Pengukuran Radian. Dalam Trigonometri, pengukuran yang paling sering
digunakan selain pengukuran sudut adalah pengukuran radian. Radian adalah ...
Pengukuran Radian
Contoh soal
Dalam Trigonometri, pengukuran yang paling sering digunakan selain pengukuran sudut adalah pengukuran radian. Radian adalah pengukuran sudut pusat dimana busurnya sama dengan panjang dari jari-jari lingkaran. r
s=r
s
Hitung dalam pengukuran sudut (derajad) yang sama dengan 3π 4
degrees radians = 2π 360° d 3π 4 = 2π 360° 2πd = 270π
d = 135°
Pengukuran Radian
Terdapat 2π radiandalam satu putaran penuh (sekali mengelilingi lingkaran) Terdapat 360° dalam satu putaran penuh Untuk merubah derajad ke radian atau radian ke derajad, digunakan aturan degrees radians = 2π 360°
Lingkaran Satuan
Diberikan sebuah lingkaran dalam koordinat kartesius dengan pusat di titik asal dan jari-jari 1 Tentukan sebuah titik dalam lingkaran yang berada di kuadran I.
Tentukan pengukuran radian yang sama dengan 210° degrees radians = 360° 2π 210° r = 360° 2π 360r = 420π 420π 7π r= = 360 6
Lingkaran Satuan
Lingkaran Satuan
Hubungkan titik asal dengan titik yang dipilih dan tarik garis lurus ke x-axis. Terciptalah segitiga dengan panjang sisi miring sebesar 1.
Koordinat dari titik yang dipilih merupakan sinus dan kosinus dari sudut θ.
Lingkaran Satuan
Panjang dari kakikainya adalah koordinat x dan y dari titik yang dipilih. Terapkan definisi trigonometri maka
y sin = = y 1
y sin = = y 1 x cos = =x 1
Fungsi Trigonometric θ adl sudut positif
x cos = =x 1
1
y
sin(θ ) = y
1 csc = y
cos =x
sec =
y tan = x
x cot = y
x
1 x
θ adl sudut putaran 1 x
y
Sepanjang Lingkaran
Jika kita pindahkan titik yang dipilih keliling lingkaran ke kuadran II, III, dan IV, definisi baru dari fungsi trigonometric ini masih berlaku.
Sudut Acuan
Sudut yang berada di kuadrant II, III, dan IV akan mempunyai nilai sin, cos, dan fungsi trigonometri yang lain yang identik kepada nilai di kuadrant I kecuali tandanya. Sudut yang lancip yang menghasilkan nilai yang sama disebut Sudut Acuan.
Sudut Acuan
Sudut Acuan adalah sudut antara titik yang dipilih dan busur x-axis yang terdekat. Sudut Acuan adalah sudut dimana sebuah segitiga positif ditarik tegal lurus dari sebuah garis yang ditarik tegak lurus terhadap x-axis dari titik asal dan titik pilihan.
Kuadran II Sudut Asal
Untuk sebuah sudut, θ, di kuadran II, Sudut Acuannya adl π − θ Di kuadran II,
Sudut Acuan
sin(θ) positif cos(θ) negatif tan(θ) negatif
Kuadrant III Sudut Asal
Semua Sin Tan Cos
Untuk sebuah sudut, θ, di kuadran III, Sudut Acuannya adl θ-π Di kuadran III,
Sudut Acuan
Gunakan istilah Semua Sin Tan Cos untuk mengingat tanda positif dalam uadran
Sin Sine positif
sin(θ) negatif cos(θ) negatif tan(θ) positif
Tan Tan positif
Kuadran IV
Sudut Istimewa
Sudut Acuan
Untuk sebuah sudut, θ, di kuadran IV, Sudut Acuannya adl 2π − θ Di kuadran IV,
Sudut Asal
sin(θ) negatif cos(θ) positif tan(θ) negatif
Angles measured in degrees: sin 45o = cos 45o =
1 and tan 45o = 1 2
Angles measured in radians: sin π / 4 = cos π / 4 =
1 and tan π / 4 = 1 2
Semua Semua fungsi positif
Cos Cos positif
Sudut Istimewa
0
1
0
¥
1/ 2
3/2 2/2
3/3
2
1/2
3
2/2 3/2 1
2 2 3 /3 1
¥
¥
3 1
2
3 /3
¥
0
3 /2 1/2 3 2 3 /3 2 3/3 2 2 1 2/2 2/2 1 2 1/ 2 3/2 3/3 2 3/3 3
Angles measured in degrees: 1 sin 30o = cos 60o = 2 3 sin 60o = cos30o = 2 1 o = 3 tan 60 = tan 30o
0
1
3/2 2/2 2/2 3/2 1/2 1/2
1
0
3/2 2/2
1/ 2
1/2 0
The 16-Titik di Lingkaran Satuan
0
1
1
2 3 /3 2
0
3 /3 1
2
¥
1
3 2 3/3
0
1
2 3/3 2 2 0
3
2/2 1 3 /2 3/3 1
¥
2 2 ¥
2
¥
3 1
3 /3
¥
0
2
3/3
2 2 3 /3 1
1
3 ¥
Identitas Trigonometri
Identitas adalah sebuah persamaan yang bernilai benar untuk semua peubah (variabel) Terdapat beberapa identitas trigonometri yang berguna dalam merubah penampakan ekspresi. Harus dihapal!!!
Identitas Trigonometri
Identitas hasil bagi
sin x=
Identitas Pembagian
tan x =
sin x cos x
1 sec x
cot x =
cos x sin x
tan x=
1 cot x
Identitas Trigonometri Identitas Co-fungsi
1 csc x
cos x=
Identitas Trigonometri
Fungsi dari sebuah sudut = cofungsi dari komplemennya °
sin x=cos90 x ° sec x=csc90 x ° tan x=cot 90 x
Sin 60 = cos 30 3/2= 3/2 Sin(2/3)=cos(/3)
Sec 60 = csc 30 2=2 sec(2/3)=csc(/3)
Identitas Trigonometri
Identitas Setengah Sudut sin
cos
x 1cos x =± 2 2 x 1cos x =± 2 2
Identitas Trigonometri
Sin 15=sin (30/2) = 1cos 30 =
2 1 3/2 2
= 2 3 = 2 3 4
2
Identitas Trigonometri
cos (22.5)=cos(45/2) 1cos 45 =
2
= 11/ 2 2 3 3 = = 4 2
Dasar identitas
cos 2θ = 1 − 2sin θ cos 2θ = 2cos 2 θ − 1
2cos θ cos φ = cos(θ + φ ) + cos(θ − φ )
sin 2θ = 2sin θ cos φ
2sin θ sin φ = cos(θ − φ ) − cos(θ + φ )
2 tan θ 1 − tan 2 θ
Identitas Trigonometri cos(θ + φ ) = cosθ cos φ − sin θ sin φ cos(θ − φ ) = cosθ cos φ + sin θ sin φ
Identitas Pythagoras
2sin θ cos φ = sin(θ + φ ) + sin(θ − φ )
2
tan 2θ =
Identitas Trigonometri
cos 2θ = cos 2 θ − sin 2 θ
2
2
Phitagoras
sin xcos x =1
Bagi dengan sin2x
1cot x =csc x
Bagi dengan cos2x
tan x 1=sec x
2
2
sin(θ + φ ) = sin θ cos φ + cosθ sin φ sin(θ +- φ ) = sin θ cos φ − cosθ sin φ
2
2
tan θ + tan φ 1 − tan θ tan φ tan θ − tan φ tan(θ − φ ) = 1 + tan θ tan φ tan(θ + φ ) =