Pembahasan Soal SIMAK-UI 2011 Matematika Dasar kode 211

Pembahasan Soal

SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA

Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS

Disusun Oleh :

Pak Anang

Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan Soal SIMAK– SIMAK–UI 2011 Matematika Dasar Kode Soal 211 By Pak Anang (http://pakhttp://pak-anang.blogspot.com) anang.blogspot.com)

PETUNJUK A: Untuk soal nomor 1-16 pilihlah satu jawaban yang paling tepat. 1.

Diketahui 56 + 8 6 = 1 dan : 6 + ; 6 = 1. Nilai minimum dari 5: + 8; − 2 adalah .... A. −6 B. −5 C. −3 D. 3 E. 5 Pembahasan:

Ingat bilangan kuadrat pasti lebih besar sama dengan nol. Sehingga diperoleh:

(5 + :)6 ≥ 0 ⇔ 56 + 25: + : 6 ≥ 0

dan

(8 + ;)6 ≥ 0 ⇔ 8 6 + 28; + ;6 ≥ 0

Dengan menjumlahkan kedua pertidaksamaan maka diperoleh: 56 + 8 6 + : 6 + ; 6 + 25: + 28; ≥ 0 ⇔ 2 + 25: + 28; ≥ 0 ⇔ 2(1 + 5: + 8;) ≥ 0 ⇔ 1 + 5: + 8; ≥ 0 ⇔ 5: + 8; ≥ −1

Karena 5: + 8; ≥ −1, jelas terlihat bahwa nilai minimum dari 5: + 8; adalah −1, akibatnya nilai minimum dari 5: + 8; − 2 adalah −3.

Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 1

2.

Dua titik dengan CD = −5 dan C6 = 35 dimana 5 ≠ 0, terletak pada parabola F = C 6 . Garis G menghubungkan 2 titik tersebut. Jika garis singgung parabola di suatu titik sejajar dengan garis G, maka garis singgung tersebut akan memotong sumbu F di .... A. – 56 B. 56 C. 256 D. 456 E. 556 Pembahasan:

Misalkan A dan B adalah masing-masing adalah titik pada garis CD = 5 dan C6 = 35, dimana 5 ≠ 0 yang terletak pada parabola F = C 6 , maka koordinat titik A adalah (−5, 56 ) dan koordinat titik B adalah (35, 956 ). Sebuah garis G menghubungkan titik A dan titik B, maka diperoleh gradien garis G adalah: JK =

956 − 56 856 = = 25 35 − (−5) 45

Misalkan ℎ adalah garis singgung kurva, maka gradien garis singgung kurva F = C 6 untuk sebarang nilai C adalah JO = F P = 2C. Dari soal diperoleh informasi bahwa garis singgung ℎ sejajar dengan garis G, maka JO = JK = 25.

Karena JO = 2C dan JO = 25, maka diperoleh C = 5.

Sehingga garis singgung ℎ adalah garis singgung yang menyinggung kurva pada titik (5, 56 ). Sehingga diperoleh persamaan garis singgung ℎ di titik (5, 56 ) adalah:

(F − FD ) = JO (C − CD ) ⇔ F − 56 = 25(C − 5) ⇔ F − 56 = 25C − 256 ⇔ F = 25C − 56

Jadi, diperoleh titik potong garis singgung ℎ dengan sumbu F: C = 0 ⇒ F = 25(0) − 56 = −56

Titik potong garis singgung ℎ dengan sumbu F adalah (0, −56 )


Halaman 2

3.

Diketahui S(C) =

GWS(C)X adalah .... Y A. − B. − C.

Z Y Y

D. Z E. 2

Z Z

TUD TVD

dan G(C) = 3C. Jumlah semua nilai C yang mungkin sehingga SWG(C)X =

Y

Pembahasan: D

Perhatikan bahwa,

SWG(C)X = S(3C) = dan

3C − 1 3C + 1

C−1 C−1 3C − 3 GWS(C)X = G [ \ = 3[ \= C+1 C+1 C+1 Sehingga diperoleh:

3C − 1 3C − 3 = C+1 3C + 1 ⇔ (3C − 1)(C + 1) = (3C + 1)(3C − 3) ⇔ 3C 6 + 2C − 1 = 9C 6 − 6C − 3 ⇔ 6C 6 − 8C − 2 = 0

SWG(C)X = GWS(C)X ⇔

Sehingga jika CD dan C6 adalah penyelesaian dari SWG(C)X = GWS(C)X maka dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat diperoleh jumlah semua nilai C yang mungkin adalah: CD + C6 = −

−8 8 4 = = 6 6 3


Halaman 3

4.

Jika ] = ^

A. B. C. D. E.

2a ` 2D6 ` 4a 4b ` 2DY

2 1 −3 _ dan ` = ^ _ maka ]a ` = .... 0 4 −6

Pembahasan:

TRIK SUPERKILAT:

−6 − 6 1 −3 −12 _^ _ = ^ _=^ _ 4 −6 0 − 24 −24 −3 −12 Dari ]` bisa diketahui bahwa ]` = ^ _ = 4 ^ _ = 4` ⇔ ] = 4 −6 −24 Karena nilai ] = 4, maka:

]` = ^

2 0

]a ` = (4)a ` = (26 )a ` = 2D6 `


Halaman 4

5.

Nilai dari c2 + √5 + c2 − √5 − 3 adalah .... A. −2 B. −1 C. 1 D. 1,5 E. 2 e

e

Pembahasan:

Soal ini menantang kita untuk menghilangkan tanda akar pangkat 3.

Ingat, (5 + 8 + :)Z = 5Z + 8 Z + : Z + 3W56 (8 + :) + 8 6 (5 + :) + : 6 (5 + 8)X + 658:

Misal, 5 + 8 + : = 0 maka diperoleh:

5 + 8 + : = 0 ⇔ 0 = 5Z + 8 Z + : Z + 3W56 (−5) + 8 6 (−8) + : 6 (−:)X + 658: ⇔ 0 = 5Z + 8 Z + : Z + 3(−5Z − 8 Z − : Z ) + 658: ⇔ 2(5Z + 8 Z + : Z ) = 658: ⇔ 5Z + 8 Z + : Z = 358:

Misal f = c2 + √5 + c2 − √5 maka c2 + √5 + c2 − √5 − f = 0, sehingga e

e

5 = g2 + √5 e

e

e

8 = g2 − √5 e

: = −f

Dikarenakan 5 + 8 + : = 0, maka 5Z + 8 Z + : Z = 358:, sehingga ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Z

Z

h g2 + √5i + h g2 − √5i + (−f)Z = 3 h g2 + √5 × g2 − √5i (−f) e

e

e

2 + √5 + 2 − √5 − f Z = (−3f) ∙ √−1 4 − f Z = 3f Z f + 3f − 4 = 0 (f − 1)(f 6 + f + 4) = 0

e

e

Dari persamaan (f − 1)(f 6 + f + 4) = 0, nilai f yang mungkin adalah: f − 1 = 0 atau f 6 + f + 4 = 0

Karena persamaan f 6 + f + 4 = 0 menghasilkan akar-akar yang imajiner, maka hanya didapatkan satu nilai f yaitu f = 1. Sehingga,

g2 + √5 + g2 − √5 − 3 = f − 3 = 1 − 3 = −2

e

e


Halaman 5

6.

Jika diketahui bahwa l 6 log 8 + m log 5 = 1 dimana 5, 8 > 0 dan 5, 8 ≠ 1, maka nilai 5 + 8 = ....

A.

B. C. D. E.

6

lo VD l

2 √5 25 56 5DV√6

Pembahasan: l6

1 l 1 ∙ log 8 + ∙ m log 5 = 1 2 2 1 l ( log 8 + m log 5) = 1 ⇔ 2 l ⇔ log 8 + m log 5 = 2 1 l ⇔ log 8 + l =2 log 8 (l log 8)6 + 1 = 2(l log 8) ⇔ ⇔ (l log 8)6 − 2(l log 8) + 1 = 0 (l log 8 − 1)6 = 0 ⇔ l ⇔ log 8 − 1 = 0 l ⇔ log 8 = 1

log 8 + m log 5 = 1 ⇔ 6

Karena l log 8 = 1 maka 5D = 8 ⇔ 5 = 8, sehingga 5 + 8 = 5 + (5) = 25


Halaman 6

7.

Jika rata-rata 20 bilangan bulat nonnegatif berbeda adalah 20, maka bilangan terbesar yang mungkin adalah .... A. 210 B. 229 C. 230 D. 239 E. 240 Pembahasan:

Misalkan q adalah bilangan terbesar yang mungkin, dan Cr adalah bilangan bulat nonnegatif dimana Cr ≥ 0.

Sehingga jika rata-rata 20 bilangan nonnegatif berbeda termasuk q adalah 20, maka:

CD + C6 + CZ + … + CDt + q = 20 ⇔ CD + C6 + CZ + … + CDt + q = 400 20 Sehingga apabila diambil kemungkinan terburuk yaitu 19 bilangan nonnegatif tersebut adalah bilangan-bilangan 0, 1, 2, 3, ..., 18, maka: 0 + 1 + 2 + … + 18 + q = 400 ⇔ 171 + q = 400 ⇔ q = 400 − 171 ⇔ q = 229


Halaman 7

8.

Diketahui fungsi S(C) = C 6 − 2C − 5|C|. Nilai maksimum S(C) pada interval [−5, 10] adalah .... t A. Y Yt

B. Y C. 10 D. 20 E. 30

Pembahasan:

S(C) = C 6 − 2C − 5|C| x Sehingga,

•

C 6 − 7C, untuk C ≥ 0 C 6 + 3C, untuk C < 0

S(C) = C 6 − 7C ⇒ S P (C) = 2C − 7 S(C) memiliki titik ekstrim untuk C yang memenuhi S P (C) = 0 7 S P (C) = 0 ⇔ 2C − 7 = 0 ⇔ C = 2

Untuk interval ^ , 10z S P (C) > 0, sehingga S(C) naik, jadi nilai maksimum kemungkinan berada 6 di akhir interval, yaitu saat C = 10. Sehingga diperoleh S(10) = (10)6 − 7(10) = 30. b Untuk interval {0, _ S P (C) < 0, sehingga S(C) turun, jadi nilai maksimum kemungkinan berada b

6

di awal interval, yaitu saat C = 0. Sehingga diperoleh S(0) = 0

•

Jadi nilai maksimum S(C) pada interval [0, 10] adalah 30.

S(C) = C 6 + 3C ⇒ S P (C) = 2C + 3 S(C) memiliki titik ekstrim untuk C yang memenuhi S P (C) = 0 3 S P (C) = 0 ⇔ 2C + 3 = 0 ⇔ C = − 2

Untuk interval ^− 6 , 0_ S P (C) > 0, sehingga S(C) naik, jadi nilai maksimum kemungkinan berada di akhir interval, yaitu saat C = 0. Sehingga diperoleh S(0) = 0. Z Untuk interval {−5, − 6_ S P (C) < 0, sehingga S(C) turun, jadi nilai maksimum kemungkinan berada di awal interval, yaitu saat C = 0. Sehingga diperoleh S(−5) = (−5)6 − 3(−5) = 10 Z

Jadi nilai maksimum S(C) pada interval [−5, 0) adalah 10.

Sehingga didapatkan nilai maksimum S(C) pada interval [−5, 10] adalah 30. TRIK SUPERKILAT:

Dengan menggambar sketsa grafik S(C) = x

C 6 − 7C, untuk C ≥ 0 C 6 + 3C, untuk C < 0

akan diperoleh kesimpulan bahwa nilai maksimum S(C) adalah saat C = 10 yaitu 30. F = C 6 + 3C 3

F = C 6 − 7C

0

7


Halaman 8

9.

Jika C adaah sudut lancip dengan tan6 C = dan memenuhi persamaan m 2 sin6 C − 8 sin C = 2 cos6 C − 5, maka nilai dari 28 sin C = .... A. 2 B. 3 C. 2√3 D. 3√2 E. 3√3 D

Pembahasan:

Dari persamaan 2 sin6 C − 8 sin C = 2 cos6 C − 5 diperoleh

2 sin6 C − 8 sin C = (2 − 2 sin6 C) − 5 2 sin6 C − 8 sin C = −2 sin6 C − 3 4 sin6 C − 8 sin C + 3 = 0 (2 sin C − 1)(2 sin C − 3) = 0 pembuat nol ⇔ 2 sin C − 1 = 0 atau 2 sin C − 3 = 0 2 sin C = 1 2 sin C = 3 1 3 sin C = sin C = (}~;5f J•€Gf~€) 2 2

2 sin6 C − 8 sin C = 2 cos6 C − 5 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Sehingga karena nilai sin C = 6 dan C adalah sudut lancip maka nilai C = 30°. D

Dari persamaan tan6 C = m diperoleh: D

6 1 3 3 6 6 2 ∙ ^ √3_ 2∙ sin 1 2 cos C C 1 2 4 = ⇔ 28 sin C = = = = 2 =3 tan6 C = ⇔ 6 1 1 1 cos C 8 sin C 8 2 2 2


Halaman 9

10.

5 + 28 + 3: = 12 258 + 35: + 68: = 48 maka nilai 5 + 8 + : = .... b A. Diketahui ‚

B. C.

Z ƒ

Z D„ Z 66

D. Z E. 6

Pembahasan:

Misalkan C = 5, F = 28, dan … = 12, maka diperoleh persamaan: C + F + … = 12

CF + C… + F… = 48

Dari penjabaran kuadrat C + F + … kita tahu bahwa,

(C + F + …)6 = C 6 + F 6 + … 6 + 2(CF + C… + F…) ⇔ C 6 + F 6 + … 6 ⇔ C6 + F6 + …6 ⇔ C6 + F6 + …6 ⇔ C6 + F6 + …6

= (C + F + …)6 − 2(CF + C… + F…) = (12)6 − 2(48) = 144 − 96 = 48

Karena diberikan CF + C… + F… = 48 dan dari perhitungan juga diperoleh C 6 + F 6 + … 6 = 48, maka:

C 6 + F 6 + … 6 = CF + C… + F… ⇔ C 6 + F 6 + … 6 − CF − C… − F… = 0 1 1 1 1 1 1 ⇔ [ C 6 − CF + F 6 \ + [ C 6 − C… + … 6 \ + [ F 6 − F… + … 6 \ = 0 2 2 2 2 2 2 1 ⇔ [(C 6 − 2CF + F 6 ) + (C 6 − 2C… + … 6 ) + (F − 2F… + … 6 )] = 0 2 1 [(C − F)6 + (C − …)6 + (F − …)6 ] = 0 ⇔ 2 (C − F)6 + (C − …)6 + (F − …)6 = 0 ⇔ Persamaan tersebut dipenuhi jika C = F = ….

Sehingga karena C + F + … = 12, maka C = F = … = 4, maka C=5⇔5=4

F = 28 ⇔ 28 = 4 ⇔ 8 = 2 … = 3: ⇔ 3: = 4 ⇔ : =

Jadi,

5+8+: =4+2+

4 3

4 12 6 4 22 = + + = 3 3 3 3 3


Halaman 10

11.

Untuk setiap C, F anggota bilangan riil didefinisikan C • F = (C − F)6, maka (C − F)6 • (F − C)6 adalah .... A. 0 B. C 6 + F 6 C. 2C 6 D. 2F 6 E. 4CF Pembahasan:

(C − F)6 • (F − C)6 = ((C − F)6 − (F − C)6 )6

TRIK SUPERKILAT:

= W(C 6 − 2CF + F 6 ) − (F 6 − 2CF + C 6 )X = 06 =0

6

Ingat C 6 = (−C)6, maka (C − F)6 = W−(C − F)X = (F − C)6 Jadi (C − F)6 • (F − C)6 = (C − F)6 • (C − F)6

= W(C − F) − (C − F)X = 06 =0

6

6


Halaman 11

12.

‡

U6 Œ•Ž T

0,5 sin 2C hˆ‰Š ‹••Œ T A. B. C. D. E.

sin 2C cos 2C tan 2C cot 2C sec 2C

i = ....

Pembahasan:

1 2 sin6 C 1 − 2 sin C − sin C ” 0,5 sin 2C ‘sin C ’ = 0,5 ∙ (2 sin C cos C) ∙ “sin C cos C cos C 1 − 2 sin6 C = sin C cos C h i sin C cos C = 1 − 2 sin6 C = cos 2C


Halaman 12

13.

1 − 3 + 5 + 7 − 9 + 11 + 13 − 15 + 17 + … + 193 − 195 + 197 = .... A. 3399 B. 3366 C. 3333 D. 3267 E. 3266 Pembahasan:

1 − 3 + 5 + 7 − 9 + 11 + 13 − 15 + 17 + … + 193 − 195 + 197 ⇔ (1 − 3 + 5) + (7 − 9 + 11) + (13 − 15 + 17) + … + (193 − 195 + 197) ⇔ 3 + 9 + 15 + … + 195

Terlihat bahwa barisan tersebut adalah barisan aritmetika dengan suku pertama 5 = 3, dan selisih atau beda 8 = 6. Sehingga,

•• = 5 + (€ − 1)8 ⇔ 195 = 3 + 6(€ − 1) ⇔ € = 33

Jadi,

–• =

€ 33 33 (5 + •• ) = (3 + 195) = ∙ 198 = 33 ∙ 99 = 3267 2 2 2


Halaman 13

14.

Peluang mendapatkan satu kali jumlah angka 7 dalam tiga kali pelemparan dua dadu adalah .... — A.

B.

C.

D. E.

6Ya —

Za 6— Ya 6—

b6 D6— YZ6

Pembahasan:

Pada pelemparan dua dadu, jumlah ruang sampel adalah €(˜) = 36.

Misalkan A adalah kejadian mendapatkan jumlah angka 7 pada satu kali pelemparan dua dadu, maka: ] = ™(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)š Sehingga, €(]) = 6

Jadi peluang mendapatkan jumlah angka 7 pada satu kali pelemparan dua dadu adalah: ›(]) =

€(]) 6 1 = = €(˜) 36 6

Sehingga peluang tidak mendapatkan jumlah angka 7 pada satu kali pelemparan dua dadu adalah:

1 5 = 6 6 Misal B adalah kejadian mendapatkan jumlah angka 7 pada tiga kali pelemparan dadu, maka dengan menggunakan aturan perkalian diperoleh peluang mendapatkan hanya satu kali jumlah angka 7 pada tiga kali pelemparan dua dadu adalah: ›(]œ ) = 1 − ›(]) = 1 −

›(`) =

1 5 5 25 ∙ ∙ ∙3= 6 6 6 72


Halaman 14

15.

Jika solusi dari persamaan 5TV— = 7T dapat dinyatakan dalam bentuk C = l log 5— , maka nilai 5 = .... — A.

B.

C.

D. E.

D6 — b b

— D6 b D6 —

Pembahasan:

5TV— = 7T ⇔ log 5TV— = log 7T (C + 5) log 5 = C log 7 ⇔ ⇔ C log 5 + 5 log 5 = C log 7 ⇔ 5 log 5 = C log 7 − C log 5 ⇔ log 5— = C(log 7 − log 5) 7 ⇔ log 5— = C log [ \ 5 — log 5 ⇔ C= 7 log ^ _ 5 • ⇔ C = ž log 5— Sehingga nilai 5 =

7 . 5


Halaman 15

16.

Jika G(C) = (S ∘ S ∘ S)(C) dengan S(0) = 0 dan S P (0) = 2, maka nilai GP (0) = .... A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 E. 16 Pembahasan:

Dari persamaan G(C) = SW(S ∘ S)(C)X, dengan menggunakan aturan rantai pada turunan diperoleh: GP (C) = S P W(S ∘ S)(C)X ∙ S P WS(C)X ∙ S P (C) ⇔ GP (0) = S P W(S ∘ S)(0)X ∙ S P WS(0)X ∙ S P (0) ⇔ GP (0) = S P WS(0)X ∙ S P (0) ∙ S P (0) ⇔ GP (0) = S P (0) ∙ S P (0) ∙ S P (0) ⇔ GP (0) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ⇔ GP (0) = 8


Halaman 16

PETUNJUK C: Untuk soal nomor 17-20 17.

Akar-akar persamaan kuadrat C 6 − 6C + 25 − 1 = 0 mempunyai beda 10. Yang benar berikut ini adalah .... (1) Jumlah kedua akarnya 6. (2) Hasil kali kedua akarnya −16. (3) Jumlah kuadrat akar-akarnya 20. D (4) Hasil kali kebalikan akar-akarnya − Da. Pembahasan:

Misal akar-akar persamaan kuadrat C 6 − 6C + 25 − 1 = 0 adalah ¡ dan ¢ dan ¡ > ¢, maka dengan menggunakan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh: −6 = 6 (¡£¤€F5}55€ (1) 8£€5¤) 1 Karena pernyataan (1) benar, otomatis pernyataan (3) juga benar, jadi periksa kebenaran dari pernyataan(2):

¡+¢ =−

(¡ − ¢) = 10 ⇔ (¡ − ¢)6 ⇔ ¡6 − 2¡¢ + ¢ 6 ⇔ (¡ + ¢)6 − 4¡¢ ⇔ 36 − 4¡¢ ⇔ 4¡¢ ⇔

⇔

= 100 = 100 = 100 = 100 = −64 −64 ¡¢ = 4 ¡¢ = −16 (¡£¤€F5}55€ (2)8£€5¤)

Periksa kebenaran pernyataan (4):

1 1 1 1 1 ∙ = = =− (¡£¤€F5}55€ (4)8£€5¤) ¡ ¢ ¡¢ −16 16

Jadi kesimpulannya pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.

Ups, namun ada yang janggal, pernyataan (3) sebenarnya tidak tepat. Periksa pernyataan (3):

¡6 + ¢ 6 = (¡ + ¢)6 − 2¡¢ = (6)6 − 2(−16) = 36 − 32 = 4 (¡£¤€F5}55€ (3) –£8£€5¤€F5 –5¥5ℎ) Jadi kesimpulan yang tepat adalah hanya pernyataan (1), (2), dan (4) yang benar.


Halaman 17

18.

Misalkan CD dan C6 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat C 6 + ¡C + ¢ = 0 yang merupakan bilangan bulat. Jika diketahui bahwa ¡ + ¢ = 2010, maka akar-akar persamaan tersebut adalah .... (1) −2012 (2) −2010 (3) −2 (4) 0 Pembahasan:

Misal akar-akar persamaan kuadrat C 6 + ¡C + ¢ = 0 adalah 5 dan 8 dan 5 ≥ 8, maka dari rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat diperoleh: 5 + 8 = −¡ 58 = ¢

Maka jika ¡ + ¢ = 2010 akan diperoleh:

¡ + ¢ = 2010 ⇔ −(5 + 8) + 58 = 2010 ⇔ 58 − 5 − 8 = 2010 ⇔ 58 − 5 − 8 + 1 = 2011 ⇔ (5 − 1)(8 − 1) = 2011

Dengan memperhatikan bahwa bilangan 2011 adalah bilangan prima. Maka faktor dari bilangan 2011 hanya bilangan 1 dan 2011 atau −1 dan −2011, sehingga: • •

5 − 1 = 1 atau 8 − 1 = 2011 Jadi 5 = 2 atau 8 = 2012. Ternyata tidak ada yang memenuhi pada jawaban. 5 − 1 = −1 atau 8 − 1 = −2011 Jadi 5 = 0 atau 8 = −2010. Sehingga pernyataan (2) dan (4) benar.


Halaman 18

19.

Diketahui bahwa A, B, C adalah 3 buah titik yang berbeda yang terletak pada kurva F = C 6 di mana garis yang menghubungkan titik A dan B sejajar dengan sumbu C. Ketika ketiga titik dihubungkan, akan terbentuk sebuah segitiga siku-siku dengan luas daerah sama dengan 5. Absis titik C adalah .... (1) −2√6 (2) 5 (3) 2√6 (4) 25 Pembahasan:

Misal titik A adalah (5, 56 ), sehingga dengan memperhatikan bahwa titik A dan B sejajar maka titik B adalah W– 5, 56 X. Sehingga jarak ruas garis AB adalah 25. Karena titik C adalah berada pada kurva sehingga luas daerah ABC sama dengan 5, maka kita bisa membuat permisalan bahwa titik C terletak di (8, 8 6 ).

Selanjutnya, dengan memperhatikan kurva F = C 6 dan bahwa segitiga ABC adalah segitiga sikusiku, maka mustahil sudut siku-siku segitiga ABC akan terletak pada A atau B, sehingga segitiga ABC akan siku-siku di C. Perhatikan, gradien ruas garis ]¦ adalah J§¨ =

J©¨ =

m o Ulo mVl

= 8 − 5.

m o Ulo mUl

= 8 + 5 dan gradien ruas garis `¦ adalah

Karena ruas garis ]¦ dan `¦ siku-siku di C, maka : J§¨ ∙ J©¨ = −1 ⇔ (8 + 5)(8 − 5) = −1 ⇔ 8 6 − 56 = −1

Sehingga, dengan memperhatikan bahwa } adalah tinggi segitiga terhadap alas ]`, maka } adalah jarak titik C ke garis AB, artinya jarak ordinat C ke A atau B. Sehingga } = 8 6 − 56 , maka luas daerah segitiga ]`¦ adalah: 1 1 ª = ∙ ]` ∙ } ⇔ ª = ∙ 25(8 6 − 56 ) 2 2 ⇔ 5 = 5(−1) ⇔ 5 = −5

Dengan mensubstitusikan 5 = −5 ke (8 6 − 56 ) = −1, diperoleh: 8 6 − 25 = −1 ⇔ 8 6 = 24 ⇔ 8 = ±√24 ⇔ 8 = ±2√6


Halaman 19

20.

Diberikan program linier berikut: Maks S = 3C + 2F dengan kendala C + F ≥ 4, 5C − F ≤ 0, −C + 5F ≤ 20, F ≥ 0 Jika daerah penyelesaiannya berbentuk segitiga siku-siku dengan siku-siku pada titik potong garis C + F = 4 dan 5C − F = 0, maka titik (C, F) dimana S mencapai maksimum akan memenuhi .... (1) F + 10 = 3C (2) C + 3F = 5C − F (3) 2C + 7 ≤ 4F (4) 2F ≥ 5 + C Pembahasan:

Perhatikan bahwa gradien garis C + F = 4 adalah JD = −1, dan gradien garis 5C − F = 0 adalah J6 = 5.

Dikarenakan daerah penyelesaian berbentuk segitiga siku-siku dengan siku-siku pada titik potong garis C + F = 4 dan 5C − F = 0, maka dua garis tersebut adalah siku-siku, sehingga berlaku sifat: JD ∙ J6 = −1 ⇔ −1 ∙ 5 = −1 ⇔ 5 = 1 Dengan menggambar ketiga garis pada bidang koordinat, diperoleh: −C + 5F ≤ 20 C−F≤0

5

4

2

2

4

5 C+F≥4

Jadi, jelas terlihat bahwa nilai maksimum 3C + 2F adalah di titik (5, 5). Dengan mensubstitusikan titik (5, 5) ke semua pernyataan:

(1) F + 10 = 3C ⇔ 5 + 10 = 3(5) ⇔ 15 = 15 (8£€5¤) (2) C + 3F = 5C − F ⇔ 5 + 3(5) = 5(5) − (5) ⇔ 20 = 20 (8£€5¤) (3) 2C + 7 ≤ 4F ⇔ 2(5) + 7 ≤ 4(5) ⇔ 17 ≤ 20 (8£€5¤) (4) 2F ≥ 5 + C ⇔ 2(5) ≥ 5 + (5) ⇔ 10 ≥ 10 (8£€5¤)

Sehingga dapat diperoleh kesimpulan bahwa semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.

Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam menghadapi SIMAK-UI, SNMPTN, OSN serta kumpulan pembahasan soal SIMAK-UI, SNMPTN, OSN ataupun yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi http://pak-anang.blogspot.com. Terimakasih, Pak Anang.


Halaman 20