Ouvrir - CAPES de Maths

Collège Jean-Baptiste Clément

5-7, rue Albert Chardavoine 93440 DUGNY

réalisés par M. LENZEN. Également disponibles en consultation sur son site internet

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Le manuel utilisé dans ce cours est le Phare 5ème, programme 2006 (pas la dernière édition !), chez Hachette Éducation :

Sommaire SOMMAIRE ...................................................................................................................................................................... 3 CHAPITRE N° 1 : ENCHAÎNEMENT D’OPÉRATIONS ........................................................................................................... 5 I – DÉFINITIONS........................................................................................................................................................................ 5 II – CALCULS SANS PARENTHÈSES ................................................................................................................................................. 5 III – CALCULS AVEC PARENTHÈSES ................................................................................................................................................ 6 IV – CALCULS AVEC UN QUOTIENT................................................................................................................................................ 6 CHAPITRE N° 2 : TRIANGLES ............................................................................................................................................. 7 I – CONSTRUCTIONS D’UN TRIANGLE............................................................................................................................................. 7 II – SOMME DES ANGLES D’UN TRIANGLE ....................................................................................................................................... 7 CHAPITRE N° 3 : ÉCRITURE FRACTIONNAIRE (BASES) ....................................................................................................... 9 I – QUOTIENT .......................................................................................................................................................................... 9 II – COMPARAISON À 1 .............................................................................................................................................................. 9 III – DIVISEURS ET MULTIPLES...................................................................................................................................................... 9 IV – RÈGLE D’OR DES QUOTIENTS (À CONNAÎTRE PAR CŒUR !!!) .............................................................................................. 10 CHAPITRE N° 4 : EXPRESSION LITTÉRALE........................................................................................................................ 11 I – DÉFINITIONS...................................................................................................................................................................... 11 II – NOTATIONS ET SIMPLIFICATION D’ÉCRITURE ............................................................................................................................ 11 III – NOTION D’ÉGALITÉ ........................................................................................................................................................... 12 CHAPITRE N° 4B : DROITES REMARQUABLES ................................................................................................................. 13 I – INÉGALITÉ TRIANGULAIRE ..................................................................................................................................................... 13 II – ZOOM SUR LA MÉDIATRICE .................................................................................................................................................. 13 III – DROITES REMARQUABLES D’UN TRIANGLE ............................................................................................................................. 14 CHAPITRE N° 5 : NOMBRES RELATIFS (BASES) ................................................................................................................ 15 I – DÉFINITIONS...................................................................................................................................................................... 15 II – REPÉRAGE ET DROITE GRADUÉE ............................................................................................................................................ 15 III – REPÉRAGE DANS LE PLAN ................................................................................................................................................... 16 CHAPITRE N° 6 : NOTIONS D’AIRE .................................................................................................................................. 19 I – AIRES ............................................................................................................................................................................... 19 II – PRISME DROIT & CYLINDRE : AIRES ........................................................................................................................................ 19 CHAPITRE N° 7 : NOMBRES RELATIFS (CALCULS) ............................................................................................................ 21 I – SOMME ............................................................................................................................................................................ 21 II – DIFFÉRENCE ..................................................................................................................................................................... 21 III – CALCULS PLUS COMPLIQUÉS ............................................................................................................................................... 22 CHAPITRE N° 8 : PRISME & CYLINDRE ............................................................................................................................ 23 I – PRISME DROIT ................................................................................................................................................................... 23 II – CYLINDRE DE RÉVOLUTION................................................................................................................................................... 24 III – VOIR DANS L’ESPACE ......................................................................................................................................................... 24 IV – VOLUME D’UN SOLIDE ....................................................................................................................................................... 25

I – ADDITION & SOUSTRACTION................................................................................................................................................. 27 II – MULTIPLICATION & DIVISION ............................................................................................................................................... 27 III – ÉGALITÉS DE QUOTIENTS .................................................................................................................................................... 28

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CHAPITRE N° 9 : ÉCRITURE FRACTIONNAIRE (CALCULS) ................................................................................................. 27

CHAPITRE N° 10 : CALCUL LITTÉRAL ............................................................................................................................... 31 I – DÉVELOPPEMENT ............................................................................................................................................................... 31 II – FACTORISATION (= METTRE EN FACTEUR) ............................................................................................................................... 31 CHAPITRE N° 11 : PROPORTIONNALITÉ .......................................................................................................................... 33 I – GRANDEURS PROPORTIONNELLES .......................................................................................................................................... 33 II – CALCUL D’UN POURCENTAGE ............................................................................................................................................... 34 III – REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES .......................................................................................................................................... 34 CHAPITRE N° 12 : REPRÉSENTATIONS DE DONNÉES ....................................................................................................... 37 I – VOCABULAIRE .................................................................................................................................................................... 37 II – REPRÉSENTATIONS............................................................................................................................................................. 37 III – RÉPARTITION EN CLASSES (QUAND LE CARACTÈRE CONTIENT TROP DE VALEURS) ............................................................................ 39 CHAPITRE N° 13 : DURÉES & CONVERSIONS .................................................................................................................. 41 I – DURÉES ............................................................................................................................................................................ 41 II – CONVERSIONS .................................................................................................................................................................. 41 CHAPITRE N° 14 : SYMÉTRIE CENTRALE (A-B) ................................................................................................................. 43 RAPPELS SUR LA SYMÉTRIE AXIALE .............................................................................................................................................. 43 I – DÉFINITIONS...................................................................................................................................................................... 43 II – SYMÉTRIQUES D’OBJETS MATHÉMATIQUES ............................................................................................................................. 44 III – CENTRE DE SYMÉTRIE ........................................................................................................................................................ 45 CHAPITRE N° 15 : FIGURES USUELLES (A-B) .................................................................................................................... 47 I – ÉLÉMENTS DE SYMÉTRIE ....................................................................................................................................................... 47 II – LE RECTANGLE .................................................................................................................................................................. 47 III – LE LOSANGE .................................................................................................................................................................... 48 IV – LE CARRÉ ET SYNTHÈSE ...................................................................................................................................................... 48 CHAPITRE N° 16 : PÉRIMÈTRE (A-B) ............................................................................................................................... 49 I - PÉRIMÈTRES ....................................................................................................................................................................... 49 II – TABLEAUX DE SYNTHÈSE ...................................................................................................................................................... 49 CHAPITRE N° 17 : PARALLÉLOGRAMME (A-B) ................................................................................................................ 51 I – DÉFINITION ....................................................................................................................................................................... 51 II – SYMÉTRIE ........................................................................................................................................................................ 51 III – PROPRIÉTÉS..................................................................................................................................................................... 51 CHAPITRE N° 18 : ANGLES (A-B) ..................................................................................................................................... 53

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I – VOCABULAIRE IMPORTANT ................................................................................................................................................... 53 II – PROPRIÉTÉS (PLUS AU PROGRAMME)..................................................................................................................................... 54

Chapitre n° 1 : Enchaînement d’opérations I – Définitions Définitions  La somme de deux nombres se note par exemple 3 + 4 ou 4 + 3.  La différence des deux nombres 8 et 2 se note uniquement 8 – 2 (pas 2 – 8 !).  Les nombres utilisés dans une addition ou une soustraction s’appellent des termes. Exemples : * 2 + 8 est la somme des nombres 2 et 8. Ces nombres 2 et 8 sont les termes de la somme. * La différence des nombres 6,2 et 4,1 est 2,1. Les termes de cette différence sont 6,2 et 4,1.

Définitions  Le produit de deux nombres se note par exemple 5  9 ou 9  5.  Le quotient des deux nombres 3 et 2 se note 3  2 ou 3/2 (on ne peut pas diviser par 0).  Les nombres utilisés dans une multiplication s’appellent des facteurs. Exemples :

* 2  8 est le produit des nombres 2 et 8. Ces nombres sont les facteurs du produit. * 7  4 est le quotient de 7 par 4. Son résultat est 1,75, qui se note aussi 7. 4 Interrogation orale : 23 p. 20

En classe : 47, 48, 49 p. 22

Exercices : 50, 51, 52 p. 22

II – Calculs sans parenthèses 1. Additions et soustractions Propriété On calcule de gauche à droite une expression où ne figurent que des « + » et des « – ». Exemple : 3 – 2 + 4 – 1 = 1 + 4 – 1 = 5 – 1 = 4. On a effectué le calcul de gauche à droite.

Interrogation orale : 13, 14 p. 20

En classe : 25 p. 20

Exercices : 26 p. 20

2. Multiplications et divisions Propriété On calcule de gauche à droite une expression où ne figurent que des «  » et des «  ».




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Exemple : 12  2  3  9 = 6  3  9 = 18  9 = 2. On a effectué le calcul de gauche à droite.

3. Priorités Propriété Dans des calculs avec les quatre opérations, les multiplications et divisions sont PRIORITAIRES sur les additions et les soustractions. On les calcule donc AVANT. Exemple : 3  4 + 6  2 = 12 + 3 = 15 et surtout pas 3  4 + 6  2 = 12 + 6  2 = 18  2 = 9. Interrogation orale : 18, 24 p. 20


Exercices : 1, 2 p. 19

III – Calculs avec parenthèses Propriétés  

On calcule une expression avec parenthèses en calculant d’abord ce qui se trouve entre les parenthèses. L’ordre des priorités est donc : parenthèses – multiplication et division – additions et soustractions. Lorsqu’il y a plusieurs paires de parenthèses, on commence par les plus intérieures. * 3  (4 + 5) = 3  9 = 27 * 18  [(1 + 2)  3] = 18  (3  3) = 18  9 = 2

Exemples :

Interrogation orale : 20, 21, 22 p. 20

En classe : 6, 9 p. 19 / 29 p. 20

* (8 – 5)  (1 + 3) = 3  4 = 12

Exercices : 31, 38, 39 p. 21

IV – Calculs avec un quotient Propriété Pour calculer un quotient (division), il faut mettre numérateur et dénominateur entre parenthèses. Exemples :

Remarque

* 12 + 3 : que calcule-t-on d’abord ? 5 15 * : que calcule-t-on d’abord ?? 10 5

La calculatrice ne sait que calculer en ligne : il est donc impératif de mettre des parenthèses. Par contre, elle sait gérer les priorités : elle sait que l’ordre des priorités est : parenthèses – multiplications et divisions – additions et soustractions.


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12 + 3 = (12 + 3) 5 = 15  5 = 3. 5 15 = 15  (10  5) = 15  2 = 7,5. 10 5

En classe : 4, 5 p. 19

Exercices : 33, 34, 35, 36 p. 21

Chapitre n° 2 : Triangles I – Constructions d’un triangle Nous allons construire, à la règle graduée et au rapporteur, un triangle connaissant : - les longueurs de trois segments ; - les longueurs de deux segments et la mesure de l’angle qui se trouve entre les deux ; - la longueur d’un segment, et la mesure des deux angles à ses extrémités. Exemples :

1) Construire un triangle BUS tel que BU = 6 cm, BS = 3,5 cm et US = 5 cm. 2) Construire un triangle ABC tel que BC = 5 cm, = 40° et AB = 4 cm ; 2) Construire un triangle EDF tel que ED = 6 cm, = 40° et = 30°.

RAPPEL : Méthode Figure :

4

2

S

3,5 cm

3

5 cm

5

B

Programme de construction : 1 : Tracer le segment [BC] de longueur 6 cm. 2 : Tracer un arc de cercle de centre B et de rayon 3,5 cm 3 : Tracer un arc de cercle de centre C et de rayon 5 cm. 4 : Le point A se trouve à l’intersection des deux arcs. 5 : Tracer les segments [AB] et [AC]. U

6 cm

1 Commencer par faire une figure à main levée, puis rappeler les étapes des constructions :

Méthode A

2

F 3

4 cm

3

2 1 40°

40° B

5 cm

C D

1 6 cm

30° E

II – Somme des angles d’un triangle 1. Formule Propriété

Exemple : Dans le dernier triangle ci-dessus, on peut écrire que = 180°. Ce qui nous permet d’ailleurs de calculer l’angle dont on ne connaît pas la mesure : = 180°  40° + 30° + = 180°  70° + = 180° 

= 80°.

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Dans un triangle quelconque, la somme des angles est toujours égale à 180°.

2. Cas particuliers Triangle rectangle : Puisque l’un des angles du triangle rectangle mesure 90°, la propriété est réduite :

Propriété Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus est toujours égale à 90°. Réciproquement, si deux angles d’un triangle (quelconque) mesurent ensemble 90°, alors ce triangle est rectangle. Triangle isocèle : On rappelle une propriété de l’année dernière :

Propriété Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure. Exemple : Le triangle POU est isocèle en O avec angles ?

= 32°. Quelles sont les mesures des deux autres

Triangle équilatéral : On rappelle une propriété de l’année dernière :

Propriété Dans un triangle équilatéral, tous les angles sont égaux et mesurent 60°.

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Interrogation orale : 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 p. 178

En classe : 20, 21 p. 177 / 41, 42, 43 p. 179

Exercices : 11, 12, 13 p. 177 / 44, 45 p. 179 / 46, 47 p. 180

Chapitre n° 3 : Écriture fractionnaire (bases) I – Quotient Définitions Soient a et b deux nombres quelconques avec b ≠ 0. Le quotient de a par b est le nombre qui donne a quand on le multiplie par b. Il se note a ÷ b, ou a encore en écriture fractionnaire. Dans cette écriture, a est le numérateur et b le dénominateur. b Exemples : 12 = 4 (en effet, 4  3 = 12) 3  Remarques



;

5 = 10 (plus difficile, mais on a toujours 10  0,5 = 5). 0,5

Dans une écriture fractionnaire, si le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers, alors on appellera cette écriture une fraction. Certains quotients n’admettent pas d’écriture décimale. 1/3 est un excellent exemple !

Définition Supposons que deux cinquièmes des élèves du collège Didier Daurat soient des filles. 2 On appelle alors proportion de filles le quotient : sur 5 élèves du collège, 2 sont des filles. 5 Interrogation orale : 1, 5, 2, 3, 4 (16) p. 50

En classe : 24, 25, 26, 27 p. 52 + 37, 39, 36 (16) p. 53

Exercices : 28, 29, 31 p. 52 + 33, 34, 35 (16) p. 53

A – B : + autres comparaisons

II – Comparaison à 1 Propriété

Pour comparer une fraction à 1, - si le numérateur est supérieur au dénominateur, alors la fraction est supérieure à 1 ; - si le numérateur est inférieur au dénominateur, alors la fraction est inférieure à 1. Exemple : Choisir des fractions et les comparer à 1. Que se passe-t-il si « numérateur = dénominateur » ?

Interrogation orale : 35 p. 54

En classe : 10, 11 p. 53

Exercices : 12, 13 p. 53 + 61, 62 p. 56

III – Diviseurs et multiples Définition a est un diviseur de b.

Exemple : Donner des exemples et rappeler les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 et 9 (pratique pour le III-3). Interrogation orale : 6, 7, 8, 9 p. 50

En classe : 42, 44 p. 53


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Soient a et b deux nombres entiers tels que b > a. Si b est un nombre de la table de multiplication de a, alors on dit que : - b est un multiple de a ; - b est divisible par a ; -

IV – Règle d’or des quotients (À CONNAÎTRE PAR CŒUR !!!) Propriété On ne change pas un quotient en multipliant (ou en divisant) son numérateur ET son dénominateur par un même nombre non nul. Autrement dit, si b et k ne sont pas nuls, on a a = a  k et a = a  k. b bk b bk Exemples :

Exemple du gâteau ;

3 3  4 12 12 12 ÷ 2 6 24 24 ÷ 3 8 4  2 4 = = ; = = ; = = = = . 2 24 8 10 10 ÷ 2 5 30 30 ÷ 3 10 5  2 5

Applications : * mise sur un même dénominateur afin de comparer deux fractions entre elles (quand elles ne peuvent être comparées à 1) : 3 4 3 5 comparer et [comparaison à 1], puis et [mise sur le dénominateur 12 ou 24]. 2 5 4 6 * additions/soustractions que nous verrons au chapitre n° 9.

Cette méthode n’est pas à retenir pour tous les calculs avec des fractions…

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Interrogation orale : 13, 10, 11 (17) p. 50

En classe : 23, p. 51 + 58 (14) p. 54

Exercices : 14, 15 (17) p. 51 + 57 (14) p. 54

Chapitre n° 4 : Expression littérale I – Définitions Définition Une expression littérale est une expression où des nombres ont été remplacés par des lettres. Exemples :  Quelle est l’aire d’un carré de côté (en centimètres) 2 ? 3 ? 7 ? x ?? (4, 9, 49 et x  x cm2). La dernière aire est une expression littérale.  On a déjà vu que l’aire d’un rectangle de longueur L et de largeur ℓ est donnée par a = L  ℓ. Cette formule est une expression littérale.  Quel est le périmètre d’un rectangle de longueur L et de largeur ℓ ?  2  L + 2  ℓ. Cette formule est une expression littérale.  On pense à un nombre que l’on note x. On lui ajoute 2 et on multiplie le tout par 3. Quelle est l’expression littérale associée à cet exemple ? [(x + 2)  3].

Remarques

 

L’expression x  x contient deux fois la lettre x. Il s’agit en fait d’un même nombre ! Généralement, on remplace un nombre par une lettre quand on ne connaît pas ce nombre.

Interrogation orale : 1, 2, 3, 4, 7, 8 (5) p. 34

En classe : 50, 41 (5) p. 37

Exercices : 51, 52, 42 (5) p. 37

II – Notations et simplification d’écriture Définition

L’expression « x  x » s’écrit x2 et se lit « x au carré ». L’expression « x  x  x » s’écrit x3 et se lit « x au cube ».

Propriétés On peut supprimer le symbole «  » devant une lettre ou une parenthèse. Exemples : 2  L + 2  ℓ peut s’écrire plus simplement 2L + 2ℓ. Écrire plus simplement les expressions suivantes : * 5  x [= 5 x] ; * 3  (x + 2) [= 3(x + 2)] ; * 1  x [= 1 x = x (cas particulier)] ; * a  b [= ab] et L  ℓ [= Lℓ]. Et 2  3 ?

Attention, on a supprimé le symbole «  » mais pas la multiplication : 5x est la multiplication de 5 par x !!

Interrogation orale : 5, 6, 16, 17 p. 34

En classe : 43, 45, 47 p. 37 + 64 p. 38

Exercices : 44, 46 p. 37 + 62, 63 p. 38

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Remarque

III – Notion d’égalité Définitions Une égalité est une expression du genre « machin = truc ». « machin » s’appelle membre de gauche de l’égalité et « truc » s’appelle membre de droite de l’égalité. Ils peuvent contenir à la fois des nombres et des lettres. Exemples : 12 – 4 = 4  2, puis 6x = 4x + 2x. Quels sont les membres de ces égalités ? Ces égalités sont-elles vraies ou fausses ?

Propriétés Pour tester si une égalité est vraie, on calcule séparément les deux membres de l’égalité en remplaçant les lettres par les nombres demandés. Deux cas possibles : - les deux membres sont égaux : alors l’égalité est vraie pour le nombre testé ; - les deux membres ne sont pas égaux : alors l’égalité est fausse pour le nombre testé. Exemples : Tester l’égalité 2x + 3 = 7 pour x = 1 et x = 2 : pour x = 1 : pour x = 2 : Membre de gauche : 2x + 3 = 2  1 + 3 = 2 + 3 = Membre de gauche : 2x + 3 = 2  2 + 3 = 4 + 3 = 5. 7. Membre de droite : 7. Membre de droite : 7. On ne trouve pas le même résultat, on en déduit que On trouve le même résultat, on en déduit que l’égalité n’est pas vraie pour x = 1. l’égalité est vraie pour x = 2.

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En classe : 32, 33, 36 p. 36 + 65 p. 38

Exercices : 34, 35, 37, 38 p. 36 + 66 p. 38

Chapitre n° 4b : Droites remarquables A–B

I – Inégalité triangulaire Propriété : inégalité triangulaire Dans un triangle, chaque côté doit avoir une longueur inférieure à la somme des deux autres. Exemple : Dans le triangle ci-contre, on a (mesurer si nécessaire) :  AB < AC + BC ;  AC < BC + AB ;  BC < AB + AC.

A

B

C

Propriété Soient a, b et c trois nombres quelconques avec a le plus grand des trois.  Si a > b + c, alors on ne peut pas construire un triangle de longueurs a, b et c ;  Si a < b + c, alors on peut construire un triangle de longueurs a, b et c. Exemple : Construire un triangle DEF tel que DE = 5 cm, DF = 2,5 cm et FE = 2 cm. Expliquer la démarche. Pour vérifier si on peut le construire, on doit comparer 5 (la plus grande longueur) et 2,5 + 2 = 4,5 (la somme des deux autres longueurs). Or 5 > 4,5, donc on ne peut pas construire un tel triangle. Interrogation orale : 22, 23, 24 p. 178

En classe : 1, 4, 8 p. 176

2,5 cm D

E

2 cm

Exercices : 3, 6, 7, 9 p. 176

II – Zoom sur la médiatrice Définition La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire passant par le milieu de ce segment. Propriétés de la médiatrice  Si un point se trouve sur la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant (= à la

même distance) des extrémités de ce segment.  Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il se trouve sur la médiatrice de ce segment.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Construis deux points libres A et B, Trace le segment [AB], Construis son milieu I, Trace la perpendiculaire « d » au segment [AB] passant par le point I : que représente cette droite pour [AB] ? Place un point libre « M » sur la droite « d » et fais afficher les longueurs AM et BM avec deux chiffres après la virgule. Grâce à la souris, déplace le point M et regarde en même temps ce qui se passe. Que constate-t-on ? En classe : 48 (1+2c), 49 (1+2b) p. 180

Exercices : 50 (1), 51 (1ac) p. 180

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Activité informatique 1 : À partir de géoplan,

III – Droites remarquables d’un triangle Définitions  

Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite qui joint ce sommet au milieu du côté opposé. Dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet est la droite perpendiculaire au côté opposé passant par ce sommet. A

Exemple : Dans le triangle suivant,  quelle droite est la médiatrice ?  quelle droite est la médiane ?  quelle droite est la hauteur ? Rajouter le codage pour chaque droite.

B

C

Propriété Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes (= se coupent en un même point). Leur point d’intersection commun est noté O et s’appelle centre du cercle circonscrit au triangle (= il passe par les trois sommets du triangle).

Propriété  Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes en un point G appelé centre de gravité du triangle.  Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point H appelé orthocentre. Activité informatique 2 : À partir de Géoplan et des définitions des médiatrices, hauteurs et médianes, 1. Construis trois points libres A, B et C, et déplace-les éventuellement pour qu’ils forment un joli triangle, 2. Trace les segments [AB], [BC] et [AC], 3. Construis en rouge les médiatrices « m1 », « m2 » et « m3 », en bleu les médianes « M1 », « M2 » et « M3 » et en vert les hauteurs « h1 », « h2 » et « h3 » 4. Définis le point d’intersection G de « M1 » et « M2 » (on pourra vérifier au passage qu’il est aussi sur « M3 »), le point d’intersection H de « h1 » et « h2 » et le point d’intersection O de « m1 » et « m2 », 5. Grâce à la souris, déplace les points A, B et C et regarde en même temps ce qui se passe. Que constate-t-on ?

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En classe : 48, 49 p. 180 (triangles déjà tracés dans le II)

Exercices : 50, 51 p. 180 (triangles déjà tracés dans le II)

Chapitre n° 5 : Nombres relatifs (bases) I – Définitions Jusqu’à aujourd’hui, les seuls nombres connus et utilisés sont des nombres positifs. Cependant, il existe aussi les nombres négatifs (par exemple : « il fait – 2° dehors », perdre 2 € correspond au nombre – 2, …). Ils se caractérisent tous par la présence du signe « – ».

Définition L’ensemble des nombres positifs et négatifs constituent les nombres relatifs. Si ces nombres relatifs sont entiers, on les appelle alors les entiers relatifs.

Remarque

Si un nombre est précédé du symbole « – », alors c’est un nombre négatif. Si un nombre est précédé du symbole « + » ou d’aucun symbole, alors c’est un nombre positif. Le seul nombre à la fois positif et négatif est 0.

-

Exemples : Donner des nombres relatifs, puis des entiers relatifs. Insister sur le fait que les entiers relatifs sont aussi des nombres relatifs, mais pas forcément l’inverse, ainsi que sur la nécessité de les créer (1 – 2  ). Interrogation orale : 18, 19 p. 88


II – Repérage et droite graduée 1. Définition

Définition Une droite graduée est une droite qui possède - un point appelé origine ; - une unité de longueur, reportée régulièrement à partir de l’origine ; - un sens pour donner des valeurs aux graduations. B –6

–5 –4

–3

–2

–1

Unité de longueur Sens C 0

1

2

A 3

4

5

Origine Interrogation orale : –

En classe : 33, 34 p. 89

Exercices : –

2. Abscisse Propriété Sur une droite graduée : -chaque point placé correspond à un nombre relatif unique, appelé abscisse du point ; -pour chaque nombre relatif, il existe un unique point.

Exemple : Déterminer l’abscisse des points B et C. Placer ensuite les points D(–5) et E(+4,5). Interrogation orale : 18, 19, 20, 21, 22 p. 88

En classe : 35, 36, 37 p. 89

Exercices : 38, 39, 40 p. 89

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Notation : L’abscisse du point A est 4. On note cela de manière concise A(4).

3. Nombres opposés

Définition Deux nombres relatifs opposés sont constitués des mêmes chiffres mais sont de signes différents. Exemples : (–4,8) et (+4,8) sont des nombres relatifs opposés. L’opposé de (+2,8) est (–2,8).

Remarque

-

L’opposé d’un nombre négatif est positif, l’opposé d’un nombre positif est négatif. L’opposé de 0 est 0 (c’est le seul nombre). Deux points d’abscisses opposées sont symétriques sur une droite graduée.




4. Comparaison de nombres

Définition Comparer deux nombres relatifs revient à dire s’ils sont égaux ou donner le plus grand : on utilise donc les symboles ou =. Le plus grand entre deux nombres relatifs et celui dont le point sur la droite graduée est le plus à droite. Exemples : Parmi les cinq nombres donnés par les points A, B, C, D et E ci-dessus, déterminer plusieurs inégalités. Pour finir, ranger les nombres dans l’ordre croissant [(–5) < (–2,5) < (+2,5) < (+4) < (+4,5) ].

Remarque

-

L’opposé d’un nombre négatif est positif, l’opposé d’un nombre positif est négatif. L’opposé de 0 est 0 (c’est le seul nombre). Deux points d’abscisses opposées sont symétriques sur une droite graduée.


En classe : 8, 9, 10, 11, 12 p. 87

Exercices : 13, 14, 15, 16, 17 p. 87 / 48 p. 90

III – Repérage dans le plan Définition Deux droites graduées placées perpendiculairement à leur origine est appelé un repère orthogonal. La droite horizontale est appelée axe des abscisses, la verticale est appelée axe des ordonnées.

page 16

Remarque

Il n’est pas nécessaire que les deux axes aient la même unité de longueur. Par contre, il faut qu’ils aient la même origine et soient perpendiculaires !

Propriété Tout point du plan est repéré par deux nombres relatifs constituant les coordonnées du point : - l’abscisse, toujours donnée en 1er ; - l’ordonnée, toujours donnée en 2ème.

Interrogation orale : 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 p. 89

En classe : 1, 2, 3, 4 p. 86

3 A

2 D

1

B –5

–4

–3

–2

–1 0 –1

1

2

3

4

5

–2 –3

C

Exercices : 5, 6, 7 p. 86

page 17

Exemple : Sur cette figure, - A a pour abscisse 4 et pour ordonnée 2, on écrit alors A(4 ; 2). - B a pour abscisse … et pour ordonnée …, on écrit alors B(… ; …). - C a pour abscisse … et pour ordonnée …, on écrit alors C(… ; …). - D a pour abscisse … et pour ordonnée …, on écrit alors D(… ; …). - O (origine du repère) a pour abscisse … et pour ordonnée …, on écrit alors O(… ; …).

page 18

Chapitre n° 6 : Notions d’aire I – Aires 1. Définition

Définition L’aire d’une figure est la mesure de sa surface. Elle s’exprime en m 2 (un m2 correspond à l’aire d’un carré d’un mètre de côté). 2. Parallélogramme

Définition L’aire d’un parallélogramme est donnée par le produit d’un de ses côtés par la hauteur associée : a = c  h.

côté c

hauteur associée h

Comment arrive-t-on à trouver cette formule ? Peut-on partir du côté penché pour calculer l’aire ?

3. Triangle

Définition L’aire d’un triangle est donnée par le demi-produit d’un de ses côtés par la hauteur associée : ch a = (c  h) ÷ 2 = . 2

hauteur associée h

côté c

Comment arrive-t-on à trouver cette formule ? Peut-on partir de l’un des autres côtés pour calculer l’aire ?

4. Disque

Définition L’aire d’un disque est donnée par le produit de π et du rayon au carré : a =   r2.

Interrogation orale : 34 (1), 35 (1), 36 (1), 37 (1), 38 (2), 39, 40, 41 p. 268

En classe : 13 à 19 p. 267 / 52 (aire), 54 (aire) p. 270

Exercices : 20 à 23 p. 267 / 58 (aire), 59 (aire) p. 270

Définition L’aire totale d’un prisme droit ou d’un cylindre de révolution est égale à la somme des aires de toutes les faces.

page 19

II – Prisme droit & cylindre : aires

Exemples : On souhaite calculer l’aire totale de ce cylindre :

On souhaite calculer l’aire totale de ce prisme : 5 cm 3 cm

2 cm 5 cm

-

périmètre d’une base = 2  π  r = 2π  2 = 4π. donc aire latérale = 4π  5 = 20π  62,8. aire des deux bases : 2  (  r2) = 2  4 aire totale : 8 + 20 = 28

L’aire latérale de ce cylindre est d’environ 87,96 cm2.

-

6 4 cm périmètre d’une base =cm 6 + 4 + 5 = 15 cm. aire latérale = 15  3 = 45 cm2. aire d’une base = 6  4 = 12 = 6 cm2. 2 2 aire totale : 45 + 2  6 = 45 + 12 = 57.

L’aire totale de ce prisme droit est de 57 cm2.

Pour le calcul d’une aire, toutes les longueurs données doivent être exprimées dans la même unité. De manière générale, il faut prendre cette habitude dès que l’on calcule avec des grandeurs.

Interrogation orale : 7, 8, 9, 10, 11 p. 284

En classe : 23, 24, 25 p. 285

Exercices : 26, 27, 28 p. 285

page 20

À la fin du chapitre n° 16 (page 49), nous verrons un tableau général comprenant les aires et périmètres des figures usuelles, ainsi que les volumes des solides vus jusqu’à présent.

Chapitre n° 7 : Nombres relatifs (calculs) I – Somme Afin de déterminer la somme de deux nombres relatifs, nous allons procéder à un jeu : Nous avons toujours 100 € dans la poche, et de manière logique, un nombre négatif correspondra à une perte d’argent, et un nombre positif à un gain. On souhaite faire le calcul (– 6) + (+ 4,2). Recopier et compléter le tableau ci-dessous :

(– 6) + (+ 4,2)

Somme initiale 100 €

(+ 12) + (+ 4,5)

100 €

(– 4,2) + (– 4,8)

100 €

(– 3) + (+ 6,3)

100 €

(+12) + (– 15)

100 €

(+ 4) + (+ 1) + (– 5)

100 €

(+ 4,6) + (– 4,6)

100 €

Calcul

1ère opération –6

2ème opération + 4,2

Somme finale

Différence = résultat du calcul

100 – 6 + 4,2 = 98,2 €

– 1,8

Avec le dernier exemple, on constate que la somme de nombre relatifs opposés est égale à 0. De plus, avec l’habitude, on n’aura plus besoin de passer par le jeu pour calculer ces sommes. Interrogation orale : 22, 23, 24 p. 106

En classe : 1, 2, 3 p. 104

Exercices : –

II – Différence Propriété Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé (et ça marche aussi dans l’autre sens, mais ne sera utilisé qu’au paragraphe III-3). Après une seule modification, cette propriété permet donc de calculer des sommes de nombres relatifs. Recopier et compléter le tableau suivant : Calcul modifié

(– 6) – (+ 4,2)

(– 6) + (– 4,2)

(+ 12) – (+ 4,5)

(+ 12) + (– 4,5)

Somme 1ère 2ème initiale opération opération 100 € –6 – 4,2 100 €

(– 4,2) – (– 4,8)

100 €

(– 3) – (+ 6,3)

100 €

(+12) – (– 15)

100 €

(+ 4) + (+ 1) – (– 5)

100 €


+ 12

En classe : 4, 5, 6 p. 104

– 4,5

Somme finale 89,8 €

Différence = résultat du calcul

107,5 €

+ 7,5

– 10,2

Exercices : 7, 8, 9, 10 p. 104 / 37, 38, 39, 40, 41 p. 107

page 21

Calcul

III – Calculs plus compliqués 1. Expression ne contenant que des additions Propriété Dans une expression ne contenant que des sommes, on peut changer l’ordre des termes sans conséquence sur le résultat final. Exemple et rédaction :

A = (– 12) + (+ 2,4) + (– 1,7) + (+ 10,8) + (+ 8,7) A = (+ 2,4) + (+ 10,8) + (+ 8,7) + (– 12) + (– 1,7) A = A =

Remarque

(+ 21,9)

+ 8,2.

(– 13,7)

Puisque la somme de deux nombres relatifs opposés est nulle, on peut essayer de regrouper astucieusement : B = (– 5,6) + (– 4,2) + (+ 6,3) + (+ 5,6) B = (+ 6,3) + (– 4,2) + (+ 5,6) + (– 5,6) B = (+ 6,3) + (– 4,2) B = 2,1. Interrogation orale : –


Exercices : 35 p. 106 / 36 p. 107

2. Expression contenant additions et soustractions Comme pour les différence, il faut d’abord modifier l’expression de telle sorte à n’obtenir que des sommes. Le calcul se poursuit alors comme dans le paragraphe précédent. Exemple et rédaction :

A = (– 12) – (+ 2,4) – (– 1,7) + (+ 10,8) – (+ 8,7) A = (– 12) + (– 2,4) + (+ 1,7) + (+ 10,8) + (– 8,7) A = (+ 1,7) + (+ 10,8) + (– 12) + (– 2,4) + (– 8,7) A = A =


(+ 12,5)

+ – 10,6. En classe : 11, 12, 13 p. 105

(– 23,1)

Exercices : 18, 20, 21 p. 105 / 54, 55, 59 p. 108

3. Simplification d’écriture Comme vu en sixième, le symbole « + » n’est pas obligatoire devant un nombre. Il disparaîtra même complètement avant la fin du collège. Par conséquent, les parenthèses qui entourent un nombre relatif positif sont superflues. Retenons qu’il est strictement interdit de se faire suivre deux signes, il faut les séparer avec des parenthèses ! Exemples : A = (+ 2,2) + (+ 4,8) A = 2,2 + 4,8

B = (– 2,2) + (+ 4,8) B = – 2,2 + 4,8

C = (+ 2,2) – (+ 4,8) C = 2,2 – 4,8

D = (– 2,2) + (– 4,8) D = (– 2,2) – (+ 4,8) D = – 2,2 – 4,8.

page 22

Synthèse : Calculer le nombre E = 5,9 – 2,3 + 4,3 – 5,8 + 6,8 + 7 – 5,9. Solution : E = 5,9 – 5,9 + 4,3 + 6,8 + 7 – 2,3 – 5,8 on regroupe les positifs et les négatifs E = 18,1 – 8,1 on calcule les positifs, puis les négatifs E = 10 on effectue le calcul qui reste.

Interrogation orale : –

En classe : 14, 15 p. 105

Exercices : 16, 17 p. 105 / 65, 66, 67 p. 108

Chapitre n° 8 : Prisme & cylindre I – Prisme droit 1. Définition

Définitions Un prisme droit est un solide qui vérifie les deux conditions suivantes : - deux faces sont des polygones parallèles et de même forme, appelés bases ; - toutes les autres faces sont des rectangles appelés faces latérales. Une arête joignant les deux bases (= arête latérale) possède une longueur appelée hauteur du prisme droit. une arête

Exemple : Ci-contre est dessiné un prisme droit dont une base est un quadrilatère quelconque.

les bases face latérale

Remarque

hauteur

Combien de faces possède-t-il ? Combien de bases ? Combien de faces latérales ?

arête latérale

Cas particulier : Si la base est elle-même un rectangle, alors le prisme droit sera un parallélépipède (= pavé droit) : Interrogation orale : 19, 20 p. 250



2. Patron

Définition Le patron d’un solide est la figure du plan qui permet, après découpage et pliage, de fabriquer ce solide. Sur le patron, chaque face est en vraie grandeur. Exemple : ° 







°

page 23

Exemple :


En classe : 1, 4, 7 p. 248 / 32, 33 p. 251

Exercices : 2, 5, 8 p. 248 / 34, 35, 36 p. 241

II – Cylindre de révolution 1. Définition

Définition

O

A

r

hauteur

Un cylindre de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un rectangle autour de l’un de ses côtés. Il a : - deux faces parallèles (nécessairement des disques) et de même taille, appelées bases ; - une surface courbe appelée face latérale. Exemple : Ci-contre est dessiné un cylindre de révolution. Combien de faces possède-t-il ? Combien de bases ? Combien de faces latérales ? Interrogation orale : 21, 27 p. 250

r O ’ En classe : 41, 42 p. 252

B Exercices : 43, 44 p. 252

2. Patron Périmètre d’un disque (base)


En classe : 45, 46 p. 252

Hauteur

Le patron d’un cylindre est constitué de deux disques de même taille et d’un rectangle qui a pour largeur la hauteur du cylindre et pour longueur le périmètre d’un disque :

Exercices : 47, 48, 49 p. 252

III – Voir dans l’espace

page 24

Exemples :

Les deux bases sont parallèles.


Sur une face latérale, les côtés opposés ont la même mesure. En classe : –

Les faces latérales étant des rectangles, tous les angles sont droits (seuls 3 ont été dessinés ici). Exercices : –

IV – Volume d’un solide Définition

Exemple : Regardons la couche du fond de ce parallélépipède. On peut y placer 5 cubes en longueur et 5 en largeur, donc 25 en tout. Mais cette couche apparaît 3 fois (en bas, au milieu et en haut). On peut finalement placer 25  3 = 125 cubes. Le volume de ce parallélépipède est donc de 125 cm3.

3m

Le volume d’un solide correspond à la mesure de l’espace contenu dans ce solide : c’est une grandeur. L’unité de volume est le mètre cube, noté m3, et correspond au volume d’un (= à la place que prend un) cube d’un mètre de côté.

5m 5m

On constate que ce volume est le produit de la longueur, de la largeur et de la hauteur. Autrement dit :

v = L  ℓ  h (= b  h).

Remarque

De manière générale, quel que soit le solide vu jusqu’en 5ème (parallélépipède rectangle, prisme droit ou cylindre de révolution), son volume sera toujours donné par la formule :

v=bh . Il existe évidemment d’autres unités de volume : - dm3, cm3, … dans un tableau, chaque unité est divisé en 3 colonnes (et non 2 comme pour les aires) ; 1 L = 1 dm3 : 1 L est la contenance exacte d’un cube d’un mètre de côté.

Exemple : On souhaite calculer le volume du cylindre de révolution ci-contre. v = π r2 h v = π  52  8 v = π  25  8 v = π  200 = 200π (V.E.) v  628,3 cm3 (V.A.) Le volume de ce cylindre de révolution est de 200π, soit environ 628,3 cm3.

8 cm

-

5 cm

À la fin du chapitre n° 16 (page 49), nous verrons une synthèse générale comprenant les aires et périmètres des figures usuelles, ainsi que les volumes des solides vus jusqu’à présent.

En classe : 29, 30, 31 p. 285

Exercices : 32, 33, 34, 35 p. 285

page 25


page 26

Chapitre n° 9 : Écriture fractionnaire (calculs) I – Addition & soustraction 1. Mêmes dénominateurs Propriété Pour additionner (ou soustraire) deux quotients de mêmes dénominateurs, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun :

a D Exemples : 2 + 4 = 2 + 4 = 6 5 5 5 5

+

;

b =a+b

D

D

et

a

–

D

4 + 0,3 = 4 + 0,3 = 4,3 0,7 0,7 0,7 0,7

Interrogation orale : 11, 12, 13, 14, 15 p. 70

b = a – b.

D ;

D

2 – 1,9 = 2 – 1,9. 8 8 8

En classe : 1 p. 69

Exercices : 2 p. 69

2. Dénominateurs différents Propriété : rappel de la « règle d’or des quotients » On ne change pas un quotient en multipliant (ou en divisant) son numérateur ET son dénominateur par un même nombre non nul.

Propriété Pour additionner (ou soustraire) deux quotients dont un dénominateur est multiple de l’autre, il faut d’abord les mettre sur le même dénominateur, puis utiliser la propriété du paragraphe 1. Exemples : * 2 + 5 = 2  2 + 5 = 4 + 5 = 4 + 5 = 9 = 9 ÷ 3 = 3 (voir + loin pour simplification) 3 6 32 6 6 6 6 6  6 ÷ 3 2 4 1 4 13 4 3 4–3 1 * – = – = – = = . 9 3 9 33 9 9 9 9 Interrogation orale : 16, 17, 18, 19 p. 70

En classe : 3, 4, 5, 6 p. 69 / 27, 32 p. 71

Exercices : 7, 8, 9, 10 p. 69 / 28, 30, 31 p. 71

II – Multiplication & division Propriété Pour multiplier deux quotients, il suffit de multiplier leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux :

a c ac  = . b d bd

Remarque

* 2  5 = 2  5 = 10 = 10 ÷ 2 =5. 3 6 3  6 18 18 ÷ 2 9 4 * 1=41= 4. 9 3 9  3 27

* 4  2 = 4  2 = 8 = 8 ÷ 2 = 4. 6 6 6 6÷2 3 2 4 2 * 4  =  = 4  2 = 8 = 4. 6 1 6 16 6 3

Les critères de divisibilité rappelés dans le chapitre 3 servent ici : en effet, sans faire le moindre calcul, on arrive à déterminer si le numérateur et le dénominateur d’une fraction peuvent être divisés par un même nombre ! Interrogation orale : 20, 21, 23, 25 p. 70

En classe : 33, 34, 35, 36 p. 71

Exercices : 37, 38 p. 71 / 39, 41, 43, 44 p. 72

page 27

Exemples :

Propriété Diviser par un nombre non nul revient exactement à le multiplier par son inverse : - si a et b sont deux nombres relatifs tels que b ≠ 0, alors a = a ÷ b = a  1 ; -

b si a, b, c et d sont des nombres relatifs tels que b ≠ 0 et d ≠ 0, alors : a b =a÷c=ad. b d b c c

b

d

Exemples : * – 13 ÷ 2 = – 13  1 = – 13  0,5 = 6,5 ; 2 * 6 ÷ (– 0,25) = 6  1 = 6  (– 4) = – 24 ; – 0,25 6 – 5 * =–6÷8=–61=–61=– 3 ; 8 5 5 8 58 20

3 4 * Calculer . 7 – 8 * Calculer –

En classe :

6 . 5 8 Exercices :

III – Égalités de quotients 1. Simplifier une fraction

Définitions Simplifier une fraction signifie trouver une autre fraction égale à la première, mais qui s’écrit avec des nombres plus « simples » (plus petits) : on divise numérateur et dénominateur par un même nombre. Lorsqu’on ne peut plus simplifier, la fraction est appelée fraction irréductible. Pour simplifier, on utilise la règle d’or des quotients. Exemple :

Dans les exemples de la multiplication, par quels nombres ont été simplifiées 10 et 8 ? 18 6 La fraction 8 est-elle irréductible ? 10

critères de divisibilité rappelés dans le Chapitre n° 3: Écriture fractionnaire (bases) servent ici : en effet, sans faire le moindre calcul, on arrive à déterminer si Les Remarque

le numérateur et le dénominateur d’une fraction peuvent être divisés par un même nombre !

page 28


En classe : –


A–B

2. Produit en croix Propriété « PEC » Le produit en croix est donné par la formule suivante :

a=c b d



ad = bc.

Il est utilisé pour vérifier que deux quotients sont égaux ou non, ou compléter le nombre manquant quand on connaît les trois autres et que la règle d’or ne permet pas de le faire. Exemples : * Est-ce que 2591297280 = 3062442240 ? 6478243200 7656105600 D’une part, on a : 2591297280  7656105600 = 19839245616673000000 D’autre part, on a : 6478243200  3062442240 = 19839245616673000000 Les produits en croix sont égaux, on en déduit donc que les fractions initiales le sont aussi. * Compléter : 2 = x 5 7 14 5  x = 2  7  5x = 14. Il reste à tester cette égalité : dans la pratique, on fait x = = 2,8. 5 En classe : Compléter les égalités 4 = 7 ; 28 = 60. 5 ? 18 ?

Exercices : Compléter les égalités 21 = ? ; ? = 5,1. 9 6 9 3,4

page 29


page 30

Chapitre n° 10 : Calcul littéral I – Développement Formule 1 2 1

1

2

k(a+b)= ka + kb  

Remarque

On a transformé un produit en une somme. On dit qu’on a développé l’expression k  (a + b). Cette formule marche aussi si l’on remplace les « + » par des « – ».

Exemples : Faire l’illustration de cette formule avec le rectangle de largeur k coupé par deux longueurs a et b. Commencer (socle commun) avec des développements ne contenant que des nombres. Développer les expressions 2  (x + 5) et 3  (2 – y) (socle commun de 4ème) Interrogation orale : 28, 29 p. 36

En classe : 1, 9 p. 35

Exercices : 2, 10 p. 35 / 47, 48 p. 38

II – Factorisation (= mettre en facteur) Formule 2

ka + kb = k(a+b)

Remarque

  

On a transformé une somme en un produit. On dit qu’on a factorisé l’expression k  a + k  b. On peut faire le lien avec l’illustration sur les rectangles. Cette formule marche aussi si l’on remplace les « + » par des « – ».

Exemples : Factoriser d’abord des expressions ne contenant que des nombres (socle commun). Factoriser les expressions 5  x + 5  y et 6 – 2  a. Parler de recherche de facteur commun. En classe : 2, 4, 11 p. 35

Exercices : 3, 5, 8, 12 p. 35

page 31


page 32

Chapitre n° 11 : Proportionnalité I – Grandeurs proportionnelles 1. Définitions

Définition Dans un tableau, si le quotient d’un nombre d’une ligne par le nombre correspondant de l’autre ligne est toujours le même, alors on dit que les lignes sont proportionnelles entre elles. Ce quotient commun s’appelle alors coefficient de proportionnalité. Exemple : On donne les temps mis par un coureur selon la distance effectuée. Temps (en min) 15 30 60 90 Distance (en km) 5 10 20 30 On calcule : 15 = 3 ; 30 = 3 ; 60 = 3 ; 90 = 3. Tous ces quotients sont égaux. On en déduit que : 5 10 20 3 - le temps mis par un coureur est proportionnel à la distance parcourue ; - le coefficient de proportionnalité est 15  3 = 3.

Remarque

On a divisé des minutes par des kilomètres. On obtient un coefficient de 3 « minutes par kilomètre ». C’est la durée qu’il faut au coureur pour parcourir un kilomètre.

Interrogation orale : 14, 15, 16, 17, 18, 19 p. 124

En classe : 35, 36 p. 125


A–B

Définition Sur un plan à l’échelle, la distance mesurée sera proportionnelle à la distance réelle. On appelle échelle le coefficient de proportionnalité : e = d/De, où e est l’échelle, d la dimension sur le plan et D celle en réalité (ATTENTION : même unité pour d et D !!!). Exemples : * En traçant le plan de son appartement sur un papier, le professeur a représenté les 15 m de longueur réelles de son appartement par un segment de 6 cm. Alors : longueur sur le plan (en cm) = 6 = 6 = 2 = 1 . longueur réelle (en cm) 15  100 1 500 500 250 On dit que ce plan est à l’échelle 1/250 (aussi noté 1:250e), ce qui signifie que « 1 cm sur le plan représente 250 cm (soit 2,5 m) en réalité ». * Sur ce même plan, on mesure que la largeur de l’appartement rectangulaire est de 3,5 cm. Quelle est alors la largeur réelle ? [3,5  250 = 875 cm = 8,75 m] * M. LENZEN souhaite ajouter une cloison d’un mètre. Quelle est la taille du segment à dessiner sur le plan ? [puisque 1 m = 100 cm, on fait 100  1 = 100 = 10 = 2 = 0,4 cm = 4 mm] 250 250 25 5 En classe : 8, 9, 10, 11 p. 123

2. Comment compléter un tableau de proportionnalité ?

Exercices : 12, 13 p. 123 / 46, 48 p. 126

page 33


Il faut au moins 3 valeurs dans un tableau de proportionnalité de quatre cases. Dans ce cas, on effectue le « produit en croix » (déjà vu au Chapitre n° 9: Écriture fractionnaire (calculs), page 29) : Temps (en min) 15 ? Distance (en km) 5 25 La case manquante se complète en calculant le produit sur la diagonale complète (15  25), puis en divisant le résultat par la valeur qui reste (5), ce qui donne : 15  25 = 15  25 = 15  5 = 75. 5 5 Le coureur a donc parcouru 25 kilomètres en 75 minutes, soit 1h15 min.

Remarque

Il peut y avoir plus de quatre cases dans un tableau de proportionnalité. Il faut alors sélectionner deux colonnes et deux lignes qui donnent ainsi un « sous-tableau » de proportionnalité.

Interrogation orale : 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34 p. 124

En classe : 39, 40 p. 125


II – Calcul d’un pourcentage Propriété L’expression française « p % de s » est mathématiquement traduite par un tableau de proportionnalité. Exemple : Sur l’ensemble des 25 élèves de cette classe, 40 % sont des garçons. Faire un tableau de proportionnalité pour résoudre le problème.

Propriété Inversement, pour calculer un pourcentage à partir d’une proportion, il suffit de multiplier cette proportion par 100. Exemple : Dans ce collège de 585 élèves, 234 élèves font de l’espagnol. Quel est le pourcentage d’élèves du collège faisant de l’espagnol ? 234 23 400  100 = = 40 %. 585 585 Donc 40 % des élèves du collège font de l’espagnol. Interrogation orale : 20, 21, 22 p. 124

En classe : 1, 2, 3, 4, 5 p. 122

Exercices : 6, 7 p. 122 / 43, 44 p. 126

III – Représentations graphiques

page 34

Exemple : Nous allons comparer l’aire et le périmètre d’un carré en fonction de son rayon. 1. Recopie et complète les tableaux ci-dessous (arrondir au dixième) : Rayon (en cm) 1 2 3 4 5 Rayon (en cm) Périmètre (en cm) Aire (en cm2)

1

2

3

4

2. Est-ce que ces tableaux sont des tableaux de proportionnalité ? Justifie la réponse pour chaque tableau.

5

Tableau de gauche : 4 = 8 = 12 = 16 = 20 = … 1 2 3 4 5 1 4 Tableau de droite : = … et = … → … ≠ … 1 2

→ c’est un tableau de proportionnalité → ce n’est pas un tableau de proportionnalité

3. Représenter dans un même repère l’aire du carré en bleu et son périmètre en rouge (= graphiques). y

25 20 15 10 5 0

1

2

3

4

5

x

4. Que constate-t-on ? On constate que les points placés correspondant au premier tableau sont alignés avec l’origine, mais pas ceux correspondant au deuxième tableau.

Propriété Sur un graphique, on reconnaît une situation de proportionnalité lorsque les points placés sont alignés avec l’origine.


page 35


page 36

Chapitre n° 12 : Représentations de données I – Vocabulaire On a demandé à 20 élèves leur mois de naissance sous forme de nombre. Voici les résultats obtenus : 5 – 5 – 6 – 1 – 11 – 4 – 3 – 7 – 6 – 10 – 1 – 6 – 11 – 2 – 7 – 7 – 8 – 1 – 1 – 6.

Définitions Dans cet exemple, - la population étudiée (sur qui ?) est un ensemble de 20 élèves de la classe ; - le caractère étudié (sur quoi ?) est le numéro du mois de naissance ; - les données du caractères sont les 20 nombres obtenus ci-dessus ; - les valeurs du caractère sont les dix chiffres contenus dans le résultat : 1, 2, 3, …, 8, 10, 11. L’effectif d’une valeur est le nombre de répétitions de cette valeur. L’effectif total est le nombre total de valeurs (et c’est donc aussi la somme des effectifs de chaque valeur). Exemple : On peut construire un « tableau d’effectifs » afin de regrouper les différentes valeurs : Numéro du mois 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 Effectif 4 1 1 1 2 4 3 1 1 2 On vérifie l’effectif total : 4 + 1 + 1 + 1 +2 + 4 + 3 + 1 + 1 + 2 = 20 : ce sont bien les 20 élèves.

Définition La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total. C’est un nombre entre 0 et 1 (qui multiplié par 100 donne un pourcentage). Exemple : On peut compléter le tableau d’effectifs ci-dessus : Numéro du mois Effectif Fréquence Fréquence (en %)

1 4 0,2

2 1 0,05

3 1 0,05

4 1 0,05

5 2 0,1

6 4 0,2

7 3 0,15

8 1 0,05

10 1 0,05

11 2 0,1

Total 20 1

20 %

5%

5%

5%

10 %

20 %

15 %

5%

10 %

30 %

100 %

1 Calcul de la fréquence de 2 (et de 3 ; 4 ; 8 et 10) avec le « produit en croix » (proportionnalité) : = 0,05 = 5 %. 20 Interrogation orale : –

En classe : 1, 2 p. 140

Exercices : 3, 4 p. 140 / 12, 15 p. 143

II – Représentations 1. Diagramme en bâtons (quand le caractère représente des nombres) Sur un diagramme en bâtons, on place le caractère étudié (ici un chiffre) sur l’axe des abscisses, et les effectifs sur l’axe des ordonnées : page 37

Effectifs

N° du mois

2. Diagramme en tuyau d’orgue (quand le caractère ne représente pas des nombres) On a demandé aux élèves d’une classe de choisir une nouvelle couleur pour les murs de la salle parmi cinq proposées : Couleur Bleu Vert Rouge Jaune Orange Total Effectif 9 4 2 5 6 26 Quelle est la population étudiée ? Quel est le caractère étudié ? Quelles sont les valeurs du caractère ?

Effectifs

Ce diagramme ressemble fortement au diagramme en bâtons :

3. Diagramme en bandes (quand le caractère ne représente pas des nombres) Ce diagramme se construit sur une bande de longueur choisie (on va prendre par exemple 15 cm). La bande est découpée en autant de rectangles que de valeurs différentes (donc 5) et chaque rectangle a une taille proportionnelle à l’effectif de la valeur qu’elle représente (fréquence multipliée par effectif total). 9 Par exemple, pour calculer la longueur du « rectangle bleu », on fait  15  5,2 cm. 26 5,2 cm Effectifs

9

4

2

5

6

Bleu

Vert

Rouge

Jaune

Orange

Interrogation orale : 3 (8) p. 131

En classe : 11, 12, 14 (11) p. 133

Exercices : 15, 16 (8) p. 134 + 22, 23, 24 (11) p. 135

4. Diagramme circulaire (quand le caractère ne représente pas des nombres) Chaque valeur est représentée par une partie de disque dont l’angle est proportionnel à l’effectif de cette valeur. Il faut utiliser un tableau de proportionnalité pour pouvoir calculer les angles à construire, puisqu’on sait qu’un « camembert » complet fait 360° (tout le tour) (voir page 33) : Couleur Effectif Angle (en °)

Bleu 9 124 °

Vert 4 56 °

Rouge 2 28 °

Jaune 5 68 °

Orange 6 84 °

TOTAL 26 360 °

page 38

Nouvelle couleur pour les murs de la salle




III – Répartition en classes (quand le caractère contient trop de valeurs) Il a été demandé aux 50 professeurs du collège de donner leurs âges. Voici les résultats (ne correspondant évidemment pas à la réalité…) : 26 – 29 – 30 – 35 – 27 – 49 – 45 – 34 – 25 – 36 – 40 – 53 – 41 – 47 – 45 – 40 – 45 – 33 – 34 – 25 – 37 – 32 – 52 – 31 – 47 – 53 – 26 – 45 – 31 – 53 – 50 – 41 – 30 – 47 – 43 – 51 – 40 – 53 – 35 – 42 – 32 – 35 – 53 – 50 – 47 – 35 – 40 – 50 – 30 – 51. Quelle est la population étudiée ? le caractère ? les valeurs du caractère ?? Lorsqu’il y a trop de valeurs, les précédents diagrammes ne sont pas simples à réaliser. Dans ce cas, on regroupe les valeurs par classes : Âge compris 25 et 30 30 et 35 35 et 40 40 et 45 45 et 50 50 et 55 entre… (30 exclus) (35 exclus) (40 exclus) (45 exclus) (50 exclus) (55 exclus) Effectif 6 10 6 8 9 11

1. Représentation par un histogramme Dans ce type de graphique, chaque classe est représentée par un rectangle. Lorsque toutes les classes ont la même amplitude (= le même écart, ici 5 ans), la largeur des rectangles est la même partout et leur longueur est simplement donnée par l’effectif de la classe concernée : Effectifs

12

Âge des professeurs

11

10

10

9 8

8 6

6

6

4 2 25

30

35

40


45

50


55 Âges Exercices : 14 p. 143

2. Représentation par un diagramme circulaire Chaque classe est représentée par une partie de disque dont l’angle est proportionnel à l’effectif de cette classe. Il faut utiliser un tableau de proportionnalité (voir p. 27) pour pouvoir calculer les angles à construire : 25 et 30 (30 exclus) 6 43 °

30 et 35 (35 exclus) 10 72 °

35 et 40 (40 exclus) 6 43 °

40 et 45 (45 exclus) 8 58 °

45 et 50 (50 exclus) 9 65 °

50 et 55 (55 exclus) 11 79 °

TOTAL 50 360 °

page 39

Âge compris entre… Effectif Angle (en °)


En classe : –

Exercices : –

Salle informatique

1.

2. 3.

4.

5. 6. 7. 8. 9.

Recopie sans le compléter le tableau ci-dessus dans un tableur (Microsoft Excel ou OpenOffice.calc)  textes et nombres possibles dans des « cellules » (= cases) : clique sur la cellule puis saisis ton texte ou ton nombre au clavier  pour agrandir une colonne (par exemple la A), place ton curseur sur le trait entre A et B : il se transforme en , et sans lâcher le bouton de la souris, tu peux agrandir ou rétrécir la taille de ta colonne Une fois recopié, sauvegarde ce fichier dans ton répertoire personnel sous le nom « statistiques.xls » Dans la case G2, calcule la somme de tous les nombres de B2 à F2.  une somme s’obtient en effectuant un calcul ; un calcul commence toujours par le caractère « = » dans un tableur ; ce calcul peut donc s’obtenir en cliquant sur la case G2, puis en saisissant « =B2+C2+D2+E2+F2 » et en validant avec la touche entrée ) Dans les cases B3 à F3, calcule les fréquences correspondantes (on rappelle que “fréquence = effectif  effectif total”).  à nouveau, il s’agit d’un calcul, il va donc falloir commencer la saisie par « = » ; mais que peut-on mettre ensuite, c'est-à-dire comment saisir une division au clavier dans un tableur ? Calcule le total des effectifs dans la case G3 afin de vérifier qu’il est bien égal à 1. Complète les cases B4 à G4 (on rappelle que “fréquence en % = 100  fréquence entre 0 et 1”) En multipliant, comment passer de 100 à 360 ? Note la réponse ici :  ……… Complète la case B5 en saisissant « =[clic sur la case B3]*3,6 » et valide en appuyant sur Clique sur la case que tu viens de compléter. Un petit carré noir apparaît en bas à droite de la case. Clique dessus avec la souris, et sans lâcher le bouton de la souris, glisse ce carré jusqu’en bas à droite de la cellule F5. Que s’est-il passé ?? ...................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................

page 40

10. Il ne reste plus qu’à créer le graphique : a) Sélectionne les cases A1 à F2 (le total ne doit jamais apparaître sur un graphique !) b) Clique dans la barre d’outils sur l’icône « Assistant graphique » : c) Sélectionne le diagramme circulaire, puis clique sur d) À l’étape deux, on a un aperçu, clique alors sur e) À l’étape trois, on peut modifier le titre, la légende, les étiquettes pour obtenir le diagramme souhaité, puis on clique sur

Chapitre n° 13 : Durées & conversions I – Durées 1. Définition

Définition La durée est la mesure du temps entre deux instants donnés. L’unité légale de durée est la seconde, notée s. Exemple : Il faut environ deux secondes pour lire cette phrase.

2. Calcul de durées Exemple : Lors de l’épreuve d’histoire-géographie du brevet 2009, un élève a commencé à 9h37 et fini à 11h12. Pendant combien de temps a-t-il travaillé ? Méthode par compléments 9h37 –––→ 10h –––→ 11h –––→ 11h12

Méthode par soustraction On remarque que 11h12 = 10h12 + 60min = 23 min 1h 12 min « 10h72 » 11 0 7 2 1 1 h 1 2 23 min + 1 h + 12 min = 1h35 min. – 9 h 31 7 1 h 3 5 Il a donc travaillé pendant une heure et trente-cinq Il a donc travaillé pendant une heure et trente-cinq minutes. minutes. Pour la méthode par soustraction, il faut calculer minutes et heures séparément, quitte à enlever une heure au compteur des heures (– 1 h) pour la mettre au compteur des minutes (+ 60 min) ! Sinon : 1

1

1

1 1 h 1 2 – 1 91 h 31 7 1 h 8 5 Interrogation orale : 24, 25, 26, 27, 28, 29 p. 268

= 2 h 25 min : ce n’est pas du tout le même résultat !!

En classe : 1, 2, 3, 4 p. 266 / 43 p. 269

Exercices : 3, 5, 6 p. 266 / 44 p. 269

II – Conversions M. Harry Covert a mis 6 heures pour carreler sa salle de bains. Combien de temps aurait-il fallu s’il étaient 5 à travailler ? Solution : S’ils étaient 5, ils auraient mis 5 fois moins de temps, donc 6 ÷ 5 = 1,2 h. Ils auraient donc travaillé 1h, plus encore 0,2h. On utilise ensuite un tableau de proportionnalité pour convertir 0,2 h : Durée (en h) 1 0,2  60 Donc 1,2h = 1h + 0,2h = 1h + 12 min = 1h12 min. Durée (en min) 60 0,2  60 = 12


En classe : 7, 8, 9 p. 266 / 48, 49 p. 269

Exercices : 10, 11, 12 p. 266 / 50, 51 p. 269

page 41

Conclusion : Ils auraient travaillé pendant une heure et douze minutes.

page 42

Chapitre n° 14 : Symétrie centrale (A-B) Rappels sur la symétrie axiale Méthode A

Pour construire le symétrique d’un point A par rapport à une droite (d), seulement deux étapes sont à respecter : 1. Tracer la perpendiculaire à (d) passant par A. Elle coupe (d) en M. 2. Reporter sur cette perpendiculaire la longueur AM de l’autre côté de la droite (d).

1 (d) M 2 A’

Le codage fait complètement partie de la figure : ne pas le mettre est une erreur mathématique qui coûtera des points aux contrôles et éventuellement plus tard au brevet.

Remarques

  

La droite (d) est la médiatrice du segment [AA’] (droite perpendiculaire passant par le milieu du segment) Le point M est le milieu du segment [AA’] Si un point appartient à la droite (d), alors son symétrique par rapport à (d) est lui-même.


En classe : 45 (1, 2) p. 162

Exercices : 46 (1, 2) p. 162

I – Définitions Définitions  Deux figures sont symétriques par rapport à un point si l’une peut se superposer sur l’autre par demi-tour autour de ce point. Ce point est alors appelé centre de symétrie : F

E

G

C

B D H

O

A

 Le symétrique d’un point A par rapport à un point I est le point généralement noté A’ tel que I soit le milieu du segment [AA’] :

A I

 Remarques



Désormais, la phrase « I est le milieu de [AA’] » aura la même signification que « A’ est le symétrique de A par rapport au point I ». Le point I (centre de la symétrie) est le symétrique de lui-même par rapport au point I…


En classe : 30, 31, 32 p. 161

Exercices : 37, 38, 39 p. 161

page 43

A ’

II – Symétriques d’objets mathématiques 1. Un point Pour construire le symétrique d’un point (par exemple A) par rapport à un autre point (par exemple I) : A

I

A


A

I

I


A'


2. Une figure Propriété Deux figures symétriques ont exactement la même forme et les mêmes mesures. Exemple : Voir le dessin du premier paragraphe.

3. Une droite Propriété  

Le symétrique d’une droite (d) par rapport à un point O est une droite (d’) parallèle à (d). Si trois points A, B et C sont alignés, alors leurs symétriques A’, B’ et C’ sont donc aussi alignés : la symétrie conserve l’alignement des points.

Exemples :  les droites (d) et (d’) sont bien parallèles (on peut le vérifier à la règle et à l’équerre).  les points A’, B’ et C’ sont alignés : en effet, ils sont tous les trois sur la droite (d’). Pour construire le symétrique d’une droite, il suffit de choisir deux points sur cette droite et d’en construire les symétriques.

A

(d)

(d’ )

C

B O

C'

B'

A'

4. Un segment Propriété Le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur : la symétrie conserve les longueurs. Exemple : On choisit [AB] sur le dessin ci-dessus. Mesurer [A’B’]. Que constate-t-on ? Effectuer la même manipulation avec les segments [BC] et [AC]. Pour construire le symétrique d’un segment, on construit le symétrique de ses deux extrémités.

5. Un cercle

page 44

Propriété Le symétrique d’un cercle par rapport à un point O est un cercle de même rayon. Les centres de ces cercles sont symétriques par rapport au point O.

Exemples : Les cercles (c) et (c’) sont symétriques par rapport à O. On a alors que :  les rayons des deux cercles sont égaux (voir codage).  les centres A et A’ sont symétriques par rapport au point O. En particulier, OA = OA’ (ou encore, O est le milieu de [AA’]).

(c) A

O A'

(c’)

Pour construire le symétrique d’un cercle, il suffit de construire le symétrique de son centre et de garder le même rayon. Interrogation orale : –



6. Un polygone Propriété Le symétrique d’un polygone par rapport à un point est un polygone superposable : la symétrie conserve donc les mesures d’angles, les périmètres et les aires. Exemples : Les deux figures noire et orange sont symétriques puisqu’elles sont superposables par demitour autour de O. Puisque ce sont les mêmes figures (mais retournées),  les deux angles marqués ont la même mesure,  les périmètres de ces deux figures sont égales (on peut mesurer pour vérifier…),  les aires de ces deux figures sont égales. Interrogation orale : 18, 24 p. 20

En classe : 1, 2, 3, 4, 5 p. 158

O

Exercices : 6, 7, 8, 9 p. 159 / 42 p. 162

III – Centre de symétrie Définition Si le symétrique d’une figure par rapport à un point O est elle-même, alors on dit que le point O est le centre de symétrie de la figure. Exemples : Une seule de ces figures n’admet pas de centre de symétrie. Laquelle ? Pourquoi ?



page 45


page 46

Chapitre N° 15 : Figures usuelles (A-B) I – Éléments de symétrie Recopier et compléter le tableau suivant :

Carré

Losange

Rectangle

Axes de symétrie

Centre de symétrie

Illustration (d ʺ)

D Deux axes de symétrie : les médiatrices des côtés du rectangle

(dʹ )

C

O

A

B D (Δ2)

Deux axes de symétrie : les diagonales du losange

Un seul centre de symétrie : le point d’intersection des deux diagonales

A

(Δ1) C

O B

(d D 2)

Quatre axes de symétrie : les diagonales du carré, ainsi que les médiatrices de ses côtés

(d 1)

(d 3)

C

O A

Remarque

(d 4)

B

Le rectangle, le losange et le carré vérifient tous les trois la définition du parallélogramme (côtés opposés parallèles), ce sont donc des parallélogrammes particuliers. En tant que tel, ils admettent tous un centre de symétrie qui est le point d’intersection des diagonales. En classe : 38, 39 p. 233


II – Le rectangle Propriété (rappel de 6ème) Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont la même longueur. Toutes les autres propriétés découlent du fait qu’un rectangle est un parallélogramme particulier.

Propriété R2 Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle. Ces propriétés nous serviront à démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle. Interrogation orale : –

En classe : 1, 3, 5 p. 230 / 54 p. 234

Exercices : 12, 15, 18 p. 231 / 56 p. 234

page 47

Propriété R1 Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.

III – Le losange Propriété (rappel de 6ème) Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires. Toutes les autres propriétés découlent du fait qu’un losange est un parallélogramme particulier.

Propriété L1 Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.

Propriété L2 Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange. Ces propriétés nous serviront à démontrer qu’un quadrilatère est un losange. Interrogation orale : –

En classe : 2, 4, 7 p. 231 / 53 p. 234

Exercices : 13, 16 p. 231 / 51, 52 p. 234

IV – Le carré et synthèse On a déjà vu en 6ème qu’un carré était à la fois un losange et un rectangle. Il possède donc toutes les propriétés de ces deux figures, y compris celles que nous venons de voir. Nous pouvons synthétiser toutes les informations de ce chapitre dans un « organigramme » :

parallélogramme

+ un angle droit + diagonales de même longueur + deux côtés consécutifs de même longueur + diagonales perpendiculaires

page 48

Interrogation orale : 21 à 37 p. 233

Rectangle

+ deux côtés consécutifs de même longueur + diagonales perpendiculaires + diagonales de même longueur

Losange + un angle droit

En classe : 9 p. 230 / 14 p. 231

Exercices : 17, 18, 19 p. 231 / 50 p. 234

Carré

Chapitre n° 16 : Périmètre (A-B) À la fin du chapitre, nous verrons une synthèse générale sous forme de tableaux : périmètres/aires des figures usuelles, ainsi que volumes des solides vus jusqu’à présent.

I - Périmètres Définition Le périmètre d’une figure est la mesure de son contour (et uniquement du contour).

Propriétés -

Le périmètre d’un polygone est la somme des longueurs de ses côtés. Le périmètre d’un cercle (ou disque) de rayon R est donné par : 2    R = 2R. Le périmètre d’un cercle (ou disque) de diamètre D est donné par :   D = D.

Dans ces formules, on a supprimé les symboles de multiplication (voir paragraphe II – Notations et simplification d’écriture du Chapitre n° 4: Expression littérale, page 11) : faire quand même une petite explication !! Exemple : Quel est le périmètre d’un cercle de 3 cm de rayon ? → p = 2    3 = 6  18,85 cm. Interrogation orale : 34 (1), 35 (1), 36(1), 37 (1) p. 268

En classe : 52, 53, 54 (uniquement périmètre) p. 270

Exercices : 56, 57 (uniquement périmètre) p. 270

Pour le calcul d’un périmètre, toutes les longueurs données doivent être exprimées dans la même unité. De manière générale, il faut prendre cette habitude dès que l’on calcule avec des grandeurs. Exemple : Un terrain vide a une surface de 5 a. On construire une maison d’une surface de 120 m2 et une terrasse de 300 dm2. Quelle surface du terrain reste inoccupée ? → 5 a – 120 m2 – 300 dm2 = 500 m2 – 120 m2 – 3 m2 = 377 m2.

II – Tableaux de synthèse Figure

Triangle

Cerf-volant

Losange

B B

Périmètre Aire

hauteur associé eh A

C

A côté c

--ch 2

C

b

b c

D a

--ab 2

a

4  c = 4c ab 2

page 49

Dessin

Figure

Dessin

Parallélogramme

côté c

---

Aire

ch

Carré

 r c

L

2  (L + ℓ) = 2(L + ℓ) Lℓ Cylindre de révolution

Prisme droit

h

4  c = 4c

2  π  r = 2πr

c2

π  r2 = πr2

Cube

Parallélépipède rectangle

c

h

r

page 50

v=bh v = π  r2  h = π r2 h

ℓ

c c

v=bh

Disque

ℓ

hauteur associée h

Périmètre

h

Rectangle

v=bh v = c  c  c = c3

L v=bh v=Lℓh=Lℓh

Chapitre n° 17 : Parallélogramme (A-B) I – Définition Définition Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles. Exemple : Puisque les deux côtés d’une règle sont parallèles, on a : D

A

C

B

Propriétés -

Si un quadrilatère ABCD est un , alors ses côtés opposés sont parallèles ; Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles, alors c’est un . Interrogation orale : 19, 20, 21 p. 214

En classe : 1, 2, 3, 4 p. 212

Exercices : 5, 7, 9, 11 p. 213 / 34, 35 p. 215

II – Symétrie Propriété S Si un quadrilatère est un , alors il a un centre de symétrie qui est le point d’intersection des deux diagonales. Exemple : Tracer le point O d’intersection des diagonales du ABCD ci-dessus, et vérifier que O est bien le centre de symétrie du (autrement dit, vérifier que O est bien le milieu des segments [AC] et [BD]).

Définition On dit alors plus précisément que le Interrogation orale : 22 p. 214

ABCD est un

de centre O.

En classe : –

Exercices : –

III – Propriétés 1. Côtés

Si un quadrilatère est un même longueur.

, alors ses côtés opposés ont la

page 51

Propriété C1

Exemple : Nommer le quadrilatère ci-dessus et écrire les deux égalités de longueurs. Interrogation orale : –

En classe : –


2. Diagonales Propriété D Si un quadrilatère est un en leur milieu.

, alors ses diagonales se coupent

Exemple : Nommer le quadrilatère ci-dessus, ainsi que son centre O, et écrire les deux égalités de longueurs.

Remarque

Ces deux propriétés fonctionnent en sens inverse avec un quadrilatère non croisé : - Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un ; - Si un quadrilatère non croisé a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un Interrogation orale : –


.


3. Angles Propriété A1 Si un quadrilatère est un même mesure.

, alors ses angles opposés sont de

Exemple : Nommer le quadrilatère ci-dessus, ainsi que son centre O, et écrire les deux égalités de mesures d’angles.

Propriété A2 Si un quadrilatère est un , alors deux de ses angles consécutifs (= deux angles qui se suivent) sont supplémentaires. Exemple : Nommer le quadrilatère ci-dessus et écrire les quatre sommes d’angles qui sont supplémentaires. Interrogation orale : –

En classe : –


4. Longueur et parallélisme Propriété C2 D

Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés de même longueur ET parallèles, alors c’est un . A

C B

Exemple : Dans le quadrilatère ABCD, on sait que (AB) // (CD) et que AB = CD. D’après cette propriété, ABCD est donc un .

page 52


En classe (bilan) : 12, 13, 14, 15, 16 p. 213

Exercices (bilan) : 17, 18 p. 213 / 55 p. 216

Chapitre n° 18 : Angles (A-B) I – Vocabulaire important 1. Angles complémentaires et supplémentaires

Définitions -

Deux angles sont dits complémentaires s’ils forment un angle droit (90°) (voir illustration ci-contre). Deux angles sont dits supplémentaires s’ils forment un angle plat (180°).

Exemple : Sur la figure, les angles

et

x 30 ° 60 ° O

P 30 ° z

v

u

sont complémentaires. Faire construire de tels angles.

2. Angles adjacents

Définition Deux angles sont dits adjacents s’ils vérifient les trois conditions suivantes : - ils ont le même sommet ; - ils ont un côté commun ; - ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun. Exemple : Sur cette figure, les angles vert et rouges sont adjacents. Faire construire de tels angles.

Remarque

Ces trois conditions sont importantes : sur chaque figure, les angles violet et orange ne sont pas adjacents car… les angles ne sont pas situés de .le sommet n’est pas le même il n’y a pas de côté commun part et d’autre du côté commun

3. Angles opposés par le sommet

Définition

Exemple : Sur cette figure, les angles rouges sont opposés par le sommet, ainsi que les angles verts.

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Deux angles sont dits opposés par le sommet s’ils sont non adjacents et formés par deux droites sécantes. Deux droites sécantes forment deux paires d’angles opposés par le sommet.

4. Angles alternes-internes

Définition Soient (d), (d’) deux droites. Une troisième droite (Δ) qui coupe (d) et (d’) forme deux paires d’angles alternesinternes.

(d) (Δ)

(d’)

Exemple : Sur cette figure, les angles rouges sont alternes-internes, ainsi que les angles verts. Faire construire de tels angles.

Remarque

« Alternes » signifie qu’ils sont situés de part et d’autre de la droite (Δ) (alternance) et « internes » signifie qu’ils se trouvent entre les deux droites (d) et (d’) (à l’intérieur). Il existe aussi les angles alternes-externes, mais ils ne sont plus au programme du collège…

5. Angles correspondants

Définition Soient (d), (d’) deux droites. Une troisième droite (Δ) qui coupe (d) et (d’) forme quatre paires d’angles correspondants (qui regardent dans la même direction).

(d) (Δ)

(d’)

Exemple : Sur cette figure, les angles rouges sont correspondants, ainsi que les angles verts, violets et orange. Faire construire de tels angles. Passer le diaporama sur ce type d’angles et interroger les élèves. Interrogation orale : 13, 14, 15, 16 p. 196

En classe : 1, 2 p. 194

Exercices : 3, 4 p. 194 / 19, 20, 22, 23, 24, 25 p. 197

II – Propriétés (plus au programme) Propriété Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

Propriété Si deux droites sont parallèles, alors toute troisième droite qui coupe les deux parallèles forme des angles alternes-internes (et correspondants) de même mesure.

Propriété

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Si deux angles alternes-internes (ou correspondants) ont la même mesure, alors les droites sur lesquelles ils reposent sont parallèles. Interrogation orale : 17, 18 p. 197

En classe : 5, 6, 7, 8 p. 195 / 29, 30 p. 198

Exercices : 9, 10, 11, 12 p. 195 / 32, 33, 34 p. 198