matematika keuangan dengan baik dan pengetahuan tentang produk pasar ...
Dengan bekal matematika dan produk keuangan, seseorang dapat menjadi ...
PERANAN MATEMATIKA DALAM PERENCANAAN KEUANGAN Budi Frensidy Departemen Akuntansi, Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia Abstract: Salah satu cabang ilmu keuangan yang berkembang pesat dalam dekade terakhir di Amerika dan dalam lima tahun terakhir di Indonesia adalah perencanaan keuangan atau financial planning. Saat ini setidaknya ada tiga asosiasi berbeda di Indonesia untuk profesi ini. Ketiganya adalah International Association of Registered Financial Consultants (IARFC), Financial Planner Association Indonesia (FPAI), dan Certified Wealth Managers’ Association (CWMA). Seiring dengan menjamurnya profesi perencana keuangan, penasihat keuangan, dan konsultan keuangan ini, produk keuangan yang ditawarkan kepada masyarakat pun semakin marak seperti asuransi pendidikan, tabungan pendidikan, unit link, reksa dana terproteksi, dana pensiun, dan lain-lain. Kursus, seminar, dan lokakarya perencanaan keuangan juga banyak ditawarkan ke publik. Artikel di media massa tak ketinggalan banyak yang membahas mengenai tips untuk merencanakan keuangan dengan baik. Inti dari semua pelatihan, tips, nasihat, dan artikel tentang perencanaan keuangan itu adalah bahwa perencanaan keuangan itu mudah dan semua orang dapat melakukannya sendiri, jika mau. Ditelusuri lebih lanjut, seseorang hanya perlu memahami matematika keuangan dengan baik dan pengetahuan tentang produk pasar modal dan pasar uang yang tersedia, yaitu mengenai tingkat pengembalian (return) dan risikonya. Dengan bekal matematika dan produk keuangan, seseorang dapat menjadi perencana keuangan dan menilai semua produk keuangan dan investasi yang ditawarkan oleh perusahaan asuransi, bank, dana pensiun, dan lainnya. Pemahaman matematika keuangan akan membuat seseorang menjadi cerdas finansial, dan memungkinkannya untuk menghitung sendiri kebutuhan uang pensiunnya kelak termasuk menyusun skedul akumulasi dana itu secara lengkap. Studi ini bertujuan untuk menjelaskan matematika keuangan yang diperlukan untuk perencanaan keuangan, asumsi yang diperlukan, persamaan matematikanya, dan contoh-contoh nyata dalam kehidupan. Contoh aktual akan diberikan secara sistematis, mulai dari yang sederhana, hingga yang rumit. Kata kunci: matematika keuangan, perencanaan keuangan, perpetuitas, anuitas, future value, present value 1. Pendahuluan Ketika sejumlah uang tertentu yang cukup besar diperlukan pada suatu saat di masa datang, adalah suatu kebiasaan yang baik dan bijak untuk menyiapkannya sejak awal atau mengumpulkannya secara terencana dalam jumlah yang sama setiap periode. Pengumpulan dana seperti inilah yang menjadi salah satu tujuan utama perencanaan keuangan. Disini sengaja digunakan kata menyiapkan dan mengumpulkan, dan bukan menabung, karena penempatan dana tidak selalu harus dalam tabungan. Dana yang terkumpul dapat saja ditaruh di bank, ORI, reksa dana pasar uang, reksa dana pendapatan tetap, reksa dana saham atau reksa dana campuran. Pengumpulan dana secara periodik ini pada praktiknya juga dilakukan banyak perusahaan untuk keperluan dana pelunasan utang atau obligasi saat jatuh tempo, yang lazim disebut dana pelunasan atau sinking fund. Meskipun demikian, ada juga perusahaan yang melakukannya untuk tujuan lain seperti untuk dana pensiun para karyawan, penggantian mesin yang usang, penggantian karpet dan sofa sebuah hotel, dan lainnya.
Untuk individu dan keluarga, prinsip mengumpulkan uang ini tentunya bisa diterapkan untuk macam-macam tujuan. Ada yang untuk berwisata ke manca negara, membeli mobil atau apartemen. Bisa juga untuk tujuan lainnya seperti menunaikan ibadah haji, menyekolahkan anak di luar negeri, melanjutkan kuliah ke program pascasarjana, dan lainnya. Semua tujuan di atas masuk akal dan sah-sah saja. Untuk dapat melakukan perencanaan keuangan dalam usaha memenuhi tujuan-tujuan di atas, seseorang hanya memerlukan kemampuan dasar matematika keuangan ditambah pengetahuan tentang semua produk investasi yang ada di pasar keuangan dan disiplin diri. Studi ini tidak dimaksudkan untuk mengupas ketiga faktor di atas secara tuntas dan hanya memfokuskan pada penggunaan matematika yang diperlukan. Pencarian produk keuangan yang mampu memberikan return yang diharapkan atau yang digunakan dalam perhitungan matematika dan kemampuan untuk melakukan disiplin diri tidak dibahas dalam artikel ini. Kedua faktor itu diterima sebagai sesuatu yang sudah ada atau taken for granted. 2. Persamaan Dasar Perencanaan keuangan paling sederhana untuk mencapai sejumlah nilai tertentu di masa yang akan datang melibatkan satu setoran tunggal saat ini dalam produk perbankan yang sudah sangat terbiasa (familiar) di masyarakat Indonesia yang deposito-minded yaitu deposito atau tabungan. Persamaan yang digunakan untuk tujuan ini adalah persamaan dasar untuk nilai sekarang atau present value (PV) yang sekaligus persamaan dasar untuk nilai akan datang atau future value (FV) yaitu: FV = PV (1 + i) n .................... (1)
atau
PV =
FV__ (1 + i) n
dengan FV = future value atau nilai akan datang PV = present value atau nilai sekarang i = tingkat bunga per periode n = jumlah periode Asumsi yang diperlukan adalah tingkat bunga akan stabil selama beberapa tahun ke depan dan digunakan metode 30/360 untuk penghitungan bunga secara bulanan (aatau asumsi jumlah hari sama setiap bulan). Jika tingkat bunga tidak stabil tetapi rata-rata tingkat bunga diasumsikan akan sebesar i, persamaan di atas masih dapat digunakan. Contoh: Sebuah keluarga mempunyai seorang putra yang saat ini berusia 12 tahun. Untuk keperluan biaya masuk perguruan tinggi swasta favorit 6 tahun dari sekarang, diperlukan dana sekitar Rp75 juta. Sang Ayah berniat menyetorkan sejumlah uang, sekali saja, ke dalam tabungan pendidikan yang ditawarkan sebuah bank. Berapa jumlah uang yang perlu disiapkan keluarga itu jika: Contoh 1. Bank itu memberikan bunga bersih 6% p.a. dan dikreditkan setiap tahun? Contoh 2. Bank itu memberikan bunga bersih 6% p.a. dan dikreditkan setiap bulan? Contoh 3. Bank itu memberikan bunga sebelum pajak 6% p.a. dan dikreditkan setiap tahun? Contoh 4. Bank itu memberikan bunga sebelum pajak 6% p.a. dan dikreditkan setiap bulan? Jawab: FV dalam semua contoh di atas adalah sama yaitu Rp75 juta. Perbedaan contoh 1 sampai 4 adalah dalam periode penghitungan bunga (compounding) sehingga tingkat bunga (i) dan periode (n) juga berbeda. Dalam contoh 1, i adalah 6% dan n adalah 6 tahun. Pada contoh 2, i dan n adalah 0,5% dan 72 bulan. Dalam contoh 3, karena adanya pajak penghasilan 20% atas bunga tabungan, besar bunga bersih per tahun menjadi hanya 4,8% dengan periode 6 tahun. Terakhir, pada contoh 4, i adalah 0,4% dan n menjadi 72 bulan.
PV =
FV__ (1 + i) n
Jawaban 1.
PV =
Rp75 juta__ = Rp52.872.040,5 (1 + 6%) 6
Jawaban 2.
PV =
Rp75 juta__ = Rp52.372.682,3 (1 + 0,5%) 72
Jawaban 3.
PV =
Rp75 juta__ = Rp56.610.053,8 (1 + 4,8%) 6
Jawaban 4.
PV =
Rp75 juta__ = Rp56.264.432,3 (1 + 0,4%) 72
Contoh 5. Variasi dari contoh sederhana di atas adalah jika Ayah tadi tidak mempunyai uang yang cukup untuk menyetor sekali saja. Jika dalam contoh 1, ternyata uang yang tersedia hanya Rp30 juta dan sang Ayah berniat untuk menyetorkan untuk kedua kalinya 3 tahun mendatang, berapa jumlah yang harus disiapkan 3 tahun lagi itu? Jawab: Yang harus dilakukan dalam contoh terakhir adalah menghitung FV dari uang Rp30 juta yang disetor hari ini. Kemudian kita menghitung besar kekurangan uang yang diperlukan. Selisih future value yang diinginkan dan future value yang diperoleh inilah yang harus ditutup dari setoran kedua. Kita kembali menggunakan persamaan dasar untuk menghitung besar setoran kedua ini tetapi dengan future value hanya sebesar selisih di atas dengan n selama 3 tahun dan i yang sama yaitu 6% p.a. (seperti contoh 1). Future value dari Rp30 juta, 6 tahun lagi adalah FV6 = PV (1 + i) 6 atau FV6 = Rp30 juta (1 + 6%) 6 = Rp42.555.573,4 Untuk memenuhi FV sebesar Rp32.444.426,6 (Rp75 juta − Rp42.555.573,4) dalam periode 3 tahun (awal tahun keempat hingga akhir tahun keenam) diperlukan tambahan tabungan sebesar: PV = Rp32.444.426,6 = Rp27.240.966,2 (1 + 6%) 3 Dengan demikian, setoran kedua tepat 3 tahun lagi adalah Rp27.240.966,2. 3. Persamaan Anuitas untuk FV Perencanaan keuangan seperti di atas dengan setoran awal di muka atau beberapa setoran saja, dua kali dalam contoh terakhir, pada praktiknya, jarang digunakan. Model perencanaan keuangan yang lebih sering dan lebih realistis adalah dengan penyetoran sejumlah uang sama besar setiap periode hingga tanggal jatuh tempo. Periode penyetoran dapat tahunan, semesteran, triwulanan, dan bulanan. Karena penghasilan di Indonesia sebagian besar dalam bulanan, model perencanaan keuangan yang paling lazim adalah juga bulanan. Meskipun
demikian, perencanaan keuangan dengan periode triwulanan, semesteran, dan tahunan dapat dilakukan dengan mudah jika kita memahami model perencanaan keuangan dengan setoran bulanan. Semuanya menggunakan konsep dan persamaan matematika yang sama yaitu anuitas. Berdasarkan alasan ini, akan digunakan contoh anuitas bulanan. Contoh 6. Jika keluarga di atas hanya mampu mengangsur untuk keperluan biaya kuliah putranya kelak, berapa besar tabungan bulanan yang perlu disiapkan? Jumlah kebutuhan uang, periode, dan bunga adalah sama seperti contoh-contoh sebelumnya yaitu Rp75 juta, enam tahun lagi, dan dengan bunga 6% p.a. Karena setoran dilakukan setiap bulan, periode dan bunga pun harus dinyatakan dalam bulan yaitu 72 bulan dengan bunga 0,5% per bulan. Persamaan yang diperlukan tidak lagi persamaan dasar tetapi persamaan anuitas sebagai berikut: FV = ((1 + i) n – 1) A .................... (2) i dengan
FV = nilai pada akhir periode atau nilai yang diinginkan (future value) i = tingkat bunga per periode n = jumlah periode A = anuitas atau setoran per periode
Jawaban 6:
FV = Rp75 juta i = 0,5% n = 72 bulan A = anuitas atau setoran per bulan Rp75 juta = ((1 + 0,5%) 72 – 1) A 0,5% atau A = Rp75 juta (0,005) / ((1,005) 72 − 1) A = Rp867.966,6
Pengumpulan dana dalam contoh terakhir mengasumsikan orang tua tersebut belum mempunyai dana sama sekali untuk mencapai tujuan keuangannya atau memulainya dari nol. Kenyataannya, sangat mungkin saat ini dia sudah mempunyai sejumlah uang. Jika demikian, besar tabungan bulanan menjadi berubah. Semakin besar dana yang disetorkan di awal untuk tabungan pendidikan ini, semakin kecil setoran periodik yang diperlukan selama periode tabungan. Contoh 7. Misalkan orang tua di atas sudah mempunyai dana sekitar Rp20 juta untuk keperluan biaya pendidikan tinggi putranya ini. Jika variabel lain diasumsikan tidak berubah, berapa keperluan setoran bulanan untuk mewujudkan harapannya? Jawab: Pertama kita harus menghitung FV dari uang Rp20 juta pada hari ini dengan menggunakan persamaan dasar. Kemudian kita menghitung selisih uang yang diperlukan di masa datang. Selisih future value ini akan dipenuhi dengan cara mengangsur. Kita akan menggunakan persamaan anuitas untuk menghitung tabungan periodik yang harus dilakukan
dengan n selama 72 bulan, i yang sama yaitu 6% p.a. atau 0,5% per bulan, dan FV sebesar kekurangan di atas. Future value dari Rp20 juta, 6 tahun lagi adalah FV6 = PV (1 + i) 6 atau FV6 = Rp20 juta (1 + 6%) 6 = Rp28.370.382,3 Untuk memenuhi FV sebesar Rp46.629.617,7 (Rp75 juta − Rp28.370.382,3) dalam 72 bulan, diperlukan tabungan bulanan sebesar: A=
FV. i
(manipulasi dari persamaan 2)
(1 + i) n – 1 A = Rp46.629.617,7 (0,5%) (1 + 0,5%) 72 – 1 A = Rp539.639,3 Dengan demikian, setoran bulanan yang diperlukan hanya Rp539.639,3 selama 72 bulan. 4. Persamaan Anuitas di Muka untuk FV Sejauh ini, kita hanya menggunakan satu persamaan anuitas untuk future value dengan asumsi angsuran dilakukan pada setiap periode mulai periode 1 dan future value yang diinginkan akan diperoleh tepat di akhir periode n, sesaat setelah penyetoran akhir pada periode itu. Alternatif lain adalah setoran anuitas dilakukan di setiap awal periode, mulai dari periode 1 juga, tetapi dana yang diinginkan diambil pada akhir periode n. Perbedaan antara keduanya adalah yang pertama, untuk periode angsuran 12 kali mulai awal tahun, setoran dana dilakukan setiap akhir bulan yaitu mulai 31 Januari hingga 31 Desember dan dana yang diinginkan akan diperoleh pada tanggal 31 Desember, tepat setelah setoran ke-12 dilakukan (atau setoran mulai 1 Januari hingga 1 Desember dengan dana yang ditargetkan persis dapat diambil pada tanggal 1 Desember). Sedangkan pada pola yang kedua, angsuran pertama dimulai tanggal 1 Januari dan angsuran terakhir tanggal 1 Desember, tetapi dana diambil pada tanggal 31 Desember. Jika model perencanaan keuangan terakhir ini yang digunakan, kita dapat menggunakan persamaan anuitas di muka untuk future value yaitu: FV = ((1 + i) n – 1) A. (1 + i) ……………….. (3) i Perhatikan kalau perbedaan antara persamaan (2) dan (3) untuk FV hanyalah tambahan bunga pada periode terakhir yaitu (1 + i). Ini dikarenakan periode pertama adalah tanggal 1 Januari dan periode terakhir 1 Desember sehingga jumlah uang yang sama sudah dapat diperoleh pada tanggal 1 Desember. Jika dana tersebut akan diambil tanggal 31 Desember, jumlahnya akan bertambah sebesar i karena adanya faktor bunga untuk bulan Desember. Contoh 8. Misalkan hari ini tanggal 1 Januari 2009. Memasuki tahun 2009 ini, sepasang pengantin baru berencana untuk membeli apartemen di tengah kota yang dekat dengan tempat kerja mereka. Untuk itu, mereka memerlukan uang muka sebesar Rp50 juta pada akhir tahun 2009. Jika bunga bersih atas tabungan yang dapat mereka peroleh adalah 0,5% per bulan, berapa besar setoran bulanan mulai hari ini jika dia memerlukan Rp50 juta itu tepat 11 bulan lagi yaitu 1 Desember 2009?
Contoh 9. Melanjutkan contoh 8, berapa besar setoran bulanan itu jika dia memerlukannya tepat 12 bulan lagi atau tanggal 31 Desember 2009? Jawab: Perbedaan antara contoh 8 dan 9 adalah yang pertama menggunakan persamaan anuitas biasa sedangkan yang kedua harus menggunakan persamaan anuitas di muka. Jumlah periode setoran untuk keduanya adalah sama yaitu 12 kali. Jawaban 8. A =
FV. i (1 + i) n – 1
A = Rp50 juta (0,5%) (1 + 0,5%) 12 – 1 A = Rp4.053.321,5
Jawaban 9.
A=
FV. i ((1 + i) n – 1)(1 + i)
A=
Rp50 juta (0,5%) ((1 + 0,5%) 12 – 1)(1 + 0,5%)
A = Rp4.033.155,7 5. Persamaan Perpetuitas dan Perpetuitas Bertumbuh Selain untuk merencanakan keuangan sederhana seperti contoh-contoh di atas, tujuan yang lebih dinamis dan relatif lebih sulit adalah perencanaan keuangan untuk kebutuhan uang pensiun. Berapa besar dana yang Anda perlukan pada masa pensiun tergantung beberapa faktor seperti pengeluaran hidup sebelum pensiun, inflasi, dan rata-rata return investasi yang dapat diperoleh. Sedangkan untuk menghitung berapa besar dana yang harus dikumpulkan secara periodik untuk memenuhinya tergantung pada usia mulai, usia pensiun yang diinginkan, dan dana yang sudah dimiliki. Untuk konkretnya, misalkan Anda saat ini berusia 40 tahun dengan pengeluaran bulanan Rp5 juta dan berencana untuk pensiun pada usia 60. Asumsikan inflasi tahunan ratarata selama 20 tahun ke depan adalah 6% dan dapat diperoleh return sebesar 12% p.a. untuk dana Anda. Return sebesar ini tentunya tidak Anda peroleh jika hanya mengandalkan produk bank dan asuransi. Pertama, kita harus menghitung pengeluaran bulanan sebesar Rp5 juta akan menjadi berapa 20 tahun lagi. Dengan inflasi tahunan 6%, angka itu menjadi Rp16 juta ((1,06^20) x Rp5 juta) saat usia Anda 60 tahun. Pengeluaran bulanan saat pensiun tentunya lebih rendah, katakan sekitar 70%-nya, daripada pengeluaran saat masih aktif bekerja karena Anda tidak perlu lagi membiayai pendidikan anak dan pengeluaran transportasi ke kantor setiap hari. Sebagian dari pengurangan biaya ini akan Anda perlukan untuk biaya pemeliharaan kesehatan seperti untuk check-up kesehatan rutin dan obat-obatan. Dengan demikian, Anda memerlukan uang sebesar Rp11,2 juta/bulan (70% x Rp16 juta) saat pensiun nanti. Jika dapat diperoleh return 12% p.a. atau 1% per bulan untuk dana Anda, total uang pensiun yang dibutuhkan saat itu adalah Rp1,12 miliar (Rp11,2 juta/1%). Persamaan matematika yang digunakan di atas adalah perpetuitas yaitu PV = A / i (frensidy, 2008). Kebutuhan uang pensiun menjadi lebih besar jika Anda menginginkan uang pensiun bulanan ini juga naik sesuai inflasi yaitu 6% p.a. atau 0,5% per bulan.
Dalam contoh ini, kita memerlukan perpetuitas bertumbuh yaitu PV = A / (i − g) (frensidy, 2008), dengan g adalah besar pertumbuhan per periode. Uang pensiun yang dibutuhkan menjadi Rp2,24 miliar (Rp11,2 juta/(1% – 0,5%)). Jika saat ini Anda tidak mempunyai aset likuid dan juga terbebas dari utang alias mulai dari nol, dana yang Anda harus siapkan setiap bulan adalah Rp1.132.164,7. Bagaimana kita memperoleh angka itu adalah dengan menggunakan persamaan anuitas yang telah dibahas di atas yaitu: A=
FV. i (1 + i) n – 1
dengan FV = Rp1.120.000.000 i = 1% n = 240 bulan A = Rp1.120 juta (1%) (1 + 1%) 240 – 1 A = Rp1.132.164,7 Jika saat ini Anda memulainya dengan dana Rp50 juta, dana yang perlu disiapkan berkurang menjadi hanya Rp581.622 per bulan. Caranya adalah persis seperti penyelesaian contoh 7 di atas. Angka-angka di atas tentunya akan berubah jika pengeluaran bulanan Anda tidak sebesar Rp5 juta/bulan atau inflasi tahunan rata-rata ternyata meleset dari 6% atau periode pensiun yang Anda rencanakan bukan 20 tahun lagi atau tingkat pengemablian investasi bukan sebesar 12% p.a. seperti yang ditargetkan. Namun dengan menggunakan persamaan-persamaan matematika di atas, semuanya dapat diselesaikan dengan mudah. 6. Persamaan Anuitas untuk PV Dengan mengambil Rp11,2 juta setiap bulan sebagai hasil investasi dari dana Anda, uang pensiun Rp1,12 miliar yang sudah Anda kumpulkan tidak akan pernah habis. Kebutuhan uang pensiun akan menjadi lebih sedikit jika Anda ingin menghabiskannya, katakan dalam 15 tahun. Maksudnya adalah jika Anda merasa tidak perlu untuk mewariskan keluarga yang ditinggalkan uang sebesar Rp1,12 miliar dan usia Anda realistisnya juga tidak akan melebihi, mohon maaf, 75 tahun. Jika demikian, kita perlu menghitung nilai sekarang dari aliran kas sebesar Rp11,2 juta setiap bulan selama 15 tahun. Untuk itu, kita memerlukan persamaan anuitas untuk PV (present value) yaitu:
⎛ 1 − (1 + i) − n PV = ⎜⎜ i ⎝
⎞ ⎟⎟A .................... (4) ⎠
dengan A = Rp11,2 juta i = 1% n = 180 bulan
⎛ 1 − (1 + 1%) −180 PV = ⎜⎜ 1% ⎝
⎞ ⎟⎟Rp11,2 juta ⎠
PV = Rp933.202.636,7 Untuk menghitung dana bulanan yang perlu disiapkan untuk mencapai angka ini dalam 20 tahun, kita kembali menggunakan persamaan anuitas untuk future value yaitu: A=
FV. i (1 + i) n – 1
dengan FV = Rp933.202.636,7 i = 1% n = 240 bulan A = Rp933.202.636,7 (1%) (1 + 1%) 240 – 1 A = Rp943.338,5 Jika Anda tidak memulainya dari nol tetapi dengan dana awal Rp50 juta, besar setoran bulanan yang diperlukan adalah Rp392.795. Caranya adalah sama seperti contoh perpetuitas di atas atau penyelesaian contoh 7. Sekarang sudah jelas kalau kunci untuk dapat menghitung kebutuhan uang pensiun adalah matematika keuangan dan pencarian produk investasi yang mampu memberikan tingkat pengembalian (return) sesuai yang diharapkan. Tulisan ini hanya membahas satu sisi yaitu penghitungan matematikanya. Sisi lainnya yaitu perburuan produk keuangan/investasi memerlukan manajemen investasi atau teori portofolio. Kesimpulan Perencanaan keuangan memerlukan dua pengetahuan dasar yaitu matematika keuangan dan ilmu investasi (portofolio). Studi ini membahas logika dan persamaan matematika keuangan yang diperlukan untuk melakukan perencanaan itu dan tidak membahas pencarian produk keuangan/investasi yang dapat memenuhi tujuan keuangan yang sudah ditetapkan. Ada beberapa persamaan matematika keuangan yang sangat bermanfaat untuk melakukan perencanaan keuangan baik untuk tujuan tertentu maupun untuk kebutuhan pensiun. Persamaan-persamaan itu adalah persamaan dasar PV dan FV, persamaan anuitas biasa untuk FV (future value), persamaan anuitas di muka untuk FV, perpetuitas, perpetuitas bertumbuh, dan persamaan anuitas biasa untuk PV (present value).
Referensi Aseervatham, Al, Help in Business Mathematics, A Workbook, Prentice-Hall, 1996 Ayres, Frank Jr., Schaum’s Outline of Mathematics of Finance, McGraw-Hill, 1963 DeFusco, Richard A., Dennis W. McLeavey, Jerald E. Pinto, and David E. Runkle, Quantitative Methods for Investment Analysis, 2nd edition, CFA Institute, 2004 Frensidy, Budi, Financial Mathematics, Salemba Empat, 2008 Frensidy, Budi, Matematika Keuangan, edisi 2, Salemba Empat, 2006 Frensidy, Budi. “Menghitung Kebutuhan Uang Pensiun.” Bisnis Indonesia Minggu edisi 69 (6 April 2008). Frensidy, Budi. “Membedah Anuitas dan Perpetuitas.” Bisnis Indonesia Minggu edisi 62 (17 Februari 2008). Frensidy, Budi. “Merencanakan Keuangan itu Mudah.” Bisnis Indonesia Minggu edisi 54 (23 Desember 2007). Frensidy, Budi, Matematika Keuangan : Kumpulan Soal, Salemba Empat, 2006 Guthrie, Gary C. and Larry D. Lemon, Mathematics of Interest Rates and Finance, PrenticeHall, 2003 Harper, H.Hugh, College Business Mathematics, McGraw-Hill, 1986 Johnson, Ramon E. and Robert A. Lutz., Applied Mathematics of Finance, 3rd edition, Kendal/Hunt Publishing, 1999 Kapoor, Jack, Les Dlabay, and Robert J. Hughes, Personal Finance, 7th edition, McGraw-Hill, 2004 Knox, David M., Petr Zima, and Robert L.Brown, Mathematics of Finance, McGraw-Hill, 1990 Miller, Kathleen N., Mathematics for Business, College Course, McGraw-Hill, 1988 Pintel, Gerald and Jay Diamond, Basic Business Mathematics, 4th edition, Prentice-Hall, 1989 Ross, Stephen A., Randolph W. Westerfield, and Jeffrey Jaffe, Corporate Finance, 7th edition, McGraw-Hill, 2005 Shao, Stephen Pinyee, Mathematics for Management and Finance, 5th edition, South-Western, 1986 Zima, Petr and Joel J. Lerner, Schaum’s Outline of Theory and Problems of Business Mathematics, McGraw-Hill, 1988
Zima, Petr and Robert L. Brown, Schaum’s Outline of Mathematics of Finance, 2nd edition, McGraw-Hill, 1996
