Physique - CNDP

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s'appuie sur la coopération de plusieurs professeurs de disciplines différentes. .... 8. Physique – Classe terminale scientifique. T ale. S. Évolution des systèmes.

collection Lycée série Accompagnement des programmes

Physique classe terminale scientifique

Ministère de la Jeunesse, de l’Éducation nationale et de la Recherche Direction de l’enseignement scolaire

applicable à la rentrée 2002

Centre national de documentation pédagogique

Ce document a été rédigé par le groupe d’experts sur les programmes scolaires de physique-chimie : Président Jacques TREINER

groupe physique

Membres Hervé BARTHÉLÉMY

groupe physique

Dominique DAVOUS

groupe chimie

Manuel DUMONT

groupe chimie

Jean-Pierre FAROUX

groupe physique

Marie-Claude FÉORE

groupe chimie

Laure FORT

groupe chimie

Robert GLEIZE

groupe chimie

Francine GOZARD

groupe physique

Jean-Charles JACQUEMIN

groupe physique

Roger LEPETZ

groupe physique

Marie-Blanche MAUHOURAT

groupe chimie

Christiane PARENT

groupe physique

Guy ROBARDET

groupe physique

Thérèse ZOBIRI

groupe chimie

Coordination : Anne-Laure MONNIER

bureau du contenu des enseignements (direction de l’enseignement scolaire)

Suivi éditorial : Christianne Berthet Secrétariat d’édition : Nicolas Gouny Maquette de couverture : Catherine Villoutreix Maquette : Fabien Biglione Mise en pages : Desk © CNDP, novembre 2002 ISBN : 2-240-00784-2 ISSN : 1624-5393

Sommaire Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Tableaux synoptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Électrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Nouveau matériel : liste indicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1

Liste exhaustive du matériel de physique, programme de terminale scientifique*

Découpage horaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Enseignement obligatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Propositions de progressions pour l’enseignement obligatoire* Enseignement de spécialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Propositions de progressions pour l’enseignement de spécialité*

Enseignement obligatoire Introduction à l’évolution temporelle des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Proposition de séance introductive à l’évolution temporelle des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Proposition complète de séance introductive à l’évolution temporelle des systèmes* L’alimentation électrique du TGV (F1)* Le saut à l’élastique (F2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Le flash d’un appareil photographique jetable* Propagation d’une onde, onde progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Une progression possible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Qu’est-ce qui distingue une onde mécanique du mouvement d’un mobile ? (A1)* De quoi dépend la célérité d’une onde ? (A2)* Comment étudier expérimentalement la propagation d’ondes périodiques ? (A3)* Comment se comportent les sons ? (A4)* Diffraction et dispersion (A5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Peut-on modéliser la lumière par une onde ? (A6)* Transformations nucléaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Comment interpréter l’étrange comportement d’un échantillon de matière radioactive ? . . . . . . . . . . . .

27

Quelles caractéristiques pour la désintégration d’une population de noyaux radioactifs? (B1) . . . . . . .

28

Comment évolue une population au cours du temps? (B2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Courbe de décroissance radioactive du radon-222 (B3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Courbe de décroissance radioactive du radon-222, version intégrale (B3)* Courbe de décroissance radioactive du radon-220 (B4)* Des poussières radioactives dans l’air (B5)* 1. Les parties marquées d’un astérisque (*) figurent sur le cédérom qui accompagne ce document.

Évolution des systèmes électriques* Activités sur modèle : un exemple en électrocinétique* Évolution temporelle des systèmes mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Une progression possible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Des lois de Newton à la cinématique (D1)* À propos de l’étude expérimentale de la chute verticale d’un solide dans un fluide (D2) . . . . . . . . . . .

44

Quel est le mouvement d’un solide en chute dans l’air ? De quoi dépend-il ? (D3)* Quels sont les paramètres qui influent sur la chute d’un solide dans un liquide ? (D4)* Comment modéliser la valeur d’une force de frottement fluide ? (D5)* Comment le mouvement d’un satellite permet de connaître la masse d’un astre ? (D6)* Étude comparée de deux oscillateurs mécaniques (D7)* Qu’est-ce que le phénomène de résonance ? (D8)* Ouverture au monde quantique : l’atome et la mécanique de Newton (D9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Comparaison de diagrammes d’énergie (D10)* Spectroscopie optique/Spectroscopie électronique (D11)*

Enseignement de spécialité Produire des sons, écouter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Vibrations d’une corde de guitare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Vibration d’une colonne d’air (B2)* Étude de la réflexion d’une onde progressive sur un obstacle (B3)* À propos d’analyse spectrale et de sonagramme (B4)* Produire des signaux, communiquer* Modulation d’amplitude : expériences dans le domaine sonore (C1)* À propos de la démodulation d’amplitude : une nouvelle approche du rôle de l’ensemble diode et circuit RC parallèle pour la détection d’enveloppe (C2)* Mesure du taux de modulation d’un signal modulé en amplitude : méthode du « trapèze » (C3)*

Annexe De l’usage des textes documentaires dans l’enseignement des sciences physiques (TG1). . . . . . . . . . .

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De l’usage des textes documentaires dans l’enseignement des sciences physique, version intégrale (TG1)* De la simulation… dans/pour l’enseignement de la physique (TG2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

À propos de la méthode d’Euler (TG3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Radioactivité – Une convergence entre physique, mathématiques et sciences de la vie et de la Terre (TG4)

75

Variabilité et incertitudes dans les mesures physiques (TG5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Compléments scientifiques* Force de frottement fluide et vitesse (CS1)* Niveaux d’énergie et spectre des atomes (CS2)* Quantification des niveaux d’énergie et spectroscopie électronique (CS3)* Ce document propose une aide à la mise en œuvre du programme qui reste placée sous la responsabilité de l’enseignant et dont la seule référence officielle est constituée par le programme (BO hors-série n° 4 du 30 août 2001). Son contenu ne préjuge par ailleurs en rien des sujets qui peuvent être posés au baccalauréat : les enseignants sont invités à se reporter aux textes réglementaires sur les épreuves (voir la note de service n° 2002-243 du 6 novembre 2002, BO n° 42 du 14 novembre 2002) et aux exemples de sujets mis en ligne sur le site Internet Éduscol (www.eduscol.education.fr).

Introduction Ce document d’accompagnement obéit à la même logique que ceux des classes de seconde et de première : il propose une mise en œuvre pratique du programme, qui en explicite à la fois l’esprit général et en précise certaines intentions particulières. Cette mise en œuvre est effectuée à travers : – des exemples de progression; – des exemples d’activités et d’expériences illustratives et nouvelles; – des exemples de mise en place du questionnement; – des compléments d’informations scientifiques concernant les parties nouvelles du programme ou des approches nouvelles de sujets précédemment traités. En conséquence, ces documents donnent à chaque sujet un volume en rapport à son aspect nouveau plutôt qu’à la durée de son traitement dans le déroulement de l’année. Cet accent mis sur les aspects nouveaux dans l’explicitation du programme fait que les documents d’accompagnement ne se substituent ni à un ouvrage d’élève, ni à celui du professeur. Ils sont là pour indiquer des pistes aux équipes d’enseignants et aux formateurs, alimenter leur réflexion et les aider à élaborer leurs propres façons de faire. Nul doute que le foisonnement constaté lors de la mise en place du programme de seconde et de celui de première se prolongera avec la mise en place du programme de la classe terminale scientifique. Parmi les aspects nouveaux, une place particulière est donnée dans la version papier du document aux interfaces de la physique avec d’autres enseignements : – physique et histoire des idées : de l’usage des textes documentaires dans l’enseignement de la physique; – physique et simulation numérique : du bon usage de la simulation dans/pour l’enseignement de la physique; – physique et calcul numérique : de l’utilisation de la méthode d’Euler pour la résolution d’équations différentielles; – physique et statistique : variabilité et incertitudes dans les mesures; – physique, mathématiques et sciences de la vie et de la Terre : une convergence sur le thème de la radioactivité. Il s’agit là d’approches de type interdisciplinaire1, mais sous une forme spécifique et nouvelle. L’interdisciplinarité, telle qu’elle est envisagée par exemple dans les TPE, s’appuie sur la coopération de plusieurs professeurs de disciplines différentes. Ici, il s’agit de mettre en place une vision et une pratique interdisciplinaire au sein même de chaque discipline, chaque enseignant sachant ce que l’enseignant d’une autre discipline enseigne sur le même sujet. L’exemple de la radioactivité, en tant qu’objet de connaissance, illustre cette démarche : en physique, on valide, au moyen de dispositifs expérimentaux nouveaux, l’équation différentielle gouvernant la loi macroscopique de décroissance radioactive; en mathématiques, un modèle physique microscopique de la durée de vie d’un noyau radioactif est validé au moyen d’un traitement probabiliste qui introduit la notion de loi de probabilité à densité continue; en sciences de la Terre, on montre que la loi de décroissance peut être utilisée dans la datation des roches. La partie du document correspondante est commune aux enseignants des trois disciplines, ce qui permet, dans les établissements, une préparation commune du sujet à partir de formations croisées. Cette approche ne se réduit en rien à une juxtaposition de points de vue. C’est le contenu même enseigné qui change : ainsi l’accent plus grand mis en cours de mathématiques sur les équations différentielles résulte du choix de faire du thème « Évolution temporelle des systèmes » un facteur unifiant du programme de physique. 1. Nous ne nous arrêterons pas ici aux préoccupations sémantiques qui distinguent parfois pluridisciplinarité, interdisciplinarité, transdisciplinarité, etc.

Introduction

5

Introduire la fonction exponentielle comme solution d’une équation différentielle, au lieu de l’introduire comme fonction réciproque de la fonction logarithme, résulte également de la fréquence d’occurrence en physique de phénomènes dans lesquels le taux de variation d’une grandeur est proportionnel à la grandeur elle-même. L’introduction en mathématiques des lois de probabilité à densité continue dans le contexte explicite de la radioactivité et de processus de « mort sans vieillissement » permet une meilleure compréhension de la physique du phénomène. Elle ouvre également à une interrogation fertile sur la nature de l’aléatoire, puisque l’élève constate qu’un processus aléatoire à l’échelle du noyau conduit à une loi macroscopique déterministe. D’autres sujets dans le programme permettent d’alimenter le dialogue entre enseignants de différentes disciplines. Ainsi, pour prendre quelques exemples, la méthode d’Euler de résolution des équations différentielles, introduite en classe de première scientifique dans le programme de mathématiques, reprise en terminale en physique et en mathématiques; la simulation numérique qui, en regard de l’expérimentation qui pose la question « Que dit la nature? », interroge, en s’appuyant sur une approche de la modélisation commune à de nombreuses disciplines : « Que dit le modèle? »; l’approche historique de constitution des connaissances scientifiques à travers la lecture de textes judicieusement choisis. Pour ce qui concerne les aspects strictement disciplinaires, insistons sur une considération générale qui permet de mettre les différentes parties du programme en perspective les unes par rapport aux autres : la mécanique est, au lycée, le domaine de physique dont l’élaboration est la plus complète. Depuis la classe de troisième, en effet, l’ensemble des principes est mis en place et discuté au cours d’un dialogue théorie/ expérience équilibré, jusqu’à la terminale où le contenu de ce qu’on appelle le déterminisme physique peut être explicité concrètement, y compris dans ses limites (introduction au monde quantique). Tous les autres sujets abordés au lycée représentent des ouvertures, qui seront reprises dans leur cadre conceptuel adéquat après le baccalauréat : électricité, magnétisme, optique, ondes. Ces ouvertures sont conçues tout d’abord comme des ouvertures aux phénomènes et un soin particulier a été porté, dans les documents d’accompagnement, à la mise en évidence de ces phénomènes et à ce que la formalisation n’anticipe pas sur ce qui est nécessaire à leur compréhension. D’où, par exemple, la progression du chapitre « Ondes » qui, centré sur la notion de propagation, cherche à mettre en regard systématiquement le comportement d’une onde à celui d’un mobile. La mise en place de notions caractéristiques fondamentales comme la dispersion et la diffraction ne nécessite aucune représentation mathématique introduisant des fonctions de plusieurs variables. Dans le chapitre de mécanique, la prise en considération des frottements est conçue comme permettant une démarche de modélisation : les cas où ces frottements sont négligeables ne sont donc pas donnés, mais construits. Mais tout développement sur les frottements, en tant qu’objet d’étude (passage à la turbulence, nombre de Reynolds), est évidemment hors programme. Quant à l’enseignement de spécialité, fondé sur une approche expérimentale, le choix de le situer dans le prolongement de celui de tronc commun doit permettre à l’élève d’approfondir et de stabiliser ses connaissances. La conclusion, à ce point, n’a pas lieu de différer de celle de l’introduction du document d’accompagnement de la classe de première scientifique, qui proposait : « Peutêtre pourrait-on résumer ces rapports entre discussion qualitative et formalisation de la façon suivante. La discussion qualitative reste au plus près du phénomène observé et donne toute sa place au raisonnement, un raisonnement pratiqué en quelque sorte sans filet, mettant en jeu les seules connaissances et représentations accumulées par celui qui s’y risque. Le formalisme, lui, présente l’avantage irremplaçable de penser par lui-même, et de penser juste (si l’on respecte les règles de manipulation des symboles, c’est-à-dire si l’on ne commet pas d’erreurs de calcul!). Il conduit également souvent à des résultats inattendus, donc précieux. […] Lorsque les deux démarches s’alimentent l’une l’autre – et c’est l’art du pédagogue qui est ici en cause – la curiosité reste en éveil, ainsi que le plaisir de la découverte2. » Jacques Treiner, président du groupe d’experts de physique-chimie, mai 2002 2. Physique, classe de première scientifique, Paris, CNDP, 2002, p. 6.

6

Physique – Classe terminale scientifique

Objectifs

1re S Forces et mouvements

Apprendre à décrire le mouvement d’un solide indéformable Rattacher toute force macroscopique à une interaction fondamentale Associer la force au changement de la vitesse

Comprendre la relativité du mouvement Déconnecter force et mouvement : selon les conditions de 2 initiales, et le référentiel, une L’univers en même force peut donner lieu à des mouvement mouvements différents Comprendre que la masse est facteur d’inertie

Mécanique

Tableaux synoptiques – actions réciproques. Les référentiels galiléens

sens

– ∑ F colinéaire à ∆ vG et même

Vecteur vitesse Vitesses linéaires et angulaires Centre d’inertie Action mécanique modélisée par une force : notation F A ⁄ B représentation vectorielle Les trois lois de Newton : – principe de l’inertie

L’interaction gravitationnelle La pesanteur

Utilisation heuristique du principe de l’inertie pour la mise en valeur des forces

Référentiel Le principe de l’inertie La masse et l’inertie

Notions Constructions vectorielles

Notions et activités hors programme

Analyses d’interactions et de forces

Situations à plusieurs forces : Notion inventaire des actions qui d’accélération s’exercent sur un solide; bilans de linéaire et angulaire forces Notions de moment Dans une voiture : et de couple – rôle des ceintures de sécurité – traction automobile; rôle moteur Utilisation des frottements avec le sol systématique de projections de vecteurs

Études d’enregistrements : Systèmes détermination de vecteurs vitesses déformables

satellites

– mouvement de la Lune et des

mouvement circulaire uniforme)

– situations à une force active (chute Projections libre, mouvements de projectiles, vectorielles

différents référentiels

Études qualitatives : – étude de mouvements dans

Situations privilégiées Exemples d’activités

T ableaux synoptiques

7

8

Physique – Classe terminale scientifique

Confronter des mesures aux prévisions d’une théorie

Études de cas Équation différentielle d’un mouvement de chute Résolution par méthode itérative Apprendre à identifier les Régimes initial et permanent grandeurs et paramètres qui pilotent l’évolution d’un système Importance des conditions initiales mécanique Tale S Équations horaires Évolution paramétriques. Équation de la Reconnaître et identifier les des systèmes trajectoire phases d’une évolution et les mécaniques Dynamique du mouvement des grandeurs qui les caractérisent satellites et planètes limité au cas Explorer les limites d’un modèle des mouvements circulaires Systèmes oscillants Pendule pesant; modélisation par le pendule simple. Pendule élastique. Période propre Phénomène de résonance L’atome et les lois de Newton : quantification de l’énergie dans l’atome

Modéliser un système complexe La mécanique de Newton afin de pouvoir utiliser les lois de Accélération vectorielle Rôle inertiel de la masse la dynamique pour prévoir son comportement Relation ∑ F = M a G

Décomposition d’une accélération dans le repère de Frénet

Dynamique de rotation Étude quantitative de tout mouvement autre que celui du centre d’inertie

Systèmes oscillants. Modélisation d’un oscillateur réel Étude quantitative d’oscillations Étude descriptive de la résonance amorties, forcées ou Observation de spectres entretenues électroniques. Réalisation et observation de spectres optiques Étude quantitative d’émission de la résonance : courbes de résonance, etc.

Mouvements plans (projectiles, satellites et planètes)

Modélisation des frottements visqueux

Chute verticale d’un solide : approche par des situations complexes de la réalité qu’il s’agit de modéliser (chutes dans l’air ou dans un fluide)

Tableaux synoptiques

9

Bilans quantitatifs d’énergie dans les systèmes oscillants amortis Tout développement à caractère probabiliste concernant les électrons dans l’atome Mouvements plans (projectiles, satellites et planètes) Systèmes oscillants. Modélisation d’un oscillateur réel Observation et interprétation de spectres électroniques et optiques

Travail d’une force extérieure appliquée à un ressort. Énergie potentielle élastique d’un ressort Énergie mécanique des systèmes Quantification des niveaux et des transferts d’énergie dans l’atome, une molécule, un noyau

ale

Réinvestissement des résultats obtenus par les lois de Newton du T S point de vue énergétique afin de Évolution montrer la cohérence des approdes systèmes ches mécaniques et énergétiques mécaniques

Notion d’énergie mécanique Toute expression de l’énergie interne Toute étude quantitative reliée à l’énergie interne, au transfert thermique ou au rayonnement

1 1 --- M V B2 – --- M V A2 = ∑ W AB ( F ext ) 2 2 obtenue par intégration de la seconde loi de Newton, est générale, valable en tous les cas et sans restriction, ne peut être confondue avec le théorème de l’énergie cinétique)

Le théorème de l’énergie cinétique (la relation

Étude des systèmes complexes (on s’en tient aux solides sauf pour les déformations élastiques – cf. énergie interne) Expression de l’énergie cinétique de rotation d’un solide

Démonstration des expressions des énergies non exigible Toute étude formelle de l’amortissement dans la décharge oscillante

Approches qualitatives du transfert thermique et du rayonnement : – échauffement par frottement; expérience de Joule (ou équivalente) – mise en contact de deux corps à températures différentes : évolution vers l’équilibre thermique. Interprétation microscopique – échauffement par rayonnement électromagnétique

Études quantitatives des variations de la valeur de la vitesse du centre d’inertie d’un solide en translation (utilisation de TICE : vidéo, capteurs, logiciels de traitement de l’image et/ou de mesures) : – chutes avec ou sans vitesse initiale – satellites en mouvement circulaire uniforme – solide en mouvement sur un plan Déformations élastiques Variation de température d’un corps Changement d’état physico-chimique

Notions et activités hors programme

Observations de circuits en fonctionnement. Repérage des effets, des lieux de transferts d’énergie et de la nature des transferts

Travail d’une force constante. Travail du poids Travail moteur travail résistant Le travail : un mode de transfert de l’énergie – Travail et énergie cinétique d’un solide en translation. Relation 1 1 --- M V B2 – --- M V A2 = ∑ W AB ( F ext ) 2 2 – Travail et énergie potentielle d’un solide en interaction avec la Terre – Travail et énergie interne Transformation d’énergie potentielle en énergie cinétique (cas de la chute libre) Puissance d’un transfert d’énergie Autres modes de transfert : – le transfert thermique – le rayonnement – transfert d’énergie électrique (cf. électrodynamique)

Introduire, à partir de la notion de travail d’une force, les différentes formes de l’énergie Identifier le travail d’une force comme mode de transfert d’énergie Montrer que, selon les situations, ces différentes formes sont susceptibles de se transformer les unes dans les autres Introduire les autres modes de transfert d’énergie Progresser vers l’idée de conservation de l’énergie : l’énergie ne peut être ni créée ni détruite; si l’énergie d’un système augmente ou diminue, c’est qu’il a reçu ou cédé de l’énergie

Situations privilégiées Exemples d’activités

Énergie emmagasinée dans un condensateur et dans une bobine Interprétation énergétique de la décharge oscillante d’un condensateur dans une bobine : transfert d’énergie, effet Joule

Notions

Objectifs

Étudier l’évolution d’un système Tale S électrique lors de la fermeture (ou Évolution de l’ouverture) d’un circuit des systèmes Apprendre à en distinguer les difféélectriques rents régimes et à les caractériser

1 S Travail mécanique et énergie

re

Énergie

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Physique – Classe terminale scientifique

Notions

Introduire le concept de champ vectoriel

Modélisation périodique dans le cas d’un amortissement négligeable (dipôle LC) : résolution analytique. Période propre

Décharge oscillante d’un condensateur dans une bobine : régimes pseudopériodique et apériodique Équation différentielle associée

Établissement et évolution de la tension aux bornes d’un condensateur (dipôle RC) Établissement et évolution de l’intensité du courant dans une bobine (dipôle RL) Équations différentielles associées. Résolutions analytiques

Couplage électromagnétique

Le champ magnétique : caractère vectoriel Comprendre le couplage électromécanique (conversion d’énergie électrique en énergie Champ magnétique créé par un courant mécanique et réciproquement) Forces électromagnétiques

Énergie électrique reçue par un récepteur ou cédée par un générateur (associée à I et U non nulles) que du générateur vers les récep- Puissance d’un transfert d’énergie Effet Joule teurs avec la conservation de Bilan des transferts d’énergie électrique l’énergie – et la circulation des charges le dans un circuit long du circuit avec la conserva- Comportement global d’un circuit : – justification énergétique des lois d’additivité tion de ces charges Savoir interpréter le compor- des tensions et intensités tement global d’un circuit par – influence de E, des résistances et de la la conservation de l’énergie structure du circuit

Comprendre qu’il n’y a pas contradiction entre – le transfert d’énergie électri-

Étudier l’évolution d’un système électrique lors de la fermeture (ou de l’ouverture) Tale S Évolution des d’un circuit systèmes électriques Apprendre à distinguer La problé- les différents régimes matique de et à les caractériser l’étude est Comprendre que les lois des celle de l’évolution courants continus s’applitemporelle quent à chaque instant à un des systèmes système électrique quelconque

1re S Électromagnétisme

1re S Électrocinétique La problématique de l’étude est celle de l’énergie et de sa conservation

Objectifs

Électrodynamique Notions et activités hors programme

Notion de flux Étude quantitative et formalisée des milieux magnétiques Tout formalisme relatif à l’induction électromagnétique (seul le phénomène est observé) Toute étude quantitative sur les moteurs et générateurs

Comparaison visuelle, à l’établissement du Tout développement sur la technologie courant, de l’éclairement d’une lampe mise des condensateurs en série avec une résistance ou un condensa- Associations de condensateurs teur, ou une bobine alimentés en continu On s’en tiendra aux dispositifs les plus Stockage de l’énergie : simples : utilisation d’un échelon de – principe du flash tension et non de tensions en créneaux – dispositif de production d’étincelles Étude de l’Induction et de (allumage dans un moteur à explosion) l’auto-induction; f.é.m. associées Visualisation de tensions à l’oscilloscope et/ Modèle équivalent de la bobine ou au moyen d’un système d’acquisition informatisé avec traitement de l’informa- Étude formelle de l’amortissement tion (cas des dipôles RC, RL et de décharges Étude théorique du dispositif d’entretien des oscillations oscillantes amorties)

Observation du fonctionnement d’un moteur, d’une génératrice, d’un hautparleur, d’un microphone électrodynamique

Expériences montrant les caractéristiques du champ magnétique créé par un courant Caractéristiques de la force électromagnétique

Interprétation des effets par les lois de conservation et d’additivité portant sur les puissances

Caractéristiques de dipôles Observations de circuits en Lois d’Ohm fonctionnement : – repérage des effets, des lieux de transferts d’énergie et de la nature des transferts. Mesures des intensités et de tensions – observations des changements des effets consécutifs à des modifications apportées au circuit. Mesures des I et U

Situations privilégiées Exemples d’activités

Tableaux synoptiques

11

Tale S spécialité Produire des images, observer

1 S Optique

re

Poursuivre et approfondir la construction du concept d’image à travers l’étude d’un miroir concave et de quelques instruments d’optique

Étudier les limites de validité des modélisations analytiques et géométriques des lentilles convergentes

Construire le concept d’image comme interprétation par le cerveau, conditionné à la propagation rectiligne, du signal reçu par l’œil

Situations privilégiées Exemples d’activités Notions et activités hors programme

Instruments d’optique : – le microscope – la lunette astronomique – le télescope de Newton Diamètre apparent, grossissement standard, cercle oculaire

Image formée par un miroir sphérique convergent : modélisation géométrique

Validité de l’étude des lentilles entreprise en 1re scientifique : modèle des lentilles minces convergentes Conditions de Gauss

Image = ensemble des points-images

modélisations analytique et géométrique

Point-image conjugué d’un point-objet; image – Cas du miroir plan – Cas des lentilles convergentes :

Visibilité d’un objet; point-objet L’œil, le cerveau et la vision des images

Distinction entre les notions d’images et/ou d’objets réels et virtuels

Localisation par visées de l’image donnée par un miroir concave Présentation et utilisation d’instruments d’optique d’observation Modélisation de leur fonctionnement par un système simple (deux lentilles minces ou une lentille mince et miroirs) Constructions géométriques des images intermédiaires et définitives Construction de la marche d’un faisceau à travers les instruments étudiés Vérifications expérimentales de la validité des modèles proposés

Distinction entre les notions d’images et/ou d’objets réels et virtuels Notion de flux lumineux Étude des aberrations géométriques et chromatiques Notion de foyer secondaire. Méthode de mesure de distance focale par autocollimation Modélisation analytique du miroir sphérique Puissance du microscope

Déterminations graphique et analytique du Conditions de Gauss point-image conjugué d’un point-objet Aberrations (cas du miroir plan et d’une lentille Cercle oculaire convergente) Grossissement Illustration qualitative : image donnée d’un objet par un instrument d’optique n’utilisant que des lentilles convergentes et/ ou des miroirs plans

Localisation par visées de l’image donnée par un miroir plan ou une lentille convergente

Interprétations énergétique ou Technique de la visée. Méthode de la quantique des spectres parallaxe Utilisation du diamètre apparent Utilisation d’un microscope ou d’une loupe Définition de la longueur d’onde (référence à la célérité et à la fréquence) Observations de spectres d’émission Caractérisation d’une radiation (thermiques ou de raies) et de spectres monochromatique d’absorption : mise en relation des spectres Étude du phénomène de diffraction Lumière blanche Approche du principe de l’analyse spectrale avec la matière

Notions

Se repérer dans l’univers qui Mesure et comparaison des longueurs nous entoure, de l’atome aux Propagation rectiligne de la lumière galaxies, par la mesure des Réfraction. Dispersion par le prisme dimensions et des distances

Objectifs

2de Exploration de l’espace Utiliser la lumière pour obtenir des renseignements sur la matière

Optique

N

ouveau matériel : liste indicative

■ Programme de terminale scientifique. Liste indicative pour un établissement (LEGT) Cette liste indique uniquement le nouveau matériel de physique requis pour la mise en œuvre du nouveau programme de terminale scientifique. Par ailleurs, elle concerne les lycées possédant déjà le matériel nécessaire à l’étude des ondes mécaniques et sonores enseignées dans les programmes antérieurs. Un équipement complémentaire est nécessaire pour les lycées récents (voir la liste exhaustive sur le cédérom). 1 Physique – Enseignement obligatoire Notions au programme

Nature du matériel

A. Propagation d’une Petite cuve à ondes sans stroboscope, pour TP et accessoires onde; ondes progressives Montage montrant l’influence de l’inertie et de la rigidité du milieu B. Transformations nucléaires

Carte (N, Z) Valise pour la mesure de la radioactivité naturelle (Radon1)

Quantité 6 1 1 1

C. Évolution des systèmes électriques Matériel d’étude de la chute des solides dans un fluide D. Évolution temporelle Moteur à vitesse réglable avec système excentré pour la résonance des systèmes mécaniques mécanique Matériel pour réaliser un dispositif à force constante Ordinateur multimédia (128 Mo de RAM), avec prise USB Interface et capteurs pour les grandeurs mesurées dans le programme Table à digitaliser, logiciel et accessoires Webcam et logiciels Logiciels de simulation dans les domaines du programme

ExAO et TICE

12 1 1 12 12 1 12 12

Physique – Enseignement de spécialité Notions au programme A. Produire des images, observer B. Produire des sons, écouter C. Produire des signaux, communiquer Logiciels de simulation

Nature du matériel

Quantité

Rétroviseur Lunette astronomique de démonstration Télescope de démonstration

1 1 1

Sonomètre avec cordes métalliques de longueur et tension variables sur caisse de résonance et aimants en U Tuyau, haut-parleur et microphone à électret pour TP

12 12

Dispositif pour la transmission d’un signal sonore par un faisceau lumineux

12

Logiciel optique (version établissement) Logiciels analyseur de spectre, synthétiseur, sonagramme (version établissement)

1 1

1. La détention de sources de radioactivité contenant du césium-137, contenu notamment dans le matériel CRAB, est soumise à une réglementation particulière (décret n° 2002-460 du 4 avril 2002).

12

Physique – Classe terminale scientifique

D

écoupage horaire

Enseignement obligatoire ■ Année scolaire : 30 semaines. Cette proposition de répartition est basée sur : – 28 semaines de cours (par semaine : 1 TP et 3 HCE), soit 28 TP (14 en physique) et 84 HCE (50 en physique); – 2 semaines pour bac blanc et évaluation des capacités expérimentales. Propositions de découpage horaire 13 TP (plus 1 TP évalué) – 50 HCE TP

HCE

1

Introduction à l’évolution temporelle des systèmes A. Propagation d’une onde; ondes progressives 1) Les ondes mécaniques progressives 1.1) Introduction… 1.2) Onde progressive à une dimension… 2) Ondes progressives mécaniques périodiques 3) La lumière, modèle ondulatoire

1 1 Contrôles

B. Transformations nucléaires 1) Décroissance radioactive 2) Noyaux, masse, énergie

2 Contrôles

Total 1 TP 2 TP 9 HCE

1 2 2 2 2 3 2 2

2 TP 7 HCE

3 TP 10 HCE

C. Évolution temporelle des systèmes électriques 1) Cas d’un dipôle RC 1.1) Le condensateur 1.2) Dipôle RC 2) Cas du dipôle RL 2.1) La bobine 2.2) Dipôle RL 3) Oscillations libres dans un circuit RLC série

1 1 1

1 2 2 2

1

3

1

1 2

1

2 2

Contrôles D. Évolution temporelle des systèmes mécaniques 1) La mécanique de Newton 2) Étude de cas 2.1) Chute verticale d’un solide – Chute verticale avec frottement – Chute verticale libre 2.2) Mouvements plans – Mouvements de projectiles dans un champ de pesanteur uniforme… – Satellites et planètes 3) Systèmes oscillants 3.1) Présentation de divers systèmes oscillants mécaniques 3.2) Le dispositif solide ressort 3.3) Le phénomène de résonance 4) Aspects énergétiques 5) L’atome et la mécanique de Newton : ouverture au monde quantique Contrôles E. Évolution temporelle des système et mesure du temps

1 2

1 1

1 2 1 2 2 4 2

Découpage horaire

5 TP 22 HCE

2 HCE

13

Enseignement de spécialité ■ Année scolaire : 30 semaines. Cette proposition de répartition est basée sur : – 28 semaines, à raison d’une séquence expérimentale de 2 heures par semaine, classe dédoublée; – 2 semaines pour les évaluations théoriques et expérimentales. Les séquences de deux heures comprennent le cours, les TP, les TP-cours, la recherche d’exercices et la correction des contrôles. Un contrôle au moins est prévu par partie. Proposition de découpage horaire 14 séquences de 2 heures Séquence Total de 2 h A. Produire des images, observer 1) Formation d’une image 1.1) Image formée par une lentille mince convergente 1.2) Image formée par un miroir sphérique convergent 2) Quelques instruments d’optique 2.1) Le microscope 2.2) La lunette astronomique et le télescope de Newton

5 1 1

Contrôles B. Produire des sons, écouter 1) Production d’un son par un instrument de musique 2) Modes de vibration 2.1) Vibration d’une corde tendue entre deux points fixes 2.2) Vibration d’une colonne d’air 3) Interprétation ondulatoire 3.1) Réflexion sur un obstacle fixe unique 3.2) Réflexions sur deux obstacles fixes : quantification des modes observés 3.3) Transposition à une colonne d’air excitée par un haut-parleur 4) Acoustique musicale et physique des sons Contrôles C. Produire des signaux, communiquer 1) Les ondes électromagnétiques, support de choix pour transmettre des informations 1.1) Transmission des informations 1.2) Les ondes électromagnétiques 1.3) Modulation d’une tension sinusoïdale 2) Modulation d’amplitude 2.1) Principe de la modulation d’amplitude 2.2) Principe de la démodulation d’amplitude 3) Réalisation d’un dispositif permettant de recevoir une émission de radio en modulation d’amplitude Contrôles

14

Physique – Classe terminale scientifique

1 1,5 0,5 5 0,25 1 0,25 0,5 1 0,5 1 0,5 4 0,25 0,25 0,25 1 0,75 1 0,5

Enseignement obligatoire

I

ntroduction à l’évolution temporelle des systèmes

Proposition de séance introductive à l’évolution temporelle des systèmes En classe terminale scientifique, divers phénomènes mettant en jeu des grandeurs qui évoluent au cours du temps, vont être étudiés dans des domaines variés : la propagation d’une onde, les désintégrations nucléaires, l’évolution de quelques systèmes électriques et mécaniques. Au cours de l’année, les élèves découvriront l’existence de similitudes dans l’étude de l’évolution temporelle des différents systèmes rencontrés. Lors de la séance d’introduction, un questionnement et une réflexion pourront être menés à partir de documents (textes, vidéos, logiciels…). Chaque fois que possible, on pourra essayer de proposer une expérience simple suscitant un début de questionnement sur les grandeurs pertinentes pour l’étude de l’évolution du système faisant l’objet du document étudié, les paramètres qui interviennent dans cette évolution, ceux qui n’interviennent pas, les temps caractéristiques, etc. Des exemples illustrant cette démarche sont proposés dans le cédérom d’accompagnement. Ainsi un tableau, tel que celui ébauché ci-dessous1, comportant uniquement la première ligne (qui représente le programme annuel) et la première colonne (dont le contenu serait élaboré pendant cette première séance expérimentale) pourra être distribué aux élèves. Avec l’aide du professeur, après l’étude plus approfondie de chaque phénomène, ceuxci pourront le compléter graduellement et l’exploiter méthodiquement au cours de l’avancement du programme. Sa construction progressive montrera qu’il est possible de clarifier, ordonner, structurer les notions, concepts et grandeurs rencontrés autour de rubriques bien identifiées. A. Propagation d’une onde; ondes progressives A.1. Ondes mécaniques

A.2. Ondes mécaniques progressives périodiques sinusoïdales

B. Transformations nucléaires Etc.

A.3. Ondes lumineuses

Grandeurs dépendant du temps Paramètres qui interviennent dans l’évolution temporelle du phénomène Conditions initiales Temps caractéristique Régime Autres paramètres 1. On trouvera un exemple de ce tableau complètement rempli sur le cédérom dans la version intégrale de la présente fiche.

Introduction à l’évolution temporelle des systèmes

17

Le saut à l’élastique (F 2) Le saut à l’élastique n’est pas un exercice sans danger. Il faut choisir judicieusement l’élastique! Les descriptifs publicitaires en témoignent.

Un saut à l’élastique à partir de la cabine d’un téléphérique (une analyse des renseignements fournis par l’organisateur pourrait s’avérer pertinente)

Données techniques – Hauteur sol/téléphérique : 140 mètres. – Longueur des élastiques : 28 mètres. – Types d’élastiques : trois suivant les différentes gammes de masses exprimées en kilogrammes (40-65, 65-95, 95-130). – Nombre de fibres latex : en moyenne, suivant la masse du sauteur, 1000. – Masse de l’élastique : 40 kg. – Hauteur du saut : 120 mètres (arrêt au 1er rebond à 20 mètres du sol). – Remontée au 1er rebond : 85 %. – Vitesse maxi de chute (suivant la masse et la position du sauteur) : 180 km/h. – Temps de chute au 1er rebond : 6 secondes. Repères Au fur et à mesure des réponses des élèves (ou après qu’ils auront répondu à toutes les questions), on pourra les aider à construire le tableau qui figure à la page suivante et à remplir ses cases. L’ordre de remplissage correspond aux numéros ajoutés dans le texte et dans le tableau. Cette indication est uniquement destinée au professeur. La réalisation expérimentale nécessite un élastique de faible raideur et un objet assez massif. Le mouvement du voltigeur est complexe, il ne s’agit pas ici d’étudier toutes les phases du mouvement mais de distinguer les deux phases principales : – la chute; – le mouvement oscillatoire. La première phase n’est pas une chute libre, la masse intervient donc dans les deux phases du mouvement.

18

Physique – Classe terminale scientifique

Exemples de questions 1) Description du saut En vous appuyant sur les données du texte décrivez sur des schémas annotés, le saut (sens du mouvement, altitudes, vitesses, durée). 2) Transposition expérimentale d’un saut à l’élastique Vous disposez sur votre paillasse du matériel nécessaire à cette illustration expérimentale. Réalisez un saut. Retrouvez les deux principales phases du mouvement du voltigeur [1]. 3) La variable temps Le système « voltigeur » évolue au cours du temps. Quelles sont les grandeurs pertinentes dont les variations témoignent de l’évolution du système au cours du temps? Donner des exemples pour chacune des phases du mouvement. [2] et [3] 4) Évolution du système En vous appuyant sur les données du texte que vous préciserez, identifiez pour chacune des phases les paramètres qui peuvent intervenir dans l’évolution du système. [4] et [5] 5) Conditions initiales Pour chacune des phases, identifiez les conditions initiales et précisez leur influence sur l’évolution du système. [6] et [7] 6) Régimes Parmi les adjectifs suivants, choisissez celui ou ceux qui caractérisent chacune des phases du mouvement du voltigeur : monotone, varié, périodique, oscillant, oscillant amorti. [8] et [9] 7) Rôle de la masse Dans quelle(s) phase(s) du mouvement la masse du voltigeur peut-elle intervenir? Que risquerait-il de se passer si les élastiques étaient mal choisis? [10] et [11] Repères Phénomène étudié

Chute du voltigeur [1]

Mouvement oscillatoire du voltigeur [1]

Grandeurs dépendant du temps [2]

Position x(t), y(t), z(t) [3] Position z(t) [3] Vitesse v(t) [3] Vitesse v(t) [3]

Paramètres qui interviennent dans l’évolution temporelle du phénomène [4]

Champ de pesanteur [5]

Masse du voltigeur Champ de pesanteur Masse, longueur, nature de l’élastique Tension de l’élastique [5]

Conditions initiales [6]

Position initiale Vitesse initiale [7]

Position en fin de chute libre Vitesse en fin de chute libre [7]

Régime [8]

Monotone et varié [9]

Oscillant amorti [9]

Autres paramètres [10] Masse [11]

[11]

Introduction à l’évolution temporelle des systèmes

19

P

ropagation d’une onde, onde progressive

Une progression possible Les ondes en tant que phénomène sont omniprésentes et familières, mais leur constitution comme phénomène physique pose des difficultés bien connues dues à leur nature pour ainsi dire insaisissable : « quelque chose » se déplace, qui contient de l’information et de l’énergie, mais ce n’est pas de la matière. Comment caractériser ce phénomène physique? Quelles grandeurs physiques lui associe-t-on? Quels sont les comportements génériques des ondes? Dans cette première approche du phénomène, le formalisme est réduit au minimum, l’accent étant mis sur la phénoménologie. Qu’est-ce qui distingue la propagation d’une onde du mouvement d’un mobile? ■ Fiche A1 du cédérom Des études effectuées auprès d’élèves de lycée et d’étudiants ont montré que leurs raisonnements concernant les phénomènes de propagation se rapprochaient beaucoup de ceux qu’ils effectuaient communément en mécanique du solide. Pour eux, mécanique du signal et mécanique de l’objet matériel en mouvement s’identifient l’un à l’autre : un capital dynamique dû à la source et localisé dans l’objet mobile détermine sa vitesse et s’épuise en cas de force contraire. L’introduction expérimentale de la notion d’onde doit permettre à l’élève de s’approprier le phénomène par comparaison et contraste avec le déplacement d’un mobile. Notons que la définition de l’onde adoptée dans le programme s’appuie sur la propriété de propagation d’une perturbation d’un milieu (relativement à un état d’équilibre local) sans transport de matière. Elle ne suppose aucun caractère périodique de cette perturbation. Ainsi, par exemple, les rides provoquées à la surface de l’eau par le lancer d’une pierre sont représentables par une onde, à l’évidence non périodique. On montre que la vitesse de propagation, qu’on désignera par « célérité » afin de bien la distinguer de la vitesse d’un mobile, est indépendante de l’amplitude de la perturbation (milieux linéaires) et qu’elle dépend du milieu et de son état physique (température, tension d’une corde, rigidité…). Le but de la première activité est donc de mettre l’accent sur le fait que la propagation d’une onde n’obéit pas aux mêmes lois que le mouvement d’un solide comme le montre le tableau comparatif suivant :

20

Physique – Classe terminale scientifique

Le mouvement d’un mobile

La propagation d’une onde

se décrit à l’aide d’une trajectoire

se fait, à partir d’une source, dans toutes les directions possibles

correspond à un transport de matière

ne correspond pas à un transport de matière

dans un milieu matériel une onde peut être amortie est ralenti par les frottements avec le milieu matériel mais cet amortissement porte davantage sur son amplitude que sur sa célérité1 s’effectue plus facilement dans le vide que dans un gaz est impossible dans le vide; sa célérité est plus grande et plus facilement dans un gaz que dans un liquide; le dans les liquides que dans les gaz et fréquemment plus mouvement dans les solides est impossible grande dans les solides que dans les liquides conserve ses caractéristiques après la rencontre avec est modifié par un choc avec un autre mobile (modid’autres ondes2 (même célérité après la rencontre, fication de la vitesse, de la trajectoire, de l’énergie même forme des surfaces d’ondes, même fréquence cinétique, déformation du solide…) pour une onde périodique…) se fait à une vitesse qui dépend des conditions initiales se fait à une célérité qui, pour de faibles amplitudes, (vitesse et accélération initiales) ne dépend pas du mouvement initial de la source s’effectue à une célérité qui dépend essentiellement du s’effectue à une vitesse qui lui est propre et qui dépend milieu de propagation (cf. indice de réfraction d’un des conditions initiales du mouvement milieu transparent) De quoi dépend la célérité d’une onde? ■ Fiche A2 du cédérom L’objectif de cette étude est de montrer sur un exemple concret comment les caractéristiques physiques d’un milieu sont susceptibles d’influer sur la célérité d’une onde. La séquence se propose d’étudier l’influence de l’inertie et de l’élasticité d’un milieu à une dimension sur la célérité d’une onde progressive longitudinale et de contribuer par là même à la construction du concept d’onde progressive. Un modèle de l’onde progressive longitudinale est proposé en conclusion de la séquence. Il sera utilisé ultérieurement pour l’étude des sons et leur représentation par des ondes. 1 2 Le dispositif expérimental est constitué d’une dizaine de petits chariots reliés par des ressorts identiques (figure ci-dessous). La masse m des chariots peut être modifiée en fixant sur ceux-ci des masses additionnelles. Les ressorts peuvent être remplacés par d’autres de même dimension mais de coefficients de raideur k différents.

On montre aux élèves qu’une action (de poussée ou de traction) sur le premier chariot se propage de proche en proche. Le phénomène est visible à l’œil nu mais il gagne, pour l’étude, à être enregistré au moyen d’une caméra vidéo puis observé au ralenti ou bien image par image. Des comparaisons de vitesses de propagation sont ainsi très facilement réalisables à partir d’enregistrements vidéo. Ceux-ci permettent l’observation et l’étude quantitative du phénomène de propagation d’une onde mécanique longitudinale dans le cas d’une excitation par impulsion.

1. Par suite de la mise en œuvre de divers processus dissipatifs le milieu devient tout à la fois dispersif et absorbant. 2. Pour toutes les ondes se propageant dans la matière, cette propriété n’est plus valable pour des amplitudes élevées pour lesquelles les ondes interagissent entre elles.

Propagation d’une onde, onde progressive

21

Comment étudier expérimentalement la propagation d’ondes périodiques? ■ Fiche A3 du cédérom Remarque concernant la notion de fréquence – Dans l’enseignement obligatoire, la notion de fréquence n’est utilisée que pour des ondes progressives sinusoïdales ce qui est le cas en optique. Dans l’enseignement de spécialité, on montre que la décomposition spectrale d’un signal périodique non sinusoïdal fait apparaître des fréquences multiples. Le terme de fréquence, pour un tel signal, se réfère donc traditionnellement à la fréquence de son fondamental. Période ou longueur d’onde? Cette activité expérimentale exige que les notions de longueur d’onde et de période aient été introduites auparavant. Elle contribue à dépasser l’obstacle constitué par la confusion fréquemment faite par les élèves entre période spatiale et période temporelle. Elle s’appuie sur la définition suivante de la longueur d’onde donnée en cours pour une onde périodique sinusoïdale : « La longueur d’onde est la plus petite distance séparant deux points du milieu de propagation qui vibrent en phase3. » Le travail s’effectue ici autour du concept de propagation d’une onde périodique transversale dans un milieu à deux dimensions. On utilise des enregistrements vidéo effectués sur une cuve à onde à partir desquels les élèves doivent effectuer des mesures de longueur d’onde, de période et de célérité. La mesure de la longueur d’onde se fait directement en arrêt sur image. Celle de la célérité se fait en suivant image après image la crête d’une ride circulaire. La mesure de la période temporelle se fait en comptant, image par image, le nombre de rides qui défilent pendant une durée donnée en un point quelconque de la surface de l’eau. Au cours de l’activité, les élèves sont invités à décrire leurs méthodes de mesure en précisant quelles sont les précautions prises pour obtenir des résultats aussi précis que possible. Les techniques expérimentales de mesure devant être imaginées par les élèves, le rôle du professeur pourra consister à les aider à trouver des solutions acceptables La validité des méthodes utilisées par les élèves et leur précision est contrôlée en comparant les valeurs mesurées de λ avec le produit des valeurs également mesurées de v et T. Comment mesurer expérimentalement la période et la longueur d’onde d’une onde sonore ou ultrasonore? Dans cette seconde partie de l’activité, les élèves sont invités à effectuer des mesures de périodes et de longueurs d’ondes sur des ondes ultrasonores en s’inspirant de ce qu’ils viennent de faire avec des ondes à la surface de l’eau. Ils disposent, pour cela, d’une source d’ultrasons, de deux détecteurs et d’un oscilloscope. L’intérêt de cette étude consiste à mettre l’accent sur des analogies de méthodes et à s’appuyer sur les observations et mesures effectuées sur la cuve à onde pour comprendre celles que l’on effectue sur les sons. Comment se comportent les sons? ■ Fiche A4 du cédérom Les enfants et adolescents interprètent généralement les phénomènes sonores à l’aide de conceptions de types mécanistes. Ainsi, pour un certain nombre d’entre eux, de la même façon qu’un projectile tombe sur le sol en fin de course, les sons ne franchissent pas une certaine distance et si les sons puissants sont entendus de plus loin que les autres, c’est qu’ils ont été « lancés » plus fort, plus vite… Dans le même esprit, les sons forts se déplaceraient plus rapidement que les sons faibles, les sons stridents plus vite

3. La longueur d’onde est ainsi définie comme la périodicité spatiale du phénomène sans référence à la célérité et à la période d’où la proposition de mesurer indépendamment λ, v et T. Et la proposition selon laquelle la longueur d’onde est la distance parcourue par l’onde pendant une période est alors une propriété et non une définition.

22

Physique – Classe terminale scientifique

que les sons sourds, etc. De même qu’en mécanique, les milieux peuvent offrir d’autant plus de résistance au mouvement qu’ils sont denses, les sons se déplacent moins rapidement dans les solides que dans les liquides. Dans un même milieu, toujours en raison des résistances, les sons ralentiraient en s’éloignant de leur source pour s’épuiser et ainsi devenir inaudibles. S’appuyant sur la connaissance que les sons ne se propagent pas dans le vide, des élèves disent parfois que les sons ont besoin d’air pour passer; ils en déduisent alors que la transmission sera d’autant meilleure que le milieu contiendra plus d’air, ou qu’il y aura plus de place entre les atomes ou entre les molécules car ils confondent parfois le vide avec l’air. Il s’agit donc ici de montrer que les sons ne sont pas représentables par des schémas de type balistique mais, qu’en revanche, un modèle ondulatoire permet de rendre compte des principales propriétés des sons. Cette activité, qui peut trouver sa place au début de l’enseignement de ce module sur les ondes aussi bien qu’à la fin ou comme accompagnement de celui-ci, devrait contribuer à une meilleure distinction des propriétés des phénomènes sonores de celles des mouvements de solides et par là même permettre une meilleure compréhension du caractère ondulatoire des sons. Diffraction et dispersion ■ Fiche A5 du cédérom et page suivante Les deux études effectuées sur une cuve à ondes peuvent être conduites soit avec des ondes circulaires, soit avec des ondes rectilignes soit avec les deux types d’ondes. Dans l’une, les élèves sont invités à prévoir ce qu’ils observeront si la surface de l’eau de la cuve est limitée par une fente. Ils comparent ensuite leurs prévisions avec le phénomène observé et constatent que la fente se comporte comme une deuxième source vibrant à la même période que celle de la source principale. Ils vérifient alors que, toutes choses restant égales par ailleurs, il y a identité entre les longueurs d’onde, les périodes et les célérités des ondes incidentes et diffractées. La comparaison des effets obtenus selon la largeur de la fente montre que le phénomène est d’autant plus marqué que la largeur de la fente est plus faible. Dans l’autre étude, les élèves sont amenés à étudier l’influence de la fréquence des vibrations sur la célérité des ondes à la surface de l’eau. La mise en évidence de cette influence confirme le caractère généralement dispersif du milieu de propagation. L’importance du phénomène dépend de la hauteur de l’eau dans la cuve. Peut-on modéliser la lumière par une onde? ■ Fiche A6 du cédérom La séance commence une discussion conduite par l’enseignant relative aux hypothèses sur la lumière, corpusculaire formulée par Newton et ondulatoire émise par Huygens4. Une comparaison est effectuée avec les observations effectuées sur la cuve à onde afin de relever les arguments militant en faveur de chacune des deux hypothèses. À la fin du débat, on décide de soumettre à l’observation expérimentale l’existence ou non des phénomènes de dispersion et de diffraction concernant la lumière.

4. Chez Huygens comme dans le programme, le mot « ondulatoire » ne préjuge pas que l’onde soit sinusoïdale ni même périodique.

Propagation d’une onde, onde progressive

23

Diffraction et dispersion (A 5) Les deux études, effectuées sur une cuve à ondes, peuvent être conduites soit avec des ondes circulaires, soit avec des ondes rectilignes, soit avec les deux types d’ondes. Dans l’une, les élèves sont invités à prévoir ce qu’ils observeront si la surface de l’eau de la cuve est limitée par une fente. Ils comparent ensuite leurs prévisions avec le phénomène observé et constatent que la fente se comporte comme une deuxième source vibrant à la même période que celle de la source principale. Ils vérifient alors que, toutes choses restant égales par ailleurs, il y a identité entre les longueurs d’onde, les périodes et les célérités des ondes incidentes et diffractées. La comparaison des effets obtenus selon la largeur de la fente montre que le phénomène est d’autant plus marqué que la largeur de la fente est plus faible. Dans l’autre étude, les élèves sont amenés à étudier l’influence de la période des vibrations sur la célérité des ondes à la surface de l’eau. La mise en évidence de cette influence confirme le caractère généralement dispersif du milieu de propagation. L’importance du phénomène dépend de la hauteur de l’eau dans la cuve. Il reste faible si la hauteur d’eau reste voisine de 8 mm.

Que devient la propagation d’une onde au passage par une fente ? Une propriété caractéristique des ondes : la diffraction Prévisions Pour une fréquence fixée, à votre avis, qu’observera-t-on à la surface de l’eau dans la partie gauche de la cuve si l’on monte dans celle-ci une paroi munie d’une fente conformément aux figures ci-dessous?

?

.

?

On peut alors raisonnablement s’attendre de la part des élèves à des prévisions s’appuyant sur la propagation rectiligne de types ci-dessous :

24

Physique – Classe terminale scientifique

Observation Les élèves sont ensuite invités à comparer leur prévision à l’observation de se qui se passe dans la cuve (voir figure ci-dessous).

Résultat Une onde périodique circulaire apparaît au niveau de la fente (et non pas de la source). C’est le phénomène de diffraction. Des mesures effectuées sur un enregistrement vidéo permettent de vérifier que l’onde diffractée et l’onde incidente ont même période et même longueur d’onde. Elles se propagent avec la même célérité. Ce phénomène est caractéristique des ondes progressives. Influence de la largeur de la fente Si l’on modifie la largeur de la fente, on constate que le phénomène est bien observable à l’intérieur d’un angle d’autant plus grand que la largeur de la fente est plus faible.

Étude d’un phénomène étonnant : la dispersion On frappe la surface de l’eau d’une cuve à onde au moyen d’une règle de manière à obtenir une perturbation rectiligne. On constate alors qu’en se propageant, il apparaît plusieurs rides qui se séparent.

Propagation d’une onde, onde progressive

25

Si nous examinons finement le phénomène, nous observons quelques rides très proches (figures du haut à gauche). Au fil du temps, ces rides se propagent en s’écartant les unes des autres (figures de droite et du bas) : tout se passe comme si elles ne se propageaient pas à la même vitesse à la surface de l’eau, les plus resserrées se propageant plus vite! On fait remarquer aux élèves que cette observation pose un problème : la célérité d’une onde ne dépendrait donc pas uniquement du milieu de propagation. Exemple de question Comment pourrait-on savoir si la célérité d’une onde périodique dépend de la période de la source? Et si oui, comment en dépend-elle? Repères Les élèves ont à leur disposition de petites cuves à ondes munies d’un dispositif générateur d’ondes périodiques circulaires et/ou rectilignes à la surface de l’eau. La période est réglable et sa valeur peut être lue sur le générateur. Une caméra permet d’observer, en arrêt sur image, les rides obtenues à un instant t (ou un dispositif stroboscopique simple permet d’en donner l’illusion5). On attend des élèves qu’ils proposent de mesurer la longueur d’onde obtenue pour différentes valeurs de la période, de calculer la valeur de la célérité pour différentes périodes et éventuellement qu’ils tracent la courbe donnant la célérité en fonction de la période. Résultat L’étude quantitative du phénomène montre que la célérité des ondes dépend de la période. Ce phénomène est appelé phénomène de dispersion. Retour à l’expérience initiale On montre que le résultat précédent permet d’interpréter le phénomène observé initialement sur la cuve à onde : l’étalement est dû à des différences de célérité. On précisera que le phénomène de dispersion est général6 et que son importance dépend du milieu de propagation et de la zone de fréquences choisies. Lorsqu’il est inobservable, on dit que le milieu n’est pas dispersif (exemple : cas des ondes acoustiques dans l’air jusqu’au GHz).

Pour en savoir plus – ALONSO M., FINN E.J., Physique générale. Tome II : Champs et ondes, trad. G. Weill, Paris, Inter Éditions, 1977, p. 276-279. – GATECEL J., « Pour un emploi rationnel de la cuve à ondes », Bulletin de l’Union des physiciens, mars 1986, n° 682, p. 645-665. – GIANCOLI, Physique générale. Tome III : Ondes, optique et physique moderne, trad. F. Gobeil, Montréal, De Boeck Université, 1993, p. 25-26 et 144-175. – GYR M., « Comment construire une cuve à ondes pour moins de vingt euros », Bulletin de l’Union des physiciens, mars 2002, n° 842.

5. Il suffit, par exemple d’éclairer la cuve au moyen d’un DEL de forte luminosité reliée au GBF commandant les vibrations de la source. Voir Bulletin de l’Union des physiciens, mars 2002, n° 842. 6. Les ondes électromagnétiques, lumineuses en particulier, se propagent cependant dans le vide sans dispersion.

26

Physique – Classe terminale scientifique

T

ransformations nucléaires

Comment interpréter l’étrange comportement d’un échantillon de matière radioactive ?

80,0 70,0 60,0 50,0 40,0 30,0 20,0 10,0 0,0 37360,0

37362,0

L’étude de la radioactivité va, une nouvelle fois, permettre aux élèves d’aborder les correspondances entre les niveaux microscopique et macroscopique de la matière. Dès la seconde, les élèves ont abordé cette question fondamentale pour le physicien. Ils ont pris conscience, à propos de l’étude du fluide gazeux, de la difficulté d’appréhender le mouvement de chaque particule au niveau microscopique, tandis que des grandeurs macroscopiques telles que la température ou la pression pouvaient parfaitement rendre compte de l’état d’un système gazeux. Cet aller-retour entre niveau microscopique et niveau macroscopique, qui s’est poursuivi en première, trouve en terminale une illustration intéressante avec l’étude des transformations radioactives. Alors qu’il est impossible de déterminer, à l’échelle microscopique, l’instant où un noyau va se transformer, on peut, à l’échelle macroscopique, utiliser le suivi des transformations d’un grand nombre de noyaux pour obtenir la datation de l’échantillon qui les renferme! Trois séquences peuvent être proposées pour réfléchir à l’évolution dans le temps d’un échantillon de matière radioactive : – La première mène en parallèle l’analyse statistique d’une série de comptages des désintégrations au sein d’un échantillon de césium-137 et une analyse similaire portant sur des jets de dés. La valeur de la demi-vie du césium-137 (30 ans), permet de considérer que, sur la durée du TP, toutes les mesures qu’on peut faire correspondent à des comptages pour un ∆t pris à la même date t. Ce TP permettra de poser comme hypothèse, à vérifier par la suite, que la désintégration d’un noyau radioactif est un phénomène aléatoire : chaque noyau a une certaine probabilité de se désintégrer dans un intervalle de temps donné. – La deuxième propose de pousser un peu plus loin la réflexion : comment évolue une population qui ne se renouvelle pas en fonction du temps, qu’il s’agisse d’une population humaine soumise à une épidémie, au simple vieillissement, ou encore d’une population de dés, « tués » de façon aléatoire, sans vieillissement. – La troisième aborde enfin l’évolution d’une population de noyaux radioactifs : évolue-tdécroissance elle comme un de ces radioactive modèles? L’utilisation, fluctuations des observations cette fois, d’un échanà une date donnée tillon de demi-vie bien plus courte que celle du césium-1371 va permettre de tracer la courbe de décroissance 37364,0 37366,0 37368,0 37370,0 37372,0 37374,0 37376,0 radioactive et conclure 1. Soit du radon-222 (t1/2 = 3,8 j), soit du radon-220 (t1/2 = 55 s), soit encore des descendants du radon-222 (t1/2 = quelques dizaines de minutes).

Transformations nucléaires

27

à la pertinence d’un modèle de « mort aléatoire sans vieillissement ». Mais, si la désintégration radioactive est un phénomène aléatoire et qu’on ne peut pas dire quand un noyau, pris individuellement, va se transformer, on peut cependant établir une loi macroscopique d’évolution au cours du temps qui a un caractère tout à fait déterministe.

Quelles caractéristiques pour la désintégration d’une population de noyaux radioactifs ? (B1) Le grand intérêt des compteurs d’événements radioactifs tels que le CRAB est de pouvoir se placer dans des conditions telles que l’on peut faire mesurer, par chaque groupe d’élèves, un nombre d’événements qui montre d’énormes fluctuations, tandis que la mise en commun de tous les comptages des différents groupes d’élèves permet de s’apercevoir que l’on peut atteindre des mesures qui prennent sens grâce aux lois de la statistique. Il existe des logiciels d’acquisition qui permettent d’automatiser cette étude, mais dans un premier temps, il est important que les élèves fassent des relevés « à la main » pour bien s’approprier le caractère aléatoire du phénomène ainsi que la loi de distribution. Le professeur se souviendra de ce que le compteur ne détecte pas tous les événements survenus au sein de l’échantillon pendant la durée du comptage. D’une part, la source émet dans toutes les directions mais seules les particules reçues par le compteur peuvent être comptées; d’autre part, l’efficacité de ce compteur n’est pas égale à 100 %! Il faudra donc faire admettre aux élèves que, pour une distance constante de la source au compteur, le nombre affiché par le compteur est proportionnel au nombre de noyaux ∆N qui se sont désintégrés pendant la durée du comptage. Le TP qui suit pourrait éventuellement être proposé aux élèves après qu’ils auront vu les différents types de transformations radioactives, l’étude de la forme de la courbe de décroissance radioactive, etc. Mais il peut paraître intéressant de le placer tout au début de l’étude des transformations radioactives. Il ne demande que des éléments de connaissance sommaires : – une transformation radioactive se produit quand le noyau d’un atome se transforme spontanément et l’événement peut être détecté par un compteur; – une source radioactive simple est constituée par un échantillon de matière contenant un nombre N très grand de noyaux radioactifs identiques. Il faudra faire remarquer aux élèves que l’étude n’est possible que parce que le nombre de noyaux qui se sont désintégrés pendant la durée de la séance expérimentale est négligeable par rapport au nombre de noyaux radioactifs présents dans l’échantillon. On peut alors considérer que la diminution du nombre N de noyaux radioactifs de cette source est négligeable pendant la séance. On pourra revenir sur ce point et effectuer des calculs lorsque la loi de décroissance aura été étudiée ainsi que la notion de demi-vie. Matériel Un dispositif CRAB2 qui comprend : – un compteur de radiations, de type Geiger, capable de détecter des β et des γ ; – une source de césium-1373, émettrice β et γ4 ; – des écrans de plomb, qui absorbent une partie des γ (et tous les β). La source est placée par exemple à 6 cm du compteur, entre deux écrans de plomb. Dans ces conditions, le compteur va enregistrer une fraction convenable (voir plus loin) des γ émis par la source. Pour une durée de comptage ∆t = 5 s, le nombre n d’événements est d’environ 30. Les réglages choisis, quels qu’ils soient, ne devront pas varier, en tous cas pas pendant la durée de l’expérience. 2. La détention de sources de radioactivité contenant du césium-137, contenu notamment dans le matériel CRAB, est soumise à une réglementation particulière (décret n° 2002-460 du 4 avril 2002). 3. On trouvera en annexe (page 34) le schéma de désintégration du césium-137. 4. Afin de travailler dans une situation simple, on pourra choisir d’utiliser la face de la source qui bloque les β et ne laisse passer que les γ.

28

Physique – Classe terminale scientifique

Prévisions On se trouve en présence d’un nouveau phénomène qui possède des caractéristiques bien particulières que le professeur pourra affirmer ou faire découvrir aux élèves par une activité documentaire : il ne varie ni en fonction de la température, d’un quelconque catalyseur, on ne peut l’accélérer, ni l’arrêter. Est-ce alors quelque chose d’immuable? On présente aux élèves l’appareil et la source radioactive; on leur explique que chaque groupe d’élèves va venir mesurer le nombre n d’événements détectés par le compteur pendant ∆t = 5 s, dans les mêmes conditions expérimentales. « À votre avis, que peut-on prévoir de la comparaison des différentes mesures de n réalisées par chaque groupe? Pourquoi? » On peut penser que la majorité des élèves va prévoir que les résultats seront comparables aux incertitudes de mesure près, puisque les conditions expérimentales sont les mêmes. L’obtention de comptages dont les valeurs peuvent varier du simple au double va infirmer cette hypothèse naturelle. Réalisation et exploitation des mesures Si chaque groupe d’élèves fait 25 mesures, on obtiendra pour une demi-classe en TP, un nombre total de mesures dépassant les 200. Cela suffira pour obtenir un échantillon largement satisfaisant pour l’étude statistique. On constatera d’abord que les résultats des mesures individuelles peuvent varier du simple au double autour d’une valeur qui tourne autour de 30 événements environ. L’opposition manifeste entre les résultats et les prévisions doit interpeller les élèves et les motiver pour la suite de la réflexion. On leur propose alors de mutualiser leurs résultats et de les exploiter à l’aide d’un tableur-grapheur. Les résultats attendus sont : – un graphe montrant l’évolution de la moyenne et de l’écart type au fur et à mesure de l’augmentation de la taille de l’échantillon des mesures prises en compte; – un graphe en bâtons de la fréquence5 des résultats de comptage pour 50, 100 et 200 mesures. On pourra aussi éventuellement faire calculer aux élèves l’écart type pour leur série de 25 mesures et le comparer avec celui qui correspond à l’ensemble des mesures de la classe. Les élèves pourront ainsi constater que plus le nombre de mesures augmente, plus l’encadrement de la valeur moyenne se réduit. La figure 1 montre la courbe de la moyenne en fonction du nombre de comptages; la figure 2 montre l’évolution correspondante de l’écart type :

5. On rappelle que la fréquence est le rapport du nombre d’occurrences d’un résultat de comptage et du nombre total de comptages; ainsi, si on obtient 20 fois le résultat n = 18 sur 200 comptages, la fréquence de n = 18 est f = 0,1. Cette notion est étudiée en mathématiques par les élèves dès la classe de cinquième. Son utilisation, ici, permet de réinvestir des connaissances mathématiques.

Transformations nucléaires

29

6

29 28,5

5,5

28 27,5

5

27

4,5

26,5

4

moyenne

26 25 24,5

3 2,5

24 23,5

écart-type

3,5

25,5

0

100

200

300

400

500

2

600

Figure 1. Évolution de la moyenne des comptages

0

100

200

300

400

500

600

Figure 2. Évolution de l’écart-type

Les figures 3, 4, 5 et 6 montrent l’évolution de la fréquence pour 50, 100, 200 et 500 mesures.

0,14

0,12

0,12

0,1

0,1

0,08

0,08 fréquence

0,06

fréquence

0,06 0,04

0,04

0,02

0,02 0

0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Figure 3. Statistique sur 50 comptages

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Figure 4. Statistiques sur 100 comptages

0,12

0,1 0,09

0,1

0,08 0,07

0,08

0,06 0,05

fréquence

0,06

fréquence

0,04 0,04

0,03 0,01

0,02

0,01 0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Figure 5. Statistiques sur 200 comptages

0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Figure 6. Statistiques sur 500 comptages

Remarque – Si l’on souhaite pousser plus loin l’étude de la convergence des résultats, un logiciel d’acquisition permet d’obtenir ces courbes pour des nombres de mesures encore plus grands. Analyse des résultats – « À votre avis, les fluctuations des comptages peuvent-elles s’expliquer par des incertitudes de mesure? » – « À quoi cela sert-il de multiplier les mesures? »

30

Physique – Classe terminale scientifique

Remarque – Il se peut que les élèves évoquent la possibilité d’événements extérieurs (rayons cosmiques…) pour expliquer la dispersion des résultats. On pourra alors réaliser quelques comptages après avoir éloigné la source radioactive de la salle de travail. On constatera que le nombre de tels événements, pendant les 5 secondes du comptage varie autour de 1 ou 2, au maximum : cela ne peut pas expliquer la grande dispersion des résultats. La discussion à partir de ces questions amènera la classe à conclure que la désintégration d’un ensemble de noyaux radioactifs est un phénomène qui présente des fluctuations pour les résultats de comptages, mais que ces fluctuations peuvent être caractérisées pourvu que l’on multiplie les observations. On trouvera ci-dessous une superposition des résultats pour 500 comptages avec la représentation de la loi de Poisson correspondante (on rappelle que la loi binomiale se réduit à la loi de Poisson lorsque la probabilité d’un résultat positif est très faible, ce qui est bien le cas ici). Avec les élèves, on se contentera de remarquer que, pour un intervalle de temps donné, lorsque le nombre d’observations augmente, la distribution des fréquences se régularise et la valeur moyenne du nombre de désintégrations et l’écart type se stabilisent. 0,12

0,1

0,08

0,06

fréquence loi de Poisson

0,04

0,02

0 1

3 5

7

911 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59

Figure 7. Statistique sur 500 comptages

Comparer avec un tirage aléatoire Repères En seconde, les élèves ont réalisé en mathématiques plusieurs activités sur des phénomènes aléatoires : lancers de dés, jeu de pile ou face et simulations à l’aide d’une calculatrice ou d’un ordinateur. Ils ont été amenés à constater lors de ces activités la fluctuation des fréquences en comparant plusieurs échantillons de mesure et la convergence des résultats statistiques à mesure que la taille de l’échantillon augmente. On peut imaginer profiter de ce que les élèves sont en attente d’aller observer les nombres de désintégrations au CRAB pour leur remettre en mémoire les résultats statistiques d’un tirage aléatoire et comparer les graphes obtenus avec ceux de la manipulation. Aussi, peut-on imaginer que les élèves remarqueront la ressemblance entre les résultats de ces activités et les résultats des comptages radioactifs et qu’ils pourront envisager comme une hypothèse possible que la transformation radioactive puisse posséder un caractère aléatoire, ce qui devra être étudié ultérieurement6. Pendant qu’un groupe travaille avec le CRAB, les autres élèves pourront utiliser leur calculatrice ou un tableur pour simuler des séries de jets de dés et construire les courbes similaires aux précédentes concernant, par exemple, la fréquence du résultat 6 dans des jets de 200 dés. Après chaque tirage on actualise la moyenne du nombre de 6 sortis. On trouvera page suivante le graphe d’un exemple d’évolution de la moyenne et celui des fréquences portant sur 260 jets simulés à l’aide d’un tableur7. 6. Au sens strict, on ne peut parler de phénomène aléatoire que lorsqu’on peut définir une variable aléatoire caractérisée par une loi de probabilité (voir document d’accompagnement de mathématiques pour la première scientifique). On ne cherchera bien sûr pas à l’établir en physique. 7. Les groupes obtiendront des graphes très différents dans leur première partie, mais qui tendront tous vers la même valeur limite. Il sera intéressant d’interpréter ces similitudes et ces différences.

Transformations nucléaires

31

35 34 33 32 valeur de la moyenne

31 30 29 28 27 0

50

100

150

200

250

300

Figure 8. Évolution de la valeur moyenne

0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0

1

3 5

7 9

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59

Figure 9. Fréquence du résultat 6

Analyse des résultats et comparaison avec les graphes expérimentaux La comparaison des graphes obtenus pour la désintégration du césium et pour les séries de jets de dés montre une ressemblance frappante. On peut demander aux élèves d’analyser les résultats obtenus et de poser des hypothèses à partir de cette analyse. – Quelles réflexions vous suggèrent la comparaison des graphes obtenus pour les séries de comptages de la désintégration du césium et pour les séries de jets de dés? – Pouvez-vous poser une hypothèse pour ce qui concerne le caractère de la désintégration radioactive? Conclusion On pourra alors conclure l’activité : la désintégration d’un ensemble de noyaux radioactifs est un phénomène qui présente des fluctuations. Mais, en multipliant les comptages pour un temps d’observation donné, on peut caractériser le résultat par sa moyenne et son écart type. Par analogie avec des séries de jets de dés, on peut envisager comme hypothèse à vérifier que la désintégration radioactive est un phénomène aléatoire : – on ne peut savoir quand un noyau va se transformer; – on ne peut attribuer à chaque noyau qu’une probabilité de se désintégrer dans le temps de la durée d’un comptage, ce qui pourrait expliquer les fluctuations qui ont été constatées au cours de cette activité.

32

Physique – Classe terminale scientifique

Annexe : la désintégration du césium-137 137 Cs 55

β-

(0.514 MeV)

( 93 % )

137 Ba * 56

β-

γ

(1.176 MeV)

( 7 %)

( 662 keV )

(10/11 )

émission d'électrons de la couche K (1/11)

137 Ba 56

Comment évolue une population au cours du temps ? (B2) Cette activité supplémentaire pourrait soit terminer le TP qui vient d’être proposé, soit être demandée aux élèves à la maison ou lors d’une séance de classe ultérieure. Elle se propose de prolonger la réflexion afin de mettre en place les hypothèses qui fixeront les enjeux du second TP sur la radioactivité, qui portera, cette fois, sur l’évolution dans le temps d’une population de noyaux radioactifs. Quelle allure peut présenter le graphe qui représentera cette évolution dans le temps? La réflexion des élèves portera sur le modèle adapté à l’étude de l’évolution du nombre de noyaux pères au cours du temps. Poser des hypothèses Peut-on trouver une simulation pour modéliser l’évolution dans le temps d’une population donnée N0 de noyaux radioactifs à partir d’une date t = 0? Pour être guidé par l’intuition, on se pose la question de l’évolution d’une population humaine donnée (sans renouvellement), dont les âges sont supposés, pour simplifier, être répartis uniformément8. Trois situations peuvent être explorées : N

|dN/dt|

t

t |dN/dt|

a) Une épidémie mortelle sévit dans cet échantillon : comment le nombre d’individus évolue-t-il en fonction du temps? On aidera les élèves à proposer le graphe ci-contre indiquant l’allure de |dN/dt|=f(t) et d’en déduire l’évolution N = f(t).

b) Il n’y a pas d’épidémie et les individus meurent à un âge donné : comment le nombre d’individus évolue-t-il en fonction du temps? On obtient facilement les t graphes ci-contre. t c)Un tyran fou décide de la mort des individus en jouant aux dés : à intervalle de temps régulier, il lance autant de dés que d’individus restants; chaque fois que le dé tombe sur 6, l’individu est éliminé : on peut parler de « mort aléatoire sans vieillissement ». Comment le nombre d’individus évolue-t-il en fonction du temps? Cette situation est la plus difficile à modéliser et fait l’objet des simulations qui suivent. N

Simulations dans le cas de l’hypothèse c On réalise des tirages sans remise : on lance N0 dés; on retire, par exemple, tous ceux qui sont tombés en montrant une face donnée; on note le nombre de dés restants; on recommence jusqu’à ce qu’il ne reste plus aucun dé. On considère que les lancers sont effectués à intervalles de temps réguliers ∆t. Il y a plusieurs manières de procéder : 8. On pourra aussi s’appuyer sur des courbes statistiques réelles.

Transformations nucléaires

33

a) On peut utiliser un ensemble de petits cubes9 dont on a peint une face en rouge, par exemple, et une plaque de contreplaqué munie de deux guides comme ci-dessous. Plaque de contreplaqué

Guide de gauche

Guide du bas

On jette les dés une première fois; on cale contre le guide de gauche tous les dés qui sont tombés avec leur face rouge vers le haut. On ramasse les dés restants et on recommence pour caler une seconde colonne de dés contre la première : elle est moins haute. Petit à petit, on verra se construire avec les dés une évolution décroissante, marquée par de fortes fluctuations, qui représente |∆N/∆t|= f(t). Par ailleurs, en ayant compté le nombre de dés restants après chaque tirage, on peut tracer aussi le graphe de N(t) dont l’allure est modélisable par une exponentielle. b) On décide que l’on va simuler les jets de dés à l’aide de la touche random de la calculatrice Les élèves ont effectué ce type d’activité en mathématiques dans les classes précédentes : on peut par exemple noter la suite de chiffres obtenus en considérant que chaque chiffre représente le résultat d’un jet de dé, à condition que le chiffre soit compris entre 1 et 610. Ainsi si on a obtenu 0.9336261397 suivi de 0.891624851, on notera 3362613162451. Le graphe ci-dessous montre le résultat obtenu à partir de N0 = 200. 35 30 25 20 nombre de dés éliminés 15 10 5 0

1

3

5

7

11

9

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

Figure 1. Nombre de dés éliminés en fonction du temps 250

200

150 nombre de dés qui restent

100

50

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Figure 2. Évolution du nombre de dés 9. On peut débiter une longueur de bois à section carrée. 10. On peut aussi considérer que chaque chiffre correspond au résultat d’un jet de dé à neuf faces.

34

Physique – Classe terminale scientifique

c) On utilise une simulation produite par un programme informatique; on peut, par exemple, diviser une surface de l’écran en petits carrés auxquels on attribue une couleur aléatoire et on demande au programme de « tuer » les carrés noirs et de compter le nombre de carrés restants avant de redistribuer aléatoirement les couleurs. Dans tous les cas, la moyenne d’un grand nombre de simulations permet de lisser les fluctuations de ∆N/∆t et conduit à des graphes similaires pour l’évolution de N et |∆N/∆t|. On sera donc amené à s’interroger sur la nature de la fonction qui correspond à cette évolution de « mort aléatoire sans vieillissement ». Cela suggère une relation du type |dN/dt| = k·N. D’ailleurs, cette relation est assez naturelle dans cette situation : le résultat des jets de dés étant aléatoire, si on double le nombre de dés jetés, on peut logiquement s’attendre à ce que le nombre de résultats positifs double également. Les élèves ont justement étudié en mathématiques la fonction qui possède la propriété y’ = k·y : c’est la fonction exponentielle. On pourra donc poser que l’hypothèse de « mort aléatoire sans vieillissement » correspond à une courbe d’évolution de type exponentielle décroissante. On pourra confirmer ce résultat en superposant au graphe N = f(t) une modélisation exponentielle que l’on ajustera aux valeurs obtenues par la simulation. Poser des hypothèses pour l’évolution d’un échantillon de noyaux radioactifs On l’a vu dans le TP « Quelles caractéristiques pour la désintégration d’une population de noyaux radioactifs ? », les compteurs radioactifs donne des comptages qui sont, à une constante près, des représentations de |∆N/∆t| = f(t). On dispose à la fin de cette activité de trois hypothèses d’évolution correspondant à trois situations différentes : a) Mort par épidémie, donc avec interaction entre les individus de la population restante. b) Mort avec vieillissement. c) Mort aléatoire sans vieillissement. L’évolution d’un échantillon de noyaux radioactifs répond-elle à un de ces modèles d’évolution? L’expérimentation proposée par l’activité « Courbe de décroissance radioactive du radon-222 » permettra de répondre. Si on obtient une évolution de type exponentielle décroissante, on pourra alors dire que dN/dt = – λ ·N et que N = N0 ·e–t/τ. Si c’est le résultat obtenu, on pourra aussi dire que la désintégration radioactive correspond à un processus aléatoire sans vieillissement d’une population de noyaux sans interaction.

Courbe de décroissance radioactive du radon-222 (B3) La radioactivité naturelle et le radon Les sources d’exposition de l’homme à la radioactivité sont de deux ordres : interne et externe. Sur le plan interne, le corps humain présente une radioactivité naturelle (de l’ordre de 8 kBq pour un adulte de 70 kg) due principalement aux atomes de potassium-40 (4,5 kBq) qui se transmutent en calcium-40 et de carbone-14 (3,7 kBq) qui se transmutent en azote-14. Les rayonnements émis sortent peu du corps humain, ils sont absorbés par les tissus. Issu de la désintégration de l’uranium et du radium présents dans la croûte terrestre, le radon est la principale source externe d’exposition de l’homme à la radioactivité naturelle. De numéro atomique Z = 86, le radon est un élément chimique de la colonne des gaz rares dans la classification périodique. Découvert en 1900 par Dom puis isolé en 1908 par Gray et Ramsay, c’est un gaz inerte, incolore et inodore. Le radon-219, le radon-220 et le radon-222 en sont les trois principaux isotopes. Le radon-222, de demi-vie 3,82 jours, se désintègre lui-même en éléments radioactifs dont certains sont solides. Après inhalation avec l’air respiré, ces solides se déposent dans les poumons. Des études épidémiologiques menées sur des populations de travailleurs dans les mines d’uranium, mais aussi sur des personnes ayant respiré du

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radon à forte dose, ont montré que le radon, par ses descendants émetteurs α de courtes demi-vies, accroît les risques de cancer du poumon chez ces personnes. L’Institut de radio-protection et de sûreté nucléaire (IRSN, ex-IPSN) développe une campagne nationale de mesure de l’exposition domestique au radon-222. Cette campagne a pour objectif la connaissance de la distribution des nombres de désintégrations par seconde et par unité de volume (activité volumique exprimée en becquerels par mètre cube) dans l’habitat. L’exposition moyenne de la population varie selon les départements. Les sols granitiques libèrent en effet plus de radon que les terrains sédimentaires car ils contiennent davantage d’uranium. Pour diminuer les concentrations de radon dans les habitations, une première solution consiste à aérer et ventiler celles-ci. Il est aussi nécessaire d’améliorer l’étanchéité des murs et des planchers car le radon, présent dans le sous-sol, surtout s’il est granitique ou volcanique, diffuse par les fissures et les fractures du sol et s’accumule dans les espaces clos. Ainsi, l’Union européenne préconise la mise en œuvre d’actions correctives lorsque la concentration moyenne annuelle en radon dans un bâtiment est telle que le nombre de désintégrations par seconde rapporté à l’unité de volume dépasse 400 Bq/m3. En France, on observe une grande variabilité des taux mesurés : en moyenne, de 22 Bq/m3 à Paris à 264 Bq/m3 en Lozère. Pour l’ensemble du territoire, la moyenne des mesures était, en janvier 1997, de 66 Bq/m3. Remarque – En France, le cancer du poumon est responsable de 22000 décès par an, essentiellement du fait du tabagisme. La consommation d’un paquet de cigarettes par jour pendant toute une vie multiplie le risque du cancer du poumon par un facteur d’environ dix à vingt. Cette augmentation du risque correspond par comparaison à vivre toute sa vie dans une atmosphère contenant environ 3000 Bq/m3 (source IRSN).

Objectifs de l’activité Pour replacer cette activité dans un cadre général, on pourra se reporter au complément scientifique TG4 intitulé « La radioactivité : une convergence thématique entre physique, mathématiques et sciences de la vie et de la Terre ». Les principaux objectifs sont ici l’observation de la décroissance au cours du temps de l’activité d’une population d’atomes radioactifs, le tracé d’une courbe de décroissance radioactive et la mesure d’un temps de demi-vie. Les élèves utilisent ici un compteur de scintillations et réalisent des séries de comptages relatifs à la désintégration d’un échantillon de radon prélevé dans une fiole fermée. La dispersion de chaque série de mesure sera caractérisée par l’écart type, notion que les élèves ont rencontrée dans le cours de mathématiques de première (voir « Probabilités et statistique ») et utilisée dans les activités B1 et B2. Au passage, ce peut être aussi l’occasion d’écrire l’équation d’une réaction nucléaire pour une émission α ou β–. En appliquant les deux lois de conservation du programme (conservation du nombre de nucléons et conservation de la charge électrique), les élèves pourront s’exercer sur quelques-uns des noyaux rencontrés dans la famille radioactive naturelle de l’uranium-238 à laquelle appartient le radon-222. Conformément aux objectifs de cette activité, les élèves sont amenés ici à confronter à des résultats expérimentaux les prédictions d’un modèle théorique : celui de la désintégration radioactive. On s’attachera à bien séparer l’aspect théorique de l’aspect expérimental. Pour l’aspect théorique, l’hypothèse d’une loi de décroissance exponentielle d’une population macroscopique N d’atomes radioactifs a été émise et discutée lors d’une activité précédente. Cette loi d’évolution temporelle N = N0 exp(–λt) est caractérisée par la constante de temps τ = 1/λ. D’où le temps t1/2, appelé demi-vie, au bout duquel la moitié du nombre initial N0 d’atomes s’est désintégrée (soit N(t1/2) = N0/2) : t1/2 = τ ln2. La fonction exponentielle est connue des élèves ainsi que ses propriétés. À ce stade, il sera admis que la dérivée d’une exponentielle est une exponentielle (ce qui a été vu par les élèves en mathématiques dans leur cours d’analyse). Dans ces conditions, l’activité d’un ensemble d’atomes radioactifs, sur une durée ∆t est donnée par A = |∆N|/∆t = λN. Cette activité est une fonction exponentielle du temps de même constante de temps que la fonction exponentielle précédente.

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Physique – Classe terminale scientifique

Expérimentalement, pour détecter les particules α émises par les noyaux de radon qui se transmutent, on utilise un « compteur à scintillations » constitué d’un photomultiplicateur sur la fenêtre duquel on vient poser des fioles scintillantes. Le radon est prélevé dans une fiole de verre cylindrique, étanche, de 120 cm3 et dont les parois latérales et supérieure ont été opacifiées. Une feuille imprégnée de sulfure de zinc tapisse la paroi latérale interne de la fiole. Le sulfure de zinc est fluorescent : chaque fois qu’il absorbe l’énergie d’une particule α reçue, il restitue cette énergie en émettant une gerbe de photons dans le visible. La fiole dont le fond est transparent est placée sur la fenêtre d’un photomultiplicateur qui détecte alors les scintillations du sulfure de zinc. Le photomultiplicateur est associé à un compteur qui totalise pendant une durée d’intégration ∆t (par exemple 60 s) le nombre total Nd d’événements détectés. Une horloge interne à l’appareil permet de définir des durées d’intégration ∆t variables. Dans ces conditions, le rapport Nd/∆t mesure un « nombre d’événements détectés » par unité de temps. Il est important de remarquer que ce « compteur à scintillations » ne mesure ni le nombre N d’atomes radioactifs présents dans la fiole, ni le nombre ∆N d’atomes qui se désintègrent durant la durée ∆t. Son efficacité inférieure à l’unité peut toutefois être supposée constante pendant toute la durée des mesures. Par ailleurs les émissions de particules α sont isotropes : elles s’effectuent dans toutes les directions de l’espace sans qu’il y ait une direction privilégiée. Pour ces raisons, le nombre d’événements détectés pendant une durée fixe est proportionnel au nombre de particules α émises durant cette même durée. Les particules α sont émises par les divers éléments radioactifs α présents dans l’enceinte. Au début de l’expérience le nombre d’émetteurs α augmente par filiation radioactive, un équilibre s’établit et l’émetteur qui a la plus longue durée de demi-vie impose celle-ci (voir l’annexe 5 dans le texte intégral de cette activité situé sur le cédérom d’accompagnement : « Cas d’une cascade de transformations nucléaires »). Dans le cas de la famille du radon-222, le radon-222 (période 3,82 jours) et le polonium-218 (3,05 min) sont émetteurs α coup sur coup. Puis après une chaîne β– (de 26,8 min et de 19,9 min), le polonium-214 (1,65 s) est aussi émetteur α. Le plomb210 de demi-vie beaucoup plus grande (22,2 ans) bloque la chaîne qui, au bout de quelques heures, est dominée par le radon-222 (voir l’annexe 4 dans le texte intégral de cette activité, située sur le cédérom d’accompagnement : « L’uranium-238 et ses descendants (famille radioactive naturelle de l’uranium-238) »). En conclusion, on peut considérer que le rapport m = moy(Nd)/∆t est bien proportionnel au nombre de noyau d’atomes de radon qui se désintègrent par unité de temps c’est-à-dire à ∆t. Le tracé expérimental de ce rapport m en fonction du temps permet donc de valider l’hypothèse formulée précédemment d’une loi de décroissance exponentielle d’une population macroscopique N d’atomes radioactifs. Puisque la dérivée d’une exponentielle est une exponentielle de même constante de temps on peut aussi déduire de l’évolution temporelle du rapport m le temps de demi-vie du radon-222. Tant pour ce tracé que pour le calcul du temps de demi-vie, l’utilisation d’une calculatrice graphique ou d’un tableur-grapheur est recommandée.

Transformations nucléaires

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É

volution temporelle des systèmes mécaniques

Une progression possible Cette partie constitue l’aboutissement de l’enseignement de mécanique commencée en classe de seconde. L’appropriation des lois de Newton, à travers les exemples de mouvements étudiés, permet aux élèves de pratiquer les différents aspects de la démarche scientifique : – modéliser un système et lui appliquer les lois de la dynamique pour prévoir son comportement, en utilisant une résolution analytique et/ou une méthode numérique itérative; – réaliser des mesures quantitatives et les confronter aux prédictions d’une théorie, dans le but éventuel d’améliorer la modélisation. La variété des systèmes étudiés illustre la généralité de la théorie. Conformément à l’esprit du programme, les lois de Newton sont posées au début comme principes fondateurs qui seront justifiés ensuite par leur pertinence dans la prévision des événements. Remarquons que, contrairement à l’habitude, les études de dynamique ne sont pas précédées par des activités ou par un cours de cinématique. Le choix est ici délibéré de n’introduire les connaissances de cinématique que lorsqu’elles sont nécessaires pour résoudre un problème donné ou pour comprendre la signification d’une loi. Ainsi, le vecteur accélération est introduit avec la seconde loi de Newton tandis que, par exemple, la relation donnant l’accélération normale ne le sera qu’ultérieurement à l’occasion de l’étude du mouvement des satellites et des planètes. Des lois de Newton à la cinématique ■ Fiche D1 du cédérom L’idée est d’utiliser la simulation numérique pour étudier des situations d’application de la seconde loi de Newton et introduire ainsi une description cinématique : connaissant la force qui s’exerce sur un objet (et la masse de celui-ci), la seconde loi de Newton permet de déterminer l’accélération (du centre d’inertie). Mais connaissant l’accélération, il est possible de déterminer la nouvelle vitesse, et connaissant la vitesse, on peut calculer la nouvelle position. Ce calcul peut être répété autant de fois que l’on veut, et c’est sur ce principe que différents logiciels simulent des mouvements. On peut ainsi visualiser toutes les grandeurs cinématiques avant d’en donner des définitions précises. Par ailleurs, on a évité de privilégier implicitement les situations « canoniques » trop particulières (mouvements rectilignes, forces constantes, etc.). Le travail d’investigation porte donc d’emblée sur des cas « complexes » (force électrostatique, par exemple). Étude expérimentale de la chute d’un solide dans un fluide ■ Fiches D2 à D5 du cédérom En règle générale, le mouvement de chute d’un corps dans un fluide est complexe du fait de la conjugaison de l’action de la pesanteur et de celle du fluide. De plus, au cours de la chute, le corps est susceptible de se déformer (cas d’une feuille de papier dans l’air par exemple). Il est cependant possible de choisir le matériau, la masse, la taille et la forme d’un solide afin que son mouvement de chute soit pratiquement une translation rectiligne d’axe vertical.

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Le but de l’étude est de montrer que, dans ce cas, la chute d’un tel solide dans un fluide gazeux ou liquide peut être caractérisée par des grandeurs (vitesse limite et temps caractéristique) qui dépendent de la nature du fluide et des caractéristiques du solide. Ces activités se plaçant après l’étude de la seconde loi de Newton, on peut imaginer que les élèves seront capables d’inventorier les actions en jeu et de modéliser celles-ci par des forces colinéaires : le poids, la poussée d’Archimède et une force de frottement. Sans qu’il soit nécessaire qu’ils émettent des hypothèses sur la manière de calculer la valeur de cette dernière, l’idée de modéliser les frottements fluides par une force de sens contraire à la vitesse et qui augmente avec elle, est suffisamment familière pour qu’il soit inutile de donner plus d’indications1. Par conséquent, la présence d’une vitesse limite devrait être assez facilement trouvée. Il est probable également que les élèves proposent comme caractéristique de l’évolution un temps qui correspond à la rapidité avec laquelle la vitesse limite est atteinte. Si les activités abordées depuis le début de l’année n’ont pas suffi pour que les élèves soient familiarisés avec la détermination d’un temps caractéristique, l’étude des enregistrements est alors l’occasion de revenir sur cette notion. À propos de l’étude expérimentale de la chute verticale d’un solide dans un fluide Fiche D2 du cédérom et page 44 Dans cette fiche, on trouvera l’ensemble de la démarche proposée. Les fiches D3, D4 et D5 du cédérom présentent des exemples avec plus de détails. L’étude complète de la chute d’un corps dans un fluide peut se dérouler en deux séances. La première est consacrée à l’étude expérimentale de la chute d’un solide dans l’air et/ ou dans divers fluides. Cette activité fait appel à l’utilisation de moyens vidéo et à l’usage d’un logiciel adéquat pour pointer les coordonnées d’un point mobile image par image. La seconde séance se propose de modéliser les frottements du fluide sur le solide dont la chute à été précédemment enregistrée. Quel est le mouvement d’un solide en chute dans l’air? De quoi dépend-il? Fiche D3 du cédérom Dans cette activité, on enregistre le mouvement de chute pour des objets de masses et de volumes différents (un objet par groupe)2. Les images vidéo obtenues sont traitées au moyen d’un logiciel adapté de manière à obtenir les coordonnées successives d’un point de l’objet en chute. Ces coordonnées sont ensuite copiées dans une feuille de tableur. Après avoir calculé les valeurs successives de la vitesse les élèves sont invités à reporter dans le plan (t, v) les points correspondants. Une discussion des propositions des différents groupes concernant les valeurs caractéristiques de v et de t est alors organisée. On choisit comme valeur limite de la vitesse la valeur de l’asymptote horizontale et pour le temps caractéristique l’abscisse du point de concours de cette asymptote avec la tangente à l’origine. Quels sont les paramètres qui influent sur la chute d’un solide dans un liquide? Fiche D4 du cédérom Le mobile choisi ici est une fiche banane mâle à reprise arrière qu’on peut lester avec du plomb, par exemple, et le liquide est de l’eau, puis de l’eau mélangée à un produit de nettoyage. L’enregistrement se fait avec une caméra vidéo. Une fiche technique donne en annexe de la fiche D4 tous les détails de mise en œuvre de l’expérimentation.

1. Au cas où on jugerait qu’un travail préparatoire est indispensable, on pourra utiliser l’activité sur le texte de Huygens : « Comment et pourquoi l’air ou l’eau ralentissent-ils la chute des corps? » 2. Une fiche technique, donnée en annexe de la fiche D3, précise les méthodes utilisées dans la première séance pour réaliser une manipulation capable de mettre en évidence les diverses phases du mouvement.

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Le déroulement proposé est le suivant. Les élèves prennent connaissance du matériel pour procéder à l’enregistrement de la chute d’un mobile sans vitesse initiale dans un liquide, afin d’extraire, des données recueillies, la courbe d’évolution de la vitesse du mobile en fonction du temps. On précise que la forme du mobile a été choisie de façon à ce que la trajectoire soit rectiligne, verticale. Les élèves sont alors invités à prévoir comment va évoluer la vitesse du mobile, à proposer une allure probable de la courbe traduisant cette évolution et à imaginer, au vu du graphe de v = f(t), quelles grandeurs la caractérisent. Ils doivent ensuite indiquer quels paramètres de l’expérimentation influent, à leur avis, sur l’évolution de la vitesse. Puis l’étude expérimentale est effectuée et les prévisions confrontées aux résultats. Comment modéliser une force de frottement? Fiche D5 du cédérom Cette séance fait suite aux études expérimentales des chutes dans des fluides. Le but est ici d’utiliser les données expérimentales obtenues pour construire un modèle empirique de la force de frottement fluide. Pour cela on utilise un outil de résolution numérique, ici la méthode d’Euler. À partir de la lecture d’un texte d’Huygens, on formule différentes hypothèses plausibles concernant la forme de la relation liant la valeur de la force de frottement f à la vitesse v du solide en mouvement dans le fluide. L’application de la deuxième loi de Newton au solide en mouvement permet alors d’établir une équation différentielle dont la fonction inconnue est la vitesse v(t). La résolution numérique de cette équation différentielle par la méthode d’Euler fournit une courbe représentative de la fonction cherchée. Pour construire le modèle de la force de frottement fluide, on raisonne alors de la manière suivante : si l’hypothèse de départ concernant l’expression de la force de frottement est valide, une courbe théorique obtenue par la méthode d’Euler doit passer au plus près des points expérimentaux. Si, au contraire, il est impossible d’obtenir un recouvrement acceptable, l’hypothèse de départ doit être abandonnée. Une nouvelle hypothèse est alors testée de la même manière. Dans cette activité, les élèves sont conduits à examiner successivement les hypothèses f = k·v et f = k’·v2. Comment le mouvement d’un satellite permet de connaître la masse d’un astre ■ Fiche D6 du cédérom Cette activité sur document vise à montrer comment, par application des lois de Newton, on peut déterminer la masse d’un astre. Elle fait appel à la réflexion des élèves en les amenant à construire puis à résoudre un problème mettant en œuvre aussi bien des capacités calculatoires et théoriques que des compétences relatives à la mesure et à la détermination graphique d’une valeur. Un premier exercice, porte sur la détermination de la masse de la Terre connaissant le mouvement de la Lune, la même démarche est ensuite utilisée concernant la planète Jupiter et ses satellites. L’application à la Lune de la deuxième loi de Newton conduit les élèves à s’interroger sur la relation donnant l’accélération du mouvement circulaire uniforme. Cette activité permet au professeur d’introduire la relation a = v2/R. Pour le cas de Jupiter, on utilise une série de clichés photographiques permettant de déterminer par une méthode graphique les caractéristiques du mouvement de l’un de ses satellites (ici, Ganymède). Étude comparée de deux oscillateurs mécaniques ■ Fiche D7 du cédérom On se propose ici de conduire de manière similaire, et simultanée, l’étude du mouvement d’un pendule pesant et de celui d’un dispositif solide-ressort. L’objectif est de dégager des similitudes et des différences dans leurs mouvements et d’identifier les paramètres susceptibles d’intervenir dans ceux-ci. On cherche à définir et à mesurer un temps caractéristique pour chacun des deux oscillateurs. On étudie l’influence des paramètres identifiés précédemment.

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Chacun de ces deux oscillateurs est modélisé : – le premier, par un point matériel oscillant sous l’effet de la pesanteur sur un arc de cercle centré sur un point fixe et symétrique par rapport à la verticale passant par ce point (modèle dit « du pendule simple »); – le second, par un point matériel oscillant sous l’effet d’une force de rappel élastique, de part et d’autre d’un point fixe sur un segment de droite centré sur ce point (modèle dit « du pendule élastique »). Des hypothèses sont alors formulées concernant la forme que peut prendre dans chaque cas l’expression du temps caractéristique. Une analyse dimensionnelle permet de déterminer l’expression de la période des petites oscillations du pendule simple. L’application des lois de Newton permet de déterminer celle des oscillations du pendule élastique. On remarque que la période des petites oscillations du pendule simple dépend de la valeur de l’intensité de la pesanteur mais non de la masse du pendule. Celle des oscillations du pendule élastique, en revanche, ne dépend pas de l’intensité de la pesanteur mais de sa masse. Qu’est-ce que le phénomène de résonance? ■ Fiche D8 du cédérom L’étude des courbes de résonance n’est pas au programme. Seul le phénomène de résonance est ici abordé dans le cadre de l’étude des systèmes oscillants et avant celle des aspects énergétiques. Il s’agit essentiellement de comprendre par une étude qualitative, que ce phénomène peut être observé lorsqu’un oscillateur est excité périodiquement à une fréquence voisine de sa fréquence propre. Lorsqu’un régime permanent est établi, une énergie est alors emmagasinée dans l’oscillateur (cette énergie a été progressivement communiquée à l’oscillateur durant le régime transitoire qui précède ce régime permanent). L’énergie ainsi emmagasinée est alors bien supérieure à celle qui est, à chaque période, communiquée par l’excitateur à l’oscillateur. Lorsque la fréquence d’excitation s’écarte par excès ou par défaut de celle de la résonance, le phénomène diminue jusqu’à disparaître. Pour conduire cette étude, nous avons choisi de recourir à un dispositif très simple et proche de situations de la vie courante : l’excitateur est un moteur muni d’un balourd. L’oscillateur est constitué par une lame flexible et le moteur au milieu de laquelle il est solidement fixé. Le moteur est alimenté par une source de tension réglable, ce qui permet de faire varier sa vitesse de rotation. La lame peut être solidement fixée soit à ses deux extrémités (première photo) soit en un point voisin de son milieu (seconde photo).

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Ouverture au monde quantique : l’atome et la mécanique de Newton ■ Fiches D9 à D11 du cédérom L’objectif essentiel de l’activité est de sensibiliser les élèves aux limites de la mécanique newtonienne et de montrer que certaines données considérées comme « allant de soi » telles que, par exemple, l’identité de dimension des atomes d’un même élément ou certains phénomènes liés, par exemple, à la lumière ne sont pas interprétables dans le cadre newtonien. Ainsi que le précise le texte du programme, il s’agit simplement ici d’une ouverture au monde quantique et non pas d’une introduction à la physique quantique. Le temps consacré à cette réflexion, volontairement limité à deux heures en classe entière, ne doit pas pour autant conduire à en négliger l’importance avec les élèves : voilà qu’à la fin d’une étude de la mécanique patiemment élaborée au cours de quatre années, la théorie est étudiée sous l’angle de ses limites, montrant par là que la mécanique newtonienne, si belle et si puissante soit-elle, ne répond pas à toutes les questions. Les activités proposées sur le cédérom permettent d’introduire la problématique ci-dessus à partir de véritables spectres aussi bien électroniques qu’optiques. L’atome et la mécanique de Newton : ouverture au monde quantique Fiche D9 du cédérom et page 48 – Quels problèmes le modèle atomique de Rutherford rencontre-t-il? Dans le modèle de l’atome tel que l’avait imaginé Rutherford, les électrons sont en orbite autour du noyau comme les planètes autour du Soleil, ou comme des satellites autour de la Terre. La conséquence immédiate serait que tous les atomes de même nombre d’électrons devraient prendre des tailles différentes et variables au gré des chocs reçus. Ainsi, en prenant pour exemple les atomes les plus simples, ceux de l’hydrogène, nous devrions, dans une même population donnée de substance hydrogénée, trouver statistiquement des atomes d’hydrogène de tailles fort différentes. Or, les mesures effectuées sur ces atomes montrent que tous les atomes d’hydrogène sont semblables : à chaque type d’atome correspond une taille déterminée dans l’état fondamental. La conséquence s’impose : ces résultats sont en contradiction avec les lois de Newton bien que les deux lois d’interaction soient en 1/r2. Celles-ci ne peuvent donc expliquer complètement le comportement de la matière à l’échelle microscopique. – Les expériences de Franck et Hertz Si tous les atomes d’une même espèce (l’hélium par exemple) sont identiques, cela signifie que l’énergie interne de chacun d’eux est unique. Mais que se passe-t-il si l’on tente de modifier directement cette énergie? Franck et Hertz ont montré, en 1914, qu’en bombardant les atomes d’un gaz avec des électrons d’énergie connue (de l’ordre de quelques eV), on pouvait accroître l’énergie interne des atomes et que cela s’effectuait par paliers définissant ainsi autant d’états dits « excités ». – Que devient un atome excité3 ? L’activité consiste à observer en classe quelques lampes spectrales en fonctionnement. C’est l’occasion de constater qu’il existe différents moyens d’exciter des atomes (décharges électriques notamment) et que les atomes se désexcitent en émettant de la lumière. Les élèves observent au spectroscope les spectres d’émission de la lumière produite par chaque lampe. On leur indique alors que chacune des raies d’un spectre correspond à l’émission d’un rayonnement par un atome. (Différents spectres peuvent être observés; les spectres d’émission des atomes de la classification périodique sont donnés dans le logiciel Spectres inclus sur le cédérom.)

3. On pourra se reporter utilement au complément scientifique du document d’accompagnement, intitulé « CS2 – Niveaux d’énergie et spectre d’un atome ».

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Physique – Classe terminale scientifique

Comparaison de diagrammes d’énergie Fiche D10 du cédérom Cette activité s’appuie sur le texte et les diagrammes d’énergie « CS2 – Niveaux d’énergie et spectre d’un atome » de la partie « Compléments scientifiques » (texte destiné aux professeurs et non pas aux élèves). En réalisant cette activité les élèves pourront : – se familiariser avec les notions de quantification et de niveaux d’énergie à partir d’exemples réels; – calculer des énergies à partir des longueurs d’onde des radiations émises dans le vide et mieux comprendre le principe de la spectroscopie optique; – comparer des diagrammes pour trouver que pour des noyaux différents et un même cortège électronique, il existe une relation entre les énergies de l’atome et la composition du noyau; et que, pour un même noyau, les énergies de l’atome dépendent du cortège électronique. Spectroscopie optique, spectroscopie électronique Fiche D11 du cédérom Cette activité permet de montrer aux élèves, à partir de la spectroscopie électronique, qu’il existe d’autres techniques que la spectroscopie optique pour connaître les niveaux d’énergie d’un atome ou d’un ion. Les élèves ont à leur disposition le diagramme d’énergie de l’atome d’hélium obtenu par spectroscopie optique et le spectre électronique. Ces documents sont extraits des compléments scientifiques « CS2 – Niveaux d’énergie et spectre d’un atome » pour le diagramme d’énergie obtenu par spectroscopie optique, et « CS3 – Quantification des niveaux d’énergie et spectroscopie électronique » pour le spectre électronique. En comparant ces deux documents, les élèves pourront vérifier que pour un même niveau d’énergie, les deux techniques donnent le même résultat.

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À propos de l’étude expérimentale de la chute verticale d’un solide dans un fluide (D2) Quels que soient les objets et les fluides utilisés pour cette étude, celle-ci se déroule sur deux séances expérimentales : – la première est consacrée à l’étude expérimentale de la chute d’un solide dans un fluide; – la seconde va permettre d’explorer différents modèles pour la force de frottement fluide4 : f = k·v ou f = k’·v2. La suite de ce document aborde les problèmes liés à l’expérimentation et au traitement des résultats expérimentaux. Différents exemples avec questionnement, expériences, traitement et modélisation figurent dans les fiches D3, D4 et D5 du cédérom d’accompagnement.

Étude expérimentale de la chute d’un solide dans un fluide Le but de l’étude est de montrer que : – la chute d’un solide dans un fluide met en évidence des grandeurs caractéristiques (vitesse limite et temps caractéristique), que le fluide soit gazeux ou liquide; – les grandeurs caractéristiques, pour un même fluide et des solides de mêmes forme et volume, dépendent de la masse de ce solide. Le solide Le solide peut avoir une forme quelconque mais sa chute doit être une translation verticale. Les exemples donnés ci-dessous ont donné à cet égard satisfaction. Pour la deuxième partie de cette étude, sa masse et son volume devront être connus. On doit disposer de plusieurs solides de forme identique mais de masses différentes. Les quelques exemples qui ont été utilisés avec succès sont indiqués dans le tableau ci-dessous. Cette liste n’est pas limitative. Pour des raisons de repérage sur l’enregistrement vidéo et de conditions pour atteindre la vitesse limite, le solide sera différent pour la chute dans l’air d’une part et dans des liquides d’autre part. Dans le texte de complément scientifique « CS1 – Force de frottement fluide et vitesse », on trouvera quelques exemples de diamètres de billes et de choix du fluide permettant de mettre en évidence les différents modèles de la force de frottement fluide. Dans le cas de la chute dans l’eau pure d’une bille dont le diamètre est de l’ordre du millimètre, la force de frottement fluide est proportionnelle au carré de sa vitesse. Exemples Boule de pâte à modeler Perle (axe bouché avec de la pâte à modeler)

Sens de la chute

Comment faire varier la masse? Inclure au centre un petit solide Fondre plus ou moins de plomb dans l’axe

Ballons de baudruche de couleurs différentes, chacun renfermant environ quatre litres d’air. Ils Accrocher des masses au point doivent être le plus rond possible pour que l’on central où sont attachés les quatre puisse aisément déterminer leur volume. Deux ballons des ballons sont moins gonflés que les deux autres

Sens de la chute

Ajouter du plomb ou de la pâte à Fiche banane électrique mâle, à reprise arrière, modeler dans la partie creuse bouchée

Sens de la chute

Tube à hémolyse lesté avec un petit agitateur magnétique (pour pouvoir le récupérer facile- Remplir plus ou moins le tube avec un liquide ou un solide en poudre ment à l’aide d’un aimant)

4. On pourra se reporter au texte de complément scientifique du cédérom d’accompagnement « CS1 – Force de frottement fluide et vitesse ».

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Le fluide Le fluide est l’air, puis un liquide tel que l’eau, la glycérine, du détergent liquide incolore… Un mélange d’eau et de détergent liquide en proportions variables permet d’agir facilement sur la viscosité et remplace avantageusement l’huile. L’enregistrement vidéo Prise de vue La chute du solide dans un fluide est enregistrée à l’aide d’une caméra vidéo ou d’une webcam. Pour ne pas déformer les images, le choix doit se porter si possible sur de longues focales. Un fond uni permet une meilleure précision lors du traitement de l’image. Il faut penser à disposer un repère étalonné à la même distance de la caméra que la trajectoire de chute. L’éclairage doit être le plus possible constant. Il est conseillé d’utiliser un éclairage à incandescence pour éviter l’effet stroboscopique. Si l’on ne peut éviter l’éclairage par les tubes fluorescents, la fréquence de prise de vues ne doit pas être un sous-multiple de 50 Hz (ce qui est impossible avec un caméscope qui ne peut filmer qu’à 25 images par seconde). Le film doit débuter avant la chute du solide afin que l’on puisse repérer avec le plus de précision possible l’instant initial de cette chute. Il existe toujours une incertitude sur cette date, laquelle est due à la fréquence des prises de vues. Elle est inférieure à la durée entre deux images consécutives. Dans le cas des liquides on peut utiliser une éprouvette graduée si la viscosité du fluide est importante. Dans le cas de l’eau, un récipient plus haut est nécessaire (hauteur de l’ordre du mètre). Pour une meilleure prise de vue, on peut faire construire des éprouvettes à base carrée. Traitement de l’image Il existe différents logiciels de pointage gratuits qui permettent de repérer un point de l’objet à des intervalles de temps égaux. Plusieurs sont proposés sur le cédérom du document d’accompagnement de première scientifique. On peut aussi, à partir de l’enregistrement réalisé avec une caméra, utiliser un magnétoscope (celui-ci doit posséder quatre têtes de lecture et une molette pour la lecture image par image – à ne pas confondre avec l’arrêt sur image). On relève, par exemple sur un papier transparent fixé sur l’écran, les différentes positions du solide en faisant défiler l’enregistrement image par image. Dans ce cas, un chronomètre numérique aura dû être filmé en même temps afin d’obtenir facilement un repérage des images. Calcul Le but du traitement précédent est d’obtenir, à l’aide de l’ordinateur, la vitesse du mobile aux différentes dates où il a été pointé et de tracer v(t). Cette courbe permet d’obtenir la vitesse limite et le temps caractéristique associés à la chute. Déroulement possible de l’étude expérimentale Influence de la nature du fluide Laisser tomber, sans vitesse initiale, un même objet dans l’air et dans un liquide (observations qualitatives). Recommencer avec un autre liquide et le même objet. Deux groupes d’élèves peuvent travailler avec le même objet mais deux fluides liquides différents. Dans ce cas, faire tracer v(t) et déterminer la vitesse limite et le temps caractéristique. Les résultats expérimentaux permettent de conclure que la courbe v(t) d’un solide en chute verticale dans un fluide gazeux ou liquide peut être caractérisée par deux grandeurs : la vitesse limite et le temps caractéristique. Pour un même solide, les valeurs de ces grandeurs dépendent de la nature du fluide.

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Influence de la masse de l’objet Recommencer cette étude dans un même fluide avec des objets de même volume mais de masses différentes. On peut, comme précédemment, partager le travail entre les groupes. Les résultats expérimentaux permettent de conclure que pour des solides de même forme, de même volume et de masses différentes, en chute verticale dans un même fluide, les valeurs des grandeurs caractéristiques dépendent de la masse.

Validation de l’expression de la force de frottement fluide en utilisant la méthode d’Euler Le but de cette séance est, à partir des données expérimentales obtenues précédemment, de valider un modèle de la force de frottement fluide. Pour cela on utilise une méthode d’approximation numérique, ici la méthode d’Euler5 (cette méthode est la seule exigible). L’utilisation d’un tableur grapheur est utile. Le modèle est validé lorsque la courbe théorique (les grandeurs caractéristiques) correspond à celle obtenue expérimentalement. Une organisation possible de la séance est de faire travailler chaque groupe sur une des courbes expérimentales obtenues précédemment. Étude dynamique Elle peut se faire à partir d’un diagramme objet/interactions qui conduit à la représentation des forces ci-contre6. Le solide, dans le référentiel lié à la terre (galiléen), est soumis à son z’ poids P = m ⋅ g , la poussée d’Archimède Π = – ρ ⋅ V ⋅ g , la force de frottement fluide f . La deuxième loi de Newton appliquée à la bille : P+Π+ f = m⋅ a,



f



Π

donne, en projetant sur l’axe z’z : P–Π–f = m⋅a, soit : ou encore :

m⋅g–ρ⋅V⋅g–f = m⋅a, ρVg f g – ----------- – ---- = a . m m



P

ρVg f En posant A = g – ----------- , on a A – ---- = a , soit finalement : m m dv f z ------ = A – ---- . dt m On remarque que V, m, g et ρ sont des données connues ou déterminées expérimentalement et que l’on peut donc calculer A. Première hypothèse : la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, f = k · v Les élèves pourront être sollicités pour trouver cette première hypothèse7. L’équation dv k⋅v dv différentielle est alors de la forme ------ = A – ---------- , soit encore ------ = A – B ⋅ v . dt m dt 5. Les élèves ont étudié la méthode d’Euler en mathématiques en classe de première scientifique. Ils ont revu cette méthode au début de l’année de terminale lors de l’introduction de la fonction exponentielle. Des compléments sur la méthode d’Euler sont donnés, dans le document d’accompagnement, dans la fiche « TG3 – À propos de la méthode d’Euler » (voir page 69). 6. La règle de schématisation adoptée est celle proposée dans le document d’accompagnement de première scientifique. 7. Le texte de Huygens, « Comment et pourquoi l’air ou l’eau ralentissent-ils la chute d’un corps » peut être étudié par les élèves avant cette séance. Il est proposé dans le document « TG1 – De l’usage des textes documentaires dans l’enseignement des sciences physiques » (voir page 59).

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Physique – Classe terminale scientifique

Détermination de B à partir de la courbe expérimentale v(t) dv A On trouve la valeur de B lorsque ------ = 0 m ⋅ s – 2 , d’où B = --------- . dt v lim La valeur de la vitesse vlim a été trouvée à la séance expérimentale précédente. Test de l’hypothèse par la méthode d’Euler Principe de la méthode numérique d’Euler an = A – Bvn. vn+1 = vn + an · ∆t. Application Le calcul « à la main » pour les trois ou quatre premières valeurs de t et v peut permettre aux élèves de se remémorer la méthode d’Euler. Le choix du pas ∆t doit être tel que la vitesse limite soit atteinte en une durée de l’ordre de 100 ∆t. Pour les expériences réalisées, on peut généralement choisir ∆t = 0,01 s. L’expérience montre que l’on peut également prendre pour « pas » la durée entre deux photos lors de la prise de vues. Utilisation d’un tableur-grapheur pour tracer la courbe théorique v(t) correspondant à l’hypothèse Suivant le niveau des élèves ce travail peut être plus ou moins guidé. À cette époque de l’année, tous les élèves devraient savoir utiliser un tableur-grapheur pour réaliser les calculs demandés. On peut vérifier que les premières lignes du tableau correspondent bien à celles calculées précédemment. Puis on trace la courbe théorique d’évolution de la vitesse de la bille et on la compare à la courbe réelle. Pour que le modèle de la force de frottement fluide soit validé, il faut que la courbe expérimentale et la courbe théorique soient en bon accord. Ce n’est généralement pas le cas : le modèle de la force de frottement f = k·v n’est alors pas validé. Remarques – Le modèle f = k · v s’applique aux faibles vitesses, lorsque l’écoulement du fluide autour du corps est laminaire (sans turbulences). – Cette première partie de l’étude a permis aux élèves de se familiariser avec la méthode d’Euler et de revoir l’utilisation d’un tableur. C’est son seul intérêt car les élèves savent résoudre mathématiquement l’équation différentielle proposée. Deuxième hypothèse : la force de frottement est proportionnelle à la vitesse au carré, f = k’· v2 dv dv k′v 2 L’équation différentielle est de la forme ------ = A – ----------- , soit encore ------ = A – Cv 2 . m dt dt A dv On trouve la valeur de C lorsque ------ = 0 m ⋅ s – 2 , d’où C = --------. 2 dt v lim On va de nouveau appliquer la méthode d’Euler en utilisant un tableur. Le modèle de la force de frottement f = k’ · v2 est généralement meilleur8.

8. En général, les deux hypothèses simples envisagées ne peuvent être départagées à coup sûr par la seule expérience de chute dans un fluide. Pour obtenir un résultat plus probant, il serait nécessaire de s’interroger sur la nécessité de prendre en compte dans l’établissement de l’équation différentielle, outre les frottements visqueux, l’inertie du fluide au contact de l’objet en chute. Cette modélisation plus difficile et hors de portée pour un élève de terminale ne sera pas envisagée ici.

Évolution temporelle des systèmes mécaniques

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Remarques – Le modèle f = k’ · v2 s’applique aux vitesses plus élevées (la turbulence du fluide dans le sillage du solide est importante). – L’application de la méthode d’Euler dans ce cas prend toute sa valeur car les élèves de terminale scientifique ne savent pas résoudre en mathématique cette équation différentielle. – L’objectif de cette séance est seulement que l’élève comprenne ce qu’est une modélisation physique. La méthode d’Euler est la plus simple des méthodes numériques itératives, et la seule exigible, mais elle ne donne pas toujours des résultats précis. On pourra lui faire remarquer que les méthodes itératives des logiciels commerciaux utilisés sont plus élaborées et donnent des résultats plus précis. L’influence du « pas » dans la méthode d’Euler n’est pas l’objectif de cette séance.

Ouverture au monde quantique – L’atome et la mécanique de Newton (D 9) L’objectif essentiel de l’activité est de sensibiliser les élèves aux limites de la mécanique newtonienne et de montrer que certaines données considérées comme « allant de soi » telles que, par exemple, l’identité de dimension des atomes d’un même élément ou certains phénomènes liés, par exemple, à la lumière ne sont pas interprétables dans le cadre newtonien. Ainsi que le précise le texte du programme, il s’agit simplement, ici, d’une ouverture au monde quantique et non pas d’une introduction à la physique quantique. Le temps consacré à cette réflexion, volontairement limité à deux heures en classe entière, ne doit pas pour autant conduire à en négliger l’importance avec les élèves : voilà qu’à la fin d’une étude de la mécanique patiemment élaborée au cours de quatre années9, la théorie est étudiée sous l’angle de ses limites, montrant par là que la mécanique newtonienne, si belle et si puissante soit-elle, ne permet cependant pas de répondre à certaines questions simples. Pour approcher la problématique quantique, une activité de réflexion et de débat autour d’un texte simple, librement inspiré du PSSC, est proposée. Le texte, un peu long, aura été distribué aux élèves pour être lu et préparé à la maison en vue de nourrir un travail collectif en classe. Une discussion sur le texte est suivie d’un travail en classe sur les spectres optiques.

L’atome et la mécanique de Newton Quels problèmes rencontre le modèle atomique de Rutherford? Dans le modèle de l’atome tel que l’avait imaginé Rutherford, les électrons gravitent autour du noyau comme les planètes autour du Soleil ou des satellites autour de la Terre. Nous savons bien que si une action perturbatrice quelconque s’exerce, par exemple sur un satellite artificiel (lors d’un choc avec une météorite ou par l’action d’un moteur de propulsion), son mouvement s’en trouvera modifié. Les lois de Newton expliquent bien les changements de vitesse et de trajectoire qui sont alors observés. Et leur application est à la source des « corrections de trajectoire » couramment effectuées sur les satellites artificiels. Ainsi, nous savons bien qu’un même objet peut être satellisé sur des trajectoires différentes autour de la Terre et qu’à chaque trajectoire, circulaire par exemple, correspond une valeur donnée de la vitesse et de l’énergie du système satellite-Terre. À une toute autre échelle, nous savons également que la matière est constituée d’atomes et que ces atomes, dans les solides, les liquides mais aussi dans les gaz interagissent continuellement les uns avec les autres. Si les électrons des atomes se comportaient comme les satellites, l’agitation désordonnée modifierait continuellement leurs trajectoires. La conséquence immédiate serait que tous les atomes de même nombre 9. La mécanique de Newton est abordée dès le collège, en classe de troisième.

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Physique – Classe terminale scientifique

d’électrons devraient prendre des tailles différentes et variables au gré des chocs reçus. Ainsi, en prenant pour exemple les atomes les plus simples, ceux de l’hydrogène, nous devrions, dans une même population donnée de substance hydrogénée, trouver statistiquement des atomes d’hydrogène de tailles fort différentes. Or, les mesures effectuées sur ces atomes montrent que tous les atomes d’hydrogènes sont semblables; il en est de même de tous les atomes d’oxygène, d’hélium ou de n’importe quel autre atome : à chaque type d’atome correspond une taille déterminée dans l’état fondamental. La conséquence s’impose : ces résultats sont en contradiction avec les lois de Newton car les deux lois d’interaction sont en 1/r2. La mécanique de Newton ne peut donc expliquer complètement le comportement de la matière à l’échelle microscopique. Les expériences de Franck et Hertz Si tous les atomes d’une même espèce (l’hélium par exemple) sont identiques, cela signifie que l’énergie interne de chacun d’eux est unique. Mais que se passe-t-il si l’on tente de modifier directement cette énergie? James Franck et Gustave Hertz ont montré, en 1914, qu’en bombardant les atomes d’un gaz avec des électrons d’énergie connue (de l’ordre de quelques eV), on pouvait accroître l’énergie interne des atomes et que cela s’effectuait par paliers. Ils reçurent, pour l’ensemble de leurs travaux, le prix Nobel en 1925. Quelle était la problématique de cette expérience? Lors d’une collision entre un électron et un atome, il doit y avoir un transfert d’énergie de telle sorte que l’énergie interne de l’atome (cinétique des électrons et potentielle interne) doit augmenter au détriment de celle de l’électron-projectile. Si, l’hypothèse de Rutherford est bonne, c’est-à-dire si les atomes conçus selon un modèle planétaire obéissent à la mécanique de Newton, les variations de leur énergie initiale consécutives aux chocs doivent pouvoir prendre n’importe quelle valeur. Dans le même temps, il résulte du principe de conservation de l’énergie que les électrons-projectiles doivent subir des pertes tout aussi quelconques de leur énergie cinétique. Mais si l’hypothèse de Rutherford est fausse, et donc si les atomes n’obéissent pas aux lois de Newton, alors l’étude des énergies des électrons après collisions dans le gaz doit nous fournir des renseignements précieux sur la façon dont se sont produits les éventuels transferts d’énergie entre les électrons-projectiles et les atomes-cibles. La figure ci-contre représente le schéma de principe d’une expérience voisine de celle que réalisèrent Franck et Hertz10.

gion de mesure des énergies des électrons après collision Ré

Ca o à n

é

n

lectrons

VA

Atomes du gaz-cible

Le canon à électron donne aux électrons-projectiles une énergie cinétique réglable Ein. En quittant le canon, les électrons pénètrent par une petite ouverture dans une chambre contenant le gaz-cible. La plupart d’entre eux traversent la chambre sans subir de collision. Pour éviter de les détecter, l’ouverture de sortie est légèrement décalée. Les électrons qui se présentent à l’ouverture de sortie ont généralement effectué dans la chambre une collision avec un atome du gaz.

10. Il s’agit en fait d’une expérience simplifiée, plus difficile à réaliser mais plus facile à interpréter. Pour plus de précision on pourra se reporter à la fiche intitulée « Spectroscopie électronique ».

Évolution temporelle des systèmes mécaniques

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Dans cette expérience, on augmente progressivement l’énergie cinétique d’entrée Ein. Pour différentes valeurs de Ein, on mesure celles des énergies cinétiques Eout à la sortie et on compare Eout à Ein. Qu’apprend-on de ces mesures? Prenons l’exemple précis de l’hélium. Tant que l’énergie cinétique des électrons injectés est inférieure à 19,8 eV, on constate que celle des électrons à la sortie est pratiquement égale à celle qui leur a été communiquée à l’entrée (Ein = Eout). Ce résultat montre que ces électrons ont simplement rebondi sur des atomes d’hélium en conservant pratiquement toute leur énergie cinétique (les atomes d’hélium sont environ huit mille fois plus lourds que les électrons). Lorsque Ein dépasse 19,8 eV, on constate que les valeurs de Eout chutent brutalement de… 19,8 eV! Et cette différence se maintient tant que Ein reste inférieure à 20,6 eV. Autrement dit, dans cette plage de valeurs de Ein, une énergie constante de 19,8 eV a été transférée à chaque atome d’hélium ayant subi une telle collision. Qu’est devenue l’énergie cinétique ainsi cédée par les électrons-projectiles? Ici encore il n’y a pas eu accroissement sensible de l’énergie cinétique des atomes-cibles, la température du gaz n’augmentant pratiquement pas. Le transfert d’énergie de 19,8 eV se fait au bénéfice quasi-intégral de l’énergie interne du système noyau-électrons de l’atome d’hélium bombardé. On dit que l’atome d’hélium est passé de son état fondamental à un état excité11. Lorsque la valeur de Ein atteint et dépasse 20,6 eV, la différence Eout – Ein passe brutalement à 20,6 eV et cela se maintient tant que Ein reste inférieure à 21 eV, etc. L’énergie interne des atomes bombardés passe alors brutalement à 20,6 eV, autre état excité. Le diagramme cicontre représente les valeurs trouvées pour la différence Eout – Ein en fonction de Ein.

On constate que les énergies transférées à un atome d’hélium lors d’un choc avec un électron ne sont pas quelconques mais qu’elles ne peuvent prendre, au contraire, que des valeurs bien précises et toujours les mêmes pour tous les atomes d’hélium. On dit qu’il y a quantification des états excités. Ce résultat est généralisable à tous les atomes avec simplement, des valeurs d’énergie différentes. Cette quantification de l’énergie interne d’un atome ne peut être expliquée par les lois de la mécanique de Newton. Selon ces dernières, au contraire, lors d’un choc avec un électron, la différence Eout – Ein devrait pouvoir prendre toute valeur comprise entre 0 et Ein !

11. Il ne reste pas dans l’état excité et revient ultérieurement, en une ou plusieurs étapes, à l’état fondamental, cédant alors l’énergie interne emmagasinée. C’est la raison pour laquelle on observe corrélativement un spectre optique d’émission.

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Physique – Classe terminale scientifique

Peut-on augmenter indéfiniment le nombre des états excités possibles c’est-à-dire les valeurs quantifiées de l’énergie correspondant aux états excités? La réponse est négative. À partir d’une valeur de Ein appelée énergie d’ionisation, le transfert d’énergie suffit à arracher un électron à l’atome qui devient ion positif. Dans le cas de l’hélium, on obtient un ion He+ et cela se produit à 24,6 eV. En conclusion, notre expérience a permis d’identifier, pour l’atome d’hélium, les états excités suivants12 (donnés en eV) : 19,8; 20,6; 21,0; 21,2; 22,9; 23,1; 23,7 et 24,0. On dit que l’énergie d’un atome est quantifiée. Le même résultat peut être observé avec les autres atomes. Par exemple, les principaux états excités du césium sont 1,38 et 2,30 eV. L’ionisation du césium a lieu pour 3,87 eV. Ceux du mercure sont (en eV) : 4,86; 5,44; 6,67; 7,71 et 8,84. L’ionisation du mercure a lieu pour un transfert d’énergie de 10,4 eV. Proposition de questions 1) Que représentent les points tracés dans le diagramme ci-dessus? Pourquoi n’y a-t-il pas de points avant l’abscisse 19,8 eV? 2) Un tel diagramme, tracé pour d’autres atomes que ceux de l’hélium, serait-il identique ou similaire à celui-ci, et, dans ce dernier cas, en quoi consisterait, selon vous, les différences et les similarités? 3) Commentez la phrase : « Ici encore n’y a pas eu accroissement sensible de l’énergie cinétique des atomes-cibles, la température du gaz n’augmentant pratiquement pas. » 4) Quelle serait la valeur de la vitesse acquise par un atome d’hélium auquel un électron céderait une énergie de 19,8 eV si le transfert se faisait sous forme d’énergie cinétique et selon les lois de la mécanique de Newton? On donne : Charge élémentaire : e = 1,6 × 10–19 C. Constante d’Avogadro : N = 6,02 × 1023 mol–1. Masse molaire de l’hélium : 4,0 g · mol–1. Après discussion autour du texte et des réponses données par les élèves aux questions précédentes, le professeur pourra orienter la suite du travail avec la classe autour de la question suivante :

Que devient un atome excité13 ? L’activité consiste alors à observer en classe quelques lampes spectrales en fonctionnement (Na, Hg, Cd, He, etc.). C’est l’occasion de constater qu’il existe différents moyens d’exciter des atomes (décharges électriques notamment) et que les atomes excités émettent de la lumière. Les élèves observent ensuite au spectroscope les spectres d’émission de la lumière produite par chaque lampe. On indique alors aux élèves que chacune des raies d’un spectre correspond à l’émission par un atome d’un rayonnement. (Différents spectres peuvent être observés; les spectres d’émission des atomes de la classification périodique sont donnés dans le logiciel Spectres inclus sur le cédérom.) On interprète cette émission de lumière par le fait qu’un atome excité retourne, dans les instants qui suivent, spontanément et directement, à son état fondamental ou à un état excité d’énergie plus faible. Ce faisant, il cède d’un seul coup toute l’énergie qui sépare les niveaux de départ et d’arrivée.

12. D’autres états excités de l’atome d’hélium sont possibles et peuvent être identifiés expérimentalement ; les valeurs des énergies d’excitations sont toujours les mêmes, quantifiées et inférieures à 24,6 eV. 13. On pourra se reporter utilement au texte de complément scientifique intitulé « CS2 – Niveaux d’énergie et spectre d’un atome » du cédérom d’accompagnement.

Évolution temporelle des systèmes mécaniques

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On pose alors que cette variation d’énergie est directement liée à la longueur d’onde hc dans le vide du rayonnement émis selon la relation E finale – E initiale = hν = ------ . λ La quantification de l’énergie des états excités de l’atome rend compte du caractère discontinu des spectres d’émission atomiques. Le travail proposé ensuite aux élèves vise à leur faire comprendre la signification de cette relation et de son utilisation. On revient, pour cela, à l’exemple de l’hélium.

On fait alors constater aux élèves que le spectre d’émission de l’hélium contient, parmi d’autres, trois raies particulièrement intenses : une raie bleue (B) de longueur d’onde 502 nm, une raie jaune (J) à 588 nm et une raie rouge (R) à 668 nm. On invite alors les élèves à calculer les variations d’énergies d’excitation responsables de ces trois émissions. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant : Couleur Bleu Jaune Rouge

λ (en nm)

∆E (en J)

∆E (en eV)

502

3,96 × 10

2,47

588

3,38 × 10

2,11

668

2,97 × 10

1,86

Sachant que ces émissions correspondent toutes à un état excité initial d’énergie égale à 23,1 eV, on demande aux élèves de déterminer le niveau final de désexcitation correspondant à chacune des trois raies précédentes du spectre et de représenter ces changements d’énergie dans les atomes d’hélium par des flèches (une pour chaque raie) par un diagramme tel que celui ci-contre.

–19 –19 –19

24.6 eV

B

J

R

Bibliographie – HABER-SCHAIM U., CROSS J.B., DODGE J.H., WALTER J.A. et TOUGAS P., Physique – PSSC, troisième édition, Montréal, Centre éducatif et culturel, 1974, p. 526-538.

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Physique – Classe terminale scientifique

Enseignement de spécialité

P

roduire des sons, écouter ■ Le cédérom d’accompagnement contient plusieurs exemples de fiches correspondant aux parties « B – Produire des sons, écouter » et « C – Produire des signaux, communiquer » du programme.

Vibrations d’une corde de guitare Le thème du son musical vient approfondir la partie « Ondes » de l’enseignement obligatoire et est abordé par la présentation d’instruments de musique. Aussi on utilise une guitare comme support de la corde vibrante, et, à rebours de l’ordre proposé par le programme, on commence par étudier le son produit en pinçant une corde, c’est-àdire les oscillations libres d’une corde pincée, avant d’observer l’excitation de cette corde par un signal « monochromatique ». Ainsi l’utilisation normale de l’instrument est privilégiée. Pour des observations plus fines, surtout en excitation forcée, un matériel de démonstration spécialement conçu (sonomètre) peut être utilisé.

Montage électromagnétique d’étude des vibrations d’une corde Dispositif d’étude des oscillations libres Travailler avec comme seul instrument l’oreille est insuffisant pour une analyse fréquentielle. Aussi peut-on utiliser des cordes métalliques de guitare électrique et un aimant en U d’entrefer très réduit à cheval sur la corde à étudier. On obtient ainsi un capteur électromagnétique sensible à la vitesse de la portion de corde sise dans l’entrefer. En effet, une tension est induite dans la corde en raison de son mouvement effectué dans un plan perpendiculaire au champ magnétique. Pour enregistrer la tension induite (typiquement de quelques dizaines de millivolts), on relie les extrémités de la corde par deux fils munis de pinces crocodiles à un amplificateur de tension, de coefficient d’amplification de l’ordre de quelques dizaines. Un système d’enregistrement (oscilloscope à mémoire ou système d’acquisition) doit être associé à ce montage pour conserver la trace de la tension induite, fugace par nature, et permettre des mesures de fréquences.

aimant en U Excitation verticale

Amplificateur

Système d'enregistrement

On peut utiliser en complément de ce montage un GBF muni d’un écouteur, afin d’avoir une comparaison auditive entre le son produit par la guitare et un son « pur ».

Produire des sons, écouter

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Dispositif d’étude des oscillations forcées On remplace l’amplificateur par un générateur basse fréquence, associé à un fréquencemètre, suivi d’un amplificateur de puissance capable de délivrer 1 watt dans une impédance d’au plus quelques ohms. On alimente ainsi la corde par un courant sinusoïdal de fréquence connue. La force de Laplace qui s’exerce sur la portion de corde située dans l’entrefer pourra exciter les modes propres de vibration de la corde. Les nœuds et ventres de vibrations seront observés à l’œil pour les modes de plus basses fréquences. Aux fréquences élevées le son produit est un meilleur indicateur de la résonance. Remarque – L’aimant ne doit pas se trouver sur un nœud de vibration d’un mode propre pour pouvoir le détecter (lors des oscillations libres) ou le créer par excitation sinusoïdale forcée.

Approche musicale : écoute et visualisation des oscillations libres de la corde Si les circonstances s’y prêtent, on peut chercher à l’oreille, à l’aide du GBF muni d’un écouteur, la hauteur du son en procédant par comparaison. Notion de fondamental En excitant la corde, selon la façon de la pincer et selon l’endroit où on la pince, le timbre du son produit est différent : on produit un son complexe. À partir de l’observation des oscillogrammes de la vibration de la corde, considérée comme périodique pour quelques oscillations, on peut déterminer sa période. Dans tous les cas, on observe la même période de vibration mais la forme du signal est différente :

On peut alors dégager la notion de fondamental : l’inverse de cette période est appelé alors fréquence du mode fondamental de la vibration; elle est dans la suite notée f1. Une table de correspondance entre fréquences et notes de musique peut alors être utilisée pour étiqueter ce fondamental1. Notion d’harmoniques En excitant de la même façon la corde, puis en posant délicatement son doigt au milieu de la corde, sans l’écraser, on entend (faiblement mais distinctement) un son plus aigu. Aimant

Amplificateur

Système d'enregistrement

1. Il sera éventuellement nécessaire de modifier la tension de la corde pour que f 1 corresponde à une note de la gamme : on accorde la corde de la guitare.

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Physique – Classe terminale scientifique

L’enregistrement que l’on peut faire à ce moment de la vibration montre un signal quasi sinusoïdal ayant une fréquence double de celle du fondamental. L’interprétation attendue est que cette vibration était présente dans la vibration d’origine, qui contenait donc cet harmonique de fréquence 2f1. Par la même technique on peut ne laisser vibrer que les harmoniques de fréquence 3f1 (doigt posé au tiers de la corde), 4f1 (doigt posé au quart de la corde), 5f1 (doigt posé au cinquième de la corde). Il est souhaitable de vérifier par analyse spectrale la présence de ces harmoniques (et d’autres) dans le signal électrique induit par la vibration de la corde et enregistré après acquisition par ordinateur. Cela permet une approche plus quantitative qui montre sans ambiguïté que les fréquences décelées sont quantifiées et multiples de celle du fondamental.

Excitation forcée sinusoïdale Le but recherché est ici de retrouver, sur le même dispositif, par une méthode de résonance, les modes propres et leurs fréquences. De plus, c’est ici que les notions de nœuds et de ventres s’introduisent naturellement. On sera aidé dans la recherche des résonances par la connaissance des fréquences notées précédemment. Les observations qui peuvent être faites ici étant peu spectaculaires, l’étude sera avantageusement complétée par le montage dit de la corde de Melde.

Quelques précisions techniques – L’entrefer de l’aimant est réduit à l’aide de plaquettes de ferrite aimantées. Une valeur de cet entrefer d’environ 5 mm permet d’augmenter notablement le champ (d’un facteur dépassant 5). Ceci procure des signaux d’amplitude suffisante dans le cas des oscillations libres puis une excitation forcée sinusoïdale utilisant un courant d’intensité, typiquement de l’ordre de 0,25 A, ne créant pas un effet Joule trop important. – Les cordes utilisées sont constituées d’un simple fil d’acier d’un diamètre de 20 à 30 centièmes de millimètres, soit, chez les fournisseurs de cordes de guitares, des « plain steel strings 0.008 » ou « 0.012 » (pouces). – L’utilisation d’une guitare répond, comme cela a été évoqué, au désir de présenter un dispositif sonore usuel. Un modèle d’initiation pour jeune guitariste n’est, de plus, pas trop coûteux.

Produire des sons, écouter

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De l’usage des textes documentaires dans l’enseignement des sciences physiques (TG 1) Plusieurs arguments militent en faveur de l’utilisation de textes documentaires comme supports d’activités ou d’évaluation, qu’ils soient issus de l’histoire de notre discipline (articles de revues, scientifiques ou non, sites Internet), voire du roman, du théâtre ou de la poésie. L’apprentissage d’une gestion rationnelle de la masse d’informations disponibles à notre époque, une certaine connaissance de la façon dont la science élabore le savoir, une première approche de l’histoire de la discipline : autant de dimensions qui doivent accompagner la pratique des disciplines scientifiques tout en offrant une réflexion sur leur sens.

Informations et connaissances Le volume du savoir, en sciences, s’accroît à une vitesse considérable. On estime qu’en biologie, par exemple, ce volume double tous les cinq ans1. Parallèlement, l’intervalle de temps séparant les découvertes de leurs applications industrielles se raccourcit, si bien que les effets de la science parcourent et transforment la société avant que la dimension culturelle de la science, ce que celle-ci nous dit des rapports de l’homme avec la nature et des moyens qu’elle invente pour transformer ces rapports, ait le temps de pénétrer la culture tout court. L’émergence récente de comités d’éthique divers témoigne de la nécessité de prendre en charge la réflexion sur cet écart entre la science et ses effets, et tenter de le traiter. Les innombrables effets de la science sont à la source d’une masse gigantesque d’informations de tous ordres, depuis la publicité jusqu’à la vulgarisation scientifique, tandis que la science demeure toujours la source des connaissances et des savoirs de l’époque. Une information est donnée ou reçue, tandis que le savoir s’acquiert et conduit à la maîtrise d’un champ de la connaissance, aussi modeste soit-il. Ce couple information/ connaissance pose à l’école un problème plus aigu que par le passé, lorsqu’elle constituait le lieu privilégié où les élèves trouvaient des informations et où ils constituaient leurs savoirs. Il est clair que l’école n’est plus le seul, ni même le principal canal par lequel circulent les informations. Nous baignons ainsi que nos élèves dans un monde d’informations de plus en plus abondantes et toujours plus facilement accessibles. Savoir trier, sélectionner, évaluer, hiérarchiser ces informations en fonction des connaissances acquises deviennent autant de conditions de leur utilisation rationnelle, et l’école se doit de contribuer à la maîtrise de ces compétences. La pratique de l’étude de textes divers peut être un outil efficace pour cet objectif.

Comment la science construit le savoir L’enseignement des sciences ne se limite pas à une transmission de contenus. Il s’agit également d’illustrer, à travers chaque séquence d’enseignement, comment la science interroge la nature, quels sont les protocoles théoriques et expérimentaux qu’elle met en place pour valider les réponses obtenues. Savoir élaborer un modèle relatif à un phénomène et le confronter à des résultats expérimentaux est au cœur de la discipline, et la valeur de la démarche s’étend à bien d’autres domaines de la connaissance. Les programmes de sciences physiques proposent aux élèves des activités qui tendent à leur apprendre à se former une opinion argumentée, à porter un regard critique, à oser défendre une hypothèse et imaginer des protocoles pour la tester, etc. L’étude de textes, quelle que soit leur origine, actuelle ou passée, peut aussi être une excellente occasion pour analyser comment procède la science. 1. Giordan A., Apprendre, Belin, 1998, p. 247.

De l’usage des textes documentaires… (annexe)

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ANNEXE

Cette annexe propose une série de points de vue sur l’enseignement de la physiquechimie en classe terminale scientifique. Ils apparaissent sur le cédérom d’accompagnement sous la rubrique « Textes généraux pour l’enseignant ».

ANNEXE

On peut penser que faire comprendre comment la science « fabrique » du savoir ne fait pas partie de la mission de l’enseignant de science et que ce champ de la connaissance doit être laissé à la philosophie. L’initiation des futurs enseignants de sciences physiques à l’épistémologie et à l’histoire des sciences ne fait que commencer. À défaut de telles approches, l’image de la science auprès des futurs enseignants est bien pauvre : « La science découle des faits et données empiriques, considérés comme des descriptions neutres de situations objectives, existant en dehors de tout cadre théorique2. » « Nous sommes donc face à des étudiants dont la vision de la science s’apparente au positivisme empirique… Leur « science » est une science d’observation, expérimentale, rigoureuse, objective : elle valide peu, elle ne met jamais en doute, elle ne connaît ni erreur ni limite3. » La façon dont un scientifique rend compte de ses découvertes peut être, de ce point de vue, très éclairante. Lorsqu’un chercheur publie le résultat de ses travaux, c’est sous la forme la plus élaborée, la plus achevée possible. Les hésitations, les fausses pistes, les erreurs, les brouillons n’ont pas leur place dans cette présentation, qui vise à la transmission la plus universelle possible. Mais s’il s’agit de transmettre à un public plus large ce qu’est le quotidien de l’activité scientifique, de lui restituer sa dimension humaine, il n’est pas possible de se contenter de la relation des succès. Si la science constituée est faite de « réponses », la recherche vivante est faite de « questions ». Le chercheur est constamment confronté à un savoir qui, aussi large soit-il, est insuffisant, ou n’est pas le bon, puisqu’il ne lui permet pas de répondre à la question qu’il se pose. L’instant de la résolution est en général bref (mais intense !) au regard du temps de la recherche et une réponse trouvée amène une nouvelle question qui relance le processus. L’ouvrage bien connu de James Watson, La Double Hélice, montre tout ce que la relation de cette situation existentielle, lorsqu’elle est réussie, peut ajouter à la compréhension du développement d’un sujet… Dans son « Éloge des théories fausses », Jean-Marc Lévy-Leblond indique pour sa part : « Le travail scientifique réel consiste pour sa majeure partie en un examen d’hypothèses qui se révèlent fausses… L’enseignement scientifique ne peut contribuer, comme il le prétend, à la formation de l’esprit critique que s’il favorise la critique dans la science elle-même et lui offre donc des cibles pertinentes4. »

La science dans l’histoire et la société Le caractère cumulatif des sciences dites « dures » implique qu’elles procèdent à l’actualisation permanente des connaissances qu’elles produisent. L’ancien est sans cesse réinterprété à la lumière du nouveau, et une discipline relativement jeune comme la biologie se présente assez différemment à vingt ans d’intervalle. Au cours de ce processus de mise à jour et d’épuration des connaissances, c’est l’histoire de la discipline qui est intégrée, digérée, incorporée, et une discipline scientifique peut ainsi toujours, du point de vue technique, s’enseigner au présent. Il n’est pas nécessaire de

2. Roletto E., Cros D. et Lefranc B., « La nature de la science : conceptions d’enseignants et de futurs enseignants », in Que savons-nous des savoirs scientifiques et techniques?, actes des XVIIe journées de Chamonix, 27-31 mars 1995, p. 41. 3. Berthou-Geydan G. et Favre D. , « Les attitudes cognitives de la démarche scientifique sont-elles compatibles avec les représentations majoritaires actuelles de la science? », in Que savons-nous des savoirs scientifiques et techniques?, ibid., p. 319. 4. Lévy-Leblond J.-M., « Éloge des théories fausses », in L’Esprit de sel, Seuil, 1996, coll. « Point Sciences ». On remarquera que, dans le Bulletin officiel de juin 2000, le texte qui annonce un plan de rénovation des sciences à l’école primaire assigne aux maîtres comme un des objectifs de l’enseignement des sciences l’apprentissage du doute. Faut-il aller dans ce sens jusqu’à l’éloge de l’erreur de calcul ou de raisonnement? On ignore souvent que Galilée a produit dans sa jeunesse plusieurs versions de la démonstration du théorème de la poussée d’Archimède comportant une grossière erreur de raisonnement sur le volume de fluide déplacé; comme il connaissait le résultat auquel il désirait aboutir, une seconde erreur vint rattraper la première…

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Physique – Classe terminale scientifique

5. Son Discours sur les corps flottants, publié en 1612, a été réédité de son vivant tant les polémiques à son sujet ont été vives! 6. Même dans un contexte aussi extrême que celui de la fabrication de la bombe pendant la seconde guerre mondiale aux États-Unis, scientifiques et militaires se sont opposés quant à la libre circulation des idées entre les différents centres impliqués, les premiers répondant aux craintes de fuite des seconds que l’absence d’échanges et de confrontations entre chercheurs serait bien plus préjudiciable à la réalisation du projet que l’éventuelle transmission d’informations à l’ennemi. 7. Roqueplo P., Entre savoir et décision, l’expertise scientifique, INRA éditions, 1997.

De l’usage des textes documentaires… (annexe)

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ANNEXE

passer par l’histoire de l’élaboration des principes de la mécanique au XVIIe siècle pour l’enseigner; il faut probablement éviter de faire repasser les étudiants et les élèves par les modèles mécaniques du champ magnétique et électrique dont Maxwell s’est servi; enseigner la thermodynamique dans l’ordre historique compliquerait bien la tâche des élèves et des enseignants : les processus irréversibles en premier (Fourier et la conduction de la chaleur), puis second principe (avec Carnot d’abord, puis Kelvin et Clausius trente ans plus tard), puis premier principe (avec Mayer, Joule et Clausius). Pourtant, s’il s’agit de restituer la science comme une aventure humaine, une première approche, au lycée, de ce qu’est le débat scientifique est indispensable et permet de restituer la dimension historique de la science. Si Galilée écrit ses ouvrages en italien et non en latin, sous la forme de dialogues plutôt que sous la forme de traités, c’est parce qu’il entend placer la controverse au centre de la constitution de la science nouvelle5. La constitution des sociétés savantes au cours du XVIIe siècle eurent pour fonction première de constituer un public témoin des démonstrations d’expériences intéressantes et d’assurer la communication des résultats à travers l’Europe. La libre circulation et la confrontation publique des idées sont demeurées, depuis, le mode privilégié par lequel la connaissance scientifique progresse, qu’il s’agisse de séminaires, de conférences, d’articles de revues, d’ouvrages de vulgarisation6. La controverse scientifique a pris récemment une nouvelle dimension, sociale cette fois. Le développement scientifique ne procède évidemment pas de la seule logique interne des disciplines et beaucoup a été écrit notamment sur les liens entre le financement des sciences et les besoins du « complexe militaro-industriel », notamment dans la période de la Guerre froide. Plus récemment, apparaissent de plus en plus fréquemment des questions de société dans lesquelles la science est directement impliquée. Les scientifiques sont ainsi de plus en plus souvent sollicités dans des fonctions d’expertise, laquelle se trouve être une pratique de la science, entre savoir et décision, assez différente de celle du laboratoire7. Au laboratoire, le chercheur est maître, dans une certaine mesure, du système qu’il étudie. Il en contrôle les paramètres, les conditions d’étude, les techniques d’investigations, etc. Dans une fonction d’expertise, ce n’est généralement plus le cas. Lorsqu’un conseil général demande une expertise sur l’eau de la rivière voisine, lorsque la société s’interroge sur les effets à long terme de l’introduction dans certains organismes de modifications génétiques, ou sur les effets de l’activité propres aux sociétés les plus développées économiquement sur le réchauffement possible de la planète, l’expert (les experts, faudrait-il dire) est placé en situation de se prononcer sur des systèmes dont il ne maîtrise pas, ou mal, un certain nombre de paramètres. L’expert rend donc un avis caractérisé par une part inévitable d’incertain, voire d’aléatoire, qui doit nécessairement donner lieu à controverse publique et débat contradictoire, et les décisions, qui engagent la population dans son ensemble, doivent être prises dans ce contexte d’incertitude. Dans cette perspective, la lecture et l’étude de textes qui donnent à voir la science comme une construction sociale vivante peut contribuer non seulement à motiver les élèves, mais aussi à donner chair à une culture dont la science serait partie prenante. Pourtant, on peut s’appuyer sur les arguments développés précédemment et proposer la mise en activité des élèves autour de documents écrits afin de poser des questions qui se donnent des objectifs :

ANNEXE

Objectifs d’ordre didactique comme : Textes, questions proposés Motiver

T 2 (Q 4), T 6, T 7

Chercher à repérer les obstacles cognitifs

T 2 (Q 2)

Changer le statut de l’erreur pour en faire le moteur de la connaissance

T 4 (Q 5)

Mener une « archéologie » des concepts et des terminologies

T 1 (Q 5, 6)

Reconstituer des expériences et des objets scientifiques importants

T 3, T 4

Initier l’élève aux activités documentaires

T 1, (Q 1), T 7 (Q 2, 5, 6)

Pallier à l’impossibilité d’une véritable activité de recherche

T3

Initier à la démarche scientifique

T 1 (Q 6)

Objectifs d’ordre culturel comme : Textes, questions proposés Les rapports entre la science, la technique et la société

T 5, T 6, T 7

L’influence des idéologies, de la politique, de l’économie

T 3 (Q 3)

Le rôle des scientifiques dans la société et les problèmes d’éthique La science comme une aventure humaine, une approche du monde parmi d’autres T 5 L’importance des ruptures dans l’histoire des sciences Le rôle des controverses

T 1 (Q 3, 4)

L’histoire d’un concept mort ou vivant La vision que les scientifiques portent sur le « réel », la « vérité », leurs « pratiques », les « modèles »

T 1 (Q 2), T 2 (Q 3), T 4 (Q 2)

Les quelques propositions qui suivent correspondent au programme de physique de terminale. Elles ne prétendent pas à être exhaustives, ni à se donner comme modèle. Elles seront prises comme de simples exemples. Le plus important, dans ces exemples, est sûrement constitué par les suggestions d’exploitation ; chacun saura adapter le questionnement des élèves au contexte de sa classe et aux objectifs qu’il entend poursuivre.

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Physique – Classe terminale scientifique

Que ce soit en électronique des circuits, en mécanique des fluides ou en cosmologie, la simulation numérique sur ordinateur a depuis longtemps acquis ses lettres de noblesse. Son utilisation dans l’enseignement, secondaire en particulier, n’est pas non plus une idée nouvelle8 mais reste source de controverse. Parmi les arguments à son encontre, ceux de voir la simulation remplacer l’expérience et de voir les élèves confondre réel et virtuel, sont les plus souvent cités. Quant aux arguments favorables, ils se limitent souvent à l’évocation de cas où la situation serait irréalisable. Nous voulons ici montrer que les enjeux et les risques associés à l’utilisation de la simulation dans l’enseignement de la physique au lycée ne sont pas ceux qui viennent d’être évoqués et que les potentialités en termes d’activités des élèves sont particulièrement riches. Ce texte vise à mettre en avant quelques éléments de réflexion et à attirer l’attention sur des points délicats.

Simulation support d’activités scientifiques Modélisation et expérimentation sur modèle Si l’on considère que l’activité du physicien, et par là même le souci de l’enseignant de physique, est de mettre en relation les théories et modèles avec le monde réel, alors la distinction de ces deux « mondes » doit être admise. Dès lors, tout comme l’expérience est là pour répondre à la question : « Que dit le réel? », la simulation est l’un des moyens pour répondre à la question duale dans le champ théorique : « Que dit la théorie? » De même que, pour un élève, la manipulation des objets et instruments peut être propice aux apprentissages, la « manipulation des modèles » grâce à la simulation peut l’être tout autant9. Ceci sous-entend que ce que nous considérons ici sous le terme « simulation » fait référence à des utilisations transposées de la physique et non à l’utilisation du mot dans son sens courant, « faire semblant ». En d’autres termes, si dans le langage courant, « simuler » c’est faire apparaître un effet sans aucune cause (simuler la maladie, par exemple), la simulation scientifique traduit en fait la substitution du réel par un modèle. Le lien avec le modèle est donc constitutif de la simulation. Sont donc hors de notre propos certaines animations purement figuratives d’objets ou de phénomènes (spectres « de limaille de fer » au voisinage d’un fil parcouru par un courant, ampoule qui « brille » à la fermeture d’un interrupteur, etc.). Par nature, les questions auxquelles on essaie de répondre grâce à la simulation sont donc d’abord théoriques. Théoriques, parce que, en regard du réel, elles se formulent en termes de « quel modèle permet d’interpréter tel phénomène », mais aussi parce que la simulation ouvre sur des questions d’origine non expérimentale : la question de la charge d’un condensateur dans un circuit purement résistif ou celle de sa décharge dans un circuit comportant une inductance, peuvent en effet être posées d’abord d’un point de vue théorique10. De façon générale, on peut considérer trois niveaux d’extension complémentaires dans les activités qui peuvent être proposées aux élèves. Premier niveau : la modélisation Nous voulons désigner ici l’activité d’élaboration-construction d’un modèle « physique11 ». Avec de nombreux logiciels, il est en effet possible, partant d’une 8. Les premiers travaux sur l’introduction de l’ordinateur dans l’enseignement des sciences physiques, au début des années 1980, portaient précisément sur cet aspect. 9. Bien évidemment, l’efficacité en termes d’apprentissage est fortement dépendante des guidages mis en place par l’enseignant, mais cette remarque s’applique également aux activités « sur paillasse ». 10. Voir l’exemple correspondant sur le cédérom d’accompagnement : « Activités sur modèle : un exemple en électrocinétique ». 11. « Modélisation » n’a donc pas le sens utilisé en ATIDEX (acquisition et traitement informatique de données expérimentales) où le terme désigne la recherche d’une expression mathématique descriptive de mesures.

De la simulation… (annexe)

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ANNEXE

De la simulation… dans/pour l’enseignement de la physique (TG 2)

ANNEXE

« page vide », de construire par association d’objets un système mécanique (pendule pesant, système à deux corps, etc.), un dispositif optique (lunette de Galilée, télescope, doublets, etc.) ou encore un circuit électronique (montage amplificateur avec AO, circuit RLC, etc.). La caractéristique de l’activité réside alors dans les questions de choix des propriétés des objets et de leurs relations : choix d’un pendule simple (ou non) et des forces de frottement, choix de modèles de lentilles (minces ou non), choix de modéliser un circuit par des composants « parfaits », etc. Indiquons ici que le guidage doit être cohérent et permettre l’exercice d’un choix pour l’élève (il n’est donc pas une succession de consignes de manipulation du logiciel). Deuxième niveau : la manipulation de modèle Nous voulons ici désigner l’activité sans doute la plus courante : le modèle est explicité, sa mise en fonctionnement est programmée et l’activité vise l’obtention de résultats (numériques ou graphiques) fournis par le modèle, avec lesquels il convient de se familiariser. Ainsi, par exemple, l’équation générale de la trajectoire parabolique d’un objet dans le champ de pesanteur peut donner lieu à des activités où l’on modifiera les paramètres initiaux pour étudier l’altitude, les variations d’énergie, etc. De même, à un niveau supérieur, la modélisation des interférences à l’infini par N sources conduit à une expression mathématique explicite qui peut être manipulée pour voir l’effet de la valeur de N. De même encore, l’association de résistances en réseau R-2R peut-elle être étudiée au niveau du modèle. Troisième niveau : l’investigation de modèle ou l’expérimentation sur modèle On peut en effet aller au-delà de la situation décrite précédemment : la mise en fonctionnement du modèle via le logiciel permet d’en explorer les propriétés, mais pas seulement celles « préprogrammées », mais aussi celles qui en découlent. Un modèle microscopique (modèle particulaire avec interactions plus ou moins complexes) peut être programmé, mais l’activité vise l’étude de propriétés macroscopiques (pression, volume et température12). De même, la programmation d’une simulation reposant sur les équations différentielles locales (dans l’espace et dans le temps) conduit à des calculs de positions et vitesses qui ne « contiennent » pas les intégrales du mouvement : vérifier alors que la trajectoire est une ellipse et que T2/a3 est une constante nécessite le relevé de valeurs puis quelques calculs spécifiques… Il s’agit-là d’une activité scientifique, où « mesures sur modèle » et calculs peuvent être nécessaires à l’analyse13. Notons qu’il y a lieu ici d’être vigilant sur la cohérence entre l’activité et le fonctionnement du logiciel : quel sens y aurait-il, par exemple, à faire découvrir la conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie sur une appliquette simulant un choc par application même de ces lois, à découvrir le principe d’inertie avec un logiciel fondé sur la résolution numérique de la seconde loi de Newton ou à rechercher une relation entre angles d’incidence et de réfraction à l’aide d’un programme dont les calculs utilisent les lois de Descartes? Remarquons ici que, si une activité de modélisation peut conduire à l’élaboration d’un modèle qui fera l’objet ensuite d’une activité de manipulation ou d’investigation, elle peut aussi être menée de façon indépendante : les objectifs de l’activité peuvent porter précisément sur les activités d’invention, de choix, de test d’hypothèse, sans que « l’objet » final constitue en soi un objet d’apprentissage. La situation n’est pas différente d’activités sur paillasse où la réalisation d’une série de mesures peut avoir pour but la détermination d’une grandeur, alors que les objectifs d’apprentissage concernent la méthode. De même, la manipulation d’un modèle peut être proposée sans que l’étape d’élaboration « informatique » n’ait été confiée aux élèves et peut ne pas conduire à une recherche de nouvelles propriétés : l’objectif peut être l’aide à la mémorisation ou à l’élaboration de représentations mentales. Nous y reviendrons dans la suite. 12. Ceci sous-entend que ces grandeurs sont définies et ce de façon à être reliées au modèle microscopique. 13. L’exploration peut ne pas se limiter à l’étude de cas « standards » : l’application de lois de forces imaginaires permet de montrer les paramètres qui président aux différentes propriétés des mouvements; de même l’augmentation de la constante de gravitation peut-elle permettre de mieux comprendre certains effets.

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Physique – Classe terminale scientifique

Il est donc clair que la manipulation d’un système simulé n’est que la manipulation du modèle et rien d’autre. « Lancer un objet » dans une simulation en mécanique, c’est en fait manipuler le théorème du centre d’inertie (au moins), « faire passer un rayon dans un prisme », c’est manipuler les lois de Descartes, « étudier le courant dans un circuit composé de deux résistances », c’est explorer les conséquences de la loi d’Ohm, etc.14 Encore faut-il le bien faire comprendre aux élèves. Ainsi, la première condition requise est-elle d’informer les élèves du modèle qui est mis en fonctionnement. Ceci requiert que la documentation scientifique du logiciel soit suffisante, une explicitation complète du modèle étant évidemment la situation la meilleure. Ainsi, en classe terminale scientifique, les lois de la mécanique sont connues et l’on peut, avec certains logiciels, bien montrer qu’elles fondent la simulation. Si le modèle s’avère être trop complexe pour les élèves, il convient néanmoins de leur faire comprendre ce qui est à la base, quels sont les paramètres sur lesquels on joue. En l’absence d’un minimum d’information, les élèves pourraient ne pas savoir ce qu’ils sont en train de faire : le jeu sur les valeurs initiales d’un mouvement entraînant la modification du tracé de la trajectoire calculée point par point par une intégration numérique des équations différentielles du mouvement, pourrait-il ne pas être interprété comme l’application du théorème du centre d’inertie, mais simplement perçu comme un résultat purement cinématique (paramétrage des lois horaires y(t) et x(t)), comme une modification de l’équation de la trajectoire (y(x)) ou encore comme le tracé d’un faisceau de courbes purement mathématiques15. En second lieu, il faut également avoir à l’esprit que, si l’on manipule les représentations symboliques et les valeurs des paramètres, ce n’est pas directement le modèle physico-mathématique qui pilote les simulations et représentations sur l’écran, mais son implémentation informatique. La discrétisation des calculs et l’évidente limite de précision qui en résulte peut ne pas être sans influence sur les résultats que l’on obtient. En d’autres termes si, dans tous les cas, on obtient bien les résultats des calculs, il faut s’assurer que ce sont bien ceux du modèle… L’explicitation de méthodes de calcul, au moins dans leur principe, est donc aussi nécessaire. Ainsi, la présentation de la méthode d’Euler est-elle requise (celle-ci devant, de plus, contribuer à donner du sens aux équations différentielles) et la question du choix de la méthode ou du pas du calcul peut-elle être abordée si besoin. L’obtention de trajectoires non fermées dans un champ newtonien, d’une énergie mécanique croissante au cours du mouvement d’un oscillateur ou l’observation d’un objet semblant passer à travers une paroi ne sont en effet pas impossibles avec des paramètres de calcul mal choisis… En d’autres termes, dire que la simulation est en liaison étroite avec la modélisation théorique, c’est dire également qu’elle n’est ni le modèle, ni la théorie. La question de la validation de la simulation apparaît alors comme cruciale (c’est d’ailleurs la question centrale des travaux de recherche sur les méthodes numériques et leurs applications à la modélisation de systèmes complexes). Cette validation doit en principe être faite en référence à la théorie « pure » (résolution analytique, par exemple) ou à l’expérience, mais, notamment dans l’enseignement secondaire, l’expérience n’est parfois pas réalisable (amplificateur non idéal, frottements non nuls, durée trop longue, etc.) et le calcul théorique inaccessible aux élèves… On voit alors que la validation du résultat peut ne reposer que sur deux éléments : la confiance faite au logiciel et l’autorité de l’enseignant qui validera les résultats obtenus16… Il y a donc un intérêt à proposer des activités initiales de prise en main du logiciel où le bon fonctionnement est alors constaté sur des cas connus.

14. On remarquera à ce propos que les représentations figuratives proposées par certains logiciels (dessins réalistes de composants électriques, images photographiques d’instruments, accompagnements sonores de simulations de mouvements, etc.), tout en étant une source de motivation évidente, peuvent précisément constituer un piège… 15. Le risque à la clé étant de laisser croire que, pour paraphraser des commentaires d’élèves et d’étudiants, « de toutes façons, la solution est déjà dans le logiciel ». 16. Ces deux cas de figure sont « classiques » dans l’enseignement.

De la simulation… (annexe)

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ANNEXE

Ne pas confondre la réalité, le modèle et… son implantation informatique

ANNEXE

La simulation comme instrument de représentation La source de représentations mentales Avec les environnements actuels de simulation, l’activité de l’élève s’appuie directement sur l’obtention de représentations graphiques : schématisation-symbolisation de systèmes, obtentions de visualisations-animations de phénomènes, obtention de courbes de variations de grandeurs, etc. Le premier impact que l’on peut évoquer à ce propos est celui de l’aide à la construction de représentations mentales par l’élève. Les exemples sont nombreux et variés. Ainsi, en optique géométrique, le bon positionnement de lentilles sur une paillasse nécessite de se représenter le faisceau lumineux et ses transformations. La possibilité de tracer des représentations de nombreux rayons et de faisceaux, et de les modifier de façon « interactive », permet une observation attentive et détaillée du comportement du modèle, et la mémorisation des principales propriétés géométriques. Sur le plan de connaissances plus théoriques, ces mêmes environnements de simulation permettent de visualiser, par exemple, les notions de champ d’une lunette, de cercle oculaire ou encore le stigmatisme approché de lentilles modélisées par deux dioptres sphériques. L’exemple ci-dessus évoque le cas d’objets que l’élève manipule par ailleurs : objet matériel macroscopique (la lentille), objet théorique représentable sur une feuille (le rayon). Mais la puissance de la simulation réside aussi dans l’étendue des visualisations possibles : étendue du point de vue des échelles (on peut représenter des phénomènes qui se situent à l’échelle microscopique ou à celle de l’univers), étendue du point de vue de la dimension temporelle (simulation d’évolutions temporelles et ce, là encore, à des échelles qui peuvent être très différentes). Citons à titre d’exemple l’application de modèles particulaires : la simulation de l’agitation des particules et de leurs chocs sur les parois permet de visualiser la traduction d’une variation de température ou de volume. Le jeu sur les masses des particules permet d’étudier des situations de diffusion de deux gaz ou, plus marquant encore, de visualiser l’effet de l’agitation de particules légères et nombreuses sur des particules dix fois ou cent fois plus massives : le mouvement brownien… La mise en relation des représentations Le jeu des représentations évoqué ci-dessus peut également être considéré comme un enjeu didactique. On peut en effet considérer que, en référence à l’expert qui passe sans difficulté d’une propriété mathématique à sa représentation graphique et sa traduction en langage naturel, des activités fondées sur la mise en relation des différents modes de représentation peuvent contribuer à une meilleure compréhension et structuration des connaissances chez l’élève. On cherchera donc à élaborer des guides d’activité articulant les différents « registres » de représentation : langage naturel (énoncé verbal de lois, théorèmes, propriétés), formalisme mathématique (expressions physico-mathématiques), représentations figuratives (illustrations), représentations symboliques (schémas), valeurs numériques (tableaux de valeurs, constantes), courbes et graphiques (représentations graphiques de mesures, de propriétés, etc.)17.

À titre de conclusion La simulation numérique apparaîtrait donc comme l’instrument permettant des activités de manipulation de modèles, ainsi concrétisés, dont on peut faire l’hypothèse qu’elles sont favorables à l’acquisition de connaissances théoriques. Le premier intérêt de ces activités de simulation est en fait très général et de même nature que celui des activités expérimentales « sur paillasse » : les élèves sont actifs, c’est-à-dire acteurs et donc intellectuellement impliqués. Mais ceci n’est pas pour autant « automatique » : l’implication de l’élève, le travail d’évocation des théories et modèles doivent être suscités par une planification spécifique de l’activité par l’enseignant.

17. Voir conférence lors du séminaire national TICE et sciences physiques, Bordeaux, 2000.

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Physique – Classe terminale scientifique

Pour aller plus loin… Les utilisations de la simulation dans l’enseignement de la physique-chimie, et plus généralement celle des méthodes numériques, ont donné lieu à de nombreuses publications, sous forme d’ouvrages, d’articles de revues d’actes de colloques ou encore de dossiers électroniques accessibles via Internet. Nous donnons ci-dessous une première série de références aisément accessibles, dont la plupart contiennent des références complémentaires.

Bibliographie Livres – BEAUFILS D., JOURNEAUX R., Physique et informatique, Versailles, CRDP-CARFI, 1990. – BEAUFILS D., RICHOUX H., Intégration de l’ordinateur outil d’investigation scientifique dans l’enseignement des sciences physiques au lycée, INRP, coll. « Document et travaux de recherche en éducation, n° 20 », 1996. – DEPONDT Ph., Physique numérique. Le calcul numérique sur ordinateur au service de la physique : une introduction, Vuibert, 1998. – GIRAULT B., Des clés pour l’électronique. Travaux dirigés illustrés par simulation, Ellipses, 1998. – INRP-UdP, Les Outils informatiques d’investigation scientifique dans l’enseignement des sciences physiques, INRP-UdP, 1995. – Intégration d’outils informatiques dans l’enseignement des disciplines : physiquechimie, Caen, CRDP, 1998. Articles – BUTY C., GAIDIOZ P., « Formation optique des images : modélisation informatique et expériences de physique », in Actes des VIIIe journées nationales Informatique et Pédagogie des sciences physiques, UdP-INRP, 1998, p. 171-174. – DURANDEAU J.-P., SARMANT J.-P., « De l’expérience à la simulation », in Actes des VIIe journées nationales Informatique et Pédagogie des sciences physiques, UdPINRP, 1996, p. 25-32. – JOUBERT R., REBMANN G., « L’atelier-schéma d’optique géométrique : un micromonde et son environnement d’apprentissage », in Actes des VIIIe journées nationales Informatique et Pédagogie des sciences physiques, UdP-INRP, 1998, p. 183-186. – MEHEUT M., « Enseignement d’un modèle particulaire cinétique de gaz au collège. Questionnement et simulation », Didaskalia, 1996, n° 8. – MILOT M.-C. (coord.), « De nouveaux outils supports de modélisation et de simulation : Stella, Interactive Physique », in Actes des VIIIe journées nationales Informatique et Pédagogie des sciences physiques, UdP-INRP, 1998, p. 75-84.

De la simulation… (annexe)

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ANNEXE

Pour ce qui concerne les aspects plus spécifiques, on peut tenter de résumer un certain nombre de conditions pour une intégration de la simulation dans la panoplie des outils d’investigation scientifique comme suit : – Considérer les environnements de simulation comme un domaine distinct des plans théorique et empirique : l’activité y a donc un statut spécifique. – Utiliser un tel outil en fonction des éléments de physique requis pour l’intelligibilité du modèle : les conditions doivent faire partie des connaissances des élèves. – Bien expliciter le modèle qui est utilisé et s’assurer que les étudiants en ont bien compris la nature et le mode de prise en compte dans le logiciel. – Penser à une appropriation-familiarisation par la pratique : il doit être utilisé au plus tôt, si possible dès le début des activités sur un domaine, et son utilisation doit passer par l’exploration sur des cas connus des élèves ou étudiants. – Donner les informations sur le fonctionnement du modèle « informatisé » et, si besoin, donner les explications relatives au principe de programmation de la résolution des équations.

ANNEXE

Internet Éducnet : – liste de logiciels de simulation RIP : www.educnet.education.fr/phy/logiciel/simul.htm – PNF, « Apport de la simulation dans les apprentissages expérimentaux » : www.educnet.education.fr/phy/simulation/intropnf.htm – PNF, « Intégration des technologies de l’information et de la communication en physique-chimie et mathématiques : approche interdisciplinaire » : www.educnet. education.fr/pnf/lyon98/ Éduscol : – L’enseignement des mathématiques en liaison avec les autres sciences (J. Treiner) : www.eduscol.education.fr/D0030/k0d02x.htm – Les TIC dans les nouveaux programmes de sciences physiques (J. Treiner) : www.eduscol.education.fr/D0030/k0d01x.htm – Théorie, modèle et approximation en physique (J. Treiner) : www.eduscol.education.fr/D0030/k0d05x.htm INRP-TECNE : – Utilisation de la simulation dans l’enseignement de la physique et de la chimie et différents exemples de logiciels (mécanique et optique, notamment) : www.inrp.fr/Tecne/Acexosp/Actsimul/Introsim.htm – Exposé sur la simulation dans l’enseignement de la physique : www.inrp.fr/Tecne/Savoirplus/Rech40123/simulation/intro.htm Séminaire TICE et sciences physiques, IUFM de Bordeaux : – Les TIC dans les nouveaux programmes de sciences physiques (J. Treiner) : www.aquitaine.iufm.fr/fr/14-actualite/01-seminaires/03-scphy/gtd/treiner.pdf – Des logiciels de simulation pour modéliser et expérimenter sur modèle : quels enjeux pour les apprentissages? (D. Beaufils) : www.aquitaine.iufm.fr/fr/14-actualite/01-seminaires/03-scphy/

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Physique – Classe terminale scientifique

Le programme de classe terminale scientifique inclut la présentation d’une méthode simple de traitement numérique d’équations différentielles : la méthode d’Euler. Nous proposons ici quelques éléments de réflexion sur l’intérêt de ce type de méthodes, tant du point de vue du scientifique que de celui de l’enseignement, et quelques informations techniques illustrées par l’utilisation d’un tableur.

Initiation aux méthodes numériques en physique Exprimé dans la langue naturelle, le déterminisme appliqué à un système physique peut se formuler ainsi : l’état du système à un instant donné dépend de son état à l’instant antérieur et des actions qui s’exercent sur lui. L’expression mathématique de ce déterminisme, dans le cadre du programme de terminale scientifique, c’est l’ensemble constitué par une équation d’évolution, c’està-dire une équation différentielle, et les conditions initiales. Ces notions sont nouvelles pour les élèves, de même que la notion d’état. En réalité, comme on va le voir, c’est le cadre théorique dans lequel on travaille qui détermine ce qu’est un état. Cette mise en place du déterminisme date de l’élaboration des lois de la mécanique par Newton. Elle se généralise à d’autres évolutions temporelles (systèmes électriques, décroissances radioactives). La méthode d’Euler est, dans son principe, une méthode générale de résolution d’équations différentielles. Elle constitue un outil particulièrement intéressant pour concrétiser les différentes notions en jeu et leur donner du sens. En outre, c’est la méthode la plus simple pour obtenir une solution approchée de l’équation d’évolution, pour laquelle il n’existe en général pas de solution analytique, c’est-à-dire s’exprimant à l’aide de fonctions simples. La qualité de l’approximation doit évidemment être discutée à chaque fois. Le principe de la méthode consiste à travailler avec des différences finies. Ainsi, dans le cas de l’équation de la dynamique appliquée à un objet de masse M, de taille négligeable, se déplaçant sur une droite x’x et soumis à une force portée par cette droite on écrit : fx = Max, où fx est une fonction connue de la coordonnée x et ax désigne la dérivée de la vitesse, ax = dvx/dt. La méthode d’Euler, appliquée à ce problème, consiste à remplacer cette équation par le couple d’équations dites « aux différences finies » : vx = ∆x/∆t, fx = M∆vx/∆t, où l’intervalle de temps ∆t est « petit » en un sens qu’il faut préciser, compte tenu de la précision demandée. Si l’on connaît la position et la vitesse à l’instant t, on progresse dans le temps en choisissant un pas en temps ∆t et en calculant de façon itérative les quantités : ∆x = vx∆t, ∆vx = fx∆t/M, qui permettent de déterminer la nouvelle vitesse et la position à l’instant t + ∆t : vx(t + ∆t) = vx(t) + ∆vx, x(t + ∆t) = x(t) + ∆x, et ainsi de suite de proche en proche. On voit bien, dans la mise en œuvre pratique de la méthode, qu’on ne peut progresser que si l’on connaît position et vitesse à l’instant t. Dans ce cas, l’état du système est défini par ce couple (position, vitesse). L’action, c’est la force. À chaque instant, position et vitesse jouent le rôle de conditions initiales, mais il suffit de se les donner une seule fois, à l’instant initial, pour que la progression temporelle soit calculable à tout instant ultérieur. Le principe de la méthode se généralise immédiatement à deux dimensions (mouvement de projectile, trajectoire de planète). Dans ce cas, les conditions initiales sont constituées de quatre nombres (deux coordonnées de position, deux coordonnées de vitesse). L’équation de la dynamique, projetée sur deux axes de coordonnées, donne deux équations différentielles. En cohérence avec les notations utilisées en cours de mathématiques, l’indice 1 dénotera la composante sur l’axe x’x, l’indice 2 la composante sur l’axe y’y.

À propos de la méthode d’Euler (annexe)

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ANNEXE

À propos de la méthode d’Euler (TG 3)

ANNEXE

La méthode d’Euler consiste à progresser en calculant pas à pas positions et vitesses : ∆v2 = f2 ∆t/M. ∆v1 = f1 ∆t/M. ∆x = v2 ∆t. ∆x = v1 ∆t. Remarquons que dans le cas d’équations différentielles du premier ordre, il suffit de se donner une seule condition initiale. L’état du système sera donc défini par la donnée de la valeur d’une seule grandeur. Ce sera le cas dans l’étude d’une désintégration radioactive ou dans celle de circuits électriques simples. Nous allons à présent considérer plusieurs exemples concrets et mettre en œuvre la méthode à l’aide d’un tableur. Les exemples traités ici impliquent des équations différentielles du premier ordre. D’autres exemples sont donnés dans le document d’accompagnement de physique, en liaison avec la chute d’un corps dans un fluide visqueux.

« Résoudre » numériquement une équation différentielle ? La résolution d’une équation différentielle est souvent perçue par les élèves comme une question abstraite et ardue. La méthode d’Euler permet de ramener cette résolution à l’application de simples opérations d’addition et de multiplication. Le remplacement d’une relation différentielle à une équation aux différences finies implique que le résultat n’est pas, strictement parlant, une solution de l’équation différentielle : la fonction solution (si elle existe) n’est pas trouvée. On obtient seulement ici une série de valeurs numériques et ces valeurs sont calculées avec une approximation (qu’il faut évidemment contrôler). La nécessité d’articuler les utilisations en physique et la présentation de la méthode (donc sa validité) en mathématiques est alors évidente. Outre le passage d’une méthode abstraite à des opérations simples, l’approche numérique permet de concrétiser les équations différentielles : des exemples simples peuvent être étudiés qui peuvent faire comprendre ce que peut signifier, par exemple, qu’une dérivée dépend de la valeur de la fonction dont elle dépend… C’est ce point de vue que nous adoptons ici, en présentant l’exemple de la décroissance radioactive d’un échantillon. Exemple : désintégration d’un radio-élément Le phénomène de radioactivité s’interprète en considérant que nombre de désintégrations observées pendant une courte durée ∆t dans un échantillon de matière comportant un très grand nombre N d’atomes d’un radio-élément X donné, est en moyenne proportionnel à la fois à N et à ∆t. Le nombre moyen de noyaux N(t) varie donc d’une quantité ∆N(t) donnée par ∆N(t) = – λN(t) ∆t [1].

= 0.18*B2*0.30

= A2+0.3

= B2+C2

Le modèle mathématique de référence (modèle macroscopique) du phénomène radioactif consiste à passer à la limite continue, ce qui conduit à l’équation différentielle N’(t) + λN(t) = 0 [2]. Dès lors, si à une date donnée on connaît le nombre de noyaux, l’expression [1] permet de calculer le nombre de ceux qui disparaissent pendant la durée ∆t. On connaît donc la nouvelle valeur du nombre de noyaux (N – ∆N), qui à son tour, permet de calculer la nouvelle diminution… À partir d’une valeur initiale Nn, on calcule une suite de valeurs de N aux temps ∆t, 2∆t, 3∆t, etc. selon le schéma suivant : N0 → ∆N0 → N1 → ∆N1 → N2… Le calcul n’est alors qu’une itération de multiplications et de soustractions qui peut être facilement programmée, à l’aide d’un tableur18 par exemple. La procédure à itérer est la suivante : Ni+1 = Ni + ∆Ni [4]. ∆Ni = – λNi ∆t [3].

Nous donnons ci-contre, à titre d’exemple, les éléments d’un tel calcul effectué tous les 0,3 j pour la désintégration d’un échantillon contenant initialement 106 atomes de radon-222 (dont la constante radioactive λ vaut 0,18 jour–1). 18. Remarquons ici que le recours au tableur n’est pas obligatoire. Un travail sur calculette ou même à la main est bien sûr toujours possible. L’intérêt du tableur (dont ne disposait pas, à l’évidence, Euler) réside ici dans sa commodité d’emploi et dans sa bonne adéquation avec la méthode de calcul imaginée par Euler.

70

Physique – Classe terminale scientifique

Précision de la méthode Nous avons indiqué que la méthode numérique consistait en un calcul fondé sur une « approximation » et que le pas de l’itération devait être « suffisamment petit ». La question de la qualité des résultats fournis par une méthode numérique est cruciale en particulier pour établir la confiance que l’élève peut accorder à ce type de méthode. À cet égard, on ne peut que souligner à nouveau l’importance d’une introduction coordonnée avec l’enseignement de mathématiques. Rappelons à ce sujet que la méthode d’Euler est introduite dans le cours de mathématiques de la classe de première scientifique. Dans l’exemple que nous avons choisi ici, la question de la précision peut être discutée en comparant les résultats à la solution analytique ici connue et calculable. On peut raisonnablement penser que les deux méthodes donneront des résultats d’autant plus voisins que ∆t sera choisi proche de zéro. Cela peut facilement être vérifié sur les figures ci-dessous qui correspondent respectivement à ∆t = 0,1 j; 1 j et 2 j et pour lesquelles on a tracé, à côté des points fournis par la méthode d’Euler, la courbe représentative de la solution analytique N(t) = N0 · e–λt de l’équation différentielle.

On constate bien que la superposition des points obtenus par la méthode d’Euler et de la courbe exponentielle est quasi parfaite pour la première et que la qualité de cette superposition se dégrade lorsque ∆t devient trop grand. Les résultats de l’étude précédente montrent qu’elle reste acceptable pour ∆t < 0,3 j. Dans certaines situations, la solution analytique n’existe pas ou n’est pas du niveau des élèves. Il reste alors un test qui peut être facilement réalisé et compris : on modifie le pas du calcul (en le multipliant ou le divisant par deux, par exemple). Si le résultat numérique peut être considéré comme inchangé, alors le résultat peut également être considéré comme fiable. Sinon, on choisit un pas plus petit (dix fois plus faible par exemple) et on effectue de nouveau le test.

À propos de la méthode d’Euler (annexe)

71

ANNEXE

On commence par reporter dans les cases des premières lignes (A2 et B2), les valeurs initiales t0 et N0, puis dans les cases (C2 et B3) respectivement les formules correspondant aux relations [3] et [4] ci-dessus. On construit dans la colonne A une échelle des temps. On recopie alors vers le bas le contenu de ces cellules sur environs deux cents à trois cents lignes. Le tableur effectue alors les calculs successifs de N toutes les ∆t secondes. Nous pouvons ensuite obtenir le tracé représentatif des valeurs de N(t) au cours du temps (figure ci-dessous). L’allure de la représentation peut alors faire l’objet d’un retour sur la signification des calculs : le taux de disparition étant proportionnel au nombre, plus le nombre est faible, plus le taux est faible, ce qui peut être interprété de façon graphique sur la « courbe » et sa tangente.

ANNEXE

Par ailleurs, la méthode d’Euler, en tant que méthode au premier ordre, est d’une précision insuffisante pour le traitement de modèles plus complexes : systèmes d’équations différentielles couplées, équations différentielles du second ordre, notamment. D’autres méthodes, dites d’Euler-Cauchy ou de Runge-Kutta, plus précises mais de même nature, ont été élaborées et constituent une amélioration évidente de la méthode de départ. La première consiste, par exemple, à utiliser la valeur de la dérivée en un point milieu et l’approximation est alors à l’ordre 2. Bien que cette méthode soit de même nature que celle utilisée par les élèves pour déterminer la vitesse moyenne en un point (en calculant l’accroissement entre le point précédent et le point suivant), celleci n’est pas au programme tout comme la méthode de Runge-Kutta (ordre 2 ou 4). Ce sont ces méthodes qui sont utilisées dans les logiciels qui permettent de simuler des systèmes mécaniques, comme Interactive Physique par exemple.

Domaines possibles d’utilisation des méthodes numériques? Le programme de terminale scientifique offre plusieurs sujets permettant d’appliquer la résolution numérique d’une équation différentielle : charge ou décharge d’un condensateur, établissement ou rupture d’un courant dans une bobine inductive, chute d’un objet dans un fluide. Une remarque s’impose cependant dans ces cas : à la différence de la désintégration radioactive qui s’appréhende au départ comme un phénomène discret et microscopique, l’équation différentielle rend compte d’une modélisation macroscopique; elle est directement accessible par la théorie et la méthode consiste alors à passer de cette équation à la forme approchée discrète. Ainsi, par exemple, l’étude de l’établissement du courant dans une bobine inductive (d’inductance L et de résistance R) satisfait à l’équation différentielle suivante portant sur la fonction i(t) : di L ----- + Ri = E dans laquelle E représente la f.é.m. du générateur. dt ∆i Le traitement numérique sera conduit à partir de la relation approchée L ------ + Ri = E ∆t et reposera sur le calcul des suites de valeurs (in, ∆in) : ∆t in + 1 = in + ∆in, ∆i n = ( E – Ri n ) ------ , L avec i0 = 0. Lorsque l’analyse peut se ramener à une équation différentielle du premier ordre comme c’est le cas ci-dessus, l’utilisation explicite de la méthode d’Euler est à privilégier. Par ailleurs, et ce de façon générale, les thèmes précédents peuvent donner lieu à des activités différentes : la résolution numérique d’une équation différentielle peut en effet être un outil d’analyse modélisante de données expérimentales ou un outil de pure simulation (manipulation d’un modèle théorique), ce dernier cas n’excluant pas le retour à l’expérience pour confrontation19. Modélisation de l’évolution temporelle d’un système étudié expérimentalement Un exemple de cette activité est présenté dans la partie « Enseignement obligatoire » (page 44). Il concerne la chute verticale d’un objet abandonné sans vitesse initiale dans l’air ou dans un liquide. Dans un premier temps, une étude expérimentale de la chute est effectuée au moyen de l’enregistrement vidéo du mouvement. L’exploitation de cet enregistrement permet d’obtenir les coordonnées d’un point de l’objet pour chacune

19. On pourra se reporter au texte général sur la simulation intitulé « TG2 – De la simulation… dans/ pour l’enseignement de la physique » (page 63).

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Physique – Classe terminale scientifique

Simulation de l’évolution temporelle d’un système L’évolution temporelle des systèmes est, de façon très générale, gouvernée par des équations différentielles qui traduisent des propriétés locales dans l’espace et dans le temps. Au niveau de l’enseignement secondaire, les élèves rencontrent plusieurs équations de ce type20 en mécanique et en électricité, notamment. Et dès lors que la ou les équations différentielles d’un système sont connues, une méthode numérique telle que celle d’Euler permet d’obtenir une représentation temporelle de l’évolution des grandeurs qui caractérisent le système. Les logiciels permettent alors de faire les tracés correspondants en simulant le déroulement du temps : diminution progressive du nombre de « noyaux », mouvement d’un objet dans l’espace (dans le champ de pesanteur ou de gravitation), oscillation de l’intensité dans un circuit LC, etc. Cette simulation peut alors donner lieu à une exploration ou investigation du modèle. L’activité aussi peut donner lieu à des observations qui suggèrent alors une expérience ou la recherche de documents scientifiques : l’étude d’un circuit RLC peut, par exemple, être faite d’abord du point de vue théorique et justifier le retour à l’expérience sur la question du régime critique (voir texte général sur la simulation, page 63). De même que l’on attirera l’attention des élèves sur la valeur du pas du calcul, on pourra montrer, lorsque le logiciel le permet, les possibilités de choix de la méthode de calcul, ceci devant contribuer à bien expliciter le fonctionnement du logiciel (voir texte général sur la simulation, page 64). Le chien de Leonhard Euler La méthode d’Euler permet de résoudre d’autres types de problèmes, comme celui du chien et de son maître. Il s’agit d’une petite application amusante pour laquelle on ne dispose pas d’une solution analytique accessible aux élèves.

y M

S M

vM

? vC α

C

C

O x

20. À un niveau supérieur, on peut traiter des sujets décrits par des équations différentielles d’espace (tracés de ligne de champ) ou par des équations aux dérivées partielles couplant temps et espace.

À propos de la méthode d’Euler (annexe)

73

ANNEXE

des images enregistrées. Le report de ces coordonnées dans un tableur permet de calculer les valeurs successives de la vitesse de l’objet en chute puis de tracer dans le plan (t, v) les points expérimentaux représentant l’évolution temporelle de la vitesse de ce point. Des hypothèses sont alors émises concernant la relation liant la force de frottement visqueux à la vitesse de l’objet. Chacune d’elles conduit à la formulation d’une équation différentielle. La résolution numérique de chaque équation fournit alors autant de courbes théoriques. L’hypothèse retenue est celle qui donne la meilleure superposition entre courbe théorique et points expérimentaux.

ANNEXE

Le maître, en l’occurrence Leonhard Euler, marche d’un pas régulier le long d’un chemin rectiligne en pensant à une méthode d’approximation pour résoudre des équations différentielles. Son chien l’aperçoit et se lance à sa poursuite. En admettant qu’il court à vitesse constante en valeur, quelle va être sa trajectoire? Nous pouvons programmer notre problème en coordonnées cartésiennes. La programmation à l’aide d’un tableur ne pose pas de difficulté particulière. Soient vM et vC les valeurs des vitesses du maître et du chien. La composante selon x’x de la vitesse du maître est constante, celle selon y’y est nulle : vM1 = – vM et vM2 = 0. Pour le chien, il suffit d’écrire les composantes de la vitesse du chien en fonction de l’orientation de CM. xM – xC yM – yC -. -. v C1 = v C ⋅ cos α = v C -------------------v C2 = v C ⋅ sin α = v C ------------------CM CM Les calculs itératifs sont programmés au moyen des relations suivantes : x M n + 1 = x M n + v M1 n ∆t . Tn + 1 = tn + ∆t. x C n + 1 = x C n + v C1 n ∆t . y C n + 1 = y C n + v C2 n ∆t . On trace ensuite les positions correspondant aux coordonnées (xM ; yM) (points bleus) et (xC ; yC) (points roses) et l’on obtient les chronophotographies des mouvements du maître et de son chien.

Bibliographie Internet – Académie de Marseille : http://pedagogie.ac-aix-marseille.fr/physique/sciences_ physiques/Menu/Simulation/Tableur_equations_differentielles/resol_equa_diff.htm – INRP : www.inrp.fr/Tecne/Acexosp/Savoirs/Methnum.htm#equadif – Jean-Paul Quelen, membre du GE de math, a développé sur le site suivant de nombreux exemples d’utilisation de la méthode d’Euler en liaison avec le cours de mathématiques de première et de terminale scientifique : http://perso.wanadoo.fr/jpq/ – Université de Provence : www.up.univ-mrs.fr/~laugierj/euler_up/ – Université Pierre-et-Marie-Curie : www.lmcp.jussieu.fr/enseignement/ye/licence/methodes_num/cours/chap5/ Livres – BEAUFILS D., JOURNEAUX R., Physique et informatique, une approche programmatique, Versailles, CARFI, 1990. – BEAUFILS D., SCHWOB M. (coord.), Les Outils informatiques d’investigation scientifique dans l’enseignement des sciences physiques, INRP-UdP, 1995. – DEPONDT Ph., Physique numérique. Le calcul numérique sur ordinateur au service de la physique : une introduction, Vuibert, 1998. Articles – SERRA G., « Résolution des équations différentielles par les méthodes de l’analyse numérique », Bulletin de l’Union des physiciens, n° 815, 1999, p. 965-976. – TRIGEASSOU J.-C., BEAUFILS D., « Analyse de données, méthodes numériques et sciences physiques », Bulletin de l’Union des physiciens, n° 731, 1991, p. 297-308. – Exposés de synthèse des VIIe journées Informatique et Pédagogie des sciences physiques (Bordeaux, 1996), UdP, fascicule 5, code INF-P39. – Exposés de synthèse des VIIIe journées Informatique et Pédagogie des sciences physiques (Montpellier, 1998), UdP, fascicule 1, code INF-P42 et fascicule 2, code INF-P43. Logiciel – Logiciel Union des physiciens, n° 10, « Les méthodes numériques de résolution d’équations différentielles ». Résumé et bon de commande dans le n° 787 (1996) du Bulletin de l’Union des physiciens.

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Physique – Classe terminale scientifique

Parmi les quatre interactions fondamentales qui structurent le monde naturel, gravitation, interaction électromagnétique, interaction forte et interaction faible, trois sont à l’œuvre dans le noyau de l’atome, les deux dernières l’étant de façon spécifique. Curieusement, la première information en est venue, il y a un siècle, non à partir des noyaux les plus stables qu’elles sont susceptibles d’édifier, mais au contraire des noyaux à la limite de stabilité, les noyaux dits radioactifs. De l’origine de l’énergie solaire au maintien d’une Terre chaude et dynamiquement active, de l’origine des éléments chimiques à celle des rayons cosmiques, de la fabrication d’armes terrifiantes à la production d’énergie, de la gestion des déchets nucléaires à l’imagerie médicale ou la médecine curative, les phénomènes nucléaires ont modifié notre vision du monde et pénétré nombre d’activités humaines. Il est important que les élèves de lycée en aient une première perception, en ce qui concerne tant le phénomène physique que ses applications technologiques et géologiques. Le présent document propose une convergence thématique sur la radioactivité, entre la physique, les mathématiques et les sciences de la Terre. À un premier niveau, la fonction exponentielle, que les élèves découvrent en terminale, s’enrichit à l’évidence d’apparaître dans une expression qui permet d’obtenir l’âge des roches les plus anciennes de la Terre et d’autre planètes du système solaire. De plus, en cours de physique de terminale S, on mesure en diverses occasions des grandeurs physiques dont le taux de variation est proportionnel à la grandeur elle-même : décroissance radioactive, charge et décharge d’un condensateur, effet d’une bobine à induction dans un circuit à courant variable, chute d’un mobile en présence de forces de frottements etc. Il est intéressant que les élèves associent directement cette propriété à la fonction exponentielle. Ceci suggère d’introduire la fonction exponentielle à partir de l’équation différentielle y’ = y. La progression dans le programme de mathématique s’en trouve modifiée, par rapport à la façon de faire traditionnelle où l’exponentielle est introduite comme fonction réciproque du logarithme ou à partir de l’extension des fonctions puissances. La notion d’équation différentielle, c’est-à-dire d’une équation où l’inconnue est une fonction est nouvelle pour les élèves et sera introduite tôt dans l’année. Cette introduction est justifiée par l’exemple de la loi macroscopique de la désintégration radioactive à la fois simple et riche dans ses applications. C’est ce que propose le nouveau programme de mathématiques et que développe le présent document. Du point de vue strictement mathématique, les diverses façons d’introduire la fonction exponentielle sont équivalentes. Elles ne le sont pas du point de vue de la physique et de l’intuition. Le thème « Radioactivité » conduit naturellement à aborder en mathématiques la notion de loi de probabilité à densité continue. La physique aborde la question sous l’angle macroscopique (et empirique) du nombre moyen de noyaux radioactifs se désintégrant dans l’unité de temps. Mais la mise en place du modèle qui, partant des hypothèses de base concernant la désintégration d’un noyau individuel, permet d’établir la loi de probabilité de la durée de vie d’un noyau radioactif est effectuée dans le programme de mathématiques. À l’issue du parcours, on peut voir comment un processus fondamentalement aléatoire peut conduire à un comportement macroscopique déterministe. Si les découpages disciplinaires ont certes leur fonction (après tout, ils correspondent pour une part à la structuration de la nature et à notre façon de l’appréhender), l’exemple de la radioactivité illustre en quoi une recomposition des connaissances relatives à des champs disciplinaires différents accroît les possibilités de compréhension. L’interdisciplinarité est une pratique nécessitant un approfondissement de chacune des composantes, le plus souvent préalable ; il se trouve que le thème radioactivité est l’un de ceux où un travail peut être fait en attaquant le problème de tous les côtés à la fois, sans l’écueil de la superficialité.

Radioactivité… (annexe)

75

ANNEXE

Radioactivité – Une convergence entre physique, mathématiques et sciences de la Terre

ANNEXE

La loi macroscopique de désintégration radioactive Pourquoi certains noyaux sont-ils instables ? La structure des noyaux atomiques (A nucléons dont Z protons et N = A-Z neutrons) résulte de la compétition entre les deux interactions existant entre les constituants : 1) L’interaction forte, attractive, entre nucléons, qu’ils soient neutrons ou protons ; elle est intense, mais de courte portée : éloignés de plus de 3 ou 4 femtomètres (fm, 1 fm = 10–15 m), deux nucléons ne se « voient » plus par interaction forte. Cette interaction, pour des raisons que l’on n’explicitera pas ici, privilégie les noyaux avec un nombre égal de protons et de neutrons (un signe de cette caractéristique peut être décelé dans le fait que le noyau de deutérium, isotope lourd de l’hydrogène (un proton + un neutron) est stable, alors que le « di-neutron » et le « di-proton » n’existent pas). 2) L’interaction électrique (dite « coulombienne ») entre charges électriques de même nature, en l’occurrence les protons. Aux distances en jeu dans le noyau, elle est environ dix fois moins intense que l’interaction forte, mais elle est de longue portée : chaque proton interagit avec tous les autres. Sa contribution à l’énergie totale du noyau est proportionnelle au nombre de couples de protons, soit Z(Z – 1)/2. Comme Z est de l’ordre de A/2, le nombre de couples est de l’ordre A2. Le potentiel coulombien entre deux charges variant comme l’inverse de leur distance, la contribution à l’énergie est ramenée en fait à une dépendance en A5/3. Il résulte de ces caractéristiques que l’interaction forte attractive contribue à l’énergie du noyau par un terme proportionnel au nombre total A de nucléons (chaque nucléon n’interagissant qu’avec ses proches voisins), alors que l’interaction coulombienne répulsive contribue par un terme proportionnel à A5/3 : l’interaction coulombienne, bien que moins intense que l’autre, finit par l’emporter lorsque A augmente. Au-delà d’un certain nombre de protons, les noyaux deviennent instables, et le tableau de Mendeleiev s’arrête. Les valeurs numériques particulières des constantes caractéristiques des interactions expliquent que ce nombre maximum est 92, et qu’ainsi le tableau périodique de Mendeleiev s’arrête, pour les éléments naturels, à l’uranium. Remarques 1) L’énergie d’un noyau comprend d’autres contributions. Par exemple un terme de surface, lié à ce que le nombre de voisins est plus petit en surface qu’en volume, un terme lié à ce que le nombre de neutrons N n’est pas strictement égale à Z, etc. L’argument ci-dessus concerne les deux contributions principales et répond donc qualitativement à la question posée. 2) Un neutron isolé est une particule instable. Sa liaison dans un édifice nucléaire empêche sa désintégration. 3) On sait synthétiser en laboratoire des éléments dits « super lourds » ; le record actuel est Z = 112. Ces éléments ont des durées de vie trop faibles pour être observées ; leur formation est attestée par l’identification des produits de leur désintégration. 4) Les étoiles à neutrons, résidus d’explosions de supernovae, semblent contredire le raisonnement présenté ci-dessus, puisqu’il s’agit de boules de matière nucléaire d’environ 10 km de rayon, ayant en gros la masse du Soleil. Plusieurs considérations sont à prendre ici en compte : d’une part, une étoile à neutrons, contrairement à un noyau atomique, est électriquement neutre ; d’autre part, à l’échelle d’une étoile, la gravitation, loin d’être négligeable comme dans un noyau, devient l’interaction dominante. Elle est également de longue portée, et toujours attractive : c’est elle qui fait qu’une étoile à neutrons forme un système « lié » (stable).

76

Physique – Classe terminale scientifique

ANNEXE

Il est commode de représenter les noyaux atomiques dans le plan (N,Z).

Figure 1

Un noyau est représenté par un point de coordonnées entières. Les noyaux légers sont groupés autour de la droite N = Z, c’est un effet mentionné de l’interaction forte. Les quelques caractéristiques développées ci-dessus permettent de comprendre où se trouvent les noyaux radioactifs dans ce plan : puisque l’interaction nucléaire privilégie les noyaux avec N ≅ Z, les noyaux avec « trop » de protons ou « trop » de neutrons sont instables. Avec trop de protons, ils peuvent être émetteurs β+ (un proton se transforme spontanément en neutron dans le noyau avec émission d’un positron) ou capturer un électron du cortège ; avec trop de neutrons, ils sont émetteurs β– (un neutron se transforme spontanément en proton dans le noyau avec émission d’un électron). Ces deux processus sont gouvernés par l’interaction faible. Enfin ceux qui sont « trop » lourds, vers la fin du tableau de Mendeleiev, sont émetteurs α : ils se transforment spontanément en noyaux plus légers en émettant un noyau d’hélium. La radioactivité γ est une émission de rayonnement électromagnétique, provenant de la désexcitation de noyaux qui ne sont en général pas produits dans leur état d’énergie fondamental. La loi de désintégration radioactive L’expérience suggère que, si l’on considère une population macroscopique de noyaux radioactifs (c’est-à-dire dont le nombre est de l’ordre du nombre d’Avogadro, soit 6 × 1023), le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps ∆t à partir d’un instant t, rapporté au nombre total de noyaux N(t) présents à l’instant t et au temps d’observation ∆t, est une constante λ caractéristique du noyau en question. On peut donc écrire : ∆N(t) = − λ ∆t N(t) A priori, la constante λ pourrait dépendre du temps. Ce serait le cas si un processus de vieillissement était en cause, comme, par exemple, si l’on s’intéresse au nombre de décès dans une population donnée. Le fait que λ ne dépende pas du temps s’interprète comme un processus de « mort sans vieillissement ». En passant à la limite pour un intervalle de temps devenant arbitrairement petit, on écrira l’équation ci-dessus dN(t)/N(t) = – λdt, ou encore dN(t) = – λN(t)dt. On écrira aussi : N’(t) = – λN(t). Les activités expérimentales proposées dans le programme (mesure de la radioactivité du radon, observation de la décroissance temporelle) sont décrites dans la partie du document d’accompagnement propre à la physique. Dans ce texte, l’accent est mis sur la synergie nécessaire entre physique et mathématiques pour une bonne compréhension du phénomène, en particulier concernant les deux aspects suivants : (i) l’étude empirique de la désintégration radioactive conduit

Radioactivité… (annexe)

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ANNEXE

à considérer un objet mathématique nouveau pour les élèves, appelé équation différentielle et (ii) on établit un modèle physique microscopique de la désintégration, qui rend compte de la loi macroscopique observée pour l’évolution de la valeur moyenne du nombre de noyaux existant à un instant donné. Fonctions vérifiant f’ = kf L’équation f’ = kf est une équation où l’inconnue est une fonction : c’est un objet nouveau pour l’élève de terminale. La ou les solutions, si elles existent, sont des fonctions. Il faut remarquer ici que le seul fait de poser une équation n’implique pas qu’elle ait des solutions. Par exemple, les élèves peuvent facilement vérifier qu’aucune fonction polynôme, et plus généralement aucune des fonctions connues à leur entrée en terminale n’est solution de l’équation. On peut donc s’interroger sur l’existence et l’unicité de la solution qui prend une valeur donnée en un point donné. Une première approche peut consister à mettre en œuvre une méthode numérique pour approcher une solution de l’équation, en s’assurant empiriquement de la convergence de la méthode. Dans le cas présent, les équations différentielles sont implicitement abordées dans le programme de mathématiques de première S : on construit à l’aide de la méthode d’Euler une approximation d’une fonction f telle que f’ = g, où g est une fonction donnée, par exemple g(t) = 1/(1 + t2) (aucune question théorique n’est soulevée à ce niveau). En continuité avec le travail fait en première, on peut utiliser la méthode d’Euler pour avoir l’allure du graphe sur l’intervalle [0,t] de la fonction dérivable ϕ vérifiant ϕ’ = ϕ, ϕ (0) = 1. Pour cela, on discrétise l’intervalle [0,t] en n intervalles d’amplitude t/n, et on trace entre 0 et t le graphe d’une fonction affine par morceaux, obtenu en reliant par des segments les points (kt/n, yk), k = 0,…,n, avec :  t y0 = 1 et yk+1 = yk  1 +  n  soit : n k   t t yk =  1 +  , k = 0,…, n en particulier yn =  1 +  n n   (On peut voir une mise en œuvre de la méthode d’Euler sur le site : http://perso.wanadoo.fr/jpq) Du point de vue mathématique, la méthode d’Euler lie donc la valeur de ϕ(t) à celle de la limite éventuelle de la suite de terme général (1 + t/n)n : cette question est traitée dans l’annexe 1, où l’on déduit, de façon rigoureuse, quelques propriétés de ϕ. On passe ensuite à l’étude des équations f’ = kf ; on caractérise les solutions de ces équations ayant pour valeur 1 en 0. Ce sont les fonctions dérivables transformant les sommes en produits. Diverses propositions sont établies, dont les démonstrations sont l’occasion d’approfondir la notion de dérivée, de manipuler cette nouvelle fonction ϕ et de justifier la notation ϕ(t) = et. Il est important de noter à ce sujet que la seule résolution numérique ne permettrait en aucun cas d’établir ces propriétés ! Loi microscopique de désintégration radioactive Ce paragraphe utilise des résultats du cours de mathématiques de terminale : propriétés de la fonction exponentielle, de l’intégrale d’une fonction continue et de la loi binomiale. En physique, l’expérience a permis de poser l’équation suivante : N’(t) = – λ N(t). Où N(t) représente la moyenne du nombre de noyaux présents à l’instant t. On en déduit la loi d’évolution : N(t) = N(0) e–λt. On remarquera que pour toute valeur de t et t0, on a aussi : N(t + t0) = N(t0) e–λt. Autrement dit, l’origine des temps importe peu dans l’étude de ce phénomène : on peut « repartir de 0 » quand on veut, l’équation modélisant l’évolution du nombre moyen d’atomes est toujours la même.

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Physique – Classe terminale scientifique

F(t) =



t

0

f (t)dt et lim F(t) = 1, t→+∞

+,

appelée densité de P. Pour tout intervalle où f est une fonction continue positive sur I = (a,b), a < b, que les bornes a et b soient incluses ou non dans I, on a P(I) = F(b) – F(a). On remarque que F(t) désigne aussi la probabilité pour qu’un noyau se désintègre entre les instants 0 et t. La probabilité qu’il ne soit pas désintégré à l’instant t est donc 1 – F(t). L’hypothèse (3) sera interprétée à partir de la considération suivante du non vieillissement pour un organisme : ne pas vieillir, c’est avoir à tout âge la même probabilité de vivre encore s années. Soit : La probabilité qu’a un noyau non désintégré à l’instant t de se désintégrer dans les s unités de temps suivantes ne dépend que de s ; en particulier, comme cette probabilité ne dépend pas de t, elle est égale à la probabilité de se désintégrer entre les instants 0 et s. Soit encore : La probabilité pour un noyau de se désintégrer entre les instants t et t + s, sachant qu’il n’est pas désintégré à l’instant t, est égale pour tout t à la probabilité de se désintégrer entre les instants 0 et s. Cela s’écrit : PIt(]t,t + s]) = F(s), où It est l’événement « le noyau n’est pas désintégré à l’instant t ». La probabilité de It est, comme indiqué ci-dessus, 1 – F(t) ; or : P(]t,t + s]) = (1 – F(t)) × PIt(]t,t + s]), (la probabilité de se désintégrer entre t et t + s est égale à la probabilité de ne pas se désintégrer entre 0 et t multipliée par la probabilité conditionnelle de se désintégrer entre t et t + s sachant que le noyau existe encore à l’instant t). Comme P(]t,t + s]) = F(t + s) – F(t), il s’ensuit que : F(t + s) – F(t) = F(s)(1 – F(t)). En posant G(t) = 1 – F(t), il vient : G(t + s) = G(t)G(s). La fonction G est dérivable, elle transforme une somme en produit et vérifie G(0) = 1. D’après les résultats de l’annexe (propriété 3), c’est une fonction expo-

Radioactivité… (annexe)

79

ANNEXE

Considérons maintenant ce qui se passe à l’échelle des noyaux et cherchons à établir un modèle microscopique de la désintégration. L’observation montre que le nombre de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps t est une quantité aléatoire et on fera donc l’hypothèse que la durée de vie d’un noyau d’une substance radioactive donnée est elle aussi une quantité aléatoire. Le taux de désintégration N’(t) est proportionnel au nombre de noyaux présents : une interprétation est que les désintégrations des noyaux sont indépendantes les unes des autres. Le taux de désintégration des noyaux, rapporté au nombre de noyaux présents, soit N’(t)/N(t), est constant au cours du temps. Les noyaux, en quelque sorte, ne « s’usent » pas, ne « vieillissent » pas : leurs propriétés demeurent constantes au cours du temps. On peut alors, pour une substance radioactive donnée, proposer un modèle microscopique de désintégration des noyaux fondé sur les hypothèses suivantes : 1) La durée de vie d’un noyau est modélisée par une loi de probabilité, la même pour tous les noyaux d’une même substance radioactive. 2) La désintégration d’un noyau n’affecte pas la désintégration d’un autre noyau. 3) Un noyau se désintègre sans avoir « vieilli ». La durée de vie est une quantité aléatoire, qui peut-être modélisée par une loi de probabilité sur l’ensemble des nombres réels positifs. Les élèves ont vu en première la notion de loi de probabilité sur un ensemble fini, loi caractérisée par la probabilité de chaque élément ; la généralisation de cette notion de loi de probabilité à des intervalles de , bornés ou non, est délicate. On trouvera dans le document d’accompagnement de mathématiques une approche pour la classe terminale scientifique de la notion de loi de probabilité à densité continue. Nous cherchons dans ce paragraphe une telle loi P pour modéliser la durée de vie des noyaux d’une même substance radioactive. On notera F(t) la probabilité pour que la durée de vie d’un noyau soit comprise entre 0 et t, soit F(t) = P([0,t]). La loi de probabilité P étant à densité continue, on peut écrire :

ANNEXE

nentielle : G(t) = eat. Comme F est positive et bornée par 1, G est bornée par 1, et on peut écrire a = – α, où α est strictement positif. D’où G(t) = e–αt et F(t) = 1 – e–αt. La densité f est la dérivée de F ; la densité de la loi de probabilité modélisant la durée de vie d’un noyau qui meurt sans vieillir (on peut dire aussi qui ne s’use pas) est donc donnée par f(t) = αe–αt, où α est un paramètre strictement positif. On dit que P est une loi de probabilité exponentielle. Remarques 1) La probabilité qu’a un noyau existant à l’origine de se désintégrer entre t et t + s est donnée par : P([t,t + s]) = e–αt(1 – e–αs) = e–αtP([0,s]). Cette probabilité dépend de t et tend vers 0 lorsque t tend vers l’infini : c’est normal, car la probabilité de se désintégrer entre 0 et t tend vers 1 lorsque t tend vers l’infini. En particulier, P(]n ; n + 1]) = (1 – p)np, où p est la probabilité de désintégration en une unité de temps, soit p = 1 – e–α. 2) Un exemple d’absence d’usure dans le cas discret : On lance un dé toutes les secondes : par analogie avec le cas de la radioactivité, on dira que s’il tombe sur 6, il se désintègre, et l’on arrête. L’absence d’usure (ou le non-vieillissement) est ici très intuitive: sachant que le dé n’est pas désintégré à la seconde n, la probabilité qu’il se désintègre à la seconde n + 1 vaut toujours p = 1/6 ; la probabilité qu’il se désintègre à la seconde n + 1 est P(n + 1) = (1 – p)np. La loi de probabilité définie sur * par P(n) = (1 – p)n–1p est appelée loi de probabilité géométrique. 3) L’espérance (moyenne théorique) d’une loi de probabilité (p1,…,pN) sur E = {e1,.,eN} est µ = ∑piei. On définit de même, si elle existe, l’espérance ou moyenne théorique µ d’une loi de probabilité sur + de densité f, par : µ =



+∞

0

tf(t)dt. Pour f(t) = αe–αt, une intégration par parties montre que µ = 1/α ; on

peut écrire f(t) = (1/µ)e –t/µ . Autrement dit, si on mesure les durées de vie d’un grand nombre de noyaux, la moyenne de ces durées sera voisine de 1/α. La médiane τ de la loi de probabilité P, appelée ici temps de demi-vie, est égale à µ ln(2).

Du microscopique au macroscopique La loi de probabilité du nombre de noyaux qui se désintègrent entre les instants 0 et t, t fixé, est une loi binomiale B(n, p) avec n = N(0) et p = F(t) = 1 – e– αt. L’espérance (moyenne théorique) de cette loi est donnée par le produit np, soit ici nF(t) = N(0)(1 – e–αt); cette espérance peut aussi s’écrire N(0) – N(t), où N(t) est l’espérance du nombre de noyaux à l’instant t. On a donc : N(0) – N(t) = N(0) (1 – e–αt). D’où : N(t) = N(0) e–αt On en déduit que : α = λ, où λ est la constante apparaissant dans la loi empirique de désintégration. Remarques 1) L’échelle microscopique est ici celle des noyaux ; l’échelle macroscopique est, à un instant t fixé, celle du nombre N(t) de noyaux non désintégrés de la substance radioactive considérée (N(t) est de l’ordre de 1023). On peut aussi dire qu’à l’échelle macroscopique les hypothèses du paragraphe précédent permettent d’appliquer la loi des grands nombres : La proportion X(t)/N(0) du nombre exact de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps t est proche de la probabilité F(t) de désintégration d’un noyau entre les instants 0 et t. Soit : X(t) ≈ F(t) , où F(t) = (1 – e–λt). N(0)

80

Physique – Classe terminale scientifique

Datations Les demi-vies des noyaux radioactifs couvrent une gamme étonnamment large de valeurs, comme le montrent les quelques cas suivants : Uranium-238 4,5 × 109 ans Plutonium-239 2,4 × 104 ans Carbone-14 5 730 ans Iode-131 8 jours Radon-222 3,8 jours Radon-220 56 s Polonium-213 4 × 10–6 s Beryllium-8 1 × 10–16 ans Remarque – On peut se demander comment il est possible de mesurer des demi-vies de l’ordre du milliard d’années. Un calcul d’ordre de grandeur des taux de désintégration escomptés permet de fixer les idées. Considérons un échantillon de 238 g d’uranium-238. Il contient environ 6,02 × 1023 noyaux d’uranium. Le taux de désintégration (par émission α) – dN/dt = λN(t) = N(t)ln2/τ1/2 est donc de l’ordre de 500 000 par seconde. En mesurant ∆N(t)/∆t, on peut donc avoir accès à τ1/2. Les sources d’incertitude proviennent bien sûr de la détection. Cette variété de valeurs des demi-vies est une chance, car elle permet d’effectuer des datations pour toutes les échelles de temps nécessaires. Décrivons brièvement la méthode de datation dite « au carbone-14 ». Datation au carbone-14 Le carbone-14 est produit en haute atmosphère lors de réactions nucléaires induites par des protons rapides d’origine galactique. Lors de ces réactions, des neutrons rapides sont libérés, qui peuvent être capturés par les noyaux d’azote de l’air selon le schéma : 14 7

N + n→146 C + p.

Radioactivité… (annexe)

81

ANNEXE

On peut quantifier ceci, en approchant la loi binomiale par une loi normale ; ainsi, si N(0) = 1023 et F(t) = 10–3 :   1 X(t) Probabilité  1 − > 10 −9  < 10 −15 ! F(t) N(0)   Les fluctuations de X(t) sont négligeables par rapport à son espérance, i.e. devant N(0)F(t) (dans la mesure où N(0)F(t)est suffisamment grand, soit λt pas trop petit, pour que cette phrase ait un sens). La désintégration des noyaux est un phénomène aléatoire, mais au niveau macroscopique, on peut dans ce cas négliger les variations ; ainsi, le même phénomène (la désintégration des noyaux), suivant l’échelle où on l’observe, fait l’objet d’un modèle probabiliste (échelle microscopique) ou déterministe (échelle macroscopique) où on ne raisonne plus que sur des espérances (moyennes théoriques). 2) Il est normal que la traduction au niveau microscopique de l’absence d’usure observée au niveau macroscopique permette de retrouver l’équation N(t) = N(0)e–λt, mais encore fallait-il le vérifier. Du point de vue épistémologique, le cheminement est semblable à celui qui va des équations de la mécanique à l’établissement des lois que Kepler a établies empiriquement sur la base des observations de Tycho Brahé. Mais il est légitime de vouloir aller plus loin, et de chercher à comprendre pourquoi « les noyaux meurent sans vieillir », autrement dit, de chercher pourquoi leur désintégration ne résulte pas d’un processus de vieillissement. C’est Gamow qui le premier, en 1928, a utilisé la toute nouvelle mécanique quantique pour comprendre l’émission α : il s’agit d’une traversée de barrière d’énergie potentielle (d’origine coulombienne) par « effet tunnel ». La mécanique quantique, théorie irréductiblement probabiliste, conduit à la fois à la loi exponentielle et à la détermination de la valeur de la constante λ, à partir des caractéristiques de la barrière de potentiel. Elle permet de comprendre également la variété des valeurs de λ, d’un nucléide à un autre : en effet, la transmission à travers une barrière par effet tunnel est très sensible (exponentiellement sensible, en réalité) à des petites différences dans l’allure de cette barrière.

ANNEXE

Ce carbone-14 est produit régulièrement. Il est en proportion à peu près constante et connue dans les environnements terrestres où l’on trouve du carbone en contact avec l’atmosphère : gaz carbonique, plantes, corps humain. La proportion est de 1,3 × 10-12 noyaux de carbone-14 pour 1 noyau de carbone-12. Lorsqu’un individu ou une plante meurt, son métabolisme cesse et son carbone n’est plus renouvelé. Par conséquent le carbone-14 qu’il contient se désintègre, en redonnant un noyau d’azote-14, et ceci avec une demi-vie de 5 730 ans. Il suffit de mesurer la proportion dans les restes (os, cheveux, bois) pour connaître l’époque de la mort. On peut ainsi dater des événements qui se sont déroulés il y a plus de quelques milliers d’années. Au-delà de 30 000 à 35 000 ans, la plus grande partie des noyaux de carbone-14 ont été désintégrés et le comptage ne peut plus se pratiquer. Exemple Dans 1 g de carbone naturel actuel, de masse molaire moyenne 12 g, il y a 6,02 × 1023/12 ≅ 5 × 1022 noyaux. Parmi ceux-ci, environ 5 × 1022 × 1,3 × 10-12 ≅ 6,5 × 1010 sont des noyaux de carbone-14. Le taux de désintégration – dN/dt = λN(0) est donc de ln(2) × 6,5 × 1010/(5730 × 3 × 107) ≅ 0,26 par seconde (il y a en effet environ 3 × 107 secondes dans une année). Au bout de deux fois la demi-vie, soit 11 460 ans, ce taux est réduit d’un facteur exp(2ln2) = 4. Le taux de comptage mesuré est beaucoup plus faible : il tient compte de la fenêtre d’entrée du détecteur et de l’efficacité de celui-ci. La méthode suppose que le taux de production du carbone-14 en haute atmosphère n’a pas varié entre l’instant initial et le présent. On a pu montrer récemment que ce n’était pas tout à fait le cas, et qu’il fallait effectuer des corrections aux datations obtenues par cette méthode, pour tenir compte des variations des échanges océan-atmosphère d’origine climatique et des variations du champ magnétique terrestre agissant sur le rayonnement cosmique. Le rayonnement cosmique et l’activité solaire ont pu également varier au cours des quelques milliers d’années passées. Depuis la révolution industrielle, l’activité humaine a fortement modifié le taux de carbone-14 présent dans l’atmosphère (combustion d’hydrocarbures d’origine fossile, dépourvus de carbone-14) et les datations doivent bien sûr en tenir compte. Datation par la méthode rubidium-strontium Rutherford, il y a un siècle, fut le premier à avoir l’intuition que la radioactivité, présente dans les roches, pouvait servir à déterminer l’âge de celles-ci. Les roches provenant de l’intérieur de la Terre et métamorphiques (transformées sous l’effet des hautes températures et pressions internes) sont formées de minéraux. Ces minéraux sont composés de constituants majeurs non radioactifs (K, Al, Na, Ca, Si, O, etc.), mais des éléments plus rares susceptibles de présenter des désintégrations radioactives (le rubidium par exemple) peuvent s’insérer dans le réseau cristallin à la place des constituants majeurs (strontium et rubidium à la place du potassium par exemple). Une roche cristallise en une durée très courte à l’échelle géologique, et l’on peut donc considérer que ce processus est instantané. La méthode rubidium-strontium de datation des roches repose sur la désintégration du rubidium-87 en strontium-87. Un neutron du noyau de rubidium se transforme spontanément en proton (le noyau de rubidium devient ainsi un noyau de strontium), avec éjection d’un électron (conservation de la charge) et d’un anti-neutrino : 87 37

87 Rb→ 38 Sr+ −10e + υe .

On dit qu’il s’agit d’une radioactivité de type β–. La demi-vie est de 50 × 109 ans, valeur bien adaptée à la datation de roches cristallisées lors de la formation de la Terre. À partir de la date de cristallisation, date de « fermeture » des minéraux (instant t0 que l’on prendra comme origine des temps) les éléments radioactifs subissent une évolution indépendante dans chacun des minéraux de la roche. Considérons différents minéraux d’une roche datant de la même époque géologique, contenant du strontium-86 et 87, non radioactifs, et du rubidium-87, radioactif.

82

Physique – Classe terminale scientifique

Soient N(87Sr) et N(86Sr) les nombres d’atomes de strontium-87 et de strontium-86 présents dans un morceau de roche, et N(87Rb) le nombre d’atomes de rubidium-87. Conformément à la loi de désintégration, pour chaque morceau de roche, on aura à l’instant t (en prenant l’instant initial t0 comme origine des temps) : N(87Rb) = N(87Rb)initial × exp(– λt) [1] Le nombre d’atomes de strontium-87 formés est égal au nombre d’atomes de rubidium désintégrés soit : N(87Rb)initial [1 – exp(– λt)],

Figure 2

ou encore, en utilisant la relation [1] : N(87Rb) × [exp (λt) – 1]. Le nombre total d’atomes de strontium-87, somme des atomes présents initialement et de ceux provenant de la désintégration du rubidium, est donné par : N(87Sr) = N(87Sr)initial + N(87Rb) × [exp (λt) – 1] On a donc, en divisant par le nombre d’atomes de strontium-86 présents dans l’échantillon actuellement, la relation :  N 87 Sr  = exp( λ t) − 1  86   N Sr  mesuré

[



] NN

87 86

 N 87 Sr  Sr  [2] +  86   Sr  mesuré  N Sr  initial

On reporte les valeurs mesurées à l’instant t (actuel) pour les rapports isotopiques dans différents minéraux dans un plan de coordonnées {x = N( 87 Rb)/N( 86 Sr), y = N(87Sr)/N(86Sr)}. L’équation ci-dessus est celle d’une droite, de pente exp(λt) – 1. Pour pouvoir tracer la droite, et en déduire l’âge t de la cristallisation de la roche, il est nécessaire d’avoir au moins deux échantillons. Les abondances sont déterminées par spectrométrie de masse. Les points expérimentaux s’alignent sur une droite (voir les étoiles dans la figure 2) dont l’extrapolation à l’origine donne le rapport isotopique N(87Sr)/N(86Sr) à l’instant initial de formation (fermeture) de la roche.

Radioactivité… (annexe)

83

ANNEXE

À l’instant initial t0, le rapport isotopique N(87Sr)/N(86Sr)initial est le même pour tous les minéraux de la roche, car les deux isotopes ont les mêmes propriétés chimiques. En revanche la quantité de rubidium et le rapport d’abondance N(87Rb)/N(86Sr)initial varie d’un minéral à l’autre. Ces valeurs initiales sont toutes deux inconnues. Au cours du temps, le nombre d’atomes de strontium-87 augmente en raison de la désintégration des noyaux de rubidium. Comment dater ces roches sans connaître les compositions initiales ?

ANNEXE

Remarque – La pente de la droite, exp(λt) – 1, augmente au cours du temps. Elle est nulle à t = 0. Lorsque le temps s’écoule, la droite pivote autour de l’ordonnée à l’origine. Si l’on choisit les mêmes unités en abscisse et en ordonnée, les points représentatifs des différents échantillons décrivent des segments de droite à 45°, car à chaque fois qu’un noyau de rubidium-87 se désintègre, il apparaît un noyau de strontium-87 (voir figure 3).

Figure 3

La formule (2), qui permet d’obtenir l’âge du Système solaire, est d’une étonnante simplicité : quelques mesures de rapports isotopiques, le tracer d’une droite, et l’âge en découle. Cette simplicité remarquable est à mettre en regard de la somme de connaissances que la formule représente. Il existe de nombreux autres couples d’isotopes utilisés pour la radio-chronologie. Sans être exhaustif, on peut citer le potassium-40 (radioactif β+) qui se désintègre en argon40 avec une demi-vie de 1,2 × 109 ans. L’uranium-238 et l’uranium-235, dont les demi-vies sont respectivement de 4,5 × 109 et 0,7 × 109 années, sont chacun à l’origine d’une « famille radioactive » qui se termine pour l’une avec le plomb-206, pour l’autre avec le plomb-207, deux isotopes stables. Celle du thorium-232, dont la demi-vie est de 14 × 109 années, se termine également avec le plomb-208. À cause de l’altération et de la tectonique des plaques, il n’existe plus aucune roche dont l’origine soit contemporaine de la formation de la Terre et les roches terrestres les plus vieilles datent de 4,1 milliards d’années. Cependant, grâce aux chutes de météorites et aux missions spatiales Apollo, nous disposons d’abondants échantillons planétaires (Lune, Mars, Vesta) qui permettent de dater le Système solaire avec précision. Les âges déterminés à partir de la datation des météorites sont remarquablement cohérents, d’une méthode de datation à l’autre, autour de la valeur de 4,56 milliards d’années.

84

Physique – Classe terminale scientifique

Existence d’une solution de l’équation f’ = f vérifiant f(0) = 1 Théorème : L’équation différentielle f’ = f admet une solution prenant la valeur 1 en 0. La démonstration de ce théorème repose, pour x fixé, sur la fabrication de deux suites adjacentes, l’une croissante, (un(x)), l’autre décroissante, (vn(x)), dont la limite commune définit une fonction vérifiant l’équation différentielle. La suite (un(x)) apparaît lors de l’application de la méthode d’Euler à f’ = f. n −n   x x un (x) =  1 +  et v n (x) =  1 −  . n n   Les démonstrations qui suivent font appel à la propriété  suivante :  : pour tout réel x > –1 et tout entier naturel n, (1 + x)n ≥ 1 + nx. Cette propriété  se démontre soit par récurrence, soit en étudiant la fonction de (1 + x)n – nx et en montrant que ses valeurs sont toujours supérieures à 1. On considérera des valeurs de n supérieures à x. Pour tout x, la suite (un (x)) est croissante. Comme : n +1  x  x x x un +1 (x) =  1 + =1+ − , on obtient en reportant :  et 1 + n +1 n n n +1 n + 1 

(

 x  un +1 (x) =  1 +  n + 1 

n +1

    x  1 −   x  n n + 1 1 +    n   

(

)

)

n +1

 x ≥ 1 +  n 

n +1

  1 −   

 n   x  x x x  =  1 +   1 + −  = un (x) n  n n  x   n1 +   n  

l’inégalité étant obtenue par application de la propriété . D’où un + 1(x) ≥ un(x). Pour tout x, la suite (vn(x)) est décroissante. On a : 1/vn(x) = un(– x) ; la suite (un(– x)) étant croissante à partir d’un certain rang, la suite (vn(x)) est décroissante. Les suites un(x) et vn(x) sont adjacentes. x2 un (x) x2 x2  n u (x)  ≤ ≤ 1. En effet, n (voir la propriété ), d’où : 1 − = 1 − 2  ≥ 1 − v n (x)  n v n (x) n n  Donc : 0 < vn(x) – un(x) < [vn(x)]x2/n, et (un(x) – vn(x)) tend vers 0. Les deux suites ont donc même limite. On note exp la fonction qui à x fait correspondre la limite commune des suites (un(x)) et (vn(x)). On a exp(0) = 1. exp(x + h) − exp(x) Il reste à étudier la dérivée de cette fonction ; pour cela, étudions la limite du rapport h lorsque h tend vers 0, x étant fixé, et montrons qu’elle est égale à exp(x). L’idée est de faire apparaître exp(x) dans exp(x + h), et pour cela d’écrire :

 n n   x + h x  1 +  =  1 +  1 + n  n    

  h   x  n1 +   n  

n

  n n   x + h x  h  On suppose h < 1 et n + x > 1. En utilisant la propriété , on a  1 + ,  ≥ 1 +  1 + x n  n    1+   n soit, en passant à la limite : exp(x + h) ≥ exp(x)(1 + h). exp(x) On change h en –h, puis x en x + h. Il vient : exp(x + h)  . 1−h

Radioactivité… (annexe)

85

ANNEXE

Complément : une introduction de la fonction exponentielle

ANNEXE

La combinaison des deux inégalités permet d’écrire : exp(x + h) − exp(x) exp(x) – pour h > 0 : exp(x)   . h 1−h exp(x) exp(x + h) − exp(x) – pour h < 0 :   exp(x). 1−h h d’où le résultat annoncé en passant à la limite pour h tendant vers 0.

Quelques propriétés Soit ϕ une fonction vérifiant ϕ’ = ϕ et ϕ(0) = 1. D’après le paragraphe précédent, il en existe au moins une. Propriété 1 : La fonction ϕ ne s’annule pas. Soit F la fonction définie par F(x) = ϕ(x)ϕ(–x). Sa dérivée est nulle en tout point, car ϕ’ = ϕ. F est donc constante et vaut toujours 1, qui est la valeur de ϕ en 0. D’où le résultat. De plus, ϕ(–x) = 1/ϕ(x). Propriété 2 : Soient a et λ deux réels. Il existe une solution et une seule de l’équation f’ = λf vérifiant la condition initiale f(0) = a. La fonction f définie pour tout réel x par f(x) = aϕ(λx) satisfait les deux propriétés. Supposons qu’il existe une autre fonction g qui les satisfasse également. Formons F(x) = g(x)ϕ(–λx). On vérifie que F’(x) = 0, donc F est constante. Comme F(0) = a, on a F(x) = a. D’où g(x) = a/ϕ(–λx) = aϕ(λx) = f(x). En prenant λ = 1 et a = 1, on voit qu’il n’existe qu’une seule fonction égale à sa dérivée et prenant la valeur 1 en 0. C’est donc la fonction exp. Propriété 3 : Soit f une fonction dérivable sur  telle que f(0) = 1. Les deux propositions suivantes sont équivalentes : i) il existe une constante λ telle que f vérifie f’ = λf ; ii) pour tous réels a et b : f(a + b) = f(a)f(b). Montrons que (i) implique (ii). Soit g définie par g(x) = f(a + x) ; g vérifie g’ = λg et g(0) = f(a). Soit h définie par h(x) = f(a)f(x) ; h vérifie h’ = λh et h(0) = f(a) ; D’après la propriété 2, les deux fonctions g et h sont égales. Montrons que (ii) implique (i). On a f(a + x) = f(a)f(x) ; en dérivant par rapport à x, on trouve f’(a + x) = f’(a)f’(x) ; en prenant x = 0 dans cette dernière égalité, on trouve que, pour tout a, f’(a) = λf(a), soit f’ = λf, avec λ = f’(0). Corollaire : Pour tout nombre réel x, ϕ(x) > 0. On sait déjà que ϕ ne s’annule pas. Le résultat découle alors de : ϕ(x) = ϕ(x/2 + x/2) = ϕ(x/2)2 Une notation pour la fonction exponentielle (fonction exp). On montre par récurrence en utilisant la propriété 3 ci-dessus que pour tout nombre a et tout entier (positif ou négatif) n : exp(an) = (exp(a))n. On convient de noter e le nombre exp(1). On peut alors écrire exp(n) = en. La fonction exponentielle prolonge à  la fonction définie sur  par : n a exp(n)

et garde la propriété de transformer une somme en produit. On convient d’écrire, pour tout réel x : exp(x) = ex. x On remarque que, la fonction x a e étant strictement positive, sa dérivée est partout strictement positive, d’où e > 1. Une valeur approchée de e = lim(1 + 1/n) n est 2,7182818284590452353.

86

Physique – Classe terminale scientifique

Mesurer, c’est faire une expérience où l’on compare une grandeur à une autre grandeur de même nature prise comme étalon.

Les objectifs Parmi les objectifs d’enseignement que l’on peut assigner à la pratique de la mesure dans les sciences expérimentales, il en est deux qui paraissent fondamentaux : – Comprendre que la variabilité associée à la mesure est un phénomène objectif. Si l’on répète plusieurs fois la mesure d’une grandeur, on obtient en général des résultats différents et cette dispersion des résultats est un phénomène normal. À partir d’un ensemble de mesures, on peut calculer une valeur moyenne et un écart type empiriques, ce dernier caractérisant la dispersion. Constater que répéter plusieurs fois une même opération, dans des conditions apparemment identiques, conduit à des résultats différents est surprenant. La surprise appelle explication. On peut chercher l’origine de la variabilité dans trois directions : • la grandeur que l’on cherche à déterminer; • l’instrument et la méthode de mesure; • l’expérimentateur. – Constater que la valeur moyenne de N mesures tend à se stabiliser lorsque N augmente. Faire une mesure, c’est réaliser une expérience qui comporte une part d’aléatoire : chaque mesure est un tirage dans l’ensemble (en général infini) des résultats possibles; il y a fluctuation d’échantillonnage d’une série de mesure à une autre. La valeur moyenne d’une série de mesures est elle-même sujette à fluctuation d’une série à une autre. On constate cependant expérimentalement que l’écart type de la valeur moyenne de N mesures est plus petit que l’écart type associé à une mesure dans un rapport de l’ordre de 1 ⁄ N . Ce second aspect peut être abordé à diverses occasions, mais sa formalisation relève de l’après-baccalauréat. Seul le premier objectif peut constituer un ensemble de connaissances exigibles au lycée. Les lignes qui suivent cherchent à justifier ces objectifs, tout en proposant un vocabulaire simple. En particulier : – On s’abstiendra de toute référence à la notion de « valeur exacte » au profit de la notion de « valeur de référence » ou de « valeur admise ». Il convient ici de distinguer le contexte d’un laboratoire de métrologie des autres contextes. Un laboratoire de métrologie a pour mission, entre autres, de déterminer les valeurs de référence de certaines grandeurs. C’est donc lui qui détermine les valeurs qui deviendront les « valeurs admises » par les utilisateurs, qui les utilisent pour étalonner leurs appareils. – On réservera le terme « erreur » aux erreurs systématiques ou aux fautes du manipulateur. Le mot sera utilisé ainsi avec un sens proche du sens courant : une erreur, c’est ce qu’on peut éviter ou corriger. – Le terme « incertitude » a une connotation négative, à cause de son contraire « certitude ». Les termes « variabilité » et « dispersion » ne possèdent pas cette connotation et sont en réalité plus fondamentaux, car ils renvoient au caractère aléatoire de la mesure. On partira donc de ces notions pour « construire » la notion d’incertitude de mesure. – Il convient de distinguer soigneusement les notions empiriques des notions théoriques : par exemple, à l’issue d’une série de mesures, il est possible de caractériser la dispersion des résultats en calculant un écart type empirique s. Un écart type théorique σ suppose d’avoir choisi un modèle, c’est-à-dire ici une loi de probabilité. Dans la mesure du possible, on détermine l’écart type empirique de façon qu’il soit un bon estimateur de l’écart type théorique.

Variabilité et incertitudes… (annexe)

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ANNEXE

Variabilité et incertitudes dans les mesures physiques (TG 5)

ANNEXE

Variabilité des mesures Les principales sources de variabilité des mesures Explorons brièvement les trois directions repérées en introduction. La grandeur à mesurer En général, elle n’a pas une valeur unique, mais elle est distribuée sur un ensemble de valeurs voisines. Cette distribution ne doit pas alors être considérée comme une erreur, mais comme un fait qui contient de l’information, éventuellement intéressante. Il s’agit là d’une dispersion intrinsèque. Prenons quelques exemples. a) La taille d’un individu : chez un adulte, cette taille varie d’environ un centimètre entre le lever et le coucher (effet de tassement diurne). Elle dépend donc de la précision demandée pour son évaluation. À un mètre près, la grande majorité des adultes mesurent deux mètres. Au millimètre près, il faudra préciser le moment du jour où la mesure est faite. La variable « taille d’un individu en France à notre époque » est une variable aléatoire dont la taille de chaque individu est une réalisation. Le carnet de santé donne la distribution des résultats en fonction du temps, de la naissance à l’âge adulte, et fournit une indication de leur dispersion. b) La largeur d’une table : une table n’est pas un objet mathématique, c’est une table réelle, dont la « largeur » varie selon l’endroit où on la mesure. Cette variation résulte du processus de fabrication lui-même, mais aussi du vieillissement du bois, qui se contracte ici, se dilate là, et se gauchit. On pourra noter les différentes valeurs mesurées, effectuer leur moyenne et observer la distribution des valeurs mesurées autour de cette valeur moyenne. Elle est sûrement plus grande pour une table ancienne que pour une table récente fabriquée en usine, donc la distribution des valeurs est significative. Il y a certes des situations où seule la seule valeur moyenne est pertinente (par exemple si l’on s’intéresse au prix du bois de la table21). c) La température et la pression : ce sont, par construction, des grandeurs qui ont une dispersion. La température, par exemple, est proportionnelle à l’énergie cinétique moyenne des particules du milieu. Or l’énergie cinétique totale, proportionnelle à une somme de variables aléatoires (le carré des vitesses des particules), est une variable aléatoire et sa moyenne également. Pour un système macroscopique, la dispersion est totalement négligeable (elle est en 1 ⁄ N , si N est le nombre de molécules). Elle devient cependant perceptible si l’on diminue le nombre de constituants, comme dans les noyaux atomiques ou les petits agrégats moléculaires ou atomiques. À l’échelle d’une particule, le concept de température n’a plus de sens. Où se situe la transition? Bonne question, sur laquelle des chercheurs travaillent en ce moment même, en étudiant notamment la signature des transitions de phase connues dans des systèmes de petite taille. d) Le nombre d’habitants d’un pays : on a l’impression qu’il s’agit d’un nombre entier parfaitement défini. Il l’est effectivement, à chaque instant, mais quelle est l’échelle de temps de sa variation? Il y a sans arrêt des gens qui meurent, disons 600000 par an en France, à peu près autant qui naissent (un peu plus), et des gens qui se font naturaliser (peu) ou dénaturaliser (encore moins). Ca fait de l’ordre de 1,2 à 1,3 millions de signaux + 1 et – 1 à distribuer dans l’année. Pour obtenir un ordre de grandeur,

21. Parler de « table » n’a de sens que si l’on est capable d’isoler cet objet de son environnement. Or, si l’on se place à l’échelle moléculaire, c’est la notion même de frontière nette entre la table et le reste du monde qui disparaît. On passe de façon continue de l’intérieur de la table à l’extérieur (sur une échelle de quelques distances moléculaires), et d’ailleurs si un bois possède une odeur, c’est bien parce que des molécules le quittent sans arrêt, pour aller poursuivre leur vie dans les narines des promeneurs émerveillés. La notion usuelle de « largeur » perd donc son sens en deçà de l’échelle de quelques molécules, ce qui ne pose pas de difficulté pour la vie quotidienne. Mais notons qu’on met là le doigt sur le fait qu’un concept n’est pertinent qu’à une certaine échelle d’appréhension du monde.

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Remarquons que dans cette discussion, la question de la détermination expérimentale du nombre d’habitants a été laissée de côté. Il est intéressant d’y venir. Le nombre d’habitants à un instant donné existe bien, mais il est cependant impossible à déterminer pratiquement, car le processus de mesure (le recensement) s’effectue sur une échelle de temps bien supérieure à celle des fluctuations qui, comme on l’a vu, est de l’ordre de 25 secondes. On est dans un cas où le temps de réponse de l’appareil est plus lent que le temps caractéristique des variations de la grandeur mesurée. Et ce n’est pas tout. Il reste la question du comptage, nécessairement entaché d’erreurs, des vraies erreurs cette fois (là, c’est de l’expérimentateur qu’il s’agit). Comme on l’a vu dans les élections américaines de 2001, cela peut conduire à des effets rocambolesques, car la décision à prendre requiert une précision plus grande que l’erreur. e) Les raies spectrales : elles ont toujours une « largeur » qui, via la quatrième relation de Heisenberg, est reliée à la durée de vie des états excités. On attribue du reste une largeur en énergie aux états eux-mêmes (qu’il s’agisse de l’échelle atomique, nucléaire, ou de l’échelle des particules dites élémentaires). f) La radioactivité : ce phénomène fournit peut-être le meilleur exemple, en classe de terminale, de phénomène physique présentant une variabilité intrinsèque dont la signification est profonde. Le taux de comptage, dans des conditions expérimentales données, produit par un compteur Geiger ou un photomultiplicateur en présence d’une source radioactive varie de façon aléatoire. L’aléatoire du taux de comptage s’explique par le caractère aléatoire de la durée de vie d’un noyau radioactif et par le processus de « mort sans vieillissement » qui le caractérise (et dont la mécanique quantique rend compte). Mais la valeur moyenne du taux de comptage, pour un intervalle de temps d’observation donné, et sa dispersion peuvent être déterminés avec toute la précision voulue. La dispersion, ici, n’est en aucune façon une « imprécision », elle constitue une des caractéristiques du phénomène23. Notons enfin qu’une dispersion de la grandeur à mesurer peut également résulter de l’influence de paramètres dont on ne contrôle pas la variation : pression ou température lors de la mesure d’un volume, température lors de la mesure d’une résistance, variation temporelle, etc. L’instrument de mesure Il est caractérisé par : – son temps de réponse; – son exactitude, qui se décline en justesse (pas d’erreurs systématiques) et fidélité (caractérisant la variance des résultats qu’il permet d’obtenir); – sa sensibilité. 22. Certains prétendent que ce n’est pas le cas et qu’il y a plus de naissances les soirs de pleine Lune, mais cela ne semble pas être confirmé par l’examen des chiffres dans les maternités! 23. Pour le cas particulier de la radioactivité, on se reportera aux documents d’accompagnement relatifs à la partie « Radioactivité » du programme de terminale scientifique, ainsi qu’au document commun physique, mathématiques et sciences de la Terre.

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supposons que cela se fasse de façon uniforme22. Comme il y a environ 30 millions de seconde dans une année, le nombre d’habitants fluctue sur une échelle de 25 secondes. Si l’on trace le nombre d’habitants en fonction du temps, on obtient donc une courbe en dents de scie (non régulière, car les naissances et les décès ne se répartissent en réalité pas de façon uniforme!). Si l’on effectue une moyenne du nombre d’habitants sur une échelle de temps de quelques dizaines de minutes, on obtient une courbe lissée, et l’on pourra caractériser l’amplitude de la dispersion du nombre d’habitants en considérant la différence entre la courbe vraie et la courbe lissée. Cette dispersion n’est ni une erreur ni une incertitude, elle peut contenir de l’information. Par exemple, y voit-on des effets systématiques, comme par exemple l’alternance des jours et des nuits? Meurt-on plus la nuit que le jour? C’est possible. Si, en revanche, on ne s’intéresse pas à cette échelle de temps, on prendra une moyenne sur un intervalle de temps plus grand. Il restera alors une autre courbe lissée, qui fera apparaître la lente dérive croissante, l’effet des guerres, des épidémies, de l’accroissement de la longévité, etc.

ANNEXE

Faire une mesure, c’est toujours mettre en interaction un appareil avec le système à étudier, c’est donc enregistrer la réponse de l’appareil à une excitation produite par le système. La réponse de l’instrument de mesure met un certain temps à s’établir, c’est le temps de réponse. Pour un phénomène qui varie dans le temps, il faut s’assurer que le temps de réponse de l’appareil est nettement plus petit que l’échelle de variation temporelle de la grandeur à mesurer (voir plus haut le cas du recensement d’une population). Quelques exemples : – Une chauve-souris évalue les distances d’obstacles ou de proies par émissionréception d’ultrasons. Le système n’est efficace que parce que l’intervalle de temps au cours duquel un train d’onde est émis, renvoyé par l’obstacle, reçu par l’animal et décodé par son cerveau est suffisamment bref pour que la position de l’animal pendant ce temps ait peu varié. Sinon, c’est la collision assurée ou l’impossibilité de se nourrir : exit la chauve-souris de la diversité des espèces! – Certaines jauges de pression fonctionnent par déformation d’une membrane qui constitue l’une des armatures d’un condensateur. La mesure de la capacité de ce condensateur est reliée à la pression exercée sur la membrane. Pour pouvoir suivre des variations temporelles de la pression, le temps de réponse de la membrane (réponse mécanique) doit être petit devant l’échelle de temps de variation de cette pression. – Lors d’un titrage acide-base, après chaque ajout de réactif titrant, le temps mis pour atteindre le régime permanent d’échange ionique au niveau de l’électrode de verre est bien supérieur à celui de la transformation chimique. Un appareil de mesure fonctionne bien dans une certaine plage de valeurs de la grandeur à mesurer. Dans la mesure du possible, il faut faire fonctionner un appareil là où sa sensibilité est maximale, c’est-à-dire dans un domaine où une variation de la grandeur à mesurer produit la plus grande variation de l’indication de l’appareil. Dans le cas de la jauge de pression cité plus haut, les limites extrêmes du domaine sont, vers les basses pressions, une déformation de la membrane trop petite pour être mesurée, vers les hautes pressions, la limite d’élasticité de la membrane. Il faut distinguer sensibilité et justesse. Un appareil peut être sensible sans être juste (par exemple s’il est mal calibré). Dans le cas où la grandeur à mesurer à une dispersion intrinsèque négligeable, on dira qu’une mesure est d’autant plus exacte que l’appareil est juste et sa dispersion faible. Les constructeurs fournissent des indications concernant la précision de leurs appareils sous forme d’incertitudes à attribuer aux mesures effectuées (par un opérateur supposé compétent) et il faut se reporter aux notices de fabrication pour connaître le sens précis… de la « précision » indiquée. Les incertitudes sont de nature très variée. Prenons l’exemple d’une boîte de résistances fournie avec une « précision » affichée de 0,5 %. Cette précision recouvre un aspect d’échantillonnage (le fabricant fabrique des milliers de boîtes dont les résistances varient nécessairement un peu d’un exemplaire à l’autre) et un aspect de fonctionnement (la résistance change avec la température du fil, qui dépend elle-même de l’intensité du courant qui le parcourt). Le fabricant donne une limite à l’effet de ces différents facteurs sur la valeur des résistances de la boîte, en moyenne (en moyenne sur l’ensemble des échantillons qu’il fabrique). L’expérimentateur La dernière cause de variation des résultats de la mesure d’une grandeur physique réside dans les appréciations de l’opérateur lui-même. On ne refait jamais la mesure exactement dans les mêmes conditions, parce que l’appréciation de l’opérateur change d’une mesure à la suivante : erreur de parallaxe dans le repérage d’un trait de jauge, effets de ménisque dans une pipette, fatigue, etc. D’une mesure à l’autre, pour un appareil de précision donnée, le résultat varie. On pourra parler de mesure juste si l’opérateur a évité toute erreur systématique. Une mesure peut ainsi être fidèle (dispersion petite) sans être juste (comportant des erreurs systématiques) ou juste (pas d’erreur systématique) sans être fidèle (grande dispersion).

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Approche de la variabilité et de la dispersion des mesures : une stratégie possible Dans la conduite d’une expérience, on est souvent amené à étudier une relation entre différentes grandeurs, soit qu’il s’agisse d’établir une loi empirique, soit qu’il s’agisse, connaissant une loi, de l’utiliser pour déterminer une grandeur inconnue. Ainsi, on peut chercher à établir la relation entre pression et volume pour un gaz à température constante, utiliser la relation entre tension et courant électrique pour l’étude de la résistance d’un fil conducteur, déterminer la variation de la vitesse d’un mobile au cours du temps, etc. Le résultat d’un ensemble de mesures fournit un tableau de valeurs dont on peut faire une représentation graphique. Cette représentation graphique est un excellent outil pour sensibiliser l’élève à la question de la dispersion des mesures et pour élaborer une progression dans sa compréhension. En effet : – L’ensemble des points obtenus, reporté sur un graphique, suggère le plus souvent une courbe régulière, mais qui ne passe en général pas par tous les points : elle peut même ne passer par aucun! Cette constatation peut amener un premier questionnement. Étant entendu que le phénomène peut (doit?) être représenté par une courbe continue, faut-il faire passer cette courbe par tous les points obtenus, au prix d’introduire des irrégularités à petite échelle, ou faut-il au contraire chercher une courbe régulière qui passe « au mieux » par l’ensemble des points mesurés, et donc considérer que les écarts relèvent de l’aléatoire du mesurage? (Les guillemets signalent que les termes « moyen » et « au mieux » sont utilisés ici dans leur acception intuitive; les élèves ne disposent pas des outils permettant de quantifier ces notions, mais la question posée peut cependant être comprise.) Cette question amène naturellement à reprendre quelques points de mesure, pour vérification. On s’aperçoit alors que les nouveaux résultats sont différents des premiers : il y a variabilité d’une mesure à l’autre. Cette constatation doit naturellement amener la réponse suivante à la question posée : il faut rechercher une courbe régulière, qui ne passe pas nécessairement par tous les points mesurés. – Se pose alors la question de la « distance » des points mesurés à la courbe. Si un point est très éloigné, faut-il en tenir compte ou cela signale-t-il une erreur de manipulation? Et que signifie l’expression « très éloigné »? Si les mesures présentent une variabilité, il est clair que la situation idéale serait d’effectuer, pour chaque valeur de la grandeur portée en abscisse, un nombre suffisant (20, 50?) de mesures de l’autre grandeur. On serait ainsi conduit à reporter sur le graphique la valeur moyenne de la grandeur mesurée et l’écart type correspondant aux valeurs mesurées (comme caractérisant la dispersion de la grandeur). Une courbe moyenne qui passe dans tous les intervalles ainsi déterminés peut être considérée comme satisfaisante24. On voit que la notion « d’éloignement » d’un point de la courbe moyenne est relative à l’incertitude expérimentale qui est associée à ce point. – L’étape supplémentaire dans la progression est de s’apercevoir que la dispersion de la valeur moyenne d’un ensemble de valeurs est plus petite que la dispersion des valeurs elles-mêmes. Comme la plupart du temps, il n’est pas possible (ni souhaitable à ce niveau d’enseignement) d’obtenir pour chaque point une statistique de mesures suffisante, cet aspect pourra être discuté lors de la mise en commun, lorsque le travail expérimental s’y prête, des résultats des divers groupes d’élèves. Cette mise en commun doit être assortie de précautions : elle n’a de sens que si les appareils de mesure ont des caractéristiques voisines (statistiquement identiques). 24. On pourra remarquer que la grandeur portée en abscisse est elle aussi sujette à variabilité, si bien que le résultat des mesures apparaît sous forme d’un ensemble de petits rectangles et que la courbe recherchée doit passer « au plus près » de ces rectangles.

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Remarque – Une mesure comporte en général plusieurs opérations dont chacune peut être source de variabilité. Il est important de savoir distinguer les sources de variabilité importante de celles qui sont négligeables : dans le premier cas, il faudra répéter plusieurs fois l’opération, dans le second cas ce ne sera pas nécessaire. S’il faut, par exemple, prélever un liquide avec une pipette et en effectuer la pesée, la source principale de variabilité sera souvent dans l’utilisation de la pipette : on prélèvera plusieurs fois du liquide dont on n’effectuera qu’une seule pesée.

ANNEXE

– Même lorsque l’on ne dispose que d’une mesure par point, une évaluation de la dispersion expérimentale ressort naturellement de la comparaison avec la courbe moyenne. Par un retournement de perspective, l’écart entre les points mesurés et la courbe moyenne permet d’évaluer cette dispersion. – Lorsqu’on utilise un logiciel pour déterminer par exemple les paramètres d’une relation affine entre grandeurs, on obtient des valeurs assorties de valeurs d’écart type. Ces écarts types sont calculées par propagation des erreurs tenant compte des écarts entre points expérimentaux et courbe moyenne.

Valeur moyenne et écart type empiriques Plaçons-nous dans le cas où l’on effectue des mesures répétées d’une même grandeur. Soit X la grandeur mesurée et xi, i = 1 à N, un ensemble de valeurs mesurées dans les mêmes conditions. On peut tracer un histogramme de ces valeurs, qui permettra d’apprécier leur dispersion. On peut aussi faire des moyennes partielles. Par exemple, on groupe les valeurs mesurées par paquet de cinq dont on calcule la moyenne, et l’on trace l’histogramme de ces valeurs moyennes mi(5) (il y en a environ N/5) : on constate alors que les valeurs moyennes sont plus regroupées que les mesures originelles. Si l’on calcule les moyennes de dix valeurs au lieu de cinq, on constate que la dispersion des mi(10) est à son tour plus petite que celle des mi(5), etc. Il n’est évidemment besoin d’aucune théorie pour faire ces observations empiriques. Elles donnent à penser que d’une mesure à l’autre les causes de variabilité se compensent, et que par conséquent la moyenne de plusieurs valeurs est « meilleure » (au sens de sa reproductibilité) que le résultat d’une mesure unique. Il est souhaitable de traiter quantitativement un cas où l’on verra que l’écart type de mi(N) diminue lorsque N augmente (précisons qu’il faut pour cela réaliser plusieurs fois N mesures de la grandeur d’intérêt). On affirmera qu’il en est toujours ainsi, et que la théorie sera faite au-delà du baccalauréat25. On affirmera donc que si m est la valeur moyenne de N mesures et s l’écart type de ces N mesures : 1 1 m = ----- ∑ y i et s 2 = -------------- ∑ ( y i – m ) 2 , N–1 N l’écart type de la valeur moyenne est voisin de s ⁄ N .

Expression du résultat d’un mesurage. Notion d’incertitude S’il est devenu clair pour l’élève que l’opération de mesure, ou mesurage, est une expérience où la grandeur est modélisée par une variable aléatoire, le résultat de cette opération ne peut simplement s’exprimer par un seul nombre : il est nécessaire de caractériser la dispersion de cette variable aléatoire. On appelle « incertitude » l’estimation quantitative de la dispersion des mesures. Dans la pratique, plusieurs cas sont à considérer.

25. L’expérience que constitue une mesure est modélisée par une loi de probabilité P sur l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre (le plus souvent une loi gaussienne). Soit µ la moyenne théorique et σ l’écart type. La loi de probabilité de la moyenne arithmétique m de N mesures est une loi entièrement déterminée par P. Par linéarité de la moyenne, l’espérance de m est µ; comme les mesures sont indépendantes, la variance de leur somme est la somme des variances, soit Nσ2 ; en divisant la somme des mesures par N, on divise la variance par N2 ; la variance de la moyenne arithmétique est donc σ 2 ⁄ N et l’écart type, σ ⁄ N . Ces considérations sont hors programme du lycée.

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Physique – Classe terminale scientifique

C’est le cas le plus fréquent dans la pratique expérimentale au lycée, où l’on étudie souvent un phénomène qui s’exprime par une relation : angle d’incidence et angle de réfraction, courant électrique et tension, vitesse de chute et temps, etc. On fixe l’une des grandeurs à différentes valeurs et l’on mesure les valeurs correspondantes de l’autre grandeur. Une estimation de l’incertitude sur chaque point ressort de la comparaison entre les valeurs mesurées et les valeurs correspondantes sur la courbe représentant au mieux les points expérimentaux. Le cas de la régression linéaire, qui figure dans les calculettes et logiciels scientifiques, est présenté dans l’annexe, où l’on aborde également la procédure de détermination des incertitudes sur les coefficients obtenus lors de cette régression. Cas d’un ensemble de N mesures identiques Soit m la valeur moyenne des N résultats et s l’écart type. Le résultat de la mesure est présenté sous la forme : Valeur moyenne m, incertitude s ⁄ N . Remarques – Il est important de distinguer l’incertitude sur chacune des mesures individuelles (dont la dispersion est caractérisée par s) de celle portant sur la moyenne. Il est important également de noter que l’écriture (m, s ⁄ N ) ne signifie pas que les valeurs déterminées pour la moyenne sont comprises dans l’intervalle ( m – s ⁄ N, m + s ⁄ N ) . Des résultats peuvent être en dehors de cet intervalle. La notion d’intervalle de confiance n’étant pas au programme du lycée, nous ne la discuterons pas ici. Cas d’une grandeur calculée Soit Y une grandeur fonction connue d’une autre grandeur X : Y = f(X). La grandeur X est mesurée, mais pas la grandeur Y. X est modélisée par une variable aléatoire de valeur moyenne a et d’écart type σx. Si l’on connaît la loi de probabilité de X, celle de Y est déterminée. Il est cependant commode de remplacer Y par son approximation Y  f(a) + f ’(a)(X – a). Y est donc approximé par une variable aléatoire de valeur moyenne f(a) et d’écart type σy = |f’(a)|σx. L’approximation est d’autant meilleure que σx/a est petit devant 1. La grandeur Z peut être une fonction de plusieurs variables. Prenons le cas d’une somme de variables aléatoires indépendantes : Z = X + Y. Dans ce cas, les valeurs moyennes s’ajoutent, ainsi que les variances, qui sont les carrés des écarts types. On a donc σ Z =

2 σX + σ Y2 .

Le cas d’une somme de la forme Z = α +βX + γY s’en déduit immédiatement. On a σZ =

2 β 2 σX + γ 2 σ Y2 .

La généralisation au cas d’une relation quelconque Z = f(X, Y), où les grandeurs X et Y sont mesurées et la grandeur Z est calculée, peut alors être faite. Soient a et b les valeurs moyennes estimées de X et Y. L’incertitude sur Z est donnée par l’expression σz =

[ f x′ ( a, b ) ] 2 σ x2 + [ f y′ ( a, b ) ] 2 σ y2

où apparaissent les dérivées partielles de f par rapport aux variables X et Y respectivement prises en a et b26. 26. On remplace la variable aléatoire Z par son approximation obtenue en développant f au voisinage ∂f ( a, b ) ∂f ( a, b ) des valeurs moyennes a et b : Z ≅ f ( a, b ) + --------------------- ε + --------------------- ε′ , où ε et ε’ désigne deux variables ∂x ∂y aléatoires indépendantes de valeurs moyennes nulles et d’écart type σx et σy. On se ramène donc à la somme de variables aléatoires.

Variabilité et incertitudes… (annexe)

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ANNEXE

Cas d’un ensemble de mesures uniques : détermination d’incertitudes à partir de la modélisation mathématique d’une relation entre grandeurs

ANNEXE

Ce résultat, non démontré aux élèves, peut être pris pour évaluer l’écart type empirique sz sur Z à partir des écarts types empiriques sx et sy sur X et Y, en remplaçant dans la formule les σ par les s. Remarque – Cette estimation de l’écart type diffère de ce que l’on obtiendrait en faisant un « calcul d’erreur », lequel conduit à l’expression : ∆z =|f’x(a, b)|∆X + |f’x(a, b)|∆Y.

Chiffres significatifs Le nombre de chiffres significatifs à donner dans un résultat dépend de l’évaluation de l’incertitude. Ne donner l’incertitude qu’avec un chiffre significatif revient à estimer que cette incertitude n’est estimée qu’à 50 % près. En général, l’incertitude est estimée à quelques pour cents, ce qui signifie qu’on peut la donner avec deux chiffres significatifs. Ceci détermine du même coup le nombre de chiffres significatifs de la grandeur elle-même. C’est donc l’incertitude sur l’incertitude qui fixe le nombre de chiffres significatifs. Lors des séances de TP, les appareils couramment utilisés au lycée n’excèdent pas une précision de 1 %, ce qui justifie l’utilisation de deux ou trois chiffres significatifs. Il est important de faire comprendre à l’élève que l’expression d’un résultat dépend des données fournies et nécessite souvent un raisonnement. N.B. – Le calcul du défaut de masse nucléaire par exemple, ne peut évidemment pas se résoudre à trois chiffres significatifs.

Complément – À propos de la régression linéaire et de la méthode des moindres carrés La régression linéaire, cas particulier d’une régression par « moindres carrés », contient des conditions sur les incertitudes qu’il convient de respecter si l’on utilise cette méthode dans le cadre d’une détermination expérimentale de valeurs de grandeurs physiques. Dans ce cas, le calcul permet en effet de connaître l’incertitude qui porte sur chacune des mesures portées en ordonnée et de donner les valeurs des deux paramètres avec l’incertitude correspondante. Les éléments théoriques ci-dessous ne constituent pas un ensemble de connaissances à faire acquérir aux élèves. Toutefois, l’usage de la régression linéaire ou de fonctions logicielles d’optimisation par moindres carrés étant répandu dans la pratique, il convient d’indiquer aux élèves le principe de cette détermination en leur donnant l’expression de l’écart quadratique moyen. De là, le raisonnement qualitatif permettant de comprendre les conditions d’utilisation et la prise en compte – de fait – des incertitudes expérimentales, leur est accessible. Les conditions d’application Ces conditions proviennent du fondement de la méthode : la minimisation d’un écart quadratique simple. Cherchant à trouver une fonction y = f(x) passant au plus près d’un ensemble de N points (xi, yi), on peut chercher à minimiser l’écart moyen suivant : 1 ----- ∑ ( y i, th – y i ) 2 avec yi, th = f(xi). N

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Physique – Classe terminale scientifique

L’écart entre le modèle y = f(x) et les mesures est compté selon l’ordonnée : pour chaque valeur xi, on calcule la différence yi – f(xi).

Ce critère simple contient visiblement des conditions d’utilisation. En effet, l’expression ne fait intervenir que l’écart compté sur l’axe « des y »; ceci signifie que l’incertitude considérée n’est que celle qui concerne y soit, en d’autres termes, que l’incertitude sur la grandeur portée en abscisse est négligeable. De plus, la sommation considère tous les points de la même manière; cela signifie que l’incertitude sur « y » est la même pour tous les points. Pour une fonction de la forme y = a.x + b, le minimum de l’écart, considéré comme fonction de a et b, se détermine par l’annulation des dérivées partielles puis la résolution du système d’équations; ceci conduit à des expressions du type : N ∑ xi yi – ∑ xi ∑ yi a = --------------------------------------------------N ∑ x i2 – ( ∑ x i ) 2

y i ∑ x i2 – ∑ x i ∑ x i y i b = ∑ -----------------------------------------------------------. N ∑ x i2 – ( ∑ x i ) 2

L’information sur les incertitudes La méthode revient à considérer que l’écart résiduel qui reste lorsqu’on a ainsi fait « au mieux » résulte donc de l’incertitude expérimentale sy sur la grandeur portée en ordonnée. Il est clair alors que l’information sur cette incertitude est contenue dans la valeur minimale de l’écart quadratique. On notera que a et b sont des fonctions linéaires des yi. On peut donc calculer par propagation les estimations sa et sb des écarts-types σa et σb affectant les paramètres a et b (voir plus haut le cas d’une variable aléatoire somme de variables aléatoires indépendantes). Les tableurs donnent d’ailleurs l’ensemble de ces résultats. Ainsi, la commande « DROITEREG » du tableur Excel donne-t-elle un résultat « matriciel27 » : a

b

sa

sb

r2

sy

Dans le cas présent, le coefficient de corrélation r est voisin de 1.

27. Pour utiliser une formule dite « matricielle », il faut sélectionner la zone d’affectation de 2 × 3 cellules et valider la fonction DROITEREG() par « Ctrl + Entrée ».

Variabilité et incertitudes… (annexe)

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Remarques – Ces éléments développés à propos de la régression linéaire valent pour toute modélisation par la méthode des moindres carrés simple (non pondérée). – L’écart entre un point et la courbe théorique n’a, dans le cas général, pas de valeur en soi : c’est sa valeur rapportée à l’incertitude du point qui est intéressante, savoir si c’est dans la « norme » ou non… Rapporter l’écart à l’incertitude, c’est-à-dire estimer (y – f(x))2/σy2 est donc la méthode à utiliser dans le cas d’incertitudes sur la grandeur portée en ordonnée non constantes.

Quelques repères bibliographiques BEAUFILS D. et RICHOUX H., « Régression linéaire et incertitudes expérimentales », Bulletin de l’Union des physiciens, n° 796, 1997, p. 1361-1376. CORTIAL Y., « À propos de la méthode des moindres carrés », Bulletin de l’Union des physiciens, 1990, n° 725. CORTIAL Y., « Optimisation de modèles : la prise en compte des incertitudes », in Les Outils informatiques d’investigation scientifique dans l’enseignement des sciences physiques, Paris, UdP-INRP, 1995, p. 61-96. GIÉ H. et MOREAU R., « Le calcul des incertitudes », Bulletin de l’Union des physiciens, n° 691, 1987, p. 159-208. SÉRÉ M.-G., « Le déterminisme et le hasard dans la tête des élèves ou de l’utilité du traitement statistique des séries de mesures », Bulletin de l’Union des physiciens, n° 740, 1992, p. 87-96. TAYLOR J., Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques, Masson Sciences, 2000. TRIGEASSOU J.-C., Recherche de modèles expérimentaux assistée par ordinateur, Tec & Doc Lavoisier, 1988. VELAY B., « Statistiques appliquées à l’exploitation des mesures », in Les Outils informatiques d’investigation scientifique dans l’enseignement des sciences physiques, Paris, UdP-INRP, 1995, p. 99-114.

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Physique – Classe terminale scientifique