pengantar geometri dan kalkulus peubah banyak - Universitas ...

i

CATATAN KULIAH

PENGANTAR GEOMETRI DAN KALKULUS PEUBAH BANYAK

Oleh:

Eridani

Departemen Matematika Universitas Airlangga SURABAYA

ii

Kata Pengantar Bismillahirrahmanirrahim. Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah Subhanahu Wata’ala yang telah melimpahkan karunia-Nya, sehingga penulis telah dapat menyusun catatan kuliah ini. Mempelajari Geometri untuk siswa Sekolah Menengah berarti terasosiasi dengan jenis-jenis, berikut beberapa sifat, kurva sederhana, semisal garis (lurus), lingkaran, dan parabola, di bidang datar. Untuk beberapa siswa Sekolah Menengah yang berminat mempelajari materi geometri di Olimpiade Sains, materi tersebut dapat ditambah dengan beberapa kurva atau permukaan pada ruang (dimensi 3). Selain itu, oleh karena bidang datar dan ruang (yang berturut-turut, biasa dinotasikan dengan R2 dan R3 ) mempunyai struktur yang sangat kaya, seperti yang telah dijelaskan dalam perkuliahan Aljabar Linier Elementer, maka materi elementer dalam Struktur Aljabar juga layak untuk diperkenalkan di sini. Materi tersebut dipilihkan berdasarkan keperluannya saja. Dimulai dengan vektor, sampai dengan penggunaannya dalam menyajikan persamaan garis dan bidang (dalam bentuk notasi vektor). Tidak lupa pula disajikan pengertian sudut (dan hasil kali dalam, sebagai perumumannya) yang pada akhirnya akan mengarahkan kita kepada pengertian panjang vektor (berikut ke konsep norma vektor sebagai perumumannya). Penyajian materi dimulai dengan melakukan orientasi pada materi geometri Sekolah Menengah, khususnya Trigonomeri, untuk memberikan gambaran awal tentang beberapa jenis benda-benda geometris baik di bidang maupun dalam ruang. Kemudian dilanjutkan dengan penyajian tentang garis dan beberapa sifat pentingnya. Kemudian geometri pada bidang diakhiri dengan penyampaian beberapa jenis irisan kerucut dalam bidang datar. Sebagai aplikasinya, mulai disajikan tentang kinematika benda (yang bergerak di sepanjang kurva pada bidang datar), berikut memperkenalkan beberapa definisi penting dalam mekanika sederhana untuk melengkapi materi ini. Puncaknya, materi tentang kinematika akan disajikan kembali tapi dengan setting yang berbeda, yaitu dalam ruang dimensi 3. Mudah-mudahan bimbingan dan bantuan dari semua pihak mendapat balasan yang setimpal dari Allah yang Maha Adil. Akhir kata dengan mengucapkan tiada gading

iii yang tak retak, penulis mohon maaf atas segala kekurangan, dan berharap semoga tulisan ini bermanfaat setidak-tidaknya bagi penulis sendiri, maupun bagi para peminat matematika pada umumnya.

DAFTAR ISI Kata Pengantar

ii

DAFTAR ISI

iv

I

Pendahuluan

1

I.1

Pengantar Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

I.2

Sistem Koordinat Kartesius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

I.2.1

Sistem Koordinat dan Garis Lurus . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

I.2.2

Garis pada sistem koordinat miring

. . . . . . . . . . . . . . . .

II Vektor

11 12

II.1 Vektor dan Penggunaannya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.1 Vektor pada Bidang Datar

12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

II.1.2 Penggunaan sifat-sifat Vektor dalam Geometri Datar . . . . . . .

15

II.1.3 Persamaan Garis pada Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

II.1.4 Garis dan Bidang dalam Ruang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

III Irisan Kerucut

19

III.1 Lingkaran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

III.2 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

III.3 Ellips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

IV Kurva di Bidang atau Ruang

27

IV.1 Pengertian Kurva di Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

IV.1.1 Persamaan Garis pada Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

IV.1.2 Pengertian Garis dan Bidang dalam Ruang . . . . . . . . . . . .

31

IV.2 Pengertian Ruang Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

iv

Bab I

Pendahuluan Seekor tiram berjemur di tepi pantai dengan kulit terbuka, tatkala seekor bangau menghampiri dan mematuk dagingnya. Tiram itu mengatup dengan tiba-tiba, sambil menjepit paruh panjang sang bangau. Tak satu pun mau mengalah. Akhirnya seorang nelayan mendekati dan menangkap keduanya. (Cerita rakyat Cina).

I.1

Pengantar Trigonometri

Subbab ini berisi tentang materi trigonometri sekolah menengah secara singkat. Diharapkan pembaca dapat menyerap informasi di dalamnya sekaligus melakukan orientasi terkait penotasian yang dituliskan di dalamnya, dan yang terpenting, pembaca dapat menjadikan penguasaan materi trigonometri di dalamnya dapat dijadikan sebagai dasar untuk persiapan mengerti konsep-konsep geometri yang akan disajikan dalam bab-bab selanjutnya. Dalam ∆ABC akan digunakan notasi sebagai berikut. a := |BC|,

b := |AC|,

c := |AB|,

dan α := ∠ BAC,

β := ∠ ABC,

γ := ∠ BCA.

Diketahui bahwa titik-titik K, L, M, terletak pada ruas-ruas garis AB, BC, dan CA. Ruas-ruas garis AL, BM , dan CK disebut garis ceva, atau cevian ∆ABC. Sedangkan L(∆ABC) menyatakan luas ∆ABC.

1

2

BAB I. PENDAHULUAN ♣ (Teorema Pythagoras). Jika dalam ∆ABC berlaku γ := 90◦ , maka c2 = a2 + b2 . Jika c2 = a2 + b2 , dapatkah kita simpulkan bahwa γ = 90◦ ?

♦ Konstruksikan persegi KLM N dengan panjang sisi a + b. Pasangkan titik-titik D, E, F, dan G pada sisi-sisi persegi sedemikian hingga |KD| = |LE| = |M F | = |N G| = a,

dan |DL| = |EM | = |F N | = |GK| = b.

Konstruksikan persegi DEF G. Dengan menggunakan fakta bahwa luas persegi yang besar sama dengan luas persegi kecil ditambah luas empat segitiga, maka terbuktilah apa yang diminta. ♣ (Aturan Sinus). Dalam ∆ABC berlaku sin β sin γ sin α = = . a b c

Catatan: Misalkan 0 < α, β < 90◦ . Pengerjaan dimulai dari kasus γ = 90◦ , kemudian dilanjutkan dengan 0 < γ < 90◦ , dan γ > 90◦ . ♣ Buktikan bahwa dalam ∆ABC berlaku • a = b cos γ + c cos β, • sin(β + γ) = sin β cos γ + cos β sin γ, • a(sin β − sin γ) + b(sin γ − sin α) + c(sin α − sin β) = 0. ♣ (Aturan Cosinus). Dalam ∆ABC berlaku a2 = b2 + c2 − 2bc cos α. Dapatkah anda memperoleh aturan sinus dari aturan cosinus, atau sebaliknya? ♦ Misalkan diketahui bahwa rumus cosinus berlaku dalam ∆ABC. Ini berarti a2 = b2 + c2 − 2bc cos α, b2 = a2 + c2 − 2ac cos β,

3

BAB I. PENDAHULUAN c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

Oleh karena (b2 + c2 − a2 )2 = 4 b2 c2 cos2 α = 4 b2 c2 (1− sin2 α), maka dengan mengingat bahwa 2s := a + b + c, akan kita punyai 4 b2 c2 sin2 α = 4 b2 c2 − (b2 + c2 − a2 )2 = (2 bc + b2 + c2 − a2 )(2 bc − b2 − c2 + a2 ) = (b + c + a)(b + c − a)(b + a − c)(a + c − b) = 16 s(s − a)(s − b)(s − c) =: 16 K 2 . Dengan demikian sin2 α 4 K2 = , a2 a2 b2 c2

atau

sin α 2K = . a abc

Dengan cara serupa, pada akhirnya akan kita peroleh sin α sin β sin γ 2K = = = . a b c abc Sebaliknya, misalkan dalam ∆ABC berlaku rumus sinus sin α sin β sin γ 1 = = = . a b c L Oleh karena α + β + γ = 180◦ , maka sin2 α = sin2 (β + γ) = (sin β cos γ + cos β sin γ)2 = sin2 β + sin2 γ + 2 sin β sin γ(cos β cos γ − sin β sin γ) = sin2 β + sin2 γ + 2 sin β sin γ cos(β + γ) = sin2 β + sin2 γ − 2 sin β sin γ cos α. Dengan demikian, a2 = L2 sin2 α = L2 sin2 (β + γ) = L2 sin2 β + L2 sin2 γ − 2L2 sin β sin γ cos α = b2 + c2 − 2 bc cos α. Ini mengakhiri pembuktian. ♣ Pada ∆ABC, buktikan keberlakuan identitas berikut:

4

BAB I. PENDAHULUAN • tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ, • sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2(1 + cos α cos β cos γ), • (a + b) : c = cos α−β 2 : sin(γ/2), • 2=

cos α sin β sin γ

+

cos β sin α sin γ

+

cos γ sin β sin α ,

α−β • (a + b) : (a − b) = tan α+β 2 : tan 2 .

♣ Jika dalam ∆ABC berlaku a2 (1 + cos α) = 2 bc sin2 α, buktikan bahwa ∆ABC samakaki. ♣ Jika dalam ∆ABC berlaku a + b = c(cos α + cos β), buktikan bahwa ∆ABC siku-siku. ♣ (Panjang Cevian). Misalkan m := |AK|, dan n := |BK|, maka |CK|2 =

a2 m + b2 n − mn. m+n

Sederhanakan rumus di atas dalam hal K adalah titik tengah atau median AB. Hasil ini disebut Teorema Stewart, yang dituliskan oleh M. Stewart pada 1746. Sejarah mencatat, kemungkinan Archimedes telah menuliskan teorema ini pada 300 SM. Tetapi teorema berikut bukti lengkapnya pertamakali ditulis oleh R. Simson pada 1751. ♦ Misalkan digunakan notasi θ := ∠AKC, dan ω := ∠BKC. Dengan menerapkan rumus cosinus pada ∆AKC, dan ∆BKC, akan kita punyai b2 = m2 + |CK|2 − 2 m|CK| cos θ,

a2 = n2 + |CK|2 − 2 n|CK| cos ω.

Oleh karena cos ω = − cos θ, maka n2 + |CK|2 − a2 m2 + |CK|2 − b2 = cos θ = . −2n|CK| 2m|CK| Ini mengakhiri pembuktian.

5

BAB I. PENDAHULUAN

♣ (Teorema Ceva). Jika ketiga cevian ∆ABC berpotongan pada satu titik (konkuren), maka |AK| |BL| |CM | · · = 1. |KB| |LC| |M A| Catatan: Hasil ini dibuktikan oleh matematikawan Italia Giovanni Ceva, pada 1678. ♦ Misalkan ketiga garis ceva AL, BM , dan CK berpotongan di P. Oleh karena ∆AP K mempunyai tinggi yang sama dengan ∆BP K, dan juga ∆ACK memiliki tinggi yang sama dengan ∆BCK, cukup jelas bahwa L(∆ACK) |AK| L(∆AP K) = = . L(∆BCK) |KB| L(∆BP K)

Dengan demikian, akan kita peroleh

L(∆ACK) − L(∆AP K) L(∆AP C) |AK| = = . |KB| L(∆BCK) − L(∆BP K) L(∆BP C) Dengan cara yang sama, kita dapatkan fakta-fakta berikut. Yaitu |BL| L(∆BP A) = , |LC| L(∆CP A)

Ini mengakhiri pembuktian.

|CM | L(∆CP B) = . |M A| L(∆AP B)

♣ (Konvers Teorema Ceva). Jika ketiga cevian ∆ABC bersifat

maka ketiga cevian konkuren.

|AK| |BL| |CM | · · = 1, |KB| |LC| |M A|

♣ Misalkan K, L, M adalah median dan ketiga cevian konkuren di G, maka ∆ABC terbagi menjadi enam segitiga yang mempunyai luas sama, dan |CG| |BG| |AG| 2 = = = . |GK| |GM | |GL| 1 ♣ (Teorema Trigono–Ceva). Pada ∆ABC, diberikan garis-garis ceva AL, BM , dan CK. Ketiga garis ceva akan konkuren jika dan hanya jika sin ∠CAL sin ∠ABM sin ∠BCK · · = 1. sin ∠LAB sin ∠M BC sin ∠KCA Tunjukkan bahwa Teorema Ceva dipenuhi dalam hal ketiga garis ceva merupakan garis bagi sudut. ♣ Misalkan ∆ABC merupakan segitiga lancip. Tunjukkan bahwa Teorema Ceva berlaku dalam hal ketiga garis ceva adalah garis tinggi. Apakah yang terjadi jika salah satu sudut ∆ABC merupakan sudut tumpul?

6

BAB I. PENDAHULUAN

I.2 I.2.1

Sistem Koordinat Kartesius Sistem Koordinat dan Garis Lurus

Pada subbab ini kita mulai dengan mengenal sistem koordinat Kartesius yang akan menjadi acuan kerja kita dalam menelaah berbagai macam irisan kerucut. Kita dapat menganggap garis lurus merupakan bentuk paling sederhana dari hasil persinggungan antara kerucut dengan suatu bidang datar. ♣ Hitunglah jarak antara dua titik di bidang koordinat. Catatan: Misalkan kedua titik tersebut tersebut terletak di kuadran I. Dengan menggunakan teorema Pythagoras dapat ditemukan rumus jarak yang diinginkan. Secara umum dapat ditinjau dalam hal kedua titik terletak di dua kuadran yang berbeda. ♣ Misalkan P0 suatu titik yang terletak pada ruas garis P1 P2 sedemikian sehingga |P1 P0 | : |P2 P0 | = m : n. Tentukan koordinat P0 . Jika koordinat P0 dan P1 diketahui, dapatkah koordinat P2 ditentukan? Catatan: Soal dapat disederhanakan dalam hal P1 dan P2 terletak di kuadran yang sama. ♦ Misalkan diberikan titik-titik P1 (x1 , y1 ), P0 (x, y), dan P2 (x2 , y2 ) di Kuadran I dengan ketentuan 0 < x1 < x < x1 , dan 0 < y1 < y < y2 . Untuk titik-titik A(x, y1 ) dan B(x2 , y1 ), kita ketahui bahwa ∆P AP1 dan ∆BP2 P1 kongruen. Dengan demikian |P1 A| |P1 B| = , |P P1 | |P1 P2 |

dan

|P A| |P2 B| = . |P P1 | |P1 P2 |

Hal ini mengakibatkan x=

mx2 + nx1 , m+n

dan y =

my2 + ny1 . m+n

♣ Misalkan diberikan a, b, c taknol yang bersifat: a + b + c = 0, ax1 + bx2 + cx3 = 0, dan ay1 + by2 + cy3 = 0. Tunjukkan bahwa (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) dan (x3 , y3 ) ketiganya segaris. ♣ Carilah titik P yang berjarak sama terhadap titik-titik a a a a am1 , , am2 , , am3 , , dan , am1 m2 m3 . m1 m2 m3 m1 m2 m3

7

BAB I. PENDAHULUAN ♣ Jika dalam △ABC, D merupakan titik tengah BC, buktikan bahwa |AB|2 + |AC|2 = 2(|AD|2 + |DC|2 ).

Catatan: Sebagai langkah awal, soal dapat diselesaikan dalam hal △ABC segitiga sikusiku di A. Selanjutnya dapat ditinjau untuk sebarang segitiga. ♣ (Pusat massa suatu segitiga). Misalkan D, E, dan F berturut-turut menyatakan titik tengah ruasgaris BC, CA, dan AB dalam △ABC. Jika titik X bersifat |AX| : |XD| = 2 : 1, buktikan bahwa |BX| : |XE| = |CX| : |XF | = 2 : 1. ♣ Misalkan ℓ menyatakan garis yang melalui (2, 0) dan (0, 3). Jika (x, y) terletak di ℓ, buktikan bahwa 6 = 3 x + 2 y. Catatan: Setelah mensketsa garis yang dimaksud, dapat ditinjau tiga macam kemungkinan, yaitu (x, y) berada di kuadran I, II atau IV. ♣ Tunjukkan bahwa A = {(x, 1 − x) : x ∈ R} menyatakan kumpulan titik yang terletak pada garis yang melalui (1, 0) dan (0, 1). Catatan: Salah satu sifat dari garis (lurus) adalah AB ⊂ A, jika A, B ∈ A. ♦ Misalkan A(a, b), B(c, d) menyatakan sebarang titik pada A. Ini berarti b = 1 − a dan d = 1 − c. Akan ditunjukkan bahwa AB ⊂ A, atau dengan kata lain, semua titik pada AB juga berada di A. Misalkan X(x, y) sebarang titik pada AB, ini berarti x=

ma + nc m+n

y=

mb + nd , m+n

untuk suatu m, n > 0. Oleh karena 1−x =1−

ma + nc m − ma + n − nc mb + nd = = = y, m+n m+n m+n

kita simpulkan bahwa X terletak pada A. Ini mengakhiri pembuktian. ♣ Tunjukkan bahwa, untuk a, b > 0, x y + = 1, a b

8

BAB I. PENDAHULUAN menyatakan persamaan garis yang melalui (a, 0) dan (0, b).

♦ Misalkan O menyatakan pusat koordinat, dan digunakan notasi A(a, 0), B(0, b), dan P (x, y) terletak pada garis yang dimaksud. Misalkan P terletak di kuadran IV. Jika Q(x, 0) terletak pada garis, maka cukup jelas bahwa ∠OAB = ∠QAP. Dengan demikian b |OB| |P Q| −y = = tan ∠OAB = tan ∠QAP = = . a |OA| |QA| x−a

Situasi dimana P terletak di kuadran I atau II ditinggalkan sebagai latihan. ♣ Misalkan c > 0. Tentukan persamaan garis yang melalui (0, c) dan membentuk sudut lancip α dengan sumbu-x positif. ♦ Misalkan K(0, c) dan P (x, y) (titik di kuadran I) terletak pada garis yang dimaksud. Jelas bahwa ∆KP L adalah segitiga siku-siku, jika L(x, c), dan α := ∠(KL, P C). Jelas bahwa m := tan α =

y−c |P L| = , |KL| x

atau

y = mx + c,

adalah garis yang dimaksud. Sebagai latihan, dapat dicoba pencarian persamaan garis saat P di kuadran II atau III. ♣ Buktikan bahwa y = m x + c menyatakan persamaan garis yang melalui (0, c) dan membentuk sudut α := arctan m dengan sumbu-x positif. ♣ Buktikan bahwa luas segitiga dengan titik-titik sudut (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), dan (x3 , y3 ) adalah



x1 y1 1



  1   det  x2 y2 1  2   x3 y3 1 Catatan: Notasi “det(A)” menyatakan nilai determinan sebarang matriks bujursangkar A. ♣ Buktikan bahwa Ax + By + C = 0 selalu menyatakan persamaan garis di bidang, jika A, dan B tidak bersama-sama bernilai nol. ♦ Pembuktian dapat dimulai dengan memisalkan A atau B bernilai nol. Misalkan P (x1 , y1 ) dan Q(x2 , y2 ) terletak pada garis yang dimaksud. Harus ditunjukkan bahwa sebarang titik pada ruasgaris P Q juga terletak pada garis yang dimaksud. Tetapi hal ini sangat mudah karena telah dibuktikan dalam soal sebelumnya.

9

BAB I. PENDAHULUAN

♣ Misalkan y = m1 x+ c1 dan y = m2 x+ c2 menyatakan dua garis yang berpotongan dan membentuk sudut α. Buktikan bahwa tan α =

m1 − m2 . 1 + m1 m2

♦ Misalkan K adalah titik potong kedua garis yang dimaksud. Pandang ∆ABK, dengan A(−c1 /m1 , 0) dan B(−c2 /m2 , 0). Kita definisikan α = ∠(AK, BK),

β := arctan m1 ,

γ := arctan m2 .

Karena jumlah sudut-sudut dalam ∆ABK adalah 180◦ , maka tan α = tan(β − γ). Ini mengakhiri pembuktian. ♣ Tentukan syarat agar A1 x + B1 y + C1 = 0 dan A2 x + B2 y + C2 = 0 keduanya berimpit, sejajar atau saling tegak lurus. ♦ Misalkan A1 B2 − A2 B1 6= 0, dan titik P (x0 , y0 ) menyatakan perpotongan kedua garis. Jelas bahwa x0 =

B1 C2 − B2 C1 , A1 B2 − A2 B1

dan

y0 =

A2 C1 − A1 C2 . A1 B2 − A2 B1

Misalkan α menyatakan sudut yang dibentuk oleh kedua garis, maka tan α =

A2 B1 − A1 B2 . A1 A1 + B1 B2

Jika kedua garis saling tegaklurus, maka α = 90◦ dan tan α = ∞. Ini berarti A1 B2 − A2 B1 6= 0,

dan A2 B1 − A1 B2 = 0.

♣ Misalkan dalam △ABC titik-titik D, E, dan F berturut-turut terletak di AB, BC, dan CA. Jika AB⊥ CD, BC⊥ AE, dan AC⊥ BF , buktikan bahwa CD, AE, dan BF berpotongan di satu titik. ♣ Buktikan bahwa persamaan garis yang melalui (a cos3 θ, a sin3 θ) dan tegak lurus garis x sec θ + y csc θ = a adalah x cos θ − y sin θ = a cos 2θ. ♣ Misalkan garis ℓ berpotongan tegak lurus dengan y = mx di (x0 , y0 ). Jika y = mx membentuk sudut α dengan sumbu-x positif, buktikan bahwa ℓ mempunyai persamaan x cos α + y sin α =

q

x20 + y02 .

10

BAB I. PENDAHULUAN ♦ Misalkan α adalah sudut lancip yang bersifat m = tan α. Jelas bahwa ℓ mempunyai persamaan m(y − y0 ) = x − x0 ,

atau

x cos α + y sin α = x0 cos α + y0 sin α.

Dengan mengingat sin α = p

y0 x20

+

dan

y02

maka kita akan sampai pada kesimpulan.

cos α = p

x0 x20

+ y02

,

♣ Misalkan ℓ adalah garis yang melalui (x0 , y0 ) dan membentuk sudut α dengan garis y = mx + c. Buktikan bahwa ℓ mempunyai persamaan y − y0 =

m + tan α (x − x0 ), 1 − m tan α

atau

y − y0 =

m − tan α (x − x0 ). 1 + m tan α

♣ Misalkan garis ℓ, yang melalui P1 (x1 , y1 ) dan P2 (x2 , y2 ), memotong Ax+By +C = 0 di P0 . Jika P0 terletak diantara P1 dan P2 , buktikan bahwa (Ax1 + By1 + C)(Ax2 + By2 + C) < 0. ♣ Misalkan (x0 , y0 ) tidak terletak pada garis Ax + By + C = 0. Buktikan bahwa jarak titik tersebut terhadap garis adalah |Ax0 + By0 + C| √ . A2 + B 2 ♦ Jelas bahwa Ax+By −(Ax0 +By0 ) = 0 menyatakan persamaan garis yang melalui (x0 , y0 ) dan sejajar Ax + By + C = 0. Pandang garis y = mx, m := B/A, yang tegak lurus kedua garis sebelumnya. Jika y = mx memotong kedua garis di P dan Q, jelas bahwa AC BC A(Ax0 + By0 ) B(Ax0 + By0 ) P − 2 , − , , Q . A + B 2 A2 + B 2 A2 + B 2 A2 + B 2 Oleh karena jarak (x0 , y0 ) ke garis Ax + By + C = 0 sama dengan |P Q|, dan |P Q|2 =

(Ax0 + By0 + C)2 , A2 + B 2

maka kita sampai pada akhir bukti. ♣ Buktikan bahwa syarat agar tiga garis a1 x + b1 y + c1 = 0, a2 x + b2 y + c2 = 0, a3 x + b3 y + c3 = 0

11

BAB I. PENDAHULUAN berpotongan di satu titik adalah 

a1 b1 c1



    det  a2 b2 c2  = 0.   a3 b3 c3 ♣ Misalkan ℓ1 , dan ℓ2 berturut-turut mempunyai persamaan a1 x + b1 y + c1 = 0 dan a2 x + b2 y + c2 = 0. Jika ℓ3 adalah garis yang mempunyai sifat ∠(ℓ1 , ℓ3 ) = ∠(ℓ2 , ℓ3 ), buktikan bahwa persamaan untuk ℓ3 adalah a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2 p =± p 2 . 2 2 a1 + b1 a2 + b22 Catatan: Notasi ∠(ℓ1 , ℓ2 ) menyatakan besar sudut yang dibentuk oleh garis ℓ1 dan ℓ2 .

I.2.2

Garis pada sistem koordinat miring

Misalkan bidang datar kita dilengkapi dengan sistem koordinat sedemikian sehingga kedua sumbu koordinatnya membentuk sudut lancip ω. Untuk selanjutnya, sistem koordinat yang seperti itu akan kita sebut sistem koordinat miring. ♣ Tentukan jarak antara dua titik pada sistem koordinat miring. ♣ Buktikan bahwa luas segitiga dengan titik-titik sudut (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), dan (x3 , y3 ) adalah



x1 y1 1



  1   (sin ω) det  x2 y2 1  2   x3 y3 1 ♣ Jika garis ℓ memotong sumbu-y di (0, c), c > 0, dan membentuk sudut α dengan sumbu-x, buktikan bahwa persamaan garis ℓ adalah y = mx + c,

m :=

sin α . sin(ω − α)

♣ Jika y = m1 x + c1 dan y = m2 x + c2 berpotongan dan membentuk sudut α, buktikan bahwa tan α =

(m1 − m2 ) sin ω . 1 + (m1 + m2 ) cos ω + m1 m2

♣ Tentukan syarat agar A1 x + B1 y + C1 = 0 dan A2 x + B2 y + C2 = 0 keduanya sejajar atau saling tegak lurus.

Bab II

Vektor Ketika kuat, wujudkan kelemahan. Ketika siap, wujudkan ketidaksiapan. Ketika dekat, wujudkan seolah-olah jauh. Ketika jauh, wujudkan seolah-olah dekat. Ketika ia mencari keuntungan, pancinglah ia. Ketika ia berada dalam kekacauan, seranglah ia. Ketika ia berbobot, bersiaplah melawannya. Ketika ia kuat, hindarilah ia. Ketika ia penuh amarah, lecehkanlah dia. Seranglah dia, ketika ia tidak siap. Muncullah di tempat yang tidak disangkanya. (Sun Tzu, tema sentral strategi).

II.1 II.1.1

Vektor dan Penggunaannya Vektor pada Bidang Datar

Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah, kurang, kali, dan bagi), dan pengertian urutan. Pada dasarnya, R2 := {(x, y) : x, y ∈ R} dapat didefinisikan (selain sebagai himpunan semua titik pada bidang datar) sebagai kumpulan semua vektor dengan titik awal pusat koordinat O := (0, 0), dan titik akhir (x, y). −→ Misalkan A := (x1 , y1 ) ∈ R2 , maka A dapat juga dituliskan dalam bentuk OA, − − → − −→ → atau − a saja. Jika B := (x2 , y2 ), maka kita definisikan vektor lokasi AB dengan AB := − → − b −→ a . Dengan demikian, AB = (x −x , y −y ). Jelas bahwa A dan B berturut-turut 2

1

2

1

−− → menyatakan titik awal, dan titik akhir vektor AB.

→ → ♣ Misalkan k− a k2 menyatakan panjang vektor − a . Dengan menggunakan rumus Phy-

12

13

BAB II. VEKTOR → tagoras, buktikan bahwa k− a k2 = (x21 + y12 )1/2 , dan → → k− a k2 = 0 ⇐⇒ − a = O.

→ → a k2 . Berikan Jika didefinisikan, untuk setiap k ∈ R, k− a := (kx1 , ky1 ), hitunglah kk− → interpretasi geometris untuk k− a . Berikan definisi tentang dua vektor yang sejajar. → → ♦ Misalkan − a = O := (0, 0). Jelas bahwa k− a k2 = 0. Sebaliknya, misalkan diberikan − → → a := (x, y) yang bersifat k− a k = 0. Ini berarti 2

→ k− a k22 = 0,

atau

x2 + y 2 = 0.

Oleh karena 0 ≤ x2 , y 2 , maka 0 ≤ x2 ≤ x2 + y 2 = 0. Ini berarti x2 = 0, atau x = 0. Dengan cara yang sama, akan kita peroleh pula y = 0. − → → ♣ Jika α := ∠(− a , b ), buktikan berturut-turut, bahwa − → − → − → → → → k− a − b k22 = k− a k22 + k b k22 − 2 k− a k2 k b k2 cos α, dan − → − → a · b cos α = − → , → k− ak kbk 2

dengan

2

− → − → 2 − → 2 1 − − → − → → 2 a · b := k a k2 + k b k2 − k a − b k2 . 2

− → − → − → → a · b biasanya didefinisikan sebagai hasil kali titik antara − a dan b . − → → − → → − → → → → → Tunjukkan pula bahwa − a ·− a = k− a k22 , dan − a ·( b +− c)=− a · b +− a ·→ c . Berapa besar sudut yang dibentuk oleh dua vektor sejajar? ♦ Misalkan diberikan ∆OAB dengan A(x1 , y1 ), dan B(x2 , y2 ). Cukup jelas bahwa − → → α := ∠(− a , b ) = ∠(OA, OB). Dengan demikian sisi-sisi ∆OAB masing-masing mem− → − → → → punyai panjang k− a k , k b k , dan k− a − b k . Dengan menerapkan rumus cosinus pada 2

2

2

∆OAB, maka terbuktilah apa yang diminta. − → → ♣ (Teorema Phytagoras). Jika α := ∠(− a , b ), buktikan bahwa − → − → − → − → → → → → α = 90◦ ⇐⇒ k− a + b k22 = k− a k22 + k b k22 ⇐⇒ k− a + b k2 = k− a − b k2 . ♦ Misalkan α = 90◦ . Dari rumus sebelumnya, jelas bahwa − → − → → → k− a + b k22 = k− a − (− b )k22 − → − → → → = k− a k22 + k − b k22 − 2 k− a k2 k − b k2 cos 90◦ − → → = k− a k22 + k − b k22 − → → = k− a k22 + k b k22 .

14

BAB II. VEKTOR − → − → → → Misalkan diketahui k− a + b k22 = k− a k22 + k b k22 . Jelas bahwa − → − → − → − → − → → → → → → k− a − b k22 = k− a + (− b )k22 = k− a k22 + k − b k22 = k− a k22 + k b k22 = k− a + b k22 .

− → − → − → → → → Misalkan k− a + b k2 = k− a − b k2 . Dengan mengingat bahwa 180◦ − α = ∠(− a , − b ), maka kita akan sampai pada kesimpulan cos α = 0,

atau

α = 90◦ .

→ ♣ (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, dan ketaksamaan segitiga). Untuk sebarang − a dan

− → b , buktikan bahwa

− → − → → → |− a · b | ≤ k− a k2 k b k2 ,

dan

− → − → → → k− a + b k2 ≤ k− a k2 + k b k2 .

♦ Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dapat dengan mudah dibuktikan dengan mengingat definisi sudut antara dua vektor dan fakta bahwa | cos α| ≤ 1. Dari fakta dibawah ini − → − → − → → → → k− a + b k22 = k− a k22 + k b k22 − 2 k− a k2 k b k2 cos α − → − → → → = k− a k22 + k − b k22 − 2 − a · b − → − → → → ≤ k− a k22 + k − b k22 + 2 |− a · b| − → − → → → ≤ k− a k22 + k − b k22 + 2 k− a k2 k b k2 2 − → − → = k a k2 + k b k2 , kita sampai pada kesimpulan bahwa ketaksamaan segitiga untuk vektor bernilai benar. Dengan mengingat bahwa − → − → − → − → → → → → k− a + b k2 ≤ k− a k2 + k b k2 ⇔ − a · b ≤ k− a k2 k b k2 , maka bisa diperoleh cara lain untuk membuktikan kebenaran ketaksamaan segitiga dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz. − → → ♣ (Proyeksi). Misalkan − c = k b , untuk suatu k ∈ R. Jika → → → → k− a k22 = k− c k22 + k− a −− c k22 , carilah nilai k. Konstruksikan posisi vektor-vektor yang menggambarkan soal tersebut. − → → Catatan: Soal ini bercerita tentang proyeksi − a sepanjang b . Nilai k didefinisikan − → → sebagai komponen dari − a sepanjang b .

15

BAB II. VEKTOR

II.1.2

Penggunaan sifat-sifat Vektor dalam Geometri Datar

Pada subbab ini akan dijelaskan sebagian sifat-sifat penting beberapa bangun geometri pada bidang datar. Penjelasan sifat tersebut memanfaatkan sifat-sifat natural vektor bidang. ♣ Misalkan dalam ∆ABC, diketahui bahwa M dan N berturut-turut adalah titik tengah AB dan BC. Tunjukkan bahwa CA sejajar dengan M N . Berapa panjang M N ? −−→ −−→ −−→ −→ −−→ ♦ Kita tahu bahwa CM = CN + N M = CA + AM . Dengan demikian 1 −−→ −−→ −→ 1 − −→ −−→ 1 − − → −−→ 1 −→ CB + N M = CA + AB ⇔ N M = AB + BC = AC, 2 2 2 2 −−→ −→ dan ini berarti N M sejajar AC. Misalkan m, n > 0. Jika |BN | : |N C| = |BM | : |M A| = m : n, masihkah CA sejajar dengan M N ? ♣ Yang dimaksud dengan paralelogram, dinotasikan dengan P(ABCD), adalah segiempat yang dibentuk dari dua pasang ruas garis yang sejajar. Jika AC dan BD berpotongan di K, tunjukkan bahwa K adalah titik tengah kedua ruas garis tersebut. ♦ Cukup jelas bahwa |AB| = |DC|, dan |AD| = |BC|. Pilih s, m > 1 yang bersifat −−→ −→ −− → −−→ s AK = AC = AB + BC,

−−→ −−→ − −→ −−→ − −→ −−→ dan m KB = DB = AB − AD = AB − BC.

Beberapa penyederhanaan, akan mengarahkan kita kepada −− → −−→ (sm − s − m) AB = (m − s) BC. Tetapi kita ketahui bahwa kedua vektor tidak sejajar, dengan demikian sm − s − m = 0 = m − s,

atau

s = m = 2.

♣ Dalam suatu paralelogram P(ABCD), diketahui bahwa M dan N berturut-turut adalah titik tengah AB dan DC. Tunjukkan bahwa P(AM CN ) juga suatu paralelogram. − → → ♣ Bagaimana cara mengkonstruksi suatu paralelogram, jika diberikan − a dan b sebagai dua diagonalnya?

16

BAB II. VEKTOR

♣ Misalkan dalam paralelogram P(ABCD) diketahui bahwa M adalah titik tengah BC. Jika AM memotong BD di P, tunjukkan bahwa |BP | : |P D| = 1 : 2. ♣ Jika dua diagonal segiempat berpotongan dikedua titik tengahnya, tunjukkan bahwa segiempat tersebut adalah paralelogram. ♣ Buktikan bahwa C terletak pada AB jika dan hanya jika terdapat λ ∈ (0, 1) sedemikianhingga − → − → → c = λ− a + (1 − λ) b .

II.1.3

Persamaan Garis pada Bidang

Dalam subbab ini kita akan membicarakan tentang konsep garis lurus pada bidang datar. Misalkan A terletak pada garis lurus ℓ, dan ℓ terletak pada suatu bidang datar. − → Jika vektor b sejajar dengan garis ℓ, maka sebarang titik C pada ℓ dapat disajikan − → → dalam bentuk − a + t b , untuk suatu t ∈ R. Dengan kata lain, terdapat t ∈ R 0

0

0

− → − → → → sedemikian hingga − c =− a + t0 b . Di sini dikatakan bahwa b merupakan vektor arah garis ℓ. Cukup jelas bahwa − → → ℓ := {− a + t b : t ∈ R},

− → → dan X(t) := − a + t b = (x1 + t x2 , y1 + t y2 ) menyatakan posisi titik pada ℓ untuk setiap t ∈ R. Kadangkala X(t) juga disebut sebagai persamaan parametrik suatu garis lurus. ♣ Carilah persamaan garis yang melalui titik-titik A(a1 , a2 ), dan B(b1 , b2 ).

−−→ ♦ Misalkan X sebarang titik pada garis tersebut, maka AX selalu sejajar dengan − − → −−→ −− → AB. Dengan demikian dapat ditemukan t ∈ R yang bersifat AX = t AB. Ini berarti − → → −−→ − OX − → a = t( b − − a ),

atau

X(t) = ((1 − t)a1 + t b1 , (1 − t)a2 + t b2 ), t ∈ R.

→ ♣ Tentukan garis yang melalui titik A(a1 , a2 ), dan tegaklurus vektor − c := (c1 , c2 ).

−−→ ♦ Misalkan X sebarang titik pada garis tersebut, maka AX selalu tegaklurus dengan −−→ → − → c . Dengan demikian AX · − c = 0. Ini berarti − → → −−→ − OX − → a = t( b − − a ),

atau

X(t) = ((1 − t)a1 + t b1 , (1 − t)a2 + t b2 ), t ∈ R.

♣ Misalkan X1 (t), dan X2 (t) menyatakan dua buah garis di bidang. Tentukan syarat agar kedua garis tersebut, berturut-turut, berpotongan, sejajar, atau identik. Tentukan syarat agar X1 (t) dan X2 (t) saling tegak lurus. Jika α := ∠(X1 , X2 ), hitunglah tan α.

17

BAB II. VEKTOR

→ → + t− ♦ Misalkan diberikan persamaan garis Xk (t) := − a bk , t ∈ R, dengan k = 1, 2. k − → − → Jika α := ∠(X1 , X2 ), maka α := ∠( b1 , b2 ). Dengan demikian − → − → b1 · b2 cos α = − → − → . k b1 k2 k b2 k2 ♣ Tuliskan semua persamaan garis yang anda ketahui dalam Geometri Analitik dalam bentuk persamaan parametrik X(t). ♣ Jika P (x0 , y0 ) tidak terletak pada garis ℓ1 , hitunglah jarak P terhadap ℓ1 . −→ → ♦ Kita cari salah satu titik, namakan A(x1 , y1 ), yang terletak di ℓ1 , dan − a := OA. Misalkan ℓ1 mempunyai persamaan parametrik − → → X(t) := − a + t b , t ∈ R. → −→ − Kita definisikan sudut lancip α := ∠(AP , b ). Jika R adalah suatu titik pada ℓ1 − → −→ sedemikian hingga P R tegak lurus b , maka cukup jelas bahwa kP Rk2 dapat dianggap sebagai jarak P ke ℓ1 . Dari ∆AP R kita tahu bahwa kP Rk2 = kP Ak2 sin α. Oleh karena karena cos α dapat dihitung dengan mudah, maka kita sampai pada akhir solusi.

II.1.4

Garis dan Bidang dalam Ruang

Sebarang bidang (datar) dikarakterisasi oleh suatu vektor yang tegak lurus dengan bidang tersebut dan satu titik tertentu yang dilalui bidang tersebut. Secara geometris, jika P dan Q sebarang dua titik pada bidang P, maka ruas garis P Q juga terletak pada P. Ini berarti bahwa semua titik dalam P Q juga terletak di P. ♣ Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh dua vektor dalam ruang. → ♣ Jika vektor − a := (a1 , a2 , a3 ) tegak lurus bidang P, dan B(x0 , y0 , z0 ) terletak di P, tentukan persamaan P dalam notasi vektor. → Catatan: Vektor − a disebut vektor normal atau normal dari bidang P. ♦ Misalkan O adalah pusat koordinat, dan X sebarang titik pada bidang P. Jelas −−→ −−→ → → bahwa BX tegak lurus dengan − a . Dengan demikian − a · BX = 0, atau dengan kata lain −−→ − −−→ → OX · → a = OB · − a.

18

BAB II. VEKTOR

♣ Tentukan persamaan garis yang suatu titik tertentu dan sejajar suatu vektor tertentu. Tentukan persamaan garis yang melalui dua titik yang diberikan. Misalkan garis ℓ1 dan ℓ2 berpotongan di P (x0 , y0 , z0 ). Tentukan bidang yang memuat kedua garis tersebut. − → → ♦ Misalkan − a := (a1 , a2 , a3 ) dan b := (b1 , b2 , b3 ) berturut-turut adalah vektor arah → ℓ1 dan ℓ2 . Misalkan − c := (c1 , c2 , c3 ) adalah normal bidang yang dimaksud. Dengan → demikian komponen − c dapat dicari dari sistem persamaan linier (SPL) − → → a ·− c = 0,

dan

− → − b ·→ c = 0,

dan kita sampai pada akhir solusi. ♣ Misalkan diberikan tiga titik taksegaris Ak (xk , yk ), dengan k = 1, 2, 3. Tentukan bidang yang memuat ketiga titik tersebut. → ♦ Misalkan − a := (a1 , a2 , a3 ) menyatakan vektor normal bidang yang dimaksud. −−−→ −−−→ −−−→ → Jelas bahwa A1 A2 , A1 A3 , dan A2 A3 tegak lurus terhadap − a . Dengan demikian kom→ ponen − a dapat dicari dari SPL −−−→ − → a · A1 A2 = 0,

−−−→ → dan − a · A2 A3 = 0.

♣ Tentukan syarat agar tiga titik terletak dalam sebuah garis. Tentukan syarat agar empat titik terletak dalam sebuah bidang. ♣ Misalkan suatu garis ℓ berpotongan dengan bidang P, dan membentuk sudut (lancip) α. Tentukan besarnya α. − → → ♦ Misalkan − a , dan b berturut-turut adalah vektor arah ℓ dan vektor normal P. − → → Cukup jelas bahwa α = ∠(ℓ, P) = ∠(− a , P). Selain itu, karena P ⊥ b , maka − → → 90◦ − α = ∠(− a , b ). ♣ Dengan melakukan pertimbangan untuk beberapa situasi yang mungkin muncul, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh dua bidang yang berpotongan. Bagaimana dengan besar sudut yang terjadi antara perpotongan dua garis? ♣ Misalkan diberikan dua bidang yang berpotongan. Tunjukkan bahwa perpotongannya merupakan suatu garis (lurus). ♣ Tentukan jarak antara suatu titik terhadap suatu bidang yang tidak memuat titik tersebut.

Bab III

Irisan Kerucut Nasehat untuk sang Jendral: Bertekad mati, engkau bisa tewas. Bertekad hidup, engkau bisa tertangkap. Cepat marah, engkau bisa dihasut. Murni dan jujur, engkau bisa dipermalukan. Mengasihi orang banyak, engkau bisa dibuat jengkel. (Sun Tzu, 350 sebelum Masehi).

III.1

Lingkaran

Lingkaran didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang berjarak sama (disebut jejari lingkaran) terhadap satu titik tertentu (disebut pusat lingkaran). Misalkan diketahui suatu titik P0 (x0 , y0 ), dan r > 0. Lingkaran yang berpusat di P0 dan berjari-jari r > 0 (atau himpunan semua titik yang jaraknya terhadap P0 sebesar r) dinyatakan sebagai himpunan L(P0 , r) := (x, y) ∈ R2 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 . Posisi sebarang titik P1 terhadap L(P0 , r) mempunyai kemungkinan sebagai berikut: • P1 terletak di luar lingkaran, jika |P0 P1 | > r; • P1 terletak pada lingkaran, jika |P0 P1 | = r; • P1 terletak di dalam lingkaran, jika |P0 P1 | < r. ♣ Tentukan pusat dan jejari lingkaran yang memenuhi persamaan x2 + y 2 + 2gx + 2f y + c = 0. 19

20

BAB III. IRISAN KERUCUT ♦ Dengan metode melengkapkan kuadrat, kita akan sampai pada bentuk (x + g)2 + (y + f )2 = g2 + f 2 − c,

yang merupakan persamaan lingkaran asalkan memenuhi syarat-syarat tertentu. Sebagai contoh, oleh karena g2 + f 2 − c menyatakan kuadrat jejari lingkaran yang dimaksud, maka haruslah g2 + f 2 − c > 0. Sebaliknya, jika g2 + f 2 − c = 0, maka lingkaran yang dimaksud hanya terdiri satu titik saja (dalam hal ini adalah titik pusat lingkaran), yaitu (−g, −f ). ♣ Misalkan P1 dan P2 merupakan perpotongan lingkaran x2 + y 2 = a2 , a > 0, dengan garis y = mx + c. Hitunglah |P1 P2 |. ♦ Jika P1 (x1 , y1 ), dan P2 (x2 , y2 ), merupakan perpotongan antara garis dan lingkaran, maka cukup jelas bahwa x1 , x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat (1 + m2 )x2 + 2 mcx + c2 − a2 = 0. Menurut sifat-sifat akar persamaan kuadrat, kita punyai x1 + x2 = −

2 mc 1 + m2

dan x1 x2 =

c2 − a2 . 1 + m2

Hal ini akan mengarahkan kita kepada (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 =

4 (a2 (1 + m2 ) − c2 ). (1 + m2 )2

Karena P1 , dan P2 terletak di garis y = mx + c, maka y1 − y2 = m(x1 − x2 ). Dengan demikian |P1 P2 |2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 = (1 + m2 )(x1 − x2 )2 = 4

(a2 (1 + m2 ) − c2 ) . 1 + m2

Beberapa catatan perlu diberikan di sini. Jika garis yang dimaksud melalui pusat koordinat, maka c = 0. Ini akan berakibat |P1 P2 | = 2 a. Sesuatu yang sudah cukup jelas, karena P1 P2 merupakan busur terbesar, yaitu merupakan diameter lingkaran, jika garis melalui pusat lingkaran. Jika P1 = P2 , maka |P1 P2 | = 0. Akibatnya, kita akan memperoleh c2 = a2 (1 + m2 ). Ini juga cukup jelas. Jika P1 = P2 , maka garis yang dimaksud akan menyinggung lingkaran di titik P1 .

21

BAB III. IRISAN KERUCUT

Tetapi jika kita perhatikan, maka hanya salah satu dari garis ℓ1 atau ℓ2 , dengan persamaan p y = mx + a 1 + m2

atau

p y = mx − a 1 + m2

saja yang meyinggung lingkaran di P1 . Sementara yang lainnya juga menyinggung lingkaran di titik, katakanlah, di P3 . Dengan demikian, jika kita ingin menemukan garis (dengan gradien m) yang menyinggung lingkaran, maka akan diperoleh ℓ1 dan ℓ2 dengan persamaan seperti di atas, tidak ada yang lain. Penjelasan geometris dari fakta aljabar tersebut adalah: √ √ • Garis y = mx + a 1 + m2 dan y = mx − a 1 + m2 sejajar, • masing-masing garis menyinggung lingkaran di P1 dan P3 , • dan, kedua titik berposisi diametral di lingkaran. ♣ Misalkan P terletak di ℓ1 . Carilah jarak P ke ℓ2 . ♦ Secara geometris, jarak yang dicari pasti sama dengan diameter lingkaran. ♣ Misalkan P (x1 , y1 ) terletak di L((0, 0), a). Carilah garis singgung (yang menyinggung lingkaran L((0, 0), a)) di titik P. ♦ Misalkan P (x1 , y1 ), dan Q(x2 , y2 ), merupakan perpotongan antara garis ℓ dan lingkaran. Cukup jelas bahwa persamaan ℓ adalah y − y1 = m(x − x1 ),

dengan

m :=

y2 − y1 . x2 − x1

Karena P, Q terletak pada lingkaran, maka x21 + y12 = a2 = x22 + y22 . Ini berarti x21 − x22 = y22 − y12 ,

atau

y2 − y1 x1 + x2 =− . x2 − x1 y1 + y2

Dengan demikian, persamaan ℓ adalah y − y1 = −

x1 + x2 (x − x1 ). y1 + y2

Agar ℓ menyinggung lingkaran di P, maka kita harus “menggerakkan” Q di sepanjang lingkaran untuk mendekati P. Secara analitis, ini berarti x2 → x1 , dan y2 → y1 secara bersamaan. Dengan demikian m → −x1 /y1 . Hal ini akan mengarahkan kita kepada x1 x + y1 y = x21 + y12 = a2 ,

22

BAB III. IRISAN KERUCUT yang merupakan persamaan garis singgung yang dimaksud.

♣ Buktikan bahwa lingkaran ax2 + ay 2 + 2gx + 2f y + c = 0 menyentuh sumbu-x, jika g2 = ac. Carilah syarat agar lingkaran tersebut menyentuh sumbu-y. ♣ Misalkan lingkaran L(P0 , r) melalui titik-titik P1 , P2 , dan P3 , dengan |P1 P3 | = 2r. Jika ℓ1 , dan ℓ2 berturut-turut adalah garis lurus yang melalui P1 , P2 , dan P2 , P3 , hitunglah ∠(ℓ1 , ℓ2 ). ♦ Misalkan r > 0. Karena alasan kesederhanaan, akan kita tinjau situasi berikut. Pandang titik-titik P1 (−r, 0), P2 (x0 , y0 ), P3 (r, 0) yang terletak pada lingkaran x2 + y 2 = r 2 . Jelas bahwa ℓ1 dan ℓ2 berturut-turut mempunyai persamaan y − y0 =

y0 (x − x0 ), x0 + r

dan y − y0 =

y0 (x − x0 ). x0 − r

Jika α := ∠(ℓ1 , ℓ2 ), maka α = 90◦ . ♣ Tentukan syarat agar suatu lingkaran melalui titik-titik sudut suatu segitiga (bujursangkar/persegi). ♦ Misalkan O adalah pusat koordinat. Kita tinjau situasi khusus berikut. Misalkan diberikan ∆OAB, dengan A(a, 0), dan B(0, b), a, b > 0. Ini berarti x2 + y 2 − ax − by = 0 menyatakan persamaan lingkaran yang melalui sebarang segitiga siku-siku, dan sekaligus persegipanjang dengan panjang sisi-sisi a > 0 dan b > 0. Sedangkan x2 + y 2 − ax − ay = 0 menyatakan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik sebarang persegi dengan panjang sisi a > 0. Bagaimana dengan situasi yang lebih umum? ♣ Misalkan diberikan titik-titik P1 (x1 , y1 ) dan P2 (x2 , y2 ). Buktikan bahwa (x − x1 )(x − x2 ) + (y − y1 )(y − y2 ) = 0 menyatakan persamaan lingkaran yang berpusat di titik tengah P1 P2 . ♣ Tentukan syarat agar suatu lingkaran memotong sumbu-sumbu koordinat di tiga (empat) titik berbeda.


23

♣ Carilah persamaan lingkaran yang melalui (1, −2), (4, −3) dan titik pusatnya terletak di 3x + 4y = 7. ♣ Misalkan P1 terletak di luar lingkaran L(P0 , r). Buktikan bahwa akan selalu ada dua garis singgung terhadap L(P0 , r) yang melalui P1 . ♣ Misalkan tiga garis singgung suatu lingkaran membentuk segitiga siku-siku. Carilah persamaan lingkaran tersebut. Catatan: Tinjaulah lingkaran di kuadran I dan pilihlah garis-garis singgung yang relevan. ♣ Misalkan P1 (x1 , y1 ) terletak di luar lingkaran x2 +y 2 = r 2 . Jika ℓ1 dan ℓ2 garis-garis singgung terhadap lingkaran di P2 dan P3 yang berpotongan di P1 , carilah persamaan garis yang melalui P2 dan P3 . ♣ Misalkan ℓ1 dan ℓ2 menyinggung lingkaran x2 +y 2 = r 2 . Jika ℓ1 dan ℓ2 berpotongan di (x1 , y1 ), dan α := ∠(ℓ1 , ℓ2 ) adalah sudut lancip, buktikan bahwa p 2r x21 + y12 − r 2 tan α = . x21 + y12 − 2r 2 ♣ Tentukan nilai p agar garis x cos α + y sin α = p menyinggung lingkaran x2 + y 2 − 2ax cos α − 2by sin α = a2 sin2 α. ♣ Misalkan P1 , dan P2 adalah titik-titik potong garis y = mx+ c terhadap lingkaran x2 + y 2 = 2ax + 2by. Misalkan ℓ1 , dan ℓ2 (keduanya melalui pusat koordinat) masingmasing adalah garis yang melalui P1 , dan P2 , tentukan syarat yang harus dipenuhi agar ℓ1 ⊥ ℓ2 .

III.2

Parabola

Grafik parabola telah cukup dikenal saat di Sekolah Menengah. Saat membicarakan lintasan peluru yang ditembakkan dari suatu meriam, maka para ahli mekanika langsung terasosiasi dengan grafik yang berbentuk parabola sebagai lintasan peluru tersebut. Misalkan p > 0. Parabola didefinisikan sebagai kumpulan semua titik yang jaraknya terhadap titik (p, 0) (disebut fokus parabola) sama dengan jaraknya terhadap garis x = −p (disebut direktriks parabola). Tentu saja salah satu titik yang memenuhi

24


ketentuan tersebut adalah (0, 0) (disebut verteks parabola). Ini berarti (0, 0) juga terletak pada parabola tersebut. Kelak akan diketahui pula bahwa (0, 0) sekaligus dapat dianggap sebagai “puncak” parabola tersebut. Pencarian persamaan parabola dapat dijelaskan melalui cara berikut ini. Misalkan (x0 , y0 ) terletak pada parabola. Cukup jelas bahwa: y02 + (x0 − p)2 = (x0 + p)2 . Melalui beberapa penyederhanaan, akan kita peroleh y02 = 4p x0 . Ini berarti (x0 , y0 ) terletak pada kurva y 2 = 4p x yang merupakan persamaan parabola yang dicari. ♣ Tentukan persamaan parabola yang mempunyai fokus (a, b) dan direktriks x y + = 1. a b ♣ Misalkan suatu parabola mempunyai ketentuan bahwa verteks dan fokusnya terletak pada sumbu-x dan masing-masing berjarak a1 dan a2 terhadap pusat koordinat. Buktikan bahwa persamaan parabolanya adalah y 2 = 4(a2 − a1 )(x − a1 ). ♣ Misalkan OP menyatakan busur pada parabola y 2 = 4p x. Jika P bergerak disepanjang parabola, buktikan bahwa tempat kedudukan titik tengah busur juga merupakan parabola. ♣ Misalkan A dan B terletak pada parabola y 2 = 4p x. Jika |AB| = 8 p, dan AB tegak lurus sumbu-x, buktikan bahwa ∠AOB = 90◦ . ♣ Jika A dan B terletak pada parabola y 2 = 4p x, hitunglah |AB|. Tentukan syarat agar sebarang garis menyinggung parabola. ♣ Tentukan syarat agar garis y = m x + c menyinggung parabola y 2 = 4p (x + p). ♣ Tentukan persamaan garis singgung pada sebarang titik di parabola. ♣ Misalkan A tidak terletak pada parabola y 2 = 4p x. Ada berapa banyak garis singgung pada parabola yang melalui A? ♣ Misalkan ℓ1 dan ℓ2 menyinggung parabola y 2 = 4p x di A dan B. Jika kedua garis tersebut berpotongan di (x1 , y1 ), buktikan bahwa y1 y = 2 p(x + x1 )

25

BAB III. IRISAN KERUCUT menyatakan garis yang melalui kedua titik singgung tersebut.

♣ Misalkan AB busur pada y 2 = 4p x. Buktikan bahwa titik tengah semua busur pada parabola yang sejajar AB terletak pada garis yang sejajar sumbu-x. ♣ Jika ℓ melalui A dan menyinggung parabola y 2 = 4p x di B, hitunglah |AB|. ♣ Buktikan bahwa (p t2 , 2p t) terletak pada parabola y 2 = 4p x untuk setiap t ∈ R. Tentukan garis singgung pada (p t2 , 2p t). Tentukan titik potong dua garis singgung dalam t. Catatan: Garis di sini biasa kita sebut garis-t.

III.3

Ellips

Grafik ellips telah cukup dikenal saat kita mempelajari lintasan bumi yang mengelilingi matahari. Hukum Kepler dapat menunjukkan hal tersebut, jika diperlukan penjelasan logis mengenai hal ini. Diberikan titik-titik berikut: A(a, 0), B(0, b), F1 (c, 0) dan F2 (−c, 0), dengan b > 0, dan a > c > 0. Diketahui suatu kurva dengan sifat-sifat berikut: • Kurva tersebut melalui A dan B. • Sebarang titik P (x, y) pada kurva tersebut bersifat |P F1 | + |P F2 | = konstan. Oleh karena kurva tersebut melalui A, maka cukup jelas bahwa |P F1 | + |P F2 | = 2a. Dengan demikian, jika P (x, y) terletak pada kurva tersebut akan kita peroleh x2 y2 + = 1. a2 a2 − c2

Oleh karena kurva tersebut melalui B, dan a > c > 0 maka b2 = a2 − c2 . Dengan demikian x2 y 2 + 2 = 1, a2 b menyatakan persamaan kurva tersebut, yang biasa kita sebut ellips. Titik F1 dan F2 disebut fokus ellips. Titik-titik potong ellips terhadap sumbu-x biasa disebut verteks dari ellips. Sumbu mayor ellips didefinisikan sebagai ruas garis yang dibentuk oleh titik-titik potong ellips terhadap sumbu-x, sedangkan sumbu minor ellips adalah ruas garis yang dibentuk oleh titik-titik potong ellips terhadap sumbu-y.

26

BAB III. IRISAN KERUCUT 1. Jika suatu garis memotong ellips di P dan Q, tentukan |P Q|. 2. Tentukan syarat agar garis y = mx + c selalu menyinggung ellips.

3. Buktikan, bahwa selalu terdapat dua garis singgung terhadap ellips dengan besar gradien tertentu. 4. Tentukan titik-titik pada ellips sedemikian hingga garis singgung pada titik-titik tersebut membentuk sudut 45◦ terhadap sumbu-x. 5. Misalkan y = m x memotong ellips di P1 dan P2 . Buktikan bahwa garis singgung di P1 dan P2 sejajar. 6. Jika garis normal pada suatu titik di ellips didefinisikan sebagai garis yang tegak lurus garis singgung di titik tersebut, tentukan garis normal di sebarang titik di ellips. 7. Buktikan bahwa titik potong ellips n2 x2 + m2 y 2 = n2 m2 terletak pada suatu lingkaran.

dan m2 x2 + n2 y 2 = n2 m2

Bab IV

Kurva di Bidang atau Ruang Biarkan mata-mata musuh memasuki benteng pertahanan kita. Pasok mereka dengan informasi palsu dan menyesatkan untuk menyebarkan perselisihan dalam kubu mereka sendiri. (J. Edgar Hoover, pendiri Federal Bureau Investigation).

IV.1

Pengertian Kurva di Bidang

Secara informal, pengertian “kurva” adalah grafik sebarang fungsi, baik itu mempunyai “panjang” hingga ataupun takhingga. Dengan demikian kurva biasa disajikan dalam bentuk “parametrik” C = C(t) := (f (t), g(t)), a < t < b, dengan f : (a, b) → R dan g : (a, b) → R sebarang fungsi yang diketahui. Jika a := −∞ atau b := ∞, maka kurva tersebut dikatakan mempunyai panjang takhingga. Pandang garis y = 2 x dan titik-titik A(1, 2) dan B(3, 6), pada garis tersebut. Misalkan X(x, y) sebarang titik pada ruas garis AB. Jika |AX| : |XB| = m : n, maka cukup jelas bahwa x=

3m + n , m+n

dan y =

6m + 2n . m+n

Misalkan t := m/(m + n). Cukup jelas bahwa X = X(t) := (3t + (1 − t), 6t + 2(1 − t)) = (2t + 1, 4t + 2),

0 ≤ t ≤ 1,

menyatakan sebarang titik di AB, untuk setiap t ∈ [0, 1]. Jika t kita “gerakkan” mulai dari t = 0, sampai dengan t = 1, akan kita lihat bahwa X(t) juga akan “bergerak” sepanjang AB, dimulai dari A(1, 2) sampai ke B(3, 6).

27

28

BAB IV. KURVA DI BIDANG ATAU RUANG Sebaliknya, untuk s := n/(m + n), akan kita punyai Y = Y (s) := (s + 3(1 − s), 2s + 6(1 − s)) = (3 − 2s, 6 − 4s),

0 ≤ s ≤ 1,

yang menyatakan “pergerakan” suatu benda sepanjang AB dimulai dari B(3, 6) sampai ke A(1, 2). Misalkan untuk kurva X(t) = (2t + 1, 4t + 2),

0 ≤ t ≤ 1, dilakukan transformasi

peubah t 7→ 2k, maka kita akan memperoleh U (k) := X(2k) = (2(2k) + 1, 4(2k) + 2),

0 ≤ 2k ≤ 1,

atau U (k) = (4k + 1, 8k + 2),

0 ≤ k ≤ 1/2.

Selain itu, transformasi peubah t 7→ p/3, akan menghasilkan R(p) := X(p/3) = (2(p/3) + 1, 4(p/3) + 2),

0 ≤ p/3 ≤ 1,

atau R(p) = (1 + 2p/3, 2 + 4p/3),

0 ≤ p ≤ 3.

→ → ♣ Misalkan k− a k2 menyatakan panjang vektor − a . Dengan menggunakan rumus Phy→ tagoras, buktikan bahwa k− a k = (x2 + y 2 )1/2 , dan 2

1

1

→ → k− a k2 = 0 ⇐⇒ − a = O. → → Jika didefinisikan, untuk setiap k ∈ R, k− a := (kx1 , ky1 ), hitunglah kk− a k2 . Berikan → interpretasi geometris untuk k− a . Berikan definisi tentang dua vektor yang sejajar. → → ♦ Misalkan − a = O := (0, 0). Jelas bahwa k− a k2 = 0. Sebaliknya, misalkan diberikan − → → a := (x, y) yang bersifat k− a k = 0. Ini berarti 2

→ k− a k22 = 0,

atau

x2 + y 2 = 0.

Oleh karena 0 ≤ x2 , y 2 , maka 0 ≤ x2 ≤ x2 + y 2 = 0. Ini berarti x2 = 0, atau x = 0. Dengan cara yang sama, akan kita peroleh pula y = 0. − → − → → → ♣ Jika α := ∠(− a , b ), dan − a · b := x1 x2 + y1 y2 (yang kita definisikan sebagai hasil − → → kali titik antara − a dan b ), buktikan berturut-turut, bahwa − → − → − → → → → k− a − b k22 = k− a k22 + k b k22 − 2 k− a k2 k b k2 cos α,

29

BAB IV. KURVA DI BIDANG ATAU RUANG dan

− → − → a · b cos α = − → − → . k b k2 k b k2 − → → − → → − → → → → → Tunjukkan pula bahwa − a ·− a = k− a k22 , dan − a ·(b +− c)=− a · b +− a ·→ c. ♦ Misalkan diberikan ∆OAB dengan A(x1 , y1 ), dan B(x2 , y2 ). Cukup jelas bahwa − → → α := ∠(− a , b ) = ∠(OA, OB). Dengan demikian sisi-sisi ∆OAB masing-masing mem− → − → → → punyai panjang k− a k , k b k , dan k− a − b k . Dengan menerapkan rumus cosinus pada 2

2

2

∆OAB, maka terbuktilah apa yang diminta. − → → ♣ (Teorema Phytagoras). Jika α := ∠(− a , b ), buktikan bahwa − → − → − → − → → → → → α = 90◦ ⇐⇒ k− a + b k22 = k− a k22 + k b k22 ⇐⇒ k− a + b k2 = k− a − b k2 . ♦ Misalkan α = 90◦ . Dari rumus sebelumnya, jelas bahwa − → − → → → a − (− b )k22 k− a + b k22 = k− − → − → → → = k− a k22 + k − b k22 − 2 k− a k2 k − b k2 cos 90◦ − → → = k− a k22 + k − b k22 − → → = k− a k22 + k b k22 . − → − → → → Misalkan diketahui k− a + b k22 = k− a k22 + k b k22 . Jelas bahwa − → − → − → − → − → → → → → → a + (− b )k22 = k− a k22 + k − b k22 = k− a k22 + k b k22 = k− a + b k22 . k− a − b k22 = k− − → − → − → → → → Misalkan k− a + b k2 = k− a − b k2 . Dengan mengingat bahwa 180◦ − α = ∠(− a , − b ), maka kita akan sampai pada kesimpulan cos α = 0,

atau

α = 90◦ .

♦ Misalkan diberikan ∆OAB dengan A(x1 , y1 ), dan B(x2 , y2 ). Cukup jelas bahwa − → → α := ∠(− a , b ) = ∠(OA, OB). Dengan demikian sisi-sisi ∆OAB masing-masing mem− → − → → → punyai panjang k− a k2 , k b k2 , dan k− a − b k2 . Dengan menerapkan rumus cosinus pada ∆OAB, maka terbuktilah apa yang diminta. → ♣ (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, dan ketaksamaan segitiga). Untuk sebarang − a dan

− → b , buktikan bahwa

− → − → → → |− a · b | ≤ k− a k2 k b k2 ,

dan

− → − → → → k− a + b k2 ≤ k− a k2 + k b k2 .

30

BAB IV. KURVA DI BIDANG ATAU RUANG

♦ Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dapat dengan mudah dibuktikan dengan mengingat definisi sudut antara dua vektor dan fakta bahwa | cos α| ≤ 1. Dari fakta dibawah ini − → − → − → → → → a k22 + k b k22 − 2 k− a k2 k b k2 cos α k− a + b k22 = k− − → − → → → = k− a k22 + k − b k22 − 2 − a · b − → − → → → ≤ k− a k22 + k − b k22 + 2 |− a · b| − → − → → → ≤ k− a k22 + k − b k22 + 2 k− a k2 k b k2 2 − → − → = k a k2 + k b k2 , kita sampai pada kesimpulan bahwa ketaksamaan segitiga untuk vektor bernilai benar. − → → ♣ (Proyeksi). Misalkan − c = k b , untuk suatu k ∈ R. Jika → → → → k− a k22 = k− c k22 + k− a −− c k22 , carilah nilai k. Konstruksikan posisi vektor-vektor yang menggambarkan soal tersebut. − → → Catatan: Soal ini bercerita tentang proyeksi − a sepanjang b . Nilai k didefinisikan − → → sebagai komponen dari − a sepanjang b .

IV.1.1

Persamaan Garis pada Bidang

Dalam subbab ini kita akan membicarakan tentang konsep garis lurus pada bidang datar. Misalkan A terletak pada garis lurus ℓ, dan ℓ terletak pada suatu bidang datar. − → Jika vektor b sejajar dengan garis ℓ, maka sebarang titik C pada ℓ dapat disajikan − → → dalam bentuk − a + t b , untuk suatu t ∈ R. Dengan kata lain, terdapat t ∈ R 0

0

0

− → − → → → sedemikian hingga − c =− a + t0 b . Di sini dikatakan bahwa b merupakan vektor arah garis ℓ. Cukup jelas bahwa − → → ℓ := {− a + t b : t ∈ R},

− → → dan X(t) := − a + t b = (x1 + t x2 , y1 + t y2 ) menyatakan posisi titik pada ℓ untuk setiap t ∈ R. Kadangkala X(t) juga disebut sebagai persamaan parametrik suatu garis lurus. ♣ Carilah persamaan garis yang melalui titik-titik A(a1 , a2 ), dan B(b1 , b2 ).

−−→ ♦ Misalkan X sebarang titik pada garis tersebut, maka AX selalu sejajar dengan − − → −−→ −− → AB. Dengan demikian dapat ditemukan t ∈ R yang bersifat AX = t AB. Ini berarti − → → −−→ − OX − → a = t( b − − a ),

atau

X(t) = ((1 − t)a1 + t b1 , (1 − t)a2 + t b2 ), t ∈ R.


31

→ ♣ Tentukan garis yang melalui titik A(a1 , a2 ), dan tegaklurus vektor − c := (c1 , c2 ). −−→ ♦ Misalkan X sebarang titik pada garis tersebut, maka AX selalu tegaklurus dengan −−→ → − → c . Dengan demikian AX · − c = 0. Ini berarti − → → −−→ − OX − → a = t( b − − a ),

atau

X(t) = ((1 − t)a1 + t b1 , (1 − t)a2 + t b2 ), t ∈ R.

1. Carilah persamaan garis yang melalui suatu titik dan tegak lurus terhadap suatu vektor yang diketahui. 2. Misalkan seekor kutu berjalan dari titik A ke titik B dengan waktu tempuh 1 detik. Tentukan posisi kutu pada detik ke-5, jika kutu tersebut menempuh lintasan berbentuk garis lurus. Apa yang terjadi jika waktu tempuh dari A ke B 3 detik? Apa yang terjadi jika pergerakannya berlawanan arah? 3. Tuliskan semua persamaan garis yang anda ketahui dalam Geometri Analitik dalam bentuk persamaan parametrik X(t). 4. Misalkan X1 (t), dan X2 (t) menyatakan dua buah garis di bidang. Tentukan syarat agar kedua garis tersebut, berturut-turut, berpotongan, sejajar, atau identik. 5. Tentukan syarat agar X1 (t) dan X2 (t) saling tegak lurus. Jika α := ∠(X1 , X2 ), hitunglah tan α. 6. Jika P tidak terletak pada garis ℓ, hitunglah jarak P terhadap ℓ.

IV.1.2

Pengertian Garis dan Bidang dalam Ruang

Sebarang bidang (datar) dikarakterisasi oleh suatu vektor yang tegak lurus dengan bidang tersebut dan satu titik tertentu yang dilalui bidang tersebut. Secara geometris, jika P dan Q sebarang dua titik pada bidang P, maka ruas garis P Q juga terletak pada P. Ini berarti bahwa semua titik dalam P Q juga terletak di P. → 1. Jika vektor − a tegak lurus bidang P, dan B terletak di P, tentukan persamaan P dalam notasi vektor. → Catatan: Vektor − a disebut vektor normal atau normal dari bidang P.


32

− −→ 2. Misalkan A terletak pada bidang datar P. Jika AB tegak lurus bidang P, dan X adalah sebarang titik pada P, tentukan persamaan bidangnya. 3. Jika titik-titik A, B, C tidak segaris, tentukan persamaan bidang yang memuat ketiga titik tersebut.

IV.2

Pengertian Ruang Vektor

Kita bisa mendefinisikan R3 sebagai kumpulan semua vektor. Tepatnya, kita punyai R2 := {(a, b, c) : a, b, c ∈ R}. disebut fungsi jarak atau jarak, jika memenuhi sifat-sifat berikut: • ρ(a, b) = 0 jika dan hanya jika a = b; • ρ(a, b) = ρ(b, a); • ρ(a, c) ≤ ρ(a, b) + ρ(b, c), untuk setiap a, b, c ∈ X. 1. Misalkan R dilengkapi dengan pengertian nilai mutlak | · | di dalamnya. Untuk sebarang a, b ∈ R, didefinisikan ρ1 (a, b) := |a − b|. Buktikan bahwa ρ1 mendefinisikan pengertian jarak di R. 2. Misalkan R2 dilengkapi dengan pengertian panjang vektor k · k2 di dalamnya. Untuk sebarang a, b ∈ R2 , didefinisikan ρ2 (a, b) := ka − bk2 . Buktikan bahwa ρ2 mendefinisikan pengertian jarak di R2 . Dapatkah kita mendefinisikan jarak di R3 melalui pengertian panjang vektor di ruang?