ŞI ANALIZĂ MATEMATICĂ PENTRU. ECONOMIŞTI. EDITURA. AXIOMA ...
matematică: programarea liniară, programarea convexă, programarea dinamică,
etc.
VASILE LUPULESCU
ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI ANALIZĂ MATEMATICĂ PENTRU ECONOMIŞTI
EDITURA AXIOMA TEOMSNIC TÂRGU-JIU, 2004 1
2
INTRODUCERE
Lucrarea se adresează studenţilor de la facultaţile cu profil economic şi cuprinde principalele rezultate ale algebrei liniare şi calculului diferenţial, prezentate într-un mod accesibil. Prin conţinutul ei, cartea pune la dispoziţie materialul necesar pentru abordarea principalelor probleme de programare matematică: programarea liniară, programarea convexă, programarea dinamică, etc. Expunerile teoretice sunt însoţite de exerciţii care urmăresc completarea noţiunilor teoretice precum şi de exemple care urmăresc facilitarea înţelegerii noţiunilor prezentate. De asemenea, fiecare paragraf al lucrării este urmat de un test de autoevaluare.
3
CAPITOLUL I ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ 1.1. Spaţiul real m – dimensional Rm În cele ce urmează, vom nota cu N mulţimea numerelor naturale şi cu R mulţimea numerelor reale. Dacă m ≥ 1 este un număr natural fixat, atunci nota cu Nm mulţimea primelor m numere naturale, adică Nm={1, 2, …m}. 1.1.1 Definiţie. Fie m ≥ 1 un număr natural fixat. Prin spaţiul real m - dimensional Rm vom înţelege mulţimea tuturor sistemelor ordonate de m numere reale. Un element x ∈ Rm va fi prezentat sub forma unei matrice coloană: α1 α2 x= , M α m
α i ∈ R, i ∈ Nm
Numerele reale α1 α 2 ,… α m se numesc componentele sau coordonatele elementului x. De asemenea, pentru a pune în evidenţă un element x al mulţimii, Rm vom mai scrie x = ( α1 , α 2 ,… α m )T sau xT= ( α1 , α 2 …, α m ), unde xT semnifică elementul transpus al elementului x. Elementul θ =(0, 0, …0)T ∈ Rm, adică elementul cu toate componentele egale cu zero, se numeşte elementul nul al spaţiului Rm. Dacă x= (α1 , α 2 ...α m ) T ∈ Rm, atunci elementul – m T x:= (−α1 ,−α 2 ...,−α m ) ∈ R se numeşte elementul opus al elementului x. 4
Elementele x= (α1 , α 2 ...α m ) T , y = (β1 , β 2 ...β m ) T ∈ Rm vor fi considerate ca fiind egale şi notăm x=y, dacă şi numai dacă α1 = β1 , α 2 = β 2 ,…, α m = β m . 1.1.2. Adunarea elementelor din Rm Introducem în spaţiul Rm operaţia de adunare a elementelor. Astfel, dacă x= (α1 , α 2 ...α m ) T , y = (β1 , β 2 ...β m ) T ∈ Rm, atunci definim elementul sumă x+y prin: α β1 α 1 + β1 α 2 β 2 α1 + β 2 x+y= + = M M M α β α + β m m m m De asemenea, putem scrie x + y= (α1 , α 2 ...α m ) T + (β1 , β 2 ...β m ) T = (α1 + β1 , α 2 + β 2 ..., α m + β m ) T sau xT + yT= (α1 , α 2 ...α m ) + (β1 , β 2 ...β m ) = (α1 + β1 , α 2 + β 2 ..., α m + β m ) Dacă x, y ∈ Rm , atunci suma x+(-y) va fi notată cu x-y şi se numeşte diferenţa dintre elementul x şi elementul y. De exemplu, dacă x=(-1, 3, 2)T, y=(4, -2, -7)T sunt elemente din spaţiul R3, atunci: x+y= =(-1, 3, 2)T+(4, -2, -7)T=(3, 1, -5)T iar x-y= x+(-y)= =(-1, 3, 2)T+ (-4, 2, 7)T=(-5,5, 9)T. 1.1.3. Înmulţirea cu numere reale ale elementelor din Rm
5
Introducem operaţia de înmulţire cu numere reale a elementelor din Rm. Astfel, dacă λ ∈ R şi x= (α1 , α 2 ...α m ) T ∈ Rm, atunci definim elementul λ x prin:
α 1 λα1 α 2 λα 2 λ x= λ = M M α λα m m De asemenea, putem scrie λ x= λ (α1 , α 2 ...α m ) T = (λα1 , λα1 ,..., λα m ) T sau λ xT= λ (α1 , α 2 ...α m ) = (λα1 , λα1 ,..., λα m ) De exemplu, dacă x=(2, -1, 3)T, y=(4, -3, 1)T sunt elemente din spaţiul R3, atunci: 2x = 2(2, -1, 3)T=(4, -2, 6)T - 3y = -3(4, -3, 1)T=(-12,9,-3)T 2x-3y=(4, -2, 6)T+(-12,9,-3)T=(-8, 7, 3)T 1.1.4. Exerciţii. 1. Folosind proprietăţile adunării şi înmulţirii numerelor reale, să se arate că operaţia de adunare a elementelor din Rm şi operaţia de înmulţire cu numere reale a elementelor din Rm are următoarele proprietăţi: (v1) x+y=y+x, (v2) (x+y) +z= x+(y+z), (v3) x= θ =x, (v4) x+(-x)= θ (v5) λ( x + y) = λx + λy (v6) (λ + µ) x = λx + µx (v7) λ(µx ) = (λµ) x (v8) 1x=x, pentru orice λ, µ ∈ R şi pentru orice x, y, z ∈ Rm. 6
2. să se arate că în spaţiul Rm sunt adevărate următoarele afirmaţii: (a) θ x= θ , (∀) x ∈ Rm, (b) (-1) x=-x, (∀) x ∈ Rm, (c) αθ = θ , (∀) x ∈ Rm (d) α ∈ R\{0}, (∀) x ∈ Rm, αx = θ ⇒ x= θ , (e) α ∈ R, x ∈ Rm\{ θ }, αx = θ ⇒ α = 0 1.1.5 Test de autoevaluare 1. Să se determine α, β∈ R astfel încât (3, α,−1) T= (3, 2, β )T. R. α = 2, β =-1
2. Să se determine α, β, γ ∈ R astfel încât − α + β + γ 1 α − β + γ = 2 α + β − γ 3
R. α =
5 3 ; β =2, γ = 2 2
3. În spaţiul R4 se consideră elemente x=(-3, 1, 2, -1)T, y=(2, -1, 4, 3,)T, z=(-1, 2, -3, -5)T. a) Să se scrie vectorii -x, -y, -z. b) Să se calculeze x+y, x-z, x+y+z, x-y+z c) Să se calculeze 2x, -3y, 4z. d) Să se calculeze 4x+3y, 3x-2z, 5x-4y+3z.
R. a) –x= (3, -1, -2, 1)T, -y=(-2, 1, -4, -3)T, -z= (1, -2, 3, 5)T; b) x+y=(-1, 0, 6, 2)T, x-z=(-2,-1, 5, 4)T, x+y+z=(-2, 2, 3, -3)T x-y+z=(-6, 4,-5,-9)T; c) 2x=(-6, 2, 4,-2)T, -3y=(-6, 3,-12, -9)T, 4z=(-4, 8,-12,-20)T; d) 4x+3y=(-6, 1, 20, 5)T, 3x-2z=(-7,-1,12, 7)T, 5x-4y+3z=(-26, 15, -15, -32)T.
4. Să se determine α, β, γ ∈ R astfel încât α (1,1,1)T + β (1, -1,0)T+ γ (1, 0, 0)T=(3, -1, 2)T R. α =2, β =3, γ =-2
7
1.2. Produsul scalar în Rm. Norma unui element din Rm 1.2.1. Definiţie. Dacă x= (α1 , α 2 , ..., α m ) T, y= (β1 , β 2 ,...β m ) T ∈ Rm atunci numărul real (1) := α1β1 + α 2 β 2 + ... + α m β m se numeşte produsul scalar al elementelor x şi y. Folosind definiţia înmulţirii a două matrice, observăm că (2) =xTy, (∀) x , y ∈ Rm De exemplu, dacă x=(-2, 4, 3) T, y=(3, -1, 2)T sunt elemente din spaţiul R3, atunci 3 T = x y=(-2, 4, 3) − 1 = (−2)3 + 4(−1) + 3 ⋅ 2 = −4 2 1.2.2. Definiţie . Dacă x ∈ Rm, atunci numărul real (3) x := < x, x > se numeşte norma elementului x. Observăm că, dacă x= (α1 , α 2 , ..., α m ) x ∈ Rm şi dacă ţinem seama de definiţia produsului scalar, atunci x se poate exprima cu ajutorul cordonatelor:
x = α12 + α 22 + ... + α 2m De exemplu, dacă x=(3, -1, 4, 2)T ∈ R4 atunci x = 3 2 + (−1) 2 + 4 2 + 2 2 = 30 1.2.3. Exerciţii. 1. Să se arate că produsul scalar în Rm are următoarele proprietăţi: (PS1) ≥ 0, (∀) x ∈ Rm ; =0 ⇔ x= θ ; 8
(PS2) = (∀) x, y∈ Rm ; (PS3) < λ x, y>= λ , (∀) λ ∈ Rm ; (∀) x, y ∈ Rm ; (PS4) =+, (∀) x, y, z ∈ Rm . 2. Folosind proprietăţile (PS2), (PS3), şi (PS4), ale produsului scalar, să se arate că: (a) = λ , (∀) λ ∈ R ; (∀) x, y∈ Rm ; (b) , i =1 j=1
pentru orice numere reale λ 1, λ..., λ m , µ1µ 2 ,...µ m şi orice elemente x1, x2, …xn, y1, y2, …yn din spaţiul Rm. 3. Să se arate că pentru orice x, y, ∈ Rm este adevărată egalitatea 2 2 2 x + y = x + 2 < x, y > + y . 1.2.4. Teoremă. Pentru orice x,y ∈ Rm este adevărată următoarea inegalitate ( inegalitatea lui Cauchy-Schwartz): (4) < x, y > ≤ x y Demonstraţie. Dacă x= θ sau /şi x= θ atunci inegalitatea este evidentă. Presupunem, de exemplu x ≠ θ . Atunci, conform proprietăţii (PS1) a produsului scalar ( vezi Exerciţiul 1.2.3.(1)) avem >0. Pe de altă parte, tot în baza proprietăţii (PS1) a produsului scalar, avem ≥ 0 pentru orice t ∈ R. Conform Exerciţiului 1.2.3.(2,c), această inegalitate este echivalentă cu inegalitatea. t2+2t + ≥ 0, (∀) t ∈ R sau 2 2 x t 2 + 2 < x, y > t + y ≥ 0 , (∀) t ∈ R. 2
Prin urmare, dacă notăm α := x , β := 2 < x, y > , γ := y
9
2
atunci pentru orice t∈ R trebuie să avem αt 2 + βt + γ ≥ 0 . După cum este cunoscut din studiul trinomului de gradul al doilea, inegalitatea precedentă este adevărată pentru orice t ∈ R dacă şi numai dacă ∆ := β 2 − αγ ≤ 0 . Prin urmare, dacă şi numai dacă 2x
2
2
y ≤ 0 , de unde rezultă inegalitatea din enunţ. T
T
1.2.5. Observaţie. Dacă x = (α1 , α 2 ..., α m ) , (β1 , β 2 ..., β m ) ∈ Rm, atunci ţinând cont de definiţia produsului scalar şi de definiţia normei, obţinem exprimarea în coordonate a inegalităţii lui Cauchy-Schwarz: α1β1 + α 2β 2 + ...α mβm ≤ α12 + α 22 + ... + α 2m β12 + β 22 + ... + β2m . 1.2.6. Teoremă. Norma unui element din Rm are următoarele proprietăţi: (N1) x ≥ 0; x = 0 ⇔ x = θ (N2)
λx = λ x ;
(N3)
x+y ≤ x + y ,
pentru orice x, y ∈ Rm şi pentru orice λ ∈ R. Demonstraţie. (N1) rezultă direct din definiţia normei unui element. (N1). Pentru orice λ ∈ R şi orice x ∈ Rm avem λx = < λx , λx > = λ2 < x, x > = λ < t , x > = λ ⋅ x
(N3). Pentru orice x,y ∈ Rm, conform cu Exerciţiul 1.2.3.(3), avem 2 2 2 x + y = x + 2 < x , y > + y de unde, ţinând cont de inegalitatea lui Cauchy-Schwarz, rezultă că 2 2 2 2 x + y ≤ x + 2 x y + y = ( x + y ) . Prin urmare, x + y ≤ x + y şi inegalitatea (N3) este dovedită .
1.2.7. Observaţie. Inegalitatea (N3) se numeşte inegalitatea T T lui Minkowski. Dacă x = (α1 , α 2 ..., α m ) , y= (β1 , β 2 ..., β m ) 10
∈ Rm, atunci putem scrie inegalitatea lui Minkowski cu ajutorul coordonatelor:
(α1 + β1 )2 + (α 2 + β 2 )2 + ... + (α m + β m )2
≤
≤ α12 + α 22 + ... + α 2m + β12 + β 22 + ... + β 2m
1.2.8. Test de autoevaluare 1. În spaţiul R3 se consideră elementele x=(1, -2, 3)T, y =(-2, 1, 4)T, z=(1, -2, 3)T a) Să se calculeze , , b) să se calculeze x , y , z , x + y − z . c) să se determine elementul u = (α, β, γ ) ∈ R3 astfel încât să fie satisfăcute simultan condiţiile : =0, =0, =1 T
R. a) =8, =-1, =13; b) x = 14 , y = 21 , z = 14 ; c) α =
11 2 3 ; β= ; γ= . 25 5 25
2. Să se determine α ∈ R astfel încât
(3, − 2, α, 1)T
= 14
R. α = −1 sau α = 1
3. Să se arate că în Rm sunt adevărate următoarele afirmaţii: (a) (xT)T = x (b) (x+y)T =xT+yT, (c) ( λ x)T = λ xT , (d) (xTy)T= yTx (e) xT(y+z)= xTy+ xTz, pentru orice x, y, z ∈ Rm şi orice λ ∈ R 4. (a) Să se scrie cu ajutorul coordonatelor inegalitatea lui Cauchy-Schwarz în R2 şi R3.
11
(b) Dacă α1 , α 2 ∈ R sunt astfel încât α12 + α 22 =1, atunci să se arate că: α1β1 + α 2β 2 ≤ β12 + β 22 pentru orice β1 , β 2 ∈ R. (c) Dacă
α1 , α 2 , β1 , β 2 ∈ R sunt astfel încât α12 + α 22 =
β12 + β 22 =1, atunci să se arate că: α1β1 + α 2β2 ≤ 1 .
α1 , α 2 , β1 , β 2 ∈ R sunt astfel încât α1β1 + α 2β 2 = 1 , atunci să se arate că (α12 + α 22 )(β12 + β 22 ) ≥ 1. 5. (a) Cu ajutorul coordonatelor să se scrie inegalitatea lui Minkowski în R2 şi R3. (b) Dacă α1 , α 2 , β1 , β 2 ∈ R sunt astfel încât α1 + β1 = (d)
Dacă
= α 2 + β2 = 1 , atunci să se arate că α12 + α 22 + β12 + β 22 ≥ 2 . (c) Dacă α1 , α 2 , β1 , β 2 ∈ R sunt astfel încât α12 + α 22 = 2
2
= β12 + β 22 = 1 , atunci să se arate că (α1 + β1 ) (α 2 + β 2 ) ≤ 8 .
1.3. Elemente ortogonale în Rm 1.3.1. Definiţie. Vom spune că elementele x, y, ∈ Rm sunt ortogonale şi notăm x⊥y dacă =0. Dacă A ⊂ Rm este o mulţime nevidă, atunci mulţimea A ⊥ := {x ∈ Rm; x⊥y, (∀) y ∈ A } se numeşte complementul ortogonal al mulţimii A. Remarcăm faptul că, dacă x ∈ A ⊥ atunci x⊥y, pentru orice y ∈ A. Vom mai spune în acest caz că elementul x este ortogonal pe mulţimea A şi notăm x⊥A . Deci, A ⊥ ={x ∈ Rm; x⊥A }. De exemplu, elementele x=(-1, 2)T, y=(2, 1)T din spaţiul R2 sunt ortogonale deoarece =0.
12
α A := ; α ∈ R ⊂ R 2 , atunci 2α T 2 elementul x=(2,-1) ∈ R este otogonal pe mulţimea A deoarece T pentru orice y= (α, 2α ) ∈ A avem =0 De asemenea, dacă
{
T
}
Mai mult, A ⊥ = (− 2β, β ) ∈ R 2 ; β ∈ R deoarece pentru orice x= =0.
T
(− 2β, β)
T
∈ A şi orice y= (α , 2α ) ∈ A ⊥
avem
1.3.2. Observaţie. Dacă x, y∈ Rm\{ θ }, atunci din inegalitatea lui Cauchy Schwarz. − x y ≤< x, y >≤ x y deducem că < x, y > −1 ≤ ≤ 1. x y Ţinând seama de faptul că funcţia cosinus, cos: [0, π] → [− 1,1] , este bijectivă, atunci există ϕ ∈ [0, π] astfel încât < x, y > cos ϕ = (1) x y 1.3.3. Definiţie. ϕ ∈ [0, π] definit de relaţia (1) se numeşte ∧
unghiul elementelor şi x şi y şi se notează cu ( x, y ). 1.3.4. Observaţie. Din relaţia (1) rezultă că elementele x, ∧ y ∈ Rm\ {θ} sunt ortogonale dacă şi numai dacă cos x , y = 0 ∧ π deci, dacă şi numai dacă x , y = 2 13
Acest fapt corespunde interpretării ortogonalităţii din spaţiul geometric intuitiv.
geometrice
a
1.3.5. Test de autoevaluare 1. Să se determine α ∈ R astfel încât elementele x=(1, 3, α )T şi y=(2, -1, 3)T din spaţiul R3 să fie ortogonale. Cu α astfel determinat, să se calculeze cos x, y ∧
1 ∧ R. α = ; cos x, y =0. 3
{(
}
2. În R2 se consideră mulţimea A= α1β) T ∈ R 2 ; α − 3β = 0 şi elementul x=(1, -3)T ∈ R3. (a) Să se arate că x⊥A . (b) Să se determine A ⊥ R. (b) A ⊥ = {(λ, µ ) ∈ R 2 ;3λ + µ = 0}. 3. În R3 se consideră mulţimea A= {(α, β, γ ) ∈ R 3 ; α − β + 2γ = 0} şi elementul x=(1,1-3)T ∈ R3. (a) Să se determine două elemente ortogonale ale mulţimii A\{ θ }; (b) Să se arate că x⊥A ; (c) Să se determine A ⊥ . R.
(a) a=(1,1,0)T, b= (-1,1,2)T ∈ A şi a ⊥ b ; (b) A ⊥ ={k(1,1,-2)T ∈ R3; k ∈ R}.
4. (a) (Teorema lui Pitagora în Rm) Dacă x,y, ∈ Rm\{ θ }, atunci să se arate că x⊥y dacă şi numai dacă 2
2
2
x+y = x + y (b) Dacă x1, x2,…xn ∈ Rm sunt elemente ortogonale două câte două, atunci să se arate că: x 1 + x 2 + ... + x n
2
= x1
14
2
+ x2
2
+ ... x n
2
1.4. Distanţa în Rm 1.4.1. Definiţie. Dacă x,y, ∈ Rm, atunci numărul real d(x,y):= x − y se numeşte distanţa dintre elementele x şi y. T T Observăm că dacă x= (α1 , α 2 ,..., α m ) , y= (β1 , β 2 ,..., β m ) ∈ Rm atunci distanţa dintre elementul x şi y poate fi exprimată cu ajutorul coordonatelor:
d ( x , y) =
(α1 − β1 )2 + (α 2 − β 2 )2 + ... + (α m − β m )2 . T T dacă x= (α1 , α 2 , α 3 ) , y= (β1 , β 2 , β3 ) sunt
De exemplu, elemente din spaţiul R3, atunci
(α1 − β1 )2 + (α 2 − β 2 )2 + (α3 − β3 )2 T T iar dacă x= (α1 , α 2 ) , y= (β1 ,β 2 ) sunt elemente din spaţiul R2, 2 2 atunci d( x, y) = (α1 − β1 ) + (α 2 − β 2 ) d ( x , y) =
1.4.2. Exerciţiu. 1. Să se arate că în spaţiul Rm, distanţa dintre două elemente are următoarele proprietăţi (d1) d(x,y) ≥ 0; d(x,y)=0 ⇔ x=y, (d2) d(x,y)=d(y,x), (d3) d(x,y) ≤ d(x,z)+d(z,y); pentru orice x,y, z ∈ Rm. 2. Să se arate că în spaţiul Rm sunt adevărate următoarele afirmaţii. (a) d(x1, xn) ≤ d(x1,x2)+d(x2,x3)+…+d(xn-1,xn), (b) d( x, y) − d(u, v) ≤ d( x, u ) + d( y, v) , (c) d( x, u ) − d( y, u ) ≤ d( x , y) , pentru orice elemente x1,x2,…xn, x, y, u, v, din spaţiul Rm.
15
1.4.3. Definiţie. Dacă A ⊂ Rm este o mulţime nevidă şi x ∈ Rm, atunci numărul real. d(x,A):= inf d( x, y) y∈A
se numeşte distanţa de la elementul x la mulţimea A. Dacă ∅ este mulţimea vidă, atunci prin convenţie d(x,∅)=+ ∞ , pentru orice x ∈ Rm . 1.4.4. Test de autoevaluare 1. (a) Dacă x=(1,-3,2)T , y=(-2, 5, -3)T, z=(4, -2,3) T sunt elemente din spaţiul R3, atunci să se calculeze d(x,y), d(x,z), d(y,z). (b) Dacă x=(0, 1, 1)T, y=(1,0,1)T, z=(1,1,0)T sunt elemente din R3, atunci să se determine mulţimea U a elementelor u=( α, β, γ ) T ∈ R3 pentru care avem d(x,u)=d(y,u)=d(z,u) R. a) d(x,y)= 98 ; d(x,z)= 11 , d(y,z)=11; b) U={k(1,1,1)T; k ∈ R}
2. Fie A ⊂ Rm o mulţime nevidă. (a) Să se arate că dacă x ∈ A atunci d(x, A)=0 (b) Să se găsească un exemplu de mulţime nevidă A ⊂ Rm pentru care avem d(x, A)=0 , dar x∉A. 3. Fie A ⊂ Rm o mulţime nevidă şi x ∈ Rm. (a) Să se arate că d(x,y) ≥ d(x,A), pentru orice y∈ A; (b) Dacă A ⊂ B, atunci să se arate că d(x, A) ≥ d(x,B). 4. În spaţiul R2 se consideră mulţimea A= {( α, β) T ; α + β = 1} . Să se calculeze d( θ ,A). R. d( θ ,A)=
2 2
1.5. Operaţii cu mulţimi din Rm 1.5.1. Definiţie. Dacă A şi B sunt submulţimi ale lui Rm şi λ ∈ R, atunci definim: A+B:={x+y; x ∈ A; y∈ B}, λ A:={ λ x; x ∈ A}. 16
Dacă A este formată dintr-un singur element x, atunci vom scrie x+B în loc de {x}+B. 1.5.2. Exerciţiu. Să se arate că pentru orice λ, µ ∈ R şi pentru orice mulţimii A, B, C din spaţiul Rm sunt adevărate următoarele afirmaţii. (a) (A+B)+C= A+(B+C), (b) θ A= { θ } (c) 1A= A (d) (λ + µ )A ⊂ λA + µA ; (e) λ(A + B) = λA + λB ; λ(µA) = (λµ )A . (f) 1.5.3. Test de autoevaluare 1. Considerăm următoarele submulţimii ale lui R2. T A= { (α, 0 ) ; α ∈ R }, B= {(0, β) T ; β ∈ R 2 } . Să se arate că A+B=R2 2. Fie x ∈ Rm\{ θ } un element dat şi fie A:={-x, θ , x}. Să se arate că există λ, µ ∈ R astfel încât incluziunea (λ + µ) A ⊂ λA + µA este strictă R. λ =1, µ =-1. 3. Fie A şi B submulţimi nevide ale lui Rm. să se arate că: (a) d(x,A)= d(-x,-A), ( ∀ ) ∈ Rm, (b) d(x, A+B) ≤ d(x,A)+d(x,B), ( ∀ ) ∈ Rm.
1.6. Segmente în Rm 1.6.1. Definiţie. Fie x, y, ∈ Rm elemente distincte. Mulţimea [x,y]:={(1- α )x+ α y; α ∈ [0,1]} se numeşte segmentul determinat de elementele x şi y. În acest caz, d(x,y) se numeşte lungimea segmentului [x,y]. Prin analogie cu noţiunile din geometrie, punctele distincte x,y, ∈ Rm determină o dreaptă în Rm, care se numeşte dreaptă suport a segmentului [x,y]. 17
1.6.2. Propoziţie. Dacă x,y ∈ Rm sunt elemente distincte şi dacă z ∈ [x,y], atunci d(x,z) +d(z,y)=d(x,y). Demonstraţie. Dacă z∈ [x,y].atunci există α ∈ [0,1]astfel încât z=(1- α )x+ α y. Atunci avem d(x,z)+d(z,y)= x − (1 − α )x − αy + (1 − α )x + αy − y = α x − y + (1 − α ) x − y = x − y = d( x, y) .■
1.6.3. Exerciţii. 1. Fie x, y, ∈ Rm elemente distincte. Să se determine elementul z ∈ [x,y] pentru care avem d(x,z)=d(z,y) (elementul z ∈ [x,y] cu proprietatea că d(y,z)=d(z,y) se numeşte mijlocul segmentului [x,y]). 2. Fie x,y ∈ Rm elemente distincte şi k ≥ 0. Să se determine elementul z ∈ [x,y] pentru care avem d(y,z)= kd(x,z). (Punctul z ∈ [x,y] împarte segmentul [x,y] în raportul k>0). 3. Să se arate că mulţimea {(1- α ) x+ α y; α ∈ R} reprezintă o dreaptă şi Rm care conţine elementele x şi y. 1.6.4. Test de autoevaluare 1. În spaţiul R3 se consideră elementele x = (-1, 3, 2)T şi y= (4, -1, 3)T. a) Să se determine lungimea segmentului [x,y]. b) Să se determine care din următoarele puncte aparţin segmentului [x,y] şi care nu aparţin acestui segment: T
T 2 5 7 1 9 z = , , u = (3, 2, 5)T, v = , 2 , . 4 4 3 3 3 c) Să se determine mijlocul segmentului [x,y]. d) Să se determine elementul w ∈ [x,y] care împarte 4 segmentul [x,y] în raportul . 5 T
5 3 42 , b) z ∈ [x,y], u ∉ [x,y], v ∈ [x,y], c) , 1, , d) 2 2
R. a) d(x,y)= T
11 11 22 w = , , . 9 9 9
18
2. În R2 se consideră elementele x=(2, 1)T şi y=(3, 2)T. Să se determine mulţimea A ⊂ R2 a punctelor egal depărtate de capetele segmentului [x,y]. R. A={ (α, β)T ∈ R 2 ; α + β = 4} .
1.7. Spaţiul tangent al lui Rm. 1.7.1. Definiţie. Dacă x ∈ Rm, atunci perechea ordonată (θ, x ) se numeşte vector director al spaţiului Rm. Mulţimea Tθ (Rm):={ (θ, x ) ; x ∈ Rm}, a tuturor vectorilor directori ai spaţiului Rm, se numeşte spaţiul tangent al spaţiului Rm. Un element (θ, x ) ∈ Tθ (Rm) se mai numeşte şi vector de poziţie al elementului x. Perechea (θ, θ) se numeşte vectorul director nul. Un vector (θ, x ) ∈ Tθ (Rm) se reprezintă geometric printr-un segment cu originea în θ şi extremitatea în x. θ x Coordonatele elementului x vor fi numite coordonatele vectorului (θ, x ) . Dacă (θ, x ) ∈ Tθ (Rm), atunci numărul real
(θ, x ) :=
x se numeşte norma sau lungimea vectorului x. Din
punct de vedere geometric,
(θ, x )
reprezintă lungimea
segmentului [θ, x ] . Este evident faptul că norma unui vector din Tθ (Rm) are proprietăţile (N1), (N2), (N3) din Teorema 1.2.6. 1.7.2. Operaţii cu vectori directori Dacă (θ, x ) şi (θ, y) sunt vectori din Tθ (Rm), atunci definim vectorul sumă prin (1) (θ, x ) + (θ, y) = (θ, x + y) .
19
Este uşor de observat faptul că segmentele [x,y] şi [ θ ,x+y] au acelaşi mijloc. Din punct de vedere geometric aceasta înseamnă că elementul x+y este al patrulea vârf al paralelogramului construit pe segmentele [θ, x ] şi [θ, y]
Am obţinut astfel regula cunoscută de adunare a vectorilor şi anume regula paralelogramului . Dacă, (θ, x ) ∈ Tθ (Rm), atunci vectorul (θ,− x ) ∈ Tθ (Rm), se numeşte vectorul opus vectorului (θ, x ) . Este evident faptul că, în acest caz θ este mijlocul segmentului [− x , x ] .
Diferenţele vectorului (θ, x ) şi (θ, y ) ∈ Tθ (Rm, (θ, x ) (θ, y ) = (θ, x − y ) se obţine tot cu ajutorul regulei paralelogramului:
20
Dacă (θ, x ) ∈ Tθ (Rm) şi λ ∈ R, atunci definim produsul vectorului (θ, x ) cu numărul real λ prin: (2) λ (θ, x ) = (θ, λx ) Este uşor de observat că în acest caz avem d(θ, λx ) = λ d (θ, x ) . Distingem aici două situaţii: 1) λ < 1 . Atunci λx ∈ [θ, x ] şi segmentul [θ, λx ] împarte segmentul [θ, x ]în raportul λ .
2. λ >1 . Atunci x ∈ [θ, λx ] şi segmentul [θ, x ] împarte segmentul [θ, λx ] în raportul λ .
1.7.3. Exerciţii. 1. Să se arate că operaţia de adunare a vectorilor din Tθ (Rm) au proprietăţile (v1 ) − (v8 ) din Exerciţiul 1.4.1. (1). 2. Definim produsul scalar a doi vectori (θ, x ) şi (θ, y) din Tθ (Rm) prin < (θ, x ) , (θ, y) >:=. Să se arate că produsul scalar astfel definit al vectorilor din Tθ (Rm) au proprietăţile (PS1) – (PS2) din Exerciţiul 1.2.3(1) 1.7.4. Observaţie. Este uşor de arătat că aplicaţia ϕ : R m → Tθ (R m ) , definită prin ϕ( x ) = (θ, x ), (∀) ∈ R m , are următoarele proprietăţi: (i) (ϕ ) este bijectivă, (ii) ϕ( x + y) = ϕ( x ) + ϕ( y) , (∀) x, y ∈ R m (iii) ϕ(λx ) = λϕ( x ) , (∀)λ ∈ R , (∀) x ∈ R m Datorită acestui fapt, putem identifica elementul spaţiului m R cu elementele spaţiului Tθ (R m ) . 21
Această situaţie impune o anumită terminologie în ceea ce priveşte elementele spaţiului R m . Astfel, în cele ce urmează, elementele spaţiului R m vor fi numite, după caz, puncte sau vectori. Când pentru un element al spaţiului R m folosim denumirea de vector, atunci vom înţelege în mod tacit că acel element este din spaţiul tangent Tθ (R m ) . Prin urmare, în concordanţă cu termenii utilizaţi în geometrie, vom spun distanţa dintre două puncte, segmentul determinat de două puncte, dreapta determinată de două puncte, etc. În schimb, vom spune norma unui vector, produsul scalar a doi vectori, vectori ortogonali, unghiul a doi vectori etc. 1.7.5. Definiţie. Vom spune că vectorii x,y∈ R m au acelaşi sens dacă există λ > 0 astfel încât y= λx . În caz contrar, vom spune că vectorii x şi y au sensuri diferite. Vom spune că vectorii x,y∈ R m sunt coliniari dacă există λ ∈ R \ {0} astfel încât y= λx . 1.76. Definiţie. Un vector x ∈ R m \ {0} se numeşte vector unitar sau versor dacă x = 1 1.7.7. Exerciţiu. Dacă x ∈ R m \ {0} , atunci să se arate că vectorul u:=
x x
este un vector unitar.
1.7.8. Definiţie. Dacă x ∈ R m \ {0} , atunci vectorul u:=
x x
se numeşte versorul vectorul x. 1.7.9. Test de autoevaluare 1. Se consideră în R m vectori x=(1,3, -2)T, y=(3,2, -1)T şi z=(-2,-4,-7) T. (a) Să se calculeze x , . (b) Să se arate că vectorii x şi z sunt ortogonali. 22
(c) Să se determine direcţia vectorului x. R. a) x = < x , y > =11; b) < x , y > =0; T
x 1 3 −2 . u= = , , x 14 14 14
2. În R3 se consideră vectorii x=(-1, 2, 1)T , y=(-2, 4, 2)T , z=(-1, -2, -1)T , v = (3, 1, − 2) T . a) Să se arate că vectorii x şi y sunt coliniari şi au acelaşi sens. b) Să se arate că vectorii x şi z sunt coliniari şi au sensuri diferite. c) Să se arate că vectorii x şi v nu sunt coliniari. R. a) y=2x, b) z=-x, c) v= λx este imposibilă pentru orice λ∈R 3. În R3 se consideră vectorii x= (-2, 3, 1) T şi y=(1, α , β )T. Să se determine α, β ∈ R astfel încât vectorii x şi y să fie coliniari: T
1 3 1 R. y= 1, − , − şi y= − x
2
2
2
3
4. Dacă x, y∈ R \ {θ} sunt vectori ortogonali, atunci să se arate că x şi y nu sunt coliniari.
1.8. Vectori echivalenţi 1.8.1. Definiţie. Dacă x şi y sunt două puncte din R, atunci perechea ordonată (x,y) se numeşte vector cu originea în x şi cu extremitatea în y. Distanţa dintre punctele x şi y se numeşte lungimea vectorului (x,y). Dreapta determinată de punctele x şi y se numeşte dreapta suport a vectorului (x,y). De asemenea, trebuie să observăm că vectorii (x,y) şi (y,x) nu sunt echivalenţi deoarece, în general, y-x ≠ x-y. Vectorul (y,x) se numeşte vectorul opus vectorului (x,y). 23
Faptul că perechea (x,y) este ordonată, conferă un sens vectorului (x,y), ceea ce înseamnă că dacă segmentul [x,y] este parcurs de la x la y, atunci vectorii (x,y) şi (y,x) au sensurile diferite. 1.8. 2. Definiţie. Vom spune că vectorii (x,y) şi (u,v) sunt echivalenţi şi notăm ( x,y) ≈ (u,v), dacă y-x=v-u Este echivalent faptului că, dacă vectorii (x,y) şi (u,v) sunt echivalenţi atunci ei au aceiaşi lungime. 1.8.3. Observaţie. Este uşor de văzut că, dacă vectorii (x,y) şi (u,v) sunt echivalenţi, atunci segmentele [x,v] şi [y,u] au acelaşi mijloc. Din punct de vedere geometric acest lucru înseamnă că segmentul [x,y] şi [u,v] sunt laturile paralele ale unui paralelogram (fig.1). Prin urmare, vectorii echivalenţi au aceiaşi lungime, acelaşi sens şi se află pe suporturi paralele. Mai mult, este evident faptul că, pentru orice vector (x,y) avem ( vezi figura 2), (x,y) ≈ ( θ ,y-x).
Fig.1 Fig.2. 1.8.4 Definiţie. Vom numi clasă de vectori echivalenţi orice mulţime formată din vectori echivalenţi doi câte doi. Un vector dintr-o clasă de vectori echivalenţi se numeşte reprezentant al clasei respective. Vectorii dintr-o clasă de vectori echivalenţi se numesc uneori vectori paraleli. Prin direcţie în spaţiul Rm vom înţelege o clasă de vectori echivalenţi. 24
1.8.5. Observaţie. Orice clasă de vectori echivalenţi are un unic reprezentant în spaţiul Tθ (R m ). Într-adevăr, dacă ∆ este o clasă de vectori echivalenţi şi dacă (x,y) ∈ ∆ , atunci (x,y) ≈ ( θ , y-x), ceea ce înseamnă că vectorul v=y-x ∈ Tθ (R m ) este un reprezentant al clase ∆ . Unicitatea este evidentă. Datorită acestui fapt, vom identifica un vector (x,y) cu vectorul y-x ∈ Rm, reprezentantul său în spaţiul Tθ (R m ). Mai mult, orice vector v ∈ Rm defineşte o direcţie bine determinată în spaţiul Rm în sensul că, pentru orice x ∈ Rm există un unic punct y∈ Rm astfel încât v=y-x. Din această cauză, elementul spaţiului Tθ (R m ) se numesc şi vectori directori ai spaţiului Rm. De asemenea, observăm că dacă x ∈ Rm este un punct fixat, atunci pentru orice punct v ∈ Rm avem că (x, x+v) ≈ (0,v) 1.8.6. Propoziţie. Dacă x, y, z ∈ Rm sunt puncte distincte situate pe o dreaptă, atunci vectorii y-x şi z-x sunt coliniare. Demonstraţie. Pentru a stabili o ordine, să presupunem că z ∈ [x, y]. Deoarece [x, y] = {(1- α )x + α y; α ∈ [0,1]}, atunci există α 0 ∈ [0,1] astfel încât z=(1- α 0 ) x+ α 0 y. Prin urmare, z-x= α 0 (y-x) şi astfel vectorii y-x şi z-x sunt coliniari.■
1.8.7. Definiţie. Dacă x ∈ Rm este un punct fixat, atunci mulţimea Tx (Rm)={(x, x+v); v ∈ Rm} se numeşte varietatea vectorilor tangenţi în punctul x la spaţiul Rm. Subînţelegând prima componentă a perechii ordonate ( x, x+v), putem nota elementele din Tx(Rm) prin x+v; deci Tx(Rm)= {x+v; v ∈ Rm}. Mai mult, din faptul că (x, x+v) ≈ (0,v), atunci v ∈ T θ (Rm) este un reprezentant al vectorului ( x, x+v). Prin urmare, y∈ Tx (Rm) dacă şi numai dacă y-x ∈ T θ (Rm), ceea ce înseamnă că 25
Tx (Rm)=x + T θ (Rm). 1.8.8. Test de autoevaluare 1. În R3 se consideră punctele x=(1,3,2) T, y=(2, 1, 4) T u=(4,-3, 5) T şi v=(5, -5, 7) T. Să se arate că vectorii (x,y) şi (u, v) sunt echivalenţi. R. y-x= v-u
2. Se consideră în Rm vectorul v. Să se determine clasa ∆ a vectorilor echivalenţi pentru care vectorul v este un reprezentant al acestei clase. R. ∆ = {(x, x+v):x ∈ Rm}.
1.9. Dreapta în Rm Considerăm un punct a ∈ Rm şi un vector v ∈ Rm . Atunci există un unic punct b∈ Rm astfel încât v=b-a (vezi Observaţia 1.8.5). Prin urmare, un punct a ∈ Rm şi un vector v ∈ Rm determină în mod unic o dreaptă. În acest caz, vectorul v ∈ Rm se numeşte vectorul director al dreptei ce trece prin punctul a ∈ Rm. Mai mult, dacă x ∈ Rm este un punct oarecare al dreptei, atunci x-a şi v sunt coliniari. Este evident faptul că, dacă a, b ∈ Rm sunt puncte distincte, atunci vectorul director al dreptei determinate de punctele a şi b este vectorul v:=b-a. 1.9.1. Dreapta determinată de un punct şi un vector director Să presupunem cunoscut punctul a ∈ Rm prin care trece a dreapta ∆ care are vectorul director v ∈ Rm. Atunci, conform celor precizate mai sus pentru orice punct x ∈ ∆ vectorii x-a şi v sunt coliniari. Prin urmare, există γ ∈ R astfel încât x-a= γ v, adică: (1) x=a+ γ v.
26
Am obţinut astfel ecuaţia vectorială a dreptei ∆ ce trece prin punctul a ∈ Rm şi are vectorul director v ∈ Rm. Relaţia (1) poate fi scrisă şi cu ajutorul coordonatelor. Astfel, dacă T a= (α1 , α 2 ..., α m )T , v= (ν1 , ν 2 ..., ν m )T şi x= (ξ1 , ξ 2 ..., ξ m ) , atunci din (1) obţinem: (ξ1 , ξ 2 ..., ξ m )T = (α1 , α 2 ..., α m )T + γ (ν1 , ν 2 ..., ν m )T , de unde (2)
ξ1 = α1 + γν1 ξ 2 = α 2 + γν 2 ....................... ξ = α + γν m m m
γ ∈ R.
Relaţiile (2) reprezintă ecuaţiile parametrice ale dreptei ∆ ce trece prin punctul a şi are vectorul director v ∈ Rm. Numerele reale ν1 , ν 2 ..., ν m se numesc parametri directori ai dreptei ∆ . Din relaţiile (2) obţineam ecuaţiile canonice ale dreptei ∆ : (3)
ξ1 − α1 ξ 2 − α 2 ξ − αm = = ... = m , ν1 ν2 νm
cu convenţia că, dacă unul dintre numitorii ν1 , ν 2 ..., ν m este egal cu zero, atunci numărătorul corespunzător trebuie considerat egal cu zero. 1.9.2. Dreapta determinată de două puncte Să presupunem cunoscute punctele distincte a, b ∈ Rm. care determină dreapta ∆ . Atunci vectorul v:=b-a este vector director al dreptei ∆ . Prin urmare, ţinând cont de relaţia (1) de la 1.9.1, ecuaţia vectorială a dreptei ∆ determinată de punctele a şi b este: (4) x=a+ γ (b-a), γ ∈ R. Dacă a = (α1 , α 2 ..., α m )T , b= (β1 , β 2 ..., β m )T x= (ξ1 , ξ 2 ..., ξ m )T atunci din (4) obţinem ecuaţiile parametrice ale dreptei ∆ . 27
(5)
ξ1 = α1 + γ (β1 − α1 ) ξ 2 = α 2 + γ (β 2 − α 2 ) ....................... ξ = α + γ (β − α ) m m m m
γ∈R
De asemenea, din relaţiile (5) obţinem ecuaţiile canonice ale dreptei ∆ : (6)
ξ1 − α1 ξ 2 − α 2 ξ − αm = = ... = m , β1 − α1 β2 − α 2 βm − α m
cu aceiaşi convenţie ca şi în cazul relaţiilor (3). 1.9.3. Test de autoevaluare 1.În R2 se consideră punctul a=(1, -2)Tşi vectorul v=(-2, 3)T. Să se scrie ecuaţiile parametrice şi ecuaţiile canonice ale dreptei ∆ ce trece prin punctul a şi are vectorul director v. R.
ξ 1= 1-2 γ , ξ 2= -2+3 γ , γ ∈ R;
ξ1 − 1 ξ 2 + 3 = . 6 −2
2. În R2 se consideră punctele a=(1, -2)Tşi b=(8,-5)T. Să se scrie ecuaţiile parametrice şi ecuaţiile canonice ale dreptei ∆ determinate de punctele a şi b. R.
ξ 1= 2+6 γ , ξ 2= -3-2 γ , γ ∈ R;
ξ1 − 2 ξ 2 − 2 = . 6 −2
3. În R3 se consideră punctele a=(-1, 2, -3) T, b=(2, 1, 4) T şi vectorul v= (-2, 4, -5)T. a) Să se scrie ecuaţiile parametrice şi ecuaţiile canonice ale dreptei ce trece prin a şi are vectorul director v. b) Să se scrie ecuaţiile parametrice şi ecuaţiile canonice ale dreptei ce trece prin punctele a şi b. R. a) ξ 1= -1 -2 γ , ξ 2= 2 +4 γ , ξ 3= -3 -5 γ , γ ∈ R; ξ1 + 1 ξ 2 − 2 ξ 3 + 3 = = ; b) ξ 1= -1 +3 γ , ξ 2= 2- γ , ξ 3= -3+7 γ , γ ∈ −2 4 −5 ξ + 1 ξ 2 − 2 ξ3 + 3 R; 1 = = ; 3 −1 7
28
1.10. Reprezentare geometrică a spaţiilor R2 şi R3. 1.10.1. Reprezentare geometrică a spaţiului R2 1 0 Considerăm în R2 vectorii e1= , e2= . Este evident 0 1 faptul că vectorii e1 şi e2 sunt ortogonali. Mai mult, e1 = e 2 = 1 . Prin urmare, dreptele suport ale segmentelor
[θ, e1 ] şi [θ, e 2 ] sunt perpendiculare. Mai mult, aceste drepte se intersectează în punctul θ . Tripletul ( θ; e1 , e 2 ) se numeşte reper cartizian ( sau sistem de coordonate) în R2. Punctul θ se numeşte originea reperului cartezian, iar dreptele suport ale segmentului [θ, e1 ] şi [θ, e 2 ] se numesc axe de coordonate. În fig. 1 avem o reprezentare geometrică a reperului cartezian ( θ; e1 , e 2 ) .
Dacă x= ( α1 , α 2 ) T ∈ R2 atunci din faptul că: α1 1 0 = α1 + α 2 α 0 2 1
deducem că (1)
x= α1e1 + α 2 e 2 . 29
Scrierea (1) reprezintă descompunerea după axele de coordonate a vectorului x. Menţionăm faptul că, în R2 se pot introduce oricât de multe repere cartiziane. Astfel, orice trei puncte distincte a, b, c din R2, cu proprietatea că vectorii v1=b-a, v2=c-a sunt ortogonali determină un reper cartizian ( a; v1, v2) în R2. 1.10.2. Dreapta în R2 În R2 a dreapta ∆ este bine determinată dacă cunoaştem un punct a= (α1 ,α 2 )T al său precum şi o direcţiei T n=( α1 ,β) ortogonală pe dreapta ∆ .
În acest caz, dacă x= (ξ1 , ξ 2 ) T este un punct oarecare al dreptei ∆ , atunci vectorii n şi x-a sunt ortogonali . Deci =0, de unde deducem că: α(ξ1 − α1 ) + β(ξ 2 − α 2 ) = 0
sau 30
(2)
αξ1 + βξ 2 + γ = 0 ,
unde γ := −α1α 2 − β 2α 2 . Relaţia (2) constituie ecuaţia generală a dreptei ∆ . Vectorul n se numeşte vectorul normal la dreapta ∆ , iar α1 ,β 2 se numesc parametrii normali la dreapta ∆ . 1.10.3. Reprezentarea geometrică a spaţiului R3 1 Considerăm în R vectorii e1= 0 , e2= 0 3
0 1 , e3= 0
0 0 . 1
Este evident faptul că vectorii e1, e2, e3 sunt ortogonali doi câte doi şi că e1 = e 2 = e3 = 1 . Prin urmare, dreptele suport ale segmentelor [θ, e1 ] , [θ, e 2 ] , [θ, e 3 ] sunt perpendiculare două câte două. Mai mult, aceste drepte au în comun punctul θ . Cvadrupul (θ; e1 , e 2 , e 3 ) se numeşte reper cartezian ( sau sistem de coordonate) în R3. În fig. 3 avem o reprezentare geometrică a reperului cartezian (θ; e1 , e 2 , e 3 ) .
31
Dacă x= (α1 , α 2 , α 3 )T ∈ R3 este un punct dat, atunci din faptul că α1 1 0 0 α 2 = α1 0 + α 2 1 + α 3 0 ; α 0 0 1 3
deducem că x = α1e1 + α 2 e 2 + α 3e 3 . (3) Relaţia (3) reprezintă descompunerea după axele de coordonate a vectorului x. Ca şi în cazul spaţiului R2, în spaţiul R3 se pot introduce oricât de multe repere carteziene. Astfel, orice patru puncte distincte a, b, c, d, din R3 , cu proprietatea că vectorii v1=b-a, v2=c-a, v3=d-a sunt ortogonali doi câte doi, determină un reper cartezian ( a; v1, v2, v3) în R3. 1.10.4. Planul în R3 Există mai multe modalităţi de a pune în evidenţă un plan în 3 R . Astfel, un plan π din R3 este bine determinat dacă cunoaştem un punct a= (α1 , α 2 , α 3 )T al său precum şi direcţie n= (α, β, γ ) T ortogonală pe plan. În acest caz, oricare ar fi punctul x = ( ξ1, ξ2 , ξ3 )T al planului π , vectorii n şi x – a sunt ortogonali. Prin urmare, < n, x – a > = 0, de unde rezultă că α (ξ1 − α1 ) + β (ξ 2 − α 2 ) + γ (ξ3 − α3 ) = 0 sau (4) αξ1 + βξ 2 + γξ3 + δ = 0, unde δ : = α α1 − βα 2 − γ α3 . Relaţia (4) reprezintă ecuaţia generală a planului π . Vectorul n se numeşte vectorul normal la planul π , α, β, γ se numesc parametrii normalei la planul π . 32
iar
De asemenea, două drepte distincte, ∆1 şi ∆ 2 , care au un punct comun a = ( α1 , α 2 , α3 )T determină în mod unic un plan π . Pentru a scrie ecuaţia planului în acest caz procedăm astfel . Punerea în evidenţă vectorii directori v1 = ( γ1, γ 2 , γ 3 ) T , şi v2 = ( η1 , η2 , η3 ) T , ai dreptelor ∆1 şi ∆ 2 , şi apoi determinăm vectorul normal n al planului π , n = ( α, β, γ )T, impunând condiţiile < n1 ,v1> = 0, < n1, v2 > = 0. Cunoscând vectorul normal şi al planului π şi un punct al său, putem scrie ecuaţia generală a planului π . 1.10.5. Test de autoevaluare 1. Să se scrie ecuaţia generală a dreptei ∆ care conţine punctul a = (2, - 1)T şi care are vectorul normal n = (3, - 2)T. R. 3 ξ1 − 2ξ 2 − 8 = 0.
2. Se consideră punctul a = (3, - 2)T şi vectorul n = (3, - 2)T. Să se scrie: a) ecuaţia generală a dreptei ∆ care conţine punctul a şi are ca vector normal vectorul n. b) ecuaţiile parametrice şi ecuaţiile canonice ale dreptei ∆ . c) ecuaţia dreptei ∆1 ce conţine punctul a şi este perpendiculară pe dreapta ∆ d) ecuaţia dreptei ∆ 2 care conţine punctul b = (1, - 3)T şi este paralelă cu dreapta ∆ e) Să se afle punctul de intersecţie al dreptelor ∆1 şi ∆ 2 . R.
a) 2 ξ1 − 3ξ 2 − 12 = 0 ; b) ξ1 = 6 +
3 γ, ξ 2 = γ, 2
γ ∈ R; T
ξ1 − 6 ξ 2 1 31 = ; c) 3ξ1 + 2ξ 2 − 5 = 0 ; d) 2ξ1 − 3ξ 2 + 7 = 0 ; e) , . 3/ 2 1 13 13
3. Se scrie ecuaţia generală a planului π care conţine punctul a = (2, - 1,3)T şi are vectorul normal n = (3,2, -1)T. R. 3ξ1 + 2ξ 2 − ξ 3 + 1 = 0 .
33
4. În R3 se consideră planele ( π1 ) : ξ1 − ξ 2 − 3ξ3 + 2 = 0 , ( π 2 ) : 2ξ1 − ξ 2 + 2ξ3 − 3 = 0 . Să se determine vectorul director v ∈ R3 al dreptei ∆ de intersecţie a planelor π1 şi π2 şi să se scrie ecuaţiile canonice ale dreptei ∆ . R. v = (-5, -8,1)T;
ξ1 − 5 ξ 2 − 7 ξ3 = = . 5 8 −1
5. Se consideră în R3 dreptele ( ∆1 ) :
ξ1 − 3 ξ 2 − 6 ξ 3 − 8 = = , 4 1 2
(∆ 2 ) :
ξ1 − 6 ξ 2 − 4 ξ 3 − 2 = = . 5 4 10
a) Să se arate că dreptele ∆1 şi ∆ 2 au un punct comun. b) Să se scrie ecuaţia generală a planului π determinat de dreptele ∆1 şi ∆ 2 . R. a) (11,8,12)T ∈ ∆1 ∩ ∆ 2 , b) 2ξ1 − 30ξ 2 + 11ξ3 + 86 = 0 . 6. Să se scrie ecuaţia generală a planului π care conţine dreapta de intersecţie a planelor 3ξ1 + 2ξ 2 − 5 = 0 , 2ξ1 + ξ 2 − 3ξ3 + 2 = 0 şi: a) trece prin punctul (1,2,0)T; b) este perpendicular pe planul ξ1 − ξ 2 − 5 = 0 . R. a) 7ξ1 + 5ξ 2 + 3ξ3 − 17 = a ; b) ξ1 + ξ 2 − 3ξ3 − 7 = 0 .
1.11. Subspaţii liniare 1.11.1. Definiţie. O submulţime nevidă S ⊂ Rm se numeşte subspaţiu liniar dacă sunt satisfăcute următoarele condiţii: (S1) x,y ∈ S ⇒ x + y ∈ S; (S2) λ ∈ R, x ∈ S ⇒ λ x ∈ S. În cele ce urmează, vom folosii denumirea de subspaţiu în loc de subspaţiu liniar. 1.11.2. Exerciţiu. Să se arată că o mulţime S ⊂ Rm este subspaţiu, dacă şi numai dacă, îndeplineşte condiţia. 34
(S)
λ , µ ∈ R, x,y ∈ S ⇒ λ x + µ y ∈ S.
1.11.32. Observaţii. 1. Mulţimile S = { θ } şi S = Rm sunt subspaţii. Aceasta se numesc subspaţii improprii. 2. Din condiţia (S2), pentru λ = 0, rezultă că θ ∈ S. Prin urmare, orice subspaţiu conţine elementul nul. Dacă mulţimea S ⊂ R m nu conţine vectorul nul, atunci S nu este subspaţiu în Rm. 1.11.4. Propoziţie. Dacă Si, i ∈ I, sunt subspaţii în Rm atunci ∩ Si este subspaţiu în Rm. Cu alte cuvinte, o intersecţie i∈I
arbitrară de subspaţii în Rm este subspaţiu în Rm. Demonstraţie. Fie λ , µ ∈ R şi x,y ∈ S ∩ Si . Atunci pentru orice i i∈I
∈ I avem: x,y ∈ Si. Cum Si este subspaţiu, atunci λ x + µ y ∈ Si pentru orice i ∈ I. Prin urmare λ x + µ y ∈ S şi deci S este subspaţiu în Rm.■
1.11.5. Definiţie. Fie A ⊂ R m o mulţime nevidă. Intersecţia tuturor subspaţiilor care conţin mulţimea A se numeşte subspaţiul generat de mulţimea A şi se notează cu Sp(A). 1.11.6. Propoziţie. Dacă S1 şi S2 sunt subspaţii în Rm , atunci mulţimea S1 + S 2 := {u1 + u 2 ; u1 ∈ S1 , u 2 ∈ S 2 }
este subspaţiu în Rm. Subspaţiul S1 + S2 se numeşte suma subspaţiilor S1 şi S2 . Demonstraţie. Fie α, β ∈ R şi x,y ∈ S1 + S2 . Atunci există u1 , v1 ∈ S1 şi u2 , v2 ∈ S 2 astfel încât x=u1+u2 şi y=v1+v2. Deoarece S1 şi S2 sunt subspaţii, avem α u 1 + β v 1 ∈ S 1 şi αu 2 + βv 2 ∈ S 2 . Prin urmare, αx + β y = α(u1 + u 2 ) + β(v1 + v 2 ) = (αu1 + βv1 ) + (αu 2 + β v 2 ) , deci αx + β y ∈ S1 + S 2 , ceea ce arată că S1 + S2 este subspaţiu. ■
1.11.7. Definiţie. Vom spune că subspaţiile S1 şi S2 ⊂ Rm sunt sumanzi direcţi, dacă S1 ∩ S2 = { θ }. Dacă subspaţiile S1 şi S2 sunt sumanzi direcţi, atunci S1 + S2 se numeşte sumă directă a subspaţiilor S1 şi S2 şi se notează cu S1 ⊕ S2. 35
1.11.8. Exerciţiu. Să se arate că subspaţiile S1 şi S2 ⊂ Rm sunt sumanzi direcţi, dacă şi numai dacă, pentru orice x ∈ S1 + S2 există elemente u1 ∈ S1 , u2 ∈ S2, unic determinate, astfel încât x = u1 + u2. 1.11.9. Definiţie. Subspaţiile S1, S2 ⊂ Rm se numesc complementare dacă S1 ⊕ S2 = Rm. Vom mai spune despre S1 şi S2 că unul dintre ele este complementul celuilalt. 1.11.10. Observaţie. Noţiunile de sumă şi sumă directă se poate extinde pentru mai mult de două subspaţii. Astfel, dacă S1, S2 ….. , Sn sunt subspaţii în Rm, atunci mulţimea S1 + S2 + … + Sn: = {x1 + x2 + …xn; xi ∈ Si , i ∈ Nn} este subspaţiu în Rm şi se numeşte suma subspaţiilor S1, S2,…Sn. Subspaţiile S1, S2,…,Sn se numesc sumanzi direcţi dacă Si ∩ ( S1 + S2 + … + Si–1 + Si+1 + ….Sn) = { θ } pentru orice i = 1,2,…. ,n. Dacă S1, S2,…Sn sunt sumanzi direcţi, atunci suma directă a subspaţiilor S1, S2,…Sn se notează cu S1 ⊕ S2 ⊕ …. ⊕ Sn. 1.11.11. Exerciţiu. Să se arate că subspaţiile S1, S2,…, Sn ale lui Rm sunt sumanzi direcţi dacă şi numai dacă pentru orice x ∈ S1 + S2 + ….+Sn există elemente u1 ∈ S1, u2 ∈ S2,…., un ∈ Sn, unic determinate, astfel încât x = u1 + u2 +….. + un. 1.11.12. Exerciţiu. Dacă S este subspaţiu în Rm şi λ 1, λ 2,…., λ n ∈ Rm, x1, x2,….. xn ∈ S atunci să se arate că λ 1 x1 + + λ 2 x2 + …. + λ nxn ∈ S. 1.11.13. Test de autoevaluare. 1. Să se arate mulţimea. S = {(x2,x2,….xm-1); xi ∈ R, i ∈ Nm-1} este subspaţiu în Rm. 2. Dacă S este mulţimea punctelor de pe o dreaptă din Rm care conţine punctul θ ∈ Rm, atunci să se arate că S este subspaţiu în Rm.
36
3. Dacă S este mulţimea punctelor unui plan din R3 care conţine punctul θ ∈ R3, atunci să se arate că S este suspaţiu în R3 . 4. Dacă x ∈ Rm\{ θ } este un element fixat, atunci să se arate că mulţimea S = { α x; α ∈ R} este subspaţiu în Rm. 5. În R3 se consideră mulţimile: S1 = { ξ1 , ξ 2 , ξ3 )T ∈ R3; 2 ξ1 - 3 ξ 2 + ξ3 = 0}, S2 = { ξ1 , ξ 2 , ξ3 )T ∈ R3; ξ1 - ξ 2 + 2 ξ3 = 0}. a) Să se arate că S1 şi S2 sunt subspaţii în R3. b) Să se determine S1 ∩ S2 . R. S1 ∩ S2 = { α (3, S, 1)T; α ∈ R}. 6. În R2 se consideră mulţimile S1 = {( α ,0)T ∈ R2, α ∈ R}, S2 = {(0, β )T ∈ R2, β ∈ R}. a) Să se arate că S1 şi S2 sunt subspaţii complementare. b) Să se arată că S1 ∪ S2 nu este subspaţiu în R2. 7. În R3 se consideră mulţimile S1 = {( ξ1 , ξ 2 , ξ3 )T ∈ R3; 2 ξ1 - 3 ξ 2 + 4 ξ3 = 0}, ξ1 ξ2 ξ3 = = . 2 −3 4 Să se arate că S1 şi S2 sunt subspaţii complementare. Mai mult să se arate că S1⊥ = S2. 8. Dacă S ⊂ Rm este subspaţiu, atunci să se arate că S⊥ = {x ∈ Rm | x ⊥ S} este subspaţiu al lui Rm. 9. Dacă S este subspaţiu în Rm şi dacă S⊥ este complementul său ortogonal, atunci să se arate că S şi S⊥ sunt subspaţii complementare.
S2 = {( ξ1 , ξ 2 , ξ3 )T ∈ R3;
1.12. Varietăţi liniare. 1.12.1. Definiţie. O submulţime nevidă V ⊂ Rm se numeşte varietate liniară în Rm dacă există v0 ∈ V astfel încât 37
S: = {v-v0; v∈ V} să fie subspaţiu în Rm S se numeşte subspaţiu director al varietăţii liniare V. 1.12.2. Observaţie. Din definiţie rezultă imediat că o submulţime nevidă V ⊂ Rm este varietate liniară în Rm dacă şi numai dacă există v0 ∈ V şi un subspaţiu S ⊂ Rm astfel încât V = v0 + S 1.12.3. Exerciţiu. Să se arate că o mulţime nevidă V ⊂ Rm este varietatea liniară dacă şi numai dacă pentru orice două puncte distincte a,b ∈ V, dreapta determinată de punctele a şi b este continuată în V. 1.12.4. Test de evaluare 1. Să se arate că mulţimea punctelor unei drepte din Rm este varietatea liniară. 2. Să se arate că mulţimea punctelor unui plan din R3 este o varietate liniară. 3. Să se arate că mulţimea ξ − 1 ξ 2 + 3 ξ3 − 2 V = {( ξ1 , ξ 2 , ξ3 )T ∈ R3; 1 = = este o 2 −1 4 varietate liniară în R3. Să se determin e subspaţiul director al varietăţii liniare V. R. V = (1, - 3,2)T { α (2, -1,4)T; α ∈ R}.
1.13. Sistem de ecuaţii liniare 1.13.1. Sisteme omogene de ecuaţii liniare. Considerăm următorul sistem omogen de n ecuaţii liniare cu m necunoscute (1)
a 11 , α12 + a12 α 2 + ..... + a 1m α m = 0 a 21 , α1 + a 22 α 2 + ..... + a 2 m α m = 0 ....................................................... a n1α1 + a n 2 α 2 + ..... + a nm α m = 0.
Dacă notăm 38
α1 α2 x: = ..... α m atunci sistemul (1) se poate scrie sub forma matriceală: (2) Ax = θ Matricea A se numeşte matricea sistemului (1). Prin soluţie a sistemului (1) vom înţelege orice element x = ( α1 α 2 , ..., α m )T ∈ Rm ale cărui componente verifică ecuaţiile sistemului. Este evident faptul că θ = (0,0, …, 0)T ∈ Rm este soluţie a sistemului (1). Aceasta se numeşte soluţie banală a sistemului (1). De asemenea este clar că orice soluţie x ∈ Rm a sistemului (1) satisface egalitatea matriceală (2). În ceea ce priveşte sistemele omogene de ecuaţii liniare, cunoaştem următoarele rezultate. a) Orice sistem omogen de ecuaţii liniare este compatibil, adică are cel puţin o soluţie. b) Fie r = rang (A). Dacă r = m, atunci sistemul (1) admite numai soluţia banală. Dacă r < m, atunci sistemul (1) admite şi alte soluţii în afară de soluţia banală. Notăm cu Sm-r mulţimea soluţiilor sistemului (1). Dacă r < m, atunci mulţimea Sm-r este un subspaţiu în Rm. Într-adevăr, dacă x1, x2 ∈ Sm-r sunt soluţii ale sistemului (1), atunci Ax1 = θ şi Ax2 = θ . Prin urmare, pentru orice λ , µ ∈ R avem A( λ x1 + µ x2) = λ Ax1 + µ Ax2 = λ θ + µ θ = θ , adică λ x1 + µ x2 ∈ Sm-r, ceea ce înseamnă că Sm-r este subspaţiu în Rm. Ecuaţiile sistemului (1) se mai numesc şi ecuaţiile subspaţiului Sm-r. a 11 a 12 .... a 1m a 11 a 22 .... a 2 m A= , ................... a a .... a mm n1 n 2
39
1.13.2. Sisteme neomogene de ecuaţii liniare. Considerăm următorul sistem neomogen de n ecuaţii liniare cu m necunoscute (3)
a 11α1 + a 12 α 2 + ..... + a1m α m = b1 a 21α1 + a 22 α 2 + ..... + a 2 m α m = b 2 ....................................................... a n1α1 + a n 2 α 2 + ..... + a nm α m = b n
Dacă notăm a11 a12 .... a1m α1 a a .... a 11 22 α2 2m A= , x = , b = ................... M a a .... a α n 1 n 2 nm m
b1 b2 M , b n
atunci sistemul (3) se poate scrie sub forma matriceală (4) Ax = b Matricea a11 a12 a a A = 11 22 .... .... a n1 a n 2
...... a1m ...... a 2 m ......
....
...... a nm
b1 b2 .... b n
se numeşte matricea extinsă a sistemului (3). Prin soluţie a sistemului (3) vom înţelege orice element x = ( α1, α 2 ,......., α m )T ∈ Rm ale cărui componente verifică ecuaţiile sistemului (3). Este evident faptul că, dacă x ∈ Rm este o soluţie a sistemului (3), atunci x verifică egalitatea matriceală din relaţia (4). În ceea ce priveşte sistemele neomogene de ecuaţii liniare, cunoaştem următoarele rezultate. a) Dacă n = m şi det (A) ≠ 0, atunci sistemul (3) este compatibil determinat (are soluţie unică) iar soluţia sa se determină cu regula lui Cramer. 40
b) Considerăm cazul n ≠ m. În acest caz, sistemul (3) este compatibil (are cel puţin o soluţie) dacă şi numai dacă rang (A) = rang ( A ) = r ≤ m. În cele ce urmează, vom nota cu Vm-r mulţimea soluţiilor sistemului (3). Dacă r < m, atunci mulţimea Vm-r este o varietate liniară având suspaţiul director Sm-r. Într-adevăr, observăm că dacă x0 ∈ Rm este o soluţie fixată a sistemului (3) şi u ∈ Rm este o soluţie a sistemului (1), atunci A(x0 + u) = Ax0 + Au = b + θ = b, adică x0 + u este asemenea o soluţie a sistemului (3). Prin urmare, Vm-r = x0 + Sm-r şi deci Vm-r este varietate liniară. Ecuaţiile sistemului (3) se mai numesc ecuaţiile varietăţii liniare Vm-r. 1.13.3. Test de evaluare 1. Se consideră sistemul α1 − α 2 + α3 = 0 α1 + 2α 2 − 3α 3 = 0 Să se arate că subspaţiul S al soluţiilor sistemului este o dreaptă în R3. Să se scrie ecuaţiile parametrice ale acestei drepte. 1 4 R. ξ1 = γ , ξ 2 = γ ; 3 3
ξ3 = γ , γ ∈ Rm.
2. Se consideră sistemul α1 − 2α 2 − α3 = 0 2α1 − 4α 2 − 2α3 = 0 3α − 6α − 3α = 0 2 3 1 Să se arate că suspaţiul S al soluţiilor sistemului este un plan în R3. Să se scrie ecuaţia generală a acestui plan. R. ξ1 − ξ2 − ξ3 = 0. 3. Se consideră sistemul
41
α1 − 3α 2 + α 3 = 1 α1 − α 2 + α 3 = − 2 Să se arate că varietatea liniară V, a soluţiilor sistemului, reprezintă o dreaptă în R3. Să se scrie ecuaţiile parametrice ale acestei drepte şi să se determine subspaţiul director al lui V. R. ξ1 =
11 −γ, 2
T
ξ2 =
3 , 2
ξ3 = γ , γ ∈ R;
S = { α (-1,0,1) ; α ∈ R}.
1.14. Combinaţii liniare. Sisteme de generatori. 1.14.1. Definiţie. Vom spune că un element x ∈ Rm este o combinaţie liniară a elementelor x1,x2, … xn ∈ Rm dacă există x1,x2, … xn ∈ R astfel încât (1) x = γ 1x1 + γ 2x2 + …… + γ nxn. Numerele reale γ 1, γ 2, ……, γ n se numesc coeficienţi combinaţiei liniare. 1.14.2. Observaţie. Dacă α11 α12 α1n ξ1 ξ α 21 α 22 α 2n , x2 = , …, xn = şi x = 2 x1 = M M M M α α α ξ m1 m2 mn m
sunt elemente din Rm, atunci x este combinaţie liniară a elementelor x1, x2 , K , xn deci şi numai dacă există λ 1, λ 2 , K , λ n ∈ R astfel încât λ 1 x1 + λ 2 x2 + K + λ n xn = x, adică α11 α12 α1n α α α λ 1 21 + λ 2 22 + K + λ n 2n = M M M α α α m1 m2 mn
ξ1 ξ2 M , ξ m
ceea ce este echivalent cu sistemul neomogen de m ecuaţii liniare cu n necunoscute: 42
α11λ1 + α12 λ 2 α 21λ1 + α 22 λ 2 K K K α m1λ1 + α m 2 λ 2
(1)
+K+
α1n λ n
=
ξ1
+K+
α 2n λ n
=
ξ2
K
K
=
K
+ K + α mn λ n
= ξm
Dacă sistemul este compatibil atunci x este combinaţia liniară a elementelor x1, x2 K , xn. Rezolvând sistemul în acest caz determinăm şi coeficienţii combinaţiei liniare. 1.14.3. Definiţie. Fie A ⊂ Rm o mulţime nevidă. Vom nota cu L(A) mulţimea tuturor combinaţilor liniare cu un număr finit de elemente de mulţime. Mulţimea L(A) se numeşte acoperirea liniară a mulţimii A. Deci : L(A) = { γ 1x1 + γ 2x2 + K + γ nxn; xi ∈ A, γ i ∈ R, i ∈ Nn, n ∈ N}. 1.14.4. Exerciţiu. Dacă A ⊂ Rm este o mulţime nevidă, atunci să se arate că L(A) este subspaţiu în Rm. 1.14.5. Definiţie. Dacă S este subspaţiu în Rm şi A ⊂ Rm este o mulţime nevidă astfel încât L(A) = S, atunci vom spune că A este sistem de generatori pentru subspaţiul S. Prin urmare, o mulţime nevidă A ⊂ S este un sistem de generatori pentru spaţiul A ⊂ Rm dacă numai şi dacă, orice element din S se poate scrie cu o combinaţie liniară cu un număr finit de elemente din mulţimea A. 1 0
De exemplu, mulţimea formată în elementele e1= , 0 1
e2= constituie un de generatori pentru R2 deoarece pentru α1 α2
orice x =
∈ R2 avem
Deci, R2 = Sp({e1,e2}). 1.14.6. Observaţie.
x = α1 e1 + α 2 e2 Dacă x1 = ( α11, α 21,K, α m1 )T ,
x2 = ( α11, α 21,K, α m 2 )T ,K ,
xn = ( α1n , α 2 n ,K, α mn ) T sunt 43
elemente din Rm, atunci mulţimea A = {x1,x2, K ,xn} este sistem de generatori pentru un subspaţiu S ⊂ Rm dacă şi numai dacă pentru orice x= {( ξ1 , ξ 2 , …, ξ m )T ∈ S există λ1 , λ 2 ,..., λ n ∈ R astfel încât λ1x1 + λ 2 x 2 + ... + λ n x n = x , ceea ce este echivalent cu compatibilitatea sistemului (1). Dacă sistemul (1) are rangul r ≤ m, atunci există m-r minori caracteristici: ∆1 , ∆ 2 ,..., ∆ m −r . Atunci condiţiile de compatibilitate sunt: (2) ∆1 = 0, ∆ 2 = 0,..., ∆ m − r = 0 Relaţiile (2) constituie ecuaţiile subspaţiului S generat de mulţimea A. Să considerăm un exemplu: în R3 considerăm elementele x1=(1,-2,1)T, x2=(-2,4,-2)T, şi A={x1, x2}. T Atunci x = (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) ∈ L(A ) dacă şi numai dacă există λ, µ ∈ R astfel încât λx1 + µx 2 = x , adică 1 − 2 ξ1 λ − 2 + µ 4 = ξ 2 1 − 2 ξ 3
de unde obţinem sistemul λ − 2µ = ξ1 − 2λ + 4µ = ξ 2 λ − 2µ = ξ 3
Rangul sistemului este egal cu 1, iar minorii caracteristici sunt: ∆1 =
1
ξ1
− 2 ξ2
, ∆2 =
1 ξ1 1 ξ3
Condiţiile de compatibilitate sunt ∆1 = 0, ∆ 2 = 0, adică 2ξ1 + ξ 2 = 0, ξ1 − ξ3 = 0. Deci 44
L(A)={ {( ξ1 , ξ 2 , …, ξ m )T ∈ R3; 2ξ1 + ξ 2 = 0, ξ1 − ξ3 = 0 } T
sau L(A)= {α(1,−2,1) ; α ∈ R . 1.14.7. Exerciţii. 1. Să se arate că dacă S ⊂ Rm este subspaţiu, atunci L(S) = S. 2. Fie A ⊂ Rm o mulţime nevidă. Să se arate că Sp(A) = L(A), adică subspaţiul generat de mulţimea A coincide cu acoperirea liniară a mulţimii A. 3. Dacă S1 şi S2 sunt subspaţii în Rm, atunci să se arate că S1 + S2 = L(S1 ∪ S2). 1.14.8. Test de evaluare. 1. În R3 se consideră elemente x1 = (2,1, - 3)T, x2 = (-3, 1,3)T, x3 = (-1,2,1)T şi x = (3,6,- 4)T. Să se arate că elementul x este o combinaţie liniară a elementelor x1,x2,x3. R. x = x1 – x2 + 2x3.
2. În R4 se consideră elemente x1 = (1,2,1,2)T, x2 = (1, 1,4,5)T, x3 = (1,-2,5,6)T şi x = (2,-2,8,10)T. Să se arate că elementul x este o combinaţie liniară a elementelor x1,x2,x3. R. x =
α 6 − 4α x1 + x 2 + α x 3 , α ∈ R. 3 3
3. Să se arate că elementul x = (-1,0,-1,0)T ∈ R4 nu este o combinaţie liniară a elementelor x1 = (2,1,1,4)T, x2 = (-3,2,-12,15)T, x3 = (1,-3,11,9)T ∈ R4. 4. În R3 se consideră elementele x1 = (-1,1,1)T, x2 = (1,1,1)T. Să se determine subspaţiul generat de mulţimea A = {x1,x2}. R. Sp(A) = { ξ1 , ξ 2 , ξ3 ) T ∈ R3, ξ1 + ξ 2 = 0}. 5. În R3 se consideră elementele x1 = ( α1, α 2 , α3 )T şi
γ 2 = (β1, β 2 , β3 )T . a) Să se arate vetorii x1, x2, sunt coliniari dacă numai şi dacă 45
α2
β2
α3
β3
=
α 3 β3 α1
β1
=
α1
β1
α2
β2
= 0.
b) Să se determine subspaţiul general de mulţimea A = {x1,x2}. R. b) Sp (A) este planul de ecuaţie α 2 β2 α β3 α ξ1 + 3 ξ2 + 1 α 3 β3 α1 β1 α2
β1 β2
ξ3 = 0,
care se scrie sub forma echivalentă ξ1
α1
β1
ξ2
α2
β2
ξ3
α3
β3
=0
1.15. Elemente liniare dependente. Elemente liniare independente. 1.15.1 Definiţie. Vom spune că elementele x1, x2, K , xn ∈ Rm sunt liniar dependente dacă există numere reale λ 1, λ 2, K , λ n, nu toate egale cu zero, astfel încât (1) λ 1x1 + λ 2x2 + K + λ nxn = θ . Vom spune că elementele x1, x2, K ,xn ∈ Rm sunt liniar independente dacă: (2) λ 1x1 + λ 2x2 + K + λ nxn = θ ⇒ λ 1 = λ 2 = K = λ n = 0 1.15.2. Observaţie. Considerăm în Rm elemente x1 = ( α 11 α 21, K α m1)T, x2 = ( α 12 α 22, K α m2)T, K , xn = ( α 1n α 2n, K α mn)T. Pentru a studia liniar independenţa sau liniar dependenţa elementelor x1, x2, K , xn vom considera elementul θ ca o combinaţie liniară a acestor elemente. λ 1x1 + λ 2x2 + K + λ nxn = θ , relaţie echivalentă cu 46
α11 α 21 λ1 + M α m1
α12 α 22 λ2 + K+ M α m2
α1n α 2n λn = M α mn
0 0 M 0
de unde obţinem sistemul omogen cu m ecuaţii şi n necunoscute (3)
α11λ1 + α12 λ 2 α 21λ1 + α 22 λ 2 K K K α m1λ1 + α m 2 λ 2
+K+
α1n λ n
=
0
+K+
α 2n λ n
=
0
K
K
+ K + α mn λ n
= K =
0
Observăm că matricea acestui sistem, A=
α11 α12 α 21 α 22 K K α m1 α m 2
α1n K α 2n , K K K α mn
K
are aceleaşi componente pe coloane ca şi elementele x1, x2, K , xn. Din acest motiv, matricea A se numeşte matricea elementelor x1, x2, K , xn. Studiul sistemului (3) conduce la următoarele consideraţii: (a) Dacă sistemul (3) admite numai soluţia banală, atunci elementele x1, x2, K , xn sunt liniar independente. (b) Dacă sistemul (3) admitei şi soluţii diferite de soluţia banală, atunci elementele x1, x2, K , xn sunt liniar dependente. Apar următoarele cazuri: 1) n = m; adică numărul necunoscutelor este egal cu numărul ecuaţiilor. În acest caz, matricea A este o matrice pătrată de ordinul m (cu m linii şi m coloane). Prin urmare, dacă det (A) ≠ 0, atunci sistemul admite numai soluţia banală şi deci elementele x1, x2, K , xn sunt liniar dependente.
47
Dacă det (A) = 0, atunci sistemul admite şi soluţii diferite de soluţia banală şi deci, elementele x1, x2, K , xn sunt liniar dependente. 2) n > m, adică numărul necunoscutelor este mai mare decât numărul ecuaţiilor. În acest caz rangul matricelor A nu poate fi mai mare decât m. Prin urmare, în acest caz, sistemul admite totdeauna soluţii diferite de soluţia banală şi deci elementele x1, x2, K , xn sunt liniar dependente. 3) n < m, adică numărul necunoscutelor este mai mic decât numărul ecuaţiilor. În acest caz, rangul matricei A nu poate fi mai mare decât n. Prin urmare, dacă rangul matricei A este egal cu n atunci sistemul admite numai soluţia banală şi deci elementele x1, x2, K , xn sunt liniar independente. Dacă rangul matricei A este strict mai mic decât n, atunci sistemul admite şi soluţii diferite de soluţia banală şi deci elementele x1, x2, K , xn sunt liniar dependente. Din cazul 2) deducem următoarele consecinţe importante. 1.15.3. Propoziţie. În Rm, orice m + 1 elementele sunt liniar dependente 1.15.4. Definiţie. Prin sistem de elemente din Rm vom înţelege orice mulţime S ⊂ Rm. Dacă mulţimea S ⊂ Rm are un număr finit de elemente, atunci vom spune că S este un sistem finit de elemente din Rm. Un sistem, S = {x1,x2, K xn} ⊂ Rm , se numeşte liniar dependent sau liniar independent după cum elementele x1, x2, K , xn sunt liniar dependente sau liniar independente. 1.15.5. Propoziţie. Un sistem de elemente S = {x1,x2, K xn} ⊂ Rm este liniar dependent, dacă şi numai dacă, cel 48
puţin unul din elementele lui S este o combinaţie liniară a celorlalte elemente ale lui S. Demonstraţie. Dacă S este liniar dependentă, atunci există cel puţin un λ i ≠ θ astfel încât λ 1x1 + λ 2x2 + K + λ nxn = θ . Se presupune λ 1 ≠ θ . Atunci putem scrie λ 1x1 = - λ 2x2 - λ 3x3 K λ nxn , de unde x1 = -
λ λ2 λ x1 − 3 x 3 − K n x n . λ1 λ1 λ1
Prin urmare, x1 = µ 2x2 + µ 3x3 + K + µ nxn , unde µ 2 = µ3 = -
λ2 , λ1
λ3 λ , K µn = - n . λ1 λ1
Reciproc, dacă, de exemplu x1 este o combinaţie liniară a celorlalte elemente, x1 = α 2x2 + α 3x3 + K α nxn, atunci avem şi (-1)x1 + α 2x2 + α 3x3 + K α nxn = θ , de unde deducem că x1,x2, K xn sunt liniar dependente deoarece în precedenta egalitate, nu toţi coeficienţii combinaţiei liniare sunt egali cu zero ( λ 1 = -1 ≠ 0).
1.15.6. Exerciţii. 1) Să se arate că orice sistem de elemente din Rm care conţin elementul θ este liniar dependent. 2) Sistemul S = {x1} ⊂ Rm, format cu un singur element, este liniar independent numai dacă x1 ≠ 0. 3) Fie S = {x1,x2, K xn} ⊂ Rm. Să se arate că: a) Dacă un subsistem a lui S este liniar dependent, atunci şi S este liniar dependent. b) Dacă S este liniar dependent, atunci orice subsistem al său este liniar independent. 4) Dacă x,x1,x2, K xn ∈ Rm sunt liniar dependente, iar x1,x2, K xn sunt liniar independente atunci să se arate că x este o combinaţie liniară unică a elementelor x1,x2, K xn.
49
1.15.7. Test de evaluare 1. Să se arate că următoarele elemente din R3 sunt liniar dependente: a) x1 = (1, -2,1)T, x2 = (2,1, -1)T, x2 = (7,-4,1)T; b) x1 = (2, -3,7)T, x2 = (2,0, -6)T, x3 = (4, -3,1)T; c) x1 = (-1,2,1)T, x2 = (2, -1,3)T. 2. Să se arate că următoarele elemente din R3 sunt liniare independente: a) x1 = (1,1,1)T, x2 = (1,2,3)T, x3 = (2,-1,1)T, b) x1 = (-1,1,1)T, x2 = (1,-1,1)T, x3 = (1,1,-1)T, c) x1 = (1,2,-1)T, x2 = (2, -1,3)T. 3. În R3 se consideră vectorii liniar independenţi u, v şiw. Să se arate că vectorii: x1 = u +v, x2 = u -v, x3 = u – 2v+w, sunt liniari independenţi.
1. 16. Rangul unui sistem de elemente din Rm Considerăm în Rm un sistem de n elementele B = {x1,x2, K ,xn}. 1.16.1. Definiţie. Prin rangul unui sistem de elemente B = {x1,x2, K ,xn} ⊂ Rm vom înţelege numărul maxim de elemente liniar independente din mulţimea lui B. Notăm cu rang (B) rangul sistemului de elemente B. 1.16.2. Propoziţie. Rangul unui sistem de elemente B = {x1,x2, K ,xn} ⊂ Rm este egal cu rangul matricei asociate elementelor x1,x2, K ,xn.. Demonstraţie. Fie x1 = ( α 11, α 21, K , α m1)T, x2 = ( α 12, α 22, K , α m2)T,…, xn = ( α 1n, α 2n, K , α mn)T. Matricea A a elementelor x1,x2, K , xn este
50
α11α12 K α1r α1r +1 K α1n α 21α 22 K α 2 r α 2 r +1 K α1n A= K K K K K α α m1 m 2 K α mr α mr +1 K α mn Fie rang (B) = r ≤ n. Atunci în B există r elemente liniar independente şi nu mai multe. Să presupunem că primele r elemente, x1,x2, K , xr, din B sunt liniar independente. Conform Exerciţiului 1.15.6. (4), fiecare din elementele xr+1, xr+2, K , xn ∈ B este o combinaţie liniară a elementelor x1,x2, K , xr. Aceasta înseamnă că fiecare din coloanele, r + 1, r + 2, K , n ale matricei A, este o combinaţie liniară a primelor r coloane. În consecinţă orice minor de ordinul r+1 al matricei A este egal cu zero. Rămâne să arătăm că matricea A are un minor de ordinul r diferit de zero. Într-adevăr elementele x1,x2, K , xr fiind liniar independente, urmează că relaţia λ 1x1 + λ 2x2 + K λ rxr = θ are loc numai pentru λ 1 = λ 2 = K λ r = 0. Cum relaţia λ 1x1 + λ 2x2 + K λ rxr = θ este echivalentă cu sistemul α11λ1 + α12λ 2 + K + α1r λ r = 0 α 21λ1 + α 22λ 2 + K + α 2 r λ r = 0 K K K K K K K α m1λ1 + α m 2λ 2 + K + α mr λ r = 0 rezultă că λ 1 = λ 2 = K = λ r = 0, dacă şi numai dacă, α11α12 K α1r α 21α 22 K α 2 r = r. rang K K K α α m1 m 2 K α mr Prin urmare, rang (A) = r.
1.16.3. Observaţie. Din propoziţia 1.16.2 deducem că numărul elementelor liniar independente dintr-o mulţime B = {x1,x2,K ,xn} ⊂ Rm, este egal cu rangul matricei A asociate elementelor x1,x2,K ,xn. Să presupunem că rang (A) = r. Atunci cele r elemente liniar independente din mulţimea B sunt elemente ale căror
51
componente conţin elemente corespunzătoare coloanelor unui minor de ordinul r al matricei A. Mai multe elemente x1,x2, K xn ⊂ Rm sunt liniar independente dacă şi numai dacă rang (A) = n. Cum rangul matricei A nu poate fi mai mare decăt m, deducem că orice m + 1 elemente din Rm sunt liniar dependente. De exemplu, în R3 să considerăm elementele x1=(-1,2,1)T, x2 = (0,2,-3)T, x3 = (-A,4,4)T. Matricea asociată elementelor x1,x2,x3 este A=
− 1 0 − 1 2 −2 4 1 −3 4
Deoarece rang (A) = 2, rezultă că sistemul de elemente B = {x1,x2,x3}are rangul 2. Pentru a pune în evidenţă două elemente liniare independente din B, punem în evidenţă un minor de ordinul doi diferit de zero al matricei A. Dacă acest minor este −1
0
2
−2
= 2 ≠ 0,
atunci elementele x1,x2 sunt liniar independente, deoarece elementele de pe coloanele acestui minor se găsesc printre componentele elementelor x1 şi x2. Este uşor de văzut că şi elementele x1 şi x3 respectiv x2 şi x3 sunt de asemenea liniare independente. 1.16.4. Exerciţiu. Fie Sm-r ⊂ Rm subspaţiul soluţiilor unui sistem omogen de n ecuaţii liniare cu m necunoscute. Să se arate că rang (Sm-r) = m – r, unde r este rangul matricei asociate sistemului de ecuaţii. (vezi 1.13.1.) 1.16.5. Test de evaluare 1. Să se determine rangul următoarelor sisteme de elemente din R3. S1 = {(-1,1,0)T, (2,-1,1)T, (1,0,1)T}; 52
S2 = {(0,1,1)T, (1,-0,1)T, (1,1,0)T}; S3 = {(1,2,1)T, (-1,1,-1)T, (2,-1,3)T, (2,2,3)T}; S4 = {(1,2,-1)T, (-1,-2,1)T, (2,4,-2)T}. R. rang (S1) = 2, (S2) = 3, (S3) = 3, (S4) = 1.
2. Să se opună în evidenţă elementele liniar independente din mulţimea S = {x1,x2,x3}, unde x1 = (2,-1,-3)T, x2 = (1,2,1)T, x3 = (1,1,-2)T. R. x1 şi x2; x1 şi x3, x2 şi x3.
1.17. Dimensiunea unui subspaţiu. Baze. 1.17.1. Definiţie. Vom spune că un subspaţiu S ⊂ Rm are dimensiunea r dacă în S există r elemente liniar independente şi orice r+1 elemente din S sunt liniar dependente. Dacă S ⊂ Rm este subspaţiu de dimensiune r, atunci orice sistem B = {x1,x2, K , xr} format cu r elemente liniar independente din S se numeşte bază a subspaţiului S. Notăm prin dim(S) dimensiunea subspaţiului S ⊂ Rm. 1.17.2. Observaţie. Din observaţia 1.16.3 deducem că, dimensiunea subspaţiului Sp(A), generat de o mulţime A = {x 1 , x 2 ,..., x n } ⊂ R m , este egală cu numărul elementelor liniar independente din A, deci cu rangul sistemului A. 1.17.3. Exerciţiu. Dacă Sm − r este mulţimea soluţiilor unui sistem omogen de n ecuaţii liniare cu m necunoscute, atunci să se arate că dim(S m − r ) = m − r , unde r este rangul matricei sistemului (vezi 1.13.1). 1.17.4. Definiţie Vom spune că o varietate liniară V ⊂ R m are dimensiunea r dacă subspaţiul său director are dimensiunea r. 1.17.5. Observaţie. Ţinând cont de Exerciţiul 1.17.3, deducem că varietatea liniară Vm −r ⊂ R m , a soluţiilor unui sistem neomogen de m ecuaţii cu m necunoscute, are 53
dimensiunea m-r, unde r este rangul matricei asociate sistemului de ecuaţii (vezi 1.13.2.). 1.17.6 Propoziţie. Fie S ⊂ Rm un subspaţiu de dimensiune r şi B = {x1,x2, K , xr} o bază a lui S. Atunci pentru orice x ∈ S\B există numerele reale λ 1, λ 2, K , λ r, unic determinate, astfel încât x = λ 1x1 + λ 2x2 + K + λ rxr.
Demonstraţie. Deoarece B este bază a lui S, atunci elementele x,x1,x2, K , xr, fiind în număr de r+1, sunt liniar dependente. Prin urmare, există numerele reale µ , µ 1, µ 2, K , µ r astfel încât µ x + µ 1x1 + µ 2x2 + K + µ rxr = θ . În egalitate precedentă trebuie să avem µ ≠ 0. Într-adevăr dacă prin absurd vom avea µ = 0, atunci vom obţine µ 1x1 + µ 2x2 + K + µ rxr =
θ,
de unde ţinând cont că elementele x1x2, K , xr sunt liniar independente, deducem că µ 1 = µ 2 = K = µ r = 0. Prin urmare am ajuns la o contradicţie ce faptul că nu toate numerele reale µ , µ 1 µ 2 K , µ r sunt egale cu zero. În consecinţă, µ ≠ 0. Deoarece µ ≠ 0. Din egalitatea (1) rezultă x = λ 1x1 + λ 2x2 + K + µ2 µ , K, λ 2 = - r . µ1 µ1 Dacă ar exista numerele reale γ 1, γ 2 , K , γ r astfel încât x = γ 1x1 + + γ 2x2 + K + γ rxr, atunci scăzând membru cu membru egalitate (3) din λ rxr, unde λ 1 = -
µ1 , µ1
λ2 = -
egalitatea (2) obţinem : θ = ( λ 1- γ 1) x1 + ( λ 1- γ 1) x2 + K + ( λ r- γ r)xr. Cum x1,x2, K , xr sunt liniar independenţi, din ultima egalitate rezultă λ 1 - γ 1= 0, λ 2 - γ 2 = 0, K λ r - γ r = 0, adică λ 1 = γ 1, λ 2 = γ 2, K λ r = γ r. Prin urmare, λ 1 λ 2 K λ r sunt unic determinate.
1.17.7. Observaţie. Dacă S ⊂ Rm este un subspaţiu de dimensiune r iar B = {x1,x2, K , xr} ⊂ S o bază a lui S, atunci din proporţia 1.17.6, rezultă că, pentru orice x ∈ S\B există numerele reale λ 1, λ 2, K , λ r, unic determinate, astfel încât x = λ 1x1 + λ 2x2 + K + λ rxr. 54
În acest caz, sistemul ordonat de numere reale λ 1, λ 2, K , λ r, se numesc coordonatele elementului x în baza B. Vom folosi una din notaţiile xB =
λ1 λ2 M , λr
xB = ( λ1, λ 2 ,Kλ r )T
pentru a pune în evidenţă coordonatele elementului x în baza B. Deci: xB =
λ1 λ2 M ⇔ x λn
= λ 1x1 + λ 2x2 +K + λ rxr.
Mai mult din propoziţia 1.17.6 deducem că, o bază B a unui subspaţiu S ⊂ Rm este un sistem de generatori pentru subspaţiu S, adică S = Sp(B). În schimb dacă S ⊂ Rm este un subspaţiu de dimensiuni p, atunci există în S sisteme liniar independente având mai puţini de p elemente. Aceste sisteme nu sunt baze ale lui S. Pentru a verifica că un sistem liniar independent B ⊂ S este bază pentru S este necesar să verificăm că este şi sistem de generatori pentru S. 1.17.8. Observaţie. Din propoziţia 1.15.3 deducem că spaţiul Rm are dimensiunea m. Elementele
e1 =
1 0 0 , M 0 0
e2 =
0 1 0 , M 0 0
55
K
em =
0 0 0 M 0 1
constituie o bază a spaţiului Rm. Baza E = {e1, e2, K ,em} se numeşte baza canonică a spaţiului Rm. Mai mult, orice sistem de elemente liniar independent din Rm, constituie o bază a lui Rm. Practic, pentru a arăta că sistemul de m elemente B = {x1,x2, K , xm} este o baza a lui Rm este suficient să arătăm că matricea asociată sistemului B are determinantul diferit de zero. 1.17.9. Definiţie. Două subspaţii S1 şi S2 ale lui Rm se numesc izomorfe dacă există o aplicaţie f: S1 → S2 ca proprietăţile: (1) f este bijectivă (2) f(x + y) = f(x) + f(y), ( ∀ ) x,y, ∈ S1, (3) f( λ x) = λ f(x), ( ∀ ) λ ∈ R, ( ∀ ) x∈ S1. 1.17.10. Propoziţie. Dacă S ⊂ Rm este un subspaţiu de dimensiune r, atunci S este izomorf cu spaţiul Rr. Demonstraţie. Fie B = {x1,x2, K , xr} o bază a lui S. Atunci pentru orice element x ∈ S există numere reale λ 1, λ 2, K , λ r, unic determinate, astfel încât xB = ( λ 1, λ 2, K , λ r)T. Se poate constata destul de uşor că aplicaţia f: S → Rr, f(x) = xB, este un izomorfism. 1.17.11. Exerciţii. 1) Dacă B = {x1,x2, K , xm} ⊂ Rm, este o bază a spaţiului Rm, atunci să se determine coordonatele elementelor x1,x2, K , xm în baza B. 2) Dacă S ⊂ Rm, este un subspaţiu de dimensiune r şi B = {x1,x2, K , xr} este o bază a lui S, atunci să se determine coordonatele elementelor x1,x2, K , xr în baza B. 1.17.12. Test de evaluare 1.Să se arate că elementele x1 = (1,1,1)T, x2 = (-1,1,0)T, x3 = (1,0,0)T, constituie o bază B a spaţiului R3. Să se determine coordonatele elemente x = (4, –3,2)T şi y =(a,b,c)T în baza B. R xB = (2, - 5,7)T, yB =(c,b – c, a – b)T.
56
2. Să se determine dimensiunea subspaţiului S = {( ξ 1, ξ 2, ξ 3)T ∈ R3; ξ 1 - ξ 2 + ξ 3 = 0} ⊂ Rm şi să se pună în evidenţă o bază B a lui S. Să se determine coordonatele elementului x = (-1,3,2)T ∈ S în baza B. 1 R.x1 = 1 , x2 = 0
− 2 0 constituie elementele unei baze B a lui S; 1
3 xB = . 2
3. Să se determine dimensiunea subspaţilui S ⊂ R3 generat de elemente x1 = (1,-2,-1)T, x2 = (2,3,-1)T, x3 = (3,1,-2)T, x4 = (1,-5,0)T. R. dim (S) = 2. 4. Să se găsească o dimensiunea şi o bază a suspaţiului: α1 + 2α 2 + 2α 3 − α 4 + 3α 5 = 0 α1 + 2α 2 + 3α 3 + α 4 + α 5 = 0 3α + 6α + 2α + 7α + 5α = 0 2 3 4 5 1 R. dim(S)=3; x1=(-2,1,0,0,0)T, x2=(5,0,-2,1,0)T, x3=(-7,0,2,0,-1)T sunt elementele unei baze a subspaţiului S.
1.18. Schimbări de baze şi transformări de coordonate 1.18.1. Considerăm în Rm baza canonică E = {e1 , e 4 ,..., e m } formată din elementele e1 = (1,0,...,0) T , e 2 = (0,1,0,...,0) T ,..., e m = (0,0,...,0,1) T Dacă x = (α 1 , α 2 ,..., α m ) T ∈ R m , atunci din faptul că
57
0 0 1 1 0 0 x = α1 + α 2 0 + ... + α m M , M 0 M 0 0 1
adică (1) x = α1e1 + α 2 e 2 + ... + α m e m , deducem că, α1 , α 2 ,..., α m sunt, de fapt, coordonatele lui x în baza E 0 = {e1 , e 2 ,..., e m } Considerăm în Rm o altă bază B = {x 1 , x 2 ,..., x m } formată cu elementele: T x 1 = (γ 11 , γ 21 ,..., γ m1 ) , T
T
x 2 = (γ 12 , γ 22 ,..., γ m 2 ) ,..., x m = (γ 1m , γ 2 m ,..., γ mm ) Elementele x1, x2,…, xm fiind liniar independente, este evident faptul că, matricea γ 11 γ 12 ...γ 1m γ 21 γ 22 ...γ 2 m A= , ...................... γ γ ...γ m1 m 2 mm asociată sistemului de elemente x1, x2,…, xm, are determinantul diferit de zero. Deci, A este o matrice inversabilă. Matricea A se numeşte matricea de trecere de baza E la baza B, iar matricea A-1, matricea de trecere de la baza B la baza E. Se pune problema de a determina coordonatele elementului x în baza B. Fie β1 , β 2 ,..., β m coordonatele lui x în baza B; deci T
x B = (β1 , β 2 ,..., β m ) Atunci x se poate scrie sub forma: (2) x = β1 x 1 + β 2 x 2 + ... + β m x m
58
Pe de altă parte avem: x 1 = γ 11e1 + γ 2 e 2 + ... + γ m1e m x = γ e + γ e + ... + γ e 2 12 1 22 2 m2 m (3) .......... .......... .......... .......... ......... x m = γ 1m e1 + γ 2 m e 2 + ... + γ mm e m Ţinând cont de relaţiile (3), din relaţia (2) obţinem: x = β1 (γ 11e1 + γ 21e 2 + ... + γ m1e m ) + β 2 (γ 12 e1 + γ 22 e 2 + ... + γ m 2 e m ) + ................................................... β m (γ 1m e1 + γ m 2 e 2 + ... + γ mm e m ), de unde obţinem: x = (γ 11β1 + γ 12β 2 + ... + γ m1β m )e1 + (4)
(γ 21β1 + γ 22β 2 + ... + γ 2m β m )e 2 + ...................................................
(γ m1β1 + γ m 2β 2 + ... + γ mm β m )e m Comparând relaţiile (1) şi (4) şi ţinând cont de faptul că scrierea unui element într-o bază dată este unică (vezi Propoziţia 1.17.5), rezultă că trebuie să avem: α1 = γ 11β1 + γ 12β 2 + ... + γ 1m β m α = γ β + γ β + ... + γ β 2 21 1 22 2 2m m (5) ................................................. α m = γ m1β1 + γ m 2 β 2 + ... + γ mm β m Relaţiile (5) stabilesc legătura dintre coordonatele elementului x în baza canonică şi coordonatele lui x în baza B. Relaţiile (5) constituie un sistem neomogen de m ecuaţii liniare cu m necunoscute. Matricea sistemului (5) este matricea A de trecere de la baza canonică la baza B. Cum det (A) ≠ 0,
59
rezultă că sistemul (5) este compatibil determinat (are soluţie unică). Rezolvând acest sistem, în raport cu necunoscutele β1 , β 2 ,..., β m , obţinem coordonatele elementului x în baza B. Observăm că sistemul de ecuaţii (5) se poate scrie sub forma matriceală α 1 γ 11 γ 12 ...γ 1m β1 α 2 γ 21 γ 22 ...γ 2 m β 2 M = ..................... M , α γ γ ...γ β m m1 m 2 mm m adică x = Ax B . (6) Cum A este o matrice inversabilă, atunci din (6) rezultă că (7) x B = A −1 x . De exemplu, să considerăm în R4 elementele x1=(1, 1, 1, T 1) , x2=(0, -1, 1, 0)T, x3=(1, -1, 0, 0)T, x4=(1, 0, 0, 0)T şi x=(2, 3, 4, -7)T. Să arătăm că B={x1, x2, x3, x4} este o bază a lui R4 şi să calculăm xB. Matricea 1 0 1 1 1 − 1 − 1 0 A= 1 1 0 0 1 0 0 0 are determinantul diferit de zero. Cum rang (A)=4, rezultă că B este bază a lui R4. Dacă x B = (β1 , β 2 , β 3 , β 4 ) T , atunci x = β1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + β 4 x 4 , adică
60
2 1 0 1 1 3 1 − 1 − 1 0 4 = β1 + β 2 1 + β3 0 + β 4 0 , − 7 1 0 0 0 β3 + β 4 β1 + β −β −β de unde obţinem: 1 2 3 β 1 + β2 β1
=2 =3
, rezultă
=4 = −7
şi deci x B = (−7,11,−21,30) T . 1.18.2. Observaţie. Dacă B şi B' sunt baze distincte ale lui m R şi dacă x ∈ R m , atunci, exact ca la punctul 1.18.1 se poate arăta că x B = Ax B' ⇔ x B ' = A −1x B , unde A este matricea de trecere de la baza B la baza B' . Matricea A are coloanele constituite din coordonatele elementelor bazei B' . 1.18.3. Test de autoevaluare 1. În R3 se consideră elementele x1=(2, -1, 1)T, x2=(1, -1, T 2) , x3=(-1, 2, -1)T. a) Să se arate că B = {x1, x2, x3} este o bază a lui R3 b) Să se determine coordonatele elementului T x = (α, β, γ ) ∈ R 3 în baza B. β1 = −7, β 2 = 11, β3 = −21, β 4 = 30
2 3
2 3
1 3
1 3
T
R. x B = α + β + γ, β + γ,− α + β + γ .
2. În R3 se consideră subspaţiul T S = (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) ∈ R 3 ; ξ1 − ξ 2 + 2ξ 3 = 0 a) Să se determine o bază B a subspaţiului S. T b) Să se arate că x = (− 3,−1,1) ∈ S . c) Să se determine xB.
{ {
}
}
R. a) B = (1,1,0)T , (− 2,0,1)T ;
− 1 . 1
c) x B =
61
1.19. Lema substituţiei. Aplicaţii. 1.19.1. Teoremă (Lema substituţiei).Fie S ⊂ R m un subspaţiu de dimensiune p. Considerăm B = {x1 , x 2 ,..., x p } o bază a lui S şi a ∈ S un element cu proprietate că există α i ≠ 0 astfel încât (1) a = α1 x 1 + ... + α i −1 x i −1 + α i x i + α i +1 x i +1 + α p x p .
Atunci sistemul B' = {x1 ,..., x i −1 , a , x i +1 ,..., x p } asemenea o bază a lui S.
este
de
Demonstraţie. Într-adevăr, este suficient să arătăm că elementele sistemului B' sunt liniar independente, adică λ1x1 + ... + λi −1x i −1 + λ i a + λ i +1x i +1 + ... + λ p x p = 0 ⇒ λ1 = λ 2 = ... = λ p = 0 Înlocuind pe a, exprimat prin relaţia (1), în relaţia λ1x1 + ... + λ i −1x i −1 + λ i a + λ i +1x i +1 + ... + λ p x p = θ , obţinem
(λ1 + λiα1 )x1 + ... + (λi −1 + λiαi −1 )xi −1 + λiαi x i + + (λ i +1 + λ iαi +1 )x i +1 + ... + (λ p + λi α p ) = θ
Cum x1, x2,…,xp sunt liniar independente, egalitatea precedentă are loc numai dacă λ1 + λ i α1 = 0,..., λ i −1 + λ i α i −1 = 0, λ i α i = 0,
λ i +1 + λ i α i +1 = 0,..., λ p + λ i α p = 0. Deoarece
α i ≠ 0 , atunci din λ i α i = 0 rezultă λ i = 0 şi deci, din
egalităţile precedente, rezultă λ1 = ... = λ i −1 = λ i = λ i +1 = ... = λ p = 0
B' este bază a lui Rm. 1.19.2. Metoda pivotului. Considerăm B = {x 1 , x 2 ,..., x m } Prin urmare,
o bază a lui Rm şi fie a ∈ R m un element cu proprietatea că există α i ≠ 0 astfel încât are loc relaţia (1). Atunci m B' = {x1,..., x i −1, a , x i +1 ,..., x m } este o bază a lui R . Baza B' se obţine din baza B prin substituirea elementului x i cu elementul a. 62
De fapt, oricare din elementele bazei B care au coeficientul diferit de zero în relaţia (1) se poate înlocui cu elementul a, obţinând astfel o nouă bază în Rm. Se pune problema calculării coordonatelor în baza B' a unui element x ∈ R m atunci când îi cunoaştem coordonatele în baza B. T T Fie x B = (β1 , β 2 ,..., β m ) şi x B` = (γ 1 , γ 2 ,..., γ m ) , adică (2) x = β1 x 1 + ... + β i −1 x i −1 + β i x i + β i +1 x i +1 + ... + β m x m şi (3) x = γ 1 x 1 + ... + γ i −1 x i −1 + γ i a + β i +1 x i +1 + ... + γ m x m Deoarece α i ≠ 0 , atunci din relaţia (1) obţinem (4)
α α 1 α x i = − a + − 1 x1 + ... + − i −1 x i −1 + − i +1 x i +1 + α αi αi αi α + ... + − m x m αi
Înlocuind în relaţia (2) pe xi , dat prin relaţia (4), obţinem: α α x = β1 − βi 1 x1 + ... + βi −1 − βi i −1 x i −1 + αi αi (5) β α α + i a + βi +1 − βi i +1 x i +1 + ... + βm − βi m x m = θ αi αi αi Deoarece scrierea unui element într-o bază dată este unică, atunci comparând scrierea lui x din relaţiile (3) şi (5) rezultă că trebuie să avem: α i β j − α jβ i , daca j ≠ i αi (6) γ j = βi , daca j = i αi pentru orice j ∈ N m . Am obţinut astfel relaţiile cu ajutorul cărora putem calcula coordonatele în baza B' a elementului x. 63
Calculul coordonatelor γ j , j ∈ N m , în baza B' poate fi organizat cu ajutorul unui tabel, numit tabel simplex. Configuraţia unui astfel de tabel este următoarea: Deci B a x B` a x x 1 α 1 β1 x 1 0 β1 M M M M M M α β − α jβ i x i −1 α i −1 β i −1 x i −1 0 β i −1 γ j = i j , j≠i α i 1 βi x i α i βi a β x i +1 α i +1 β i +1 x i +1 0 β i +1 γ i = i αi M M M M M M xj
αj
βj
xj
0
βj
M
M
M
M
M
M
xm
αm βm
xm
0
βm
Tabel iniţial
Tabel secundar
În tabelul iniţial se trec datele cunoscute: în coloana B se trec elementele bazei B, în coloana a se trec coordonatele elementului a în baza B, iar în coloana x se trec coordonatele elementului x în baza B. Elementul α i ≠ 0 se numeşte pivot, iar metoda de trecere de la tabelul iniţial la tabelul secundar se numeşte regula pivotului. Calculul coordonatelor γ j , j ∈ N m , în baza B` se numeşte regula dreptunghiului,
deoarece
elementele
α i , βi , α j , β j
pot
considerate vârfurile unui dreptunghi:
αi
αj
γj = βi
βj
64
α i β j − α jβ i γi
, j≠ i,
fi
iar regula de calcul a lui γ j este următoarea: din produsul elementelor de pe diagonala pivotului se scade produsul elementelor de pe cealaltă diagonală iar rezultatul se împarte la pivot. Prin urmare, regula pivotului, cu ajutorul căruia trecem de la tabelul iniţial la tabelul secundar, presupune următoarele etape: 1) În coloana elementului a se caută o coordonată diferită de zero. Să presupunem că acesta este α i . Atunci α i este elementul pivot. 2) Se înlocuieşte elementul xi din baza B cu elementul a. Se mai spune că elementul xi iese din baza B, iar elementul a intră în baza B. 3) Coordonatele elementului a, care intră în bază, devin egale cu zero cu excepţia coordonatei corespunzătoare pivotului care devine devine egală cu 1. 4) Elementele de pe linia pivotului se împart la pivot. 5) Celelalte elemente din tabelul secundar se calculează cu regula dreptunghiului. De exemplu, în R3 să considerăm elementele x1=(-1, 1, 1)T, x2=(1, -1, 1)T, x3=(1, 1, -1)T şi a=x1+2x2+3x3 Ne propunem următoarele: a) Să aratăm că B={x1, x2, x3} este o bază a lui R3 b) Să înlocuim unul din elementele bazei B cu elemntul a obţinând o nouă bază B' şi să calculăm coordonatele elementului x=(2, -3, 1)T în baza B' . − 1 1 1 Deoarece det 1 − 1 1 = 4 ≠ 0 , rezultă că x1, x2, x3 sunt 1 1 − 1 3 elemntele unei baze în R
65
Avem: B x1 x2 x3
a x 1 2 2 -3 -3 1 Tabel iniţial
B` a x a 1 2 x2 0 -7 7 x3 0 Tabel secundar
obţinem x B' = (2, -7, 7)T. Facem observaţia că, puteam înlocui oricare din elementele bazei B cu elementul a (toate elementele de pe coloana lui a sunt diferite de zero). Pentru uşurinţa calculelor am preferat să alegem ca pivot un element egal cu 1. Metoda pivotului are multe aplicaţii. Vom pune în evidenţă unele din acestea.
1.19.3. Schimbări de baze şi transformări de coordonate Considerăm în Rm două baze distincte B = {x1, x2, … ,xm} şi B' = {y1, y2, … ,ym}. Pentru a determina coordonatele unui element x ∈ R m în baza B' , atunci când îi cunoaştem coordonatele în baza B, va trebui să înlocuim, pe rând, elementele bazei B cu elementele bazei B' . Această înlocuire este posibilă deoarece nici un element din B' nu are toate coordonatele egale cu zero. De exemplu, să considerăm în R3 elementele x1 = (-1, 1, 1)T, x2 = (1, -1, 1)T, x3 = (1, 1, -1)T şi elementul x = (2, -2, 3)T. Ne propunem să calculăm coordonatele lui x atunci când se trece de la baza canonică E = {e1, e2, e3} la baza B. Pentru aceasta, se înlocuiesc, pe rând, elementele bazei canonice cu elementele bazei B. Calculele se organizează după cum urmează: 66
E x1 x2 x3 e1 e2 e1 -1 1 1 1 0 e2 1 -1 1 0 1 e3 1 1 -1 0 0 x1 1 -1 -1 -1 0 e2 0 0 2 1 1 e3 0 2 0 1 0 x1 1 -1 0 -1/2 1/2 x3 0 0 1 1/2 1/2 e3 0 2 0 1 0 x1 1 0 0 0 1/2 x3 0 0 1 1/2 1/2 x2 0 1 0 1/2 0 Obţinem xB = (3/2, 5/2, 0)T
e3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1/2 0 1/2
x 2 -2 3 -2 0 5 -2 0 5 3/2 0 5/2
Tabel iniţial, element pivot –1, e1 iese din bază, x1 intră în bază. Element pivot 2, e2 iese din bază, x3 intră în bază. Element pivot 2, e3 iese din bază, x2 intră în bază. S-au înlocuit toate elementele bazei E cu elementele bazei B.
1.19.4. Calculul inversei unei matrice Considerăm o matrice A ∈ M m (R ) inversabilă, deci det (A ) ≠ 0 . Notând cu C1A , C 2A ,..., C mA coloanele matricei A, atunci B = C1A , C 2A ,..., C mA este o bază a lui Rm. Bazei canonice, E = {e1, e2, …, em}, din Rm i se asociază matricea unitate I m ∈ N m (R ) ,
{
}
1 0 Im = M 0
0 L 0 1 L 0 . M M 0 L 1
Conform formulei (7) din 18.1, de schimbare a bazelor, avem (ei )B = A −1e i , i ∈ N m , ceea ce înseamnă că
(ei )B = CiA
, i ∈ N m , unde C1A −1 , C 2A −1 ,..., C mA−1 sunt coloanele matricei A-1. −1
67
Prin urmare, pentru calculul matricei A-1 va trebui să determinăm coordonatele elementelor bazei canonice în baza B = C1A , C 2A ,..., C mA , ceea ce înseamnă înlocuirea, pe rând, a elementelor bazei canonice cu elementele bazei B. Atunci (e1 )B , (e 2 )B ,..., (e m )B constituie coloanele matricei -1 A . De exemplu, pentru a calcula inversa matricei
{
}
0 −1 2 A = 1 0 − 1 , 2 3 − 4
trebuie să înlocuim elementele bazei canonice din R3 cu elementele
C1A
0 − 1 2 2 3 = 1 , C A = 0 , C A = − 1 . 2 3 − 4
Calculele se organizează astfel: B
C1A 0 1 2 0
C 2A -1 0 3 1
C 3A 2 -1 -4 -2
e2
1
0
e3
2
C 2A
e1
e2
e3
1 0 0 -1
0 1 0 0
0 0 1 0
-1
0
1
0
0
2
3
0
1
0
1
-2
-1
0
0
C1A
1
0
-1
0
1
0
e3
0
0
4
3
-2
1
e1 e2 e3 C 2A
68
C 2A
0
1
0
1/2
-1
1/2
C1A
1
0
0
3/4
1/2
1/4
C 3A
0
0
1
3/4
-1/2
1/4
3 / 4 1/ 2 1/ 4 obţinem A = 1 / 2 − 1 1 / 2 3 / 4 − 1/ 2 1/ 4 În ultimul tabel, liniile se vor citi în ordinea C1A , C 2A , C 3A . −1
naturală
1.19.5. Calculul rangului unei matrice. Rangul unui sistem de vectori Considerăm o matrice cu m linii şi n coloane A ∈ M mn (R ) . Presupunem că rang (A ) = p ≤ min{m, n}. Atunci p coloane ale matricei
i
C iA1 , C iA2 ,..., C Ap ,
A,
m
constituie i1 A
i2 A
elemente
independente în R . Mai mult, C , C ,..., C
ip A
liniar
constituie
elementele unei baze B a subspaţiului S ⊂ R m , generat de elementele C1A , C 2A ,..., C nA (coloanele matricei A). Deci dim (S) = p. Este evident faptul că, doar p dintre elementele bazei canonice din Rm constituie o bază a subspaţiului S şi doar acestea pot fi înlocuite cu elementele bazei B. Mai mult, cele p elemente dintre C1A , C 2A ,..., C nA care intră în baza canonică, vor constitui o bază a subspaţiului S. Prin urmare, rangul matricei A (şi deci rangul sistemului 1 C A , C 2A ,..., C nA sau dimensiunea subspaţiului S) este egal cu
{
}
numărul maxim al elementelor C1A , C 2A ,..., C mA care pot fi înlocuite în baza canonică E = {e1 , e 2 ,..., e m } a lui Rm. De exemplu, să determinăm rangul matricei 69
2 1 − 3 0 A = 1 3 1 − 5 −1 0 2 −1 Organizăm calculele astfel: E
C1A 2 1 -1 2
C 2A 1 3 0 1
C 3A -3 1 2 -3
C 4A 0 -5 -1 0
e2
-5
0
10
e3
-1
0
C 2A
0
e2 C1A
e1 e2 e3 C 2A
e1
e2
e3
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
-5
-3
1
0
2
-1
0
0
1
1
1
-2
1
0
2
0
0
0
0
-3
1
5
1
0
-2
1
0
0
-1
În ultimul tabel observăm că ar trebui să introducem în bază unul din elementele C3A , C 4A în locul lui e2, dar acest lucru este imposibil deoarece elementele de pe coloana lui C3A , respectiv C 4A , corespunzătoare linei lui e2 sunt egale cu zero. Prin urmare, rang (A) = 2. Mai mult, subspaţiul S ⊂ R 3 , generat de elementele x1 = C1A , x 2 = C 2A , x 3 = C3A , x 4 = C 4A
{
}
au dimensiunea 2, iar B = C1A , C 2A constituie o bază a lui S. De asemenea , se observă că −1 0 0 (e1 )B = , (e2 )B = , (e3 )B = . 1 0 2 70
1.19.6. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare Considerăm următorul sistem neomogen de m ecuaţii liniare cu n necunoscute: a11α1 + a12α 2 + ... + a1m α m = b1 a α + a α + ... + a α = b 21 1 22 2 2n m 2 (1) .............................................. a m1α1 + a m 2α 2 + ... + a mm α m = b m Notăm cu A matricea sistemului şi cu b = (b1, b2,…,bm)T. Atunci sistemul (1) se poate scrie sub forma echivalentă (2) α1C1A + α 2C 2A + ... + α m C mA = b
{
}
Dacă det (A ) ≠ 0 , atunci B = C1A , C 2A ,..., C mA constituie o bază în Rm iar relaţia (2) nu înseamnă altceva decât că α1 , α 2 ,..., α m sunt coordonatele lui b în baza B. Prin urmare, rezolvarea sistermului (1) în cazul în care det (A ) ≠ 0 se reduce la determinarea coordonatelor în baza B a elementului b. De exemplu, pentru a rezolva sistemul
α1 + 2α 2 − α3 = −3 − α 3 = −3 , 3α1 2α + 2α − α = −5 2 3 1 trebuie să calculăm coordonatele elementului T 3 b = (− 3,−3,−5) ∈ R în baza B formată cu elementele T
T
T
C1A = (1,3,2 ) , C 2A = (2,0,2 ) , C3A = (− 1,1,−1) . Pentru aceasta înlocuim, pe rând, elementele bazei canonice din R3 cu elementele bazei B.
71
Calculele se organizează după cum urmează: e2 e3 B e1 C1A C 2A C 3A e1 e2 e3 C1A
1 3 2 1
2 0 2 2
-1 1 -1 -1
e2
0
-6
e3
0
C1A e2
1 0 0
b
0 1 0 0
0 0 1 0
-3 -3 -5 -3
-4
1
0
6
-2
1
0
1
1
1
0
0
0
-2
0
2
0
1
2
3 A
0
-2
1
0
1
C1A
1
0
0
-2
C 2A
0
1
0
1
3 A
0
0
1
3
C
C
− 2 Găsim soluţia x = 1 . 3 1.19.7. Soluţii de bază ale unui sistem de ecuaţii liniare. Soluţii de bază nenegative. Considerăm sistemul omogen de m ecuaţii liniare cu n necunoscute a11α1 + a12α 2 + ... + a1n α n = b1 a α + a α + ... + a α = b 21 1 22 2 2n n 2 (1) .............................................. a m1α1 + a m 2α 2 + ... + a mn α n = b m 72
şi notăm b = (b1, b2,…,bm)T ∈ R m şi C1A , C 2A ,..., C mA ∈ R m coloanele matriei A a sistemului. Atunci sistemul se poate scrie sub forma echivalentă (2) α1C1A + α 2C 2A + ... + α n C nA = b . Notăm cu S ⊂ R m subspaţiul generat de elementele C1A , C 2A ,..., C nA . Dacă presupunem că rang (A) = p ≤ min {m, n}, atunci dim(S) = p şi p dintre elementele C1A , C 2A ,..., C nA sunt liniar independente şi constituie o bază a lui S. Se presupune, pentru a simplifica expunerea, că primele p elemente, C1A , C 2A ,..., C pA sunt liniar independente; deci ele determină o bază B = C1A , C 2A ,..., C pA a subspaţiului S. Din relaţia (2) deducem că b ∈ S . Mai mult, dacă în relaţia (2) luăm α p +1 = α p + 2 = ... = α n = 0 , obţinem α1C1A + α1C 2A + ... ,
{
}
+ α p C pA = b adică α1 , α 2 ,..., α p sunt coordonatele lui b în baza B a subspaţiului S; deci b B = (α1 , α 2 ,..., α p ) . T
Elementul
x = (α1 , α 2 ,..., α p ,0,0,...,0 ) ∈ R n T
se numeşte
soluţie de bază a sistemului (1) dacă α1 , α 2 ,..., α p sunt diferite de zero. În cazul când unul din elementele α1 , α 2 ,..., α p este egal cu zero, atunci spunem că x este soluţie de bază degenerată. Prin urmare, pentru a determina o soluţie de bază x = (b B , θn − p )∈ R n a sistemului (1) trebuie să determinăm coordonatele lui b în baza B a subspaţiului S. Pentru θn − p am notat elementul nul din R n − p . Dacă x = (α1 , α 2 ,..., α p ,0,...,0)∈ R n este o soluţie de bază a sistemului, atunci b = α1C1A = α 2C 2A + ... + α p C pA + 0 ⋅ e p +1 + ... + 0 ⋅ e n 73
Comparând această relaţie cu (2), obţinem că trebuie să avem α p +1 = α p + 2 = ... = α n = 0 . Aceasta este condiţia de compatibilitate a sistemului. Ţinând seama de cele semnalate la § 1.19.5, nu este necesar ca, în prealabil, să punem în evidenţă cele p elemente liniar independente dintre C1A , C 2A ,..., CpA , deoarece acestea vor fi deduse prin aplicarea metodei pivotului. De exemplu, să determinăm o soluţie de bază a sistemului
α1 + 2α 2 − 3α3 + α 4 = 1 3α1 + α 2 + α3 − 2α 4 = 3 3α − 4α + 11α − 7α = 3 2 3 4 1 Calculele se organizează astfel: B
C1A
C 2A
C 3A
C 4A
e1 e2 e3 C1A
1 3 3 1
2 1 -4 2
-3 1 11 -3
1 -2 -7 1
e2
0
-5
10
e3
0
-10
C1A
1
C2A e3
e1
e2
b
0 1 0 0
0 0 1 0
1 3 3 1
-5
1
0
0
20
-10
0
1
0
0
1
-1
0
1
0
1
-2
1
0
0
0
0
0
0
1
0
74
1 0 0
e3
Este evident că elementul e3, al bazei canonice din R3, nu mai poate fi înlocuit. Prin urmare, C1A , C 2A sunt liniar independente şi sunt
{
elementele unei baze B = C1A , C 2A
}
a subspaţiului S ⊂ R 3
generat de elementele x1 = C1A , x 2 = C 2A , x 3 = C3A , x 4 = C 4A
1 T Coordonatele lui b = (1,3,3) ∈ R 3 în baza B sunt b B = 0 T şi deci o soluţie de bază a sistemului este x = (1,0,0 ) . Această soluţie de bază este degenerată. Este evident că, sistemul are şi alte soluţii de bază. De exemplu, putem organiza calculele astfel: B
C1A
e1 e2 e3 C 4A
1 3 3 1
2 1 -4 2
-3 1 11 -3
1 -2 -7 1
e2
5
5
-5
e3
-10
-10
C 4A
0
C1A e3
C 2A
C 3A
e1
C 4A
1 0 0
e2
e3
b
0 1 0 0
0 0 1 0
1 3 3 1
0
1
0
5
-10
0
0
1
10
1
-9/5
1
0
0
1
1
-1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
Prin urmare, în acest caz, o altă soluţie de bază este T x = (0,0,0,1,0 ) . Şi această soluţie este tot degenerată. 75
O importanţă deosebită o constituie determinarea soluţiilor de bază nenegative ale sistemului (1). Prin soluţie de bază nenegativă a sistemului (1) vom înţelege orice soluţie de bază având toate componentele pozitive. În cele ce urmează, pentru un element n x = (α1 , α 2 ,..., α n ) ∈ R vom nota x≥θ dacă α1 ≥ 0, α 2 ≥ 0,..., α n ≥ 0 . Prin urmare, o soluţie de bază x = (b B , θn − p )∈ R n este
nenegativă dacă şi numai dacă b B ≥ θ . După cum am văzut, elementul b B = (α1 , α 2 ,..., α p ) se obţine cu ajutorul regulei pivotului prin înlocuirea a p elemente ale bazei canonice din Rm cu p elemente liniar independente dintre elementele C1A , C 2A ,..., C nA . În urma acestui procedeu putem obţine şi coordonate negative ale elementului bB. Prin urmare, se impune un criteriu de intrare/ieşire din bază pentru a obţine numai coordonate pozitive pentru elementul bB. Coordonatele lui bB se calculează după formulele b k a ij − b i a kj , daca k ≠ i a ij (3) α k = , bi , daca k = i a ij k ∈ N m , j ∈ N n . Atunci pentru a avea α k ≥ 0, (∀)k ∈ N m , trebuie să avem (4) a ij > 0, b k a ij − bi a kj ≥ 0, k ∈ N m , j ∈ N n Relaţiile (4) sunt satisfăcute dacă b b a ij > 0, i ≤ k , k ∈ N m , j ∈ N n , a ij a kj adică 76
(5) a ij > 0,
b bi = min k | k ∈ N m , j ∈ N n . a ij a kj >0 a kj
Prin urmare, dacă elementul CiA intră în bază, atunci iese din bază elementul C kA pentru care este îndeplinită condiţia (6)
b bi = min k | k ∈ N m a ij a kj > 0 a kj
Deoarece aij>0, pentru determinarea soluţiilor de bază nenegative se aleg numai pivoţi strict pozitivi. b Dacă cea mai mică valoare a rapoartelor k , k ∈ N m , din a kj (6), se realizează pentru doi indici t şi s, atunci se introduce în bază unul din elementele C tA , CsA . În acest caz, soluţia este degenerată, deoarece α t = 0 sau αs = 0 . Dacă x = (b B , θn − p )∈ R n , b B ≥ θ , este o soluţie de bază
degenerată cu α j = 0 , introducând în bază C Aj cu aij>0, soluţia de bază nu se modifică. De exemplu să determinăm soluţiile de bază nenegative ale sistemului 2α1 + α 2 − 4α 3 + 5α 4 = 4 α1 + α 2 − 2α3 + 2α 4 = 2
77
Calculele se organizează astfel B
C1A C 2A C 3A C 4A
e e 1
b
b k / a kj
2
e1 e2
2 1
1 1
-4 -2
5 1 0 2 0 1
C1A
1
½
-2
e2
0
½
C1A
1
0
-2
3
2
C 2A
0
1
0
-1
0
2 2 (III) min = 3 3
C 4A
1/3
0 -2/3
1
2/3
(IV)
C 2A
1/3
1 -2/3
0
2/3
5/2
0
0 -1/2
1
4 2
(I) 4 2 min , = 2 2 1
(II) 0 min 2 , 0 = 0 1 1 2 2
2
În tabelul (I) se pot introduce în bază oricare din elementele C , C 2A sau C 4A , dar nu C3A care are toate coordonatele 1 A
negative. Întroducem în bază elementele C1A . Rapoartele b1 b 2 , fiind egale se poate scoate deci bază e1 sau e2. a11 a 21 Se obţine o soluţie de bază nenegativă degenerată. În tabelul (III) obţinem soluţia de bază nenegativă degenerată x=(2, 0, 0, 0)T. Eliminarea elementului C 2A din baza
{C
1 A
}
, C 2A nu modifică soluţia. Singurul element care poate fi
{
}
introdus în baza C1A , C 2A este C 4A . Obţinem astfel tabelul (IV) şi soluţia de bază nenegativă x = (0, 2/3, 0, 2/3)T, care este nedegenerată. 78
1.19.8. Test de autoevaluare 1. Să se calculeze inversele următoarei matrice cu ajutorul metodei pivotului: 1 − 1 2 1 3 1 a) A = 2 4 1 b) A = 2 1 − 1 , 3 2 5 −1 − 3 1
1 0 − 1 c) A = 2 2 0 3 4 2 R. 1 1 / 5 − 11 / 5 18 / 5 −1 A = − 7 / 5 1/ 5 4 / 5 , A = − 1/ 2 − 5/ 2 − 8 / 5 −1/ 5 6 / 5 −2 1 2 A −1 = − 2 5 / 2 − 1 . 1 −2 1 −1
1
0 0 − 1/ 2 , 1 − 1 / 2
2. Să se rezolve sistemele următoare cu ajutorul metodei pivotului: α1 + α 2 + α3 = 8 2α1 + 2α 2 − α 3 = 4 a) α1 + 2α 2 − α 3 = 3 , b) 3α1 − α 2 − 3α3 = 7 2α + α + 2α = 7 α + α + 2α = 3 2 3 2 3 1 1 R.a) x = (1, 3, 4)T,
b) x = (13/5, -2/5, 2/5)T.
3. Folosind metoda pivotului, să se determine rangul urmatoarelor matrice: 1 1 a) A = 2 3
1 2 − 3 1 −2 −3 0 4 3 −1 − 4 2 1 , b) A = − 2 −1 3 3 − 4 − 7 − 3 −1 4 − 2 8 1 − 7 − 8 ,
3
79
3 1 5 − 2 c) A = 5 −1 − 2 3 R.a) rang (A) = 2;
. b) rang (A) = 3;
c) rang (A) = 2.
4. Să se determine câte o soluţie de bază nenegativă pentru sistemele: 2α + α 2 − 4α 3 + 5α 4 = 4 α − α 2 − α3 − α 4 = 2 a) 1 , b) 1 α1 + α 2 − 2α 3 + 2α 4 = 2 α1 + 3α 2 − α 3 + α 4 = 8 În fiecare caz, să se pună în evidenţă soluţiile de bază nenegative şi nedegenerate. R.Soluţiile de bază nenegative şi nedegenerate sunt:
a) x1 = (7/2, 3/2, 0, 0)T, x2 = (5, 0, 0, 3) T; b) x = (0, 2/3, 0, 2/3) T.
5. Să se determine, cu ajutorul metodei pivotului, a ∈ R astfel încât sistemul α1 + 2α 2 − 3α 3 + α 4 = 1 să fie compatibil. 3α1 + α 2 + α 3 − 2α 4 = 3 3α − 4α + 11α − 7α = a 2 3 4 1 R. a = 3
6. Să se determine dimensiunea subspaţiului S ⊂ R 3 generat de elementele x1 = (1, -1, 2)T, x2 = (2, -3, 1)T, x3 = (3, -4, 3)T, x4 = (-1, 2, 1)T, x5 = (2, -2, 4)T şi să pună în evidenţă o bază a lui S. R. dim (S) = 2, B = {x1, x2}.
1.20. Baze ortogonale În spaţiul Rm, vectorii bazei canonice, e1 = (1, 0,…, 0)T, …, em = (0, 0,…, 0, 1)T au proprietatea că sunt ortogonali doi câte doi. 80
Mai mult, e1 = e 2 = ... = e m = 1 .
1.20.1. Definiţie Un sistem de elemente S = {x1 , x 2 ,..., x p } ⊂ R m se numeşte sistem ortogonal dacă elementele x1, x2,…,xp sunt ortogonale două câte două, adică < x i , x j >= 0, i ≠ j, i, j ∈ N p . O bază, B = {x1 , x 2 ,..., x m } ⊂ R m , a spaţiului Rm se numeşte bază ortogonală dacă elementele x1, x2,…,xm sunt ortogonale două câte două. Dacă, în plus, e1 = e 2 = ... = e m = 1 , atunci vom spune că B este o bază ortonormată. 1.20.2. Propoziţie. În spaţiul Rm, orice sistem ortogonal S = {x1, x2,…,xp}, p ≤ m , este liniar independent. Demonstraţie.Deoarece S este sistem ortogonal, atunci = 0 pentru i ≠ j . Trebuie să arătăm că din egalitatea (1)
λ1x1 + λ 2 x 2 + ... + λ p x p = θ ,
trebuie să rezulte λ1 = λ 2 = ... = λ p = 0 Ţinând cont de (1), avem
< λ1x1 + λ 2 x 2 + ... + λ j−1x j−1 + λ j x j + λ j+1x j+1 + + ... + λ p x p , e j >= 0,
(∀) j ∈ N p ,
de unde, ţinând cont că = 0 pentru i ≠ j , deducem că
< λ j x j , x j >= 0, λ j = 0,
(∀) j ∈ N p .
Prin urmare,
2
λ j x j = 0 şi deci
(∀) j ∈ N p .
1.20.3. Teoremă. (procedeul de ortogonalizare GramSchmidt.)Pentru orice 0 < p ≤ m , fie B = {x1, x2,…,xp} un sistem liniar independent în Rm şi fie S subspaţiul generat de B. Atunci există în Rm un sistem ortogonal B` = {y1, y2,…,yp} astfel încât S = Sp({y1, y2,…,yp}).
81
Demonstraţie. Elementele y1, y2,…,yp se obţin astfel. Mai întâi, luăm y1 = x1. Luăm y2 = x2+ky1 şi se determină k ∈ R astfel încăt = 0. Obţinem < y1, x 2 + ky1 >= 0 ⇔< x 2 , y >= −k < y1, y1 > , < x 2 , y1 > . de unde obţinem k = − 2 y1 În continuare luăm y 3 = x 3 + k1 y1 + k 2 y 2 şi determinăm k1 , k 2 ∈ R astfel încât < y1 , y 3 >= 0 şi < y 2 , y 3 >= 0 . Obţinem < y1 , y 3 >= 0 ⇔< x 3 , y1 >= −k1 y1 < y 2 , y 3 >= 0 ⇔< x 3 , y 2 >= −k 2 y 2
2
2
,
de unde k1 = −
< x 3 , y1 >
y1
2
,
k2 = −
< x3 , y2 > 2
y2
.
Continuăm procedeul până la construcţia lui yp pentru care luăm y p = x p + k1 y1 + k 2 y 2 + ... + k p −1 y p −1 .
Din
< y1 , y p >= 0, < y 2 , y p >= 0,..., < y p −1 , y p >= 0 ,
condiţiile:
obţinem: k i = −
< x p , yi > yi
2
, i ∈ N p −1 . k −1
Prin urmare, y k = x k −
∑ i =1
< x k , yi > yi
2
yi , k ∈ N p
şi deci B` = {y1, y2,…,yp} este un sistem ortogonal. Faptul că subspaţiile S şi Sp ({y1, y2,…,yp}) coincid reprezintă un exerciţiu. ■
1.20.4. Observaţie. Procedeul prin care obţinem elementele sistemului ortogonal B` se numeşte procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Se mai spune că, B' se obţine prin ortogonalizarea lui B. Prin urmare, prin ortogonalizarea unei baze date B = {x1, x2,…,xm} a lui Rm, obţinem o bază ortogonală B` = {y1, y2,…,ym} a lui Rm. Mai mult, dacă punem 82
h1 =
y1 y y , h 2 = 2 ,..., h m = m y1 y2 ym
,
atunci B' ' = {h1, h2,…,hm} este o bază ortonormată a lui Rm. Vom spune că B' ' este obţinută prin ortonormarea bazei B. De exemplu, să construim o bază ortonormată a lui R3 plecând de la baza B = {x1 , x 2 , x 3 } ⊂ R 3 , unde x1 = (1, -2, 2)T, x2 = (-1, 0, -1)T, x3 = (5, -3, -7)T. Folosind procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt, avem T y1 = x1 = (1, − 2, 2 ) < x 2 , y1 > y1 = x 2 − y1 2 y1 y3 = x 2 −
Deoarce < x 2 , y1 > y1
2
< x 3 , y1 > y1
2
y1 −
< x 3 , y2 > y2
2
y2
1 < x 3 , y1 > < x 2 , y1 > 1 = , = 1, , = 2 2 3 3 y2 y1
obţinem 1 2 2 1 T y 2 = (− 1,0,−1) + (2,−2,2 ) = − , ,− 3 3 3 3
T
T
T
2 2 1 1 T T T y 3 = (5,−3,−7 ) + ,− , + (1,−2,2 ) = (6,−3,6 ) 3 3 3 3 Deci B' = {y1, y2, y3} este o bază ortogonală a lui R3. Punând T
h1 =
T
y1 1 2 2 y 2 2 1 = , , , h 2 = 2 = − , ,− , y1 3 3 3 y2 3 3 3
83
T
y3 2 1 2 = ,− ,− , y3 3 3 3 obţinem baza ortonormată B' ' = {h1, h2, h3}. 1.20.5. Test de autoevaluare 1. În R3 se consideră elementele x1 = (1, 1, 1)T, x2 = (1, 1, T 0) , x3 = (0, 1, 0)T. a) Să se arate că B = {x1, x2, x3} este o bază a lui R3. b) Să se determine o bază ortonormată B' a lui R3, obţinută prin ortonormarea bazei B. h3 =
R. b) h1 =
1 3
(1, 1, 1) , h 2 =
1 6
(1, 1, − 2) , h 3 =
1 2
(−1, 1, 0)
2. Se consideră elementele x1 = (1, 2, -2)T, x2 = (2, -1, 3)T. a) Să se determine o bază B ortonormată a subspaţiului Sp({x1, x2}). T b) Să se arate că x = (5,0,4 ) ∈ Sp ({x1 , x 2 }) şi să se determine coordonatele elementului x în baza B. 1 (1,2,−2)T , h 2 = 3 10 ,− 5 ,5 3 5 14 3 3 x = x1 + 2x 2 ∈ Sp({x1 , x 2 }) .
R. a) h1 =
T
(
)
T
b) x B = 3,2 14 ,
1.21. Proiecţia ortogonală. Distanţa de la un punct la un subspaţiu. Fie S ⊂ R m un subspaţiu de dimensiune n= 0 . Ţinând seama de Teorema lui
Pitagora în Rm (vezi exerciţiul 4 de la 1.3.5.) obţinem:
x−a
2
2
= (x − a 0 ) + (a 0 − a ) = x − a 0
2
2
+ a0 − a ,
de unde rezultă că: a − a 0 ≤ x − a , (∀) x ∈ S. Deoarece, pentru x=a0 în
ultima
a − a0
inegalitate = d(a , S) .■
avem
semnul
egal,
deducem
că
1.21.3. Observaţie. Fie S ⊂ Rm un spaţiu S şi x0 ∈ R m \ S . Considerăm varietatea liniară V = x0 + S, având subspaţiul director S. Dacă a ∈ R m \ V , atunci. d(a , v) := inf x − v v∈V
Deoarece, pentru v ∈ V , există y ∈ S astfel încât v=x0+y, rezultă că d (a , V) = inf (a − x 0 ) − y = d (a − x 0 , S) y∈S
Prin urmare, (2) d(a , V ) = d (a − x 0 , S).
1.21.4 Determinarea distanţei de la un punct la un subspaţiu. Fie S ⊂ R m un subspaţiu de dimensiune n= 0, (∀)i ∈ N n T
Să presupunem că, a0 = (α1 , α 2 ,..., α n ) ∈ S, adică (4) a 0 = α1l1 + α 2l 2 + ... + α n l n . Atunci, ţinând cont de (4), din (3) obţinem < α1l1 + α 2l 2 + ... + α n l n >=< a 0 , li >, (∀)i ∈ N n , sau α1 < l1 , li > +α 2 < l 2 , li > +... + α n < l n , li >=< a 0 , li >, (∀)i ∈ N n Ultimele relaţii reprezintă un sistem de ecuaţii liniare în necunoscutele α1 , α 2 ,..., α n : α1 < l1 , l1 > + α 2 < l 2 , l1 > +... + α n < l n , l1 >=< a 0 , l1 > α < l , l > + α < l , l > +... + α < l , l >=< a , l > 1 1 2 2 2 2 n n 2 0 2 (5) ............................................................................ α1 < l1 , l n > + α 2 < l 2 , l n > +... + α n < l n , l n >=< a 0 , l n > Determinantul Γ(l1 , l 2 ,..., l n ), al matricei sistemului S, se numeşte determinantul Gramm asociat elementelor l1 , l 2 ,..., l n . Deci
< l1 , l1 > < l 2 , l1 > < l 2 , l1 > < l 2 , l 2 > (6) Γ(l1 , l 2 ,..., l n ) = ... ... < l n , l1 > < l n , l 2 >
... < l n , l1 > ... < l n , l 2 > . ... ... ... < l n , l n >
Deoarece Γ(l1 , l 2 ,..., l n ) ≠ 0 (exerciţiu!), rezultă sistemul (5) are soluţie unică. În consecinţă, a0 = Ps(a) este unic determinat. În particular, dacă B = {l1 , l 2 ,..., l n }este o bază ortogonală, adică
86
1, i = j < li , l j >= , i, j ∈ N m 0, i ≠ j atunci din (5) rezultă α k =< a , l k >, k ∈ N n , de unde, ţinând cont de relaţia (4), rezultă că a0 este dat de relaţia: (7) a0 = l1++…+ln Mai departe, ne propunem să calculăm distanţa de la a la S. Notând d:=d(a,S), atunci din (1) rezultă d2 = a − a0
2
=< a − a 0 , a − a 0 >=< a − a 0 , a > − < a − a a , a 0 >
Cum a − a 0 ⊥a 0 , deducem că 2
d 2 =< a − a 0 , a >= a − < a 0 , a > 2
adică d 2 = a =< α1l1 + α 2 l 2 + ... + α n l n , a > , de unde (8)
2
α1 < l1 , a > + α 2 < l 2 , a > +... + α n < l n , a >= a − a 2
Prin urmare, d2 se calculează din (8), iar α1 , α 2 ,..., α n se determină rezolvând sistemul (5). Ţinând cont că Γ(l1 , l 2 ,..., l n ) ≠ 0 , pentru că sistemul format din ecuaţiile sistemului (5) la care se adaugă (8) să fie compatibil este necesar şi suficient ca:
< a 1a > −d < l1 , a > < l 2 , a > < a1l1 > < l1 , l1 > < l 2 , l1 > M M M < a 1l n > < l1 , l n > < l 2 , l n > de unde obţinem: (9)
d2 =
Γ(a , l1 , l 2 ,..., l n ) Γ(l1 , l 2 ,..., l n )
87
... < l1 , a > ... < l n , l1 > =0, ... M ... < l n , l n >
2.21.5. Metoda celor mai mici pătrate. Prin metoda celor mai mici pătrate înţelegem problema care constă în a determina n numere reale λ1 , λ 2 ,..., λ n , astfel încât expresia m
∑ (λ α 1
1j
+ λ 2α 2 j + ... + λ m α mj − β j )
2
j=1
să aibă cea mai mică valoare. În expresia precedentă, α ij , β j , i, j ∈ N m , sunt numere reale date. Pentru a determina numerele λ j , să considerăm spaţiul R şi următoarele elemente ale sale: T l j = (α1 j , α 2 j ,..., α mj ) , j ∈ N m , m
a = (β1 , β 2 ,..., β n ) Dacă punem a 0 = λ1l1 + λ 2 l 2 +,..., λ n l n , atunci problema revine la a determina coeficientul λ j , astfel încât distanţa de la a la a0 să fie minimă. Prin urmare, a0 să fie minimă. Prin urmare, a0 va fi proiecţia lui a pe subspaţiul generat de elementele l1, l2, …, lm. 2.21.6. Exemplu. Să se determine distanţa de la θ la T varietatea liniară V= (α, β ) ∈ R 2 | α + β = 1 . Din α + β = 1 rezultă α = 1 − β . Deci x ∈ V dacă 1 − β 1 − 1 = + x = β 0 1 1 Prin urmare, V=x0+S, unde x0= şi 0
{
}
− 1 S= β | β ∈ R . 1 − 1 O bază a subspaţiului S este B {l}, unde l= . 1 88
Ţinând cont de formulele (2) avem: d (θ, V) = d (− x 0 , S) , Notând d= d (− x 0 , S) , atunci din relaţia (9) avem Γ ( − x 0 , l) d2 = Γ ( l) Deoarece Γ(l) = (l, l) = l
Γ ( − x 0 , l) = = x0
2
l
2
2
= 2, iar
< − x 0 ,− x 0 > < − x 0 , l > < −x 0 , l >
< l, l >
=
x0
2
< −x 0 , l >
< −x 0 , l >
l
2
=
− < x 0 , l >2 ,
atunci, din faptul că
x0
2
=1, l
2
= 2 şi < x 0 , l > 2 = 1 ,
deducem că Γ(− x 0 , l) = 1 Prin urmare Γ ( − x 0 , l) 1 1 d2 = = şi deci d = . 2 Γ ( l) 2 2.21.7. Test de evaluare 1. Să se determine distanţa de la punctul a=(1,2)T ∈ R 2 la T varietatea liniară V= (ξ1 , ξ 2 ) ∈ R 2 | ξ1 − 2ξ 2 + 4 = 0 .
{
R: d =
}
1 5
2. Să se determine distanţa de la punctul a=(1,-1,1)T ∈ R 3
{
T
}
la varietatea liniară V= (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) | ξ1 + 2ξ 2 − ξ3 + 8 = 0 . R: d =
6 2
3. Să se determine distanţa de la punctul a=(1,-1,1)T ∈ R 3 ξ ξ − 1 T ξ la varietatea liniară V= (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) | 1 = 2 = 3 . 3 1 2
89
R: d = 2
3 7
4. Se consideră expresia 2
2
2 12 E = − λ 1 + λ 2 − 1 + − λ 1 + λ 3 + 1 + 5 5 2
14 + − λ1 + λ 2 + λ 3 − 2 5 Să se determine valoarea minimă a lui E şi să se găsească valorile lui λ1 , λ 2 , λ 3 pentru care se realizează valoarea minimă a lui E. R: minE =
28 29
, λ1 = −
2422 53 193 , λ2 = , λ3 = 125 25 25
5. Să se determine distanţa de la punctul a=(1,-2,5)T ∈ R 3 la varietatea liniară care conţine punctul x=(1,0,0)T ∈ R 3 şi are ca subspaţiu director subspaţiul S generat de elementele v1=(-2,1,0)T, v2=(-2,0,1)T ∈ R 3 . 8 3
R: d = .
6. În Rm se consideră elementele l1,l2,…,ln,n ≤ m Să se arate că l1,l2,…,ln sunt liniare independente dacă şi numai dacă Γ(l1 , l 2 ,..., l n ) ≠ 0 . Mai mult, să se arate că, dacă l1,l2,…,ln sunt liniar independente, atunci avem chiar Γ(l1 , l 2 ,..., l n ) > 0 . 7. Folosind formula (2), pentru calculul distanţei de la un punct la o varietate liniară V ⊂ R m , precum şi formula (9), pentru calculul distanţei de la un punct la un spaţiu S ⊂ R m , să se stabilească formula de calcul a distanţei de la un punct la o dreaptă în R2.
90
1.22. Teorema dimensiunii 1.22.1. Teoremă. Fie S ⊂ R m subspaţiu de dimensiune p şi B = {x1 , x 2 ,..., x p } ⊂ S o bază a lui S.
Dacă B' = {y1 , y 2 ,..., x q }⊂ S este un sistem liniar independent din S, atunci, renumerotând eventual elementele sistemului B, sistemul B' ' = {y1 ,..., x q , x q +1 ,..., x p } este o bază a lui S. Demonstraţie. Deoarece dim(S)=p, atunci este evident că trebuie să avem q ≤ p . Procedăm prin inducţie relaţia la q. Dacă q=1, atunci B' ={y1} şi cum y1 ≠ θ (fiind liniar independent), atunci din Lema substituţiei
{
}
obţinem că B1'' = y1 , x 2 ,..., x q este o bază în S.
{
}
Dacă teorema are loc pentru q-1 atunci B' = y1, y 2 ,..., x q −1 , q − 1 ≤ p şi
B 'q' −1
{
= y1 ,..., y q −1 , x q , x q +1 ,..., x q
}
este o bază a lui S. Deoarece y p ∈ S ,
atunci yp se poate scrie ca o combinaţie liniară a elementelor lui Bq'' −1 :
y p = λ1 y1 + ... + λ q −1 y q −1 + λ q y q + ... + λ p y p , unde cel puţin unul din coeficienţii λ q , λ q +1 ,..., λ p este diferit de zero. Renumerând eventual elementele x q , x q +1 ,..., x p , putem propune că
λ q ≠ 0 . Conform Lemei substituţiei, putem înlocui elementul xq din baza
{
}
Bq'' −1 cu elementul yq. Prin urmare, B' ' = y1 ,..., y q , y q +1 ,..., x p este bază a lui S şi teorema este demonstrată. ■
1.22.2. Observaţie. Din Teorema 1.22.1. rezultă că orice sistem liniar independent al unui subspaţiu S ⊂ R m este conţinut într-o bază a lui S. Privind lucrurile altfel, putem spune că orice sistem liniar independent din S poate fi extins la o bază a lui S . 1.22.3. Teorema dimensiunii. Dacă S' şi S' ' sunt două subspaţii în Rm, atunci dim ( S' + S' ' ) = dim ( S' ) + dim ( S' ' ) – dim (S'∩S' ') . 91
Demonstraţie. Să notăm p = dim ( S' ), q = dim ( S' ' ), s = dim ( S'+S' ' ) şi t = dim (S'∩S' ') . Fie
Bt = {x1 , x 2 ,..., x t } o bază a subspaţiului S'∩S' ' .
Deoarece S'∩S' ' ⊂ S' şi S'∩S' ' ⊂ S' ' atunci baza Bt poate fi extinsă la bazele B' = x1 ,...x t , v t +1 ,...v p , B' ' = x1 ,...x t , w t +1 ,...w q ale subspaţiilor S' ,
{
}
{
}
{
}
respectiv S' ' . Să arătăm că B = x1 ,...x t , v t +1 ,...v p , w t +1 ,..., w q este o bază a subspaţiului S'+S' ' . Pentru aceasta trebuie să verificăm că B este sistem de generatori pentru S'+S' ' (vezi observaţia 1.17.7.) şi că B este liniar independent. Deoarece orice element dim S`+S`` este suma dintre un element din S' şi un element din S' ' , rezultă că B este sistem de generatori pentru S'+S' ' . Să arătăm că B este liniar independent. Relaţia α1x1 + ... + α t x t + β t +1v t +1 + ... + β p v p + γ t +1w t +1 + ... + γ q w q = θ se mai poate scrie sub forma α1x1 + ... + α t x t + β t +1v t +1 + ... + β p v p = − γ t +1w t +1 − ... − γ q w q Din această egalitate rezultă că elementul din dreapta, care aparţine lui S' ' trebuie să aparţină şi lui S' , deci intersecţiei S'∩S' ' . Dacă aparţine lui S'∩S' ' trebuie să fie o combinaţie liniară a elementelor lui Bt, deci β t +1 = ... = βp = 0 . În aceste condiţii, din ultima egalitate obţinem
α1x1 + ... + α t x t + γ t +1w t +1 + ... + γ q w q = 0 Cum x1 ,..., x t , w t +1 ,..., w q sunt liniar independenţi (fiind elementele bazei B' ' , deducem că α1 = ... = α t = γ t +1 = ... = γ q = 0 . Prin urmare, B este o bază a subspaţiului S'+S' ' . Cum numărul elementelor sale este s = t + (p − t ) + (q − t ) , ceea ce înseamnă că s = p + q − t , deducem că dim ( S'+S' ' ) = dim ( S' ) + dim ( S' ' ) – dim (S'∩S' ' ) . ■
1.22.4. Observaţie Dacă S' , S' ' sunt subspaţii în Rm astfel încât S'∩S' ' = {∅} , atunci dim ( S'+S' ' ) = dim ( S' ) + dim ( S' ' ).
1.23. Aplicaţii liniare Fie A : R m → R p o aplicaţie oarecare. Vom nota cu Im(A) mulţimile valorilor aplicaţiei A, adică Im(A ) = y ∈ R p | (∃)x ∈ R m a.î. A(x ) = y} ⊂ R p
{
92
Im(A) se numeşte imaginea aplicaţiei A. Pentru o mulţime M ⊂ R p vom nota A −1 (M ) imaginea inversă a mulţimii M prin aplicaţia A, adică A −1 (M ) = x ∈ R m | A(x ) ∈ M ⊂ R m .
{
}
Reamintim că o aplicaţie A : R m → R p se numeşte: a) surjectivă, dacă Im(A) = Rp, adică dacă (∀)y ∈ R p , (∃)x ∈ R m a.î. A(x) = y; b) injectivă, dacă x 1 , x 2 ∈ R m , x 1 ≠ x 2 ⇒ A ( x 1 ) ≠ A ( x 2 ); c) bijectivă, dacă este simultan surjectivă şi injectivă. De asemenea, dacă A : R m → R p , B : R p → R q sunt aplicaţii oarecare, atunci putem defini aplicaţia m q m B o A : R → R prin (B o A)( x ) = B(Ax )), (∀) x ∈ R . Aplicaţia B o A se mai notează prin BA şi se numeşte produsul aplicaţiilor A şi B sau compunerea aplicaţiilor A şi B. Aplicaţia id R m : R m → R m , definită prin id R m ( x ) = x , (∀) x ∈ R m , se numeşte aplicaţie identică a spaţiului Rm . 1.23.1. Definiţie. O aplicaţie A: Rm → Rp se numeşte aplicaţie liniară dacă satisface condiţiile: (1) A(x+ y) = A(x)+A(y), (∀) x , y ∈ R m , (2) A(λx ) = λA( x ),
(∀)λ ∈ R, (∀) x ∈ R m .
O aplicaţie liniară A : R m → R p se numeşte şi operator liniar. Condiţia (1) se numeşte condiţia de aditivitate, iar (2) condiţia de omogenitate. 1.23.2 Observaţii. 1. Condiţiile (1) şi (2) se pot grupa în una singură: (3) A(λx + µy) = λA( x ) + µA( y), (∀)λ, µ ∈ R, (∀) x , y ∈ R m . 2. Relaţia (3) poate fi extinsă la o combinaţie liniară finită oarecare de elemente din Rm. (4) A(λ1x1 + λ 2 x 2 + ....λ n x n = λ1A( x1 ) + λ 2 A( x 2 ) + ... + λ n A( x n ), 93
pentru orice λ 1 , λ 2 ,......., λ n ∈ R şi orice x 1 , x 2 ...., x n ∈ R m .
3. A(-x) = -A(x), (∀) x ∈ R m . Această proprietate se obţine luând λ = -1 în condiţia (2). 4. A(θ m ) = θ p , unde θ m este elementul nul din Rm, iar θ p elementul nul din Rp. Această proprietate se obţine luând λ = 0 în condiţia (2). 1.23.3 Definiţe. Dacă A : R m → R p este o aplicaţie liniară, atunci mulţimea Ker (A) = x ∈ R m | A( x ) = θ p ⊂ R m se numeşte nucleul aplicaţiei A. 1.23.4 Exemplu. Să considerăm aplicaţia
{
}
α1 α1 − α 2 + α 3 A : R → R , A α 2 = α1 + 2α 2 − 2α 3 α 2α + α − α 2 3 3 1 3
3
Se verifică uşor că A este o aplicaţie liniară. Ne propunem să determinăm Ker(A) şi Im(A). Avem α1 α1 0 α 2 ∈ Κer(A ) ⇔ A α 2 = 0 , α α 0 3 3
adică dacă şi numai dacă α1 − α 2 + α 3 α1 + 2α 2 − 2α 3 2α + α − α 2 3 1
Matricea asociată sistemului precedent, 1 − 1 1 A = 1 2 − 2 , 2 1 −1 94
are rangul egal cu 2. Deci sistemul admite soluţii diferite de soluţia banală. Luând ca minor principal 1 −1 ∆p = =3≠0 12 şi notând α 3 = ξ ∈ R , obţinem următorul spaţiu al soluţiilor
{
}
sistemului: S1 = (0, ξ, ξ) T | ξ ∈ R . T
Deci Ker (A) = {(0, ξ, ξ) | ξ ∈ R} . Observăm că Ker (A) = {ξ(0,1,1) T | ξ ∈ R} = S p ({(0,1,1) T }) Avem β1 α1 3 β 2 ∈ Im(A) ⇔ (∃) α 2 ∈ R astfel încât β α 3 3 α1 β1 A α 2 = β2 , α β 3 3
ceea ce este echivalent cu compatibilitatea sistemului α1 − α 2 + α 3 = β1 α1 + 2α 2 − 2α 3 = β2 . 2α + α − α = β 2 3 3 1
Matricea acestui sistem este tot A, luând ∆ p =
1 −1 1 2
ca minor
principal, atunci condiţia de compatibilitate a sistemului este 1 − 1 β1
ca minorul caracteristic ∆ C = 1 2 β 2 să fie egal cu zero. 2 1 β3
Deoarece ∆ C = 0 implică β1 + β 2 − β 3 = 0 , deducem că
95
{
}
Im(A) = (β1 , β 2 , β 3 ) T | β1 + β 2 − β 3 = 0 . Dacă notăm β 2 = λ, β3 = µ , atunci β1 = −λ + µ şi deci
{
}
Im(A) = (λ (−1,1,0) T + µ(1,0,1) T | µ ∈ R , adică
T
T
Im(A) = SP ({(−1,1,0) , (1,0,1) }).
1.23.5 Exerciţii. 1. Dacă A : R m → R p este o aplicaţie liniară, atunci să se arate că: (a) Ker(A) este subspaţiu al lui Rm, (b) Im(A) este subspaţiu al lui Rp. 2. Dacă A : R m → R p este o aplicaţie liniară, atunci să se arate că: (a) A este injectivă, dacă şi numai dacă, Ker (A) = {θ}. (b) A este surjectiv, dacă şi numai dacă, Im(A)=Rp. 1.23.6. Test de autoevaluare 1. Considerăm aplicaţia A : R 2 → R 2 , diferită prin: 2 x x − y + 1 . A = 2 y − 2 x + 4 y
a) Să se arate că A este injectivă şi nu este surjectivă. x
b) Un punct 0 ∈ R 2 se numeşte punct fix al aplicaţiei A y0 x x
dacă A 0 = o . Să se determine punctele fixe ale aplicaţiei A. y0 y0 3 2
T
5 2
T
R. b) ,1 , ,−1 .
2. Considerăm aplicaţiile A, B : R 3 → R 3 , diferite prin x 2x − y u u + v − w A y = y + z , B v = u + 2v , z x − y w 2v − w
a) Să se arate că A şi B sunt aplicaţii liniare. b) Să se calculeze B o A. 96
x x + y + z R. b) (B o A ) y = 2 x + y + 2z z − x + 3y + 2z
3. Să se calculeze inversa aplicaţiei A : R 2 → R 2 , diferită prin: x 2x − y + 2 A = y − 3x + 2 y − 1 u 2u + v − 3
. R. A −1 = v 3u + 2v − 4
4. Se consideră aplicaţia A : R 3 → R 3 , definită prin x (1 / 3)( x − 2 y + 2) A y = (1 / 3)(−4x − y + 4) z − z
Să se arate că A o A = A. 5. Dacă A : R m → R m este o aplicaţie liniară, atunci să se arate că: dim[Ker(A)]+dim[Im(A)]=m 6. Să se determine nucleul şi imaginea aplicaţiei liniare A : R 3 → R 3 , definită prin x x + y − z A y = x − y + z z 2x R. Ker(A ) = {ξ(0,1,1) T | ξ ∈ R}
Im(A ) = {λ(−1,1,0) T + µ(1,0,1)T | λ, µ ∈ R}.
7. Să se determine nucleul şi imaginea aplicaţiilor liniare A : R 2 → R 3 şi B : R 3 → R 2 , definite prin: 97
3x − 2 y x − 2 x + 3y − z x . A = 2x − y , B y = 3 x − 2 y + 5 z y − x + y z R. Ker (A) = {θ 2 }, Im(A) = {λ(1,1,0) T + µ(0,1,1) T | λ, µ ∈ R}; Ker (B) = {λ (13,7,−5) | λ ∈ R}, Im(B) = R 2 .
1.24. Matricea asociată unei aplicaţii liniare Considerăm o aplicaţie liniară A : R m → R p şi fixăm în R , respectiv Rp, bazele Bm={h1, h2,…..,hm}, respectiv Bp={q1, q2,…..,qp}. Deoarece A(h1), A(h2),….., A(hm) ∈ R p atunci fiecare din aceste elemente, este o combinaţie liniară a elementelor bazei Bp. Prin urmare, avem A(h1)=a11q1+a21q2+……..+ap1qp (1) A(h2)=a12q1+a22q2+…….+ap2qp ………………………………. A(hm)=a1mq1+a2mq2+….+apmqp Considerăm acum elementele x = (α1α 2 ,...., α m ) T ∈ R m m
şi y = (β1 , β2 ,......, βp ) T ∈ R m astfel încât A(x)=y. Deci (2)
x = α1 h 1 + α 2 h 2 + ..... + α m h m
şi (3) y = β1q 1 + β 2 q 2 + ..... + β p q p Dacă ţinem cont de punctul 2 al observaţiei 1.23.2, atunci egalitatea A(x) = y devine A(α 1h 1 + α 2 h 2 + ..... + α n h n ) = y sau (4) α1 A(h 1 ) + α 2 A(h 2 ) + ..... + α n A(h n ) = y Ţinând seama de relaţiile (1), din (4) obţinem
98
y = α 1 (a 11q 1 + a 21q 2 + ..... + a p1q p +
α 2 (a 12 q 1 + a 22 q 2 + ..... + a p 2 q p + ..........................................................
,
α m (a 1m q 1 + a 2 m q 2 + ..... + a pm q p
sau
y = (a 11α1 + a 12 α 2 + ..... + a 1m α m )q 1 + (5)
a 21α1 + a 22 α 2 + ..... + a 2 m α m )q 2 + .......................................................... a p1α1 + a p 2 α 2 + ..... + a pm α m )q p
Comparând relaţiile (3) şi (5) şi ţinând cont de unicitatea scrierii unui element din Rp în baza Bp, obţinem (6)
β1 = a11α1 + a12 α 2 + ..... + a1m α m β 2 = a 21α1 + a12 α 2 + ..... + a 2 m α m , .......... .......... .......... .......... .......... . β p = a p1α1 + a p 2 α 2 + ..... + a pm α m
Relaţiile (6) se pot pune sub forma echivalentă (7)
β1 a11 a12 .............a1m α1 β 2 a 21 a 22 .............a 2 m α 2 ..... = ............................ ..... β p a p1 a p 2 .............a pm α m
a 11 a 12 .............a 1m ~ a 21 a 22 .............a 2 m Notăm A = ∈ M pm (R ) ............................ a a .............a p 1 p 2 pm şi relaţia (7) devine
99
~ (8) y = Ax Prin urmare, am arătat că ~ y = A( x ) ⇔ y = Ax (9)
Prin urmare, aplicaţia liniară A : R m → R p este bine ~ ~ determinată cu ajutorul matricei A . Matricea A se numeşte matricea asociată aplicaţiei liniare A în bazele Bm şi Bp ~ De asemenea, este clar că orice matrice A ∈ M pm (R ) defineşte o aplicaţie liniară A : R m → R p , definită prin ~ A( x ) = Ax , (∀) x ∈ R m .
1.24.1. Teoremă. Fie A : R m → R p o aplicaţie liniară şi ~ A matricea asociată lui A în bazele B1 ⊂ R m , B2 ⊂ R p . Dacă ~ ~ B1' ⊂ R m şi B'2 ⊂ R p sunt baze iar A este matricea asociată lui A în bazele B1 şi B2, atunci ~ ~ ~ (10) A = C −21 AC1 , unde C1 este matricea de trecere de la baza B1 la baza B1' , iar C2 este matricea de trecere de la baza B2 la baza B'2 . m p Demonstraţie. Dacă x ∈ R şi y ∈ R sunt astfel încât y=A(x), atunci avem
~ ~ ~ y B2 = Ax B1 , y B' = Ax B' .
(11)
2
1
Pe de altă parte, ţinând cont de formula (6) de la 1.18.1, avem: (12) x B1 = C1x B' , y B2 = C 2 y B' . 1
2
~
Ţinând cont de (12), prima relaţie din (11) devine C 2 y B' = AC1x B' , de 2
unde, ţinând seama că C2 este inversabilă, obţinem y B' = 2
1
~ (C 2−1AC1 ) x B' 1
.
Comparând această ultimă relaţie cu a doua relaţie din (11), rezultă că
~ ~
~
trebuie să avem A = C −2 1AC1. ■
100
~ 1.24.2. Exerciţiu. Fie A : R m → R m o aplicaţie liniară şi A matricea asociată lui A într-o bază dată. Să se arate că A este ~ inversabilă dacă şi numai dacă A este inversabilă. Mai mult, ~ să se arate că x = A −1 ( y) ⇔ x = (A) −1 y. 1.24.3 Test de autoevaluare. 1. Se consideră aplicaţiile liniare A : R 2 → R 3 şi B : R 3 → R 2 , definită prin: A (e1 ) = 3q1 + 2q 2 − q 3 şi A (e 2 ) = −2q1 − q 2 + q 3
B(q1 ) = −2e1 + 3e 2 B(q 2 ) = 3e1 − 2e 2 , B(q ) = −e + 5e 3 1 2
unde {e1, e2} este baza canonică în R2, iar {q1, q2, q3} este baza canonică în R3. a) Să se scrie matricea asociată aplicaţiei liniare în raport cu bazele canonice din R2 şi R3 ; 1 − 1 b) Să se calculeze A şi B − 1 ; 2 2 c) Să se arate că A este injectivă iar B este surjectivă; d) Să se arate că B o A = id R 2 şi A o B ≠ id R 3 . R.
u 3x − 2 y − 2u + 3v − w x . a) A = 2 x − y , B = v = 3u − 2v + 5w y − x + y w − 7 1 − 1 − 7 ; c) Ker(A)= {θ2 } , Im(b)=R2. b) A = − 4 , B − 1 = 2 15 3 2
101
2. Fie A : R 3 → R 3 aplicaţia liniară a cărei matrice în baza canonică din R3 este −1 1 2 ~ A = 3 3 4 2 1 1 a) Să se determine matricea lui A în raport cu baza B = {q1, q2, q3}, unde q1=(1,1,-1)T, q2=(1,0,1)T, q3=(1,1,0)T. b) Să se determine Ker(A) şi Im(A). c) Să se determine A-1((0,1,2)T) şi A-1((0,5,2)T) şi să se precizeze natura acestora. − 6 − 9 − 9 ~ ~ R. a) A = − 4 − 6 − 6 , 8 16 15
b) Ker (A) = {λ(−1,5 − 3) T | λ ∈ R},
Im(A) = {α(1,1,0)T + β(−2,0,1)T | α, β ∈ R} ; −1
T
−1
c)
(0,1,2)T ∉ Im(A ) ,
deci
T
A ((0,1,2) ) = ∅; ( x , y, z) ∈ A ((1,5,2) dacă şi numai dacă –x+y+2z=1, 1 3
1 3
3x+3y+4z=1, 2x+y+z=2,ceea ce ne conduce la x = + µ, y =
4 5 − µ, 3 3
T
1 4 z = µ, µ ∈ R . Prin urmare, A −1 ((1,5,2)T ) = , ,0 + Ker (A), ceea ce 3 3
arată că A-1((1,5,2)T) este o varietate liniară a lui R3 care conţine 1 4 3 3
T
elementul , ,0 şi are spaţiul director Ker(A).
3. Considerăm aplicaţiile liniare A : R m → R p , B : R p → R m având, în bazele canonice ~ ~ din Rm şi Rp, matricele A , respectiv B . ~~ Să se arate că BA ∈ M mm (R ) este matricea asociată ~~ aplicaţiei liniare B o A : R n → R m , iar AB ∈ M pp (R ) este matricea asociată aplicaţiei liniare A : R p → R p .
102
1.25. Spaţiul Cn În cele ce urmează, vom nota cu C mulţimea numerelor complexe. 1.25.1. Definiţie. Mulţimea C m = R m + iR m = {u + iv | u , v ∈ R m , i 2 = −1} se numeşte spaţiul complex m – dimensional. Prin urmare, z ∈ C m dacă şi numai dacă există u = (α1 , α 2 ,...., α m ) T ∈ R m , v = (β1 , β 2 ,...., β m ) T ∈ R m astfel încât α1 β1 α β z = u + iv = 2 + i 2 . M M α β m m
De asemenea, putem scrie α1 + iβ1 z = α 2 + iβ 2 . α + iβ m m
Numerele complexe α1 + iβ1 , α m + iβ m se numesc componentele sau coordonatele lui z. Elementele spaţiului Cm le numim elemente complexe, puncte complexe sau vectori complecşi. Elementul u-iv se numeşte conjugatul lui u+iv şi se notează cu u + iv . Elementele u 1 + iv1 ∈ C m , u 2 + iv 2 ∈ C m vor fi considerate ca fiind egale, dacă şi numai dacă u1=u2 şi v1=v2. Pe spaţiul Cm se pot introduce următoarele operaţii: (u1+iv1)+ (u2+iv2)=(u1+u2)+i(v1+v2), (α + iβ)(u + iv) = (αu − β v) + i(β u + αv ), pentru orice u 1 + iv1 , u 2 + iv 2 , u + iv ∈ C m şi α + iβ ∈ C. Pentru un element z = u + iv ∈ R m , vom nota u=Re(z) şi v=Im(z). 103
1.25.2. Observaţie. În spaţiul Cm se pot introduce noţiunile de: combinaţie liniară a elementelor din Cm, dependenţă liniară, independenţa liniară, bază, dimensiune, subspaţiu, aplicaţie liniară, etc. exact ca în spaţiu Rm. Astfel, un element z ∈ C m este combinaţie liniară a elementelor z1,z2,…..,zn ∈ C m dacă există λ 1 , λ 2 ,....., λ n ∈ C astfel încât z = λ 1 z1 + λ 2 z 2 + .... + λ n z n . Elementele z 1 , z 2 ,...., z n ∈ C m se numesc liniar dependente dacă există λ 1 , λ 2 ,......, λ n ∈ C , nu toate egale cu zero, astfel încât λ 1 z1 + λ 2 z 2 + .... + λ n z n = θ . Dacă λ 1 z1 + λ 2 z 2 + .... + λ n z n = θ ⇒ λ 1 = λ 2 = .... = λ n = 0 atunci vom spune că z1,z2,…..,zn sunt liniar independente. 1.25.3. Exerciţii. 1. Să se arate că dacă z 1 , z 2 ,...., z n ∈ C m sunt liniar dependente, atunci unul dintre elemente este o combinaţie liniară a celorlalte. 2. Să se arate că orice m+1 elemente din Cm sunt liniar dependente. 3. Să se arate că dacă z, z1,z2,….,zn, n ≤ m sunt liniar dependente iar z1,z2,….,zn sunt liniar independente, atunci z se scrie ca o combinaţie liniară unică a elementelor z1,z2,…..,zn. 4. Dacă α + iβ ∈ C şi x+iy,u+iv ∈ C m , atunci să se arate că (α + iβ)( x + iy) = (α − iβ)( x − iy). 5. Să se definească noţiunile de subspaţiu al lui Cm, dimensiunea unui subspaţiu al lui Cm şi de baza a unui subspaţiu al lui Cm. 6. a) Să se definească noţiunea de aplicaţie liniară A : Cm → Cn .
104
b) Să se arate că oricărei aplicaţii liniare A : C m → C n i se ~ poate asocia, într-o bază dată a lui Cm, o matrice A ∈ M m (C) ~ astfel încât w = A(z) ⇔ w = Az, z, w ∈ C m . c) Să se arate că dacă A : R m → R n este o aplicaţie liniară, atunci aplicaţia B : C m → C n , definită prin Bz=Au+iAv, (∀)z = u + iv ∈ C m , u, v, ∈ R m este o aplicaţie liniară.
7. Să se arate că, dacă z1, z2,……,zn ∈ C m sunt elemente liniar independente, atunci şi z1 , z 2 ,...., z n sunt liniar independente. 1.25.3. Test de autoevaluare2 1. Fie u=(1,-2)T, v=(3,2)T ∈ R şi z=u+iv. Să se calculeze: a) (3+41)z; b) (2-3i)z+(4-5i) z ; c) (-9,2)T+i(13,-2)T; d) (30,4)T+i(10,28)T. 2. În C2 se consideră elementele z1=(2,-1)T+i(3,2)T, z2=(-1,3)T+i(2,1)T, z3=(-7,-6)T+i(13,-1)T. a) Să se scrie z3 ca o combinaţie liniară a elementelor z1 şi z2. b) Să se arate că z1, z2 sunt liniar independente. R. a) z3=(2+3i)z1+(1-i)z2. ; b) (α1 + iβ1 )z1 + (α 2 + iβ 2 )z 2 = θ conduce la sistemul 2α1 − 3β1 − α 2 − 2β 2 = 0, −α1 − 2β1 + 3α 2 − β 2 = 0,
3α1 + 2β1 2α 2 − β 2 = 0, banală.
2α1 − β1 + α 2 + 3β 2 = 0, care are numai soluţia
3. Se consideră aplicaţia liniară A : C 2 → C 2 , definită prin α1 β1 α1 − β1 − β 2 α1 + α 2 + β1 + i , A + i = α β − α + α + β − α − β + β 2 2 1 2 2 2 1 2 ~ a) Să se determine matricea A asociată aplicaţiei liniare A. b) Să se determine A-1(z), unde z=(1,-1)T+i(0,1)T ∈ C 2
105
~
1 + i
i
1
T
1
T
; b) A −1 (z) = ,−1 + i − 1, . R. a) A = 2 2 −1 1 − i
1.26. Valori proprii şi elemente proprii asociate unei matrice 1.26.1 Definiţie. Un element λ ∈ C se numeşte valoare proprie a matricei A ∈ M m (C) dacă există un element u ∈ C m , u ≠ θ , astfel încât (1) Au = λu Un element nenul u ∈ C m , care satisface relaţia (1), se numeşte element propriu asociat valorii proprii λ . 1.26.2 Observaţie. Dacă ξ1 a11 a12 ... a1m ξ A = a 21 a 22 ... a 2 m ∈ M m (C), u = 2 ∈ C m , M a m1 a m 2 ... a mm ξ m atunci egalitatea (1) se scrie sub forma ξ1 ξ1 a11 a12 ... a1m ξ2 ξ2 a 21 a 22 ... a 2 m = λ M a M m1 a m 2 ... a mm ξ ξ m m sau 1 0 ... 0 ξ1 0 a 11 a12 ... a 1m 0 1 ... 0 ξ 2 0 (2) a 21 a 22 ... a 2 m − λ = ... ... ... ... M M a m1 a m 2 ... a mm 0 0 ... 1 ξ m 0 106
Notând cu Im matricea unitate de ordinal m, atunci ultima egalitate se mai scrie sub forma: ( A − λI m ) u = θ (3) De asemenea relaţia (2) este echivalentă cu următorul sistem omogen de ecuaţii liniare: (a11 − λ)ξ1 + a12ξ 2 + ...... + a1m ξm = 0 a ξ + (a − λ)ξ + ...... + a ξ = 0 12 1 22 2 2m m ......................................................... a1m ξ m + a 2 m ξ m + ......... + (a mm − λ )ξ m = 0 Matricea asociată sistemului (4) este A − λI m , iar
a11 − λ a12 a 21 a 22 − λ det(A − λI m ) = ... ... a1m a 2m
... a1m ... a 2m . ... ... ... a mm − λ
Condiţia ca să existe u ∈ C m , u ≠ θ, astfel încât să fie satisfăcută condiţia (1) este echivalentă cu condiţia ca sistemul (4) să admită şi soluţii diferite de soluţia banală. Din teoria sistemelor omogene de ecuaţii liniare, rezultă că sistemul (4) admite şi soluţii diferite de soluţia banală, dacă şi numai dacă, det( A − λI m ) = 0 . Aceasta înseamnă că valorile proprii ale matricei sunt rădăcinile ecuaţiei algebrice de gradul m: (5) det(A − λI m ) = 0. 1.26.3. Definiţie. Ecuaţia algebrică (5) se numeşte ecuaţia caracteristică a matricei A, iar polinomul (6) K A (λ ) = det(A − λI m ) se numeşte polinomul caracteristic al matricei A. 107
Mulţimea tuturor valorilor proprii ale matricei A, σ(A) = {λ ∈ C | det(A − λI m ) = 0} , se numeşte spectrul matricei A. Pentru fiecare λ ∈ σ(A) vom nota VPA (λ) := {u ∈ C m \ {θ} | (A − λI m )u = θ} mulţimea tuturor elementelor proprii corespunzătoare valorii proprii λ. 1.26.4. Exerciţiu. Să se arate că, pentru orice matrice A ∈ M m (C) şi orice λ ∈ σ(A), mulţimea VPA (λ ) este un subspaţiu al lui Cm. VPA (λ ) se mai numeşte subspaţiu propriu asociat valorii proprii λ. 1.26.5 Observaţie. În baza teoremei fundamentale a algebrei, pentru orice matrice A ∈ M m (C) , spectrul matricei A, σ(A) , are cel mult m elemente distincte. Elementele mulţimii σ(A) se determină rezolvând ecuaţia caracteristică. Fie λ ∈ σ(A) şi u ∈ VPA (λ) . Atunci, pentru orice ξ ∈ C avem A(ξu ) = ξAu = λ (ξu ) , adică ξu ∈ VPA (λ ). Deci, un element propriu, corespunzător unei valori proprii λ , nu este unic determinat. Dacă λ k ∈ σ(A) , k ∈ N m este o valoare proprie oarecare a matricei A, atunci elementele subspaţiului propriu VPA (λ ) se determină din condiţia (1): Au = λ k u, sau înlocuind pe λ k în sistemul (4) şi rezolvând acest sistemul în raport cu necunoscutele ξ1 , ξ 2 ,....ξ m .
1.26.6 Exemple. 1. Să determinăm valorile proprii şi elementele proprii ale matricei 1 2 . A = 2 1 108
Ecuaţia caracteristică a matricei A este det(A − λI 2 ) = 0 adică 1− x 2 = 0 ⇔ (1 − x ) 2 − 4 = 0, 2 1− x cu rădăcinile λ1 = −1 şi λ 2 = 3 . Deci σ(A) = {−1,3} Elementele proprii asociate unei valori proprii ξ1 λ ∈ σ(A) , u = ∈ C 2 , se determină din condiţia Au = λ, ξ2 adică 1 2 ξ1 ξ = λ 1 , 2 1 ξ2 ξ2 de unde obţinem sistemul (1 − λ )ξ1 + 2ξ 2 = 0 2ξ1 + (1 − λ)ξ 2 = 0 Pentru λ = λ1 = −1 , cele două ecuaţii se reduce la una singură: 2ξ1 + 2ξ 2 = 0 ⇔ ξ1 = −λ, ξ 2 = α, α ∈ R. Deci VPA (λ1 ) = {α(−1,1)T | α ∈ R}. Pentru λ = λ 2 = 3 , sistemul precedent se reduce la ecuaţia − 2ξ1 + 2ξ 2 = 0 ⇔ ξ1 = α, ξ 2 = α, α ∈ R. Deci: VPA (λ 2 ) = {α(1,1)T | α ∈ R}. 2. Să determinăm valorile proprii şi elementele proprii ale matricei 4 − 5 7 A = 1 − 4 9 . − 4 0 5 Ecuaţia caracteristică a matricei A este det (A − λI3 ) = 0, adică 109
4−λ 1 −4
−5
7
−4−λ 9 = 0 ⇔ (λ − 1)(λ2 − 4λ + 13) = 0, 0 5−λ
λ1 = 2 + 3i, λ 2 = 2 − 3i, λ 3 = 1 . Deci, σ(A) = {2 + 3i, 2 − 3i, 1} ⊂ C . Elementele proprii asociate unei valori proprii T 3 λ ∈ σ(A), u = (ξ1 , ξ 2 , ξ3 ) ∈ C , se determină din condiţia Au = λu , adică 4 − 5 7 ξ1 ξ1 1 − 4 9 ξ 2 = λ ξ 2 , − 4 0 5 ξ ξ 3 3 de unde obţinem sistemul (4 − λ )ξ1 − 5ξ 2 + 7ξ3 = 0 ξ1 + (−4 − λ)ξ 2 + 9ξ3 = 0 − 4ξ + (5 − λ)ξ = 0 1 3 Pentru λ = λ1 = 2 + 3i obţinem sistemul (2 − 3i)ξ1 − 5ξ 2 + 7ξ3 = 0 ξ1 − (6 + 3i)ξ 2 + 9ξ3 = 0 − 4ξ + (3 − 3i)ξ = 0 1 3 Notând ξ3 = 4α , obţinem mulţimile
{α(3 − 3i, 5 − 3i,4)
T
}
, α ∈ R. T
Deci VPA (2 + 3i) = {α(3 − 3i, 5 − 3i,4) | α ∈ R} ⊂ C3 . Analog, vom obţine VPA (2 − 3i) = {α(3 + 3i, 5 + 3i,4)T | α ∈ R} ⊂ C3. 110
VPA (1) = {α(1,2,1)T | α ∈ R}. 1.26.7 Exerciţiu. Să se arate că dacă A ∈ M m (R ) şi λ ∈ R I σ(A), atunci VPA (λ ) I R m ≠ ∅ 1.26.8. Propoziţie. Dacă A ∈ M m (R ), λ = α + iβ ∈ σ(A), λ, β ∈ R , β ≠ 0
şi
u=v+iw,
atunci
λ = α − iβ ∈ σ(A) şi
u = v − iw ∈ VPA (λ ). Demonstraţie. Dacă A ∈ M m (R ), atunci ecuaţia caracteristică K A (λ) = 0 are coeficienţii reali, deci în baza unui rezultat cunoscut din algebra elementară, dacă λ ∈ C este o rădăcină a ecuaţiei caracteristice,
atunci şi λ ∈ C este soluţie a ecuaţiei caracteristice. Mai departe, dacă, u ∈ VPA (λ) , atunci (A − λI m )u = θ , deci (A − λI n )u = θ , de unde rezultă că (A − λI m )u = θ şi deci u ∈ VPA (λ). ■
1.26.9 Observaţie. Din propoziţia precedentă rezultă că, dacă matricea cu coeficient reali A ∈ M m (R ) are o valoare proprie complexă λ = α + iβ, α, β ∈ R, β ≠ 0 , atunci este suficient să determinăm numai elementele proprii asociate lui λ. Elementele proprii asociate valorii proprii λ = α − iβ vor fi conjugatele elementelor din VPA (λ ). 1.26.10 Propoziţie. Fie A ∈ M m (C), λ1 , λ 2 ,...., λ n ∈ σ(A) şi u j ∈ VPA (λ ), j = 1,2,..., n : 1) Dacă λ j ≠ λ k , (∀) j, k ∈ N n , j ≠ k ,atunci u1 , u 2 ,...., u n ∈ Cm sunt elemente liniar independente. 2) Dacă A ∈ M m (R ), λ1 , λ 2 ,....,∈ R I σ(A), u j ∈ R m I VPA (λ j ), j ∈ N k , λ p = α p + iβp , β p > 0, u p = v p + iw p , p ∈{k + 1, k + 2,..., q}, k + 2q = r
şi λ j ≠ λ q , (∀) j, q ∈ N n , j ≠ q,
atunci u1 ,...., u k , v k +1 , w k +1 ,..., v n , w m ∈ R m sunt elemente liniar independente. 111
Demonstraţie. 1) Afirmaţia se demonstrează prin inducţie relativ la m. Pentru m=1, proprietate este evident adevărată, deoarece , dacă u1 ∈ VPA (λ), atunci u1 ≠ θ , deci ξ1u1θ ⇒ ξ1 = 0. Presupunând afirmaţia devărată pentru m=s valori proprii distincte, să o demonstrăm pentru s+1 de astfel de valori proprii. Fie ξ1 , ξ 2 ,..., ξs+1 ∈ C astfel încât ξ1u1 + ξ 2 u 2 + .... + ξ s +1u s +1 = θ. Atunci
A (ξ1u1 + ξ 2 u 2 + ... + ξ s +1u s +1 ) = θ ,
de
unde
rezultă
ξ1Au1 + ξ 2 Au 2 + ... + ξs+1Au s+1 = θ şi deci, ţinând seama de faptul că u j ∈ VPA (λ j ) , adică Au j = λ j u j , obţinem (7)
(ξ1λ1 )u1 + (ξ 2λ 2 )u 2 + ... + (ξs+1λ s+1 )u s+1 = θ
Înmulţind cu λ s+1 ambii membrii ai egalităţi
ξ1u1 + ξ 2 u 2 + ... + ξs+1u s+1 = θ , obţinem (8)
(ξ1λ s +1 )u 1 + (ξ 2 λ s +1 )u 2 + ... + (ξ s +1λ s +1 )u s +1 = θ.
Scăzând egalităţile (7) şi (8) termen cu termen, obţinem
ξ1 (λ 1 − λ s +1 )u 1 + ξ 2 (λ 2 − λ s +1 )u 2 + ... + ξ s (λ s − λ s +1 )u s = θ. Prin urmare, din ipoteza de inducţie (u1,u2,....,us liniar independenţi) rezultă ξ j (λ j − λ s +1 ) = 0, (∀) j ∈ Ns . Cum prin ipoteză
λ j ≠ λ s+1 , (∀) j ∈ N s , deducem că ξ j = 0, (∀) j ∈ N s . Prin urmare, din ξ1u1 + ξ 2 u 2 + ... + ξs u s + ξs+1u s+1 ≡ θ , rezultă
ξs+1u s+1 = θ . Deoarece
u s +1 ≠ θ, rezultă ξ s +1 = 0 .
2) Fie ξ1 ,...., ξ k , ηk +1 ,...ηq , µ k +1 ,..., µ q ∈ R astfel încât (9)
(ξ1u1 + ... + ξ k u k ) + (ηk +1v k +1 + .... + ηq v q ) + + (µ k +1w k +1 + .... + µ q w q ) = θ.
Deoarece vj=Re(uj), wj=Im(uj), avem 1 i u j − u j , (∀) j ∈ {k + 1,....., q}, de unde în baza v j = (u j + u j ), w j = 2 2i Propoziţei 1.26.8., rezultă λ j ∈ σ(A), u j ∈ VPA (λ j ), (∀) j ∈ {k + 1,..., q}. Prin urmare, relţia (9) se poate scrie sub forma 1 µq µ 1 vq + (ξ1u1 + ... + ξ k u k ) + ηk +1 + k +1 v k +1 + ... + ηq + 2 2 i 2
(
)
112
1 µq µ 1 + ηk +1 − k +1 u k +1 + ... + ηq − i 2 i 2
u q = θ ,
iar u j ∈ VPA (λ j ), j ∈ {1,..., k , k + 1,..., q}, u j ∈ VPA (λ j ), j ∈ {k + 1,..., q}, sunt elementele proprii corespunzătoare unor valori proprii distincte (am presupus β j > o, (∀) j ∈ {k + 1,..., q}, deci la baza afirmaţiei 1) deducem că {u1 ,..., u k , u k +1 ,..., u q , u k +1 ,..., u q } ⊂ C m sunt liniar independente, deci
µp µ 1 1 ηp − p = 0 = 0, ξ j = o, (∀) ∈ {1,2,...k}, ηp + 2 i 2 i (∀)p ∈ {k + 1,..., q} .Prin urmare, ξ j = 0, (∀) j ∈ {1,2,..., k}, ηp = 0, µ p = 0, (∀)p ∈ {k + 1,..., q} . Propoziţia este astfel demonstrată. ■
Astfel, în exemplul 2 de la 1.26.6, luând u1 = (1,2,1) T ∈ VPA (1), u 2 = (3,5,4) T + i(−3,−3,0) T ∈ VPA (2 + 3i),
deducem, că u1=(1,2,)T, v2 =(3,5,4)T, w2=(-3,-3,0)T sunt elemente liniar independente în R3 . Mai mult, B={u1, v2, w2} este o bază în R3. Fie A ∈ M m (C) şi un polinom de gradul n cu coeficienţi în C. 1.26.11. Definiţie. Matricea, notată Q(A), definită prin Q(A)=a0An+a1An-1+....+an-1A+anIm se numeşte polinom de matricea A definit de Q. 1.26.12. Teoremă (Hamilton-Cayley). Fie A ∈ M m (C). Dacă K A (λ ) este polinomul caracteristic al matricei A, atunci u 3 = (3,5,4)T − i(−3,−3,0)T ∈ VPA (2 − 3i),
K A (A ) = θ ∈ M m (C). Demonstraţie. Fie
A* (λ) matricea
adjunctă a matricei (A − λI m ).
*
Matricea A (λ) este matricea complemenţilor *
algebrici ai matricei
A − λI m . Deci, fiecare element al matricei A (λ) va fi un polinom în λ de grad mai mic sau egal cu m.
113
Prin *
A * (λ )
urmare, m −1
se
poate
scrie
sub
forma
m−2
A (λ ) = λ B0 + λ B1 + ... + Bm−1, unde B0, B1,....,Bm-1 sunt matrici de ordinul m.Deci ( A − λI m )A * (λ ) = = ABm −1 + (ABm −2 − Bm −1 )λ + (ABm −3 − B m − 2 )λ2 + ... + B0 λm Deoarece (A − λI m )A * (λ) = det(A − λI m )I m , adică (A − λI m )A * (λ) =
K A (λ )I m . Ţinând seama de această relaţie şi de faptul că polinomul K A (λ) are forma: K A (λ) = α 0λm + α1λm −1 + ... + α m , deducem că ABm −1 = α m I m ABm −2 − Bm −1 = α m −1I m | A ABm −3 − Bm −2 = α m − 2 I m
| A2
.......................................... − B0 = α 0 I m | A m Înmulţind a doua egalitate cu A, a treia egalitate cu A2, ..., ultima eglitate cu Am şi dunând termen cu termen egalităţile obţinute, obţinem α 0 A m + α1A m−1 + ... + α m −1A + α m I m = θ, deci K A (A ) = θ .■
1.26.13 Observaţie. Dacă ecuaţia caracteristică A ∈ M m (C) are rădăcinile multiple λ 1 , λ 2 ,..., λ p , cu ordinele de multiplicitate m1, m2,....,mp, (m1+m2+....+mp=m), atunci elementele subspaţiilor VPA (λ p ), k ∈ N p se vor obţine pe aceiaşi cale ca cea descrisă în Observaţia 1.26.5. Fie λ k ∈ σ(A) o valoare proprie fixată. Dacă rk este ragul matricei A − λ k I m , atunci dimensiunea subspaţiului VPA (λ k ) este egală cu m-rk. Se poate arăta că m k ≥ m − rk . Prin urmare, dacă ecuaţia caracteristică K A (λ ) = 0 are o rădăcină λ k cu ordinul de multiplicitate mk, atunci numărul 114
maxim de elemente liniar independente VPA (λ k ) este mk.
ale
subspaţiului
1.26.14. Test de autoevaluare 1. Să se determine σ(A) şi pentru orice λ ∈ σ(A ) să se determine VPA (λ) pentru fiecare din următoarele matrice: 5 − 2 1 2 0 7 −2 0 4 a) A = 0 2 0 ; b) A = − 2 6 − 2 ; c) A = − 2 − 2 1 ; − 2 0 1 0 −2 5 −1 −1 1 1 1− i 0 0 1 1 1+ i ; e) A = ; f) A = 1 + i 3 i . d) A = −1 0 1 − i 3 0 − i 1 R. a) σ(A) = {1,2}, λ1 = 1 are ordinul de multiplicitate 2.
VPA (1) = {α(1,0,0) T + β(0,0,1) T | α, β ∈ R}, VPA (2) = {γ (2,1,−2) T | γ ∈ R}; b) σ(A) = {−2,4}, λ = 4 are ordinul de multiplicitate 2. T T 1 1 VPA (−2) = {α(2,1,1) T | α ∈ R}, VPA (4) = β − ,1,0 + γ ,0,1 | β, γ ∈ R ; 2 2 c) σ(A) = {1}, λ = 1 are ordinul de multiplicitate 3. VPA (1) =
{α(−1,1,1) | α ∈ R};
{
d)
}
VPA (−i) = β(1,−i )T ; β ∈ C ;
(
)
σ(A) = {i,−i}, e)
(
{
}
σ(A ) = 2 + 3 ,2 − 3 ,
)
(
{
}
VPA (i) = α(1, i )T ; α ∈ C ,
(
)
VPA 2 + 3 =
)
α 1 + i,1 − 3 ; α ∈ C , VP 2 − 3 = β 3 − 1,1 − i ; β ∈ C A T f) σ(A) = {0,1,4}, VPA (0) = {α(1 + 8i,−1 − i) | α ∈ C}; T
T
VPA (1) = {β(1,0,−8 + i) T | β ∈ C}, VPA (4) = {(1 + i,3i,1) T | γ ∈ R}.
2. Folosind teorema lui Hamilton Cayley să se calculeze A-1 şi An în cazurile următoare:
115
a)
1 0 ; A = 1 1
2 0 0 b) A= 0 1 0 . 0 1 1
R.a) K A (A ) = A 2 − 2A + I 2 = θ ∈ M 2 (R ) ⇒ A (2I 2 − A) = (2I 2 − A)A = I 2 ⇒ A −1 = 2I 2 − A; A 2 = 2A − I 2 ⇒ A 3 = A 2 ⋅ A = (2A − I 2 )A = 2A 2 − A = n
= 3A − 2I 2 şi prin inducţie A =nA-(n-1)I2;
b)
2n 1 A −1 = (A 2 − 4A + I3 ); A n = 0 2 0
0 0 1 0 . n 1
3. a) Dacă A ∈ M m (C) şi λ ∈ σ(A ) , atunci să se arate că λp ∈ σ(A p ). b) Dacă A ∈ M m (C) este inversabilă şi λ ∈ σ(A ) , atunci să se arate că λ−1 ∈ σ(A −1 ).
1.27. Funcţionale liniare. Hiperplane în Rm 1.27.1. Definiţie. Se numeşte funcţională liniară orice aplicaţie f : R m → R care are următoarele proprietăţi: (1) f ( x + y) = f ( x ) + f ( y), (∀) x , y ∈ R m , (2) f (λx ) = λf ( x ), (∀)λ ∈ R, (∀) x ∈ R m . 1.27.2. Observaţii. 1.Condiţiile (1) şi (2) se pot grupa în una singură. (3) f (λx + µy) = λf ( x ) + µf ( y), (∀)λ, µ ∈ R, (∀) x , y ∈ R m 2. f (− x ) = −f ( x ), (∀) x ∈ R m ; 3. f (θ) = 0 . 4. Pentru orice λ1 , λ 2 ,....., λ n ∈ R şi orice x1 , x 2 ,...., x n ∈ R m avem f (λ1x1 + λ 2 x 2 + ...... + λ n x n ) = λ1 (f ( x1 ) + λ 2 f ( x 2 ) + .... + λ n f ( x n ).
116
5. Din definiţia 1.27.1 rezultă că, de fapt, o funcţională liniară f : R m → R nu este altceva decât o aplicaţie liniară de la R m la R. 1.27.3 Observaţie. Fie f : R m → R o funcţională liniară şi B={x1, x2,...., xm} o bază a lui Rm. Dacă x B = (ξ1 , ξ 2 ,......, ξ m ) T ∈ R m , atunci x = ξ1x1 + ξ 2 x 2 + ... + ξ m x m şi deci, conform punctului 4 al observaţiei 1.27.2, avem f ( x ) = ξ1f ( x1 ) + ξ 2f ( x 2 ) + .... + ξ mf ( x m ).
Prin urmare, o funcţională liniară este bine determinată dacă îi cunoaştem vlorile f(x1), f(x2),...., f(xm) pe elementele bazei B. Notând ξ1 = f ( x 1 ), ξ 2 = f ( x 2 ),....., ξ m = f ( x m ) şi a = (ξ1 , ξ 2 ,......., ξ m )T ∈ R m , atunci f se poate scrie
sub forma
f ( x ) = α1ξ1 + α 2 ξ 2 + .... + α m ξ m sau (1) f ( x ) =< a , x > . 1.27.4 Definiţie. Dacă f : R m → R este o funcţională liniară şi γ ∈ R , atunci mulţimea H = {x ∈ R m | f ( x ) = γ} = f − ( γ ) se numeşte hiperplan asociat funcţionalei f. Egalitatea f ( x ) = γ , adică α1ξ1 + α 2 ξ 2 + ..... + α m ξ m = γ , se numeşte ecuaţia hiperplanului H. 1.27.5. Observaţie. Dacă f : R m → R este o funcţională liniară, atunci hiperplanul Ker(f ) = {x ∈ R m ; f ( x ) = 0} este un subspaţiu al lui Rm. Ecuaţia acestui subspaţiu este α1ξ1 + α 2 ξ 2 + ....... + α m ξ m = 0 . Mai mult, observăm că dacă x = (ξ1 , ξ 2 ,..., ξ m )T ∈ Ker(f ) , T
şi a= (α1 , α 2 ,..., α m ) ∈ R m , atunci ţinând seama de (1), avem =0, ceea ce înseamnă că elementul a este ortogonal pe orice element x ∈ Ker (f). 117
Elementul a se numeşte element normal, direcţia normală sau vector normal la subspaţiul Ker(f).
= {x ∈ R m | f ( x ) = γ} . Atunci f(h)= γ. Prin f ( x − h ) = f ( x ) − f (h ) = 0, ceea ce înseamnă că x-
Fie acum h ∈ H urmare,
⊂ R m este hiperplan dacă şi numai H = h + Ker (f ) , ceea ce înseamnă
h ∈ Ker (f ). De aici, deducem că H
dacă, pentru orice h ∈ H avem că, hiperplanul H este o varietate liniară având subspaţiul director Ker(f).
Fig.1 De asemenea, se observă că, dacă h ∈ H este un element fixat, atunci pentru orice x ∈ H avem = 0, adică a este ortogonal pe x-h, unde a este vectorul normal la subspaţiul Ker(f). Din acest motiv, vectorul a se numeşte şi element (direcţie, vector) normal la hiperplanul H. (fig.1). Mai remarcăm că hiperplanele din R2 sunt drepte, iar hiperplanele 3 din R sunt planele.
1.27.6. Exerciţiu. Dacă f:Rm → R este o funcţională liniară, atunci să se arate că dim(Ker(f)) = m-1, adică orice hiperplan din Rm are dimensiunea m-1.
1.27.7. Test de autoevaluare 1. Se consideră funcţională liniară f:R3 → R astfel încât f(e1) = 2, f(e2) = -1, f(e3) = 1, unde e1,e2,e3 sunt elementele bazei canonice din R3. 118
a) Să se determine Ker(f) b) Să se determine ecuaţia hiperplanului H = f-1(-2) R a) Ker(f) = {α(1,2,0)T + β(0,1,1)T | α, β ∈ R}
{
}
b) H = (ξ1 , ξ 2 , ξ3 )T ∈ R 2 | 2ξ1 − ξ 2 + ξ3 + 2 = 0 2. Să se scrie ecuaţia hiperplanului H ⊂ R 4 care conţine punctul h = (1,-1, 2,3)T ∈ R 4 şi are vectorul normal a = (-1,3, 1,2)T ∈ R 4 . R H= (ξ1 , ξ 2 , ξ3 , ξ 4 )T ∈ R 4 | −ξ1 + 3ξ 2 + ξ3 + 2ξ 4 − 4 = 0
{
}
1.28. Funcţionale biliniare 1.28.1. Definiţie. Se numeşte funcţională biliniară orice aplicaţie g: Rm × Rm → R care are următoarele proprietăţi: a) g( λx + µy, v) = λg ( x , v) + µg ( y, v) b) g( x , λv + µw ) = λg ( x , v) + µg ( x , w ), pentru orice x,y,v, w ∈ R m şi orice λ, µ ∈ R . 1.28.2. Observaţii. 1. Orice funcţională biliniară, este o funcţională liniară în raport cu primul argument, dacă considerăm al doilea argument constant şi este funcţională liniară în raport cu al doilea argument, dacă considerăm constat primul argument. m 2. g(-x,v) = g(x,-v) = -g(x,v), ( ∀ ) x , v ∈ R ,
3. g(x, θ ) = g( θ ,x) = 0, (∀) x ∈ R m , 1.28.3. Exerciţii. 1. Să se arate că aplicaţia g: Rm x Rm → R, definită prin g(x,y) = , este funcţională biliniară. 2. Fie f1: Rm → R, f2: Rm → R, funcţionale liniare. Să se arate că aplicaţia g: Rm x Rm → R, definită prin g(x,y) = f1(x)⋅f2(y), este o funcţională biliniară. 3. Dacă g:Rm → R este o funcţională biliniară, atunci să se arate că mulţimile. 119
(1)
N1 := {x ∈ R m | g( x, y) = 0, (∀) y ∈ R m },
N 2 := {y ∈ R m | g( x, y) = 0, (∀) x ∈ R m }, sunt subspaţii ale lui Rm. Aceste subspaţii se numesc subspaţiile nule ale funcţionale biliniare g. 1.28.4. Definiţie. O funcţională biliniară g: Rm x Rm → R, se numeşte: (a) simetrică, dacă g(x,y) = g(y,x), (∀) x , y ∈ R m (b) antisimentrică, dacă g(x,y) = -g(y,x), (∀) x , y ∈ R m Dacă g este simetrică, atunci subspaţiile nule N1, N2 ale lui g definite în (1), coincid. În acest caz notăm cu Ng subspaţiul nul al lui g. 1.28.5. Matricea asociată unei funcţionale biliniară Fie g: Rm x Rm → R o funcţională biliniară şi B = {x1,x2,…,xm} o bază a lui Rm. Considerăm în Rm elementele. x = α1x1 + α 2 x 2 + ... + α m x m y = β1x1 + β 2 x 2 + ... + β m x m Atunci avem m m m m g(x,y)=g ∑ α i x i , ∑ β j x j = ∑ ∑ α iβ jg(x i , x j ) j=1 i =1 i =1 j=1 Prin urmare, dacă notăm aij = g(xi,xj), i,j ∈ N m , atunci m
(2)
m
g(x,y)=g ∑∑ a ijα iβ j i =1 j=1
Relaţia (2) constituie forma analitică a lui g şi pune în evidenţă matricea
120
a 11 a 12 ... a 1m a 21 a 22 ... a 2 m A = , M M M M a m1 a m 2 ... a mm care se numeşte matrice asociată funcţionalei biliniare g în baza B. Relaţia (2) se poate scrie sub forma matricială. a 11 a 12 ... a 1m β1 a 21 a 22 ... a 2 m β 2 , g(x,y) = (α1 , α 2 ,..., α m ) M M M M M a m1 a m 2 ... a mm β m adică (3) g(x,y) = xTAy, ceea ce reprezintă expresia matricială a lui g în baza B 1.28.6. Exerciţii. 1. Fie g: Rm x Rm → R o funcţională biliniară şi A matricea asociată lui g într-o bază dată Rm . a) Să se arate că g este simetrică dacă şi numai dacă, matricea A este simetrică (adică A=AT); b) Să se arate că g este antisimetrică dacă şi numai dacă, matricea A este antisimetrică (adică A = -AT). 2. Fie g: Rm x Rm → R o funcţională biliniară şi A matricea asociată lui g într-o bază B ⊂ Rm. Dacă B' este o altă bază a lui Rm şi C este matricea de trecere de la baza B la baza ~ B' , atunci să se arate că matricea A , asociată lui g în baza B' se calculează după formula: ~ (4) A = C T AC . 1.28.7. Test de autoevaluare 1. Să se arate că aplicaţia g: R2 x R2 → R, definită prin T g(x,y)= α1β1 − 2α1β 2 + 3α 2β 2 , x = (α1 , α 2 ) T , y = (β1β 2 ) ∈ R 2 , 121
este o funcţională biliniară. Să se scrie matricea A asociată lui g în baza canonică. 1 − 2 0 3
R A =
2. Să se arate că dacă g: Rm x Rm → R este o funcţională biliniară şi simetrică, atunci subspaţiile nule ale lui g coincid. 3. Fie aplicaţia g: R3 x R3 → R, definită prin 28 g(x , y ) = 2α1β1 + 3α 2β 2 + α 3β 3 − α1β 2 − 2α1β3 − 5 − α 2β1 + 4α 2β 3 − 2α 3β1 + 4α 3β 2 , T
T
(∀) x = (α1 , α 2 , α 3 ) , y = (β1 , β 2 , β3 ) ∈ R 3 a) Să se scrie matricea A a lui g în raport cu baza canonică din R3 şi să se arate că g este simetrică. b) Să se determine subspaţiul Ng al lui g. ~ c) Să se găsească matricea A a lui g în raport cu baza {(1,1,1)T, (2,-1,2)T, (1,3,-3)T a lui R3 R: 2 −1 − 2 a) A = − 1 3 4 este o matrice simetrică. − 2 4 2815
b) Ng = {y ∈ R 3 g(x , y ) = 0, (∀)x ∈ R 3 } = {α(2,−6,5)T α ∈ R}
635 ~ c) A = 3615 − 2915
3615 2715 215
− 2915 215 6715
4. Fie g: Rm x Rm → R o funcţională biliniară. Definim aplicaţiile gs: Rm x Rm → R şi ga: Rm x Rm → R prin: 1 g s (x , y ) = [g (x , y ) + g (y, x )] 2
şi respectiv: 122
g a (x , y ) =
1 [g(x, y) − g(y, x )] 2
Să se arate că gs este o funcţională biliniară simetrică, iar g este o funcţională biliniară antisimetrică. a
1.29 Funcţionalele pătratice 1.29.1 Definiţie. Se numeşte funcţională pătratică orice aplicaţie h: Rm → R cu proprietatea că există o funcţională biliniară simetrică g: Rm x Rm → R astfel încât: (1) h(x) = g(x,x), (∀)x ∈ R m Funcţionala biliniară simetrică g se numeşte polara funcţionalei pătratice h. 1.29.2 Observaţie. Dacă h: Rm x R este o funcţională pătratică, atunci polara sa, g: Rm x Rm → R este unic determinată. Într-adevăr, pentru orice x , y ∈ R m avem: h (x + y ) = g(x + y, x + y ) = g(x, x ) + g(x, y ) + g(y, x ) + + g(y, y ) = h (x ) + 2g(x , y ) + h (y ) de unde rezultă: g(x, y ) =
1 [h(x + y) − h(x ) − h(y )] 2
1.29.3 Exerciţiu. Dacă h: Rm → R este o funcţională pătratică, atunci să se arate că: a) h (λx ) = λ2 h (x ), (∀)λ ∈ R, (∀)x ∈ R m , b) h (− x ) = h (x ), (∀)x ∈ R m , c) h (θ) = 0 d)
0 2 1 −1 −1 −1 0 −1 − 2
123
1.29.4 Observaţie Fie h: Rm → R o funcţională pătratică şi g: Rm x Rm → R forma polară a lui h. Dacă A este matricea lui g într-o bază dată a lui Rm, atunci din 1.28.5 rezultă că h se poate scrie sub următoarea formă matriceală: (2) h(x) = xTAx De asemenea din relaţia (2) se la 1.28.5 deducem expresia analitică a lui h într-o bază dată B ∈ R m m
(3)
m
h (x ) = ∑∑ a ij α i α j , x = (α1 , α 2 ,...α m ) ∈ R m T
i =1 j=1
notaţiile fiind aceleaşi ca la 1.28.5 1.29.5 Forma canonică a unei funcţionale pătratice Expresia analitică a unei funcţionale pătratice h: Rm → R depinde evident de baza considerată în Rm. Se pune problema de a vedea dacă există o bază în Rm astfel încât h să aibă următoarea expresie analitică: (4) h (x ) = λ1α12 + λ 2 α 22 + ... + λ m α 2m , T
x = (α1 , α 2 ,...α m ) ∈ R m , adică să conţină numai pătratele T
coordonatelor elementului x = (α1 , α 2 ,...α m ) ∈ R m . Expresia analitică a lui h din (4) se numeşte forma canonică a expresiei lui h. Dacă folosim scrierea matriceală (2) deducem că pentru forma canonică a expresiei lui h avem următoarea exprimare matriceală. 0 α1 λ1 0 0 α 2 0 λ2 (5) h (x ) = (α1 , α 2 ,...α m ) ... ... ... ... M 0 0 ... λ α m m Prin urmare matricea corespunzătoare formei canonice a lui h este o matrice diagonală.
124
Există mai multe metode de a obţine forma canonică a expresiei unei funcţionale pătratice h. Expunem în continuare două din aceste metode.
1. Metoda lui Gauss Considerăm o funcţională pătratică h: Rm → R având în baza canonică din Rm expresia analitică din relaţia (3). Deoarece matricea A este nenulă (astfel h ar fi identic nulă) rezultă că există cel puţin un element aii ≠ 0 . Deosebim două cazuri. a) Admitem cazul când aii ≠ 0 . Putem admite chiar a11 ≠ 0 , deoarece în caz contrar renumerotăm convenabil coordonatele α1 , α 2 ,..., α m ale lui a. Ordonând termenii lui h(x) după coordonata α 1 vom putea scrie:
h (x ) = a 11 α 12 + 2(a 12 α 1α 2 + ... + a 1m α 1α m ) + ϕ(α 2 ,..., α m ) unde ϕ1 este expresia analitică a unei forme pătratice numai în coordonatele α1 , α 2 ,..., α m . Adăugând sau scăzând acei termenii necesari pentru a obţine pătratul expresiei a 11α1 + a 12 α 2 + ... + a 1m α m , vom obţine: 1 h (x ) = (a11α1 + a12α 2 + ... + a1mα m )2 + h1 (x ), a11 1 (a12 α 2 + ... + a1m α m )2 , este o unde: h 1 (x ) = ϕ1 (α 2 ,..., α m ) − a 11 formă pătratică conţinând numai coordonatele α1 , α 2 ,..., α m . Prin schimbarea de coordonate: (6) β1 = a 11α1 + ... + a 1m α m , β 2 = α 2 ,..., β m = α m obţinem pentru h expresia: 1 2 T (7) h (x ) = β1 + ϕ 2 (β 2 , β 3 ,...β m ) , y = (β 2 , β 3 ,...β m ) ∈ R m , a 11 125
unde ϕ 2 este expresia unei forme pătratice conţinând numai coordonatele β 2 , β 3 ,...β m . Matricea de trecere de la baza canonică la baza B1 construită cu schimbarea de coordonate din (6) este: a 11 a 12 ... a 1m 1 ... 0 0 −1 C1 = , ... ... ... ... 0 0 ... 1 iar h(x) din relaţia (7) constituie expresia lui h în baza B1. Continuăm procedeul pentru funcţionala pătratică m
m
ϕ 2 (β 2 , β3 ,...β m ) = ∑∑ b ijβ iβ j , i = 2 j= 2
Din aproape în aproape, după un număr finit de paşi, obţinem baza B în raport cu care h are forma canonică. b) În cazul în care a ii = 0, (∀) i ∈ N m , atunci există cel puţin un element a ii ≠ 0 cu i ≠ j . În acest caz, cu schimbarea de coordonate (presupunând a ij ≠ 0 )
β1 = α1 + α 2 , β 2 = α1 − α 2 , β 3 = α 3 ,..., β m = α m , pentru care matricea de trecere este: 1 1 0 ... 0 1 − 1 0 ... 0 C1−1 = 0 0 1 ... 0 , ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1
(
)
m
m
obţinem: h (y ) = a 12 β − β + ∑∑ b ijβiβ j , 2 1
2 2
i =1 j=1
Am ajuns la cazul a) deoarece a 12 ≠ 0 126
De exemplu, folosind metoda lui Gauss, să determinăm forma
R 3 → R , definită prin: T h (x ) = α1α 2 − 2α1α 3 + α 2 α 3 , x = (α1 , α 2 , α 3 ) ∈ R 3
canonică a funcţionalei pătratice h:
a 12 ≠ 0 . Facem schimbarea de coordonate β1 = α1 + α 2 , β 2 = α1 − α 2 , β3 = α 3 ,
Avem
cu matricea de trecere
C1−1
1 1 0 = 1 −1 0 0 0 1 T
y = (β1 , β 2 , β 3 ) ∈ R 3 . În noua bază avem:
deci x = C1y, unde
2
β 1 h (y ) = β12 − β 22 − β1β3 − 3β 2β3 = β1 − 3 − β 22 − β32 − 3β 2β3 2 4 Facem schimbarea de coordonate 1 γ1 = β1 − β3 , γ 2 = β 2 , γ 3 = β 3 2 cu matricea de trecere 1 1 1 2 −1 C2 = 1 1 0 0 0 1 deci y = C2z , unde
T
z = (γ 1 , γ 2 , γ 3 ) ∈ R 3
Obţinem: 2
1 2 3 γ 3 = γ12 − γ 2 + γ 3 + 2 γ 32 4 2 Mai departe facem schimbare de coordonate 3 η1 = γ1 , η2 = γ 2 + γ 3 , η3 = γ 3 2 cu matricea de trecere
(
)
h (z ) = γ12 − γ 22 + 3γ 2 γ 3 −
127
C3−1 şi deci z = C3u , unde
1 0 = 0 1 0 0
0 3 2 1 T
u = (η1 , η2 , η3 ) ∈ R 3 , iar h devine
h (u ) = η12 − η22 + 2η32 care este forma conică a lui h. Deoarece x =C1y, y =C2z, z =C3u, obţinem x =(C1C2C3)u. Prin urmare, matricea C = C1C2C3 este matricea de trecere de la baza conică la baza B în care h are forma conică.
2. Metoda lui Jacobi Fie h: Rm → R o funcţională pătratică g: Rm x Rm → R polara lui h şi a 11 a 12 ... a 1m a 21 a 22 ... a 2 m A= M M M M a m1 a m 2 ... a mm matricea formei biliniare simetrice g în baza canonică E = {e1, e2,…,em}. Să presupunem că în matricea A următorii minori sunt nenuli: a 11 a12 a 13 a 11 a12 (8) ∆1 = a 11 , ∆ = , ∆ = a 21 a 22 a 23 ,…, ∆ m = det (A ) . a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 Vom căuta o bază B = {v1 , v 2 ,..., v m }∈ R m astfel încât:
v1 = γ11e1 v 2 = γ12 e1 + γ 22 e 2 ……………….. v m = γ1m e1 + γ 2 m e 2 + ... + γ mm e m Pentru determinarea coeficientului
( ) g (e jν j ) = 1,
γ ij expunem condiţiile:
g e i ν j = 0, i ∈{1,2,... j − 1}, j ∈ N m , j∈ Nm
128
Obţinem următorul sistem de ecuaţii liniare în necunoscutele
γ1 j , γ 2 j ,..., γ jj
a 11γ1 j + a 21γ 2 j + .... + a j1γ jj = 0 a 12 γ1 j + a 22 γ 2 j + .... + a j2 γ jj = 0 ........................................ a 1 j γ1 j + a 2 j γ 2 j + .... + a jj γ jj = 1 Cum determinantul acestui sistem este chiar
∆ j ≠ 0 sistemul are
soluţie unică. În particular,
γ jj =
∆ j−1 ∆j
.
~ Fie acum B = bij ∈ M m (R ) matricea asociată formei pătratice h în
( )
bază B. Atunci, pentru orice i ∈{1,2,... j − 1} avem:
j b ij = g ν i , ν j = g γ kje k , ν j = k =1
(
Cum
)
∑
j
∑ γ g(e kj
k ,νj
)= 0
k =1
~ B este simetrică, avem şi bji = 0. Mai departe:
j ∆ j−1 b jj = g ν j , ν j = g γ kje k , ν j = γ jjg e j , ν j = γ jj = ∆j k =1 Prin urmare, în baza B avem: ∆ 1 2 ∆1 2 (9) h (y ) = β1 + β 2 + ... + m −1 β 2m ∆1 ∆2 ∆m
(
unde:
)
∑
(
)
T
y = x B = (β1 , β 2 ,..., β m ) ∈ R m .
De exemplu folosind metoda lui Jacobi, să determinăm forma canonică a funcţionalei pătratice h: R3 → R, definită prin: 5 h (x ) = α12 − 4α1α 2 + α 2 α 3 + 12α 22 − 10α 2 α 3 + α 32 2 unde: x = (α1 , α 2 , α 3 )T ∈ R 3 Funcţionala pătratică g: R3 x R3 → R, polara lui h, este 1 g(x, y ) = α1β1 − 2α1β 2 + α1β3 − 2α 2β1 + 12α 2β 2 − 2
129
1 5 − 5α 2β3 + α 3β1 − 5α 3β 2 + α 3β3 , 2 2 unde: y = (β 2 , β 3 , β3 )T ∈ R 3 Matricea A asociată lui g în baza canonică este: 1 1 −2 2 A = − 2 12 − 5 1 −5 5 2 2 Minorii ∆1 , ∆ 2 , ∆ 3 sunt:
1 −2 = 8, ∆ 3 = det (A ) = 2 − 2 12 Putem aplica metoda lui Jacobi: v1 = γ11e1 v 2 = γ12 e1 + γ 22 e 2 ∆1 = 1, ∆ 2 =
Fie
v 3 = γ13e1 + γ 23e 2 + γ 33e 3 , adică v1 = (γ11 ,0,0)T , v 2 = (γ12 , γ 22 ,0 )T , v 3 = (γ13 , γ 23 , γ 33 )T . Deoarece a11 = 1, avem g(e1 , v1 ) = g(e1 , γ11e1 ) = γ11g(e1 , e1 ) = γ11a 11 = γ11 , deci, din condiţia g(e1 , v1 ) = 1 , rezultă γ11 = 1 . Prin urmare , v1 = (1,0,0 )T . Pentru a determina
γ12 şi γ 22 se impun condiţiile:
g(e1 , ν 2 ) = 0 g(e 2 , ν 2 ) = 1 de unde obţinem: γ12 − 2γ 22 = 0 − 2γ12 + 12γ 22 = 1 T
1 1 1 1 , γ 22 = , Deci v 2 = , ,0 4 8 4 8 Pentru a determina γ13 , γ 23 , γ 33 se impun condiţiile:
Găsim γ12 =
130
g(e1 , v 3 ) = 0 g(e 2 , v 3 ) = 0 g(e , v ) = 1 3 3 de unde obţinem:
1 γ13 − 2 γ 23 + 2 γ 33 = 0 − 2γ13 + 12γ 23 − 5γ 33 = 0 1 5 γ13 − 5γ 23 + γ 33 = 1 2 2 Găsim γ13 = 2, γ 23 = 2, γ 33 = 4 şi deci v = (2,2,4)T În
baza
B,
formată
din
elementele
T
v1 = (1,0,0 ) ,
T
1 1 v 2 = , ,0 , v3 = (2,2,4)T , obţinem forma canonică a lui h ca fiind: 4 8 1 2 ∆1 2 ∆ 2 2 1 h (z ) = η1 + η2 + η3 , adică : h (z ) = η12 + η22 + 4η32 , unde ∆1 ∆2 ∆3 8 z = (η1 , η 2 , η3 )T = x B .
1.29.6.Clasificarea formelor pătratice Vom spune că o funcţională pătratică h: Rm → R, este pozitiv definită (respectiv, negativ definită) dacă h(x)>0 (respectiv, h(x) 0 , (∀) i ∈ N m M M M M M i 0 0 0 ... λ 1 În consecinţă, ∆1 = λ1 , ∆ 2 = λ1λ 2 ,..., ∆ m = λ1λ 2 ...λ m sunt strict pozitive. Reciproc, dacă ∆1 > 0 , ∆ 2 deducem că h este pozitiv diferită.
> 0,..., ∆ m > 0, atunci din relaţia (9)
Test de autoevaluare 1. Fie g:R3 x R3 → R , definită prin: 28 g ( x , g ) = 2α1β1 + 3α 2 y 2 + α 3β 3 − α1β1 − 2α1β3 − α 2β1 + 5 + 4α 2β 3 − 2α 3β1 + 4α 3β 2 unde x( α1 , α 2 α 3 ) T ,
T
y = (β1 , β 2 , β3 ) ,
a) Să se arate că g este formă biliniară simetrică. b) Să se scrie funcţionala pătratică h: R3 → R,asociată lui g.
132
c) Să se determine forma canonică a lui h şi să se precizeze baza în care se realizează forma canonică. d) Să se reia acest exerciţiu şi pentru aplicaţiile:
(d1 )g1 (x, y ) = α1β1 + 5α 2β 2 + α 3β3 + α1β 2 + 3α1β3 + α 2β1 + + α 2β 3 + 3α 3β1 + α 3β 2
(d 2 )g 2 (x, y ) = α1β1 + α 2β 2 + 4α 3β3 + α1β 2 + 2α1β3 + α 2β1 + + 2 α 2 β 3 + 2 α 3β 1 + 2 α 3β 2
(d 3 )g 3 (x , y ) = 2α1β1 + α 2β 2 + 2α 3β3 − α1β 2 − α 2β1 + α 2β3 + α 3β 2 R. a) vezi exerciţiu 3 de la 1.28.7. 28 b) h(x) = 2 α12 + 3α 22 + α 32 − 2α1α 2 − 4α1α 3 + 8α 2 α 3 , 5 T 3 ( α1 , α 2 , α 3 ) ∈ R . c)
Cu
metoda
lui
(β1 , β 2 , β 3 ) T ∈ R 3 , unde β1 =
Gauss
găsim
h(y)
=
β12 + β 22 ,
x =
y
=
25 α 2 + 3α 3 , β3 = α 3 . 52
Din acestea obţinem:
α1 =
1 2
β1 +
1
2 2 6 β 2 + β3 , α 2 = β 2 − β3 , α 3 = β3 5 5 5 10
şi
deci
T T T 1 2 2 6 1 ,0,0 , , ,0 , ,− ,1 este bază în care h are forma B= 10 5 5 5 2 canonică. 1 1 3 1 1 2 2 −1 0 d) a)A1= 1 5 1 ; A 2 = 1 1 2 ; A 3 = − 1 1 1 sunt 3 1 1 2 2 4 0 1 2 matrice simetrice. b) h1 ( x ) = α12 + 5α 22 + α 32 + 2α1α 2 + 6α1α 3 + 2α 2 α 3 ;
h 2 ( x ) = α12 + α 22 + 4α 32 + 2α1α 2 + 4α1α 3 + 4α 2 α 3 ; h 3 ( x ) = 2α12 + α 22 + 2α 32 − 2α1α 2 + 2α 21α 3 ; c) h1 ( y) = β12 + β22 − β32 ; h 2 ( y) = β12 ; h 3 ( y) = β12 + β22 ;
133
T 1 1 7 1 1 B1 = (1,0,0)T , − , ,0 , − , , ; 2 2 6 6 3
{
}
B 2 = (1,0,0 )T , (− 1,1,0)T , (− 2,0,1)T ; T T 1 1 B3 = ,0,0 , , 2 ,0 , (− 1,−2,1)T . 2 2
2. Fie g: R3 x R3 → R funcţionala biliniară a cărei matrice
în baza canonică a lui R3 este 0 2 1 A= − 1 − 1 − 1 0 −1 − 2 a) Să se determine expresia analitică a lui g. b) Să se determine funcţională biliniară simetrică gs asociată lui g (vezi exerciţiul 4 de la 1.28.7) c) Să se afle spaţiile nule ale lui g d) Să se stabilească forma canonică a funcţionalei pătratice h: R3 → R asociate lui gs şi să se precizeze o bază în care se realizează această formă canonică. R. a) g(x,y) = x T Ay = 2α1β1 + α1β2 − α 2β1 − α 2β2 − α3β3 − −α 3β 2 − 2α 3β3 , x = (α1 , α 2 , α 3 )T , y = (β1 , β 2 , β3 )T ∈ R 3 1 1 b) g s ( x , y) = (g ( x , y) + g(y, x )) = x T Ay + y T Ax = 2 2 = 2α1β1 − α 2β 2 − 2α 3β3 − α 2β3 − α 3β 2 ,
(
)
x = (α1 , α 2 , α 3 )T , y = (β1 , β 2 , β3 )T ∈ R 3
{ = {y ∈ R
} { | g( x , y) = 0, ∀x ∈ R }= {µ(1,−2,1)
} | µ ∈ R}
c) N1 = x ∈ R 3 | g ( x, y) = 0, ∀y ∈ R 3 = λ(1,2,−1)T | λ ∈ R N2
3
3
T
d) h(x)= 2α12 − α 22 − 2α 32 − 2α 2 α 3 , x = (α1 , α 2 , α 3 )T ∈ R 3
134
Forma
canonică
a
lui
h
este
h (y ) = β12 − β 22 − β32 ,
y = (β1 , β 2 , β3 )T ∈ R 3 , iar baza în care se realizează aceasta este T 1 B = ,0,0 , (0,1,0)T , (1,−1,1)T . 2
135
CAPITOLUL II ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ 2.1. Mulţimea numerelor reale Vom presupunem cunoscută structura algebrică, de corp comutativ total ordonat, a numerelor reale. Această structură algebrică se completează cu axioma lui Cantor. Pentru a enunţa axioma lui Cantor avem nevoie de câteva noţiuni suplimentare. 2.1.1. Definiţie. Fie A o mulţime de numere reale. Vom spune că mulţimea A este majorată (sau marginită superior) dacă există un element β ∈ R astfel încât a ≤ β , pentru orice a ∈ A . Numărul β se numeşte majorant al mulţimii A. Vom spune că mulţimea A este minorată (sau mărginită inferior) dacă există un elemente α ∈ R astfel încât α ≤ a , pentru orice a ∈ A . Numărul α se numeşte ninorant al mulţimii A. Vom spune că mulţimea A este mărginită dacă este şi minorată şi majorată, adică dacă există numerele reale α şi β astfel încât α ≤ a ≤ β pentru orice a ∈ A . 2.1.2. Observaţie. Dacă β este majorant al mulţimii A şi dacă β < β' , atunci şi β' este un majorant al lul A. De asemenea, dacă α este un minorant al mulţimii A şi dacă α' < α, atunci şi α' este un minorant al mulţimii A. 2.1.3. Definiţie. Fie A o mulţime de numere reale. Un element ξ ∈ R se numeşte margine inferioară a mulţimii A dacă: 1) ξ ≤ a pentru orice a ∈ A ( ξ este minorant pentru A);
136
2) oricare ar fi α > ξ , există cel puţin un număr a0 ∈ A astfel încât ξ < a 0 < α (nici un număr α > ξ nu este minorant, adică ξ este cel mai mare minorant) Notăm ξ = inf A (se citeşte “imfimumm A”). Dacă ξ = inf A ∈ A, atunci notăm ξ = min A (se citeşte minimumm A”. 2.1.4. Definiţie. Fie A o mulţime de numere reale. Un element η ∈ R se numeşte margine superioară a mulţimii A dacă:1) η ≥ a pentru orice a ∈ A ( η este majorant pentru A); 2) oricare ar fi β < η , există cel puţin un număr a0 ∈ A astfel încât β < a 0 < η (nici un număr β < η nu este majorant, adică η este cel mai mic majorant). Notăm η = sup A (se citeşte “supremumm A”). Dacă η = sup A ∈ A, atunci notăm η = max A (se citeşte maximumm A”. 2.1.5. Exemple. 1) Fie A = (1,+ ∞ ). Mulţimea minoranţilor lui A este ( − ∞,1] , cel mai mare minorant fiind 1; deci inf A = 1. Mulţimea A nu are majoranţi şi deci nu este o mulţime mărginită. 2) Fie A=( − ∞,2] . Mulţimea majoranţilor lui A este [2, ∞ ), cel mai mic majorant fiind 2; deci supA=2. Mulţimea A nu are minoranţi şi deci nu este mărginită. 3) Fie A=[2,3). Mulţimea minoranţilor lui A este ( − ∞,2] cel mai mare minorant fiind 2; deci infA=2. Mulţimea majoranţilor lui A este [3, ∞ ), cel mai mic majorant fiind 3; deci sup A=3. Se impune observaţia că, infA şi supA pot să aparţină sau pot să nu aparţină mulţimii A. Astfel, inf (1, ∞ )=1 ∉ (1, ∞ ), inf[2,3)=2 ∈ [2,3], sup(- ∞,2] =2 ∈ (- ∞,2] , sup[2,3)=3 ∉ [2,3).
137
2.1.6. Axioma lui Cantor. Orice mulţime nevidă şi majorată a lui R are margine superioară. Importanţa acestei axiome rezidă din faptul că ea conferă unicitate mulţimii numerelor reale în sensul că, dacă la structura algebrică a oricărui corp total ordonat adăugăm axioma lui Cantor atunci acel corp coincide cu mulţimea numerelor reale. 2.1.7. Exerciţii.1. Dacă A ⊂ R este o mulţime nevidă şi minorantă, atunci să se arate că A are margine inferioară şi, în plus, infA=-sup(-A). 2. Fie A, B submulţimi nevide şi mărginite ale lui R astfel încât A ⊂ B Să se arate că (a) supA ≤ supB; (b) inf A ≥ infB. 2.1.8. Convenţie. Deoarece mulţimea vidă ∅, este conţinută în orice mulţime de numere reale, atunci se fac convenţile: inf∅= + ∞ şi sup∅ = - ∞ . 2.1.9. Teoremă (Principiul lui Arhimede) Pentru orice două numere reale distincte, x , y ∈ R, y > 0 , există un număr natural n ∈ N astfel încât ny > x. Demonstraţie. Într-adevăr, să presupunem prin absurd, că afirmaţia din anunţ este falsă. Atunci există x , y ∈ R , y > 0 astfel încât pentru orice
n ∈ N avem ny < x. Rezultă că mulţimea A := {ny ∈ R; n ∈ N} este majorată ( x fiind majorant), deci, în baza axiomei lui Cantor, există ξ = sup A . Deoarece ξ − y < ξ urmează că există m ∈ N astfel încât ξ − y < my , adică (m + 1)y > ξ. Prin urmare (m + 1)y ∈ A şi (m + 1)y > ξ contrazic faptul că ξ = sup A . În consecinţă, afirmaţia din anunţ este adevărată.■
Corolar. Dacă x ≥ 0 şi dacă x < ε pentru orice ε > 0, atunci x = 0. Într-adevăr, dacă, prin absurd, x > 0, atunci există n ∈ N astfel încât nx > 1 (am aplicat principiul lui Arhimede pentru
138
numerele x şi 1), adică x >
1 , ceea ce contrazice ipoteza n
1 pentru ε = . n 2.1.10. Observaţie. Urmând un raţionament analog demonstraţiei din Teorema 2.1.9, se poate arăta că, pentru orice x , y ∈ R cu y > 0, există m ∈ Z astfel încât my ≤ x . Prin urmare, pentru orice numere reale x , y ∈ R cu y > 0 , se pot determina numerele întregi m, n ∈ Z astfel încât my ≤ x < ny . Examinând perechile (m, m+1), (m+1, m+2),…, (n-1, n) va exista una, de exemplu (p, p+1), astfel încât să avem py ≤ x < p + 1 . Prin urmare, pentru orice x , y ∈ R cu y > 0, există un unic număr întreg p ∈ Z astfel încât: py ≤ x < (p + 1)y Pentru y = 1, relaţia precedentă devine: p ≤ x < (p + 1) Numărul întreg, p ∈ Z unic determinat, având proprietatea precedentă, se numeşte partea întreagă a lui x şi se notează prin [x]. Numărul {x}:= x – [x] se numeşte partea zecimală a lui x. Sunt evidenţa următoarele proprietăţi: (a) [ x ] ≤ x < [ x ] + 1 , (b) 0 ≤ {x} < 1 . 2.1.11. Teoremă (Principiul lui Cantor) Fie In=[an,bn], n ∈ N intervale închise astfel încât (a) In+1 ⊂ In , (∀) n ∈ N , 1 (b) bn – an < , (∀) n ∈ N . n Atunci există un unic x 0 ∈ N astef încât I I n = {x 0 } . n ≥1
139
Demonstraţie. Într-adevăr, din In+1 ⊂ In (∀) n ∈ N , deducem că a n ≤ a n +1 ≤ b n +1 ≤ b n , (∀)n ∈ N . Prin urmare mulţimea A := {a n n ∈ N } este majorată (orice bn fiind un majorant), iar mulţimea B := {b n n ∈ N} este minorată (orice an fiind un minorant. Conform axiomei lui Cantor, există ξ = sup A şi µ = inf B . Deoarece este evident faptul că
a n ≤ ξ ≤ µ ≤ b n , (∀)n ∈ N deducem că [ξ, µ] ⊂
II
n
Dacă, prin absurd, există x 0 , y 0 ∈
II
n
cu
şi deci
II
n
≠ 0.
n ≥1
n ≥1
x 0 ≠ y 0 , atunci luând, de
n ≥1
1 , (∀)n ∈ N , ceea ce n contrazice principiul lui Arhimede aplicat numerelor y0 – x0 şi 1, conform
exemplu x0 < y0, deducem că y0 − x 0 < b n − a n < căruia, n (y 0 − x 0 ) > 1, (∀)n ∈ N . Prin urmare
II
n
se reduce la un singur
n ≥1
punct.■
2.1.12. Mulţimea R Vom defini mulţimea R , punând, prin definiţie: R = R ∪ {−∞,+∞}, unde elementele nu sunt numere reale, dar se presupun ordonate astfel încât: − ∞ < +∞ , − ∞ < x < +∞, (∀)x ∈ R şi astfel încât să satisfacă următoarele proprietăţi algebrice: 1. (+ ∞ ) + (+ ∞ ) = +∞ 2. (− ∞ ) + (− ∞ ) = −∞ 3. a + ∞ = (+ ∞ ) + a = +∞, (∀)a ∈ R 4. a + (− ∞ ) = (− ∞ ) + a = −∞, (∀)a ∈ R 5. (+ ∞ ) ⋅ (+ ∞ ) = +∞, (− ∞ ) ⋅ (+ ∞ ) = (+ ∞ ) ⋅ (− ∞ ) = −∞, (− ∞ ) ⋅ (− ∞ ) = +∞ − ∞, a < 0 6. a ⋅ (+ ∞ ) = (+ ∞ ) ⋅ a = + ∞, a > 0 140
+ ∞, a < 0 7. a ⋅ (− ∞ ) = (− ∞ ) ⋅ a = − ∞, a > 0 ±∞ . ±∞ Mai facem observaţia că, +∞ poate fi considerat ca fiind marginea superioară a mulţimilor nemajorate din R, iar - ∞ poate fi considerat ca fiind marginea inferioară a mulţimilor neminorate din R. 2.1.13. Test de autoevaluare 1. Să se determine marginile următoarelor mulţimi: A = (2,5]; B = (-∞,3]; C = (2,+∞); D = {1,3,5,8}; E = [2,7) ∪ {8}; F = {−3,−1} ∪ [0,8]; G = (−∞,3) ∪ {4};
Nu se acordă nici un sens operaţiilor: ∞ − ∞, 0 ⋅ ∞,
H = {4} ∪ [4,+∞) R: infA = 2, supA = 5; supB = 3; infC = 2; infD = 1, supD = 8; infE = 2, sup E = 8; infF = -3, supF = 8; supG = 4; infH = -4.
2. Fie x k ∈ R, k ∈ N n şi λ k ∈ R + , k ∈ N n , astfel încât n
∑λ
k
= 1 . Să se arate că :
k =1
min{x k 1 ≤ k ≤ n} ≤
n
∑λ
k
x k ≤ max{x k 1 ≤ k ≤ n}
k =1
3. Dacă x k ∈ R, k ∈ N n şi λ k ∈ R + , k ∈ N n , atunci să se arate că: n n n ∑ λ k min x k ≤ ∑ λ k x k ≤ ∑ λ k max x k 1≤ k ≤ n k =1 k =1 k =1 1≤ k ≤ n 4. Dacă a k ∈ R, k ∈ N n şi b k ∈ R *+ , k ∈ N n , atunci să se arate că: a a + a 2 + ... + a n a min k ≤ 1 ≤ max k 1≤ k ≤ n b b1 + b 2 + ... + b n 1≤ k ≤ n b k k
141
5. Să se arate că pentru orice x ∈ R cu x>-1 şi pentru orice n ∈ N , are loc inegalitatea: (1 + x )n ≥ 1 + nx 6. 6. Fie a k ∈ R *+ , k ∈ N n , nu toate egale cu 1, astfel încât a1a2….an = 1 Să se arate că: a1 + a2 +…+an > n 7. Fie a k ∈ R *+ , k ∈ N n . Folosind eventual exerciţiul 6, de mai sus, să se demonstreze inegalitatea mediilor: H(a 1a 2 ...a n ) ≤ G (a 1a 2 ...a n ) ≤ A(a 1a 2 ...a n ) n unde: H(a 1a 2 ...a n ) = este media armonică, 1 1 1 + + ... + a1 a 2 an
G (a 1a 2 ...a n ) = n a1a 2 ...a n este media geometrică, a + a 2 + ... + a n A(a 1a 2 ...a n ) = 1 este media aritmetică a n numerelor a 1a 2 ...a n . 8. Să se demonstreze egalitatea lui Botez: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + ... + − = + + ... + , 2 3 4 2n − 1 2n n + 1 n + 2 2n (∀)n ∈ N, n ≥ 1 1 1 9. Să se arate că : I − , = {0} . n n n ≥1 10. Dacă A,B ⊂ R sunt mulţimi nevide, atunci să se arate că: inf A + inf B ≤ inf (A + B) ≤ sup(A + B) ≤ sup A + sup B
2.2. Şiruri de numere reale 2.2.1 Definiţie. Prin şir de numere reale vom înţelege orice aplicaţie s:N → R . Dacă n ∈ N , atunci s(n ) = a n ∈ R . 142
Vom conveni să notăm un şir de numere reale prin (a n )n , punând în evidenţă doar mulţimea valorilor aplicaţiei s. Elementele a1, a2,…an,…se numesc termenii şirului, iar an, se numeşte termenul general al şirului (a n )n . Un şir (a n )n în care a n ≠ a m , numeşte şir injectiv. Un şir (a n )n se numeşte:
(∀)n, m ∈ N,
n ≠ m ,se
a) crescător, dacă a n ≤ a n +1 , (∀)n ∈ N b) descrescător, dacă a n +1 ≤ a n , (∀)n ∈ N Un şir care este sau crescător sau descrescător, se numeşte şir monoton. Un şir crescător şi injectiv se numeşte şir strict crescător, iar un şir descrescător şi injectiv se numeşte şir strict descrescător. Un şir care este sau strict crescător sau strict descrescător, se numeşte şir strict monoton. Un şir (a n )n se numeşte şir mărginit dacă există numerele reale α, β ∈ R astfel încât α ≤ a n ≤ β , pentru orice n∈N. 2.2.2. Observaţie. Pentru a studia monotonia unui şir de numere reale (a n )n , este suficient să comparăm diferenţa a n +1 − a n , cu zero. De exemplu, să considerăm şirul (a n )n cu termenul n an = , n ∈ N. Atunci: general: n +1 n +1 n 1 a n +1 − a n = − = > 0, n + 2 n + 1 (n + 1)(n + 2 ) deci, an+1 > an şi deci (a n )n este un şir strict crescător.
143
În cazul în care şirul (a n )n are toţi termenii strict pozitivi, atunci pentru a studia monotonia şirului, în unele situaţii, este a indicat să se compare raportul n +1 cu 1. an De exemplu, să considerăm şirul (a n )n cu termenul general: a n =
nn , n ∈ N. Atunci: n!
a n +1 (n + 1)n +1 n! (n + 1)n (n + 1) n! (n + 1)n = ⋅ = ⋅ n = = (n + 1)! n n an n!(n + 1) n nn n
n
n +1 1 = = 1 + > 1 n n
deci, an+1 > an şi deci (a n )n este un şir strict crescător.
2.2.3. Definiţie. Un şir (a n )n , de numerele reale se numeşte şir convergent dacă există a ∈ R astfel încât, pentru orice ε > 0 există n ε ∈ N cu proprietatea că:
a n − a < ε,
(∀)n ≥ n ε
Numărul a ∈ R se numeşte limita şirului (a n )n . Notăm a = lim a n sau prin a n → a (se citeşte „ an converge la a” sau n →∞
„an tinde la a”). Un şir care nu este convergent se numeşte şir divergent. Vom spune că un şir (a n )n are limită + ∞ , dacă pentru orice ε ∈ R , există n ε ∈ N cu proprietatea că: a n > ε, (∀)n ≥ n ε Notăm: lim a n = +∞ n →∞
144
Vom spune că un şir (a n )n are limită − ∞ , dacă pentru orice ε > 0 , există n ε ∈ N cu proprietatea că: a n < ε,
(∀)n ≥ n ε
Notăm: lim a n = −∞ n →∞
Şirurile care au limită + ∞ sau limită − ∞ vor fi considerate şiruri divergente. 2.2.4. Propoziţie. Un şir convergent are limită unică. Demonstraţie. Fie (a n )n un şir de numere reale şi fie a ' = lim a n n →∞
şi a" = lim a n . Fie n →∞
a n − a'
0 . Din a n → a ' , rezultă că (∃)n 'ε ∈ N astfel încât
(∀)n ≥ n 'ε
Analog, deoarece a n → a" , rezultă că (∃)n"ε ∈ N
ε , (∀)n ≥ n"ε Atunci, (∀)n ≥ max{n 'ε , n"ε } avem 2 0 ≤ a '−a" ≤ a n − a ' + a n − a" < ε de unde în baza corolarului de la 2.1.9.,
astfel
încât
a n − a"
0 . Atunci, există n ε ∈ N astfel încât a n − a < pentru orice m,n ≥ n ε avem: a n − a m că (an)n este şir Cauchy.
151
Reciproc, dacă (an)n este un şir Cauchy, atunci, conform Propoziţiei 2.2.15., (an)n este şir mărginit. Deci, conform lemei lui Cesàro, şirul (an)n conţine un subşir convergent. Prin urmare, conform Propoziţiei 2.2.16., şirul (an)n este convergent.■
2.2.18. Test de autoevaluare 1. Să se studieze monotonia următoarelor şiruri: 1 a) a n = , n∈N; n +1 3n + 2 b) a n = , n∈N; n +1 1 1 c) a n = 1 + + ... + , n ≥ 1 ; 2 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) d) a n = , n ≥ 1; 2 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ (2n ) 1 + 2 + ... + n e) a n = , n ≥ 1; 1 + 3 + ... + (2n − 1) 1 1 1 f) a n = 1 − 1 − 2 ...1 − n , n ≥ 1 ; 2 2 2 n g) a n = n + (− 1) , n ≥ 1
R: a) descrescător; b) crescător; c) crescător; d) descrescător; e) descrescător; f) descrescător; g) nu este monoton.
2. Să se studieze mărginirea şirurilor: n +1 , n ≥ 1; a) a n = 2n + 1 1 1 1 b) a n = + 2 + ... + n , n ≥ 1 ; 2 2 2 1 1 1 c) a n = + + ... + , n ≥ 1; 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n ⋅ (n + 1) 1 1 1 d) a n = 1 + + + ... + , n ≥ 1 2 3 n 152
1 ≤ a n < 1, (∀)n ≥ 1 ; 2 c) 0 < a n < 1, (∀)n ∈ N ; d) nu este mărginit.
R: a) 0 < a n < 1, (∀)n ∈ N ; b)
3. Să se arate că următoarele şiruri sunt convergente şi să se determine limitele lor. 3n + 2 a) a n = , n ≥ 1; 2n − 1 2n 2 − 3n + 1 b) a n = , n ≥ 1; n3 + 2 2n 4 − 5n + 2 c) a n = , n ≥ 1; 3n 2 + 1 3 n −1 3n + 1 d) a n = , n ≥ 1; 4n + 3 2n + 6 e) a n = n+2
4 n −5
, n ≥ 1;
1− 2 n
f)
4n 2 + 3 an = 2 3n − 1
2n 3 − 1 g) a n = 3 3n + 5
h) a n = i)
, n ≥ 1; 2 −5 n
, n ≥1;
n 2 + 4 + 3 8n 3 + 1
, n ≥ 1; n4 + 2 + 5 n5 + 7 a n = n + 1 − n , n ≥ 1; 4
a n = n 2 + n + 1 − n 2 − n − 1, n ≥ 1 ; 1 1 1 k) a n = + + ... + , n ≥ 1; 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n ⋅ (n + 1) n 1 l) a n = ∑ 2 , n ≥ 1 ; k =1 4 k − 1 j)
153
R: a)
3 3 ; b) 0; c) + ∞ ; d) 0; e) + ∞ ; f) 0; g) + ∞ ; h) ; 2 2
i) 0; j) 1; k) 1; l)
1 . 2
4. Folosind următoarea limită fundamentală: n
1 lim1 + = e , n →∞ n
an
1 să se arate că, dacă lim a n = +∞ , atunci lim 1 + = e . n →∞ n →∞ a
n
Folosind acest rezultat să se calculeze următoarele limite: a) lim 1 + n →∞
2 n +1
n
;
n2 + n lim 2 n →∞ n + 3n + 3 R: a) e2; b) e; c)
b)
n lim 1 + 2 n →∞ n +1
n +2
;c)
n
;
1 ; e2
5. Fie (an)n un şir de numere strict pozitive. Să se arate a că dacă există lim n +1 , atunci există şi lim n a n şi în plus, n →∞ a n →∞ n lim n a n = lim n →∞
n →∞
a n +1 ( criteriul radicalului). an 154
Folosind acest rezultat să se calculeze limitele următoare: a) lim n a , a ∈ R, a > 0 ; b) lim n n , n ≥ 2 ; n →∞
n →∞
c) lim n n! , n ≥ 2 ; d) lim n n →∞
e) lim
n →∞
n →∞
n
n2 , n ≥ 2; n +1
(2n )! , n ≥ 2 n! , n ≥ 2 ; f) lim n → ∞ n n (n!)2
1 1 1 g) lim n 1 + ...1 + 1 + , n ≥ 2. n →∞ 2 3 n R: a) 1; b) 1; c)
+ ∞ ; d) 1; e)
1 ; f) 4; g) 1. e
6. Fie (an)n , (bn)n şiruri de numere reale astfel încât : i. (bn)n este strict crescător şi mărginit, cu termeni nenuli,
a n +1 − a n , ∈R n →∞ b n +1 − b n
ii. există lim
a Să se arate că şirul n bn lim
n →∞
este convergent şi în plus, n
an a − an = lim n +1 , (Lema lui Stolz-Cesàro). n → ∞ bn b n +1 − b n
Folosind acest rezultat să se calculeze următoarele limite: 155
1 1 1 a) lim 1 + + ... + ; n →∞ n n 2
1 1 1 1 + + ... + ; b) lim 1 + n →∞ n 2 3 n 1 1 1 1 c) lim 1 + + + ... + ; n →∞ n 2n − 1 3 5
1p + 2 p + ... + n p , n ∈ N, p ≥ 1 . n →∞ n p +1
d) lim
R: a) 0; b) 0; c) 0; e)
1 . p +1
7. Folosind exerciţiul 10 de la 2.2.5., să se calculeze următoarele limite: 1 2 a) lim cos , p ≥ 1 ; n →∞ n n 1 1 1 b) lim 2 + 2 + ... + 2 , n ≥ 1 ; n →∞ n + 1 n +2 n +n
1 1 1 c) lim + + ... + 2 2 2 n →∞ n +2 n +n n +1
, n ≥ 1 .
R: a) 0; b) 0; c) 1.
8. Folosind criteriul lui Cauchy de convergenţă, să se studieze convergenţa următoarelor şiruri: 156
a) a n =
sin 1 sin 2 sin n + 2 + ... + n , n ≥ 1 ; 2 2 2
b) a n = 1 +
1 1 1 + + ... + , n ≥ 1 . 2 3 n
R: a) convergent; b) divergent.
2.3. Şiruri de elemente din Rm 2.3.1. Definiţie Prin şir de elemente din Rm vom înţelege orice aplicaţie s : N → R m , atunci s(n ) = a n ∈ R m . Vom conveni să notă un şir prin (an)n , punând în evidenţă numai mulţimea valorilor şirului. Deoarece (an)n ∈ N , atunci fiecare termen al şirului an n ∈ N, este caracterizat de m componente : a 1n , a 2 n ,..., a mn , care sunt numere reale. Deci: T a n = (a 1n , a 2 n ,..., a mn ) ∈ R m , (∀)n ≥ 1 Astfel, sunt puse în evidenţă m şiruri de numere reale: (a 1n )n , (a 2 n )n ,..., (a mn )n , care se numesc şirurile coordonatelor şirului (an)n. T
1 2n − 1 De exemplu, pentru şirul a n = , 1 + , e −n ∈ R n n +1 2n − 1 1 şirurile coordonatelor sunt: a 1n = , a 2 n = 1 + , a 3n = e − n , n +1 n n ≥ 1. 2.3.2. Definiţie. Un şir (an)n de elemente din Rm, se numeşte şir mărginit dacă M > 0 astfel încât a n ≤ M, (∀)n ∈ N .
157
2.3.3. Exerciţiu. Să se arate că un şir (an)n de elemente din Rm, este mărginit, dacă şi numai dacă, şirurile coordonatelor (a 1n )n , (a 2 n )n ,..., (a mn )n , sunt mărginite. 2.3.4. Definiţie. Vom spune că un şir (an)n de elemente din Rm, este şir convergent, dacă există a ∈ R m astfel încât, pentru orice ε > 0 , există n ε ∈ N cu proprietatea că :
(∀)n ≤ n ε .
a n − a ≤ ε,
Elementul a ∈ R m se numeşte limita şirului (an)n Notăm: lim a n = a sau a n → a.
n →∞
2.3.5. Propoziţie. Un şir (an)n de elemente din Rm, este şir convergent, dacă şi numai dacă, şirurile coordonatelor (a 1n )n , (a 2 n )n ,..., (a mn )n , sunt şiruri convergente. Mai mult, în
(
)
acest caz lim a n = lim a 1n , lim a 2 n ,..., lim a mn ∈ R m n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
Demonstraţie. Fie (an)n un şir convergent de elemente din Rm şi fie
a = (a1 , a 2 ,..., a m )T ∈ R m , astfel încât a = lim a n . Atunci pentru orice n →∞
ε > 0 , există n ε ∈ N astfel încât pentru orice n ≥ n ε avem a n − a < ε . Deoarece, pentru fiecare k ∈ N m avem a kn − a k ≤ a n − a < ε , deducem că fiecare
k ∈ Nm
(akn)n,
şir
este
convergent
şi
în
plus,
lim a kn = a k , (∀)k ∈ N m . Am dedus astfel şi relaţia (1).
n →∞
Reciproc,
să
(a1n )n , (a 2n )n ,..., (a mn )n ,
presupunem că şirurile coordonatelor, sunt convergente şi fie a k ∈ R, k ∈ N m , astfel
încât lim a kn = a k , k ∈ N m . Atunci, pentru orice n →∞
ε > 0 şi pentru orice
k ∈ N m , există n ε,k ∈ N m astfel încât, pentru orice a kn − a k
0 există n ε ∈ N , astfel încât pentru orice n ≥ n ε şi orice p ≥ 1 avem: a n+p − a n < ε .
2.3.8. Exerciţiu. a) Să se arate că un şir (an)n, de elemente din Rm, este şir convergent, dacă şi numai dacă, (an)n, este un şir Cauchy. b) Să se arate că orice şir mărginit în Rm conţine un subşir convergent (Lema lui Cesàro). 2.3.9. Test de autoevaluare 1. Pentru următoarele şiruri (an)n, să se calculeze a n şi să se deducă dacă şirurile sunt sau nu mărginite : T
1 3 a) a n = − , , n ≥ 1 ; n n T
n 1 2 , n ≥ 1; b) a n = , , n +1 n n +1
159
T
n +1 n 1 c) a n = , (− 1) ,2n , n ≥ 1 . n 2n 10 < 10 deci (an)n, este mărginit; R: a) a n = n 3n 2 + 1 b) a n = 1 + 2 < 2 deci (an)n, este mărginit; 2 n (n + 1) 1 2n + 5 c) a n = 4n 2 + + deci (an)n, este nemărginit. n 4n 2 2. Fie (an)n, un şir de elemente din R m , (α n )n un şir de
numere pozitive, convergent la zero şi a ∈ R m . Să se arate că, dacă a n − a < α n , (∀)n ≥ 1 , atunci şirul (an)n, este convergent şi lim a n = a . n →∞
3. Să se arate că dacă (an)n, este un şir convergent de elemente din Rm cu lim a n = a , atunci şirul de numere reale n →∞
( a ) este convergent şi lim a n
n
n →∞
= lim a n = a .
n
n →∞
3
În spaţiul R să se găsească un şir (an)n, pentru care avem lim a n = a , dar lim a n ≠ a .
n →∞
n →∞
R: De exemplu şirul (an)n, de la punctul b) al problemei 1.
4. Să se arate că, dacă (an)n, este un şir de elemente din R astfel încât lim a n = 0 , atunci lim a n = θ . m
n →∞
n →∞
5. Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: T
2n + 1 n a) a n = , n +1 , n ≥ 1; 3n + 2 n n! n b) a n = 3 −1 , , n 5n
T
,n ≥ 1; 160
T
−2 n 1 1 n 1 c) a n = − , (− 1) , 1 + , n + 1 − n , n ≥ 1 n n n
2 3
T
1 e
T
R: a) ,1 ∈ R 2 ; b) 0, ,0 ∈ R 3 ; c) 0,0,
1
T
,0 ∈ R 4 ; 2 e
6. Să se arate că, dacă (xn)n, (yn)n, sunt şiruri convergente în R m şi α ∈ R atunci (xn+yn) şi (αx n ) n sunt şi şiruri convergente în R m şi, în plus, lim (x n + y n ) = lim x n + lim y n ; n →∞
n →∞
n →∞
lim (αx n ) = α lim x n .
n →∞
n →∞
2.4. Elemente de topologie în spaţiul Rm 1. Vecinătăţile unui punct din Rm 2.4.1. Definiţie. Fie a ∈ R m şi r>0. Mulţimea Br (a ) = x ∈ R m | x − a ≤ r se numeşte bila deschisă cu centrul în punctul a şi de rază r, iar mulţimea : B r [a ] := {x ∈ R m x − a < r}
{
}
se numeşte bila închisă cu centrul în punctul a şi de rază r. Mulţimea :
Sr (a ) := {x ∈ R m x − a = r}
se numeşte sfera cu centrul în punctul a şi de rază r.
2.4.2. Observaţie. În spaţiul R2, dacă punem x = (x1 , x 2 )
T
T
şi a = (a1 , a 2 ) , atunci egalitatea x − a = r este echivalentă cu :
(x 1 − a 1 )2 + (x 2
2
− a 2 ) = r2 , adică ecuaţia cercului cu centrul în a şi de rază r (fig.1). Deci, în spaţiul R 2 , Sr (a ) reprezintă cercul cu centrul în punctul a şi rază r. Deoarece:
161
B r [a ] := {(x1 , x 2 ) (x1 − a 1 ) + (x 2 − a 2 ) < r 2 } , T
iar
2
2
B r [a ] := {(x1 , x 2 ) (x1 − a 1 ) + (x 2 − a 2 ) ≤ r 2 } , atunci: T
2
2
B r (a ) reprezintă mulţimea punctelor din interiorul cercului Sr (a ) , fără punctele din Sr (a ) (fig. 2), iar B r (a ) reprezintă mulţimea punctelor din interiorul cercului Sr (a ) , împreună cu punctele de pe Sr (a ) (fig. 3).
2.4.3. Definiţie Dacă I1 , I 2 ,...I m sunt m intervale din R atunci mulţimea : T I = {(x1 , x 2 ,..., x m ) ∈ R m x1 ∈ I1 , x 2 ∈ I 2 ,..., x m ∈ I m } se numeşte interval m – dimensional din Rm (fig 4.) Dacă intervalele I k , k ∈ N m sunt intervale deschise, atunci I se numeşte interval m – dimensional deschis iar dacă intervalele I k , k ∈ N m sunt intervale închise, atunci I se numeşte interval m – dimensional închis. 162
Dacă a = (a1 , a 2 ,..., a m ) ∈ R m şi dacă I1= (a1 − r, a 1 + r ) , I2= (a 2 − r, a 2 + r ) ,…, Im= (a m − r, a m + r ) , atunci mulţimea T
I = {(x1 , x 2 ,..., x m ) ∈ R m | a k − r < x k < a k + r, k ∈ N m } se numeşte interval m-dimensionale deschis cu centrul în a. Dacă I1= [a 1 − r, a 1 + r ] , I2= [a 2 − r, a 2 + r ] ,…, Im= [a m − r, a m + r ] atunci mulţimea T
I = {(x1 , x 2 ,..., x m ) ∈ R m | a k − r ≤ x k ≤ a k + r, k ∈ N m } se numeşte interval m-dimensionale închis cu centrul în a. 2.4.4. Exerciţiu. Fie I ⊂ R m un interval m dimensional (deschis sau închis) şi fie a ∈ I . Atunci există un interval I0 cu centrul în a (deschis sau închis) astfel încât I 0 ⊂ I . 2.4.5. Propoziţie. Orice bilă deschisă cu centrul în punctul a ∈ Rm conţine un interval deschis m – dimensional I, care conţine pe a. Reciproc, orice interval deschis I ⊂ Rm, care conţine punctul a ∈ Rm , conţine o bilă deschisă cu centrul în a. Demonstraţie. Fie a=(a1,a2, …, am)T ∈ Rm şi fie Br (a) o bilă cu centrul în a şi de rază r>0. Atunci x=(x1,x2, …, xm)T ∈ Br (a) dacă şi numai dacă x − a < r sau (x1 − a1 )2 + (x 2 − a 2 )2 + ... + (x m − a m )2 < r. Considerăm intervalul deschis m-dimensional r r < xk < ak + , k ∈N m } I={ x=(x1,x2, …, xm)T ∈ Rm a k − m m Să arătăm că I ⊂ Br (a). Dacă x=(x1,x2, …, xm)T ∈ I, atunci r r r ak − < xk < ak + , (∀) k ∈N m , adică | x k − a k |< , (∀) k ∈N m m m m Atunci ( x k − a k ) 2
0, 2 2 1 este o vecinătate a punctului a= . De asemenea, orice interval 2 T 2 - dimensional I = {x , y) | 2-r0. Deci, bila închisă în Rm nu este mulţime deschisă. 2. Dacă A este una din mulţimile [ α, β ], [ α, β ), ( α, β ], 0
( α, β ), din R, atunci A =( α, β ). Aici α poate fi - ∞ , iar β poate fi + ∞ .
3.
0
Dacă A ⊂ Rm este o mulţime finită, atunci A = φ
165
4.
Dacă A ⊂ Rm este mulţimea punctelor unei drepte din 0
Rm, atunci A = φ .
3. Mulţimi închise. Puncte aderente. Puncte de acumulare. 2.4.14. Definiţie. O mulţime F ⊂ Rm se numeşte mulţime închisă dacă complementara sa, CF:= Rm \F, este mulţime deschisă. De exemplu, pentru orice α, β ∈ R, mulţimea [ α, β ] este închisă, deoarece C[ α, β ]= (- ∞ , α ) ∪ ( β , + ∞ ) este deschisă în R. Bila închisă Br[a] ⊂ Rm, r.0, este închisă în Rm. De asemenea, orice interval închis m – dimensional este mulţime închisă în Rm. 2.4.15. Definiţie. Fie A ⊂ Rm o mulţime nevidă. Un punct a ∈ Rm se numeşte: a) punct aderat al mulţimii A, dacă pentru orice r>0 avem A ∩ Br(a) ≠ φ ; b) punct de acumulare al mulţimii A, dacă pentru orice r>0 avem (A ∩ Br(a))\{a} ≠ ∅ Vom nota cu A mulţimea punctelor aderente lui A, iar cu A' mulţimea punctelor de acumulare ale lui A. Mulţimea A se numeşte închiderea mulţimii A, iar A' se numeşte mulţimea derivată a lui A. Mulţimea Fr(A):= A ∩ C A se numeşte frontiera mulţimii A, unde CA= x ∈ R m | x ∉ A . Mulţimea Iz(A):=A\ A' se numeşte mulţimea punctelor izolate ale lui A. De exemplu, dacă α, β ∈ R şi A este una din mulţimile
{
}
( α, β ), [ α, β ), ( α, β ], [ α, β ], atunci A = A' = [α, β] , iar Fr(A)={ α, β }. Dacă A ⊂ Rm este o mulţime finite, atunci A =A, A' ' = ∅, iar Fr(A)=A.
166
2.4.16. Exerciţiu. Fie A ⊂ Rm o mulţime nevidă. Să se arate 0
că: A ⊂ A ; (b) A' ⊂ A ; (c) Fr(A)=Fr(C A); (d) Fr(A)= A - A . 2.4.17. Exerciţiu. Dacă notăm cu F familia mulţimilor închise din Rm , atunci să se arate că (1) Fi ∈ F, i ∈ I ⇒ I F1 ∈ F i∈I n
(2) Fk ∈ F, k ∈ Nn ⇒ U Fk ∈ F; k =1
(3) φ , Rm ∈ F. 2.14.18. Exerciţiu. Să se arate că o mulţime A ⊂ Rm este închisă, dacă şi numai dacă satisface una din următoarele condiţii: A= A ; A' ⊂ A. 2.14.19. Teoremă. Fie A ⊂ Rm a mulţime nevidă. Un punct a ∈ Rm este punct de acumulare al mulţimii A, dacă şi numai dacă, există un şir (an)n de elemente din A\{a} astfel încât lim an=a. n →∞
Demonstraţie. Fie (an)n un şir convergent de elemente din A\{a}, astfel pentru lim an=a. Atunci, pentru orice ε >0, există n ε ∈ N astfel încât n →∞
pentru orice n ≥ n ε avem
a n − a < ε , ceea ce înseamnă că a n ∈ Bε (a),
(∀)n ≥ n ε şi deci (A ∩ Bε (a))\{a} ≠ ∅. Prin urmare, a ∈ A ' . Reciproc, să presupunem că a ∈ A ' . Atunci, pentru orice n ∈ N, n ≥ 1, avem A ∩ B 1 (a ) \ {a} ≠ ∅. n
Pentru fiecare n ≥ 1, alegem an ∈ A ∩ B 1 (a ) \ {a} . Atunci (an)n este un n şir de elemente din A\{a}. Pe de altă parte, avem că (an) ∈ B 1 (a ), (∀) n ≥ 1 , n
1 ceea ce înseamnă că a n − a < , (∀) n ≥ 1 . n
167
Ţinând cont de exerciţiul 2 de la 2.3.9., rezultă că m
lim an=a. n →∞
Corolarul 1. Un punct a ∈ R este punct aderent mulţimii A ⊂ Rm , dacă şi numai dacă există un şir convergent (an)n, de elemente din A, astfel încât lim an=a. n →∞
Corolarul 2. O mulţime A ⊂ Rm este închisă, dacă şi numai dacă oricare ar fi şirul convergent (an)n, de elemente din A, avem lim an ∈ A. n →∞
Corolarul 3. Dacă A ⊂ R este o mulţime închisă şi mărginită, atunci inf A ∈ A şi sup A ∈ A. 4. Mulţimi mărginite. Mulţimi compacte. 2.4.20. Definiţie. O mulţime A ⊂ Rm se numeşte mulţime mărginită dacă există M > 0 astfel încât a ≤ M, (∀) a ∈ A . 2.4.21. Definiţie. O mulţime K ⊂ Rm se numeşte mulţime compactă dacă este închisă şi mărginită. De exemplu, orice bilă închisă şi orice interval închis m – dimensional mărginit sunt mulţimi compacte. De asemenea, orice mulţime finită este compactă. Bilele deschise şi intervalele deschise m – dimensionale nu sunt compacte. 2.4.22. Test de autoevaluare 1. Dacă V1, V2 ⊂ Rm sunt vecinătăţi ale punctului a ∈ Rm , atunci să se arate că V1 ∩ V2 este vecinătate a punctului a. 2. Dacă V ⊂ Rm este vecinătate a punctului a∈ Rm şi dacă V ⊂ W ⊂ Rm atunci să se arate că W este vecinătate a punctului a. 3. Să se determine interiorul următoarelor mulţimi: A=(1, 3]; b) A={x ∈ R| 3 ≤ x 0 astfel încât f (x ) ≤ M, (∀)x ∈ E s Iată câteva exemple. 1) f :E ⊆ R 2 → R, f (x , y ) = 1 + x 2 + y 2 , este o funcţie reală de două variabile cu E = R2. 171
2) f :E
(
)
T
⊂ R 2 → R 3 , f (x, y ) = xy , x + y, e xy , este o funcţie vectorială de două variabile cu E = {(x , y ) x ≤ 0, y ≤ 0} ∪ {(x , y ) x ≤ 0, y ≤ 0} 3) f:E ⊂ R 3 → R, f (x , y, z ) =
1 este o x + y − 3z + 1
funcţie reală de trei variabile cu E = {(x, y, z ) x + y − 3z + 1 ≠ 0}.
2.5.2. Operaţii cu funcţii vectoriale 1. Fie f,g :E ⊂ R m → R p . Suma f+g a funcţiilor f şi g se defineşte prin: (f + g )(x ) = f (x ) + g(x ), (∀)x ∈ E , iar produsul funcţiei f cu un număr real α, se defineşte prin (αf )(x ) = αf (x ), (∀)x ∈ E . 2. Considerăm funcţiile f :E ⊂ R m → R p g :F ⊂ R p → R q Atunci putem defini funcţia compusă h = g o f : E ⊂ R m → R p definită prin h (x ) = g(f (x )), (∀)x ∈ E . De exemplu , pentru funcţiile 2 f: R → R 3 , f (x , y ) = (xy, x + y,2 x − y )T f: R 3 → R 4 , g(u , v, w ) = (u − 2 v + w ,2u + 3v − w , uv + vw )T ’ avem: (g o f )( xy) = g(f (x , y )) = g (xy, x + y,2 x − y ) = = (xy − 2(x + y ) + (2x − y ),2xy + 3(x + y ) − T
− (2 x − y ), xy(x + y ) + (x + y )(2 x − y )) =
= (xy − 3y,2 xy + x + 4 y,2 x 2 − y 2 + x 2 y + xy 2 + xy ) . T
3. Funcţia f :E ⊂ R m → R p , se numeşte funcţie ireversibilă dacă existe o funcţie g :F ⊂ R p → R m , astfel (g o f )(x ) = x, (∀)x ∈ E , (f o g )( y) = y, (∀)y ∈ F 172
Funcţia g :F ⊂ R p → R m , care satisface relaţiile precedente se numeşte inversa funcţiei şi se notează cu f -1 Deci f −1 o f ( x ) = x , (∀)x ∈ E , f o f −1 ( y) = y, (∀)y ∈ F . Să stabilim o legătură între componentele funcţiilor f şi f −1 . Deoarece f :E ⊂ R m → R p , atunci f are p componente, T f k:E ⊂ R m → R, k ∈ N p . Deci, dacă x = (x1 , x 2 ,..., x m ) ∈ E ,
(
)
(
)
T
atunci f (x ) = (f1 (x ), f 2 (x ),..., f m (x )) . Deoarece f-1:F ⊂ R p → R m , atunci g= f −1 are m componente T gk :F ⊂ R p → R, k ∈ N m . Deci, dacă y = (y1 , y 2 ,..., y p ) ∈ F , T
atunci g(y ) = (g1 (y ), g 2 (y ),..., g m (y )) . Pentru fiecare y ∈ F , există un unic punct x ∈ E astfel încât y = f(x) şi anume punctul x = f −1 (y). Astfel spus, pentru fiecare y ∈ F ,ecuaţia vectorială y = f(x), cu necunoscuta x, are o unică soluţie, şi anume pe x = f −1 (y). Egalitatea y = f(x) se scrie (y1 , y 2 ,..., y p )T = (f1 (x1 , x 2 ,..., x m ), f 2 (x1 , x 2 ,..., x m ),..., ..., f p (x1 , x 2 ,..., x m ))
T
sau:
(1)
y1 = f1 (x 1 , x 2 ,..., x m ), y 2 = f 2 (x 1 , x 2 ,..., x m ), M y p = f p (x 1 , x 2 ,..., x m )
Deci ecuaţia y = f(x) este echivalentă cu sistemul (1) de p ecuaţii cu m necunoscute: x1 , x 2 ,..., x m . Relaţia x = f −1 (y) (echivalentă cu y = f(x)) se scrie (x1 , x 2 ,..., x p )T = (g1 (y1 , y 2 ,..., y m ), g 2 (y1 , y 2 ,..., y m ),..., ..., g p (y1 , y 2 ,..., y m ))
T
173
sau:
(2)
x 1 = g1 (y1 , y 2 ,..., y m ), x 2 = g 2 (y1 , y 2 ,..., y m ), M x p = g p (y1 , y 2 ,..., y m )
Prin urmare, a spune că, pentru fiecare y ∈ F ecuaţia g=f(x) are o soluţie unică, x = f −1 (y) ∈ E , revine la a spune că pentru T fiecare y = (y1 , y 2 ,..., y p ) ∈ F , sistemul (1), de p ecuaţii cu m T
necunoscute are o soluţie unică x = (x1 , x 2 ,..., x m ) ∈ E , dată de egalităţile (2). În general, pentru a verifica că o funcţie este inversabilă trebuie să verificăm că este bijectivă (adică, injectivă şi surjectivă) . În cazul în care, pentru o funcţie f :E ⊂ R m → F ⊂ R p , avem F = Im(f ) , atunci f este surjectivă. De exemplu, funcţia f : R 2 → R 3 , T f ( x , y) = (x + y + 1, x − y + 3, xy ) este injectivă. Mai departe, y = (u , v, w )T ∈ Im(f ), dacă şi numai dacă, ecuaţia y=f(x) are cel puţin o soluţie, adică dacă şi numai dacă, sistemul. u = x + y + 1 v = x − y + 3 w = xy are cel puţin o soluţie. Din primele două ecuaţii obţinem u+v+4 u−v+2 x= şi y = . Cum aceste valori trebuie să 2 2 satisfacă şi a treia ecuaţie, obţinem u 2 − v 2 − 2u + 6 v − w + 8 =0
174
Deci T F := Im(f ) = (u , v, w ) | u 2 − v 2 − 2u + 6 v − w + 8 = 0 ⊂ R 3
{
}
2
şi
3
deci f nu este surjectivă. În schimb, f :E ⊂ R → F ⊂ R , f(x,y) = (x+y+1, x-y+3,xy)T,este surjectivă. Cum este şi injectivă, atunci f :E ⊂ R 2 → F ⊂ R 3 este inversabilă şi f −1 :F ⊂ R 3 → E ⊂ R 2 , este definită prin: T
u+v−4 u−v+2 T f (u , v, w ) = , , (u , v, w ) ∈ F 2 2 2.5.3. Teste de autoevaluare 1. Să se determine mulţimea E (domeniul de definiţie) pentru următoarele funcţii: 1 a) f :E ⊂ R 2 → R , f (x , y ) = 2 ; x + y2 1 b) f :E ⊂ R 2 → R , f (x , y ) = ; xy −1
c)f :E ⊂ R 3 → R , f (x , y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 1 ; d) f :E ⊂ R 2 → R 3 T
1 f (x , y, z ) = x + y , xy + xy , x + y + xy 2 R: a) E = R2 \{(0,0)T}; b) E = R2 \{(x,y)T ∈ R xy = 0 }; T
c) E = R 3 \ {(x , y, z ) ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 − 1 < 0} ; T
d) E = R 2 \ {(x , y ) ∈ R 2 x + y ≠ 0, xy ≠ 0, x + y + xy ≠ 0} .
2. Să se arate că funcţia f : R → R 3 , definită prin T
x2 2x 1 f (x ) = 2 , 2 , 2 , x +1 x +1 x +1 este mărginită. R: f (x ) = 1,
(∀)x ∈ R 175
3. Să se calculeze g o f pentru următoarele funcţii : a) f :E ⊂ R 2 → R 3 , g :F ⊂ R 3 → R 2 , f(x,y) = (x+y-1, xy, x +y2)T, g(u,v,w)=(u+v-w, u-v+w)T ; b)f :E ⊂ R → R 3 g : F ⊂ R 2 → R 3 ; f(x)=(x2+1,2x)T, g(u,v)=(u2,u+v2,uv)T. c) f :E ⊂ R 2 → R 3 , g :F ⊂ R 3 → R , f(x,g)=(xy,x+y,x-y)T, g(u,v,w)=u+v+2w. 2
(
)
R a) (g o f )( x , y) = − x 2 − y 2 + xy + x + g − 1, x 2 + y 2 − xy + x + g − 1
(
b) (g o f )( x, y) = x 4 + 2 x 2 + 1,5x 2 + 1,2x 3 + 2 x
T
)
T
c) (g o f )( x, y) = xy + 3x − y
4. Să se determine imaginea următoarelor funcţii : a) f : R 2 → R 2 , f(x,y)=(x+y,x+y2-1)T; b) f : R 2 → R 3 , f(x,y)=(x+y,x-y+2,xy+3)T; c) f : R 3 → R 2 , f(x,y,z)=(x+y+z,x2-y-z)T.
{
}
T
R a) Im(f)= (u , v ) ∈ R 2 | 4u − 4 v − 5 ≤ 0 ;
{ c) Im(f)= {(u , v ) ∈ R T
}
b) Im(f)= (u , v, w ) ∈ R | u − v + 4 v − 4 w − 16 = 0 ; T
3
2
2
2
}
| u + v +1 ≥ 0 .
2.6. Limite de funcţii
Fie f:A ⊂ Rm → RP o funcţie dată şi a un punct de acumulare al mulţimii A. 2.6.1. Definiţie. Vom spune că funcţia f:A ⊂ Rm → RP are limita l ∈ RP în punctul de acumulare a ∈ A' dacă pentru orice ε >0, există δ >0 astfel încât, pentru orice x ∈ (A ∩ B δ (a))\{a} avem: f ( x ) − l < ε . Notăm l= lim f ( x ) . x→a
2.6.2. Observaţie. Ţinând seama de definiţia vecinătăţilor unui punct şi de definiţia bilelor deschise din spaţiile Rm şi Rp se pot obţine următoarele definiţii echivalente ale limitei unei funcţii. 176
1. lim f ( x ) =l, dacă şi numai dacă pentru orice ε >0, x→a
există δ >0 astfel încât, pentru orice x ∈ A\{a} cu x − a < δ , avem f ( x ) − l < ε .
2. lim f ( x ) = l dacă şi numai dacă, pentru orice ε >0, există a x→a
vecinătate V a lui a, astfel încât pentru orice x ∈ A ∩ V , x ≠ a, avem f ( x ) − l < ε .
3. f ( x ) − l < ε , dacă şi numai dacă, pentru orice vecinătate U a lui l, există δ > 0 astfel încât, pentru orice x ∈ A/{a} cu x − a < δ , avem f(x) ∈ U. 4. lim f ( x ) = l, dacă şi numai dacă, pentru orice vecinătate U x→a
a lui l, există o vecinătate V a lui a, astfel încât pentru orice x ∈ A ∩ V cu x ≠ a, avem f(x) ∈ U.
2.6.3. Teoremă. (Criteriul lui Heine) Funcţia f:A ⊂ Rm → Rp are limita l ∈ Rp în punctul de acumulare a ∈ A | , dacă şi numai dacă pentru orice şir convergent de elemente din A\{a}, cu lim an=a, avem x →∞
lim f (a n ) =l.
x →∞
Demonstraţie. Să presupunem că lim f ( x ) =l. Atunci, pentru orice x →∞
ε >0, există δ > 0 astfel încât, pentru orice x ∈ A\{a} cu x − a < δ avem
f ( x ) − l < ε . Fie acum un şir oarecare (an)n, de elemente din A\{a} cu lim an=a. Atunci există n δ ∈ N astfel încât pentru orice n ≥ n δ avem
x →∞
an − a < δ . Prin
urmare,
f (a n ) − l < ε , (∀) n ≥ n δ ,
lim f (a n ) =l.
x→∞
177
ceea
ce
înseamnă
că
Reciproc, fie (an)n un şir arbitrar de elemente din A\{a} cu lim an=a. x →∞
astfel încât există
lim f (a n ) =l. Să presupunem, prin absurd, că
x→∞
lim f ( x ) ≠ l. Atunci există ε 0 > 0 astfel încât, pentru orice δ > 0 există
x→a
x ∈ A ∩Bδ (a) cu x ≠ a şi astfel încât
f ( x ) − l ≥ ε 0 . Cum δ > 0 este
1 , n ∈ N, n ≥ 1 . Atunci, pentru fiecare n ≥ 1 , n 1 alegem un element xn ∈ A ∩ B 1 (a ) , xn ≠ a. Deoarece x n − a < , pentru n n
oarecare, putem lua δ =
orice n ≥ 1 , deducem că lim xn=a. Pe de altă parte, pentru orice n ≥ 1 , avem x →∞
f ( x ) − l ≥ ε0 , ceea ce înseamnă că lim f(xn) ≠ l. Am ajuns astfel la o x →∞
contradicţie cu faptul că, pentru orice şir (an)n, de elemente din A\{a}, cu lim an=a, trebuie să avem lim f(an)=l.■ x →∞
x →∞
2.6.4. Exerciţiu. Fie f: A ⊂ R m → R p şi g:A ⊂ R m → R + cu lim g(x)=0, iar a ∈ A' . Să se arate că, dacă există l ∈ Rp şi x →a
δ > 0 astfel încât
f ( x ) − l ≤ g( x ) , (∀) x ∈ A ∩ B δ (a ), x ≠ a ,
atunci există lim f(x) şi lim f(x)=l. x →a
x →a
2.6.4. Observaţie. Condiţia din enunţul teoremei precedente poate fi luat ca definiţie a limitei unei funcţii într-un punct. De asemenea, teorema precedentă ne oferă un criteriu de a arăta că o funcţie nu are limită într-un punct. Pentru acesta este suficient să considerăm două şiruri (an)n, (bn)n, de elemente din A\{a}, cu lim an= lim bn=a şi să arătăm n →∞
că lim f(an) ≠ lim f(bn). n →∞
n →∞
178
n →∞
De an=
exemplu, 1
lim sin
x →0
şi bn=
1 nu x
există.
Într-adevăr,
luând
1 , n ≥ 1, atunci lim an= lim bn=0, dar n →∞ n →∞ 2 nπ
π 2 lim sin an=1, iar lim bn=0. (4n + 1)
n →∞
n →∞
2.6.5. Teoremă ( Criteriul lui Cauchy-Bolzano). Funcţia f: A ⊂ R m → R p are limita l ∈ RP în punctul de acumulare a ∈ A' , dacă şi numai dacă, pentru orice ε > 0 există δ > 0 astfel încât pentru orice x ' , x"∈ A ∩ Bδ (a ) cu x ' ≠ a , x" ≠ a avem f ( x ' ) − f ( x ' ' ) < ε . Demonstraţie. Să presupunem că există lim f(x)=l ∈ Rp ( l finit în cazul n →a
când p=1). Atunci, pentru orice ε > 0 , există δ > 0 astfel încât, pentru orice x ∈ A\{a} cu x − a < δ , avem f ( x ) − l < ε / 2 Atunci , pentru orice
x ' , x"∈ A ∩ Bδ (a )
cu
x ' ≠ a , x" ≠ a , avem
"
f (x' ) − l < ε / 2 , f (x ) − l < ε / 2 ε ε + =ε. 2 2 Reciproc, să presupunerea îndeplinită condiţia din enunţ şi să arătăm că lim f(x) există. Fie ε > 0 arbitrar fixat.
deci f ( x ' ) − f ( x " ) ≤ f ( x ' ) − l + f ( x" ) − l
0 astfel încât, dacă x ' , x"∈ A ∩ Bδ (a ) cu x ' ≠ a , x" ≠ a , atunci f ( x ' ) − f ( x ' ' ) < ε / 2 . Pe de altă parte, din faptul că lim an=a, n →∞
există n ε ∈ N , astfel încât pentru orice n ≥ n ε avem x n ∈ Bδ (a ) . Prin urmare, pentru orice n , m ≥ n ε avem x n , x m ∈ Bδ (a ) , de unde
f (x n ) − f (x m ) < ε .
179
Aceasta înseamnă că (f(xn))n este un şir Cauchy în RP, deci convergent. Cum şirul (an)n a fost ales arbitrar şi lim f(an) există, deducem că şi n →∞
lim f(x) există.■
x →a
2.6.7. Exerciţiu. Fie f: A ⊂ R m → R p şi f1, f2, …, fp A ⊂ R m → R componentele sale. Folosind Propoziţia 2.3.5. şi Teorema 2.6.3., să se arate că lim f(x)=l, dacă şi numai dacă n →a
lim f(x) =lk, k ∈ N p ,
x →a
unde l=(l1, l2, …, lp)T ∈ Rp.
2.6.8. Exerciţiu. Dacă f, g: A ⊂ R m → R p au limită în punctul a ∈ A' , atunci să se arate că şi funcţiile f+g, αf : A ⊂ R m → R p , α ∈ R , au limită în punctul a şi în plus, lim [f ( x ) + g( x )] = lim f ( x ) + lim g ( x ) n →a
n →a
n →a
lim (αf )( x ) = α lim f ( x ) , α ∈ R . n →a
n →a
2.6.9. Calculul limitelor de funcţii. Pentru a pune în evidenţă modalitatea de calcul a unor limite de funcţii, precum şi unele proprietăţi ale funcţiilor care au limita într-un punct, în continuare vom deosebi următoarele cazuri: 1. Cazul funcţiilor f: A ⊂ R → R p . Limite laterale Dacă f: A ⊂ R m → R p şi a ∈ A' , atunci conform Exerciţiului 2.6.7 lim f ( x ) =l, dacă şi numai dacă, n →a
lim f k ( x ) =lk, k ∈ Np, sunt componentele funcţiei f. Deci n →a
(
)
lim f ( x ) = lim f1 (a ), lim f 2 ( x ),..., lim f p ( x ) ∈ R p x →a
x →a
x →a
x →a
De exemplu, pentru f:R\{0} → R3, T
e x − 1 5 1 + x − 1 x1 f ( x ) = , , e ∈ R 3 avem x x
180
T
1 5 − ex −1 1+ x −1 lim f ( x ) = lim , lim , lim e x = n →0 x →0 x →0 x x →0 x T
1 = 1, ,0 ∈ R 3 5 În cazul funcţiilor f: A ⊂ R → R p , exact ca şi în cazul real, se pot introduce limitele laterale ale funcţiei f într-un punct de acumulare a∈ A' . Astfel, vom spune că funcţia f: A ⊂ R m → R p are limita la stânga ls∈ RP în punctul a ∈ A' , dacă, pentru orice ε > 0 , există δ > 0 astfel încât, pentru orice x ∈ A ∩ (a − δ, a ) avem ||f(x)-ls||< ε . Notăm ls= lim f ( x ) sau ls= lim f ( x ) x →a x 0 , există δ > 0 astfel încât, pentru orice x ∈ A ∩ Bδ (a ) , avem
f ( x ) − f (a ) < ε . Vom spune că funcţia f este continuă pe mulţimea A dacă f continuă în fiecare punct al mulţimii A. 2.7.2. Observaţie. Definiţia continuităţii este asemănătoare cu definiţia limitei. Există însă şi deosebiri, deoarece în 188
definiţia limitei se impune condiţia x ≠ a, în timp ce în definiţia continuităţii această condiţie nu se impune. În definiţia limitei, a este punct de acumulare al lui A, dar nu aparţine în mod necesar lui A. În definiţia continuităţii a ∈ A dar nu este în mod necesar punct de acumulare al lui A, ci poate fi şi punct izolat a lui A. Prin urmare, problema continuităţii unei funcţii nu are sens în punctele în care funcţia nu este definită. Dacă a este punct izolat al lui A, atunci este posibil ca A ∩ Bδ (a ) să conţină numai punctul a. Prin urmare, dacă luăm x=a în definiţia 2.7.1, rezultă că, orice funcţie f: A ⊂ R m → R P este continuă în punctele izolate ale domeniului său de definiţie. Dată fiind asemănarea dintre definiţia limitei şi definiţia continuităţii, o serie întreagă de proprietăţi ale limitelor rămân valabile şi pentru funcţii continue, cu acelaşi demonstraţii, cu singura deosebire că nu se mai pune condiţia x ≠ a. Punem în evidenţă câteva rezultate conţinând condiţii necesare şi suficiente de continuitate . Oricare din rezultatele care urmează poate fi luat ca definiţie a continuităţii. 1. Funcţia f: A ⊂ R m → R P este continuă într-un punct de acumulare a ∈ A dacă şi numai dacă există lim f ( x ) şi x →a
lim f ( x ) = f (a ) . x →a
2. Funcţia f: A ⊂ R m → R P este continuă în punctul a ∈ A, dacă şi numai dacă, pentru orice şir (xn)n de elemente din A cu lim a n =a, avem lim f (a n ) = f(a). x →∞
x→a
3. Funcţia f: A ⊂ R m → R P este continuă în punctul a ∈ A, dacă şi numai dacă, pentru orice ε > 0 există δ > 0 astfel încât, pentru orice x ∈ A cu x − a < δ , avem f ( x ) − f (a ) < ε .
189
4. Funcţia f: A ⊂ R m → R P este continuă în punctul a ∈ A, dacă şi numai dacă, pentru orice ε > 0 , există o vecinătate v a punctului a astfel încât, pentru orice x ∈ A ∩ V , avem f ( x ) − f (a ) < ε . 5. Funcţia f: A ⊂ R m → R P este continuă în punctul a ∈ A, dacă şi numai dacă, pentru orice vecinătate U a lui f(x) există δ > 0 astfel încât, pentru orice a ∈ A cu x − a < δ , avem f(x) ∈ U. 6. Funcţia f: A ⊂ R m → R P este continuă în punctul a ∈ A, dacă şi numai dacă, pentru orice vecinătate U a lui f(a) există o vecinătate V a lui a astfel încât, pentru orice x ∈ A ∩ V avem f(x) ∈ U. 2.7.3. Exemple. 1) Considerăm funcţia f: R 2 → R , definită prin
1 T T xy sin x + y , ( x, y) ≠ (0,0) f ( x , y) = 0, ( x, y) T ≠ (0,0) T Studiem continuitatea funcţiei în punctul a= (0,0)T. 1 Deoarece xy sin ≤ xy şi deoarece lim xy = 0 , ( x , y )→( 0 , 0 ) x+y deducem că lim f ( x, y) = f (0,0) = 0 şi deci f este continuă ( x , y ) → ( 0,0 )
în punctul a=(0,0)T. 2) Considerăm funcţia f: R 2 → R , definită prin xy T T 2 2 , ( x , y ) ≠ (0,0) , f(x,y)= x + y ( x, y) T ≠ (0,0) T . 0, 190
Vom arăta că funcţia f nu este continuă în punctul a=(0,0)T. Pentru acesta vom arăta că lim f ( x, y) nu există . Într( x , y ) → ( 0, 0 )
T
2
adevăr , fie v= (α, β) ∈ R un vector cu α ≠ 0 şi β ≠ 0 . Punctele (x, y)T, de pe dreapta ce conţine punctul a=(0,0)T şi are direcţia vectorului v, sunt de forma x= αt , y= β t , t ∈ R. Prin urmare avem ( αt )(β t ) αβ t 2 αβ lim f ( x, y) = lim = lim 2 (α 2 + β 2 ) = 2 t → 0 (αt )2 + (β t )2 ( x , y ) → ( 0, 0 ) t →0 t α + β2 ceea ce înseamnă că lim f ( x , y) depinde de alegerea ( x , y ) →(0,0)
vectorului v. În consecinţă,
lim
( x , y ) →(0,0)
f ( x , y) nu există .
2.7.4. Propoziţie. Funcţia f: A ⊂ R m → R P este continuă în punctul a ∈ A, dacă şi numai dacă, fiecare din componentele sale, fk: A ⊂ R m → R k ∈ NP, este continuă în punctul a. Demonstraţie. Propoziţia rezultă ţinând seama de inegalităţile. f k ( x ) − f k (a ) ≤ f (x ) − f (a ) ≤
∑f
k
(x ) − f k (a ) , (∀)k ∈ N p
aplicând
k =1
definiţia continuităţii. Propoziţia precedentă reduce studiul funcţiilor vectoriale de mai multe variabile la acela al continuităţii componentelor sale.■
2.7.5. Exerciţii. 1. Dacă f,g: A ⊂ R m → R p sunt funcţii continue în punctul a (sau pe mulţimea A), atunci funţiile f+g, αf : A ⊂ R m → R p , α ∈ R , definite prin: (f+g)(x)=f(x)+g(x), x ∈ A (αf )( x ) = αf ( x ), x ∈ A sunt continue în punctul a (sau pe mulţimea A). 2. Considerăm funcţile f: A ⊂ R m → R p şi g: B ⊂ R p → R q astfel încât f este continuă în punctul a ∈ A , iar g este continuă în punctul b=f(a). Să se arate că funcţia g o f : A ⊂ R m → R q este continuă în punctul a ∈ A . 191
3. Dacă f: A ⊂ R m → R p este continuă în punctul a ∈ A , atunci să se arate că funcţia||f||: A ⊂ R m → R , definită prin f ( x ) = f ( x ) , x ∈ A este continuă în punctul a. 4. Fie f: A ⊂ R m → R o funcţie continuă în punctul a ∈ A şi fie α, β ∈ R astfel încât α < f (a ) < β . Să se arate că există o vecinătate V a punctului a astfel încât α < f (a ) < β , pentru orice x ∈ V ∩ A . 5. Să se arate că, dacă f: A ⊂ R m → R P este continuă în punctul a ∈ A, atunci există o vecinătate V a punctului a astfel încât f este mărginită pe mulţimea V, adică, există M>0 astfel încât f ( x ) ≤ M , pentru orice x ∈ V ∩ A . 6. Să se arate că, dacă f: A ⊂ R m → R p este o aplicaţie liniară, atunci f este continuă pe Rm. 2.7.6. Continuitatea laterală. Ca şi în cazul funcţiilor reale de variabile reală, în cazul funcţiilor f: A ⊂ R → R P putem introduce noţiunea de continuitate laterală într-un punct a ∈ A. a) Vom spune că funcţia f: A ⊂ R → R P este continuă la stânga în punctul a ∈ A dacă, pentru orice ε > 0, există δ > 0 astfel încât, pentru orice x ∈ A cu x ≤ a şi x − a < δ , avem
f ( x ) − f (a ) < ε ; b) Vom spune că funcţia f: A ⊂ R m → R P este continuă la dreapta în punctul a ∈ A dacă, pentru orice ε > 0, există δ > 0 astfel încât, pentru orice x ∈ A cu x ≥ a şi x − a < δ , avem f ( x ) − f (a ) < ε . Se poate demonstra următorul rezultat: funcţia f: A ⊂ R → R P este continuă la stânga ( respectiv, la dreapt) în punctul x ∈ A, dacă şi numai dacă, componentele funcţiei 192
f, fk: A ⊂ R → R k ∈ Np, sunt continue la stânga ( respectiv, la dreapta) în punctul a ∈ A. Acest rezultat permite să deducem o serie de condiţii necesare şi suficiente de continuitate laterală pentru funcţiile vectoriale de variabilă reală, cu ajutorul condiţiilor necesare şi suficiente de continuitate laterală pentru funcţiile reale de variabilă reală. Astfel, sunt adevărate următoarele afirmaţii, care pot fi luate şi ca definiţii ale continuităţii laterale. 1. Funcţia f: A ⊂ R → R P este continuă la stânga în punctul a, dacă şi numai dacă, pentru orice şir (an)n de elemente din A cu an ≤ a şi lim a n = a , avem lim f (a n ) = f (a ) . n → ∞
n →∞
P
2. Funcţia f: A ⊂ R → R este continuă la dreapta în punctul a ∈ A, dacă şi numai dacă, pentru orice şir (an)n de elemente din A cu an ≥ a şi lim a n = a , avem lim f (a n ) = f (a ) . n →∞
n →∞
P
3. Funcţia f: A ⊂ R → R este continuă la stânga în punctul a ∈ A, dacă şi numai dacă, există lim f ( x ) şi lim f ( x ) = f (a ) x →a x a
De asemenea, este valabil următorul criteriu de este continuă în continuitate: funcţia f: A ⊂ R → R P punctul a ∈ A, dacă şi numai dacă, este continuă la stânga şi la dreapta în punctul a. De exemplu , pentru funcţia f: R → R 2 , definită prin (2 x − 1, x )T , daca x < 1, f (x) = ( x − 1,− x ) T , daca x ≥ 1 193
avem lim f ( x ) = (1,1) T lim f ( x ) = (0,−1) T x →1 x 1
Deci, f nu este continuă în punctul a=1. 2.7.7. Continuitate parţială. Fie funcţia f: A ⊂ R m → R P şi a=(a1, a2, …,am)T un punct din A. Pentru fiecare k ∈ Nm, considerăm mulţimea. A k = {x k ∈ R | (a 1 ,..., a k −1 , a k , a k +1 ,...a m ) T ∈ A} . Vom spun că funcţia f: A ⊂ R m → R P este continuă parţial în raport cu variabila xk, k∈ N p în punctul a ∈ A dacă, pentru orice ε > 0 există δ > o astfel încât, pentru orice xk ∈ Ak cu x k − a k < δ avem
< ε. Dacă funcţia f este continuă în punctul a=(a1, a2,..am)T ∈ A, vom spune adesea că f este continuă în acest punct în raport cu ansamblul variabilelor, pentru a deosebi de continuitatea parţială în raport cu câte o variabilă. f (a 1 ,..., a k −1 , x k ,..., a k +1 ,...a m ) − f (a 1 ,..., a k −1 , a k , a k +1 ,...a m )
194
