Potentiel de champ, potentiel de force - Free

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OLIVIER CASTÉRA. Résumé. En physique, on utilise le potentiel de champ et le po- tentiel de force, sans toujours préciser duquel on parle. Table des mati`eres.
POTENTIEL DE CHAMP, POTENTIEL DE FORCE ´ OLIVIER CASTERA R´ esum´ e. En physique on utilise le potentiel, parfois sans pr´eciser s’il s’agit du potentiel de champ ou du potentiel de force.

Table des mati` eres 1. Introduction 2. Force et champ de gravitation 2.1. Force de gravitation 2.2. Champ gravitationnel 3. Potentiels gravitationnels 3.1. Potentiel de la force gravitationnelle 3.2. Potentiel du champ gravitationnel 3.3. Relation entre ´energie potentielle et potentiel 4. Force et champ ´electrostatique 4.1. Force ´electrostatique 4.2. Champ ´electrostatique 5. Potentiels ´electrostatiques 5.1. Potentiel de la force ´electrostatique 5.2. Potentiel du champ ´electrostatique 5.3. Relation entre ´energie potentielle et potentiel 6. Conclusion

1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 5

1. Introduction D´ efinition 1. Potentiel d’un champ vectoriel Le scalaire B est dit potentiel du champ vectoriel A ssi : A = −grad B   ∂B ∂B ∂B i+ j+ k Ax i + Ay j + Az k = − ∂x ∂y ∂z   ∂A 1 ∂A 1 ∂A Aρ eρ + Aθ eθ + Aφ eφ = − eρ + eθ + eφ ∂ρ ρ ∂θ ρ sin θ ∂φ On dit aussi que le champ vectoriel A d´erive du potentiel scalaire B. Date: 25 juin 2017. 1

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2. Force et champ de gravitation 2.1. Force de gravitation. Soient deux particules de charges gravitationnelles m1 et m2 , et ρ12 le rayon vecteur de la masse 1 vers la masse 2. L’exp´erience montre que la force de gravitation F s’exer¸cant entre deux particules a pour direction la droite passant par les particules : ρ ± 12 ρ Elle est de plus proportionnelle aux masses m1 et m2 , et inversement proportionnelle au carr´e de leur distance. En notant G la constante de proportionnalit´e et eρ12 le vecteur unitaire de direction 1 → 2, la force exerc´ee par la particule 1 sur la particule 2 s’´ecrit : m1 m2 F 12 = ± G eρ12 ρ2 Il reste `a d´eterminer le sens de la force, autrement dit son signe. m1 , m2 , et G sont positifs, et l’exp´erience montre que la force de gravitation est attractive : m1

ρ12

m2 F 12

Figure 1. D´etermination du signe de la force de gravitation La force est de sens oppos´e `a ρ12 , donc le signe est n´egatif, et la force a pour expression : Gm1 m2 eρ12 (1) F 12 = − ρ2 Le th´eor`eme de l’action-r´eaction 1 donne : F 21 = −F 12 G m1 m2 = eρ12 ρ2 G m1 m2 =− eρ21 ρ2 2.2. Champ gravitationnel. On d´efinit le champ gravitationnel cr´e´e par la particule 1 ind´ependamment de la charge m2 , par G m1 (2) E 1 = − 2 eρ12 ρ 1. Voir m´ecanique classique.pdf

POTENTIEL DE CHAMP, POTENTIEL DE FORCE

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D’o` u la relation entre force et champ gravitationnels, F 12 = m2 E 1

(3)

3. Potentiels gravitationnels 3.1. Potentiel de la force gravitationnelle. Soit Ep le potentiel scalaire de la force gravitationnelle F . D’apr`es la d´efinition 1 : F = −grad Ep ∂Ep eρ F eρ = − ∂ρ ∂Ep F =− ∂ρ et avec la relation (1) : Ep = −

Z

F dρ

G m1 m2 dρ ρ2 G m1 m2 =− ρ

=−

Z



(4)

Ep s’appelle ´energie potentielle de gravitation. 3.2. Potentiel du champ gravitationnel. Soit V le potentiel scalaire du champ gravitationnel E. D’apr`es la d´efinition 1 : E = −grad V ∂V eρ Eeρ = − ∂ρ ∂V E=− ∂ρ et avec la relation (2) : V =−

Z

E dρ

=−

Z



=−

Gm ρ

V s’appelle potentiel de gravitation.

Gm dρ ρ2 (5)

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4

3.3. Relation entre ´ energie potentielle et potentiel. En partant de la relation (3) : F 12 = m2 E 1 −grad Ep12 = −m2 grad V1 Ep12 = m2 V1 que l’on retrouve directement en utilisant les relations (4) et (5). ´lectrostatique 4. Force et champ e 4.1. Force ´ electrostatique. Soient deux particules charg´ees. L’exp´erience montre que le vecteur force ´electrostatique F , ou force de Coulomb, s’exer¸cant entre deux particules, est proportionnel aux charges q1 et q2 des particules qui interagissent, et inversement proportionnelle au carr´e de leur distance. Cette force a pour direction la droite passant par les particules : ± eρ12 En notant 1/(4πε0) la constante de proportionnalit´e, la force exerc´ee par la particule 1 sur la particule 2 s’´ecrit : 1 q1 q2 F 12 = ± eρ12 4πε0 ρ2 Il reste `a d´eterminer le sens de la force, autrement dit son signe. Si q1 est de mˆeme signe que q2 , alors le produit q1 par q2 est positif, et l’exp´erience montre qu’alors la force est r´epulsive : q1

q2 ρ12

F 12

Figure 2. D´etermination du signe de la force ´electrique Par cons´equent, la force est dans le sens de ρ12 , le signe est positif, et la force s’exprime par : 1 q1 q2 eρ12 (6) F 12 = 4πε0 ρ2 Le th´eor`eme de l’action-r´eaction donne : F 21 = −F 12 1 q1 q2 =− eρ12 4πε0 ρ2 1 q1 q2 eρ21 = 4πε0 ρ2

POTENTIEL DE CHAMP, POTENTIEL DE FORCE

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4.2. Champ ´ electrostatique. On d´efinit le vecteur champ ´electrostatique E 1 cr´e´e par la particule 1 ind´ependamment de la charge q2 , par : 1 q1 E1 = eρ (7) 4πε0 ρ2 12 D’o` u la relation entre force et champ ´electrostatiques : F 12 = q2 E 1

(8)

´lectrostatiques 5. Potentiels e 5.1. Potentiel de la force ´ electrostatique. Soit Ep le potentiel scalaire de la force ´electrostatique F . D’apr`es la d´efinition 1 : F = −grad Ep et avec la relation (6) : 1 q1 q2 4πε0 ρ Ep s’appelle ´energie potentielle ´electrostatique. Ep =

(9)

5.2. Potentiel du champ ´ electrostatique. Soit V le potentiel scalaire du vecteur champ ´electrostatique E. D’apr`es la d´efinition 1 : E = −grad V et avec la relation (7) : 1 q 4πε0 ρ V s’appelle potentiel ´electrostatique, ou potentiel. V =

(10)

5.3. Relation entre ´ energie potentielle et potentiel. En partant de la relation (8) : F 12 = q2 E 1 −grad Ep12 = −q2 grad V1 Ep12 = q2 V1 que l’on retrouve directement en utilisant les relations (9) et (10). 6. Conclusion En ´electrostatique on utilise le plus souvent le potentiel V du champ ´electrostatique, que l’on appelle potentiel, alors qu’en m´ecanique on utilise plutˆot le potentiel Ep de la force de gravitation, que l’on appelle ´energie potentielle. E-mail address: [email protected] URL: http://o.castera.free.fr/