Partea 5. Cuantificatori - liceulagricolcarei.ro

Cuantificatorul existenţial (  ) şi cuantificatorul universal (  ) Strâns legată de noţ noţiunea de predicat apare noţ noţiunea de cuantificator. Fie predicatul unar p(x), p(x), unde x desemnează un element oarecare din mulţ mulţimea E. Putem forma enunţ enunţul:

„ există cel puţ puţin un x din E astfel încât p( x ) “ care se notează (

 x ) p( x )

Acest enunţ enunţ este o propoziţ propoziţie, care este adevărată când există cel puţ puţin un element x0 din E, E, astfel încât propoziţ propoziţia p( x0 ) este este adevărată şi este falsă când nu există nici un x0 din E astfel încât p( x0 ) să fie adevărată. adevărată. Exemple 1) Considerăm predicatul p(x): p(x): „ x + 3 = 0 ", unde x desemnează un număr întreg. Propoziţ Propoziţia (Э (Эx) ( x + 3 = 0 ) este este adevărată, adevărată, deoarece pentru x0 = - 3 propoziţ propoziţia p(p(-3): „ -3 + 3 = 0 " este este adevărată. adevărată. 2 2) Fie predicatul p(x): „ x + 1 = 0 ", unde x desemnează un număr real. real. 2 Propoziţ Propoziţia (Э (Эx) ( x + 1 = 0 ) este este falsă, falsă, deoarece deoarece nu există nici un număr real x0 astfel încât să avem x 2+ 1 = 0. Cu predicatul p(x) p(x) putem forma şi enunţ enunţul:

„ oricare ar fi x din E are loc p( x ) “ care se notează ( x ) p( x ).

Acest enunţ enunţ este o propoziţ propoziţie, care este adevărată dacă pentru orice element xo din E p(xo) este este adevărată şi este falsă în cazul când există cel puţ puţin un xo din E pentru care p(x0) este este falsă. falsă. Exemple 1) Fie predicatul p(x): „ x + 3 = 0", unde x desemnează un număr întreg. Propoziţ Propoziţia (  x) ( x + 3 = 0 ) este falsă, falsă, deoarece pentru xo = 4 propoziţ propoziţia p(4): p(4): „ 4 + 3 = 0 " este falsă. falsă. 2) Considerăm predicatul p(x p(x): „ x2 > 0" unde x desemnează un număr întreg. Propoziţ Propoziţia (  x) ( x 2 ≥ 0 ) este este adevărată deoarece pentru orice număr întreg x0 avem x02 ≥ 0.

Prof: Ciocotişan Radu-Carei

Echivalenţa predicatelor. Două predicate p(x, y, z, ...), q(x, y, z, ...) se zic echivalente şi scriem p( x , y , z , ...)  q( x , y , z , ...), dacă oricum am alege valorile variabilelor xo, yo, z0, ..., propoziţiile p(xo, yo, zo. …) şi q(xo, yo, z0, ...,) au aceeaşi valoare de adevăr.

Se vede că p(x, p(x, y, z, ...)  q{x, y, z, ...) atunci şi numai atunci când p(x, y, z, ...)  q(x, y, z, ...) şi q(x, y, z, ...) p(x, y, z, ...).

Exemplu 1) Considerăm predicatele p( p(x): „ x < 0 " şi q(x): „ x ≥ 0" unde x desemnează un număr real. real. Se observă că ┐p(x p(x) q(x q(x) şi ┐q(x q(x) p(x p(x). 2) Considerăm predicatele p( p(x, y): „ x = y " şi q(x q(x, y): „ x ≠ y”, unde x, y desemnează numere reale. reale.  Se observă că ┐p(x, y) q(x q(x, y). 3) Considerăm predicatele p( p(x): „ x > 0" şi q(x q(x): „x 2 > 0", unde x desemnează un număr real. real. Se vede că p( p(x) => q(x q(x), dar nu are loc implicaţ implicaţia q(x q(x) => p(x p(x), deoarece pentru x0= -1, propoziţ propoziţia q(q(-1): „(-1)2 > 0" este adevărată, adevărată, pe când propoziţ propoziţia p(p(-1): „-1 > 0" 0" este este falsă. falsă.


Reguli de negaţie. Fie p(x p(x) un predicat unar, unde x desemnează un element din mulţ mulţimea E. Atunci:

1) ┐( (  x) p(x) ) = (  x) ┐p(x) 2) ┐( (  x) p(x) ) = (  x) ┐p(x) Exemplu Exemplu

Să considerăm predicatul

p(x): „ x - 2 = 3 ", unde x desemnează un număr întreg.

Propoziţ Propoziţia (Эx) p(x) este adevărată deoarece pentru x0 = 5, propoziţ propoziţia p(x0) : „ 5 - 2 = 3 " este este adevărată. adevărată. Atunci propoziţ propoziţia

┐ (Эx) p(x) este falsă. falsă.

Pe de altă parte, parte, predicatul Propoziţ Propoziţia (

┐p(x)

este echivalent cu predicatul „ x - 2 ≠ 3 ".

falsă, deoarece pentru xo = 5, propoziţ propoziţia „ 5-2 ≠ 3" este falsă. falsă.  x) (x – 2 ≠ 3) este falsă,

Deci am verificat că: că:


x  x  2  3  x  x  2  3

Mulţimi şi Predicate Să formalizăm în termeni logici câteva din definiţ definiţiile din acest paragraf. relaţ relaţia de incluziune

A  B se scrie: x  A  B  x x  A  x  B 

definiţ definiţia reuniunii

A B

se scrie:

x  A  B   x  A   x  B 

definiţ definiţia intersecţ intersecţiei

A B

se scrie:

x  A  B   x  A   x  B 

definiţ definiţia diferenţ diferenţei

A B

se scrie:

x  A  B   x  A   x  B 


Predicate de mai multe variabile. Fie p(x, y) un predicat binar. Folosind cuantificatorii ( ) şi (



 ), putem forma predicatele unare: x  px, y  şi x  px, y 

unde y este variabila acestor două predicate (

y

se zice variabilă liberă, liberă, iar x variabilă legată ).

Din aceste două predicate putem forma propoziţ propoziţiile:

y x  px, y  y x  px, y  y x  px, y  y x  px, y 

Semnalăm următoarele proprietăţ proprietăţi de comutativitate ale cuantificatorului de acelaş acelaşi fel:

y x  px, y   x y  px, y  y x  px, y   x y  px, y  Multe teoreme se scriu sub forma implicaţ implicaţiei

p (x,y,z ,...) => q (x, (x,y,z,...) (x, y, z, z, ...).

Considerăm teorema: teorema: “ În orice triunghi medianele sunt concurente. concurente.” Această teoremă este de forma p (x, y, z) z) => q (x, (x, y, z), z), unde p( x, y, z ) este predicatul ternar: p( x, y, z ) sunt medianele unui triunghi" iar q ( x, y, z ) este predicatul: „ x, y, z sunt concurente".
