PASSEPORT POUR LE BAC SOLUTIONS AUX EXERCICES DE ...

PASSEPORT POUR LE BAC

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES

Pascale Wauters année académique 2010-2011 Pour EDPH et KINE

Contenu 1. Calcul de base 2. Calcul avec exposants 3. Notation scientifique 4. Surfaces et volumes 5. Unités - conversion d!unités et cohérence 6. Résolution d!une équation 7. Trigonométrie 8. Vecteurs 9. Fonctions 10.Dérivées 11.Différentielles 12.Primitives et intégrales

1. Calcul de base 1.1. Calculez (sans calculatrice): a) (-3) – (-5) = 2 b) –1/2 . 16/32 . -4 = 1 c) (-0,75) . (+4) . (-6) . (+2) = 36 d) [( -9) .(-7) + 3 ] / [ ( 3.(-5) + 5] = -6,6 1.2. Distribuez : a) (3x – 4) (a + b) = 3ax + 3bx - 4a - 4b b) (1 – 3x) (y – 5) = y - 5 - 3xy + 15x c) (3a - 4) (3a + 4) = 9a2 - 16 1.3. Factorisez : a) ab2 + a2b = ab (b+a) b) xy4z – x2yz3 = xyz (y3 - xz2) c) 3(a+ 2) + b(a + 2) = (a+2) (3+b) d) (a + b) (c – d) – (c – d) (x + y) = (c-d) (a+b-x-y) 2. Calcul avec des exposants Calculez (sans calculatrice) : a) 10-3 . 103 = 1 b)

= 50

c) (4.104)0,5 = 2 . 102 d) (4 . 10-6)1/2 = 2 . 10-3 e) (160 000)1/4 = 20 3. Notation scientifique Ecrire les nombres suivants en notation scientifique : a) 0,003902 = 3,903 . 10-3 b) 2 763 100 = 2,7631 . 106 c) 4329,76 = 4,32976 . 103

4. Surfaces et volumes 1. Calculez la surface d'une sphère de 10 cm de diamètre. S = 100 ! cm2 2. Calculez le volume d'un cylindre de 7 mm de haut et de 4 cm de diamètre. V = 2,8 ! cm3 3. Que vaut le volume d'une sphère dont le périmètre maximum est de 6 ! cm ? V = 36 ! cm3 4. Soit un carré de 5 cm de côtés inscrit dans un disque. Que vaut la surface du disque ? S = 12,5 ! cm2 5. Unités A. Conversion d'unités 1. 1 mg = 10-6 kg 2. 1 µm = 10-3 mm 3. 1 dm2 = 102 cm2 4. 1h = 3600 s 5. 1 j = 1440 min 6. 1 an = 8760 h = 3153600 s 7. 0.640 5 m3 = 640 500 cm3 8. 46 740 mm3 = 46,74 cm3 9. 12 cm3 = 12 ml 3 10. 403.26 dm = 403 260 ml 3 11 0.026 m = 26 000 ml 12. 17.35 dl = 1735 cm3 13. 4006 ml = 4006 cm3 14. 36 km/h = 10 m/s 15. 3 ml/s = 10,8 l/h 16. 0,800 g/cm3 = 8 kg/m3 17. 1,4 g/l = 1,4 kg/m3 B. Cohérence des unités 1. Dans F = m . a = 6 . ! . " . v . r, quelle est l'unité de " (coefficient de viscosité) ? kg / m . s 2. Quel est l'unité du moment d'inertie I = m . r2 ? kg . m2 3. Et celle du moment angulaire : L = r . m . v ? kg . m2 / s 4. La loi de Bernoulli (écoulement des liquides) est p + # . g . h + # . vn / 2 = cste où # est la masse volumique, g est l'accélération de la pesanteur, h est la hauteur, et v est la vitesse de l'écoulement. Quelle est l'unité de p ? kg / (m . s2) Et celle de la constante ? idem p. Que doit valoir n, l'exposant de la vitesse ? 2 5. Une plaque métallique rectangulaire a les dimensions suivantes: L = 2,5 cm, l = 5 cm, z = 2 mm. Que vaut son volume ? 2,5 cm3 6. Un bus roule à une vitesse constante de 42 km / h. Combien de mètres parcourt-il en 2 minutes ? 1400 m

6. Résolution d'une équation 1. Résolvez les équations suivantes en laissant les réponses sous forme fractionnaire : a) b) c) d)

10x = 3x – 2 sol: x = -2/7 3(3x + 5) – 2(2x – 1) = 4 sol: x = -13/5 (x-2)/4 = 2x sol: x = -2/7 x/2 + x/3 – x/6 = 1 sol: x = 3/2

2. Résolvez les systèmes d'équations suivants en laissant les réponses sous forme fractionnaire : a) 3x – 2y = 4 5x + 3y = 9 sol: x = 30/19, y = 7/19 b) 2x + 3y = 4 x – 2y = 9 sol: x = 5, y = -2 c) 2x – 3y = -25 4x – y = 25 sol: x = 10, y = 15 3. Résolvez les équations suivantes: a) x2 + 3.x - 6 = 0 sol: x = 1,37 et x = -4,37 b) 3 x - x2 + 4 = 0 sol: x = -1 et x = 4 c) x = 5 x2 - 6 sol: x = 1,2 et x = -1

7. Trigonométrie 1. 55°

4

b=?

35° a=? a = 3,28 et b = 2,29 2. Un chemin fait un angle de 9° avec l'horizontale. De quelle altitude s'élève-t-on après une marche de 4 km ? 625,7 m 3. Quels sont les angles que font ensemble les diagonales d’un rectangle dont les côtés mesurent 2 et 4 cm ? 127° et 53°

8. Vecteurs 1. Calculer la somme des vecteurs v et w si v = 2 et w = 3. - si v et w sont parallèles et de même sens R = 5 - si v et w sont parallèles et de sens opposé R = 1 - si v et w sont perpendiculaires R = 3,6 2. Quelles sont les grandeurs des composantes vx et vy du vecteur ci-contre ( v = 100) ? Y v 30° vx = 86,6 et vy = 50

X

3. Quelles sont les composantes selon X et Y du vecteur P ? ( P = 50 N et ! = 37°) Y

P

X !

4. Si a = 14, b= 20 et ! = 45° ax = ? 10 ay = ? 10 bx = ? 20 by = ? 0 a . b = ? 200 a " b = ? norme 200 rentre b " a =? norme 200 sort

Px = 30 N et Py = 40 N

Y a

45° b

X

9. Fonctions (graphes en pages 10 et 11) 1. Réalisation d’un graphique On porte à ébullition une certaine quantité d’eau salée en notant régulièrement la température du liquide. Temps (min)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Température (°C)

17

36

55

76

94

101

103

105

107

109

Construire le graphique Choisir l’échelle

1 min = …………...cm 10°C = ……………cm

2. Soit les valeurs de la variable x et les valeurs de y=f(x) correspondantes. x

y = f(x)

0,5

-2

2

1

4

5

5

7

6

9

Tracez le graphe de y en fonction de x. Trouvez l'équation de y = f(x) = 2x - 3 3. Trouver l’équation de droite passant par les points suivants: (2,1) et (-1,3) y = -(2/3) x + 7/3 Représentez-la et trouvez son intersection avec l'axe des abscisses. (3,5;0)

4. Le graphe ci-dessous donne l'altitude d'un avion en fonction du temps lorsqu'il amorce sa descente. Quelle est son altitude à la 20ième minute ?

h(m)

4000

50

t(min)

h = 2400 m 5. La hauteur par rapport au sol d'une balle lancée vers le haut à partir du sommet d'une tour de 25m est donnée en fonction du temps par: h = -5 t2 + 20t + 25 Tracez le graphe de h en fonction de t. tournée vers le bas, coupe l'axe des ordonnées à h = 25m A quel instant la balle touchera-t-elle le sol ? t = 5 s

10. Dérivées 1) y = (4 - x2)10 ==> y' = -20 x (4 - x2)9 2) y = (x + 2)2 (2 - x)3 ==> y' = 2 (x + 2) (2 - x)3 - 3 (x + 2)2 (2 - x)2$ 3) y = 5 sin 3x ==> y' = 15 cos 3x 4) y = (sin 2x)2 ==> y' = 4 sin 2x cos 2x 5) y = x3 (x + 1)2 ==> y' = 3x2 (x + 1)2 + 2 x3 (x + 1) 6) Quand la fonction y = 3 . x3 - x

atteint-elle un extremum ? Est-ce un minimum ou un

maximum ? x = 1/3 minimum et x = -1/3 maximum

11. Différentielles Trouvez la différentielle des expressions suivantes: 1. y = cos2x ==> dy = -2 sin 2x dx 2. V = (4/3) ! r3 ==> dV = 4 ! r2 dr 3. y = (5 - x)3 ==> dy = -3 (5 - x)2 dx 4. Une plaque circulaire se dilate sous l'influence de la chaleur. Le rayon passe de 12,5 à 12,65 cm. Quelle est l'augmentation de surface ? 11,8 cm2

12. Primitives et intégrales

1. ! x7 dx = x8 / 8 + C

2. ! x - 2 dx= - 1/x + C

3. !

dx = 3/!x2 + C

4. !( 2 x2 – 5 x + 3).dx = (2/3) x3 - (5/2) x2 + 3 x + C

5. !(3x + 4 )2 . dx = (1/9) . (3x +4)3 + C

6. ! cos 4x dx = (1/4) . sin 4x + C

7. Calculez la surface comprise entre les droites : $

$

y = 4 x + 2, x = 1, x = 3, et l'axe des x. S = 20

8. Calculez la surface comprise entre : la fonction sin x, l'axe des x et les droites verticales x = 0 et x = ! rad. S=2

solution de l'exercice 9.1.

graphe de la température de l’eau en fonction du temps 110

T (°C)

88 66 44 22 0 0

2

4

6 t (min)


8

10

