Perfect matchings in random graphs with prescribed minimal degree ...

"!# $%&"(')* %+ ,,.-/0 1 234"56+ 78:9=?A@CBEDFBHG IJ?A@LKMN@COPOABE8:Q 7RSRKPOUTFVWXYVV[Z \ ]_^*`abEcP` def*gihkjmlonkeqpYrtskee*uvlojmrte*hkfqegAwkxEeqpmwyeqf*r_zN{rtf|sklohk}Ajl~hpt{PhknkgAz}Apt{Axkskj@?ACB K B = ( '>L(MB :< DEGFH*IJ (='>NA%B

ç

úì[ÜÞ*Ü 5 ÿHÜPòHØvÛ*Ü ä ßñ¬òHñyß#ÚHß ÿHÜ÷vÞ*ÜPÜOÝ$óØÚÌÞ ä Ü ê ßñyòHñyßNÚ[ßËÿ[Ü÷vÞ*ÜÜ ã Û ïyÜ ãvä Û ØòHÜñ äã ÛÞ*ñoáÌñ ã ï_òHÜóPÜ ää*ã Þ óPØòHÿHñ¬Û*ñ¬Øò±ÝØvÞÛ*ìHÜNÜðEñ Û*Üò[óÜNØvÝ í_ÜÞ*ÝöÜóÛ¢ß Û*ó.ìHñ¬ò[÷ × ìHÜ ï¬ï,Û*ìHÜØvÞ*Üß Û*ÚÌÞ*òHÜPÿ ØÚÌÛÛ*ØîÜNíÜÞ*ÝöÜóÛ*ï Û ã ñyï¬ØvÞ*ÜPÿNÝöØvÞÚ ä ÜñyòNóPØßä î@?A]\_^ (='>L(B (='>NA

`'aVbFcVdegfih\_fkj?lKfmhB

õ|çAø H*IJ ç × ì[ÜÞ*Ü ä ÛÞ*ñyóÛ*ñyØò ëä Ú óñyÜòkÛ*ï ä ï¬ØAúïf ß ã ä ÜPÜßÀØvÚHÛØÝíNAC × ì[ÜØvÞ*Üß ÿHØEÜ ä ïyÜ ã ákÜ6Ø¶í_Üò±Û*ì[Üó ãvä ÜúìHÜÞ*Ü#Û*ìHÜòEÚHßNîÜÞØÝ5ÜÿH÷Ü ä !K# õ øã òHÿ ä Ø"ñ¬Ûñ ä òHØvÛ ÙFÚHñ¬Û*Ü ãvä Û*ñ¬÷ìkÛ ãvä × ìHÜØvÞ*ÜPß ç 8Øò ä ñ¬ÿ[ÜÞ±Û*ìHÜ Þ*ÿØ ü ä|ô &Üâ ò ÌñNÞ ã òHÿHØß2÷vÞ ã í[ì ýQ ÜÞ*Ü B! ñ ä±ã ò! ñyòk#LÛ*ÜÞ*(=Ü ä Û*ñyÝöòHØv÷ Þï¬ã ñyíHßí[ñ¬ïyòHñyó Ý ã ( Û*ñ¬Øò ØÝ6× ì[6ñ ÜÜ Øv Þ*ÜÛ*ß ìHÜ > õØÝ Û*ìHÜ·áøqÜê ÞÛ*ñ¬óPÜ ØÝ ÿHê ÜP÷vÞ*ÜÜ Û#ßØ Û ç úEÜê Ø¶î[Û ñyò ä ÚÌóíØvÜÞ*Þ*Ü óÞ*ñ¬Û*Û*ìHñ¬ó Ü·ã ïï í[Þ*÷vì Ü ãvä Û Ü ÚÌî A DG ; B ; F # õ . ø DG .)# Mõ ; ï¬Ø÷ ; mø I ; # ç B X Q 5FF ! # õ ï¬Ø÷ ø . õ BV! ø ! V õ Q ø 032 õ H # ! ø F ÜðEí ? ! F F æ¬õ ø F é B |õ çkø F Q + EK õ Q Y7 ø # #%! M 9:

# B F B ;

# çB æ¬õ ø F é # :< Q MB |õ ççAø Q õ|ç ? D E R ø B # #%! (õ 2 ø E F B a! ! ? -R> AAI |õ ç ø 0 2 DG N a! ! ? ? T -G # ! |õ ç ø D E N 032 >

j?\ c fm\ U j e ^ c ??b \VeAg^Ad+b!B + @ ^ c

e

L ( j5j@e\

( j?\_beb @c

L ^

e

c

c c5; (

Jj

"

c

c d

j

j?d

< &

7*)

!+

ñ¬ò/Û*ìHÜÞ*Üß ã ñyòHñ¬ò[÷÷vÞ ã í Ø#úÜ ìHØÚHïyÿÜðEíÜóÛ õ _ø Û*ØNîÜ¢óïyØ ä ÜÛ*Ø 0 õ _øqê Û*ìHÜÞ*ØEØ¶Û ØÝ õ õ|ç kkø øqúê Q ñ¬Û*ì Q Þ*ã Üí[ï ã Q óPÜÿ"îf ê õñ^ ÜD E ø YÌä ä 0 õ _ø # ç ? F F : B õ :>ç ø 98 ã Þ*ÜPÝÚHï+óØß6í[ÚÌÛ ã Û*ñyØò ä Þ*ÜákÜ ã ï_Û*ì ã Û [ 0 õ B 0 õ _øø # ïyØ÷ õ|ç ? F ø [ õ _ø B úì[ÜÞ*Ü [ 0 õ B ø ñ ä Ø¶î[Û ã ñyòHÜPÿ·Ý£Þ*Øß [ õ B ø -î 6Þ*Üí[ï ã óPñ¬ò[÷ Q úñ¬Û*ì fç ø B õ|ç ? _ø ïyØ÷ õ|ç ? _ø E : B úÜ ä ÜPÜ¸Û*ì ã Û ê ÝØvÞ õ ! MB ç ié5õLã òHÿ ! 7 õ|ç & , ø ¸ïyØ÷ øqê [ 0 õ B 0 õ _øø : ? õ ? ? ï¬Ø÷ õ|ç _øø : ? õõ|ç , kø ï¬Ø÷ "? Hõ|ç ? ø ïyØ÷ ' õ ï¬Ø÷ÂïyØ÷ øø : ?4( ï¬Ø÷ B úì[ÜÞ*/Ü (&# ( õ ø ñ¬Ý çç ç ? , ( Ø ê ÝØvÞ0Û*ìHñ ä ó.ìHØñ¬óPÜØÝ ê [ õ B õ _øø # [ 0 õ B 0 õ _øø õ EGF ø : ?4(=! E ï¬Ø÷ ' õ D EqF ï¬Ø÷ ø [ õ B ø

$

#

$

$

H

$

H

$

$

$

H

$

H

$

$

$

$

$

J$ $

H

D

H

5P

H

L

$

$

H

[

G

H

\

$

F

3$

$

H

F

$

H

H

B

o

$

L

G

H

$

$

H

$

$

F

G

L

$

$

$

M

$

H

$

H

$

$

H

$

$

$

G

L

G

L

$

H

$

L

p

o

&

o

o

$

o@B

H o

o P

o 5

o

_o

L

_o

$

× ì[ñ ä ñyòHÜAÙkÚ ã ïyñ¬Û ä ì[ØPú ä Û*ì ã Û

"

o

:

$

L

"

?&!

"

E

H

G

L

, M : Ü ðEí õ ?a! ø , M : Ü ðEí õ ? è

Q

!

øB

H

G

ãvä Û*ìHÜÝöÚHÿH÷ÜÝ ã óÛ*ØvÞ0ñyò õ Eçiø ñ ä ØòHïÜðEí õ õ ïyØ÷ F øø 8Øò ä ÜAÙkÚ[ÜòkÛ*ï , : ÜðEí õ ? ! ø L

F

8ØßNî[ñyòHñyòH÷ õ Føã òHÿ õ ø úÜØvîHÛ ã ñyò F B

F

7

ä ØÛ*ì ã Û

E *

"

ì ãväã í_ÜÞ*ÝöÜóÛß ã Û*óqìHñyòH÷Â× ì[ÜÞ*Ü ä Ú[ïoÛñ¬òÛ*ì[ñ ä ó ã¶ä Ü ÝöØï¬ïyØAú ä ñyß6ßÜPÿHñ ã Û*ÜPï 5Ìõ ø7>ç¢ã (='>N( ?4A%B*A ÊÜú ?ã B òk ÛÛ*ØíHÞ*ØAákÜNÛ*õ ì ã Û * øF Pê Û*ìHÜNòFÚ[ßî_ÜÞ¢ØÝ Aô úñ¬Û*òHÜ ää Ü äê ñ äê ñ¬ò&Û*ì[ÜNï¬ñyßñoÛ ê Øñ ää Øvò õ DE 5 Eø Ü ÿ[Ø ä Ø·áÌñ ã Û*ì[ÜN Ý ã óÛ*ØvÞ*ñ ã ï$ßØßÜòkÛ ä ßÜÛ*ìHØEÿG¸×,Ø·Üá ã ïyÚ ã Û*Ü õ * F ø0ä ì ã Þí[ï ê úÜ#òHØvÛ*ñyóÜNÛ*ì ã Û¢ñyò Û*ìHñ ä ó ãvä Ü . # 3 F 4 ¯Üð ã óÛ*ï êã òHÿÊÝöØ¶Þ . F úÜ·Ú ä ÜÛ*ì[Üí ã ÞÛ õ ñ¬ñ ø ØÝ à$Üßß ã ç úñoÛ*ì # F # Q ( Ø õ óPØßí ã Þ*ÜÛ*Ø õ|çø , F ! 3 F F 4 Q D EGF R ç D E 5 > L # ç D E 5 õ ø ÊÜòHÜPÜÿÛ*Ø ä ìHØAú>Û*ì ã Û ê ÝØvÞÜ ã ó.ì 7 ñyß . õ * F ø # L B L # ç D E 5 fï¬,3 ×$Ø ñ¬ß6í[ïyñyÝùØÚÌÞ Û ïyÜÛ Ú óPØvò ñ¬ÿHÜÞ±ñ¬ò Û*Ü ÿ * 0 Û*ìHÜUÛ*ØvÛ ïòFÚHßNîÜÞ±ØÝ#áÜÞÛ*Üð ÿHñ ØñyòkÛ úñ¬Û*òHä Ü ää Ü ä × ìHÜ/ÿHñãv_äZÜÞ*ê Üò[óÜ * ä F ä ?)* 0 F ä ñã ä F õ ê E ø ã ã Û"ßØ ä Û ê úìHÜÞ*Ü ¯ñ ô ä Û*ä ìHÜ±Û*ØvÛ iã ô ï òEÚHßNîÜÞØÝ ä ÚÌî ä ÜÛ¸í ã ñ¬Þ äõ B øqê# B ) ê Ø¶Þ B ê_ä ÚHó.ì±Û*ì ã Û 2 2 # ê2 2 # çvê ã òHÿ )# . õUø ò ã ïyØv÷ØÚ ä ïÛ*Ø õ|çøqê

T

O

'

F

D

T

"EQ

L

F@

UB

&

"

"

]

%H "

$

J

H

E

FP

'

"

]

.

.

M

"

"

× ì[ÜÞ*ÜÝöØvÞ*Ü ê *

"

F

*

" # F

B

:

+

#"

3 * 4 Q 3*4

D E

*

R

# L

0 úñ¬Û*ì"íHÞ*Øvî ã î[ñyï¬ñ¬Û ç ? õ E ñ¬ß . õ * 0 F ø F # L B fïy,3

" F

]

%L

"Q

õ E F ø F øã Ûï¬Ü ã¶ä Û êYã ò[ÿñoÛ ä Ú óÜ ä *Û Ø ä ìHØAú *Û ì ã Û 7>ç õ v ø

.

"

çP

+

O

]

Z

"a$

o

"

"EQ

A

F

× ì[ñ ñ ØvîFáÌñ¬ØÚ ï ÛÞ*ÚHÜ&ÝØvÞ # à$ÜÛ A8ØßNî[ñyò Û*Ø¶Þ*ñ ï¬ï * 0 ñ Û*ìHÜ"Û*ØvÛ ïòEÚHßNîÜÞ ØÝ0Øvä Þ*ÿHäÜÞ*Üÿ ô Û*ÚÌä í[ïyÜ ä ØÝ õ áÜÞÛ*Üð ô ÿHñ ç ä ØñyòkÛ ø iô ú7 ñoÛ*òHÜ ää Ü ä ñ¬ákã Üò ã êõ # ê F ïyÜÛø Ú ä ä óPØßí× ì[Ü /ákÜÞÛ*Üð ô ÿHñ ä Øñ¬òFÛHÞ ä Û ñ¬ò[ÿ¯ØÝúñ¬Û*òHÜ ää Ü ä ó ã òîÜ ó.ìHØ Üò ñyò3 3 3? ú òHÿHÜÜPÿ ØòHóPÜ Þ*ØPú òHÿ óØïyÚHßò Þ*Ü ÜPï¬ÜPóÛ*Üÿ úÜ6í ñ¬Þ Û*ì[ÜNä Þ*ØAú ä ñyò F õ 4 ? 4 õ çiø ú çiã ø äã òHÿ ã ã¶ä ää ñy÷õ ò±Û*ìHÜ#ÝöêØvÞ*ß6ÜPÿ í ã ñoÞ ä äNÛ*ã Ø óØï¬Ú[ß6ò ä ñ¬ä#ò ã ú ä ã ä ø ê ñ¬ákÜò ã ã ò i ô òHÿú ñ¬Û*òHÜ ää Ü äê ÿHñ ä Øñ¬òFÛ ã ßØòH÷NÛ*ìHÜPß ä ÜPïoákÜ ä GÝÞ*ØvßÛ*ìHÜ SHÞ ä Û ñyòHÿúñ¬Û*òHÜ ää Ü äê äó Ú[óqò/ìîóqÜìHØóqñyìHóØ Ü ê ÜÛ*òUìHÜñy ò 3 E 3 EGF ? ú × ìHÜÞ*Ü Þ*Ü # ú Û*ØØ¶Þ*ÿ[ÜÞ ï¬ï úã ñ¬Û*òHÜ ää Ü ä ýä Üò[óÜ . iF õM4B øqê Û*ìH4Üõ Û*ØvÛ ã ïYòFçiøÚHßNîÜÞ0ã ØvÝ+ä Û*ìHÜØvÞ*ÿHÜÞ*ã Üÿ ô Û*ÚHí[ï¬õ Ü ä ØÝÛ*ø ì[Ü ëã ã ïyä ï¬ÜP÷Üÿ #úñoÛ*òHã Ü ää Ü äê ñ ä ÷ñ¬ákÜò-î . iõ MB ø # õ ? çiø "? ? õ &? çiø õ ø

M

H

8

H

F H

G

F H

_

G

H

H

M

G

H

d

*

F

H

H

H

"

"

H H

G

M

* H

.

_

4H

G

"

,H

H

[

H

[

$

\

H

[

\

H

*

F H

\

H

H @[

H

[

\

H

F

\

.

.

O ÜïyÜÛ*ñyòH÷ ·Þ*ØAú äNã òHÿ 6óØïyÚHßò ä ñ¬òFáØï¬ákÜÿUñ¬òHÞ ä Û yñ òHÿ ã ò[ÿ ä ÜPóØòHÿ yñ òHÿ4úñoÛ*ò[Ü ää Ü ä Þ*Ü ä íÜPóÛ*ñ¬ákÜï

í[Þ*ØFÿ[ÚHóÜ äã î[ñ¬í ã ÞÛ*ñ¬Û*Ü÷vÞ ã í[ìúñoÛ*ì! ? ÜÿH÷Ü ä Û*ì ã ÛßÜÜÛ ä Û*ìHÜÝöØï¬ïyØAúñ¬òH÷#óØòHÿHñ¬Û*ñ¬Øò ä õLãFø ÂákÜÞ6Þ*ØAú óPØï¬ÚHßò ákÜÞÛ*ÜðNòHØvÛñyòkákØvï¬ákÜÿ6ñ¬ò#Û*ì[Ü òHÿ ñ¬ò#Û*ì[Ü &[Þ Û ñyòHÿ#úñ¬Û*òHÜ Ü ì ÿHÜ÷vÞ*ÜPÜ ÛïyÜ Û î ¢Øõ 6Üÿ[÷vÜø ó ã òîÜ ã ÿHÿHÜPÿÛ*ØØòHÜØvÝ õ Ú ä Û iÿ[ô ÜïyÜÛ*õ Üÿ ø 8 iäô úøGñ¬Û* òHÜ ää Ü ä Û*ØÝäØvä Þ*ß ä ã ã¶ä í ã ñoÞ õ Bã øqêÌäãvÚHä óqì"ç Û*ì õ ã Ûø 2ã òHÿ 2 # ä Ú -B ó2 ñyÜ2 òk# ÛÝçvØvê Þ¢ Û*ìHÜ õ B - ø i6ô úê Øvñ¬Û*Þ òH Ü ää Ü ä Û*ØB-î_Ü ÿH#ñ ä ê? çi3ø ? ÝØvÞ ç F : ;$: R? ? ? B ç ñyòH: ÷ B : 4Ý? ØvÞ¸?îØvÛ* ì ê ïyã ØEó ã ï_íHÞ*Øvî ã î[ñyïyñoÛ*ñyÜ õ äQ ê ø úÜØvîHÛ ã ñyò"Û*ì ã Û0Û*ìHÜ ;Eä : ÜóØòHÿ&ïyñ¬ò[Üñ¬ò"Û*ì[Ü ã îØAákÜB ÝØv:Þ*ß#ÚHï ã ñ äãvä Ìß6ä íHÛ*ØvÛ*õ|çñ¬óFø Û*Ø ç ÜðEí ? õ õ ! F ø F ø F 2 õ ø × ìEÚ ä F õ MB ø ! EqF õ D R ? çAø E D R D E 5 õ ø Q . iõ B! ø ¢ØAú F õ MB ø ? . F õ MB ø : õ "? ?! ø . F õ MB ø õ "? ? ø . F F õ MB Zø Y ì[ÜÞ*Ü MB ñ Û*ìHÜ4Û*ØvÛ ï¸òEÚHßNîÜÞ±ØvÝ#Û*ìHÜ4Þ*Üß ñ¬òHñyòH÷÷vÞ í[ì ÚHóqì>Û*ì Û F MB Þ*Ü í í ã ÞÛ*ñyó. Ú[ïF ã ÞNõ Þ*ØAú ø4õ ñ6 Ü , õ * 0 F ø > D E 5 # L × ìEÚ * 0 ñ ñ¬òÛ*ìHÜ¢ïyñyß6ñ¬Û Øvñ Øò òHÿÛ*ìHÜò ä Øñ ä * F 8Øò ä ÜAÙFÚHÜòkÛ*ï ê[ã í_ÜÞ*ÝöÜóÛß ã Û*óqì[ñ¬òH÷ ÜðÌñ ä Û ä ä úñoÛ*ìF Û*ìHä Üïyñ¬ßñ¬Û*ñ¬ò[÷6íHÞ*Øvî ã î[äñyä ï¬ñ¬Û "Mõ ÜALÙFøqÚ êHã ã ï 5 ï-y,/ñ¬ß .10 2 õ * F # Fø # D EDY # ÜðEí ? D E H

H

#"

"

Z

JG

[

$

*

\

H

.

J [

.

"

.

\

.

.

[

G

\

:

"

[

\

H

[

\

H

[

.

\

:

.

.

"

[

"

\

! 7 (=õ '?> , ?4ø A ïyØv÷!& òÛ*ìHñ ä ó ãvä Ü N

, )

(

N

"

"

)

*

FP:

= (

*

*

)

(

)

=

]

)

]

"

]

=

*

O

)

)

N

B

]

(

N

(

N

"

]

=

"

F

[

FP

\

FP

O

)

)

=

*

]

=

E

o

F

=

p

*

]

FP

)

"EQ

FP

>"

)

>"

E

>"

FP B

O

] , )

O

O

]

'

D

-

Q 7

<

"

]

FP

FP:

"EQ

L

]

"EQ

*

"

-

Q 7 "

<

( Ø ê

]

à$ÜÛ

]

(

'

[

;"

\

2-7 _ø : Ü ðEí õ ? õ ïyØ÷ . øø B

õ:è ø P

× ì[ÜÞ*ÜÝöØvÞ*Ü ê ÝØvÞ > 7 çvê 7 032

Cb

(

:

c

(

2 õ-2 0

(

2f7 _ ø (

032b

7

c

(

(

2f7 _ø 032 õ ? mø 7 X? 0 : ÜðEí õ ? õ ï¬Ø÷ . øø ÊÜðEí ? 3 X?UÜðEí õ ? F ; õ ïyØ÷ . øø 4 F # ÜðEí õ ? õ ï¬Ø÷ . øø B õ:è vø Û*ì[Ü¸ï ã ÛÛ*ÜÞ0ñyòHÜPÙFÚ ã ïyñoÛ ì[ØvïyÿHñyòH÷6ñyÝ #A. F ï¬Ø÷ . ò ã ò ã ï¬Ø÷ØÚ ä ñ¬ò[ÜPÙFÚ ã ï¬ñ¬Û ìHØï¬ÿ ä ÝöØvÞ H ? ? 5ÙFÚHñ¬á ô ã ïyÜòkÛ*ï õML$õ UøøV27 . E F ïyØ÷ . : ÜðEí õ ? õ ï¬Ø÷ . øø B 032 2 L$õ 4ø ? õM$L õ øøV2 7 . E F ïyØ÷ . : ÜðEí õ ? õ ïyØ÷ . øø 032 2 L$õ ø ? 8ØßNî[ñyòHñyòH÷Û*ì[Ü ä Ü¸î_ØvÚ[òHÿ ä úñoÛ*ì õ:è køã òHÿ õ:è øqê

; ,à ÜÛ 032 ;"

"

"

(PO

; (

G ( ! # DG -GI #A . : # ç õ : F õM; Q ø E ø B 032 õ H 2 õ møø F X 3% ! # G ! 032 H ? ?#A.'G: õ mø

>NA

; (

2

(PO

Jd

d

d e

:

Cb

b

"

(

(

;

O

;

c

c8^ d+b j

(

; (

j

^ f

j?^ d

L

c

;"

FN

( S"

f j ;j?^ \

fih

j@f ?\

(PO

c

e

"

"

"Q

; (

j

cVd

=

ä Ú ä Ú ã ï ê úÜ ä Û ã ÞÛ0úñ¬Û*ìÛ*ìHÜñyòkákÜÞ ä ñyØò&ÝØvÞ*ß#ÚHï ã ç D E D 1 P 032 õ * # ø # E D E Q õ D ø 1 P B ç # õ|ç ø E úì[ÜÞ*Ü '#A.'G:yÂà,ÜÛ # Q # 6Mõ ; Q .ø ( ç ã òHÿ&óPØvò ä ñ¬ÿHÜÞ&[Þ ä Û 2 P 2-7 E F ä ñyòH÷ñ¬òHÜAÙFÚ ã ï¬ñ¬Û õ ø úÜÜ ä Û*ñyß ã Û*Ü V 5 õ D ø 5 ç ç Q Q 3 D E Q 1 P : 1P 3 DR E I I V 5 õ Q ø : D E õ|ç ø òHÿ Ú ñ¬ò[÷ H V 5 V5