Pengukuran Radian Pengukuran Radian Contoh soal Lingkaran ...

149 downloads 210181 Views 252KB Size Report
Pengukuran Radian. Dalam Trigonometri, pengukuran yang paling sering digunakan selain pengukuran sudut adalah pengukuran radian. Radian adalah ...
Pengukuran Radian 



Contoh soal

Dalam Trigonometri, pengukuran yang paling sering digunakan selain pengukuran sudut adalah pengukuran radian. Radian adalah pengukuran sudut pusat dimana busurnya sama dengan panjang dari jari-jari lingkaran. r

s=r

s



Hitung dalam pengukuran sudut (derajad) yang sama dengan 3π 4



degrees radians = 2π 360° d 3π 4 = 2π 360° 2πd = 270π



d = 135°

Pengukuran Radian 

 

Terdapat 2π radiandalam satu putaran penuh (sekali mengelilingi lingkaran) Terdapat 360° dalam satu putaran penuh Untuk merubah derajad ke radian atau radian ke derajad, digunakan aturan degrees radians = 2π 360°

Lingkaran Satuan 



Diberikan sebuah lingkaran dalam koordinat kartesius dengan pusat di titik asal dan jari-jari 1 Tentukan sebuah titik dalam lingkaran yang berada di kuadran I.

Tentukan pengukuran radian yang sama dengan 210° degrees radians = 360° 2π 210° r = 360° 2π 360r = 420π 420π 7π r= = 360 6

Lingkaran Satuan 



Lingkaran Satuan 

Hubungkan titik asal dengan titik yang dipilih dan tarik garis lurus ke x-axis. Terciptalah segitiga dengan panjang sisi miring sebesar 1.

Koordinat dari titik yang dipilih merupakan sinus dan kosinus dari sudut θ. 



Lingkaran Satuan 



Panjang dari kakikainya adalah koordinat x dan y dari titik yang dipilih. Terapkan definisi trigonometri maka

y sin = = y 1

y sin  = = y 1 x cos  = =x 1

Fungsi Trigonometric θ adl sudut positif

x cos = =x 1

1

y

sin(θ ) = y

1 csc  = y

cos  =x

sec  =

y tan  = x

x cot  = y

x

1 x

θ adl sudut putaran 1 x

y

Sepanjang Lingkaran 

Jika kita pindahkan titik yang dipilih keliling lingkaran ke kuadran II, III, dan IV, definisi baru dari fungsi trigonometric ini masih berlaku.

Sudut Acuan 



Sudut yang berada di kuadrant II, III, dan IV akan mempunyai nilai sin, cos, dan fungsi trigonometri yang lain yang identik kepada nilai di kuadrant I kecuali tandanya. Sudut yang lancip yang menghasilkan nilai yang sama disebut Sudut Acuan.

Sudut Acuan 



Sudut Acuan adalah sudut antara titik yang dipilih dan busur x-axis yang terdekat. Sudut Acuan adalah sudut dimana sebuah segitiga positif ditarik tegal lurus dari sebuah garis yang ditarik tegak lurus terhadap x-axis dari titik asal dan titik pilihan.

Kuadran II Sudut Asal





Untuk sebuah sudut, θ, di kuadran II, Sudut Acuannya adl π − θ Di kuadran II, 

Sudut Acuan

 

sin(θ) positif cos(θ) negatif tan(θ) negatif

Kuadrant III Sudut Asal

Semua Sin Tan Cos 



Untuk sebuah sudut, θ, di kuadran III, Sudut Acuannya adl θ-π Di kuadran III, 

Sudut Acuan

 



Gunakan istilah “Semua Sin Tan Cos” untuk mengingat tanda positif dalam uadran

Sin Sine positif

sin(θ) negatif cos(θ) negatif tan(θ) positif

Tan Tan positif

Kuadran IV

Sudut Istimewa 

Sudut Acuan



Untuk sebuah sudut, θ, di kuadran IV, Sudut Acuannya adl 2π − θ Di kuadran IV,   

Sudut Asal

sin(θ) negatif cos(θ) positif tan(θ) negatif

Angles measured in degrees: sin 45o = cos 45o =

1 and tan 45o = 1 2

Angles measured in radians: sin π / 4 = cos π / 4 =

1 and tan π / 4 = 1 2

Semua Semua fungsi positif

Cos Cos positif

Sudut Istimewa

0

1

0

¥

1/ 2

 3/2  2/2

 3/3

2

1/2

3

 2/2  3/2 1

2 2  3 /3 1

¥

¥

3 1

2

 3 /3

¥

0

 3 /2 1/2  3 2  3 /3 2  3/3  2  2 1  2/2  2/2 1 2 1/ 2  3/2  3/3 2  3/3   3

Angles measured in degrees: 1 sin 30o = cos 60o = 2 3 sin 60o = cos30o = 2 1 o = 3 tan 60 = tan 30o

0

1

 3/2  2/2  2/2  3/2 1/2 1/2

1

0

 3/2  2/2

1/ 2

1/2 0

The 16-Titik di Lingkaran Satuan

0

1

1

2  3 /3 2

0

 3 /3 1

 2

¥

1

  3 2  3/3

0

1

2  3/3 2  2 0

3

 2/2 1  3 /2  3/3 1

¥

 2 2 ¥

2

¥

3 1

3 /3

¥

0

2

 3/3

2 2  3 /3 1

1

 3 ¥

Identitas Trigonometri 





Identitas adalah sebuah persamaan yang bernilai benar untuk semua peubah (variabel) Terdapat beberapa identitas trigonometri yang berguna dalam merubah penampakan ekspresi. Harus dihapal!!!

Identitas Trigonometri 



Identitas hasil bagi

sin x=

Identitas Pembagian

tan x =

sin x cos x

1 sec x

cot x =

cos x sin x

tan x=

1 cot x

Identitas Trigonometri Identitas Co-fungsi 

 

1 csc x

cos x=



Identitas Trigonometri

Fungsi dari sebuah sudut = cofungsi dari komplemennya °

sin x=cos90 x  ° sec x=csc90 x ° tan x=cot  90 x 



Sin 60 = cos 30 3/2= 3/2 Sin(2/3)=cos(/3)

  

Sec 60 = csc 30 2=2 sec(2/3)=csc(/3)

Identitas Trigonometri 

Identitas Setengah Sudut sin

   

cos

x 1cos x =± 2 2 x 1cos x =± 2 2

Identitas Trigonometri 

Sin 15=sin (30/2) = 1cos 30 =



 

2 1 3/2 2

= 2 3 =  2  3 4

2



Identitas Trigonometri

cos (22.5)=cos(45/2) 1cos 45 =

  

2

= 11/ 2 2 3 3 = = 4 2

Dasar identitas

cos 2θ = 1 − 2sin θ cos 2θ = 2cos 2 θ − 1

2cos θ cos φ = cos(θ + φ ) + cos(θ − φ )

sin 2θ = 2sin θ cos φ

2sin θ sin φ = cos(θ − φ ) − cos(θ + φ )

2 tan θ 1 − tan 2 θ

Identitas Trigonometri cos(θ + φ ) = cosθ cos φ − sin θ sin φ cos(θ − φ ) = cosθ cos φ + sin θ sin φ

Identitas Pythagoras 

2sin θ cos φ = sin(θ + φ ) + sin(θ − φ )

2

tan 2θ =

Identitas Trigonometri 

cos 2θ = cos 2 θ − sin 2 θ

2

2

Phitagoras

sin xcos x =1

Bagi dengan sin2x

1cot x =csc x

Bagi dengan cos2x

tan x 1=sec x

2

2

sin(θ + φ ) = sin θ cos φ + cosθ sin φ sin(θ +- φ ) = sin θ cos φ − cosθ sin φ

2

2

tan θ + tan φ 1 − tan θ tan φ tan θ − tan φ tan(θ − φ ) = 1 + tan θ tan φ tan(θ + φ ) =