. 6 2 2 + +.2,7)/2 /2, 4 2/2, -42 )% 22 ) 0 4'2 D0h- 5! +.6 6 2 + -42 D0 h904-42 2 6 6 2 2 2 04+ 5 2 h h9)/-) 2 )/5 2 2 ) 0 ! 2 D0 2 h 2 ! , ) 5 2!32/= ! h9, 5,! + h9+%!5 )/!5 f 2 + 2,7)/8 !572,8:6 2 ,h9! 52 +.! )/2 h+h 2h h - 2 ù s÷ 5 ü }ÿkûdùüõÿ |ù Üù ! R $ h ! Mh9 +.!5 3!5+%6 2 + ! )/!5 f 2 + 2,7)/2 5+90 h )%-42 24 -42, h 6 2 42,76 2 4 $! 63! )/!501++ h 2& +.2/2 h4' - - 2 ) 0 2 2 +98 * *

&

-

'

σ&

σ

Xt

+ +

&

+*+

'+

+

&

+

dXt = b(t, Xt ) dt + σ(Xt ) dBt .

%

&

1/2

9

X n+1 = X n + b(tn , X n ) ∆t + σ(X n ) (Btn+1 − Btn ) -

&

-

β = 1

1 %

(

+

47

,+

α=

&

-

47

X n+1 − X n = b(tn , X n ) ∆t + σ(X n ) (Btn+1 − Btn ) 1 + σ(X n )σ 0 (X n ) (Btn+1 − Btn )2 − ∆t . 2 ( α=1 & + σ Xt

& SU í GÝð¶ñ=Jí "wü}ÿæù#û Zõ|ù ö1ú hZý =ý |3JüçùùõJûsöûæLö 62ý Jý ù/)/û !5Z'ù f562 ö ù +. 65ÿ P2 ù 2 ü h W õ 2 6 +9) Wùõ|¶ùöWhûsýùõJüÊûdû üý üçûbü}ÿbýJÿsÿ Üù û Zý1û O Zÿ R : R úO |üçû ù söWù?Dõÿ P3Jùù mû-üÊû ûsö 7ö 6 ûdö Jù û Zù ú-üçúû üÊû sù?ÿ Pù ûûsö ö76 ö hÿ\ùý Üö |õFûdÿ2ûsö;û ZýûØö76 O |ù#ÿsü ùÿ\ûUù |ý çù/Lö 6 PöûdùõFûsü}ý ü}ÿNû |ù Zý hý1ûdü PöûdùõFûsü}ý úý d|ùü ûkúáö 7ö 6 æ ý ö kö dÿsù |üç û ö 6Sý d}ùÿÿ PúöWüçûõ 6|ÿû Zûsùööû |ù ö JöùýWö õ JùýWjõ 6ö Pù ùüÜõFûö dmö ù p ù dÿ\ûüõ*üÊû &ü: ÿ 978 !5 ý O Zù dÊù÷ ûs|ü}ü ÿ ý ù õ|=öJö õ mù /müçõwÿsü õZý ýû 6ù?dý1ù û UýWsõù ;ÿsù öWõ Sýõ Pù Zý ¶ÿ Üö sù=ü Pö sûdýWõJû NüÊû ZýJÿý û Zù ùû dùZÿ ¶æù Wý üõ döJÿ g ö 3J|ù ü dü 6 üõ sæö û Zý1û û Ü|ù ö möù Nö üõFJûùdýö õ Ü ö ù mâù ,üõ ü}ÿ ý Pû ¶ ý 6ù |ü 31ý ùõFûûsö Pù #úzù Z=ý 3JLù p ? ð¶ñ1íéð 9U í ðKð Pí %' B ðUòbDí A |ö (öFö Wù?ýõ Jû Z / ÿ û | ù 6ö ö1úüçõ ù Zý1ûdüçöJõÜüÿ#ö mûhýüõ|ù ÜöJõÜû |ùÿkû û dù ûsùõZÿsö p O

7

7

τp

7

A

9

7 7 7

' "

7

4

F

9

&

1

&

F (X) = π 0 (kXk)

7

7

7

7

Π(X)

l

7

7

1

X 9 π 0 (0) ≥ 0

7 ,47

7 7 7 7 7 71 9 + +) ) 7 7 ,+ * , - .

"

F (X)) = HE(X ⊗ X) A = E(X ⊗ X)

7

7

π

7

51

F 9 Π(X) = π(kXk)

&

7

"

4 ) ) 7 +

# "

51

7

9

X . kXk

7 "

ζ 4H

τp

l2 7 2

πHook (l) = H

9 :

9

7

51 9 9

) ) 0 )

π(l)

7

7

∂A (t, x) + u(t, x).∇A(t, x) − ∇u(t, x)A(t, x) − A(t, x)(∇u(t, x))T ∂t 4H 4kT W , =− A(t, x) + ζ ζ

û ¶ý1ûü}ÿ müõ6ûsù æÿ-ö76 7

E(X ⊗

R : < 9

p

∂τ p T (t, x) + u(t, x).∇τ p (t, x) − ∇u(t, x)τ p (t, x) − τ p (t, x)(∇u(t, x)) ∂t R 9 :P0 ζ ∇u(t, x) + (∇u(t, x))T . = −τ p (t, x) + np kT 4H

$M W õFû dö üõ =û Zù sù ý mýûsüöWõæûdü Üù * *

7

RD

R :l1 ýõ û |ù 3üÿ öFÿ\üçû R : Z úzù dù ö Jõ|ü_^ù(û |ù æý söFÿ ö |ü 5 ý múáù S ö sö Üö mù L û Zý1ûü}ÿ λ=

7

7

λ

,

9

ζ , 4H

9

ηp = np kT λ,

+*+, - .

∂τ p + u · ∇τ p − ∇uτ p − τ p (∇u)T ∂t

9

7

˙ + τ p = ηp γ.

ùm|ù ýçü ¶ù d6çùýùØúûsù û |öù û Zù|ýJüÿ\Êù=ûØö7ûsö6#Êûdû üZ|ÿ ý=ù 3Jý ùçù #ý =ø æö8mý ÷ ù dÿ öJÜÿ Z ö =ýö m3W|ù ùü Øý Sù ÿsÜùù|ý ü_31dý öJçZùÿ õJý öûûsü|öWü õ =|ù R ûZR 6ü_ö 8 31 ý ÜPùùõFöFû ÿkö1ûú öWO Núû ||üù ÿZüüÿ 6ö üÊÿ÷ ûsü}ÿ Zý ýûsù üöWÜõ ö mR ù }: ÿ2[ öL6 Pdù ùö1ý ú 8üõJPõûd|ù ö dùæÿ\û3ý üsõ öFÿ Zýö \|ûdü ü ù ý |ü 31û ý|öFùÿ\õFùû üç6õDö 3Wö _3üõýûsüöWõ&#üø ÿ õ|6ö1ö ú õ ùÿ bÿsõ ùù üçÜûö üÿmù P}ÿ ù 5üçù +.3W2 ù !w5û +.Z2 ý1ûØ! õ|4 ö;2,+ ÿ /0 2,û Z6ö ýõ }ý1dùûdüçöJõëæù ý mü}sÿköFûhÿÿ ö W|õëü û Ü|üöÿ mùýû\ÿ ûdù Øÿsùõ¶ÿ\ù çûsü}ÿ ý ù ùömù ö W WõëùýWçý ü õ mù ÜüçûsöüöWümõ õwù &ûdzû: ö&s9öû 8 | dùáüùýý }ÿæ¶0aö û 3JZý ù ý1Kýû|üçõZû hæöý û dýZü küçöõ }ûý |sWùù öù 3Wdùù ùõJûdõ üûhÿ=Wý û ûZ|þ¶ÿ ù;ýgú ùõ 7ö 6z÷HOûsû öW||÷Hùü}ùÿæõ (üÿ3W7ö ù 6 Pûs öù ö -üdÜÿsõù&ö mõ|û ù|öùû ûû ZZöJùùõZÿsÜüüçÿ\õ ûsùùû õJ|¶ûö ù0úüçõ üç7ö û6ÏLö mû 6 ù|dçùù_ü 31õ ý ý ûsûû üöWZõý ú Zõ|W ù üçõ ûsdù ù6û |úzùù õ ù Wü Zû ÜÏ=ý üç3Wû ö7ùâ8û6zûdû |ý ZWù6ù ùûsõ öWZûdû ýý Züõù ùçüõ OÜWZüÊû ûÞüÿLö 7ö ü6 õ 6m}ûý ù|ù Wù ù Zö ýÜáùüõ ù?ÿ`ý û |6 dù ö dLöù ÷6 6ö dùù ö mùÿ ¶û Zÿû |ù6ö }ýù b6&ù: û8 ûs ù?ÿkû |ö ýWÿsý ù N6ö û |ùØdý ù ¶ü öaÜ3JùüõZsý ù?ýWÿsöWæõZý1ÿ û mû|ù |æù ýöûsüö ý WUùý ýW\õ ÷ P ù Ü ö m ù Zý ç û Z ö 6 ý P õ =Ü ùù õFdü ûdö ÿ ý |müõFÿûsüõZõdùöû6söý ù?áÿ\6 ùû õJ|ûhù 6ý1ûd ý ü_õZ3JùüÊûdl6ùdö ö ù sûsü}ùý1õ¶ûdùÿ\Êüûd|Püÿ üùçõü ý û çæù Ü7ö Ü6Uý öû |mùù }ÿ Zýmüÿ\õü ü}ý ÿýõâæü ýPû |ö ùsûdÜýýõFûsûzü üÿdý ÿ Zù D6ýõ ö ú |ü 6ý mù Zýûsù Üö mù }ÿ-ù mü}ÿkû '"ùõ|ö1úÛû dõ6ûsö=ûkúzö=Lö 6Kû |ù e9U íFñ GÝð¶añ Wíó O | ÿsü2,' h/ 62ýûs-2 üöW= õ6!5#ö762 ¶2/ö 5+ Ü)ù ù2 = d *h9ü )-þ)=1üZ) }ü ÿ |P!ÿ ù W 6Zû 2 ý 2 Z¶úö ÿpûd|Zùùÿù PdÜù öWõ öJ|ÿ\#*û ÿáø 6Sûdý ÛöØÜû üö |ÿ-¶ù û ÿ |P6ùö öûsý ùù õFdûs öWü}ùõý 2Aùÿ\ù6ù ö ,ö ü Wù dù ü2õ)8û | pù 8 R : [ ü}öÿ/1õ|úzOöùiû8|3Jö ù(ù ÿ 1ýõ=ùüçÿdõFPÿûsöJù 7ö ÿss6Pùzù?û ÿkûs|ûdöüçü}õÿ ý PöP|ûdöWù-ùüõFõFöWûsû,õ=ü}ýûdûö Z|üÜùÿ/úzý Wù ùzmÿsüdÿ,ü ù û ý|,ö ù;W31õZý6ö ç_ü ü^mçù ö1üçúû Øüõ W ýõØõ û |O dü}|ùÿ ù æiù 31ý1ýWû õ Z ù ù-æP7ö ý1ù6Pûdû ü ZÜùý mö Üûd|ù öù m|û ü}ù Füÿ,}Êÿ ý û 3Wù öJý hÿsù Üö mù mLö 6Zû Zù Pö Üù ZýWüçõ O ý üçõ ûkúzö Pùý |ÿ,ûsö Üö |ù |ý û |ö Zÿdýõ ÷ ý1ûdö ZýWüçõØÿ\ùù æÿ,aö 3Wù hÿsü ü 6 üõ " |ùõ=ù |ü Pù ØúüÊû Øýõ=ý sö sü}ý1ûdù#ùõJû sö |ü 6ö ù ü Wùæû |ù #ø 6ö ù Kû |üÿ Üö mù áõ|ùi3Jù sû |ù çù?ÿsÿ üù |ÿû sù Üùõ mö Zÿ Wöö dùÿ Êûhÿ sö ý WùõZù hý 3üçùú ¶öJüçõFû |û |ü}ÿÿ |ö1úÿáû Zýû 7 ! 7 7 #&% ) ) 7 %351 9 ) ) 7 47 + -

7 5 9 7 '% 02$ %351 9 ') 7 47 , 51 9 . ! 7 ! 7 #&% '% 4 , 51 " 69

9 7 & 7 , 9

7 ) 7 7

9 : 7 7 7

" 0 47 ) 7 9 7 |r| 7 7 7 7 47 69 7

7 7 7 7 " 7 + 7 " ) 7 9 7 7 7 7 a 7 7 9 : 9 # 7 ) ) ) 0 7 7 ' 7 +) 47 " 7 , 7 9 7

) 7 47 7 ,47 51

9 7 9

) ) 3 7 47 N 47 7 7 " , ,

7

7 !#&% '% 7 6 7 7 4 - & 9 7 #

7

bkT l2 πFENE (l) = − . ln 1 − 2 bkT /H

7

+ 3 7 47 4 " 7 #&% '% 4 9 #

9 7 7 71 , " 7 9 7 47 69 " +) 9 7 51 7 7 7 , 7 7 7

7

:

9

7

7 ' ) ) 7

9

,

R: $M ý Üö mù Êûdüÿ ý çù Üö mù ü}ÿ Üö dù Pö1úzù b6 û ZýWõ²ý dù æý söFÿ ö |ü û |ù mùÿ dü |ûsüöWõLö 6Nû |ù Üü söFÿkû û dù möù?ÿ#õ|öWûzõZùù æûsö ¶ùÿ\ö |ü}ÿkûdü ý1ûsù Üûsö Jü_3Jùù ù ùõFû sù?ÿ Êûhÿ üçûöWõ ZýJÿ ûsö ý |û dù=û |ù dü Jû mÿ\ü ÿ Aÿ\ùùû |ù áø 6ö ù=üõ öJõFû hýWÿ\û ûdöÜû |ù (öö Wù?ýõ 6ö ù õÿsö ÜøùPöWù7ö ûs(6Kùû7ö ý |6 }ùÿsö Zýû Züçõ çý1ùûõ 2 JýWù Jüõ ÿ/ûdüçýöJjõæö ý10 |û õF|ûdù ù æZý1ýûdüsûý ûsKöýWû õ |&ùõ ý ¶Üaö 3Jù ù d1ûü ý|ù |#ù?ÿkø ûdüçöJõZÜÿ ö$m"ù ùdúýWüü ÿsùKÿý ý sù?Jÿsùÿ ÿP ùö ZûO |ü |ù ù ÜýWö ÿs#|ù øù |ö OÜ=|ö ÿsù mö sù ù&Üù6ü}ÿØýÿ õZõZPõ|ö ù öû ü sPöù 7ö 6 sù 7ö 6(PöJû h|ÿsýWùü}ÿsÿÿ ù û }|ýZüù6õ mü |ù ùý mû |ûæZù ýWüçûÜÿ=6ö ü}ý ÿædüÿ\ÿsû ùöLdõ 6zöWõ ý ûsö dõ Pù ù üçý ù æ3WÜù ý ëö s|ûsöWüÊö ÷÷ ý1ûsüöWõ ö76û |ù #ø Z=ý 3Jÿ\ùûdýWý õ |æÿ ý 6ö döJÿ 2 ö Z2 ü+ 2 ù ZÜ|_ü 31öö ý mùö1ùúõFû AüçõýO ÿsöZ÷ üÿ ý Wù ü ù 3Wûdù ù?ÿ ç)6üZ2õ !aü h/s 01û ;+%8 2(R ûs8ö ýû õ|+.-ù ! / ) ='5 ) z!5+8 ü =!ú |6 ü 2 o2 UúY úzööûhZÿ\ù öJdõ ù ýõ ø Jö |õ¶ÿ\öJõ : üÊû ZýJÿáüõ mùù õ ¶31ýùù|õ ù7ö s6,ö û¶ZöFùÿ\ù ù ÜöWûsõ ö Fý1dùûsüöW}õý p ù(û |ù |ùõ|ö =üõZýûsö 7ö 6bû |ù #ø k6ö ù R : [ ý Üùýj R R 8 ö müçõ Fû |ù Üü döJÿ ö |ü mù?ÿ sü mûsüöWõ67ö 6,û Zùþ |ü |ÿõ|ö1ú dùý |ÿ p * * 7

7 7 !

7

"

47

7

7 7 7 4 9

7 ) 47 7 7 #&% '% 09 7 ) 7 9 # 7 #&% % 7 5

9# P !9 9 7 : / 7 !#&% % 4 9

7

,

7

)

7

# % '%

7 ) 7 '#&% '%

6 51

4

9

,

7

9

)

7

7

7 ) 7 7

)

+ + 7 ,47 , 7 7

9 .+9 . 2 9 9 7

9 7 ) 7 !9 2 : 7

) ) 7

HX t

F FENE−P (X t ) =

4 7 ,

1−

E(kX t k2 ) bkT /H

7

9

.

,

 HE (X t ⊗ X t ) W ,   τ = n − kT  p p  1 − E (kX t k2 ) /(bkT /H) s 2H Xt kT     dX t + u · ∇X t dt = ∇uX t − ζ 1 − E (kX k2 ) /(bkT /H) dt + 2 ζ dW t . t

R R

d ÿsüõ =û |ùù sù?ÿsÿsüçöJõöL6 R : 8 zýõ R : R múáùö |ûdýüõ*p

W

7

τp

9

9

9 :

)

∂A (t, x) + u(t, x).∇A(t, x) − ∇u(t, x)A(t, x) − A(t, x)(∇u(t, x))T ∂t 4kT W A(t) 4H + . =− ζ 1 − tr(A(t))/(bkt/H) ζ

õZÿsù sûsüõ =û |ü}ÿ-üõJûdö'p

9

7

1 HZ(tr(τ p ))

τp W + kT np

ú |ù sù ü}ÿ mù õZù L[ û |ù`6ö ö1úüçõ Üù ¶ý1ûsüöWõ6ü}ÿ-ö mûhýüõ|ù 6öWõ A=

7

ζ 4H

R Rl

Z

)

9

7

5

,

)

τp

p

∂τ p T (t, x) + u(t, x).∇τ p (t, x) − ∇u(t, x)τ p (t, x) − τ p (t, x)(∇u(t, x)) ∂t ζ ∂ W +Z(tr(τ p ))τ p − (τ p + np kT ) + u.∇ ln(Z(tr(τ p ))) 4H ∂t R 9R ζ ∇u(t, x) + (∇u(t, x))T , = np kT 4H

:

* *

$M

RPR

π 0 (l)

l q

,ö ü ùdù |9ýW8 ÿ |p ù áö üçõ|¶ù ý düÿsöWõöL6#û |ù öö Jùýõ 6ö ù öJõFûsüõ Zö Zÿ çüõ|ù ýWõ ;û |ù #ø údù|ÿ ¶ü ù ;ûsü}ü ÿ3Wùù |ý Wû ü 3W&ùõ û |ù #R ø :l1 8z÷ ýõ Üö Rmù : Z Ü. ùõFO ûdüç|öJùõ|ù ;#üçø õ 8÷ L=Z ö mùú |ùýWõ õ&û ýWZõ ÿ Pùÿsùý ùdõ ù ûýW¶ÿØ#ý1ýø û ZÜýJöÜÿmö ýü mõwù ýUù ûsù ü|möWüü}õ 3gÿkûý Lö çüù6õâõFû ûû ||ù ù süÊáùûdù ø hý1Üû ý=sù ö döJmÿù ö/ü|õ ü ö 6ö mù 2ûdýö;ûsüö öW|õ ûdýü(õ û ý Zù 31çý ûsdü}ÿüýWýõFûdù ÿÜö76zö û m|ù ù #

6 4

:

7 9

7 ,47

7 !7 #&% '%

&

7

7 # % '% & ) 9 7 # 51

7

.(,/0 *

"

bkT H

4

1 +

7

#&% '%

02$ 9 7

λ7 ) ηp

9 9 7 !#&% '% 02 % '% ) 69 * 7 7 9

"w&: ùØ:õ| ö1ú á¶ö ý=3Wù ùØ ûsý üõ ,=û û||ù ù æsü ýûsmù ÿ dü}6ýö p(ö7û 6,|ûù=|ÿ\ù ûsö sZù 3FýJüÿkö ûd¶ü ÿz31ÿsýù d üûsýWüöWõJõûmúö7z6#ùö ö |ûdýüõ*çûsp ü}ÿ ý ùØÿ mÿkûdù

9 :

7 7 ) ,4" 9 7

7

47 7

6

)

 ∂u   ρ (t, x) + u(t, x) · ∇u(t, x) − η∆u(t, x) + ∇p(t, x)   ∂t     = div (τ p (t, x)) + ρf (t, x),          div (u(t, x)) = 0, W ,  τ p (t, x) = np E(X t (x) ⊗ F (X t (x))) − kT          dX t (x) + u(t, x).∇X t (x) dt s     2 kT   dW t . = ∇u(t, x)X t (x) dt − F (X t (x)) dt + 2  ζ ζ

R RLR 9

ù Z(ýû ûs|ÿü ùöWú-dõZùýWÿ 6öÿ ý sûdù|ù2üù ûdö ýJPçÿ\ü ù= ùüçûÿs6öö 3W|ûù |ùPù ý1ù|ûõ ö|ùÿ-ý JöJù õ s÷ ¶öJ}üçýõFõ û 6öL68ù û ZZù ý1ûdæüçöJý õ NûsöFÿZùö |ÿkûdü ö þZ¶ö1ýWú ÿ\ûsü O m|ü ù pù dsùö õF ûsù?ü}ýÿsÿ 51

Xt

7

7 7 ) ,

# "" 02 4" 47

9

x

51 7

6 7 47 , 8 , 9 7

R< $M hÿsùi3Wý ù W dû2ûsý ü üZÿùæõ|úzöJü}ÿ2õmù ÷ýÊm÷ üõ|Üõ|öJö1ùõmúõZ÷ |ÿ\õüü öWÜû õ¶Zùý ý1õ¶Pûÿ\õ üöWû |õZù ý P6ùö 6hö ÿ#û Zö7ý16zû zù Zù ý=Z3Jý ý1ù ¶ûdüçÿ\ýöJù=õZûÿZý üÿØ ÿsüû üçZõDý ý 3Jö Ü3WùùZýWÿÿsõ|ù ûüçõ |=ùüçõýWüõFõ û û |dùÜö ý sõ ù ÜûdsüçùöJù?dõwÿ\ü ùõFöLý û6 üSõ2ýWõ û Zù û üçZûsù ÿh6ý1ö û d&ù : çù: û Zÿ sýWüõZù þ ý ö ù?ÿkûhmÿý \ùùü}ÿ Ø&: õ|ö1R úÏ: û |ü}ÿõ|öJõm÷ |ü Üùõ¶ÿ\üöWõZý L6ö 6ö R RLR "ùüõFû dö ù6û |jù 6ö çö1úüõ Zý hý ûsù sü}ÿkûdü ZýõFûdüÊûdüçù?iÿ p û |ù Zý dý ûdù düÿ\ûsü û |ù Zý dý ûdù düÿ\ûsü çùõ û /ýWÿüçõ R :l1 Kû |ù Zý dý ûdù düÿ\ûsü 3Wù çö üÊû d ùöJ}õZý ÿs|ü ý1mûdù üçzöJõû |ûdMù ü Ü6ö ù ö1úüçõ =õZöWõm÷ mü Pý=WùÿõZüÿsõ üçöJõZ R ý p: õZ Zû |Pùù h3Fÿ ü}p ÿ öJÿsüçû 7ö 6 Pö Üù dÿ O Zùõ ¶úáù R R < düçû ùÿ ¶ ù Zÿ ûs¶ü 3Wý ù g6û ö |ù û |ù2 5ö 5! 2 =6 h ùâ0 þ |/2ü |+ ÿ |õ mÜù ùýJ ÿ öWõ¶sÿ\üõü mù ûhZý1ûdù üçöJdýõ ûsüö7ö 6Uüõ|ù sûs ü}ýaö 3WÜù ù?ýW3ÿ üÿ s üöFõ ÿk÷ û Zù dû ý|ûsù üöæ&7ö 26 3h+h üÿ2, öF%2ÿ\üç+ û Lö 0 6û |/2ù +&¶Aö ý }ÿ\Üö ù hý ÿaöù 3Wù ,-û2 |/!5ù+.ûs öW-ûdý 40 3Fü}ÿ %2 öJ+ ÿs/üçû ú |ü ¶ÿ Zü}ý ÿáû |ù hý1ûsüö2Lö 6 û Z¶ùÿ Zsý ù ý |ý1ûsüöWõûsü Üùö76-û ||ýù Wõ Pö ÜÜù ùdýWÿ ÿ 3Jù dhüçõÿ ¶=ÿý û |hý1ù ûsüöÜ¶ý7ö h6 ý çùûdõ ù dû üZÿ\ûsÿ ü Øûsü Üùö76-û ZùæþZö1ú mü =ùõZÿsüçöJõZý _ü ^üçõ ý }ÿ\öû |ù 6ö ù Nýõ ûdý üõ Sú |ü ü}ÿzû |ù ö ÜöWõ Zÿsù 31ý |ù múáùö |ûdýü*õ p * *

/" 7 7 51 , / 9 . 7 1 ) 7 7 7 , 7 &) ) 7 7 /

7 9 : ) 9 : 9 7 47 51

7

L

47

, 76

-

η = n kT λ 7 p p

λ =

9

ζ 4H 7

9 )

7

7

U

7

7 !

µ

7

4 )1

µ=1

)

47

,

7

≤ 10

7 ,47 , 9

F (LX t ) HL

F (X t ) =

,

6

9

7 & 7 '

Re 7 , ' , 6 Re 7 ! 7 7 7 ( We 7

7 1 7 47

& 7

0.1 ≤ We ≤ 10

47

1 9

 ηp ρU L   Re = , = , η η 2 λU L H   We = , µ= . L kT

7 ,

+ 9

≈ 0.1

7 7

"

 ∂u   Re + u · ∇u − (1 − )∆u + ∇p = div τ p + f ,   ∂t        div u = 0, W ,   E(X t ⊗ F (X t )) − τp =   We     1 1    dX t + u.∇X t dt = ∇uX t dt − F (X t ) dt + √ dW t . 2We We

7 ,47

R R 0 9

ÜZùýWõFõ|ûsü üõÏöWÿõZü úù w|Pù öý ssPùûdöaýWû 3WõF|ù û ù W hZõ ý ý ûsöWùü õFõ ý ûWhùýWdÿ\ü}ù ÿ-û æûsûdýö ö&|û |ùÿ\ýù ûsbù ¶æúÿ üÊZ`ÿ û ý6 8döþZÿ\ö1ùû\úûdûÿüçõ|úùæüçûýöL 6 û ZZö üý hýmõ ûhù Wý1ù=ûdõ|üçöJöö7õZ6 |ý ¶ÿ(ý õþ hZý Üü Pù ûdÜù ù hù hÿ ÿ÷ û"wZùù ü}ÿsÿsZùý õ Pùù õ Jù õ |ù dù2Pü}ù ÿ 7!5O -sû ù |=ù ùõ mù ö õ|Zöÿ |ÿhý õ ûsü ý¶ù SýW õWù |ûý dÿsùö }ýý1ûsü 3Wû ù ¶6ý ÿ æûý | ùö dù mûdûü û ý |ù m ü_|c ü çûsüÜùÿùýý õZdüçùõ ÜýJÿsùÿsö ùü}ý1ù ûsmù üçõ ú|ÿüçdû ý û |ùÜ8 ÿ\öW÷ ý çù - &2 h4h 2 /2 + 40 /2,+ +.! 2 2 ) 9 4 7 7 7 47 7 47 7 ) ) 9 7 7

&

0

* (. 0

, & " 7

7 7 , ) , 7 7 /

: 9

.

,/.

7 & 7 7 7 ) " + ) 7

7 (

+

* .

ö}ý1û ûs|üùöWõ¶6ö ÿ |Zù?ÿO ÿkûdÿ\|üçö öJü}ÿ õ 6Sý Zü}ýJÿ¶ÿû ýW|ûdÿ öù ¶mPùü}ùù ÿ õ¶sû ùù |ûsüù 6^ö ý1ÜûdÜüçö öJùmõ ù öL3Wüç6õ ù û |mù ü_c Üý döù6mçûsù ü}ùÿ éÿáý6ÿ\öüõ õ ë 3ùwûüÿZý ùöü Üæù }öýWõ mÿ\ûsù =ü ù ü}þ sÿâüZûü ý |Zÿ ÿ\ü ü ý õmm÷÷ *+ 7 51 9

7

+)

7

7

7

7 7 )

, 9 7 1 ,

1

R0 $M 31ý ü Zý1ûsù Üÿsö Üù ö Zý sü}ÿ\öJõZÿ Pù ûkúzùùõù ¶ù sü ÜùõFûdÿáýõ Üõ Üù sü ý ¶ÿsü ýûsüöWõZÿ öWõ&ÿsO ü |ù ùdö ùÿsù õFö ûÿ\ù çù ûdüçöJþZõ ö1úÿ ÿ æý d_ü ^ùÿØû Zùüÿdÿ ZùÿýWõ ûdù |õZü |ù?ÿ züçõéý }ýõ Zý Jù ý ù?ÿsÿsü çùÜûsö ö dùdùù ý ù mÜù hùÿ;õF6Sûhý ý Üü çü}ý sù?ÿ\úùõFüçû ûdý1ûdÿ üç öJüõâùõFúûdü ü ¶ù ö Jü_3Jùmõ6ûdüçõüçõ 2 ýù õ 6ûsüõöWõ Ü< ù dü ý UýWõZý mÿ\ü}ÿ ! _! & # B íFñ % A B í U ðUò,ó 5 öFÿkû8öL6Pû |ùõ Üù dü ý Üùû |ö |ÿáý dù ZýWÿsù PöWõæý õZüÊûdùù ù ÜùõFû mü}ÿ dù ûsü ^ýûsüöWõÜüõ ûÿý ZZ ù`ý m3Jùáù ù gýö õ 3W ù üçûçö üüçÿû ù /dÿ ÿ\û|ùÿ\öÜ_3Jù?ùÿbüõ26ö ûdüÜý ù J_üZ3Jÿsùüçõ&õ ÿkû ý(sù?ÿsùÿsÿÜmýüç÷Hõù û çüZ ùüçû/õ6ÿ û ||ùù Üÿ\û Lù dùpKÿdýÿ-û,üù?ÿ ý 2|ûdýü Üûsù ù?ÿkK6ûdùö dû Zù ù ûdW _ü mõÏ^?ù ý1ûûd|üçõ|öJù üçõ;ûsüöWÿkýWõûdÿsù ùæö7687ö ü6 ûÿ|Üõ|ùæù ü ÿkdûùsöÿdù?÷ÿdÜÿsý ÿ(ý âûsùdûdõZöö6ÿ\ö Üý ö mdù ö mÿØüO æÿ |ý1ù ûdësùù=ýJû ý Zÿ dùØù & : ù ZýJPRÿ\ùü ý ýûdýõ ûs6üöWûkõ;úáR ö ö R (0=û ù/ý|û ùÜ|õ|ö üçõFöW|ûûdÿ|ù ùöLh6 ý mm,ü}ü}üÿkÿkõ ÷÷ ýdõ ù ûdO _ü ^?mö ý1ùûdûs|üçù üöJÿ õ Üdüù mõ|ûdùüü_ÿ\^¶ûsù ùü õû |mÜùüõ ù ù û |PöJö õù| ÿ ûûdZý16ö ûdù üçöJ6öEõâ: üõ R RýûsR üöW0 õ ZýZÿsù5 oöWpõFÿ\ûsûsù ö zZý ýJÿkûdö ü ÜÜù û ù|û |ö 6ö |üÿÿ6ù ö çR ö JR ù 0 o p ü}ý1ÿ ûdö |ù üý ùÿ ÿdÿdù æûd_ü ^ý ù 4ý sdöF ùÿ æÿsö ü ý|õ ü }ý1PsûdùöWù üõFçüû ýJsÿü 3W:S ùö 2õ Üýdùâý ûüçüõù^ýmý1ùûd;PüçöJùõ|õZõ öÿ/| mùùÜõFû 7ö 68û s|ö1ùúõZ=üýWù?õÿ ÜöW7ööõ 6ûdüçùûöJ|õZû ùÿ |ù ÿkûdö dö¶ýWÿ\ù ûsü ýõ û |ù2ÿkû sù?ÿsÿzûdùõZÿsö -ü}ÿö |ûdýüõ|ù âýJÿýõ6ù |ü sü ý =ù?ýõ6aö 3Wù áû |ùÿsù dö ùÿdÿsùÿ p * *

)

7 ) $ 47

) 9 7

7

,

47 51 9 ) 9

7 7 !% 47 7

9 7 , / 7 7 6 7 , 7 7 47 , x , Xt 7 )

τK p

= We

)

,

7

3 47 7

47

6

47

9 : 9 4 7 ! 7 7 9 7 ) , 7 τ p 47 7 9 4 9 : 49 9 4 7 - 47 7 7

7 ) 7 47 , (X k,K )1≤k≤K )1 +. t (W kt )k≥1 , 7

K 1 X k,K W X t ⊗ F (X k,K )− t K

!

.

ý= õ0õ 26æ4'û |ý !5ü}ÿ 54öW öWõF õFûdûsù ù z2 ! û ý 4 áû! çö| ü}ûdÿ ù 4m|ü} õZÿ 2 ü d)ù |ûs2ù 2ü ^üýÿ 2ûsü4öWý Eõ hù Ü57ù 6 û Zö ø( !ø )%-4ö =h9 ç2,)üõ2DW O ý&06ö 2 õ|5üç ûs5ù!52 ) ù 0 çù 2 5Ü2% )/ù-!5õFû ,Ü042ù = û |S!ÿsö ù4ù 8 ü5mõü}ÿ ý sÿsùýWü ûsÿsü öæ^ýýûsù õ üöWJõùö ü}=ÿûùZû ý1(ûû \pýûdüçõ û(ùJû û ù |Zù ÿz 1 ý|< üsÿù? ýdù W ûdõ ù Ü2 ùiù ù3WõFùûdûsüçöJüpýöWõ õ ûsü 5! 4 ý #ý mù?ÿ sù?ÿ Pù ûsü 3Wù O |ù þZö1úüÿýJÿsÿ Üù âüçõD31ý dü}ýõFûzüõ6û |ù |ü dù ûsüöWõ ¶ù Pùõ |ü ý -ûsö O : |múù P|ö ü 6=úzù ùsü dù þ |söü çù üõ |ù dü`ùõ&6û ö Zù ÿöJ¶Dõ ý 3W ùù õZüçPùù õ ûk úzùùüçùõ6õ&û û ||ùù ü õ|ýWöWõ|õ ùmÿü Üö PùõZù mÿ\üÿöWõ¶ù ý Zý6ö ûsüöWjõZpÿ mü 3 < mü 3 |ö W áû öü}ÿ|ùõZû\ýûdû ù þ¶hý ö1Uú ûsmúöáýJù ÿsÿ Z=ý Ü3Jù ùû ¶ý1ûû |ù2þZö1ú²ü}ÿ2 75+ Pû Zýû(ü}ÿ ¶û |ù 3Wù ö üçû âú düçûsùÿ dmùùõ|ÿdöÿ\ûdü ùL|pü çü û öWõZÿ\û hýú üõF|û ù d ù Z ü}ü ÿû Ü|ùù m|ü}ý1õZûdüÊùûhý gü 3Jù çûdüùö ÿ2û ý ZçöJýõû Üû |ù ÷ný müÿ O |ù2"wüõù õ|ö ö1Øú ÷ < üÊû ýWõ ¶ùùýJÿ\ü éÿ |ö1úõ û ¶ý1ûý õZýû hý W õ û |ùwø(ùú-ûdöWõ|ü}ýõ ýWÿsù*

! , # : 9 7 , ) " 7 # : 9 7 ) *

7

7

7 /

, +) 9 47 7 ) 1 ) 7 7 7 7 9 7 ' y=0 7 7 7 7 7 7 ,476 V' (t) ) 1

V

7 7 7 "

) ) x

9:

7

+ 9 47 7 y 7

V (t) = V.

7 !

7 ! , , 7 4 7 7

  

Re

7

y=L

9 , -

7 ) '

u = u) x(t, x, y) ex,

7 7

9

f7 = 0 7

7 ! e 9 x

9

(x, y)

τp

9

51

7

9:

= f,

u = 0.

u = ux (t, y) ex .

u = u(t, y) ex .

τp = 0

7

7 7 7 - 9 7

x 7

7

1

)

7 ) 7

∂u + (u · ∇) u − (1 − )∆u + ∇p − ∂t

# +

+

)

9

7

7

ýWÿdÿ mûsüöWõ6öWõâû |ù sù?ÿsÿ dù ùý |ÿzûsö

7

D

<

+

 ∂ 2u ∂u    (t, y) = (1 − ) (t, y), Re   ∂t ∂y 2 u(0, y) = 0,   u(t, 0) = V,    u(t, L) = 0.

< : ùû Zÿbõ|ö1ú öJõZÿsü mù Uû |ù ýWÿsù8ö76Zý(õ|öWõm÷nøùú-ûsöJõ|üýWõþ |ü Üö mù çù |ûKû Zù öö WùýWõ Pù Üö mù "ùzúü Jû dùý1ûbû |ü}ÿ =ö mù FýJÿbý çûsü}ÿ ý ù Üö mù 1ùi3Jùõ2ü_6|úzdù ö õ|ö1÷ ú 6 dö 2 ù ûsüöWõ R :&û Zýû=üçûÜüÿ=ù |ü 31ý ùõFû=ûsöû |ù dù Üý döJÿ ö |ü Üö Êmûdù üÿ ý çù Üö mù }Pÿ ,ýöJÿsWùõ wüÿû |üçõ ù |ùöù Þö Jûdöëùýõü ¶ÿkû dýûsPù6ù û |ù;Üõö m=ù áù üsÿØü ýý õ|ýü ùsÿsöFù ûsý ûsüõ j6ö 6ö ÿ û |ù ùmü_c PöJÿsüÊçûdûsüçüöJùõ ÿöL|6Kö û á|ùöû ö|ùö J=ùöýWmõ ù ÿ Jû |ùPùÿ\üçû ZÜýûsö ümöWùõæUü}ý ÿ sÜù ö ddùùÿsüùõFõFû ûdü ý1ûsù mû - 2 2/= h9¶ý ¶û |ù ü6õö W û õ Z múù6 zþZù ö1ú(Jsùù õ|6ö ýù #dý ûp ç|ü ûù (ö?û Zö ù WZù?ýö õ Wù \÷ }ýPõ ù `Ü3Wùö dmÿsù üçöJõ2dù7ö ý 6ZZû ÿ |Sù ý JýüçõÜûsü}üçÿ õý ý2ù-õ|ÿöWmõmÿ\÷ ûsmù ü Üù|õZùÿsÿ üçöJdõZü mý ÷ |_ü 3 mü 3 9

7

, !) 7 " ) ) 1 9 7 ' 3 0 3" 9 9 7 51 7 + * , - /. 09 + *

7 1 , 47 47 7 " ) ) 3 , 7 69 # 7 7 ) 7 7 ! " ) ) 9 7 # "" /2 4" 7 ) 7 7 " ) )

 ∂u   + (u · ∇) u − (1 − )∆u + ∇p − τ p = 0, Re   ∂t      u = 0,      Z  W τ p (t, x, y) = , (r ⊗ r) ψ(t, x, y, r) dr −  We     ∂ψ    (t, x, y, r) + u(t, x, y) · ∇x,y ψ(t, x, y, r)   ∂t   3  1 1   =− r r ψ(t, x, y, r) + ∆r ψ(t, x, y, r). ∇x,y u(t, x, y) r − 2We 2We < 9R

mü ÿ üçù 6úüÊû

7

< <

úüçõ &ûsö&û Zùÿ Pù ü áö |ùû\ûdùÿ\ùû\ûsüõ ,ýWõ û |ùýJÿsÿ mûdüçöJõZÿû ¶ý1ûö sÿsü ü WüõZý1ùûdù 6 dö ²üÊû$Sõ|öûhý < . ?û Zù#ý Pöa3Wù Jùõ|ù dý Wÿ mÿ\ûsù ²ÿsü ü ùÿKüçõFûsöû |ù öWõZLù p *

7 )

9

  u(0, x, y) = 0, u(t, x, y = 0) = V ex , ∀t > 0,  u(t, x, y = L) = ~0, ∀t > 0. 7

)

7

9

7

7 47

 ∂u ∂ 2u ∂τ   Re (t, y) = (1 − ) 2 (t, y) + (t, y),   ∂t ∂y ∂y  Z     P Q ψ(t, y, P, Q) dP dQ,  τ (t, y) = We R2 ∂u ∂ψ ∂ 1   (t, y, P, Q) = − (t, y)Q − P ψ(t, y, P, Q)   ∂t ∂P ∂y  2We 2    1 ∂2 1 ∂ ∂   Q ψ(t, y, P, Q) + + ψ(t, y, P, Q), + ∂Q 2We 2We ∂P 2 ∂Q2 < 90

D 2 √ ) 7 7 , 7 % X B(0, b) t 51 9 7 9 b 7 + 7 ! 9 X n % 47 47 9 9 7 3 9 * + 47 7 9 7 ') |X n+1 |2 > b ) !9 +9 : : 69

, : : /9 7

! ) 7 7 7 Xn √ 9 ' 7 47 7 % 9 7 B(0, b) 7

7

u.∇X t dt  r n  1 X ∆t n  n+1 n n n  X = X + ∇u X ∆t − ∆t + G ,  n 2   We  2We 1 − kX k /b  ∆t 1 X n+1 = X n 1+ n+1 2 4We  1 − kX k /b  r    1 Xn ∆t n 1  n n+1 n n+1  ∇u X + ∇u X − ∆t + + G ,  2 2We 1 − kX n k2 /b We < 9 :l1

ú |ù "sù ùØõ|ù ý û s ùöWü õ¶ü ÿ\ü mù (N ûý |Zù ÿdÿ\ü}ý|õ ùÿ\31ûsýüöWdõüý öL6ù3gÿzý úsü}üÊýû õ

ù öad31ù ý düýWõ ûs üöWù õ æý1û d ü öJõJW û sö 13 ý dü}ý1ûs ù (ÿ ÜùõFûsüöWõZù 6ý Paö 3Wù Fû |ùü |ùýÜü}ÿzûsö ö mûsùû |ù2ÿkû sù?ÿsÿzûdùõZÿsö ýJÿ

7

Gn )

τp =

We

09 09 69 , 7 51 7

)

7 +

! ) 7

9

9

Xt ⊗ Xt ˜t⊗F ˜ (X ˜ t) + E X ˜t⊗F ˜ (X ˜ t) , E − X 1 − kX t k2 /b

D 0 úû |ù|sü ùý üÿ6ý ÿ |üçûdÿ ý çù û Z|ý1öJûÿsùû õÛ|ù ÿ\ûs31ö ý dZüýWýJõÿkûd ü ù=ö76zsöû ZùùÜÿdûsÿ ù(ýWõ üõwû |ýWù õÛ dý ÿ\|ûù ù Z¶ý1ù ûdù ûhý16öûsüöWõ ù üÿýJÿÿ æý 8ýJÿ ¶öFÿsÿsü çù Kýõ ;û Zù ö |ûdý1ûdüçöJõöL6 û ZùÜÿsù öWõ ;ù Pù ûhý1ûdüçöJõ ü}ÿùýJÿ |ö û |eù 31ý düýWõ ùØ7ö 6áû |ù hÿkû ûsù õZùûsùö ZPÿù(ûsÿö ÜPý ù)/!50 2 õ|2/6ùù ûs|ö ÿûdö ¶ù(W ýJõ ÿ Zý öJ\ÿsûdùü ýWÿ ý PöJZöÿdWÿ\õ|ü ù ù-dù ûsö |ü sù?ÿzûüõZýÿkû ûdö ¶ýWÿ\ûsü #ûdù ýæõ ÿ û Zù O |dùö1õÞúõ|ûkúzü}ýöõ û=öW¶ûsù?üÿÜöWõ 7ö 6 d_üöW3õFüõû dö ;31ý dü}ÿzüýûûs|ù&ù2ý ÿddý ù ÜùýJýWÿsÿzÿsü û |ý ùöWõ|Zù ÿsù dü 3FSÿsüùõ ù zöJlõ 3üõ ýõ ûÿd5 Zý Üù 8ù üd2 ö ýJY ÿsù?0ÿsÿsö ÿ ýJ\ýÿ 0 ûz ù |(Aýü ÿzõ ü Üüçõâsûü û ZZù ÿ sW ù û 3F üööJ¶õZ8ÿáÿsüúÿsÿ\ûdù üçÿá û |ûsüçüõö öWmõ ûzö 6ûö |ù(ömûsûsù üöõ Jùýõ ýWÿáû Zù¶ù ÿsW ö6}ÿ mûsüöWõûsýöØõ û ¶|üùùÿ õ|mü}öWÿkû û s|ü ù Pmùûdùõ 66ý öWõ6 ö ûdü Ümüù2õ 2ýõ ûdö=ûû |ù¶ÿ üõl31ý sü}ýõFû ýgú öL6Kû |ù 2 Y mû |ùõ6û |ù }ýgú ö76 möùÿ

E 7

:

7 ˜ X , t ˜ F =F

) 47

47 7

47

7

˜t⊗F ˜ (X ˜ t) −X ˜t⊗F ˜ (X ˜ t) E X

X t ⊗X t 1−kX t k2 /b

7

)

˜ F

7

7

9 # 7

51

7

)

0 ˜ ) ) 47 , Xt Xt ) + 9 1 5 7 ˜t ˜ 0 X X X =X 7 ! . t 7 7 ˜ 09 X 7 + t X9 t. 92 , 7 " ) ) ˜ ) : 9 Xt 7 + 51 ) 9 ˜ 7 7 Xt +%

7 7 7 9 ˜ ˜0 F = F X ∇uX t7dt X 0 = X ) t4 7 7 % 7 ˜t X 71

E

˜t⊗X ˜t X ˜ 1 − kX t k2 /b

!

˜0⊗X ˜0 X ˜ 1 − kX 0 k2 /b

=E

!

úÿ |ÿ\üûsù dýù õ æPýùüõZÿýõZýöJFÿsù ûsü ûsöæý ù | ü ö ü dü |ûsù O |ü}ÿ Üùû |ö ëû |ü ý Ïúáö mÿØú |ùõ û |ù " |ùõû ZùÏÿ mÿkûdù JöFù?ÿö mûö76ù |ü ü sü ýõ|öWû |ù âü mùýÞü}ÿûdö ¶ÿ\ùëý )62 ! 8 h901+.2 +.! ! ûsö6ö mûhýüõý Üö mù ú |ü ü}ÿ öJÿsùûdöû |ù #ø Üö mù mû ú |ü ZýJÿ(ý æý döJÿ ö Zü ù Z_ü 31ý ùõFû ÿsöû Zý1û û |ù=ÿ\ù öJõ &ûsù 5 ýWöJõ õJ¶ûdù ù z ö ý çö mÜûsùùû |ö 4 mü}ÿ|ö d#ù ûsù ü |^ýüõ ý ù JöWY õ|ù ýú õÜ|üûhý Wù-ü}ÿ û |3Jùù (öFö |Wù?ù?ý ýõ ö Zý ¶dùù âûsÜöö û m|ù ù ,ýõ ö mûsù 2ÿsö 3Füõ (û |ù Y 6ö ,û |ù dö m÷ ýõ =ö mù õZù ýõý ÿsö |ööJÿsùû Zù #ø 8÷ Üö mù

ö mûsù ÿsö 3üçõ Øû ZùýJÿsÿsö ü}ý1ûdù Y 7Z öJÿ dù dù }ý1÷ ûsüõJüöWûdõ¶ù ÿUý ddù ùûdýû ûsüZöWÿKõ ü Pmö ûsýûdý}ÿsõFöæûUûsõ|ö öWûKöW|õ ü ;(ûsùöc ö müùûdõFýWûMüçõ 3gæý sý ü}ýsõ öF ÿ ù ö dù|ü =ûsöüöWmõ ù =ÿUúùû üÊû|ö |Üÿ ü s|öFö ÿ ö |öü ÷ ÿ sù dù }ý1ûdüçöJõZÿ 6ö /û |ù #ø =ö mù Júáù dù 6ù /ûsö PY ü æýõ :l1 L:

7 ,47 ) 7 7

, 69 7 7 , " 7 7 51 ) 9 51 ) 7 , ) 7 ,47 7 #&% '%$ 0 )

+ +

7 ,47

7

) +

˜ (X ˜ t) = X ˜t F

.

9+*

5

!

7

&

7

) 2 7 9 #

47

˜t⊗F ˜ (X ˜ t ) ) E X

7

%

7 ,47 "

˜t⊗X ˜ t ) E X

7

7 #&% '% 02

7

˜t⊗F ˜ (X ˜ t) E X

47 "

7

7 ) )

2 +%

7

˜ (X ˜ t) = F

2

%

9

*+, -

˜ t ⊗X ˜t X ˜ t k2 /b 1−EkX

9 +

) ,& 7! , 6 ) ) ! 7 9# 7 '& # % '% 9 6+9 2 9 09

* * 0

,

ýÿ õÏ|õ ù&û ý Zû ü|ÿ2þZùÜö1ÿsúùÿ\û dûsùüöWÿd"ÿ(õ ,úüù õzdýù ù Wáý ü ö3W/|ùÜûù¶û û\Zûsý1ùØùûþZû5 Zö1ý1úüÿ û 6=ý ö ö m û ù|ö #ùmùü}(öÿÿ ù 6öö W|ù?ü û31ý|ý õ ùùõF öûûsöPmû ùûd|ýù ûsü=öWõÏö mö7dù ö6-û S|ÿ\÷ûdù ý s3Wû\Üù ÷ çöö müÊù ûöL6 "wùû Zÿ Zý=3Jù û dùù`6ö }ý1ûdüçöJõZÿzö76,û |ù sö çù jp ýûsüöW*õ p O Zù Üý dö÷ æý dö 6ö < : Z W

7 7 7 7

9

6

7

7 7 7

7 /

  

7

) 7

7 7 7 " ) ) / 51 7 *+, - /.$ 9 )

Re ∂τ ∂t

∂u ∂2u ∂τ (t, y) − (1 − ) 2 (t, y) = (t, y), ∂t ∂y ∂y 1 ∂u + We τ = We ∂y .

9

D }ý1ûdüçöJõúüçû &û Zù 2 Y #ÿ p O Zù =ü dö÷ æý sö 6ö 7 , /

O

7 7

0

%

 ∂2u ∂τ ∂u   (t, y) − (1 − ) 2 (t, y) = (t, y), Re   ∂t ∂y ∂y      τ (t, y) = E(Xt (y)Yt ), We ∂u 1 1  dXt (y) = (t, y)Yt dt − Xt (y) dt + √ dVt ,    ∂y 2We We    1 1   dYt = − dWt . Yt dt + √ 2We We

< : [ 9

Zù =ü dö÷ æý sö 6ö }ý1ûdüçöJõúüçû &û Zù Zö Wù \÷ }ýõ æù Zý1ûdüçöJõ*p 7 , /

7 7 # "" /2 4"

51

 ∂u ∂2u ∂τ   Re (t, y) − (1 − ) 2 (t, y) = (t, y),   ∂t ∂y ∂y  Z  XY p(t, y, X, Y )dXdY , τ (t, y) =  We    1 ∂u 1 ∂p   p + = −div (X,Y ) ( Y, 0) − (X, Y ) ∆(X,Y ) p. ∂t ∂y 2We 2We < 9R

8 ûsüöWõ6"ö7ùØ6 õ| < ö1ú²: Z üç õZÿsù sûû Zù 5 ýû }ý ÿ\ö ù e6ö û Zù mü}ÿ sùûsü ^ý1÷

9

7

)

4

7

9

clear all; % Physical parameters Re=0.1;Eps=0.9;We=0.5; v=1.; T=1.; % Maximal time % Discretization % Space I=100; dx=1/I;mesh=[0:dx:1]; % Time N=100; dt=T/N; % Matrices D1=diag(ones(1,I−1),−1);D1=D1(2:I,:);D1=[D1,zeros(I−1,1)]; D2=diag(ones(1,I−1));D2=[zeros(I−1,1),D2,zeros(I−1,1)]; D3=diag(ones(1,I−1),+1);D3=D3(1:(I−1),:);D3=[zeros(I−1,1),D3]; % Mass matrix M=(1/6)*D1+(2/3)*D2+(1/6)*D3; M=M.*dx;M=sparse(M); MM=M(:,2:I); % Stiffness matrix A=(−1)*D1+2*D2+(−1)*D3; A=A./dx;A=sparse(A); AA=A(:,2:I); BB=Re*MM./dt+(1−Eps)*AA;

D

0P:

% Vectors u=zeros(I+1,1); % Initial velocity tau=zeros(I,1); % Initial stress: \E(PQ)=0 at t=0 gradtau=zeros(I−1,1); CLL=zeros(I+1,1); % Time iterations for t=dt:dt:T, uold=u; gradtau=tau(2:I)−tau(1:(I−1)); if ((t/T)0

7

7

)1

9

A

u∈

9

C i,j,k,l (τ p )ζi ζk ηj ηl ≥ κ|ζ|2 |η|2

4 \

k

'&

0

C ([0, T ], H

9

τ p ) 4 7 :

T0 > 0

4−k

&

(D), τ p ∈

3 \

7

C k ([0, T 0 ], H 3−k (D).

| Ü ù á ú ö m ( ÿ 76 N |ü çö æýõ ö 2 ý mû < : < R #ý sù=ý }ÿ\öûsö ¶ù ÜùõFûsüöWõZù

öFmÿ\ü}üçÿkû ûdùõ öL6bù û |dùù2ÿ ÿ\ö çûd_3Jÿ ù6õFö û çù?ÿsÿ dù W õýýÜ ÿsÿsù ö düçù?mÿ-ûsüö7öW6õZÿúáöý dmù2ÿ ö mûdýWüç|õ|ù ù sõ¶ýû õ |mù dù ù^ ÷ 6zö ýhõZý öWõm÷ ^ùN sö|ü 3ü}ùÿkõ ÷

%

O

7

k=0

"

7

+9 9 +9 9

η>0

k=0

) " 1% 9#

7

) 9 # 9

1 , ;

dýùõ 6ù "dùõù ý ùÿáÿsöû |sûs=ù ù dùJùõFý=üõûsÿkü öWû õ0ûæ|ûù|úzù ö çö Ïý ö7p6 úáù ç÷ ¶ öFüõ ÿ\ù mõ|ùÿd ÿzü üçõ ýW2 õ ö ¶ö çù " 3ÿ ¶ý Z ù?ýÿ õ Sÿsù Zù 0 (RPR ú KZýù õ dù |ö õ|ü ý ç|÷HüùõmõZ÷Hùûsÿdü Üÿ sùù?ù ÿ müçÿ\ûdûsÿ;ù6õ ö ùÿ ýWæõ ý ||õ|ýü ûdýÜ|ùý õ|dù?ù ÿsÿ dsöaù?3Wÿ ùõ çûdÿ(6ö ýõ dö ö ¶ýmç÷ ÷Hüü õmJ÷Hù ûsüÜ=ö ùmù ù }ÿ ü}ÿ\ûsùõ ù2ýõ O |ùÜöWõ çö Zý ç÷Hüõm÷Hûsü ÜùØü ù ZLü}Z ÿ\ûsùú õ Z ù ù dsùâù?ÿ ýõ çûúáùÜsý ö dùÜ÷ýgçúzü Wý ù sùØ=7ö ö 6ámü}ù ÿ-û üZÿÜù=ÿ\û úzö müù 7ö 6 mû÷ üçöJõZÿØýWõ ø 5 ýWÿ Üö | úüçû P6ù û |ù öWDõ 3Wö ù döûdûdù ýûsüöWmõZù dý _ü 31ýöWûsüõD3W3Wù ù ûdü_3Jù mù sü 31ý1ûdü_3Jù öJõâû |ùÿkû sù?ÿsÿzûdùõZÿsö hý1û |ù zû ¶ýõ6û |ù ûûsZö ù zZù¶ÿsýù ü õ mPWù?ù2öÿ |ûöLü 6 | æù s"wýùû ù|ù mù dü}Üÿkù ûh6ýÿù ûs(æü ûdý ýö Kõ 5 õZýÿ\û û dù|ùõZüçù?ö7ý ÿ6/öWû õ6|ù2û Zù ù2Zÿkýûhûsý ü|öWü õZç ü ÿ û úzû ùLö dõZ6ýWÿõZ3ÿ\ü}ýÿüçõ ûsüöFöWù õjO ýJ6 ÿkdûdö ü |ü þZZö1ü ý Zúhÿ ÿý |ýP 9ö 8 õ :ü ýõ dù 6ù sùõ ù?ÿ#û |ù dùüõ / " " # B íFñ % A B í U ðUò,ó 5 öFÿkû7ö 6áû |ùæõ Üù sü ý =ùû |ö |ÿù çö Jù üçõ hý ûsü ù=ûsöÿsü ýûsùæÿ ýýdõ ù ZO ýJÿ\ù |ü çPü ZöWõ;ÿ ý 8 : õ|oüç6ûsö ùØù ÿ Pù Üù ùû õFhýû mÜüÿ ù û dZù öûd_ü Z^?ÿ%ý1zûdüçýöJõ õüçõ;ý ÿ Zõ|ý üçûs ù ùmAüÿ\Pùùù s|ùõö1úz ù iù 3Jmù ü}ÿ sùûsÜü ^öý1úzûdmùüçùöJõZõ ÿÿ ü5 õö ûdsü Üù ù d ù ¶ÿ üZÿsù ý Fý1û8ùçý ù #=ÿ ûsZü =ù Üù?ÿkùûdÿ/ù úJûüçZû ùÜù ý mZùýûsöüöWõ ç6ùö ö müûhÿ ý1 ûddüçöJÿ\ûáõÿsö7ö 6 3Wù Wü ýW3Wõ ùõ=û |ù dùõFûáü}ÿÿ\û ÿsdö ùÿd3Wÿ/ù ûdùmýõZÿsõ ö âû Zù2ÿkO û |sù?ü}ÿáÿsÿzý ü}ÿö1úÿ/|ûdý1ö ûdù |ý1ûdù(û |ù 3Jù ö üçû øù û Jû |ùù Zý1ûdüçöJõ 6ö &dù ûdû"ü_|^?ùý1ù ûdZ|üçöJ=ýüÿõÜ3Wùdÿ ù Zý ûdý _üd ^?ùùý1ý ÿûsü6öWö õ =p ùõFüýWûsõ üýöWõ| 6ù öö ØüõZý2 7ûsùü |ü ûsü /çüü öWûû õ|ùR ûöJR hõ ý mõZüçûÿûs|¶üöWùö õ\Üû/üÿýWûdùüçõ|õ=æùû ù ÿ8msùõ|ùùù ù mP=_üù c ûsûköúzù¶ùçù ûsõ;ü ùöû ÿ |hdù ýù ü}mÿ\û ü}ù ÿk÷ ûsmÿ ü ü}öWÿö õ Zsü ùûs ü Üù^ûù ö Zmÿ(ù S}üçõ|ÿ æüö1-ú ø(û |öùûssü ü mù ùÜþ üÿ û Zd|ù ý1ùûdû _üÿ bý^?ý1JdûdüÿPüçöJöù õâZ|ÿsLö ö1ù 6,ú²43Wû |ù ûsùö õZmüõ öWùõý 2 bùüçõZúùûdüçüçýû öJ-õ ûdû ù R|ùæR ÿsù ÿ pû|dùü c|ùÜ|ü ûsÊù2ûddüçÿ ù?ù¶ÿù ù 6 mö ü}ü_ý c Kæýýû\çûdûsùsüõmùöWÿ÷÷ Ü5 ùöFõFÿkûsûüöW7ö õZ6bù û 6|ù ý PÜaö ù3Wû ù|ö ý |dùÿ ý|ùÿsÿ ö dü sPù?ù ÿ\ùõF¶;û ù 6çö1ö ú²-û ý|dù ù|û üÿ Zdÿù ýûd_ü}^?ÿsöý1ûsZüöWÿsõ6ù 6 7ö 6o6Üö -ü ûs|öW÷ù æmý ü}ÿ ssö ùûsÜü ^ö ý1|ûdùüçöJ}ÿ õ ö76 Üáü öWsõ öW÷ ù ædõ|ý üõ sö Üm_ü cö |ù }ÿçû Sü (üçû6ý û ¶ý 0ý Pùý dÿû Zýûâýõ /8 h90 )/!5765 !5Þüÿ d3Wù ù çö |ü süÊû ù &ý6õ ö ûû ||ù&ùÜÿkû û ssù?ùÿsù ÿ(mûsùüÿõZÿsdö ù ûd_ü ^?5 ý1ûdö üçöJsõ0ù ÿ Zsù ý ü}ùÿ\ÿù 6ö ¶üõsù?ý ÿ Pmù üç ûsûsüöWü 3Wõù ûdëöû û ||ù ù ¶dÿ ùZÿdý ÿ bdüõKù 6#û÷nÿ |ù

ý öJ õ ö müçûsZüöWýõ ûsü |sù ü çü ûZü d¶ù ùûk6úáö ù,ùû õØ|ùû ||ù üÿ mü}dÿ ù ûdd_ü ù ^?ûsý1ü ûs^üýöWûsõØüöWÿ õ=Zýÿ Z ù?ý ÿ ù 6ö 6,ö ,û |û ùZ;ù 3Jù3Jù ö ö üÊ û üç2û 2ýWõýõû |û ùZýû dù6ö ÿdÿ,û d|ù ù ÿ\û dù:ÿd 2ÿUûd8úùõZÿs|ö ùõ ü}ÿ süÿù ZçöFü dÿ\ùùá2ûsö ûsöö mûhO ý|üõ=ù?ÿ\ÿ\ù ûdý ö çù-Zÿ ý1|ûdü ù |Üü üÊùû ÿ,ú |öWõùõ |üÊûdüçöJüÿõZÿ ÿ ÜZý =ý 3W|ù ýJ¶ÿ ù ùö õÜýZõZý ý sù D^ù ûsö ÿ ÿ\ûsù jp zöWDõ 3üçõ 5 8ü ýWÿdÿ\ö2ýWõ 2 ûsù sõ Pù üçõ Z 1 PöWõ=û Zùû sùù ÷ ù 2 ûsö Wùÿ & 0 < 5 ýõ Üùû |ö |ÿ ¶=ý 3Wù ¶ùùõ dö PöJÿsù âüçõ6û Zù üçûsù hý1û dù ûdöÜû dùýûzû |ù dö ù jp

:

9 9*+ 7

,51 7 ) 9

9 7 7 ' . 7 7 47 7 ) 9 7

7

/

)

9

7

" # 9 6'+9

2&9 9 7 7

,51 '

)

6 +*+, - 0 " 9

7 " 2 9 7 *+ - / " 6 ) 7 7 7 7 9

7 ) 7 , 7 51 ) , 9 4 ::: 0 9 * 9 2 7 : 69

7 , 7 - , 47 !) 7 !9 * 92 7 7 8 : !% 47 7

9 (u, p) τp 47 6 7 51 7 (u, p) 9 7 ! 7 9

7 51 τ p

7 9 τp 7 9 9 7 7 ' ) 7 ) ) 7

7 ) u τp 7 7 ' 51 9 + $) ) !7 7 7 9 , 7 ) 9 9 7 7 ) 7 ! & 0 9 7 7 ' ) ) 7 7 ! & 0 9 7 + 51 7 7 7 7

7 9 7 5 7 ' 7 7 ) ) 7 7 7 7 5 ) ) 47 7 η 7 ) &7 ) : 9 7 ηp ) 9 +91. 92

9 ) 7 7 , " : :

7

7

  −η∆u + ∇p − div τ p = f , div u = 0,  τ p − ηp γ˙ = g.

)

7

9

7 )

1 , ;

d ÿ\ù mü}ÿ sùûsü ^ý1ûdüçöJõÿ ¶ý ù?ÿû ¶ý1ûzÿdý1ûdüÿ 6 ÜýõüõK6÷nÿ öWõ müÊûdüçöJõ O |ùÿsù ý sù Zÿ m÷ ý Zù û m [ü_c < çûûdöü çù ÜùõFû Sÿsùù6ö ù |ý ù 5 5 ý ¶ý býWõ 5 dö÷ W õFû sö ù;ýõ ý müçûsüöWõZý |õ õ|ö1úõ ûdö =ý 3WöJü û Züÿ ö ¶ý1ûsü |ü çü û öWõ |üÊûdüçöJõ Aÿ\ùùû |ù 2,2 Üù û |ö âüõ N õ|ù ûsûsù2ýWõ 5 |ö \ûdüçõ < d ÿ\ùÿ\ûdý |ü ü ^ý1ûdüçöJõ Üùû |ö |ÿ çü Wùû |ù 2 2 + 5 7 2/a h/ 045+.2 N 2 Üùû |ö ú Zü 6ùõZý ùÿáûsáö öJZõDÿs3Fù(üõû |5ùÿsý 8=ü ù ýWmÿdÿsü}ÿöÜsýWùõ ûsü ^ý ûsüöW2 õâûdù ÿ dZõ ý P ù ù Ü6ö üçzõ û | ùZ û s1 ù ù Zõ õ|ö1úõ ù |ÿ Sÿsùù P;öû ýæO |ü õÜùáõ|ûüçÿsûsZù ùæùöWù ù õ çù Z=|ýùûsü õFc üöWû eõ =6Êöûùû |Sö üçýNõ ü}ÿ ùýh6ýZö ü}ÿÿsù ûsö |(WõZû#û ÿ\|ûdü}ÿ8ýù úzmüùÜù ÿ ÿ dù |õ|ûdù _üö1^?=úý1ù?ûdõ=üçÿ öJû õ¶5 ý1Lö ûá6mýWûõ¶õ |ýù- 3Wûsý ùù ,m3W|ü}ù õ|ÿ ü ûssüùZöWûsõùü ÿ ^ûsý1ù Zûdý=üçæöJ3Jõ ùÿ Pùù4'õ Z6 ÿ\ù &2 ûsö+%a! f ü 8 2 2 +3J5ùõFû û 2K|d üÿ N d/ö ö çù N p2 ÿ\ûdý , | ü hü)/^!5ý1ûdüçöJõ04ûs!5ù D0 h |õ|ü 5 2 |2 ù+ 5ÿ çü WÜù ù û Z +.ö 2/Z ÿ32Sÿsùù2 5 Zö sûsüõÜýWõ |ö \ûdüçõ R 0 Jö õ Üù dü ý Zý dý ûsù sü}ÿ\ûsü Üù û |ö Sÿsùù zöWõm÷ 3üçõ Z Nö áû |ù ) 4 5+.6 8 +% ) 5 37 +.5 +96) 2 2 2 -4! 6 Lö 6 "Ïý Pù dö ù Zõ|üçõ Jÿýõ Zûsù ýû#m7ö ûs6où 3 ü1ÿ | öö ù,ûdýJö ÿkûd ü áþ ù| ü |ù õZJÿsýüçü õ û Fÿ } ý11 8ûsüöWK õ¶6ö ÿ "wSdÿsù ùù6ùsù iù sý 6ùù ÿsõ ö ûsù?O ö ÿý 5 Pö üõ mûúáû ùZõZ ùÿÿsù 8ýõ=öö2ùû ýO |õ ö |ÿ|üü õ=ü û ¶||ÿ öJù ü 9 öW8[ õm:1 ÷ 6ö ý ö Zý sü}ÿ\öJõ Pù ûkúzùù( d öJöõFÜûsù üõ|û/ù7öõF6ûM36üö ÿ ö|ù ü ýJÿkûdü áù þ |õ|ü õö Ü|ÿ\31ÿü ý sõ üö Zýÿ=ûsPüöWõù õZÿ/Übú ù ö d|ü ü 6öý Ïü|ÿ ÿü |õ|ù öW=û "ù?ùÿ%hüýÿdÿ\ùûdOõü ¶|ý ù ù?ÿ\ù õsmù _üçcù 3gPýWù õFçûûsüSùüú õwÿ|ûýü |dùù h sOù ç|ù 31ùzýû õF|û/ü mü_c çû 3Süçü ,úzù =ùõFûsüöWõ|ù öWõ ù dõZÿbû |ù mü}ÿ sùûsü ^ýûsüöWõöL6|û Zùõ|öWõm÷ 7ö üç6õ|ù?ý -ûdù W õ ÜÜÿ öFáÿkûöJõZLö ÿ\6 ü mû ù |ùû õ|ùÜûdù ù dü ý Üù û |ö |ÿ áû Züÿûsù üõ6û |ü}ÿÜù ûdöWùDõ ý3Wûsù ù ûd_ü 3Jù ù mçüù süçü û 31ý1ûd_ü 3Jù ûd3Wý ù çö üçõüÊ6û 6üçûdùÿ 31ý ü |üÊùæû &ý1ûýûõ |&ù û 6|ö ù==ÿkû ù sù?ÿsûsÿ(ü =ü ù?ÿkûdù ü üçû üçõ|ùù?ý ý |dÿü_^ûdüçõöâýWõû |üüÿÊ÷ ûdPù öJÿsù &döû dùýù ûsüõ _ü668ûû ||ùù "wùü}"ÿsÿsùùõ ÜPù ùõFûsüöWdõZö ù Ïçù û Zý1üû=ÿûkûsúáöö ö|ö7ü 6û |ùÿsù mü_c çûsüùÿÜý sù sö Üüçõ|ùõFû6ö ý Jù "wùü}ÿk÷ üÿs õùõ "û ¶|ù ü}ø ÿ $ý#õ û\úzûsù ù ¶ý dù ù dJùü ý ÜW ûù üÜõ O mùZõFùüùûsÿ üöWüõZÿ(ý ù û æZPùØùüõ ý ÿshö2 ÿ÷ ù ûý ¶ûsüý1öWù ûØõ õ R üRÜ (ù sü"w5ý ùýü}õÿdÜÿ\Øùù õúzû PZö ùö mZÿ8ÿ øý Pdù ù dö ùPÜ}ù ý1ù ûdù |=õZsöûsÿ\öûdý û ù |çùù "" øø Süÿúáù ù s\iù ûh6ýù ü*õ 6öæKõ|ù ömûý öWõ çù#dûsùö }ý1 ûdù æ úzûdö=ùõZû |ÿbù ýõ mü}ÿ O sùûsü Z^ýü ûsçüüZöWõâÿ ÿ 98 |: ù =ù ¶ý Wmû ûdù¶ýW1ÿzüç õ mO ùù|ù Pú ù|ùü õ=6ö ¶û |ÿ\ùùb3Jÿ ù |ù û =Zùý1û ü}ÿ 6ö Z8õZÿsÿkö ûhÜý ù ùW ùö mÜù ù sû ù?sýWüùÿsÿù?ûÿ-ú|ù üçû &süçû ûsZü ù ý Ü"wùÿ ù&ü}ÿdÿ\ÿ\ûsùù õ Pù ÿ\ü ^ù õ Aÿ\ùù Pù Sùý ¶|öa3Jõmù ÷ üüçûdõ ÿsJù ÿ _6 1 Aÿ\ù ù NúY |2 ü ýõ sö ü =ü< õ mü W ý1ûûdü}ùØÿ(ý ÿ\ûsçü öFKÿsÿ ýõ&7ö 6 ö dPù ùõ }ý ddö üÊû çù 6ö ûsû ö |ù s ù öJ õJü}ÿ\ûdù üçõ |ö ¶Zýÿhÿ\ý ö ûdmù ûddüçü_öJ^õ ù ûö Zù üçûdÿ " mü}ø ÿ sùFýûsü õ^ý1ØûdûsüçöJö õ mü}ÿ\|ûsöüõ û |Zü}ùÿ û |Pùù öûkúzsùùûsùü õÜý üçõZÿ\ÿ\ûûdý |ü çü ûLö 68 û Zö Üù üçõü Ü`üç6 û dö û |ù Üö Púmzù Zù üÊûhsÿ\iù ù 6ù 6 ûsö 5 "ù;úáùõZö ý ü Jù6ûsö Ü¶ýùmõFûsûdüù öWõ00 û |ù dù ùõFûúáö mÿ RD R : 0 8 (ú |ù sù Zý1ûsûdý Ü ö mù }ÿ K6Zù ýJÿ\æù &ýõéöWõýõ ý Z5 ýWõ Wùö7631}ÿsý ùdõ ü}ý dùLö p8PüöJõZÿsÿ\ùûsù?ýÏý &õ|ùö7ú 6 Z6ÿsö üõ }ý1ûdüçöJõ 6ö ýWÿæ|ý õ sFöFõZÿ ö1úö |õZüÿ

47

7 %

7 47 ,

) ) 9 +9.

7

7

' " 9

7 " 7 ) 7 9 2 ,

9

9

9

7

69 47

7

)

9 9

9 #

7 1) :

7 7 " 9 :

) 7 7 51

9 " 7 u τp ) ! 7 ) 47 9 47 ,5 7 ) 7 ) ) 47 ,51 + "

+ ) 2 ) 7 9#

!9# 47 ,3 7 9 +9. 7 62&9 : 9

9 9 9 *

9 2 7 : : 7 !9 ) 7 7 7 ' :

, 9 6 9 9

9 7 ) , 47 9 7 7 7 , ) 7 ,47 ! 7

, 37 7 ) ) 7 ,47 9 7 7 4 7 7 9 , 7 7 ∇uτ + τ (∇u)T 9 7 p 7 p 7 , ) τ " p 7 69

7 ) 7 7 , / ) 7 ) ) 7 769 7 7 ) ) 9

7 , 7 !) ) 7 + 9 7 7 7 1) ' ) 2 ) '2 9 9 9 " ' 7 2 !9-*

92 7 9 7 : 7 2

7 47 9 7 ) ) 7 7 ' , 1) 1 ) ) 7 ,47 7 47 ' ) ' 7 7 ! 7 9 7 ,47 , , 3 7 : 9

:: 9 ) 47 7 ' '2

7) ) 7 69# 7 7 , 7 We → ∞ 9 ::: 7 /9 " 7 " 7 9 # 9

9 !9 ' , ) 47 ) " )

7

7

7

(u, p, τ p )

, ;

û Zù ÿsù ûû |ù dö ù üõ6ûsù æÿ-ö76 |ú |ù dù ýõ ü}ÿzû |ù öWõK6ö æýûsüöWõâûsùõ¶ÿ\ö |ù õ|ù p 7

7 )

17:

7

(u, p, φ)

φ = ln A

7 !

)1

A=

We W τp + .

&0 0 O |ü}ÿNõ|ùú 6ö ýûsüöWõú-ýWÿpü çù =ùõFûsù üõ ¶ý1ûsûdý ,6ù ÜýWõýõ 5 }ÿ\ùõ R : 0 8 ýWõ úáöJõ 1 R 6ö `3gý süö ¶ÿ Üö mù }ÿ 31ý düö Zÿ Wùö Üù û dü 2ÿ\ùû\ûdüçõ Fÿ NýWõ C31ý düÊ÷ öý ¶dü}ÿáÿ\ù?õ ÿUöWÜõ ù Msü 6ö ý Üùû |ö ||ü ÿ ZùW õý û |"wüÿ(ùü}ý ÿsçÿsûsùù õ dõZPýù ûs(ù 6õ ö ¶ù }ý1ûsüWöWû,õ û Jû Z|ÿùÿ\õ ùù æÜÿUù dûdü ö ý Ppùüçõ¶ý ÿkûhýdö|Üü çü ü}û ÿk÷ üõ =ùû |ö âûsö Pù ûsûsù |õ mù dÿ\ûdýWõ âû |ù dö çù A

9

7

9# 0 9

9 !9 '

9 ' , , 7 9 7 7 )

47 7 7 ) ) 9 7 +) ' 7 )

7 ) 9

&

.(,/0 *

(,

ùû Zÿ dù ý pû |ù Üü söW÷ æý sö Üö mù Núzùý dùüõFûsù sù?ÿkûdù âüçõ*p

7 0

 ∂u   Re + u · ∇u − (1 − )∆u + ∇p = div τ p + f ,   ∂t    div u = 0, W (E(X t ⊗ F (X t )) − ),  τp =   We     dX t + u.∇X t dt = ∇uX t dt − 1 F (X t ) dt + √ 1 dW t . 2We We

&0 1 9

úüçû 6ö öö JùýWõ ¶ù }ÿ 6ö #ø Pù ÿ Nö 6ö #ø /÷ Pù ÿ O |ùÜÿ Zý ù 31ý düÊ÷ Pûý Zö ù2ç|ù õ ÿkûdZö ý 31¶ý ýWd ÿ\üçûsöJù?ü õÿæmüüçõÛûsdüö öWý õZù?ÿPÿsÿsö öWù|õ&ÿ õ û |WZùõùû 3W|mù ùMöçö Ü6 ö üçýWû çüçö1õ Pýúüõõ &múüáõ|üçùûsü}ÿ ý OPöWöJ|õ ÿsü}mùÿüÊûdÿ üçöJmõZÿkûdÿù DöJõ&üû ÿâ|ùÿ 3Jù ö çü ù üçû âúýüÊõ û "ù dù ý pû |ù Zö Wù \÷ }ýõ e3Jù hÿ\üöWõâö76 &0 1 p 7

F (X t ) = X t

) )

F (X t ) =

"

) )

Xt 1−E(kX t k2 )/b

#&%

F (X t ) = % 02

Xt 1−kX t k2 /b

) ) 9

) 9 7 ) x D ⊂ Rd& ) 7 7 47 , 9 7 7 !# " " /2 4 " 9

7

7 9

#&% '%

7

∈ (0, 1)

 ∂u   Re (t, x) + u(t, x) · ∇u(t, x) − (1 − )∆u(t, x) + ∇p(t, x)   ∂t     = div (τ p (t, x)),     div (u(t, x)) = 0,  Z  W , (X ⊗ F (X))ψ(t, x, X) dX − τ (t, x) = p  We  X   ∂ψ    u.∇x ψ(t, x, X)  ∂t (t, x, X) +     1 1   ∇u(t, x)X − = −div X F (X) ψ(t, x, X) + ∆X ψ(t, x, X). 2We 2We &0 9 Z

| ù d w ù ü 6 ÿ ý s 1 ö ú ü õ ç ü s û ù h 1 ý û d ; ù W ö Û õ û | Ï ù ý ¶ õ ý s ÿ } ü ÿ L6 =ü dö÷ æý sö Üö mù ÿg6ö ö PÜö ü sÜöW÷ ùæsüý -þdö |ü Ü|ÿ ö |O ù -|ùüçõ0düçûdÿ\ÿ ûáúz|ö ö ØWù úzs÷ ù(ý ýWsùõ ýgnúzý6ö sùöL6U}üý1ÿ ûd5üçöJõ &:ùõZý R üÿÜ ÿ\û98 m úüù |ù s2 ù(üõû | ùù O

7 1 , , 9 7 0

7 " # "" /2 4"

! , / 9 :: 0 7

9 : 69

7

1R , ;

ûý Zdùüÿù?dý öûsöWæû úz|ö ü ý Dæ6ö #ýõ ý }ýWdÿdö ÿö7Z6 ÿ Zý=3WÊûdùüÿ ÿkû ý çùmüÜù âö mû Zù }ùÿ ÿsWúù =|öù smùù ÿsÿ ö ÜPùù ZZý ý h¶ý ÿ Ü¶ùù ûsù ýhÿ¶ÿ\õ|ùùùû mZùù ûüõëZù û |Wùùùû õZæùZhÿý ý sHsù 6öFö ÿ ý öp|û |ü}Üý1ùûdù üçûköJúáõZö ýEûsæ: üöWýõZü0 õÿØ: mý dü c ù ö Êûdüçù?ÿmûsúzù ù2ý Ïsù?ýÿsö Üù Ü=ùõFü ûdüçdöJöJõ|ÿ ù âö |üçüõ 2 =ù ö ûdmüçöJù õ ÿ0 Sÿsùù ýõ +. , h ! +9$ 2 + h# 7!5 2 2/5+3 2 + h ö Üüçõ ùüÊû |ù 6 sö û |ù ö ü õ ¶ùûkúáùùõÏû |ùù ZýûsüöWõZÿ ûýW|õ ùù ZýûsüöWýõZõ ÿ |ù õ|üõ ö |ùûsö=û |ùõ|öWõ|÷ üçõZùPöý ùõFüõ û |dö ù |sùü õFû 6ö ù öWõFûdýW üçõ|ù &üçõ W õû |ùëõ|ù ûÿsù ûsüöWõZÿ úáùÏù ýWüçõ |ö1ú û |ùÿsù m_ü c çûsüùÿ Z=ý 3Jù Pùùõ²ý dùÿdÿ\ù PO öû ù ç6 üdö 3 dù û |Zlù æ¶ýýõ û |ù O Üý ûsüübýý õ 3üçùú " ¶öJüçõFZûýýõ õ ; Zû |< ù õ Üù dü ý 3üùú PöWüõFû3Sÿsùùý }ÿsö / > & B I A %K ð óHð G 9U íí o %K ð ó WþZO ùö1|õ|úùù ÿ-hÿ ý mýPõÿkûdÿ\6ùùû\ÿ ûd|üçõù?& 0ýÜz1 ý þZzdö1ù ü}úÿ ¶ÿ ÿ Z|ýüçûsù m ü cöJõZÿ\ü mÊû(ù sûsù öeÿ\6û ö 6dýJù ÿü Üÿ üõZý ÜO ý úzöÿ\Üü ùõFçûhü ÿi p |ý1ûsö üÜöWõ¶ö ÿWù7ö õZ6ùû ö Z¶üÿÿ 31ý 2/d! üO0Dý hö> ùÿ PJý! W4ù õ h ü = û "wýZùù wdù d6ÿkù ö ûdý ù /û ¶û |ý1SùûýWõ ü=õ Üü ûÿ döJ¶ÿ Ïÿ ö þZ|ö1ü úÜmÿ ù öùZÿ#ý1õ|ûdüçööJmû õZömÿ ù?Köù ÿPWõ|ùõZõöù ûæmöWýWùõÜõ Pû ù|õöWù õZÏÿÿsZüöWmõÏý ù &ûù Z-431ùâ!ý !dÿ üZý ý 2ùù 8 ùý üç,û 3WZù ù ûsü 3W ù ûsÿsù ö mûsüöW|õ ö ûsöý 3WE 0ù ö1 üçû üÿû Zù ùõ0ö mûhýüõ|ù ÿsö 3&0üçõ 1 û P|ù ù ö 2 ÜY ùÿ p úüçû Zö mû=û |ù 7

7 7

" , 51 9 : ' 7 '+

u · ∇u u · ∇X t

(u, p)

7

7 7

)

9

7

7

51

!

7 7 7 ) 7 ) , , 9

τp

u.∇ψ

7 7 ∇uX t div X (∇uXψ) 7 0 7 ,

2 9 9

7

7

)

7 7 ,

7 ,

7

9 :

τp

7

9

0

7

)

51

F

9

9

9 51 4769 7 , &7 7 9 7 , , 51 , ) 49 7 47 7 ∇u ) 7

71 7 ) Xt τp 7 9 9 7 ) ) 7 +% 7 7 9 # 9 )

u(t, x) = κ(t)x  W  (E(X t ⊗ F (X t )) − ),  τp = We 1 1  F (X t ) dt + √ dW t .  dX t = κ(t)X t dt − 2We We

&0 [ ûsû ühöWýõëõ¶O ÿ öýWPõ ö Wwsùûáù û =ûd|ù ùû |æ=ù ÿ ü mü ædc öJýWÿ õ ö âÊ|û ýü Ømdû ùù |}ý1ö Zûshý1ù ÿ ØûdüçSöJÿsûsõZùöù ÿ û |5 ù mû2 ö ûdýWöÿsöÜùü õýü =õ ü¶õZùýûkûsúáùÜùûùZõÜ(ûù sû ûs|müùõü_c Wæù ý ç ûss1 üöF 0

2 2 2 kuk2L∞ 2 + kukL2 (H 1 ) + kXt kL∞ (L2 (L2 )) + kXt kL2 (L2 (L2 )) t (Ly ) t y ω y ω t t 0,y 2 2 2 ≤ C kX0 kL2y (L2ω ) + ku0 kL2y + T + kfext kL1 (L2 ) .

ûùø ZöWùzûsüù mö ùWüÿ\ûù ûsZ2ùý1õ ü}ûKÿi üpKùõû ý|û õ Zùüÿù |õZZýWüý1ÿsùûd|üçöJùõØõ|ùöJÿdõ ÿ sù?ÿü}ÿ8Êÿdû/ý1ûsöWü}õ ÿ ù ØöWüçõõ=û ù |dõZù ÿ müÿ\ü}ûÿKdýWü õZmý ûsFüO öWûsõæü|ù-ýÿsùõ|õZöWÿsûsùüöWõ|ýõ=ö1õ úö7õ6Pû ÿsgÿZö \ù ö-m2 û ûdZY üçöJý1õ û |ö Y |ÿ Ný6ö õ/ý 6Üö öJö1ÿ\ûbúù ÿ(3Wýù 3Wù }ýWÿdÿ\O ü |ý ù çüdõ|öù ö76 dW ûù üçù?öWÿbõZöJÿsõüÿ\ûdý ÿ(3güçý õ sü}ý1üûd üçöJõZ|ý ü Lm6üçö õ âý}ÿsý1ù ûdüçöJ|õ2ùõ ö7 6Zù2û |öLù 6 ýú Zsü ö mü üæõ mý1ùûsùù ÿsö ¶ýWmÿ/ûdüçûöJ|õZùÿ õâ ý Üdü ý Jö N dýö çZù ÿ Püõ ù û\ûdsù öáû ù ZýWõ dù 6ö æSüçý ¶Üÿ\üõù?ý2õ|û ü|õ ù(ùõ|ûsöù |ùØd_üù3Jÿ\ù(ûsü æÿ\ö ý1Üûsùù ûs6PööÜö |û |õ ùZÿýù ûsöWüûöWõwhõý û 7öZûd6ZüüçÿØöJû |õâÿ\ù ù Lö 68ZY ýùõ ÿ ùeOZ6ÿ\|sù ü}ö ÿ|ý ùõú |dù öJü ý ëüöWüüõ|ÿ,ù ü¶õJ|ýWûdùÿdù ÿ\düùõ ÿ\Üûsùüÿõûsö û |ûÿs|üùõ ù ù ùü ýü}=ÿ\Wûsüçÿbùû(õüüÿ, õùæúzû ù ö7Z6ù ý 31õ|ý ö1üdÜúüýõ üçûsûü1üöWç ûõZýüÿ ý }ÿsö Zÿsýùûs6 üöWUõZûsÿ ö Sÿ söa3J&ùýWû ÿ |ù õZ üÊöWûdõDù23Jù ù ù WÜùùõ õF ûù(ÜöL6Kù õû |öÜ|ù ÿ%d ü ý Üù û |ö |ÿ ZýWÿsù öWõ 31ý düýûsüöWõZý 6ö

üö O |üçõ ü} ÿ Üÿsûsù ù çûsö ûsZüõ ý ç÷Ýüç õmö÷Hûsü öÜJ7öùù6ýù õû m|ü}ù2ÿkûdö ùdõ ü WùPüõZù ýý õ üçõ;d|ö ýõ|ÿüù||ù?ùý õZ& 0ùþ¶ÿd1ö1ÿ -ú dÿ\ùü ÿ ü}ÿ(Êýûçü ü}û ÿZù?ÿý ö mûsö6ûdýWù üçõZûù dù Üüÿ\õ üùõ &&0 ùÿ 9ûP8 |ù ù ÷ úü}ÿ-|õ|ù ö sù =ö sùü}ÿ õ|öJõ|õ ö1úüçõ|õ&ù?ý üçõ mù Pùõ |ùõFû âLö 6 W õ6öWû |ù úzö |ÿ û |ü}ÿ ö üçõ Üûdù |ö #ø Pù /ûkúzö;õZùú m_ü c çûsüùÿ Z=ý 3JùÜûsö ¶ù6ý dùÿdÿsù op hÿkû û |ù 2 Y öJõFûdýüõZÿýWõéù öJÿs_ü 3Jù s_ü 6ûûdù DýWõ éÿsù öJõ -ùi3Jùõéüõ ýëÿ Zùý þZö1ú -û |ù

ö üçõ Øûdù üÿ Jùõ |üõ|ù õ|öJõ çüõ|ù?ý |Sö U =í ù ö ØWûsù`ö õ|#ùö sZù 3Wÿ ùþZõFö1ûú û Zù Wçùõÿ2õ úzû|û ù Üü}ÿ Ü7ö Z6Pùý õFû h|ûsý üù öWdõ|ý ù wù|úýPzù ùüç,ù 6 öJdKûõZö ÿs|ü mù ù ù #û ùZøù ùmüõ 6#ö øû Z ùù æ¶2 ýWY ý ÿ mÛüPæüùõ;ùý õëý çùüçWõFõ ü û 3Wdùû öõ ÷ 7ö 6,û Zù ¶ö Üù " Zý1û ýõ Pùý û Zý daö 3Wùõâü}ÿ-û |ù 6ö ö1úüçõ Aÿ\ùù Wö |ýüõ ýõ O ù ü 3 sù 0P0 p ñ1'ð Iáð¶ó 9 ð 7 2, D0 h )%! , h96 2 + -42 ,) & 0 [ ,!5+ *)-=') ,! +.)/2 ! !5+ 5 7 6 h ,) 6 E h h9+%!5 h 5! 2 01 !5 4' f552 042 h 34 -1)%- h01 ,042( - 2 )2 =h+h ! h !52 01 !5'h4' f55 2 042 h t

y

R t s−t , 7 7 , '" 6 7 Y = Y0 e−t/2 + 0 e 2 dWs 7

51 t

! 9 7 (u, X) - 7 51 7 )

7 % u 7 9 7 7 (y, ω) 2 +%' , 6 9 ) , 51 )1 " 7 7 47 7 7 ! ) 7 0 ) 7 5 7 ,47 7

7 ) 51 7 ! 7 7 2 +%'9 7 47

" 6 7 7 ) 47 7 9 7 " ) ) 7 9 )

,51 )

7 7 )

9

9 : 4 ∂u ∇uX t Yt 7 " 9 7 4 7 '∂y Y (u, X) t 9 # #&% % ) ) 7 ) 7 +%

7 7 9 ∇uX t

7 + 76 7 #&% '% +% ! 7 9 7 #&% % 4 7 ) 7 ' 7 7 ) ) 7 ' - 7 7 ! 9 7 ) 7 .9 4 9

9 -

X 1−kXk2 /b

κ ∈ L1loc (R+ ) √ b > 0 B = B(0,√ b) B = B(0, b)

-

-

F (X) =

1P1 , ;

Mh+h/0 2 /! - 201/!6501+76 5! + ! 4 2 2 2 2 - 2 - 2 h !52 - 012 !5h !52 016 !!52 h(7 ! !504&)%-4 ! 2 04h )%- _h - 2 6 2 2 +.2, h9 ! )/- ,a!5h9+g) h9 +%! )/2 2),h4h 2hMh, 6 h 5 3 - 2 ,) h 4!=h+h9 62 2 ! 01 2 6 4 ! W õ hý ûsü ù ü}ÿû |ü ý ý Jù û Zýõ Pÿsöæû Zý1û û |ù 2 Y ZýWÿ(üçõ mùù ;ý |õZü |ù ÿ\û döWõ Üÿ\ö |ûsüöWõ ÜSUö |mí ùù P-ùü`õõ #|û ÿZöJù õ B áðUö |ò,ù lí ûsû A ûsùâ&d ö þZö1% ú Ø/ûû ð ||,ùù í 6iö ö í ù2- çûsðüùõ ï ûsù (ÿ ÜùõFûd üçöJýõ|ü}õÿ=ù &&üçõ û ý mPùZaöù ÿ(3WùöJõ|D6õ öJö õ -çüûõ|O |ù?ù|ý ü}Üÿ#ÿ\õ|üõøöWõm ù ÷ ùüçÿ\õ|ûsù?ü æý dý1üÊû ûd&ù=üúzù mçüùùdÿü 3Wý ù müçý ûsPüöWaö õZ3Wý ù mmö_ü c ùÿõ|çöWûsû üùÿsüaö õ3üû m|ù=ùØùù õ|mö üÿ\ûsùõ sù ù sù?ÿ}ý dÊûüçû pý6WõöJõ;ûû ||ùù 3W ù çö +9!5üÊû +9 ûsö ZO ýJ|ÿsÿzù ûdö=|ù?û |ÿkûdù üçöJõæü Üüüçÿ8û(û ü|õù*õû |p ù6ö õ|áöWý õ çJüõ|_ü 3Jùùý õ -dûsù ù ý süçû 27ö 6 Aÿsý _ü 6Kúáù öJõZÿsü mù #û |ù hÿkûzùõ|ù =ù?ÿkûdü æýûsù mú Zý1û-ü}ÿ#û |ù sù }ý düÊû =7ö 6 öd1ùúüõ ý sûdüçûö æû 7ö |6 ù sù?ÿ\ùõ ùö7ú 62Zû ü |ùæõZöWý õ üçPõZùù ý 3Wâù ûsâù ü dù ý z_ü 6/üçöWõÛõ|ùû |öJù õ 2 âY ýWÿdÿ ÜZö ù¶ÿ ýWÜÿâý û |ù û Zù 3Wùõ|ù#ö ú-üçýWûý õûdO ö(Z|ýÿsü}üçÿõ sýWù?N õÿsÿUü hPû ÿsù|ýWü}õ|¶ÿ öaù m3æü 6c öû |Üùö Êù ûsù ü}ÿNûsûdöö mù ù Êûdsüü 3Wü ù8üÊýû üõ &=müçö ûûs||üöWûdùõZýùüý õ6¶û ý1|ûsù +9üöWm!õ6ù +9PöWùdõ õù mùüõ õ ý sâEüçû0 öL6 öJ8 õ üõâûdù æÿ-ö76 p

κ ≡ 0

, b 69

-

-

κ ∈ L2 (R+ ) B& B

&

b ≥ 2 0 6 fext ∈ L2t (L2y )

&

1 2 2 u ∈ L∞ t (H0,y ) ∩ Lt (Hy )

P(∃t > 0, ((Xty )2 + (Yty )2 ) = b) = 0 +

(Xty , Yty )

"

$

+) 7 7 (*& 7 7 7 47 5

'+

FtV,W

# 7 3 76 7

9 !96. 2

3 " ) ) , 76 7 % 7 ,47 +9 .

2 9 9

7

u0 ∈ Hy1 ∃T > 0 (u, X, Y )

/

4 9&%' 9 2 9 9 7 /9 7

51 7 7 ) 769

9 2

: 7 9 7 7 3 ! 7 47 , 8 %351 9 /9

) 7 + 9 :

7 ) 7 7 ) R 7 7 07 , 9 ∆Π(X (x)) 2 2We D 7 51 t 7 9 ) 7 7 , 7 7 7 9 ! , 7 ) ) ! ,'

71 7 9 7 X 7 7 # "1" t 023 4" 51 9 9 ,47 ) 7 9 7

u 51 )

u(∞, x) = 0,

ú |5 ù sýù süù üÿý( [7õ|R ö æý ü_^?sõZý1ûsö üöWõM6Sý 5 ûdö ý Jd ö1úÿsüüõ (ùNõJû sOö öFÿ ù?ýÿkõ|ûdüFü æýõ ýûsù ÿ Sÿsd ùùõFûsù dùüçõ ûszùù û/ < ý ù R F ÷ PO öWõ| ùù õJçûdü üý 3 dùöWýõDõ 3Wù Jùõ (û\ùûdûsö ö( ù 0 R |,0ü ü < s ü ù ûæZý ÿù Pù-ÿ }|ýüö1õúûõ |Aüÿÿ\ùúù üÊû WÜö ö sùZýmüùõ ûdýü }ÿ ù sü}ÿ O |ù hÿkû mù sü 31ý1ûdü_3JùöL6Kû |ù üçõ|ùûsü ùõ|ù E 0 0 ú düÊûdùÿ SýJÿ-üçõ E 0 . 7

# 9

9

ψ(∞, x, X) = ψeq (X) = C exp(−Π(X)),

C 0 9

# 9 * 7 '

,

9 2 9 & " 47 9 51 ) $ + ) 7 9 7 " ,

E(t) =

Re 2

9 ::

dE = −(1 − ) dt

Z

|∇u| (t, x) − We D 2

Z

D

Z Z D

7

|u|2 (t, x)

Rd

'+9 09 0

!9

.9 6-+9 . 7 9

9 :

(X ⊗ ∇Π(X)) : ∇u(t, x)ψ(t, x, X).

|ù 2 4 +.! O 7

, ;

1[

+ &

Z Z

Z Z Π(X)ψ(t, x, X) + ψ(t, x, X) ln(ψ(t, x, X)) − |D| ln C, D Rd D Rd Z Z E0 9 : 1 ψ(t, x, X) ψ(t, x, X) ln ψeq (X) D Rd

H(t) = =

ü}ýÿõ õ|ù FûüçõFû sö ZýÜù sÿ ü ø(öù ûdü ö ùû ZýmûûdýûsüöWõÿ Zö1úAÿiÿ\p üõ ù

9 7

ü}ÿ ù?ÿip

x ln(x) ≥ x − 1

7

div u = 0

O

H(t) ≥ 0

d ÿsüçõ &0 : 9

2 Z Z 1 ψ(t, x, X) dH =− ψ(t, x, X) ∇X ln dt 2We ψeq (X) d Z Z D R (X ⊗ ∇Π(X)) : ∇u(t, x)ψ(t, x, X). +

Zÿ Jû Zù6 sùùùõ|ù

7 7

D

Z

Rd

H(t) We

F (t) = E(t) +

Z Z

9 :

Aýõ|öWõm÷Ýõ|ù Jý1ûdü_3Jù ¶ýõFûsüçû /ÿsýû\÷

5

2 ψ(t, x, X) ψ(t, x, X) ∇X ln . ψeq (X) d

áûsöö ù ü ZÜý üsõZüõ ý1Üûdù2úû üçZû ù s&ü 0 FûsR ÷ ZZúýWáõ ùö ÿsZü mÿ\ùù b3JW ù(õ û ZZýý1sû(ûsüû |ù2ý üõF û dEö 0 Z ûdüçÿöJZõ&ö1úö76,ÿ-û û |Zù2ýû(ùõFû û |dùö öJõ ý &E 0 ÿ\ö1ûdúZý1ÿ÷ 5 ö sùöa3Wù Zÿ\üõ &ý öWüõ ý üõ|ù Zý çü û p 6ö ûsý üöWõ¶ý &ÿ\ûdýûsù=üÿ ùû ýõ û |ù ö Jý düçû Üü 2 ö Pö iù 3üõ|ù Zý çü û p`6ö 2ý dö ¶ý |ü çü û mùõZÿsüÊû C6 Zõ ûdüçöJõZý E 0 [ ù PöWõ|ùõFûsü}ý öJDõ 3Wù Wùõ ù(ûsö ^ù dö 6ö Aýõ âû Zÿ 6ö üçõ ÷Ýõ|ö #ü}ÿ-ö |ûdýüõ|ù 6 dö & 0 Z O |ù ö Jý süçû =ü 2 ö Pö iù 3ëüõ|ù Zý çü û E 0 [ |ö |ÿ 6ö #ÿ |ö1ø úÿáû Zýû P ù öWü Dõ ÿ/6 3Jù O ü}Wÿ |ùÿ#ù ÷ ûsz ö öJÿsõlübÿ 3J^ù ý \ù ÷ 6ö P#öWù õZ|Zùý ýõFûs2ü}ý üõ|ù ù 6Sú ýWZ|ÿ\ý ûü çü üçû õ (ü}ÿ/Sÿsû ù|ù ù ýWÿs(÷HùõZõ ö6ùö ûöý ö J Rùý #õæû ýW|õ ùõ

O öJõ |mù öüçûsçüüöW3JõZdùÿùõ|öJù ýõdõ ý çü ^ýSýûsüõ (öWõZû\ûdÿÜû ö öL¶ 60 ÿ < û |ù?ÿ\ù ö |ûd ý1NúûdüçáöJùõZÿdù ûs6ö ù õ|ûdöJö õm÷ |ö JÜö ö Jù|õ|ýùüõö Zÿ ¶ö |ù õ |ýdüÿ ÿæý ÿ\ûs"ùsö ùwÜúzöýö õ|ù P}ÿ ù SüÿsZJùÿsùù ù ëYý ýJÿsöÿýûdö ý|õ Üü mùùõFO ûdüçüçõZöJ ùæõéù ûsûüö Z3 ýmsû&ù ù dû_ü 3J|< ùæ[ù?ÿ\õ| ùùúùÿ\ûsù?ü Üÿkûdüýæûsù?ýÿâûsùöJÿõéöWõû Zdù ù }Üý1ûdü ù dö÷ææý ý sdöWö ÷ í2 D B ) % ñ (2 ,04/ E! 4'k - U í U ð Wí Hð Gh" 4 U 62 í2 2 8 í 5! ñ14'ð INî h 2/2 !5 7#2+9)/7!55!' 2 h96 6 2 ++ h - 52 + 5! ! 4')/2 - +98 dF = −(1−) dt

1

|∇u| (t, x)− 2 2We D 2

7 9 : 7 ! 7 07

u=0

)

ψ = ψeq

u ∈ H0 (D)

7

7 ,

ψ

9 :

6 9

C exp(−Π(X))

7

#&% '% ) ) 7 7 ψ # u 9

# , " ( )

Z

Z

)

ψ ln

ψ ψeq

9

7

D

|u|2 ≤ C 51

R

7 , 9 :

≤C

Z

Z

|∇u|2

7

2

) )

7 7

9 : 7 51

2 ψ , ψ ∇ ln ψeq

9 :

7 F u L2x 7 , ) 51 9 : 7 7 ,47 7 + Π α 9 7 ! ) 4" 51 +9 9 ψ L2x (L1X ) 7 eq /7 71 .9 4 6 u(∞, x) 6= 0 9 * 09 7 7 7 , 9 ' 9 9

)

ψeq (X) =

" 09

7

) +9 . , /

-

9

u = 0

(

)

Z8 , ;

/) 5 /2!=&h )/! 54 52/63(6 0D h/ 4! 2 5+9+%+.22, 2 2,+ 72, +. 22 - 4 +. ! 2 /! 012 )4 ! 5,2h )%! ! 'f5 2,- + 2 2,!5+)/2 !2 ,01 2 +90

+ + & -

,

H(t) =

Z Z

h

' -

-

ψ ψeq

ψeq

/ 2 - 2 72 +.2%2)/2 -4,5 + !& ! 6 2 )%+9-4 !5!2 2 h-42 -42 24)/!5 +. -! f = 2 h/ )/2 h92 2,/015+. )!2 &! 0 )/Z !5h/ +904+.!)/2-h ! --4256 )/!5 0 2 !2/6 -4h 2=h9)% -42 !5!5)/4E2 0 2if52,8 + D

4

∗

h h h : R → Rf + h h+h & ah

+ & + &

C2

Rd

-

+

+ &

h(1) = 0

9 :

9 :

&

'+

h(x) =

í - D5B % ñ (/ " 4 -4k2,+. 2 U í % ó?h ó9B +. I 6 5 ð2 )%!ó'ð f5(2 /U 01í ) GÝ ðZña!5J í 7 2 0Dh 2/)/,+5 92 2 2 -45 654 h 2 ),0D=h+h+h9h 0 -422/6 = h+h90 !5,h ! 4 2 0Dh,2/6 h ! ,5+ !3-4!2 ,, 5), -4 5h9 )/2 52& 57/2 524'5+9)/ 52,2'32 a7h +. 2 - h+2 h9!5+. 65,!52 + 4! ! 2 4 52 h ! +9 4 -42 ,2 ) + 3 - ! - 2 h/ h+.2+%h+ h 65 2 2,h h!5+ f52 + 4!5+9 54&=h+h90 7! ! 2 ,h901+.2 - 2 h -4 2)% ! +9'f5) 2 0 2 5 + ,a !5h4+ h90014 042!5 2 h4!5h ! h/ h +.! eh4!5+9! 2 015 ! , h - 2 5752 =h9 h&! - 2 ,) h ! -4/!2 52 2 8:f )/!5 2f 2 04 5 2 ! & 0 -42 [ 4 !5 2 4 5 2 - = h /2/2 D0 h 2%6 ! ! 3 - 2 7 ! 5+9 - &) ó í Jí ñ1íó A ó0ð 9U í Jð I ASíò Ibñ1ð AADí B ï 9U U í Kð ¶íFñ ) A %, Üü |söWö ÷ æ5 ýö ýdý õ ö ëù dmý ö |üÿ\û ûs|ùù öõ d ÿ ù&üõZý=ýüçõ ûd3Wÿ ùâ|öö õZmü ûhý|ù üõ|ùõ|ù 6ùö ÿdÿù msüù?&ÿ\0 ûsÿ ùZ õ çûdK ÿ úù&8úüçzýû Øõ ù û sZiù|ù 6õ|ù Zü=ö |ûsö ùWõ|ù 5 ù?\÷ÿsÿ }dýùõùÿ õZý çûdù ÿ Z6ö ý=ûsüûöW8|õ ù O ü "Üö |ü Z[ ý0 õ zýZýõ Üç Pö ý ýõ - üçõ0#ø" ûsü Üù&6öZù ýWm õ üù6ÿ\ûsúù Zõ üÊû : ù dPùö ÿ FçõZû=ö ü}Ü ÿÜüö ý WmHõ ûh6ýö ý üõ| ùsùù ÿ/ zù6ýõFö õ ûÜ=ûúá|ûsö ö ù #ø Zø ýõ ÜÜ5 ö ýmýWõ ÿ\ù ÷ ûdúZü üçöû |ö ý Am}ÿ\û2ÿ\ùöù ýÿõý |}ÿsö1ö úýWÿdÿ ÿ ö üç|Zõ ûsý üKöWõ;üõ öJûdüõ ü ÜýWù=õ ùZmÿsüüÿ\õ ûs" ùõ s ùùþZZù s ýù?ûsõÿ üõ Êû Z P61 ö öHZ6öüçõ õ|-|üçûsýý ü}ý ÿsü Ü| öJüýõûdý ý müçdûsùüöJöWÿ õZÿsù2çÿ/û ûs|öâõ O ù m|ù |ùæáü çûý ü |mmù ÷÷ ýWÿdÿ N çö mZûsýüöWõ ù ü}ÿ\ûsùõ ù sù?ÿ çûdÿ Zý=3Jùáý ÿsö PùùõØö mûdýWüçõZù 6ö öJÿsù dù }ý1ûdù sö ù æÿip W õ " -ý dù û\û ü}öLÿ&6(öÿ\ö|Üûdýù üõ|mù ü Pù 6sö ùõJ& ûd0 üý Z #(ö 2 ¶öù dúzýö ûsJý ö ùëhýÿ õýõ ýdõùÿsùõFû2# üõëøü û 1|ù6öÿsZ ù 8ýùù Z¶ýÿ\ûsö üüõZöWýõZ#ÿ ý/ÿù \döü}ùÿ\ûsýWùÿõ ý ûdsùö ü ^dPýùöFûsÿ üöWöWû\Êõ û÷ ÿ\û h" ý Ü¶ö ýsõ ù dù : ý süçû ;öJõÏû |ùâÿ\ö mûdüçöJõ 2 ùý ÿsö ZýWõ ZýWõ ýõ 2 ú-ý Üýõ 2 ü 1 Z Aý Fýüõ=úüçû ÿsö Üù dù ý sü ^ý÷ W õ " -ý sùû\û 5 ûdûdüçüçöJöJõZõZÿ/ÿ/# ûýWõ |ù(ý m÷ û |ö dÿüöWö õZmÿzûdýWýüçõ õ âøö ¶ý ç÷HýJüÿõmÜ÷Hûsö ü =mù-ü ù ZPü}[ ÿ\ûsù[ õ 0 ù SúdùüÊÿû |Êö ûhmÿ ûýõ ZýWdùõ Wüõ ý sü ^ý÷

x ln(x) − (x − 1)

F = ∇Π

,+

- +

F

,+

-

&

&

'& -

+

α

&

+

-

&

Π

-

,+

(& + '& 9 :

+

+

Π

,+

Π

ψeq

,+

&

-

-

Π

#"

&

,-

F

-

F

-

Π

7 7 )

0 ' )

9 #

51 9 0 !9 7 2 9 9 7 9 2 9 9 7 : #&% % 4 7 b > 76 0

7 b

7 7 + )

# 9 +9

2 9 9 7 9 b > 12 )

&7 +) )

7

) )

,51 7 7 # "" /2 4" 51 69 9 4 :: 0 4

!9 7 " ) 9 7 #&% '%

9 7 51 ) 3 7

)

9 9 . +9 4 7 )

%'9 / )

) 9 "

& # % '% 4 8 7 51 ) 7 69 9 7 !9 7 2 9 9 7 : /9 9

9. 1+9 47 ) % 9

2 9 9

!9 7 7 ) )

7 7 )47

∇u

Z , ;

ûûüõ=||ùù û | ù ö Y sZöWéö ûdýöWWûsõ üù öW\õZ÷ ý }ýümõ õ ù æsü 31ý ù ý1ûddZü_ö3Jý1÷ ù ÜûdüçhöJý ý1õû d|ûdö öù zÜû ö Zmýù õ6}ÿ%û Zù ú ZPü ù Üü} ÿ/öJÿ\õDü 3WÜù ü }ûsý ù ûdömù söWü 31õ¶ý1ÿ\ûdü mü_3Jù ù düöJõ õ "ùúzö ü Wùý }ÿ\öûsö =ùõFûsüöWõû |ù`6ö çö1úüõ sù ýûsù úáö mÿ#ù mü}ÿkûdùáõ öJõZù ÿ\ûdsýù?õFÿ ûdüççõûdÿ 6ö ö ù ø(ý=3üù s÷ 2 ûsö Jùÿ Zö Wù \÷ }ýõ Üü dö÷ æý dö Üö |ù }ÿ% |ù pù æýõ 8ø ÷ 5 ýW ÿ ÜüçöJöõZÿ m ü-1 Z ýH1õ [ bý 2Pö |O û-üÊûdù Eü mp üÿ\ ûsù1 õ 7ù2Z :ýWõ Z8ýõ|Wü õ |ùý õ|ùÿsÿdöÿ-û ö7|6/ùÿsö úzmö ûsüöWõZöLÿ6 ù düÿýWõ ûsö Zö Wù \÷ }ýõ Üû Pùù Zý1ûdüçöJõZÿ-úüÊû &ü sù }ý öùic üçùõFûdÿ / > > # B íFñ % A B í U ðUò,ó ûsW|õö ö ûmW|ü}ùÿ ü}ÿs÷dÿsù ù ûs üýW^ûsõ ù(üöWeõ R Nú3WRzù 0dù ÿs üçsöJù õ |3Fúöüùáú ù û |ûdù|ù 6ù ù|-üçüÿ ûsûsùö ddù ý2 ûdû_üù ^?ý1dûsûsùüöWüöW6õ öõw(R 7ö û R6z|ûùÜZõù =Üü ù ddüö÷ ý æý ýõZsý ö mÿssüÿ ö 7ö 6 ù Üùüû õw|ö û ||ùÿ ýÿ |ÿ\ûsù O ö Ü|Zùù-ýWöWü ÿ\|õ=ûsùü ûý |ö7Üù 6 2ù ûY ö |$ö çü¶õ ýW5ÿ ý öJPõF,ùûsùüù õ|õ üÊzûd ù ýdÿ\ûçö&ù Üdûsöö;ùPõFý öJû ÿs5ù dù ö û m|ü öæ5 ý16ûdö ù= ýWû ||ÿsüö2ùÿ ýù dõ ù ûd¶ü_ù^?ý1ûdûsýüöWûsüõØöW(ûõüç\õ=ûdýWüçÿ õ õ¶Jý ù ù- ý1 õ< ù 2 ý Üù û |ö &üÿ ý çù 2 ),0 2 5 !5 = !58 = 264' ! 4 2 !54 !1 2)2 2 2 4Eh Ü5+.7ù 6 û 2/|) ö |! ! +9ÿ)%-42úz=h ù h9Sdÿsùù) ù ¶ÿ\5 ù &0ë öW2 ýJõë ÿ\öû ! |ýW ù õ 2 Y2/)/- 48ý Wõ(û042 sûsüõ7W6 ù2 ø(2 ø 1706 2, O2, 2K|+.W ù!O 4'ý 4Jzö dû üÊû hÿ\! û û!| ,ùýõh!döWýW õZõ ÿs2/Wü ü}ÿ\ý)%ûdõ- ÿ ü*õ ý p üüç õ ö û Zù |ûsüõ Pù }ÿ ZSý üçd ý ûdö ù düÿ\ûs|ü ûsüÜõ ù û û ||ö ù4û dý küçù ü ,ûsüö õJdûdüù ùÿ2dýLö ûs6üõû Z(ùû |þ ù Z2ü Y #Zý ÿ8sý ûsüöWõ ùÿ ûÜZùùýWÿsùõZÿû üçdõæýkù?ù ý ûdö d üçù?õ|ÿØüçûsýWùõ ù çù =ü 31ùõF û ö O |ü}ÿmûd üçõý hûýZõ ù&JüýWÿ\û õdùý ÿdÿØûssùöFõZý ÿ\ö ü}ÿû |ù ÜöJö ÿ\û8ý õZzý1ù û d|ý ü mdöWü õ|ý ù ÿsöüçõ1úzù8ùiüç3Jû,ù ü}ÿUKöõZ1ýúû üõ h&ý ûs öö û m|ûdùýWüçûsõ|ù ù M6 dö û |ùõmù d=_ü 31ù ýsûsü üöWý õ2Lödù6Fÿ û |Êù ûhÿ=ý ö smù ù 3JùAÿ\ù;ù õ|2 öJù üÿ ûs;üöWüõ õ R ÿ Z ý ù úýõ|ùý õ ¶dÿ\öJüõ ý æüõ smù ù PZùü dõ ùmÿùûsõFö û ædýWö1üçõFúûdõ|ýWüüçýWõõ ýÜÿ öWKûsc üöW õZüùÿõFöJû õ&ùý ý âJù2û hõ ý kù Pûdöù 7ö 6 5 ö sùaö 3WPù ù ÿÿ Pù

ù #ö76Pùö76zÿû |ýWù õ =ûsù?ö ÿ mbúù?ÿkû |sö ü æëöWü}û ÿ|ù õ|döÿ ûØùýWdÿ üõ Üûdö;û |ÿsù2ýûsÿsü}ü ÿ 6 }ý1û ûd|üçöJù õdù ü}ÿ2ý&õ|ùù wûsöý ëÿ\ö Üù ü õ 01O +. |ù ù-|! üÿ(- |ö7ù 6/ý ù62û õ|2 6(ùõ÷AüçõFûdöû dý÷Ýùö Üõ ùj3Jù Øù ûsûsö ö hZÿ 5ÿsp ùáû |ù }ÿ\ù ùO dõ üZýWüõ ÿ 3Jüÿù hû N ÿ\|üöWDù õ31 ý7ööWõ 6Zõ û (ù|ù |ù ù û(2Pö7YýW6 õ Wý+.W!5õ 4'üõF5û dö l31!5ýWõ ÷8 m|ùöJõ ü ùüÿÜçùâûdö üçõ Zÿs0 ù -42CW õ h û Zü2 ÿ +.!5ù4'dü}ý5õ |ùÿ ! dü !m ûdüçöJý1õ û/ûù?ý |ù Ü¶öFöFÿkÿ\ûÜüçûsüõZöWý1õéû üõhý -ÿ Zýý õ Þù ÿ\ü O Zçüùÿ dýù õ ùöWùõâÿ ûû Z|ùæù2ÿ\õ|û öWdü}ùÿ\ÿdù=ÿ |ÿüõÏ\ùÿù ZPý ù ùÜö1ú ýõ ýõ ûZûù |31ùý úzsü}ö ýõ ùØ 0LöJ: õ; û |ù 3Wù Wçöö üÊû Zýü õ mû2õ|öWûù û |sù ü}ÿ31ýý õ düÊ÷ üO õ -ý ù ç, ü 3 h,d)/31ù! ýW4õ m4O ù04|õ !5ù D0 h-mü} ÿ ù s2 ù2,0 ûs+ ü ^ ý ?ûûsüÜöW|õù ùû öL|Z6(ö ý |ûh|ýÿ& ù6Sûsÿsùû ùshù ü}ýÿkõZ5ûdüÿ ¶ Üö \ùû=û |ûsùö |ÿsùÿ$õ Sÿsùý ùõ û |N ùõ z31öWý¶Dõõ ù 3(ùmüçõ öJõ|ù bù Z ý¶õ ö ÿk÷ ûüõ ZJù ÿ#ýWõ ) 4 5+.6 8ù J+.ý û ) 8 :7 Zö +.5ýJÿsÿs ü ý +9õZüÊûd)6ù2 2 ù ù Ü2, ù- õF! û 6Üö76ù û |1ö "Ï|ÿý ú¶üçû ù sö ÿkûhý | ü _ü ^?ùý1ûsü|öWõmõ ÷ ùû Zÿ sù ý |ö1ú û |ù ø ø 2,2DW O Üù û |ö ëú düÊûdùÿ2üõ ýÿ |ùý 2þZö1ú Sÿsùù 2 ù ûsüöWõ < R W õëû |ü}ÿ=ÿ Pù ü}ý ýJÿ\ù ¶öWû û |ù ý hýõ JüýWõÏýWõ Ïû |ù çù sü}ýõ0ý m÷

:

7 '# "" /2 4" 51 7 47 ∇u−∇uT 7 ! 7 7 2 7 ' 7 2 +% / ! 9

!

,

τp

, " 7 "

& " # "" /2 4"' , / ) 2 9 6 9 # 8 6 + 9 %'9 9 1 7 " : 0 9 !. +

2&9 9 )

51 # "" /2 4" 5 1 7 9

7 6 7 7 3 7 9 9 # 7 7 , / ) 7 # "" /2 4" 6 9 9 7 +# % 7 47 , 7 7

% 47 7 +% 7 ) ) 9 9 +9 09 47 7 / * # #&% 9 7 7 %' + 9

!9 +9 9 7 7 7 7 7

, (u, p) 7 ) ) 47 , 7 7 +% 7

7 ) , τp 47 9 7 47 7

) 7 7 9 9: 9 7 1 , div τ p 7 +. 47 9 47 47 5 ) 3 ) ) 7 7 7 ,47 7 ) )

- 7 7 9 7 7 7 % 7 +%'

9 7 7 X t (x) ) 9 9' 6 !9 2 9 9 .9 9 9 9 . 7 % 6 7 : /9 47 47 9 7 7

7 7 ) 7 7 )

7 " )1 .+9 6 +9 . 9 9 7 7 7 ) ) 7 9 9 !9 2 9 9 .9 9 9 9 ! . 7 47 7 9 +9. : : 7 &2&9 !9

9 , ' 7 7 ) 9 : 7 7 * # #&% 7 7 9 9 7 ) 7 7

7 %3

, ;

Zl

UI = 0 yI = 1

u : P1 τ : P0

τh,n =

h

PK

k k=1 (Xh,n FY

k , Y k )) (Xh,n h,n

u

τ

y0 = 0

1 We K

,ü dù :,p O |ù ø ø 2,2DW O Üù û |ö âüõ&ýæÿ |ù?ý zþZö1ú döJý |ùÿ çù?ÿý âûsö=û ûZ|ýùûÿd6öý Üý ù müÿ dù ûdü_^?ý1ûdüçöJõ*p6ö Wü 3Wùõ ýWõ ö mûsù U0 = 1

#

47

un+1 h                                 

∈ Vh Re δt

Z

7

47 7

y

7 *

:

(un+1 h

−

unh )v

# #&%

7

v ∈ Vh

= −(1 − )

Z

y

7

k unh Xh,n

∂un+1 ∂v h − ∂y ∂y

Z

9

k Yh,n

∂v τh,n + ∂y y

Z

f v, y

K 1 X k k k , Yh,n ), Xh,n FY (Xh,n We K k=1 ∂un+1 1 k k k k k h Yh,n − FX (Xh,n , Yh,n ) δt Xh,n+1 − Xh,n = ∂y 2We 1 k k +√ Vh,tn+1 − Vh,t , n We 1 k 1 k k k k k . Wh,tn+1 − Wh,t FY (Xh,n , Yh,n )δt + √ Yh,n+1 − Yh,n =− n 2We We E0 9

τh,n =

|2 Y ùæüõ mù üÿû |ùæú ûs|ü Üù sùù ÿ\ûsù ÏüÿýWõ û |ùæû |õ ùæüõ Pmù ù öL6 üÿû |ù Pùdùý ÿ2çü üç^õwýûsùüýöWõwõ ù Pù ,üü õÏõZý û |8 ù ü}ÿý õ|üÊûdùÜù ù ÜùõFûÿ Zý ù "wùæÿ ¶öFÿ\ù=üõû Zù 6ö ö1úüçõ û ¶ý1û ü}ÿ û |ù õ|üçûsùù ù ÜùõFû(ÿ Zý ùöL6 öWõFûdüçõ |ö Zÿ |üù ùúüÿsù üçõ|ù?ý 6 |õ ûsüöWõ¶ÿ(ÿsöØû Zý1û ýÿ Zõ ý ù 8 ý 'dù "w|ùüù dùù6úù -ü}ÿ\ûdù ö öWbõZü ÿ\ûdýWsõJù û6 : |õ ûsüöWõZÿüõæÿ ¶ý ù û |ù ¶ù çöJõ ûsöû Zù 6 Zõ ûdüçöJõZý ÜØù ð û |Pö íFñ ûF í sJùíùõ ð G Ü ù U dí ü ý ¶ý #Chý # Üù ûdù hÿæý dùS ûsö B Pí ù U ðUZòöJÿsù*õ W õpûû ||ù;ù ûsü Üùø(ÿ\øûsù 2,û2KW |O ù O

7 +%

7

Vh

n 1 ≤ k ≤ K

τ h,n 2 9

7

7

7 k ) ) ) K 9 7 7 # : 9

$

7

7

7

! !

)

47

47

7 )

7 7

1 ) 9 #

7 7

Vh = P1 7 X h,n Yh,n 7

*

# #&%

δt

7

Z: , ;

ûÿ ¶Zý1ý ûO ùû|ÿ\Zûsü}ÿùù Z=ýJùÿ û ý|¶õö ùùõ û ZöJùõDd3Waö õ ù3WùWõù?Pÿ8üõù üØõ6ö7û 6|Wù ö ü Ü|üçûý¶üù õ }ÿ3Sö ù dùý çsü ü}^ÿ2ýûsýWýüõõöWõZÿ/O ù çWü û3 ü}dÿ2ù ù 0DP1 áù ýûsõ ù " O üUýWõ " ¶ýõ : Z *6ö öö JùýWõ Pù ÿüõýÜÿ |ù?ý zþZö1ú 576 SU íðZñ1Dí B ! `h+h90 4 2 - a f52 ,!5+ !

7 ) ' ) ) ! 9 h K 7 7 7 7 9 δt → 0 h . → 0 K9 →∞ 7 !7 ) .9 4 6&+9 9 %' 9

2&9 9 7 ' " ) ) 7

u0 ∈ Hy2 fext ∈ L1t (Hy1 ) ∂f∂text ∈ L1t (L2y ) T Vh = P1 ∀n < δt K 1 X k k u(tn ) − un + E(Xtn Ytn ) − X h,n Y n h K L2y (L2ω ) L1y (L1ω ) k=1 1 ≤ C h + δt + √ . K -

9

1 2

δt
m01ûdù 6=h Po:ö L: =< ÷ ù 0 p ÿs0 ö Z 1m Dûsü0 öW[ õZ0 ÿ :

% 9

+9

+9 7 9

9

9

. 9 '

51 )

9

$ 7 ' 0 + : :

+9 7 9 # "1" 023 4" 9

8L8 R

51

,

9

" 9 69 +

!

|õ|áö ö Üù ûd8Lÿ8 0ýõ W õ O dù5 õ ù sù ' 2 ) 0 2 h9 ! )/- =h9 ,042 2 ! 6 2 2h 6 2 65 0Dh9! 1 áöWõZÿ\ûdýWõFûsüõ WøöJõ üçõ|ù?ý bö Wù s÷ ýWõ (ø ý=3Füù s÷ 2 ûsö WùÿKÿ mÿ\ûsù æÿ ! 01 - 7) ':4 R p < : < RPR 8L8l< 7Z áöWõZÿ\ûdýWõFûsüõ |ù Pù æýWõ O üçûsü mýõ Ný dõ|ùÿ ù }ý düçû ö76 ö m÷ çù ûkúáöW÷ |ü Üùõ¶ÿ\üöWõZý õ|öJõ çüõ|ù?ý ,ö Jù s÷ ýWõ (ý õ 2ø(ý=3üù s ÷ 2 ûdö JùÿUÿ mÿkûdù æÿ 8L8 0 sù düçõFûý=31ýü ý çùý1û 7[ áöWõZÿ\ûdýWõJûdüçõ W ùi3 dù ü müÿ WýWõ 2 O üçûsü ÿ mûsöWûsü ÿkûhý1ûdùÿ/öL6pý 2 Üö m÷ Zö1úÿ üFù Zý1ûdüçöJõ #+.)%-1 f 2% ! 2 (2/)/- #752 =h9 h 1 R E: p :L0 < K: Z7R 8P8 R : 8 áöWõZÿ\ûdýWõJûdüçõ W ù 3 sù Fü mü}ÿ ¶ýõ 2 O üÊûdü ù Üý mÿöJõý 2 Üö |ö1úÿ ü ù Zý1ûdüçöJõ , h ) '56 !5 , 5 =h/ p 8 8P8 R : áöWõZÿ\ûdýWõFûsüõÛýõ éø 5 ýWÿ =ö mü N ö Zý (úzù PöJÿsù mõZùÿdÿ 6ö 6ý 2 Üö m÷ õZZ ü ö1 ý úÿ sü2ù ¶ù ö \¶û ý1 ûsü öWø( õ ùú ö 8 ö çù úd üçûõ|_ü 3J ù ø hÿ\ ý=üç3F û üù s÷ 2 ûs8Pö 8W1ù ÿù Zý1 dùûd üçöJsõZ üõFÿû üõ =ý 31 ýü ý O ù ù ý1mû÷ : HY(ù WöWõ 5 ù Üö |ýõ 5 #ü ýWÿdÿ\ö (ü}ÿ öFù ýJÿkûdü þ |ü Üö mù }ÿ mù sü 3Wù 6 dö Füõ|ùûsü Øù Zý1ûdüçöJõZÿ 6ö Pö Üù dÿ 2 5 - 0 < p = 016=h 2%)/5- +9/ ,042 h Z! ýM|h ûs) ù 8 5 üõ ý1û Zù ¶æý Wý1ù?ûdüÿ ý< R :Ü Dö0Pm0 ù ü õ æýÿkõ ûdù ýW|õZý ýjmp8ÿ\ø(ü}ÿ-ö 7ö s6û 3ü}öÿ öF}ù ýýJõ ÿkûd ü þ }Zÿsiù ü |3ÿ(üçù 7ö 6 û 8LZ8ù sö R < N Zö dùÿ\û "Ïýõ Kýõ |ö O |ù=þZö1ú-÷ ZýWÿsù |üý hý 7ö 6Y(öJüÊ÷ ù?ÿsÿ ûRP|R ù ö p Z 8 6ö [ : ÿ | ù?8Lý 8dùR wõ|ù æýûsü ¶ö Üù hÿ WbW p õ|üçûsùâÿ |ù?ý hý1ûdùÿ - 2/! 2 #), R 0 5 |ö \ûdüçõéýõ |ö \ûdüçõ õ|ùú ý söFý 6ö æû Zù 5 ÿ\ü }ý1ûdüçöJõÞLö 6 3ü}ÿ öù }ýWÿ\ûsü þZö1úÿ 1= !58 = 264' ! 4 2 016 2/)/- : p 7[ < D: 8 [PZL[ R 1 Y dùõ Jù /ýõ +9 - h ! 2 )/5 !52 'Üh üÊû ý mù 6 Ü2,++ ü h9 57s65ù?ÿs ÿ öJõ! 2m2/öJ),õ0 2 5 +8P86 5 ) h ! /+.! 5 2 ! 8 RPZ N ýöýõ ÿRsö 04 ü p úZ üçû 1 hýZ õ |ö [PÜù[LüõZü_^Zù ø üçÜõFûsù ù dsü õ¶ýý |ÿsü ö |ù?ÿ\ýü 3Wûsüù öWõØ¶öJ7ö õ6 |dÿ ý d(ö1ú-2/)/û Ø- üçõÜ ý- õ==h üÿsö7û !sö2 |6=üh RP[ N ýûsü (! 6 962 h 5 !5 #- 9 5 042 2, h9 &0 2 5 !5' h 40 :9,+9 042 h#6 -2 > 016 2 h 7!5 72 4' !52,' h 'Y û |ù?ÿ\ü}ÿ ö ù ø( ýûsüöW õZý çù m ù?ÿ öW õFûdÿù û Zý Z ÿsÿ ù?ÿ 8L8 R 31ýWü }ý ùý1û W õ sùõ