Bentuk-bentuk Persamaan a. Persamaan Linear Satu Variabel. Persamaan yang
hanya ada 1 variabel dan pangkatnya adalah 1. Contoh : x + 3 = 0. 3a + 6 = 2.
PERSAMAAN 1. Pengertian Persamaan adalah kalimat terbuka yang mengikutsertakan tanda sama dengan / = Contoh : 2x + 1 = 0 3x² – 27 = 9 4x – 6 = 0 x+y=8 Adapun pengertian kalimat Terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat dikatakan benar atau salah (kebenaran belum ditentukan). Contoh : x+2=5 x² - 6 = 10 dimana : x bilangan asli ∈ : dibaca ”anggota”
∈
2. Bentuk-bentuk Persamaan a. Persamaan Linear Satu Variabel Persamaan yang hanya ada 1 variabel dan pangkatnya adalah 1 Contoh : x +3=0 3a + 6 = 2 Variabelnya Cuma 1, yaitu x 2x - 5 = 0 4 – 8a = -12
b. Persamaan Linear Dua Variabel Persamaan yang variabelnya ada 2 dan berpangkat 1 Contoh : x+y=4 2a – 7b = 9 Variabelnya ada 2, yaitu x dan y
c. Persamaan Kuadrat Satu Variabel Persamaan yang jumlah variabelnya 1 berpangkat 2 Contoh : x² - 4 = 0 3y² + 4y – 5 = 0
d. Persamaan Kuadrat Dua Variabel Persamaan yang variabelnya ada 2 dan pangkat tertingginya adalah 2 Contoh : x² + y² - 2xy = 27 4a² - 3b² + 5ab = 10 e. Persamaan Pangkat Tinggi Persamaan dengan variabel yang berpangkat lebih dari 2 Contoh : x³ + x² - x – 10 = 10 5x 4 – 2x³ + 4x² = 0
3. Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk umum persamaan ini adalah : ax + b = c dimana : a≠0 x : variabel a, b, c : bilangan riil Contoh :
2x + 4 = 10 dan Maka penyelesaiannya,
5x – 7 = 8
Cara menyelesaikan soal-soal di atas perhatikan langkah-langkah di bawah ini: Semua suku di sebelah kiri tanda ”=” disebut ruas kiri dan semua suku di sebelah kanan tanda ”=” disebut ruas kanan Setiap perpindahan suku, dari ruas kiri ke ruas kanan maupun sebaliknya (pada operasi penjumlahan dan pengurangan) selalu diikuti dengan perubahan tanda (bila positif maka menjadi negatif, atau sebaliknya) Khusus untuk operasi perkalian dan pembagian, perpindahan suku dari ruas satu ke ruas lainnya maka bila awalnya merupakan operasi perkalian maka berubah menjadi operasi pembagian. Begitupula sebaliknya, bila awalnya pembagian, maka begitu dipindahkan berubah menjadi operasi perkalian. INGAT !! Di sini tanda positif maupun negatif tidak berubah
2x + 4 = 10
5x – 7 = 8
2x
= 10 - 4
5x
2x
=6
5x
=8+7
= 15
x
=
6 2
x
=
x
= 3
x
=3
15 5
4. Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk umum persamaan ini adalah : ax + by = c atau px + qy = r dimana : x dan y disebut variabel a, b, c, p, q, r adalah koefisien / bilangan Cara menyelesaikan sistem persamaan linear Dua Variabel dapat dilakukan dengan : Metode Substitusi (memasukkan) Metode Eliminasi (menghilangkan)
a. Metode Substitusi
Adalah penyelesaian dari dua persamaan linear dua variabel dengan cara memaukkan atau menggantikan salah satu variabel dari persamaan satu ke persamaan yang lainnya, atau sebaliknya. Contoh : 5x + 2y =23 ......... (persamaan 1) x + y = 7 ............... (persamaan 2) Langkah penyelesaiannya : 1. Persamaan 2, yaitu x + y = 7 diubah menjadi x = 7 - y 2. Masukkan (substitusikan) nilai x = 7 – y ke persamaan 1, sehingga yang awalnya adalah 5x + 2y = 23 menjadi 5 (7- y) + 2y = 23 35 – 5y + 2y = 23 -3y = 23 – 35 -3y = -12 y=
−12 −3
y=4 3. Substitusikan nilai y = 4 ke salah satu persamaan. Misalkan persamaan 2, diperoleh : x+4=7 x =7–4 x =3 Jadi, nilai yang memenuhi adalah : x = 3 dan y = 4
b. Metode Eliminasi Adalah suatu penyelesaian dari dua persamaan linear dengan dua variabel dengan cara menghilangkan salah satu peubah. Contoh : x + y = 9 ................... (1) 2x + 3y = 25 ........... (2) Langkahnya : 1. Untuk menentukan nilai x, maka eliminasikan terlebih dahulu nilai y pada soal dengan cara x+y=9 2x + 3y = 25
X3 X1
3x + 3y = 27 2x + 3y = 25 x=2
2. Untuk menentukan nilai y yang diminta, maka eliminasikan x dengan cara x+y=9 2x + 3y = 25
X2 X1
2x + 2y = 18 2x + 3y = 25 -y = -7 y=7
atau menggunakan cara campuran eliminasi dan substitusi, dimana Untuk langkah no. 2 ini dalam mencari nilai y dapat digantikan dengan cara substitusi kedalam salah satu persamaan.
Misalnya ke persamaan (1) yaitu x + y = 9, dan sudah diperoleh dari eliminasi langkah 1 nilai x = 2. Maka gantilah nilai x pada persamaan (1) tersebut menjadi 2, sehingga: 2+y=9 y=9–2 y=7 Jadi, nilai yang memenuhi adalah : x = 2 dan y = 7
PERTIDAKSAMAAN 1. Pengertian Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan yang menggunakan tanda ketidaksamaan, seperti: ≤, ≥, , atau ≠. dimana : ≤ dibaca kurang dari atau sama dengan ≥ dibaca lebih dari atau sama dengan < dibaca kurang dari > dibaca lebih dari ≠ dibaca tidak sama dengan Contoh : x–2 6 12 – 3m ≥ 3
2. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Adalah suatu pernyataan yang menggunakan tanda ketidaksamaan dan hanya mempunyai satu variabel dimana variabel tersebut berpangkat satu Contoh : x+3 >0 x – 2 ≤ 3x – 6 2y + 4 ≥ 5 + y
Sifat-sifat yang berlaku pada pertidaksamaan linear : Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama maka tanda pertidaksamaan tidak berubah Jika Kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama maka tanda tidak berubah Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka tanda berubah
Contoh 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x – 4 ≤ 8 Jawab : 3x – 4 ≤ 8 3x ≤ 8+4 3x ≤ 12 x
≤
12 8
x ≤ 4 jadi himpunan penyelesaiannya = {x | x ≤ 4, x
∈
R}
dibaca : x dimana x lebih kecil atau sama dengan 4, dan x anggota bilangan Real
Contoh 2: Tentukan himpunan penyelesaian dari 20 – (4x + 4) ≤ - 8, x Jawab : 20 – (4x + 4) ≤ - 8, 20 – 4x + 4 ≤ - 8, –- 4x ≤ - 8 – 20 + 4 –- 4x ≤ - 24 –- 4x ≥ 24 x
≥
24 4
x ≥ 6 Himpunan penyelesaiannya = {x | x ≥ 6, x
∈
R}
∈
R
BARISAN & DERET 1. Barisan Aritmetika Contoh : 1, 3, 5, 7, 9, .... 2, 5, 8, 11, 14, ....
beda = 2 beda = 3
1 1 3 1 1 , , , 1, 1 , 1 , ..... 4 2 4 4 2
beda =
1 4
a. Ciri-ciri Barisan Arimetika 1. Merupakan urutan bilangan yang teratur 2. Mempunyai selisih (beda) yang sama 3. Tidak disertai dengan tanda operasi bilangan, seperti penjumlahan dan pengurangan b. Rumus Barisan Aritmetika 1. Bentuk umum barisan Aritmetika a, a + b, a + 2b, a + 3b, ..... 2. Rumus menentukan suku ke-n Un = a + (n - 1) b 3. Rumus menentukan suku tengah Ut = dimana : a b Un n Ut Un-1
= = = = = =
1 (a + Un) 2
suku pertama beda (selisih antar suku) suku ke-n banyaknya suku suku tengah suku ke n - 1
2. Deret Aritmetika Contoh : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + .... 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + ....
1 1 3 1 1 + + +1+1 +1 + ..... 4 2 4 4 2
c. Ciri-ciri Deret Arimetika
1. Bilangan teratur 2. Mempunyai selisih (beda) yang sama 3. Disertai tanda operasi bilangan penjumlahan atau pengurangan
d. Rumus Deret Aritmetika 1. Rumus menentukan jumlah suku ke-n Sn =
n (a + Un) 2 Atau
n Sn = (2a + (n – 1) b) 2
2. Rumus menentukan suku ke-n Un = a + (n - 1) b 3. Rumus menentukan beda b = Un – Un-1 dimana : Sn b Un
= Jumlah suku ke-n = beda (selisih antar suku) = suku ke-n
3. Barisan Geometri Contoh : 2, 4, 8, 16, 32, 64, .... 3, 6, 9, 12, 24, 48, 96, ....
1 1 1 1 1 , , , , , ..... 2 4 8 16 32
a. Ciri-ciri Barisan Geometri 1. Merupakan kelipatan bilangan yang teratur 2. Mempunyai rasio (pembagi) yang sama 3. Tidak disertai dengan tanda operasi bilangan, seperti penjumlahan dan pengurangan
b. Rumus Barisan Geometri 1. Bentuk umum barisan Geometri a, ar, ar², ar³, ar 4 , ..... 2. Rumus menentukan suku ke-n Un = a + r n - 1 3. Rumus menentukan rasio r=
suku _ ke − n suku _ ke _ n − 1 atau
r= dimana : Un r a
Un Un −1 = suku ke-n = rasio = suku pertama
4. Deret Geometri Contoh : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + .... 3 + 6 + 9 + 12 + 24 + 48 + 96 + ....
1 1 1 1 1 + + + + + ..... 2 4 8 16 32 a. Ciri-ciri Deret Geometri 1. Merupakan penjumlahan atau pengurangan dari barisan geometri 2. Mempunyai rasio (pembagi) yang sama b. Rumus Deret Geometri a. Rumus menentukan jumlah suku ke-n jika r > 1 Sn =
a ( r n −1) r −1
b. Rumus menentukan jumlah suku ke-n jika r < 1 Sn =
a (1 − r n ) 1−r
Daftar Nilai TUGAS KOPDAR Mata Pelajaran IPS – Semester 2 Kelas 3 AK 1
3 AK 2
Klmpk
1
5 3 AK 3
Anggota Deni, dewi, evi, ima, lussiana, lukman, putri Arni, ahmad, hana, nurul, septian, sri, tri, zainal
Komunitas Palpirus
NILAI 95
Reog Ponorogo
97
Teman yovie & Nuno
99
Perguruan Silat Salemba
98
Bintaro Tiger Club
95
Andri, dini, eray, nanang, novi, rozalia, septi, tri
Bonanza magic
95
Desi, harum, lisna, mega, muji, nur, wandoko Abdul, anis s., anis n., neng, siti, tajudin, yuni
Zero Eight Automatic
99
Taekwondo Averus
98
Arum, hilda, iga, linda, mega, romega, rizki, sanny, wilah Theo, marya, sessy, bella, nadira, hidayatul, agus, ismi, pandu
Vendettamoto
99
SL Never Die
99
Vinny, ambar, setyarini, defi, lustia, brian, nurmala Agung, ani, arpiah, chuniasih, imro, nini, rahmat, ratna Ami, atika, diana, febri, indra, komala, fajar, sri Dewi, merry, mutia, novita, novita dwi, ulfa, wahyuningsih, wiwi
Tandjidor Scooter Club
98
Struggle Jakarta
95
The jak mania
99
Shotokaw 212
95
Cecep, dimas, endro, erna, evy, siti, tika, yenti Deddy, desi, dianah, divi, nurhidayati, hendra, rifai, martindo, sandri Ahmad, andre, diana, hermawan, irma, nursopian, ririn, siti
1 2 3 4 5
3 AP 1
1 2 3 4 5
3 AP 2
1 2 3 4 5
Jakarta, 29 Januari 2011
N. Agung W. Ardhoyo
