Note - Dipartimento di Fisica

Università degli Studi di Udine

Corso di laurea in Fisica Computazionale

Corso di Fisica Moderna

Sara Padovani

Sara Padovani

Fisica Moderna 2009/2010

1


1. Particelle identiche e spin 2. Statistica classica (Maxwell-Boltzmann) 3. Statistiche quantistiche (Fermi-Dirac e Bose-Einstein) 4. Gas di fotoni (applicazione della statistica di Bose-Einstein) 5. Gas di elettroni-metalli (applicazione della statistica di Fermi-Dirac) 6. Teoria delle bande per i solidi (cenni) 7. Fisica dei semiconduttori

Sara Padovani


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Particelle identiche Supponiamo di avere due particelle identiche in una scatola. In Meccanica Classica: possiamo pensare di seguire il moto di ogni particella e individuarne la traiettoria, senza “disturbare” il sistema.

In Meccanica Quantistica non esiste il concetto di traiettoria, che presuppone la conoscenza simultanea della posizione e della velocità delle particelle. Supponiamo di considerare due particelle del tutto identiche, e di determinare con elevata precisione la loro posizione ad un certo istante t , trovando due posizioni r1 e r2 . Supponiamo di ripetere la misura ad un successivo istante t’, trovando delle posizioni r1’ e r2 ‘. Siamo in grado di dire se la particella in 1 era quella che si trovava in r1 , oppure viceversa? La risposta è NO.

Sara Padovani


3

Principio di indistinguibilità Questo è un principio generale che prende il nome di: PRINCIPIO DI INDISTINGUIBILITÀ‘ dato un sistema contenente N particelle fra loro identiche, è impossibile che una misura dia risultati diversi se si immagina di scambiare fra loro due particelle In altre parole, il sistema deve essere simmetrico rispetto a tutte le permutazioni possibili.

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Principio di indistinguibilità Il principio di indistinguibilità per le particelle identiche deve sempre essere tenuto presente nelle trattazioni di MQ, in particolare nella forma in cui scrivere la funzione d’onda di una particella. La funzione d’onda che descrive il sistema deve essere insensibile allo scambio di due particelle. Sia

Ψa ,b (r1 , r2 , t ) = Ψ (r1 , r2 , t )

la funzione d’onda che descrive il sistema costituito da due particelle identiche non interagenti , tale per cui all’istante t • la particella a si trova nella posizione r1 • la particella b nella posizione r2

Sara Padovani


5

Sistema costituito da due particelle identiche Un sistema costituito da due particelle può essere descritto dalla funzione d’onda:

Ψ (r1 , r2 , t ) che soddisfa all’equazione di Schrödinger:

∂ψ ih = Hˆ ψ ∂t con H hamiltoniano del sistema: 2 2 h h Hˆ = − ∇12 − ∇ 22 + U (r1 , r2 , t ) 2m1 2m2

Sara Padovani


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Sistema costituito da due particelle identiche

La probabilità di trovare la particella 1 nell’elemento di volume d3r1, e la particella 2 nell’elemento d3r2 è definita dal modulo quadro della funzione d’onda: 2

dw ∝ Ψ (r1 , r2 , t ) d 3 r1d 3 r2 che va normalizzato su tutto il volume

2

∫ Ψ (r1 , r2 , t ) d 3 r1d 3 r2 = 1

Sara Padovani


7

Sistema costituito da due particelle identiche SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE STAZIONARIA Se l’energia potenziale U non dipende dal tempo, è possibile risolvere l’Equazione di Schrödinger con il metodo della separazione delle variabili, ponendo:

Ψ (r1 , r2 , t ) = Ψ (r1 , r2 )e

− iEt

h

In tal caso la funzione d’onda Ψ (r1 , r2 ) dipende solo dalle coordinate spaziali e soddisfa all’Equazione di Schrödinger stazionaria:

h2 2 h2 2 − ∇1ψ (r1 , r2 ) − ∇ 2ψ (r1 , r2 ) + U (r1 , r2 )ψ (r1 , r2 ) = Eψ (r1 , r2 ) 2m1 2 m2

Sara Padovani


8

Sistema costituito da due particelle identiche SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE STAZIONARIA Se E è l’energia totale del sistema, esistono due funzioni che possono soddisfare al vincolo E = Ea+Eb

Ψa ,b (r1 , r2 ) = Ψa (r1 )Ψb (r2 )

A

Ψb ,a (r1 , r2 ) = Ψb (r1 )Ψa (r2 )

B

La MQ mi fornisce gli strumenti per costruire una funzione d’onda che descrive lo stato di un sistema costituito da particelle identiche senza specificare quale particella sta in uno stato e quale nell’altro.

Sara Padovani


9

Operatore di scambio Definiamo l’operatore di scambio P che inverte la posizione delle particelle:

PΨ (r1 , r2 ) = Ψ (r2 , r1 ) Applicando l’operatore P due volte, si deve riottiene la situazione iniziale ossia:

P 2 Ψ (r1 , r2 ) = PΨ (r2 , r1 ) = Ψ (r1 , r2 ) Quindi:

P2 ha autovalore 1 P ha autovalori ±1 Significa che esistono due tipologie di funzioni d’onda che possono descrivere il sistema:

Sara Padovani

Ψ (r2 , r1 ) = + Ψ (r1 , r2 )

Simmetrica

Ψ (r2 , r1 ) = − Ψ (r1 , r2 )

Antisimmetrica


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Sistema costituito da due particelle identiche SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE STAZIONARIA Se E è l’energia totale del sistema, esistono due funzioni che possono soddisfare al vincolo E = Ea+Eb

Ψa ,b (r1 , r2 ) = Ψa (r1 )Ψb (r2 )

A

Ψb ,a (r1 , r2 ) = Ψb (r1 )Ψa (r2 )

B

Ci sono due funzioni d’onda che descrivono un sistema costituito dalla combinazione lineare degli stati A e B :

Ψ± (r1 , r2 ) = A(Ψa (r1 )Ψb (r2 ) ± Ψb (r1 )Ψa (r2 )) Esistono due tipologie di particelle!!!

Sara Padovani


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Bosoni e fermioni Sistema a due particelle

Funzione simmetrica

BOSONI

Particelle con spin intero

Ψ+ = ΨS (r1 , r2 ) = AS (Ψa (r1 )Ψb (r2 ) + Ψb (r1 )Ψa (r2 )) Ψ− = ΨA (r1 , r2 ) = AA (Ψa (r1 )Ψb (r2 ) − Ψb (r1 )Ψa (r2 ))

Funzione antisimmetrica

Sara Padovani

FERMIONI


Particelle con spin semi- intero

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Fermioni identici Ritorniamo alla funzione antisimmetrica che descrive due fermioni:

Ψ− = ΨA (r1 , r2 ) = AA (Ψa (r1 )Ψb (r2 ) − Ψb (r1 )Ψa (r2 )) Supponiamo di avere due fermioni identici, ovvero che

Ψa (r1 ) = Ψb (r1 ) Ψa (r2 ) = Ψb (r2 ) Si ha che

ΨA (r1 , r2 ) = AA (Ψa (r1 )Ψb (r2 ) − Ψb (r1 )Ψa (r2 )) = 0 2

ΨA (r1 , r2 ) = 0 due fermioni identici, non possono occupare lo stesso stato quantico Sara Padovani


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Principio di esclusione di Pauli

Formulato nel 1925 dichiara che:

due fermioni identici, non possono occupare lo stesso stato quantico.

E' il principio di esclusione di Pauli che permette ad un oggetto di non dissolversi nelle vostre mani, dato che ogni fermione occupa uno spazio vitale che non può spartire.

Sara Padovani


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Bosoni e fermioni La funzione d’onda totale può essere espressa come il prodotto di una funzione spaziale α e una di spin β Funzione d’onda totale = α (funzione spaziale) × β(funzione di spin)

Ψ = Yl m (ϑ , ϕ ) × β ( spin )

La parte spaziale descrive il moto orbitale di una particella rispetto all’altra ed e’ rappresentata dalle ϕ) armoniche sferiche Ylm(θ θ,ϕ

E’ una funzione • simmetrica per spin paralleli • antisimmetrica per spin antiparalleli

BOSONI: α e β entrambe simmetriche o antisimmetriche FERMIONI: Sara Padovani

α simmetrica β antisimmetrica

… o viceversa


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Bosoni e fermioni Funzione simmetrica

BOSONI


Ψ+ = ΨS (r1 , r2 ) = AS (Ψa (r1 )Ψb (r2 ) + Ψb (r1 )Ψa (r2 )) Ψ− = ΨA (r1 , r2 ) = AA (Ψa (r1 )Ψb (r2 ) − Ψb (r1 )Ψa (r2 )) Funzione antisimmetrica

FERMIONI


FERMIONI: funzione d’onda anti-simmetrica per inversione spaziale. Non possono quindi coesistere nello stesso stato (al più possono esistere due fermioni nello stesso stato energetico, ma con spin opposto) BOSONI: funzione d’onda simmetrica per inversione spaziale. Come conseguenza di questo fatto possono coesistere nello stesso stato anche in numero molto grande. Sara Padovani


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Modello standard: bosoni e fermioni Nel modello standard fermioni e bosoni sono le due categorie di particelle fondamentali: i quanti di materia e i quanti di forza. FERMIONI (quanti di materia) corrispondono alle particelle che costituiscono la materia (nuclei, atomi, molecole) cioè i quark (di cui sono formati i protoni e i neutroni, costituenti del nucleo atomico), l'elettrone e il neutrino, più altre repliche dello stesso tipo di particelle (con le stesse interazioni) ma molto più pesanti e quindi instabili. BOSONI (quanti di forza): particelle che, nella concezione duale ondacorpuscolo della MQ, sono i portatori delle forze fondamentali che si esercitano tra le particelle elementari e che quindi ne determinano le interazioni.

FORZE FONDAMENTALI

Sara Padovani

l'elettromagnetica

fotone

debole

bosoni W± e Z

forte

gluoni

gravitazionale

gravitone


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Modello standard: bosoni e fermioni Nel modello standard fermioni e bosoni sono le due categorie di particelle fondamantali: i quanti di materia e i quanti di forza.

ν

Sara Padovani

γ±


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Lo spin

Nel suo famoso articolo del 1925, in cui enunciò il principio di esclusione, Wolfgang Pauli introdusse per la prima volta quattro numeri quantici per descrivere compiutamente lo stato degli elettroni all'interno degli orbitali atomici. Il quarto numero quantico introdotto da Pauli era lo "spin", momento angolare intrinseco associato alla particella.

Dal punto di vista sperimentale, nel frattempo, i tempi erano maturi per l'osservazione degli effetti di tale ipotesi.

Sara Padovani


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1. Particelle identiche e spin 2. Meccancia statistica classica (Maxwell-Boltzmann) 3. Statistiche quantistiche (Fermi-Dirac e Bose-Einstein) 4. Gas di fotoni (applicazione della statistica di Bose-Einstein) 5. Gas di elettroni-metalli (applicazione della statistica di Fermi-Dirac) 6. Teoria delle bande per i solidi (cenni) 7. Fisica dei semiconduttori

Sara Padovani


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Meccanica statistica La meccanica statistica è un ramo della fisica che studia il comportamento e le proprietà medie di sistemi costituiti da un numero molto grande di particelle: lo strumento di queste analisi sono i metodi e le tecniche della statistica, applicati alla descrizione del moto delle particelle. Si è sviluppata nel corso del XIX secolo principalmente per merito del fisico inglese James Clerk Maxwell, del fisico austriaco Ludwig Boltzmann e del fisico matematico statunitense J. Willard Gibbs. Convinti che la materia fosse costituita da un gran numero di particelle minuscole (atomi e molecole) in costante movimento, questi scienziati erano consapevoli del fatto che la determinazione del moto di ogni singola particella, in base all'applicazione della meccanica newtoniana, fosse un procedimento impraticabile. Maxwell, Boltzmann e Gibbs svilupparono metodi statistici che permettessero di descrivere la dinamica delle singole particelle in termini di valori medi delle variabili microscopiche, e di dedurre da questi le caratteristiche termodinamiche macroscopiche dei sistemi.

Sara Padovani


21

Meccanica statistica quantistica Negli anni Venti la meccanica statistica venne riformulata, al fine di includere i nuovi principi della teoria quantistica. La natura delle particelle infatti, così come viene intesa dalla teoria quantistica, è diversa da quella tipica della teoria classica, basata sui principi della dinamica di Newton. Due particelle classiche sono teoricamente distinguibili, (possono essere distinte apponendo a ciascuna un'etichetta di riconoscimento) le particelle quantistiche sono del tutto indistinguibili. La nuova teoria di fisica richiese una ridefinizione generale dei principi della meccanica statistica: inoltre, fu necessario utilizzare due diversi metodi statistici per descrivere le proprietà fisiche di sistemi di particelle quantistiche. Per la descrizione statistica di sistemi di particelle dotate di spin semi-intero (fermioni) si richiedeva la statistica di Fermi-Dirac, mentre per sistemi di particelle dotate di spin intero (i bosoni) era necessaria la statistica di BoseEinstein.

Sara Padovani


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Meccanica statistica classica: Maxwell e Boltzmann

Statistica classica: La statistica di Maxwell-BoItzmann è stata ricavata nell'ambito dello studio della teoria cinetica dei gas, nella quale si assume che le molecole interagiscono tra di loro molto debolmente e solo durante le collisioni: si possono quindi trascurare tutti gli altri tipi di forze possibili. Sistema chiuso di N particelle distinguibili “debolmente” interagenti

L. Boltzmann Sara Padovani


C. Maxwell 23

Statistica di Maxwell-Boltzmann IPOTESI: 1. Sistema chiuso 2. Particelle distinguibili 3. Interazioni deboli particelle non-interagenti 4. N=cost. E=cost. 5. Tutti i parametri rilevanti (volume, ...) che determinano gli stati del sistema sono costanti. 6. Si conoscono gli “stati di particella singola” 1, 2, ... S e le loro energie ε1, ε2, ... S

1 ε1 N1

2 ε2 N2

3 ε3 N3

... … …

S εS NS

∑N

i

=N

i =1 S

∑ε

Vincoli i

⋅ Ni = E

i =1 Sara Padovani


24

Statistica di Maxwell-Boltzmann

S

1 ε1 N1

2 ε2 N2

3 ε3 N3

... … …

S εS NS

∑N

i

=N

i =1 S

∑ε

Vincoli i

⋅ Ni = E

i =1

Ho realizzato una ripartizione detta MACROSTATO Questa ripartizione può essere fatta in un certo numero di MODI o MICROSTATI (W)

Sara Padovani


25


In quanti modi posso realizzare questa ripartizione?

Sara Padovani


26


Voglio determinare: 1. Il numero di modi W associato ad una certa ripartizione (macrostato) Tutti i modi (microstati) che rispettano i vincoli sono equiprobabili Lo stato di equilibrio del sistema è quello più probabile, cioè quello che può essere realizzato col massimo numero di modi possibili (principio di massima verosimiglianza)

IP

2. La distribuzione statistica n(E) che descrive il sistema all’equilibrio termico

Sara Padovani


27

Statistica di Maxwell-Boltzmann Numero di modi: sistema con numero finito di stati Possibilità di mettere N1 particelle nello stato 1 ordinatamente

N! W = N ( N − 1)( N − 2)K ( N − ( N1 − 1)) = (N − N1 )! ' 1

ciascuna di queste può essere ottenuta con N1! differenti permutazioni delle particelle quindi le possibilità distinte sono

N  N! W1 = =   N1!( N − N1 )!  N1 

Lo stato 2 potrà essere occupato nel numero di modi:

W2

Coefficiente binomiale

( N − N1 )! = N 2 !( N − N1 − N 2 )! S

W = W1 ⋅ W2 ⋅K ⋅ WS Sara Padovani

si ottiene

1 W = N !∏ i =1 N i !


Numero di modi 28


Sara Padovani


29

Statistica di Maxwell-Boltzmann Distribuzione più probabile Applichiamo ora il PRINCIPIO DI MASSIMA VEROSIMIGLIANZA: un sistema fisico reale le particelle tenderanno a disporsi secondo la configurazione che prevede il numero massimo possibile di modi W Questo significa che per un sistema fisico reale l’equazione di W sarà massimizzata da una particolare configurazione delle partizioni N1, ..., NS. Ricordiamo che non tutte le configurazioni delle partizioni sono ammesse, ma solo quelle che rispettano i vincoli di esclusione introdotti prima. Inoltre ipotizziamo che all’equilibro termodinamico il sistema è nella sua configurazione più probabile.

Sara Padovani


30

Statistica di Maxwell-Boltzmann Distribuzione più probabile: Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Per la risoluzione di un problema di massimizzazione vincolata si può applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange che riduce l’analisi ad una massimizzazione semplice di una funzione in Ni. Tale metodo consiste nel massimizzare la funzione:

 S   S  L( N 1 , K, N s , α , β ) = ln W − α  ∑ N i − N  − β  ∑ ε i ⋅ N i − E   i =1   i =1  La condizione necessaria per avere un estremo è che le derivate parziali si annullino:

∂L =0 ∂N i Sara Padovani

∂L =0 ∂α Fisica Moderna 2009/2010

∂L =0 ∂β 31

Statistica di Maxwell-Boltzmann Distribuzione più probabile: Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

 S   S  L( N 1 , K , N s , α , β ) = ln W − α  ∑ N i − N  − β  ∑ ε i ⋅ N i − E   i =1   i =1  La condizione necessaria per avere un estremo è che le derivate parziali si annullino: S

∂L =0 ∂α

∑N

∂L =0 ∂β

S

∂L =0 ∂N i

i

=N

i =1

∑ε

i

⋅ Ni = E

i =1

∂ ln W − α − βε i = 0 ∂N i

Fornisce i valori N1, ..., NS per la distribuzione più probabile Sara Padovani


32

Statistica di Maxwell-Boltzmann Formula di Stirling

ln N!≅ N ln(N ) − N

Sara Padovani


33

Statistica di Maxwell-Boltzmann Distribuzione più probabile S

1 W = N !∏ i =1 N i !

s

ln W = ln N !−∑ ln N i !

Formula di Stirling

s

∆ ln W = −∑ ∆ ln N i !

i =1

i =1

ln N!≅ N ln(N ) − N s

∆ ln W ≅ − ∑ ln N i ∆N i i =1

Distribuzione

1 N i = α βε i e e Sara Padovani

∂ ln W − α − βε i = 0 ∂N i Fisica Moderna 2009/2010

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Statistica di Maxwell-Boltzmann Numero di modi: caso generale La situazione reale, però, comporta generalmente un numero molto grande di stati che avranno occupazione medio bassa. Si suddivide l’ energia in intervalli ∆E abbastanza grandi da contenere un numero gi (degenerazione) sufficientemente grande di stati x aventi energie εi1, εi2, εi3,… Tale che sia

∆E 1

Ni>> 1

Avrò quindi una ripartizione delle particelle nei vari intervalli, caratterizzata dalle Ni e tale per cui

∑N Sara Padovani


i

=N 35

Statistica di Maxwell-Boltzmann Numero di modi: caso generale I modi per disporre N1 particelle nel primo intervallo sono

N  N! W1 =   =  N1  N1!( N − N1 )! Ma le N1 particelle possono essere messe nei g1 stati, quindi avrò g1 possibilità per la prima, g1 per la seconda ecc... In totale avrò quindi possibilità diverse di sistemazione

W1 = g1

N1

N! N1!( N − N1 )!

Numero di modi S

W = W1 ⋅ W2 ⋅ K ⋅ WS

Sara Padovani

si ottiene


N

gi i W = N !∏ i =1 N i ! 36

Statistica di Maxwell-Boltzmann Distribuzione più probabile: caso generale

g Ni W = N !∏ i =1 N i ! S

s

s

i =1

i =1

ln W = ln N + ∑ N i ln g i − ∑ ln N i !  gi  ∆ ln W ≅ ∑ ln g i ∆N i − ∑ ln N i ∆N i = ∑ ln ∆N i i =1 i =1 i =1  Ni  s

s

s

Distribuzione

gi N i = α βE e e Sara Padovani

∂ ln W − α − βε i = 0 ∂N i Fisica Moderna 2009/2010

37

Statistica di Maxwell-Boltzmann Distribuzione più probabile: caso generale La distribuzione più probabile, che risulta essere:

gi N i = α βεi e e

numero medio di particelle per stato

Ni 1 = α βε i ni = gi e e

Fattore di Boltzmann

Distribuzione di Maxwell- Bollzmann valida per particelle “classiche” distinguibili

Sara Padovani


38

Statistica di Maxwell-Boltzmann Funzione di partizione Al fine di determinare i parametri α e β si definisce la funzione di partizione Z ed si esprime il numero medio di particelle per stato ni in funzione di Z:

gi N i = α βε i e e

N = ∑ N i = ∑ g i e −α e − βε i =e −α ∑ g i e − βε i stati

stati

stati

Z = ∑ g i e − βε i stati

e −α =

N Z

α = ln Z − ln N

Sara Padovani


39

Statistica di Maxwell-Boltzmann Funzione di partizione Descriviamo l’energia media per particella termini della funzione di partizione:

Ni =

N g i e − βε i Z

N E = ∑ ε i Ni = Z stati

Z = ∑ g i e − βε i stati

∑gε e

− βε i

i i

stati

∂ ln Z E ε = =− ∂β N

Sara Padovani

∂Z = −∑ g iε i e − βε i ∂β stati

N ∂Z ∂ ln Z =− = −N Z ∂β ∂β

Energia media per particella


40

Statistica di Maxwell-Boltzmann Distribuzione più probabile: distribuzione continua di stati Nel caso in cui lo spettro di energia di particella singola possa essere considerato continuo, e ciò avviene quando il volume è grande:

g N i = α iβεi e e

Ni 1 ni = = α βε i gi e e

Sara Padovani

g (ε ) N (ε )dε = α βE dε e e

1 N (ε ) = α βE n(ε ) = g (ε ) e e


numero di particelle che popolano i livelli compresi nell’intervallo ε e ε+dε

numero medio di particelle che occupano un singolo stato

41

Statistica di Maxwell-Boltzmann Distribuzione continua di stati Funzione di partizione ∞

Z = ∑ g i e − βε i

Z = ∫ g (ε )e − βε dε

stati

0

ds Se la densità degli stati è definita come: g (E ) = dE N − βε i Ni 1 − a − βε i dn = e e ds = e g (ε )dε ni = = α βε i Z gi e e Numero medio di particelle per stato

ni = Sara Padovani

N g i e − βε i Z

dn =


N g (ε )e − βε i dε Z 42

Statistica di Maxwell-Boltzmann Calcolo di α e β

∂ ln Z ε =− ∂β Energia media per particella

Per il calcolo dei parametri α e β è necessario procedere al calcolo della funzione di partizione Z.

∞

Z = ∫ g (ε )e 0

α = ln Z − ln N

− βε

dε

N dn = g (ε )e − βε i dε Z

Calcolo densità degli stati per un sistema classico Sara Padovani


43

Statistica di Maxwell-Boltzmann Densità degli stati Numero di stati nel volume infinitesimo dello spazio delle fasi

ds * = Cdxdydzdp x dp y dp z Integrando su tutto il volume occupato dal gas

ds = CVdp x dp y dp z = CV 4πp 2 dp

p2 E= 2m

Energia delle particelle libere

dp ds = CV 4πp = CVg ( p) dE dE 2

3

g (ε ) = ds / dε = 2πCV (2m ) Vε Sara Padovani


2

1

2

44

Statistica di Maxwell-Boltzmann Densità degli stati

Sara Padovani


45

Statistica di Maxwell-Boltzmann Calcolo della funzione di partizione Nota la densità degli stati: 3

g (ε ) = 2πC (2m ) 2 Vε

1

2

= BVε

1

2

Calcolo la funzione di partizione: ∞

Z = ∫ g (ε )e 0

− βε

∞

dε

Z = ∫ g (ε )e

− βε

dε = BVβ

π 2

Z = (2πm ) 2 CVβ


−3

2

2

0

3

Sara Padovani

−3

1

2

46

Statistica di Maxwell-Boltzmann Calcolo di α e β 3

Z = (2πm ) CVβ 2

−3

2

3 −3  V 2 α = ln (2πm ) Cβ 2  N 

α = ln Z − ln N

Teoria cinetica del gas ideale

Sara Padovani

∂ ln Z ε =− ∂β

3 ε = KT 2


1 β= KT

47


Sara Padovani


48

Statistica di Maxwell-Boltzmann Distribuzione di Maxwell-Boltzmann 3 −3  V 2 α = ln (2πm ) Cβ 2  N 

1 β= KT

3

g (ε ) = 2πCV (2m ) Vε Numero medio di particelle per stato

Funzione di distribuzione

Distribuzione di Maxwell-Boltzmann

Sara Padovani

2

1

2

= BVε

1

2

dn = g (ε )e −α e − βε i dε

1 dn f (ε ) = N dε f MB (ε ) =


2

π

−3

(KT ) ε 2

1

2

e

−ε

KT

49

Statistica di Maxwell-Boltzmann Distribuzione di Maxwell-Boltzmann a varie temperature

f MB (ε ) =

Sara Padovani


2

π

−3

(KT ) 2 ε

1

2

e

−ε

KT

50

Statistica di Maxwell-Boltzmann Distribuzione di Maxwell delle velocità

f MB (ε ) =

1 2 ε = mv 2

Distribuzione di Maxwell delle velocità

Sara Padovani

v=

2

−3

π

(KT ) 2 ε

2 ε m

1

2

e

−ε

KT

dε F (v)dv = f (ε (v )) dv dv

3

 m  2 2 −mv2 2 KT F (v ) = 4π   v e  2πKT 


51

Statistica di Maxwell-Boltzmann Distribuzione di Maxwell delle velocità 3

 m  2 2 −mv2 2 KT F (v ) = 4π   v e  2πKT 

v 2 = ∫ v 2 F (v )dv

1 3 2 mv = KT 2 2

Sara Padovani


52

Statistica di Maxwell-Boltzmann Distribuzione di Maxwell delle velocità

Sara Padovani


53


La statistica di Maxwell-Boltzmann fornisce delle buone previsioni sul comportamento di un gas in condizioni normali (pressione atmosferica: P = 1 atm; temperatura ambiente: T = 300 °K). Ma molti fenomeni risultano comunque del tutto incomprensibili dal punto di vista della fisica classica, tra cui ricordiamo: 1. Calore specifico dei solidi a basse temperature 2. Emissione corpo nero (legge di Rayleigh/Jeans)

Sara Padovani


54

Statistica di Maxwell-Boltzmann Calore specifico

Calore specifico a volume costante

 ∂E   ∂ε  CV =   = NA   ∂T V  ∂T V

Gas monoatomico

ε =

3 KT 2

CV =

3 R 2

Una mole di solido (Gli atomi vengono trattati come oscillatori tridimensionali)

Sara Padovani

ε = 3KT


CV = 3R

55

Statistica di Maxwell-Boltzmann Calore specifico a basse temperature Secondo la fisica classica, il calore specifico deve rimanere finito anche allo zero assoluto. Questo fatto è però in contrasto con l'esperienza: infatti il calore specifico decresce man mano che ci si avvicina allo zero assoluto (la cosa fu predetta da Nerst nel 1916 ed il processo, allora ancora ignoto, secondo cui il calore specifico decresce lo chiamò degenerazione del gas, mentre un gas a temperature vicine allo zero assoluto venne chiamato degenere).

Calore specifico CV del rame in funzione della temperatura Sara Padovani


56

Radiazione di corpo nero Legge di Rayleigh/Jeans Uno degli insuccessi della teoria classica ondulatoria è il calcolo della radiazione emessa da un corpo nero. Raileigh e Jeans descrissero la distribuzione di intensità I delle onde emesse in funzione della lunghezza d’onda λ, modellando la radiazione di corpo nero come quella proveniente da un insieme di oscillatori che possono emettere ed assorbire radiazione ad ogni frequenza:

dI KT = 2πc 4 dλ λ Il calcolo di Rayleigh e Jeans riproduce i dati sperimentali solo per grandi λ, per piccole λ la formula è errata CATASTROFE ULTRAVIOLETTA Sara Padovani


57

Lezione 2

1. Statistiche quantistiche • Fermi-Dirac • Bose-Einstein 2. Gas di Fermi 3. Gas di fotoni (applicazione della statistica di Bose-Einstein)

Sara Padovani


58

Meccanica statistica classica è à è

! "

Sara Padovani


59

Statistica di Maxwell-Boltzmann Distribuzione di Maxwell-Boltzmann a varie temperature Maxwell e Boltzmann svilupparono metodi statistici per descrivere la dinamica delle singole particelle in termini di valori medi delle variabili microscopiche, e di dedurre da questi le caratteristiche termodinamiche macroscopiche dei sistemi.

f MB (ε ) =

2

π

−3

(KT )

1

2

ε e 2

−ε

KT

La statistica di Maxwell-Boltzmann fornisce delle buone previsioni sul comportamento di un gas in condizioni normali (pressione atmosferica: P = 1 atm; temperatura ambiente: T = 300 °K).

Sara Padovani


60

Meccanica statistica quantistica # $

PRINCIPIO DI INDISTINGUIBILITÀ dato un sistema contenente N particelle fra loro identiche, è impossibile che una misura dia risultati diversi se si immagina di scambiare fra loro due particelle Il sistema deve essere simmetrico rispetto a tutte le permutazioni possibili.

Sara Padovani


61

Meccanica statistica quantistica % à

&

'

! !

" " Funzione simmetrica

BOSONI


Ψ+ = ΨS (r1 , r2 ) = AS (Ψa (r1 )Ψb (r2 ) + Ψb (r1 )Ψa (r2 )) Ψ− = ΨA (r1 , r2 ) = AA (Ψa (r1 )Ψb (r2 ) − Ψb (r1 )Ψa (r2 )) Funzione antisimmetrica

FERMIONI


PRINCIPIO DI ESCLUSIONE DI PAULI due fermioni identici, non possono occupare lo stesso stato quantico. Sara Padovani


62

Statistiche quantistiche

A. Einstein E. Fermi S. N. Bose P. Dirac Sara Padovani


63

Statistica di Maxwell-Boltzmann Abbiamo determinato: Il numero di modi W (MICROSTATI) associato ad una certa configurazione (MACROSTATO) S

N

gi i W = N !∏ i =1 N i ! La distribuzione statistica n(E) che descrive il sistema all’equilibrio termico

Ni 1 = α βε i ni = gi e e Tutti i modi (microstati) che rispettano i vincoli sono equiprobabili Lo stato di equilibrio del sistema è quello più probabile, cioè quello che può essere realizzato col massimo numero di modi possibili Sara Padovani


64

Statistiche quantistiche Ipotesi 1. Sistema chiuso 2. Interazioni deboli particelle non-interagenti 3. N=cost. E=cost. 4. Tutti i parametri rilevanti (volume, ...) che determinano gli stati del sistema sono costanti. 5. Si conoscono gli “stati di particella singola” 1, 2, ... s e le loro energie ε1, ε2, ... 6. Particelle indistinguibili (c’è solo un modo di mettere Ni particelle nello stato i) 7. Particelle dipendenti (se la particella 1 si trova nello stato g1, altera la probabilità che 2 si trovi in g2) 1 ε1 N1 Sara Padovani

2 ε2 N2

3 ε3 N3

... … …

∑N

i

=N

i =1

∑ε

Vincoli i

⋅ Ni = E

i =1 Fisica Moderna 2009/2010

65

Statistiche Esempio: 2 particelle in 3 stati Maxwell-Boltzmann: il numero di modi W associato ad una certa configurazione

Particelle distinguibili

Bosoni

Fermioni

9 modi

6 modi

Sara Padovani

N

gi i 32 W = N !∏ = 2! = 9 2! i =1 N i ! S


3 modi

66

Statistiche Numero di modi: caso generale La situazione reale, però, comporta generalmente un numero molto grande di stati che avranno occupazione medio bassa. Si suddivide l’ energia in intervalli ∆E abbastanza grandi da contenere un numero gi (degenerazione) sufficientemente grande di stati x aventi energie εi1, εi2, εi3,… Tale che sia

∆E 1

Ni>> 1

Avrò quindi una ripartizione delle particelle nei vari intervalli, caratterizzata dalle Ni e tale per cui

∑N Sara Padovani


i

=N 67

Particelle indistinguibili: FERMIONI gi stati Ni fermioni gi- Ni stati vuoti

p1

p2

p3

p4

p5

I gi stati possono essere occupati in gi! modi diversi Per ciascuno di questi modi vi sono (gi-Ni) stati liberi che possono essere realizzati in (gi-Ni)! modi diversi indistinguibili Anche gli Ni! modi di scegliere gli stati occupati sono equivalenti perché le particelle sono indistinguibili

gi ! Wi = N i !(g i − N i )!

In totale i modi possibili sono:

Sara Padovani

gi ! W =∏ N i !( g i − N i )!


68

Particelle indistinguibili: BOSONI gi stati Ni bosoni gi- 1 setti mobili

Descrizione della configurazione: combinazione di Ni+ (gi-1) oggetti

Il numero di disposizioni possibili di particelle e setti è:

[

(

)]

Wi ' = N i + g i − 1 ! Di queste Ni! rappresentano diverse disposizioni delle particelle (indistinguibili) e (gi-1)! sono le disposizioni dei setti (che non comportano modifiche al sistema)

Wi Sara Padovani

[ N + (g = i

i

]

− 1) !

N i !(g i − 1)! Fisica Moderna 2009/2010

W =∏

[N + (g i

i

)]

−1 !

N i !( g i − 1)! 69

Particelle indistinguibili: sistema diluito IPOTESI: Ni0. Quindi invece di cercare il massimo di W, calcoliamo il massimo per la funzione lnW. Utilizzamo l’approssimazione di Stirling, nell’ipotesi Ni>>1. Sara Padovani


73

Statistiche quantistiche Distribuzione più probabile: Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

 S   S  L( N 1 , K, N s , α , β ) = ln W − α  ∑ N i − N  − β  ∑ ε i ⋅ N i − E   i =1   i =1  La condizione necessaria per avere un estremo (massimo) è che le derivate parziali si annullino:

Sara Padovani

S

∂L =0 ∂α

∑N

∂L =0 ∂β

S

∑ε

∂L =0 ∂N i

∂ ln W − α − βE = 0 ∂N i

i

=N

i =1

i

⋅ Ni = E

i =1


Fornisce i valori N1, ..., NS per la distribuzione più probabile

74

Statistica di Fermi-Dirac Distribuzione più probabile Stirling

gi ! W =∏ N i !( g i − N i )!

 gi  ∆ ln W ≅ ∑ ln − 1∆N i  Ni 

Distribuzione

Ni 1 ni = = α βε i gi e e + 1

Sara Padovani


∂ ln W − α − βE = 0 ∂N i

75

Statistica di Fermi-Dirac Distribuzione più probabile

Sara Padovani


76

Statistica di Bose-Einstein Distribuzione più probabile

W =∏

[N + (g

Stirling

]

− 1)! N i !( g i − 1)! i

i

  gi ∆ ln W ≅ ∑ ln + 1∆N i  Ni 

Distribuzione

Ni 1 ni = = α βε i gi e e − 1

Sara Padovani


∂ ln W − α − βE = 0 ∂N i

77

Statistica di Bose-Einstein Distribuzione più probabile

Sara Padovani


78

Confronto dei risultati

g Ni W = N !∏ i =1 N i ! S

W =∏

W =∏

Sara Padovani

ni =

gi ! N i !( g i − N i )!

[N + (g

)]

−1 ! N i !(g i − 1)! i

i


Ni 1 = α βεi gi e e

ni =

Ni 1 = α βεi gi e e + 1

ni =

Ni 1 = α βεi gi e e − 1

79

Statistica di Fermi-Dirac Distribuzione di Fermi-Dirac

εF ENERGIA DI FERMI

1

f FD (ε ) =

ε −ε F

e

kT

+1

L’andamento di questa distribuzione è molto particolare: • Il termine esponenziale ha limiti diversi per T 0 a seconda che l’enegia ε sia maggiore o minore dell’energia di Fermi:

1  f FD (ε ) =  0  • Per ε =ε F

Sara Padovani

ε < εF ε > εF

fFD = 1/2


80

Statistica di Fermi-Dirac Effetti della temperatura sulla distribuzione di Fermi-Dirac εF ENERGIA DI FERMI

1

f FD (ε ) =

ε −ε F

e

kT

+1

T=0

T>0

Allontanandosi dalla condizione T=0 la cassetta si “smussa” Sara Padovani


81

Statistica di Fermi-Dirac Distribuzione di Fermi-Dirac

1

f MB (ε ) =

ε −ε F kT

e

1

f FD (ε ) =

ε −ε F

e

kT

+1

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann è un caso limite di quella di FermiDirac per energie molto alte, se tuttavia l’energia cala, per i fermioni la probabilità di occupazione di uno stato su un livello energetico a energia E segue una via diversa e per energie pari a EF, detta Energia di Fermi, vale ½. Sara Padovani


82

Statistica di Fermi-Dirac Confronto:Fermi-Dirac e Maxwell-Boltzmann

1

f MB (ε ) =

ε −ε F

e

1

f FD (ε ) =

kT

ε −ε F

e

kT

+1

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann prevede che a basse temperature sia lo stato a minore energia ad essere popolato sempre più in proporzione ai livelli eccitati

Nel caso dei fermioni, esiste un valore massimo di popolazione (al max la generazione dei livelli) Nel limite di T 0, le particelle riempiranno tutti i livelli ad energia minima compatibilmente col principio di esclusione, fino al livello EF

Sara Padovani


MOLECOLE

FERMIONI

T=0

T=0

E E=EF

E=0 83

Statistica di Fermi-Dirac Effetti della temperatura sulla distribuzione di Fermi-Dirac

T=0

T=bassa

T=alta

E E=EF

E=0

Livelli energetici e energia di Fermi

Sara Padovani


84

Confronto tra le statistiche è !" # à # é "

1

f MB (ε ) =

ε −ε F

e

1

f FD (ε ) =

kT

f BE (ε ) =

ε −ε F

e

kT

1

+1

ε −ε F

e

kT

−1

E -> 0 (cioè per T -> 0 ma T 0) •

GAS DI BOSONI: si origina una condensazione del gas stesso, cioè, i bosoni costituenti il gas tendono ad occupare tutti lo stesso stato energetico (E = E0)

•

GAS DI FERMIONI: un solo fermione si troverà nello stato a cui compete energia zero, tutti gli altri andranno ad occupare stati ad energia superiore fino a che non siano esauriti i fermioni stessi (livello energetico EF).

Sara Padovani


85

Statistica di Bose-Einstein Distribuzione di Bose-Einstein

1

f BE (ε ) =

ε −ε F

e

kT

−1

Il significato fisico della distribuzione per i BOSONI è completamente

differente di quella per i FERMIONI non esiste alcun vincolo superiore all’occupazione di un qualunque livello energetico MOLECOLE

BOSONI

FERMIONI

T=0

T=0

T=0

E E=EF

E=0 Sara Padovani


86

Gas di Fermi

E. Fermi

P. Dirac Sara Padovani


87

Gas di Fermi Densità degli stati: N particelle indistinguibili in una scatola cubica Si abbiano N particelle in una scatola di volume V=L3. All’ interno della scatola il potenziale è nullo e l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo di ogni particella è:

h  ∂2 ∂2 ∂2   2 + 2 + 2 ψ (r ) = Eψ (r ) − 2m  ∂ x ∂ y ∂ z  La funzione d’onda normalizzata al volume V è fattorizzabile e risulta essere:

 n1π   n2π   n3π  ψ k (r ) = Asen ⋅ x  sen ⋅ y  sen ⋅ z  L   L   L  Con ni interi positivi. Questa è un’onda stazionaria. con

Sara Padovani

k1 =

n1π L

n 2π k2 = L Fisica Moderna 2009/2010

n3π k3 = L

n = 0,1,2 K 88

Gas di Fermi Densità degli stati: N particelle in una scatola cubica Essendo:

h2 2 E= k 2m I valori di energia sono: 2

h π  2 2 2 2 2 2 E=   n1 + n2 + n3 = E0 n1 + n2 + n3 2m  L  2

Sara Padovani

(

)


(

)

89

Gas di Fermi N particelle in una scatola cubica: densità degli stati Nel guscio sferico di spessore dk si trovano dS stati, la densità degli stati è definita come:

g (E ) =

dS dE

dS V  k  =   g (k ) = dk 2  π 

2

h2 2 E= k 2m 2

3

 1   2m  2 1 2 g (E ) =    2  VE  2π   h  Sara Padovani


90

Gas di Fermi Densità degli stati

Sara Padovani


91

Gas di Fermi Calcolo della funzione di partizione Nota la densità degli stati: 2

3

1  1   2m  2 1 2 g (ε ) =    2  Vε = BVε 2  2π   h 

Calcolo la funzione di partizione: ∞

Z = ∫ g (ε )e 0

− βε

∞

dε

Z = ∫ g (ε )e

− βε

dε = BVβ

−3

0

π 2

1

2

2

3

 m  2 −32 Z = Vβ 2   2πh  Sara Padovani


92

Gas di Fermi Calcolo di α e β

Z = BVβ

α = ln Z − ln N

1 β= KT Sara Padovani

−3

π 2

1

2

2

3

 m  2 −32 Z = Vβ 2   2πh 

 V  m  32 − 3  2 α = ln  β   N  2πh 2    

… non lo dimostriamo...


93

Gas di Fermi Distribuzione di Fermi-Dirac 3

2

1  1   2m  2 1 2 g (ε ) =    2  Vε = BVε 2  2π   h 

Numero medio di particelle per stato

1

dn = g (E ) e


Distribuzione di Fermi-Dirac

Sara Padovani

f (E ) = V f (E) = 2 8π


E − EF

KT

dE +1

1 dn N dE

2m 3 E 1/ 2 h 3 e E − EF KT + 1 94

Gas di fotoni

A. Einstein

S. N. Bose

Sara Padovani


95

Gas di Fotoni Studio del “gas di fotoni” come applicazione della statistica di Bose-Einstein. Consideriamo un volume di spazio nel quale onde elettromagnetiche sono in equilibrio termico con le pareti del contenitore. I fotoni, trattati come particelle quantistiche, rappresentano onde elettromagnetiche e per soddisfare le condizioni al contorno con le pareti devono venire associate con onde che si annullano ai bordi. Le condizioni di quantizzazione periodica per il numero d’onda k sono:

n1π k1 = L Quindi essendo

p= Sara Padovani

h 2L

p = hk

(n

2 1

n 2π k2 = L E = cp

e

+ n22 + n32

)

n3π k3 = L

E=


hc 2L

(n

2 1

+ n22 + n32

) 96

Gas di Fotoni Densità degli stati Ci interessa la densità degli stati g(E)=ds/dE. Consideriamo lo spazio 3D con coordinate n1, n2 e n3, raggio n, ed elemento di volume sferico 4 πn2dn. Ci si limita ad un ottante di sfera, e si considerano 2 modi di polarizzazione distinti:

ds 1 g (n)dn = dn = 2 4πn 2 dn dn 8 hc dn E= n g ( E ) = g (n( E )) 2L dE

hc dE = dn 2L

8πL3 2 g (E) = 3 3 E hc Sara Padovani


97

Gas di Fotoni Distribuzione di Bose-Einstein

8πL3 2 g (E) = 3 3 E hc Numero medio di particelle per stato

1

dn = g (E ) e


f (E ) =

Distribuzione di BoseEinstein

Sara Padovani


E

KT

dE −1

1 dn N dE

8πL3 E 2 f (E) = 3 3 E h c e KT − 1 98

Radiazione di corpo nero Legge di Rayleigh/Jeans Uno degli insuccessi della teoria classica ondulatoria è il calcolo della radiazione emessa da un corpo nero. Rayleigh e Jeans descrissero la distribuzione di intensità I delle onde emesse in funzione della lunghezza d’onda λ, modellando la radiazione di corpo nero come quella proveniente da un insieme di oscillatori che possono emettere ed assorbire radiazione ad ogni frequenza:

dI KT = 2πc 4 dλ λ Il calcolo di Rayleigh e Jeans riproduce i dati sperimentali solo per grandi λ, per piccole λ la formula errata CATASTROFE ULTRAVIOLETTA Sara Padovani


99

Radiazione di corpo nero Legge di Planck Nel 1900 Planck propose una teoria della radiazione di corpo nero che riproduceva i dati sperimentali a tutte le lunghezze d’onde. La legge di radiazione postulata da Planck è:

Sara Padovani


dI 1 hc = 2πc 5 hc dλ λ e λKT − 1

100

Radiazione di corpo nero Legge di Planck

dI 1 hc = 2πc 4 hc dλ λ e λKT − 1

dI 8π hν 3 = 3 hν dλ c e KT − 1

Partendo dalla legge di radiazione postulata da Planck si trova:

Alte lunghezze d’onda (hνKT) Legge di Wien

Sara Padovani


8πKT dI =ν 2 dν c3

hν dI 3 8πh − KB =ν e 3 dν c

101

Radiazione di corpo nero Legge di Planck Il problema era quello di giustificare la legge di Planck. Fu Einstein a rendersi conto che Planck aveva introdotto un nuovo concetto nella fisica: il quanto di luce. Oscillatori armonici classici Legge di Rayleigh-Jeans

Oscillatori armonici quantistici

ε = KT 8πKT dI =ν 2 dν c3 hν

ε = e

Legge di Planck

Sara Padovani

hν

KT

−1

dI 8π hν 3 = 3 hν dν c e KB − 1 Fisica Moderna 2009/2010

102

Statistica di Bose-Einstein Legge di Planck

Distribuzione di Bose-Einstein

8πL3 E 2 f (E) = 3 3 E h c e KT − 1

U (ν ) = dnE / V Legge di Planck

8π hν 3 u (ν ) = 3 hν c e KB − 1

Abbiamo dunque ricavato il modello di quantizzazione della radiazione elettromagnetica, che è in eccellente accordo con gli spettri di emissione osservati per un corpo nero in equilibrio termico. Inoltre, la legge di Planck è ora pienamente giustificata da una trattazione statistica nella quale i fotoni sono descritti in termini della quantistica bosonica.

Sara Padovani


103


1. Particelle identiche e spin 2. Statistica classica (Maxwell-Boltzmann) 3. Statistiche quantistiche (Fermi-Dirac e Bose-Einstein) 4. Gas di fotoni (applicazione della statistica di Bose-Einstein) 5. Gas di elettroni-metalli (applicazione della statistica di Fermi-Dirac) 6. Teoria delle bande per i solidi (cenni) 7. Fisica dei semiconduttori

Sara Padovani


104

Metalli

Circa i tre quarti degli elementi chimici conosciuti sono metalli.

IA IIA

IIIA IVA VA VIA

IIIB IVB VB VIB VIIB

IB IIB

VIIIB

La linea rossa divide i metalli dai non metalli

Alcalini

METALLI

Alcalino terrosi Transizione Sara Padovani

Gas nobili Terre rare Altri metalli Fisica Moderna 2009/2010

Alogeni Non metalli 105

Metalli Metalli con elettroni di valenza in orbitali s e p Gli elettroni più esterni di un atomo che sono coinvolti in un legame sono chiamati elettroni di valenza. Gli elettroni del nocciolo non vengono coinvolti nel legame. Il numero degli elettroni di valenza è eguale al numero del gruppo. ALCALINI Gruppo IA 1 elettrone di valenza in un orbitale s

ALCALINO-TERROSI Gruppo IIA 2 elettroni di valenza in un orbitale s

Gruppo IIIA 2 elettroni di valenza in un orbitale s, 1 in orbitale p Sara Padovani


106

Metalli Metalli con elettroni di valenza in orbitali s e p

Gruppo IVA 2 elettroni di valenza in un orbitale s, 2 in orbitale p

Gruppo VA 2 elettroni di valenza in un orbitale s, 3 in orbitale p

Gruppo VIA 2 elettroni di valenza in un orbitale s, 4 in orbitale p

Sara Padovani


107

Metalli Metalli di transizione La più numerosa famiglia di metalli è quella degli elementi di transizione, comprendente 33 membri; in essa gli elettroni di valenza sono disposti secondo regole non semplici negli orbitali d ed s. La famiglia è stata suddivisa in otto gruppi. Gruppi: IB-VIIIB

Lantanidi e attinidi Gli elettroni di valenza in questi metalli sono disposti secondo regole complicate negli orbitali f e s.

Sara Padovani


108

Strutture cristalline

14 Reticoli Sara Padovani


109

Metalli Strutture cristalline

Sara Padovani


110

Metalli Strutture cristalline Il 90% dei metalli presenta struttura: •

cubica a corpo centrato

•

esagonale compatta

•

cubica a facce centrate

Sara Padovani


111

Metalli Strutture cristalline Sono strutture ad alto impacchettamento

Sara Padovani


112

Metalli Il legame metallico I metalli sono caratterizzati da un alta conducibilità elettrica ed in un metallo un gran numero di elettroni (in genere 1 o 2 per atomo) è libero di muoversi liberamente (elettroni di conduzione). Il legame metallico è dovuto alla “nuvola di elettroni liberi” e presenta energie di legame modeste rispetto a gli altri legami (ionico, covalente) quindi po’ essere considerato un legame debole. I metalli hanno bassa energia di ionizzazione (quantità di energia necessaria per strappare un elettrone a un atomo neutro) quindi i loro elettroni esterni sono attratti debolmente dai rispettivi nuclei, e se ne separano facilmente. Sara Padovani


113

Gas di elettroni liberi: modello di Drude à

ò

à

Secondo Drude tutti gli elettroni di valenza diventano conduttori di elettricità e sono chiamati elettroni di conduzione.

Sara Padovani


114

Gas di elettroni liberi: modello di Drude Assunzioni del modello di Drude •

! • ! • " # • à è %& τ τ à • è è • à è ' ()!* ì 3

 m  2 2 − mv 2 2 KT F (v ) = 4π   ve  2πKT  Sara Padovani


115

Gas di elettroni liberi: modello di Drude

•

,

•

à " - !. #

La teorica classica di Drude non spiega: •

capacità termica

•

cammino libero medio elettronico l = vτ

Sara Padovani


116

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld / / .! 0 ' ()!* ! .!

Assunzioni del modello di Sommerfeld •

! • ! " # • à è %& τ τ à • è è • è

Sara Padovani


117

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld εF ENERGIA DI FERMI Distribuzione di Fermi-Dirac

1

f FD (ε ) =

ε −ε F

e

kT

+1

• Il termine esponenziale ha limiti diversi per T 0 a seconda che l’enegia ε sia > o < dell energia di Fermi:

• Per ε = ε F, allora fFD=1/2

Sara Padovani

1  f FD (ε ) =  0 


ε < εF ε > εF

118

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld Effetti della temperatura sulla distribuzione di Fermi-Dirac T=0

T>0

Allontanandosi dalla condizione T=0 la cassetta si “smussa” Si definisce temperatura di Fermi TF ≡ EF/ k.

T = TF

T >> TF

Quando T >> TF, fFD tende a diventare un esponenziale decadente. Sara Padovani


119

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld Distribuzione di Fermi-Dirac

1

f MB (ε ) =

ε −ε F kT

e

1

f FD (ε ) =

ε −ε F

e

kT

+1

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann è un caso limite di quella di FermiDirac per energie molto alte, se tuttavia l’energia cala, per i fermioni la probabilità di occupazione di uno stato su un livello energetico a energia E segue una via diversa e per energie pari a EF, detta Energia di Fermi, vale ½. Sara Padovani


120

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld Confronto:Fermi-Dirac e Maxwell-Boltzmann

1

f MB (ε ) =

ε −ε F

e

1

f FD (ε ) =

kT

ε −ε F

e

kT

+1

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann prevede che a basse temperature sia lo stato a minore energia ad essere popolato sempre più in proporzione ai livelli eccitati

Nel caso dei fermioni, esiste un valore massimo di popolazione (al max la generazione dei livelli) Nel limite di T 0, le particelle riempiranno tutti i livelli ad energia minima compatibilmente col principio di esclusione, fino al livello EF

Sara Padovani


MOLECOLE

FERMIONI

T=0

T=0

E E=EF

E=0 121

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld Effetti della temperatura sulla distribuzione di Fermi-Dirac

T=0

T=bassa

T=alta

E E=EF

E=0

Livelli energetici e energia di Fermi

Sara Padovani


122

Buca di potenziale infinita: 1 dimensione

123 Sara Padovani


123

Buca di potenziale infinita: 1 dimensione

Sara Padovani


124

Buca di potenziale infinita: 2 dimensioni

125 Sara Padovani


125

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld Densità degli stati: N elettroni in una scatola cubica Si abbiano N elettroni in una scatola di volume V=L3. All’ interno della scatola il potenziale è nullo e l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo di ogni particella è:

h  ∂2 ∂2 ∂2   2 + 2 + 2 ψ k (r ) = ε kψ k (r ) − 2m  ∂ x ∂ y ∂ z  La funzione d’onda normalizzata al volume V è fattorizzabile e risulta essere: Si abbiano N elettroni in una scatola di volume V=L3. 1

nπ  n π  n π  8 2 ψ k (r ) =   sen 1 ⋅ x  sen 2 ⋅ y  sen 3 ⋅ z  V   L   L   L  Con ni interi positivi. Questa è un’onda stazionaria. Sara Padovani


126

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld Densità degli stati: N elettroni in una scatola cubica Funzioni d’onda che soddisfino alle condizioni periodiche agli estremi:

ψ k ( x, y , z ) = ψ k ( x + L , y , z ) Ugualmente per y e z. Le funzioni d’onda che soddisfano all’equazione di Schrödinger stazionaria, alla normalizzazione sul volume e alle condizioni di periodicità sono onde piane della forma: 1

 1  2 ik ⋅r ψ k (r ) =   e V 

Con

Sara Padovani

k =

2n π L

n = 0,1,2 K


127

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld Densità degli stati: N elettroni in una scatola cubica

h2 2 h2 2 ε= k = k x + k y2 + k z2 2m 2m

(

I valori di energia sono:

L’ampiezza del vettore d’onda k è legato alla lunghezza d’onda:

Nello stato fondamentale di un sistema ad N elettroni liberi gli stati occupati possono essere rappresentati come punti all’interno di una sfera nello spazio k. L’energia sulla superficie della sfera è detta energia di Fermi:

h2 2 εF = kF 2m Sara Padovani

kx


)

k=

2π

λ

kz

kF

ky

128

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld Energia di Fermi k =

h  3π N    εF = 2m  V  2

Sara Padovani

2

2n π L

2

4 3 πk F V 3 3 2⋅ = kF = N 3 2 3π  2π     L 

3


 3π N   k F =   V  2

1

3

129

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld  3π N   k F =   V  2

1

3

h  3π N    εF = 2m  V  2

2

2

3

hk F h  3π N   vF = =  m m V  2

1

TF =

Sara Padovani


3

εF K

130

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld Densità degli stati: N elettroni in una scatola cubica Nel guscio sferico di spessore dk si trovano dS stati, la densità degli stati è definita come:

dS g (E ) = dE

h2 2 E= k 2m

dS V  k  g (k ) = =   dk 2  π 

2

Densità degli stati per l’elettrone libero 3

V  2m  2 1 2 g (ε ) = 2  2  ε 2π  h 

Sara Padovani


131

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld Densità degli stati

Sara Padovani


132

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld Densità degli stati 3

Densità degli stati per l’elettrone libero

V  2m  2 1 2 g (ε ) = 2  2  ε 2π  h 

KT

Densità di stati pieni ad una temperatura finita T

f (ε , T )g (ε ) Stati pieni a T=0 Sara Padovani


133

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld Capacità termica Il modello di Drude non spiga la capacità termica dei metalli.

 ∂E   ∂ε  CV =   = N A   ∂T V  ∂T V La meccanica statistica classica prevede che una particella libera puntiforme abbia capacità termica

CV =

3 K 2

Secondo Drude tutti gli elettroni di valenza diventano conduttori di elettricità Quindi per un metallo con N atomi (1 elettrone di valenza)

CV =

3 NK 2

Sperimentalmente il contributo elettronico a temperatura ambiente è non più dell’ 1% di questo valore !!! Sara Padovani


134

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld Capacità termica Modello di Sommerfeld: non tutti gli elettroni per riscaldamento dallo zero assoluto acquistano un’energia ∼ KT. Solo quegli elettroni che appartengono a stati entro l’intervallo di energia KT rispetto al livello di Fermi vengono eccitati termicamente. Se N è il numero totale di elettroni, soltanto una frazione dell’ordine di ∼ T/TF può essere eccitata termicamente alla temperatura T Ciascuno di questi NT/TF elettroni ha un’energia dell’ordine di KT:

NT Eel ≈ KT TF

Energia termica totale degli elettroni

∂Eel T Cel = ≈ NK ∂T TF Sara Padovani


135

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld Capacità termica

TF

Ricaviamo espressione per la capacità termica valida a basse temperature

KT > θ T 0

EC,V EF

Funzione di Fermi

E=0

Banda di valenza parzialmente piena

•

• → à • ! à Sara Padovani


165

Bande di energia: isolante La banda di valenza, completamente piena, è molto distante dalla banda di conduzione. Affinché un elettrone riesca a passare dalla BDV alla BDC è necessario fornire una energia almeno pari al gap. Questa energia, negli isolanti, è ben maggiore della energia termica degli elettroni, per cui la transizione è altamente improbabile. In termini di legami, gli atomi sono interessati da legami tanto forti che difficilmente vengono rotti per mettere in libertà un elettrone che possa trasportare corrente. Nella banda di valenza piena non è possibile la conduzione perché gli elettroni possono solo scambiarsi tra di loro le posizioni ma non dare luogo ad un flusso netto di carica. Un ottimo isolante, molto usato nella realizzazione di dispositivi elettronici, è l’ossido di silicio, SiO2, il cui gap vale Eg=8eV. Sara Padovani


166

Bande di energia: isolante

T>0

EC

Banda di conduzione vuota

Egap

EF

Funzione di Fermi

EV

Banda di valenza piena

• è

è → à • è à #$%& '( • ! )*) → à è Sara Padovani


167

Bande di energia: semiconduttore

La banda di valenza e di conduzione sono abbastanza vicine (0.20

Funzione di Fermi

Banda di conduzione parzialmente piena

Egap

EC EF EVBanda di valenza parziamente piena

• è →

à • è à !" #$ • % →

à &

Sara Padovani


184

Legge dell’azione di massa Vogliamo dapprima determinare il numero di elettroni eccitati nella banda di conduzione ad una certa temperatura T. Distribuzione di Fermi :

1

f FD (ε ) =

ε −µ

e

con µ livello di Fermi. Alle temperature di interesse: (KT=25meV a T ambiente)

kT

+1

ε-µ µ >> KT

µ −ε

f e (ε ) ≅ e kT Descrive la probabilità che uno stato di conduzione elettronico sia occupato

Sara Padovani


185

Densità degli stati Densità degli stati 3

Densità degli stati per l’elettrone libero

V  2m  2 1 2 g (ε ) = 2  2  ε 2π  h 

KT

Densità di stati pieni ad una temperatura finita T

f (ε , T )g (ε ) Stati pieni a T=0 Sara Padovani


186

Legge dell’azione di massa Energia di un elettrone in banda di conduzione:

h 2k 2 ε = EG + 2me

Il numero di stati (per unità di volume) con energia tra ε e ε+dε:

1  2m  De (ε )dε = 2  2 e  2π  h 

3

2

1

(ε − EG ) 2 dε

Il numero di elettroni in banda di conduzione per unità di volume sono: ∞

3

 2πme KT  2 n = ∫ f e (ε )De (ε )dε = 2  e 2  h  EG

Sara Padovani

µ − EG kT


187

Legge dell’azione di massa ε −µ

f h (ε ) = 1 − f e (ε ) ≅ e kT

Funzione di distribuzione per le lacune

h 2k 2 εk = − 2mh

Energia di una lacuna in banda di valenza:

Il numero di stati (per unità di volume) con energia tra ε e ε+dε delle lacune in cima alla banda di valenza:

1  2mh  De (ε )dε = 2  2  2π  h 

3

2

1

(− ε ) 2 dε

Il numero di lacune in banda di valenza per unità di volume sono: 0

3

−µ

 2πmh KT  2 kT p = ∫ f h (ε )Dh (ε )dε = 2  e 2  h  −∞ Sara Padovani


188

Legge dell’azione di massa Moltiplicando le espressioni ricavate per n e p, concentrazioni di elettroni in BDC e di lacune in BDV, si ottiene la relazione di equilibrio: 3

− Eg

 2πKT  np = 4 2  (me mh ) 2 e kT  h  3

Legge dell’azione di massa Valida sotto l’unica ipotesi che la distanza tra il livello di Fermi µ e i limiti di entrambe le bande sia >> KT (KT=25meV a T ambiente) Si osservi che np: • non dipende dalla presenza o meno di impurezze nel semiconduttore • non dipende da µ

Sara Padovani


189

Concentrazione dei portatori intrinseci Semiconduttore intrinseco (puro):

n= p

L’eccitazione termica di un elettrone di BDC lascia dietro di se una lacuna.

 2πKT  ni = pi = 2 2   h 

3

2

3

− Eg

(memh ) 4 e 2kT

Inoltre, uguagliando le espressioni 3

 2πmh KT  p = 2  e 2  h  2

−µ kT

3

 2πme KT  2 n = 2  e 2  h 

µ − EG kT

si ottiene

e

Sara Padovani

2µ kT

3

E

 mh  2 kTg =   e  me 

 mh  1 3 µ = E g + KT ln  2 4  me 


190

Concentrazione dei portatori intrinseci Semiconduttore intrinseco (puro):

n= p  mh  1 3 µ = E g + KT ln  2 4  me 

EF Se mh=me allora

Sara Padovani

Egap

1 2

µ = Eg


191

Legge dell’azione di massa Il silicio

n= p

In un cristallo puro di silicio A temperatura ambiente

n = p =1.4×1010 portatori/cm3 Valore che va confrontato con la densità di atomi di silicio: 5×1022 atomi/cm3

Stima di ni a 300K: 3/ 2

 m*c2k T  B  ni = 2 2   2π (hc) 

3/ 2

 0,2 ⋅ 0,5 ⋅ 106 ⋅ 3 ⋅ 10−2 (eV )2  − Egap / 2kBT  ≈ 2 e −   6 ⋅ (2 ⋅ 10 7 eVm)2  

e

−1.1 / 2⋅3⋅10−2

3 / 2 −18 −2 ) − 16 ( ≈ 10 m e ≈ 1010cm3

da confrontarsi con ≈ 1023 cm-3 per i conduttori Sara Padovani


192

Concentrazione dei portatori intrinseci Mobilità regione intrinseca La mobilità è definita come:

La conducibilità elettrica:

Quindi:

µ=

v E

σ = neµ e + peµ h eτ e µe = me

eτ h µh = mh

Sperimentalmente si osserva che la mobilità nei semiconduttori è piu’ alta che nei metalli

Sara Padovani


193

Semiconduttore intrinseco ed estrinseco Se un semiconduttore non contiene impurezze, che ne modifichino le proprietà elettriche, viene detto si dice intrinseco E si trova che: • la concentrazione di portatori intrinseci è fortemente dipendente dalla temperatura 3

 2πmh KT  p = 2  e 2  h  2

−µ kT

3

 2πme KT  2 n = 2  e 2  h 

µ − EG kT

• la concentrazione dei portatori a temperatura ambiente non è così alta da poterli considerare dei buoni conduttori. n = p ≅ 1010 portatori/cm3 Nei Metalli (1023 portatori/cm3) Sara Padovani


194

Semiconduttore intrinseco ed estrinseco Al fine di migliorare le proprietà di conduzione di un semiconduttore si introducono delle opportune impurezze chimiche “droganti. Un semiconduttore drogato viene detto estrinseco. La loro concentrazione del drogante è sempre di molti ordini di grandezza inferiore a quella degli atomi del semiconduttore (1022 cm-3). Le concentrazioni di drogante vanno da 1013 a 1018 cm-3. Per concentrazioni inferiori a 1013 le impurezze non hanno effetti sul comportamento elettrico del materiale, a concentrazioni superiori a 1018 si comincia a modificare la natura del materiale.

Sara Padovani


195

Semiconduttore estrinseco Un atomo estraneo al reticolo può collocarsi in due posizioni: • Sostituzionale: prende il posto di un atomo del reticolo; • Interstiziale: si mette al centro (di solito) della cella formata dagli atomi del reticolo. L’aggiunta volontaria di impurezze al semiconduttore viene denominata DROGAGGIO, e il drogaggio viene effettuato con impurezze sostituzionali. Consideriamo il caso tipico del SILICIO, elemento del gruppo IV, con quattro elettroni di valenza. Il Si cristallizza nella struttura del diamante ed ogni atomo forma quattro legami covalenti uno con ciascuno dei suoi primi quattro vicini.

Sara Padovani


196

Semiconduttore di tipo n Consideriamo di drogare un elemento tetravalente (gruppo IV, Si, Ge) con un elemento pentavalente (gruppo V, P, As, Sb). Un atomo del gruppo V ha 5 elettroni di valenza: essendo sostituzionale, utilizza 4 elettroni per formare i 4 legami dell’atomo di silicio del quale ha preso il posto, e il quinto elettrone è non legato. Donore drogaggio tipo “n” con un atomo pentavalente (fosforo)

Visto che questi atomi donano il loro elettrone al semiconduttore si dicono DONORI e il semiconduttore si dice di tipo n L’elettrone “donato” deve avere un’energia superiore a quelli che formano il legame (e stanno nella banda di valenza), ma inferiore a quella degli elettroni liberi nella banda di conduzione. Quindi, deve cadere nel gap! Sara Padovani


197

Semiconduttore di tipo n L’elettrone in eccesso si muove in un potenziale che deriva dallo ione di impurezza, pari a e

εr dove ε è la costante dielettrica del mezzo (=12 per il Si). Il fattore di 1/ ε tiene conto dell’attenuazione della forza coulombiana tra le cariche ed è dovuto alla polarizzazione elettronica del mezzo. Energia di legame dei donori può essere utilizzando la teoria di Bohr per l’atomo d’idrogeno, tenendo in considerazione la costante dielettrica del mezzo

e4m En = − 2 2 2h n

Con raggio di Bohr

Sara Padovani

rn =

e 4 m* En = − 2 2 2 2ε h n

εh 2 n 2 e 4 m*


198

Semiconduttore drogati di tipo n Se il suo livello (ED) è molto vicino a CB, basterà l’agitazione termica a ionizzarlo, promuovendo l’elettrone in banda di conduzione. Il numero di donori per unità di volume [cm3] è detta densità di donori, ND [atomi/cm3].

EF livello del donore

Sara Padovani

donore

drogaggio tipo “n” con un atomo pentavalente (fosforo)


199

Semiconduttore drogati di tipo p Le stesse considerazioni possono essere effettuate per il drogaggio con elementi del gruppo III (B, Al, Ga e In). In questo caso in un legame manca un elettrone (c’è una lacuna). Se il relativo livello energetico è di poco superiore a VB sarà facile che un elettrone della banda di valenza salti nella buca, lasciandone una in banda di valenza. Queste impurezze che catturano elettroni “donando” buche, si dicono accettori e il semiconduttore si dice di tipo p.

accettore livello dell’accettore

EF

Sara Padovani

drogaggio tipo “p” con un atomo trivalente (Al)


200

Semiconduttori drogati Energie di ionizzazione Le energie di ionizzazione per donori ed accettori sono le stesse. Il modello di Bohr modificato è valido quantitativamente sia per lacune che per elettroni.

T=300K KT =25 meV: a temperatura ambiente accettori e donori giocano un ruolo importante per la conduttività Sara Padovani


201

Semiconduttore drogato

In un volume di semiconduttore drogato uniformemente la carica globale è nulla (condizione di neutralità della carica) perché il drogante ionizzato è compensato dal suo portatore. Supponendo i droganti completamente ionizzati (ipotesi valida a temperatura ambiente): • le cariche positive presenti sono pari alla somma delle lacune, p, e degli ioni degli atomi donori ND • le cariche negative invece sono pari alla somma degli elettroni liberi, n, e degli atomi accettori NA La condizione di neutralità di carica si traduce in:

q( p + N D − n − N A ) = 0

Sara Padovani


p − n = N A − ND

202

Semiconduttore drogato Ricordando la legge di azione di massa

np = ni

2

p − n = N A − ND 2

N A − ND  N A − ND  2 p= +  + n  i 2 2   2

ND − N A  ND − N A  2 n= +   + ni 2 2   Questa coppia di equazioni permette di ricavare, nota la quantità di drogante, la concentrazione dei portatori maggioritari e minoritari effettivamente disponibili. Si ritrova che p e n dipendono da: - la quantità netta di drogante, |NA-ND|; - la concentrazione di portatori intrinseci, ni Sara Padovani


203

Semiconduttore drogato Se il materiale è drogato in modo significativo con un ben definito elemento

| N A − N D |> ni 2

Semiconduttore tipo p

N A >> N D

p ≅ NA

Semiconduttore tipo n

N D >> N A

n ≅ ND

ni n≅ NA 2 ni p≅ ND

La densità di portatori maggioritari corrisponde praticamente alla densità di drogante, e la densità dei portatori minoritari segue la legge di azione di massa. Nella pratica costruttiva dei dispositivi elettronici si è quasi sempre in questa situazione, essendo i livelli di drogaggio normalmente utilizzati pari a 1014-1018 [atomi/cm3] contro un valore di ni=1.4×1010 [atomi/cm3] Sara Padovani


204

Semiconduttore drogato: conducibilità con un drogaggio di tipo “n”, la conducibilità è dovuta praticamente solo alla densità Nd dei donori

σ n = nd eµ e

σ p = na eµ h

con un drogaggio di tipo “p”, la conducibilità è dovuta praticamente solo alla densità Na degli accettori Sara Padovani


205

Semiconduttore drogato

Sara Padovani


206

Semiconduttore drogato: livello di Fermi Allo zero assoluto tutte le impurezze sono neutre (non ionizzate). Quindi tutti i livelli di donore sono pieni e, per definizione, il livello di Fermi deve stare allo stesso livello o sopra all’ultimo livello occupato. Esso, perciò, starà tra ED e CB. Per gli accettori avviene il simmetrico. Allo zero assoluto EF sta tra il livello accettore e VB. Al crescere della temperatura il livello di Fermi si porta alla metà del gap. A temperature non troppo alte, il livello di Fermi starà sempre nel gap, ma vicino alla banda di conduzione nel tipo n, vicino alla banda di valenza nel tipo p Sara Padovani


207

Giunzione pn Dall’unione di un semiconduttore di tipo N e uno di tipo P nasce la così detta giunzione PN. Per diffusione, le lacune presenti nel cristallo P tendono a spostarsi in quello N, e viceversa gli elettroni: in prossimità della giunzione si forma così un sottile strato isolante chiamato regione di svuotamento. Le giunzioni PN sono comunemente usate come diodi: interruttori elettronici che permettono un flusso di corrente in una direzione ma non in quella opposta. Nel caso del diodo, applicando una polarizzazione diretta ai capi della giunzione si osserva il passaggio della corrente.

Sara Padovani


208

Giunzione pn

I due livelli di Fermi non coincidono. Se ora li portiamo a contatto il livello di Fermi del sistema deve divenire unico, cioè ci sarà un travaso di elettroni dalla regione dove EF è più alto (n) a quello dove è più basso (p). Viceversa per le lacune, che andranno da p a n. Per cui all’interfaccia si formano due zone ove sono presenti solo cariche fisse (ioni) e non portatori liberi. Tale zona di larghezza do si chiama zona svuotata o di carica spaziale. Sara Padovani


209

Giunzione pn

Sara Padovani


210

Giunzione pn Polarizzazione diretta Applicando una d.d.p. positiva al semiconduttore di tipo P le lacune vengono respinte, e si dirigono verso la zona di svuotamento. Analogamente fanno gli elettroni nel semiconduttore N. La zona di svuotamento si assottiglia, fino a che, in corrispondenza di una tensione di soglia Vs, si riempie completamente ed una corrente comincia a scorrere nel diodo.

Sara Padovani


211

Giunzione pn Polarizzazione inversa Se invece la differenza di potenziale positiva viene applicata al semiconduttore N, allora elettroni e lacune si allontanano ulteriormente dalla zona di svuotamento, che si ispessisce: il diodo rimane isolante, a meno di una piccola corrente detta corrente oscura.

Sara Padovani


212

Giunzione pn Curva caratteristica La curva caratteristica di un diodo è descritta dalla seguente relazione:  ηeV  I = I 0  e KT − 1    

• la quantità I0 corrisponde alla corrente che si ottiene per una forte polarizzazione inversa: è la corrente oscura del diodo. E’ dell’ordine del mA • la presenza del fattore KT mostra come la conduzione del diodo sia un fenomeno dipendente dalla temperatura: se T aumenta, l’esponenziale diminuisce, e quindi la corrente aumenta: infatti cresce il numero dei portatori in grado di staccarsi dal reticolo. A temperatura ambiente, KT/e=1/40 Volt • il coefficente η dipende dalle caratteristiche del materiale: nel diodo al silicio, vale circa 2. Sara Padovani


213

Giunzione pn Curva caratteristica L’espressione completa della corrente di un diodo è:

 ηeV  KT  I = I0 e − 1    

V > 0 (p+, n-) = polarizzazione diretta V < 0 (p-, n+) = polarizzazione inversa

Sara Padovani


214

Diodi Diodi emettitori di luce (LED - Light Emitting diode) ν

E gap = hν

è

é

Sara Padovani


215

Diodi Diodi emettitori di luce (LED - Light Emitting diode) AlInGaN

AlInGaP

Verde-blu

Rosso-giallo

E gap = hν Sara Padovani


216

Diodi Celle fotovoltaiche " #$%

& ò

Sara Padovani


217

Diodi Celle fotovoltaiche Il principio di funzionamento su cui si basa una cella fotovoltaica è l’effetto fotoelettrico.

SILICIO Efficienza 10-17%

L’assorbimento della radiazione solare è strettamente legato al semiconduttore. Ogni semiconduttore assorbe una specifica parte dello spettro solare in dipendenza dall’energy gap.

CELLE MULTIGIUNZIONE AD ALTA EFFICIENZA I semiconduttori più utilizzati sono: InGaP, GaAs, Ge Sara Padovani


Fonte CESI 218

Sara Padovani Centro Ricerche Plast-optica S.p.A. Via J. Linussio 1, Amaro (UD) [email protected] 0433 487 522

Sara Padovani


219