Pembahasan Soal Matematika UN SMA IPA 2011

77 downloads 285 Views 2MB Size Report
MATEMATIKA IPA (PAKET 12). Pembahas: .... Matriks transformasi untuk refleksi adalah sebagai berikut: ... Apabila nilai t disubstitusikan pada soal, diperoleh: 2.

PEMBAHASAN

SOAL UN 2011 MATEMATIKA IPA (PAKET 12) Pembahas: Sigit Tri Guntoro Marfuah Reviewer: Jakim Wiyoto Rohmitawati

1. Bentuk sederhana dari

√ √

√ √

….



A.



B.



C.



D.



E.

Alternatif penyelesaian: Dengan merasionalkan penyebut diperoleh: √























√ ) √



(√ √



√ Jawaban: E

2. Grafik

memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai

yang

memenuhi adalah…. A.

atau

B.

atau

C.

atau

D. E. Alternatif penyelesaian: Untuk menghasilkan perpotongan dua titik pada sumbu X maka diskriminan D dari y memenuhi D>0.

2

atau Secara ilustrasi:

2

Jadi batas-batas nilai

yang memenuhi adalah

atau Jawaban: B

3. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1), C(4, 2, -4). Besar sudut ABC adalah…. A. B. C. D. E. 0 Alternatif penyelesaian: A(5, 1, 3)

𝑎̅ C(4, 2, -4) B(2, -1, -1)

𝑏̅

̅ ̅

3

Dengan mengingat dot product ̅ ̅

| ̅ || ̅ |

maka diperoleh

̅ ̅ | ̅ || ̅ | √



Jadi Jawaban: B

4. Diketahui vektor ⃗ vektor



pada vektor

A. ⃗ B. ⃗



⃗⃗

C. ⃗



⃗⃗



E.



⃗⃗ dan vektor ⃗⃗





⃗⃗. Proyeksi vektor orthogonal

adalah….

⃗⃗



D.



⃗⃗



⃗⃗



Alternatif penyelesaian: Misalkan proyeksi vektor orthogonal (tegak lurus) vektor ⃗ pada vektor ⃗⃗ adalah vektor vektor ⃗ 𝑎⃗

𝑏⃗⃗

𝑝⃗ maka ⃗

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗ | | ⃗⃗ |

⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗ |

⃗⃗

Sesuai dengan soal diperoleh ⃗

( ⃗



( ⃗





⃗⃗



⃗⃗)

⃗⃗)

Jawaban: B

4

5. Diketahui

dan

, maka

….

A. B. C. D. E. Alternatif penyelesaian: (

)

(

)

untuk Jawaban: D

6. Akar-akar persamaan kuadrat

adalah α dan β. Jika α =2β dan α, β positif,

maka nilai m adalah…. A. -12 B. -6 C. 6 D. 8 E. 12 Alternatif penyelesaian: Perhatikan bahwa: dan

.

Sesuai dengan persamaan kuadratnya maka dan

. Karena

maka diperoleh

5

atau ditulis . Penyelesaian dari dipilih

. Selain itu diperoleh adalah

atau

. Karena

positif maka

. Dari sini diperoleh Jawaban: E

7. Diketahui persamaan matriks ( Nilai

)(

)

(

)

….

A. B. C. D. E. Alternatif penyelesaian: Perhatikan hasil perkalian matriks (

)(

(

)

(

)

)

(

)

Dari sini didapatkan

( )

Jadi

(

) Jawaban: E

6

8. Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun, dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil kebun Pak Yadi lebih sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Badrun. Jika jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225 kg, maka hasil panen Pak Ahmad adalah…. A. 90 kg B. 80 kg C. 75 kg D. 70 kg E. 60 kg Alternatif penyelesaian: Misalkan jumlah hasil panen Pak Ahmad =

kg,

jumlah hasil kebun Pak Badrun =

kg

jumlah hasil kebun Pak Yadi = kg Dari data diperoleh

Jadi hasil panen Pak Ahmad 90 kg

Jawaban: A

9. Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet 1 Rp. 4000,00 per biji dan tablet II Rp. 8.000,00 per biji, pengeluaran minuman untuk pembelian tablet per hari adalah…. A. Rp12.000,00 B. Rp14.000,00 C. Rp16.000,00 D. Rp18.000,00

7

E. Rp20.000,00 Alternatif penyelesaian: Misal Banyaknya tablet Jenis I yang diperlukan tiap hari :

tablet

Banyaknya tablet Jenis I yang diperlukan tiap hari :

tablet

Satu Tablet

Satu Tablet

Keperluan

Jenis I

Jenis II

tiap hari

Kandungan Vitamin A

5

10

25

Kandungan Vitamin B

3

1

5

4000

8000

Harga

Dari sini didapatkan model matematik:

Dengan meminimumkan

Daerah penyelesaian dari masalah di atas terlihat pada daerah yang diarsir

Dengan menguji titik-titik sudut daerah penyelesaian diperoleh Titik

F(x,y)=4000x + 8000y

A(5,0)

20000

8

B(1,2)

20000

C(0,5)

40000

Jadi ada 2 titik yang menyebabkan nilai minimum pada F yaitu A(5,0) dan B(1,2) yang menghasilkan nilai minimum 20000

Jawaban: E 10. Nilai



….

A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 E. 16 Alternatif penyelesaian: √ √



√ √

(√

)

Jawaban: B

11. Nilai

….

A. B. C. D. E. 1

9

Alternatif penyelesaian:

Jawaban: D

12. Akar-akar persamaan akarnya

dan

adalah

dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-

adalah….

A. B. C. D. E. Alternatif penyelesaian: Ingat kembali bahwa jika berlaku

dan

Persamaan Kuadrat Lama

dan

akar-akar persamaan kuadrat . Dari persamaan kuadrat

maka diperoleh

Persamaan Kuadrat Baru

10

Persamaan dapat dibentuk dengan cara : . Sesuai hasil sebelumnya didapatkan

Jawaban: A

13. Persamaan garis singgung lingkaran

di titik

adalah….

A. B. C. D. E. Alternatif penyelesaian: Ingat kembali bahwa persamaan garis singgung lingkaran adalah garis singgung lingkaran

di titik Dengan demikian persamaan

di titik

adalah:

Jawaban: D

14. Diketahui premis-premis (1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung (2) Ibu tidak memakai payung Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah…. A. Hari tidak hujan B. Hari hujan C. Ibu memakai payung D. Hari hujan dan Ibu memakai payung E. Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung

11

Alternatif penyelesaian: Misalkan, p : hari hujan q : Ibu memakai payung Sesuai dengan premisnya diperoleh pq ~q  ~p (hari tidak hujan)

Jawaban: A

15. Diketahui suku banyak dibagi

sisa -1, maka nilai

. Jika

dibagi

sisa 11,

….

A. 13 B. 10 C. 8 D. 7 E. 6 Alternatif penyelesaian: dibagi

sisa 11. Berarti

dibagi

sisa -1. Berarti

, yang menghasilkan , yang menghasilkan

Dari sini diperoleh

12

Jadi Jawaban: C 16. Diketahui

dan

adalah faktor-faktor suku banyak

Jika akar-akar persamaan suku bannyak tersebut adalah maka nilai

,

, dan

. , untuk

….

A. 8 B. 6 C. 3 D. 2 E. – 4 Alternatif penyelesaian:

Untuk

berlaku:

Untuk

Untuk menentukan faktor yang lain dari

berlaku:

digunakan cara:

| |

Faktor yang lain adalah

, sehingga nilai dari

Jawaban: B

13

17. Nilai yang memenuhi persamaan A.

1 2

1

log( x 2  3) 2 log x  1 adalah….

atau

B.

atau

C.

atau

D.

saja

E.

saja

Alternatif penyelesaian: Prasyarat yang harus dipenuhi adalah: (1)

(

. Sementara itu √ atau

prasyarat

√ )(

√ )

. Sehingga didapatkan



(2) x  0 Kombinasi (1) dan (2) diperoleh prasyarat



(*)

Dengan memperhatikan prasyarat di atas selanjutnya diselesaikan

(

) .

Dari sini diperoleh penyelesaian atau

.

Mengingat (*) maka didapat penyelesaian Jawaban: E 18. Persamaan bayangan garis refleksi terhadap

karena refleksi terhadap garis

, dilanjutkan

adalah….

A. B. C. D. E. Alternatif penyelesaian: Matriks transformasi untuk refleksi adalah sebagai berikut:

14

(

)

(

)

( )

(

)(

( )

(

)(

( )

(

)

)(

)

)

Dari sini diperoleh:

Jadi hasil transformasinya adalah Jawaban: B 19. Bentuk sederhana dari

….

A. B. C. D. E. Alternatif penyelesaian: Perhatikan bahwa

Jawaban: E

15

20. Hasil dari ∫

….

A. B. C. D. E. Alternatif penyelesaian: Misalkan: , maka

Sehingga ∫



Jawaban B 21. Hasil



2x  3 3x 2  9 x  1

dx 

A. 2 3x 2  9 x  1  C B.

1 3x 2  9 x  1  C 3

C.

2 3x 2  9 x  1  C 3

D.

1 3x 2  9 x  1  C 2

E.

3 3x 2  9 x  1  C 2

16

Alternatif penyelesaian: Misalkan 3x  9 x  1  t , maka berlaku: 2

(6 x  9)dx  dt  3  2 x  3 dx  dt

1   2 x  3 dx  dt 3 Apabila nilai t disubstitusikan pada soal, diperoleh:



2x  3 3x 2  9 x  1

dx 



1 3 dt  1 t  12 dt  1  2  t 12  C  2  3x 2  9 x  1  C 3 3 3 t

Jawab: C

22. Nilai

cos140  cos100  sin140  sin100

Alternatif penyelesaian: Menggunakan rumus trigonometri diperoleh:

 140  100 2.sin  2 cos140  cos100   sin140  sin100  140  100 2.cos  2 



  140  100  .sin  2     140  100  .sin  2  

     

2.sin120 .sin 20 2.cos120 .sin 20

= − tan 120º =

3 y  a log( x)

y Jawaban: E

(1,0)

-3

8

x

17

23. Perhatikan gambar! Persamaan grafik fungsi inversnya adalah … A. y  3 B. y 

x

1 3

x

1

C. y  3 x

1 D. y  2

x

x E. y  2

Alternatif penyelesaian: Dari grafik dapat dilihat bahwa: a

log1  0 dan a log8  3

dipenuhi untukBerlaku a =

1 2

a 1 Sehingga, apabila f(x)= log x , maka fungsi invers f dapat diperoleh dengan cara:

1 y  a log x  x  a y    2 1 f 1 ( x)    2

y

x

Jawaban: D

24. Modus data pada tabel berikut adalah ... Ukuran

f

1−5

3

6 − 10

17

11 − 15

18

16 − 20

22

21 − 25

25

26 − 30

21

18

31 − 25

4

3 4

A. 20,5  .5 B. 20,5 

3 .5 25 3 7

C. 20,5  .5

3 4

D. 20,5  .5

3 7

E. 20,5  .5

Pembahasan: Modus = Tb 

fa .I dengan: f a  fb

Tb = tepi bawah kelas dengan frekuensi terbesar ( f=25) , yakni 20,5 fa = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya, yakni 2522 = 3 fb = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudahnya, yakni 25  21 = 4 I = interval kelas = 5 Jadi:

3 7

Modus = 20,5  .5 Jawaban: C 25. Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal, tetapi nomor 1 sampai dengan 4 wajib dikerjakan. Banyaknya pilihan yang harus diambil siswa tersebut ada ... A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 30 Alternatif penyelesaian: Karena soal nomor 1 sampai dengan 4 wajib dikerjakan, maka tersisa 6 soal lain untuk dipilih sebanyak 4 soal.

19

Kejadian ini merupakan kejadian kombinasi, karena urutan tidak diperhatikan. Apabila soal yang dipilih adalah {soal 5, soal 6, soal 7, soal 8} maka dianggap sama dengan memilih { soal 6,soal 5, soal 7, soal 8}. n adalah banyak soal = 6 r adalah banyak soal yang harus dipilih = 4



n! (n  r )!r !

C4 

6!  15 2!4!

n Cr

6

Jawaban: B

26. Dari dalam kantong yang berisi 8 kelereng merah dan 10 kelereng putih akan diambil 2 kelereng sekaligus secara acak. Peluang yang terambil 2 kelereng putih adalah… A.

20 153

B.

28 153

C.

45 153

D.

56 153

E.

90 153

Alternatif penyelesaian: Misal: A= kejadian terambil 2 kelereng putih S=ruang sampel, yaitu kejadian terambilnya 2 kelereng dari 18 kelereng

Maka peluang terambil 2 kelereng putih adalah

P  A 

n( A) n( S )

dengan n(A) kombinasi terambilnya 2 kelereng putih dari 10 kelereng putih Jadi:

20

10! C 45 P( A)  10 2  8!2!  18! 153 18 C2 16!2! Jawaban: C

27. Diketahui  A  B  



dan sin A.sin B 

3

1 . Nilai cos( A  B)  ... 4

A. 1 B. 

1 2

C.

1 2

D.

3 4

E. 1 Alternatif penyelesaian: Dengan menggunakan rumus trigonometri untuk jumlahan dan selisih sudut, berlaku:

cos( A  B)  cos A cos B  sin A sin B  cos 

 3

 cos A cos B 

1 4

1 1  cos A cos B  2 4

Diperoleh: cos A cos B 

3 4

Dari sini maka,

cos( A  B)  cos A cos B  sin A sin B 

3 1  1 4 4 Jawaban: E

 3 2  3 1  dan B    0 5  17 0 

28. Diketahui matriks A  

Jika AT = transpose matriks A dan AX=B+AT, maka determinan matriks X =

21

A. −5 B. −1 C. 1 D. 5 E. 8 Alternatif penyelesaian:

 3 2  3 0 1  5 2  T 1 A  maka A    dan A    15  0 3  0 5  2 5  0 1 B  AT     15 5  Ditentukan matriks X yang memenuhi persamaan: AX=B+AT Maka : A-1 A X = A-1(B+AT)  X = A-1(B+AT)

X

1  5 2  0 1 1  30 15   2 1    =    15  0 3  15 5  15  45 15   3 1 

Diperoleh det(X) = 2.1 − (-3)(-1) = -1

Jawaban: B

29. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah ... A. 4 6 cm B. 4 5 cm C. 4 3 cm D. 4 2 cm E. 4 cm

Alternatif penyelesaian: Jarak titik M ke AG merupakan panjang garis yang melalui titik M dan tegak lurus garis AG, misal garis MTt.

M

H

G F

E Tt D

C 22 A

B

Perhatikan bidang AMG. AMG merupakan segitiga sama kaki.

8 cm

M

A

Tt

Panjang AM = MG =

G

EM 2  EA2  82  42  4 5

Panjang AG = panjang diagonal ruang = 8 3 Diperoleh: MT =

1 AM 2  AG 2  (4 5) 2  (4 3) 2  4 2 cm 2 Jawaban : D

30. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah: A.

1 6 3

B.

1 3 2

C.

1 2 2

D.

1 3 3

E.

1 2 3

Alternatif penyelesaian:

H

Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah nilai kosinus sudut MGC.

cos MGC 

G F

E

GC MG

t D C

M A

10 cm

B 23

 

GC GC 2  MC 2 10 1  102   10 2  2 

2



10 1  6 5 6 3

Jawaban: A

2 31. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar (9000  1000 x  10 x ) rupiah. Jika

semua ahasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp 5000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ... A. Rp 149.000,00 B. Rp 249.000,00 C. Rp 391.000,00 D. Rp 609.000,00 E. Rp 757.000,00 Alternatif penyelesaian: 2 Diketahui biaya produksi = (9000  1000 x  10 x ) rupiah dan harga per produk = Rp 5000,00

Karena laba = pendapatan − biaya produksi, maka: 2 2 Laba = F(x) = 5000 x  (9000  1000 x  10 x )  10 x  4000 x  9000

Laba maksimum diperoleh pada nilai x untuk F’(x) = 0.

F '( x)  0  20 x  4000  0  x  200 Untuk x = 200, diperoleh : 2 Laba = F(x) =  10.(200)  4000(200)  9000 = Rp 391.000,00

Jawaban: C 2 32. Luas daerah yang dibatasi kurva y  4  x , y   x  2 , dan 0  x  2 adalah …

A.

8 satuan luas 3

B.

10 satuan luas 3

24

C.

14 satuan luas 3

D.

16 satuan luas 3

E.

26 satuan luas 3

Alternatif penyelesaian:

2

L=

  f ( x)  f ( x )dx 1

2

0

2

2

0

0

   (4  x 2 )  ( x  2) dx     x 2  x  2 dx 2

1 1    x3  x 2  2 x  3 2 0

10  8      2  4  0 = 3  3  Jawaban: B 33. Suku ke-4 dan ke-9 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku ke-30 barisan aritmetika tersebut adalah ... A. 308 B. 318 C. 326 D. 344 E. 354 Alternatif penyelesaian:

25

Un adalah suku ke-n suatu barisan aritmetika, a adalah suku pertama dan b adalah beda.

U9  150  a  8b  150 ...... 1) U 4  110  a  3b  110 ....... 2) Dengan menggunakan metode eliminasi antara persamaan 1) dan 2) diperoleh: a = 86 dan b = 8. Sehingga:

U30  a  29b  86  (29)(8)  318 Jawaban: B

34. Seorang penjual daging pada bulan Januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan ada .... A. 1.050 kg B. 1.200 kg C. 1.350 kg D. 1.650 kg E. 1.750 kg Alternatif penyelesaian: Sn adalah jumlahan suku ke-n suatu barisan aritmetika, a adalah suku pertama dan b adalah beda. Dari soal: a=120 dan b=10. Berlaku:

Sn 

n  2a   n  1 b  2

S10 

10  2.120  9.10   1650 kg 2 Jawaban: D 4

35. Hasil

 ( x

2

 6 x  8)dx  ...

2

A.

38 3

B.

26 3

26

C.

20 3

D.

16 3

E.

4 3

Alternatif penyelesaian: 4

 ( x

2

2

4 1  6 x  8)dx   x3  3x 2  8 x  2 3

1 1 4   (4)3  3.42  8.4  ( (2)3  3.22  8.2) = 3 3 3 Jawaban: E 

  sin 3x  cos x dx  ...

36.

0

A.

10 3

B.

8 3

C.

4 3

D.

2 3

E. 

4 3

Penyelesaian 

  sin 3x  cos x dx  0



1   1  1 1 2   1   cos 3x  sin x     cos 3  sin      cos 0  sin 0  =  = 3   3  3 3 3 0  3 Jawaban: D

27

2 37. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y  x , garis y  2 x di

kuadran I diputar 360º terhadap sumbu x adalah ... A.

20  satuan volume 15

B.

30  satuan volume 15

C.

54  satuan volume 15

D.

64  satuan volume 15

E.

144  satuan volume 15

Alternatif penyelesaian:

Untuk menentukan volume benda putar antara dua kurva, ditentukan terlebih dahulu titik potong dua kurva. Titik potong antara y1  x 2 dan y2  2 x diperoleh untuk:

y1  y2  x2  2 x  x  x  2   0  x = 0 dan x=2 Sehingga:

2 2 2  2 2 V     ( y1 )   y2   dx     4x  x 4  dx 0  0  2

1 1  4  64 4    x3  x5     (8)  (32)  0    satuan volume 5 5 0 3  15 3

28

Jawaban: D

38. Dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 8 cm dibuat segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah ... A.

128  64 3 cm

B.

128  64 2 cm

C.

128  16 2 cm

D.

128  16 2 cm

E.

128  16 3 cm

Alternatif penyelesaian: Perhatikan segitiga BIJ pada gambar di samping.

BJ 2  BI 2  IJ 2  2.BI .IJ .cos 45  82  82  2.8.8.

1 2 2

BJ  128  64 2 cm Jawaban: B 39. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF . Panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 2 7 cm, dan CF = 8 cm. Volume prisma tersebut adalah … A. 96 3 cm3 B. 96 2 cm3 C. 96 cm3 D. 48 3 cm3 E. 48 2 cm3 D

Alternatif penyelesaian: Volume Prisma= Luas alas × tinggi

F

E

Luas alas prisma = luas segitiga ABC 8 2 7

A 4 B

C α

6

2 7

A

C

4 B

6 29

30

Menggunakan rumus cosinus sudut pada segitiga, berlaku:

b2  a2  c2  2.a.c.cos  (2 7)2  62  42  2.6.4.cos 

cos  

1    60 2

Sehingga diperoleh: Luas segitiga ABC =

1 1 1 1 .a.c.sin  = .6.4.sin 60  .6.4. 3  6 3 2 2 2 2

Jadi: Volume Prisma= 6 3 × 8 = 48 3 cm3 Jawaban : D 40. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2 x  cos x  0,0  x  180 adalah … A. {45º,120º} B. {45º,120º} C. {60º,135º} D. {60º,120º} E. {60º,180º} Alternatif penyelesaian:

cos 2 x  cos x  0

 2cos2 x 1  cos x  0  2cos2 x  cos x 1  0  2cos2 x  2cos x  cos x 1  0  2cos x(cos x  1)  1(cos x  1)  0  (2cos x 1)(cos x  1)  0  (2cos x  1)  0 atau (cos x  1)  0 , 0  x  180  x  60 atau x  180 Jawaban: E

31