Problemi (supplementari) di Geometria - Dipartimento di Matematica ...

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PROBLEMI DI GEOMETRIA. Lucio Guerra. 1994 v. 1 – 2001 v. 2.7. Dipartimento di Matematica e Informatica - Universit`a di Perugia ...
PROBLEMI DI GEOMETRIA

Lucio Guerra

1994 v. 1 – 2001 v. 2.7

Dipartimento di Matematica e Informatica - Universit`a di Perugia

Indice 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

EQUAZIONI LINEARI SPAZI VETTORIALI APPLICAZIONI LINEARI AUTOVETTORI GEOMETRIA AFFINE in dimensione 3 SPAZI AFFINI ` AFFINITA GEOMETRIA EUCLIDEA in dimensione 3 ISOMETRIE FORME BILINEARI CONICHE FASCI DI CONICHE QUADRICHE

1 2 4 6 7 8 9 10 11 13 16 18 20

1. EQUAZIONI LINEARI

1.1. Determinare i valori del parametro a lineare   x + 2y + az = 3y + z =  x + ay − z = ammette soluzioni.

∈ R per i quali il sistema 1 0 0

1.2. Determinare per quali valori del parametro k il seguente sistema `e compatibile:  x + z = 0  ky + z = 1  −kx + y = 0 1.3. Determinare le condizioni sulla terna di numeri reali (a, b, c) necessarie e sufficienti affinch` e il sistema  x+z = a y−z = b  x+y = c

sia compatibile. Sotto tali condizioni, esprimere poi la soluzione generale del sistema in funzione di a, b, c e di ulteriori parametri, se necessari.

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2. SPAZI VETTORIALI

2.1. Sia S il sottospazio di R3 definito   x + 2y + z 2x + y + 3z  x − 4y + 3z

dal sistema di equazioni = 0 = 0 = 0

Determinare la dimensione e una base di S.

2.2. Sia S il sottospazio di R3 generato dai vettori (1, 1, 0), (1, 2, 1), (1, −1, −2), (1, 0, −1).

Determinare la dimensione e una base di S. 2.3. Considerati i vettori di R4

u = (1, 1, −1, −1), u′ = (1, −1, 1, −1),

sia U il sottospazio di R4 generato da u, u′, e sia inoltre V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + y + z + t = 0}.

Dimostrare che si ha U ⊂ V . Verificare che {u, u′} `e una base di U. Estendere questa base di U a una base {u, u′, v} di V . 2.4. Si consideri in R4 il sottospazio S = {(x, y, z, t) : y = z}.

Considerati quindi i tre vettori di S

(1, 1, 1, 1), (0, −1, −1, 0), (1, −1, −1, 1),

sia T ⊂ S il sottospazio che essi generano. Estrarre una base per lo spazio T dal sistema di generatori assegnato. Estendere poi la base trovata a una base di S. Estendere infine questa base a una base dell’intero R4 . 2.5. Considerati in R3 i vettori u = (1, 1, 0), v = (1, −1, 1), w = (3, 1, 1), z = (0, 1, 0),

definiamo il seguente sottospazio di R4

S = {(a, b, c, d) : au + bv + cw + dz = 0}

(l’insieme delle relazioni di dipendenza lineare tra i dati vettori). Determinare la dimensione e una base di S. Pu`o ciascuno dei dati vettori esprimersi come combinazione lineare dei rimanenti? 2

2.6. Considerati i vettori di R3 v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, −1, 0), v3 = (0, 1, 1), v4 = (1, 0, 0), v5 = (1, 1, 2),

definiamo il seguente sottospazio di R5

S = {(a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) : a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + a4 v4 + a5 v5 = 0}

Determinare la dimensione e una base di S. Pu`o ciascuno dei dati vettori esprimersi come combinazione lineare dei rimanenti? 2.7. Considerati i vettori di R3 u = (1, −1, 2), u′ = (0, 1, −1), v = (2, 1, 1), v ′ = (1, 0, 0),

siano U il sottospazio generato da u, u′, V il sottospazio generato da v, v ′. Calcolare le dimensioni dei sottospazi U, V, U + V, U ∩ V. 2.8. Dimostrare che R3 = U ⊕ V , dove: U = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y},

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x = z = 0}.

2.9. In R4 i vettori u = (1, 0, 0, c), u′ = (a, 0, a, 0), v = (0, −a, 0, a), v ′ = (0, c, c, 0),

determinano i sottospazi U = h u, u′ i, V = h v, v ′ i. Trovare i valori di a, c per cui si ha una coppia di sottospazi con U ∩ V 6= 0 e trovare quante coppie U, V si ottengono in questo modo. Per questi valori dei parametri determinare una base dello spazio intersezione.

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3. APPLICAZIONI LINEARI

3.1. Sia f : R3 → R l’applicazione definita da x y z f (x, y, z) = 1 1 1 . −1 2 1

Dimostrare che f `e lineare. Determinare la dimensione e una base di Ker(f ). 3.2. Dimostrare che l’applicazione f : R3 → R3 definita da f (x, y, z) = (x − y, y + z, z − x) `e un automorfismo di R3 e determinare l’applicazione inversa f −1 . 3.3. Considerata l’applicazione lineare L : R3 → R3 tale che L(1, 0, 0) = (1, 0, 1), L(0, 1, 0) = (2, 3, −1), L(0, 0, 1) = (0, 1, −1), determinare il valore L(x, y, z) che L assume su un vettore arbitrario (x, y, z) ∈ R3 . Calcolare quindi le dimensioni ed esplicite basi di Ker(L) e Im(L). 3.4. Per ogni k ∈ R, sia fk : R3 → R3 l’applicazione lineare definita da fk (x, y, z) = (ky − kz, x + y + z, kx + ky).

Per quali valori di k il vettore (0, 2, 0) appartiene all’immagine di fk ?

3.5. Considerata in R3 la base B = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)), detta C la base canonica, scrivere le due matrici del cambiamento di base MB,C e MC,B . 3.6. Sia M lo spazio vettoriale delle matrici e sia E la base di M costituita dai vettori      1 0 0 0 0 E1 = , E2 = , E3 = 0 0 1 0 0

2 × 2 a coefficienti reali,    1 0 0 , E4 = . 0 0 1

1 −1 ), si consideri l’applicazione lineare L : M → M Posto A = ( 0 1 definita da L(X) = A · X. Determinare la matrice ME,E (L). 4

3.7. Detto M lo spazio vettoriale delle matrici 2×2 a coefficienti reali, sia A ∈ M e si consideri l’applicazione lineare L : M → M definita da L(X) = A · X. Dimostrare che Im(L) coincide con l’insieme delle matrici Y ∈ M le cui colonne sono combinazioni lineari delle colonne di A. Dedurre che dim(Im(L)) = 2 rg(A). 3.8. Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare tale che f (x, y, z) = (x − y, y − z, z − x)

Determinare una base di Ker(f ). Dimostrare che si ha R3 = Ker(f ) ⊕ Im(f ).

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4. AUTOVETTORI

4.1. Considerata la matrice a coefficienti reali   a u 1 A =  0 a v , 0 0 b

determinare le condizioni sui coefficienti necessarie e sufficienti affinch`e si abbia una matrice simile alla matrice diagonale con coefficienti diagonali 0, 1, 1.

4.2. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3, in cui `e fissata una base (i, j, k). Si consideri l’insieme H delle applicazioni lineari f : V → V che possiedono un autovalore il cui autospazio contiene hi, ji. Dimostrare che H `e un sottospazio di Hom(V, V ). Determinare condizioni sui vettori f (i), f (j), f (k) necessarie e sufficienti affinch`e una applicazione lineare f ∈ H sia diagonalizzabile. 4.3. Sia A una matrice 2 × 2 a coefficienti reali avente il polinomio caratteristico pA (t) = (t−1)2 . Dimostrare che A non `e diagonalizzabile se non coincide con la matrice unit`a. Dimostrare che in ogni caso A `e simile a una matrice triangolare. 4.4. Data la matrice a coefficienti reali  1 a 0 0  0 1 b 0   0 0 −1 c 0 0 0 −1

   

determinare per quali valori di a, b, c si ha una matrice diagonalizzabile rispetto alla quale il vettore (0, 0, 1, 0) `e un autovettore. 4.5. Considerata la matrice a coefficienti reali   1 a 0  −1 0 1  0 b 1

determinare per quali valori di a, b si ha una matrice simile alla matrice diagonale con coefficienti diagonali 1, 1, 0.

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5. GEOMETRIA AFFINE in dimensione 3 In questi esercizi l’espressione lo spazio indica uno spazio affine reale di dimensione 3, in cui si intende fissato un sistema di riferimento.

5.1. Dati i piani di equazioni cartesiane α: α′ : β: β′ :

x + 2y + z x−z+2 x + 4y + 3z − 2 x + 3y + 2z − 1

=0 =0 =0 =0

verificare che α, α′ non sono paralleli, β, β ′ non sono paralleli, e dimostrare che le due coppie di piani α, α′ e β, β ′ individuano la stessa retta intersezione: α ∩ α′ = β ∩ β ′ . 5.2. Considerate nello spazio le rette   y+z−1 =0 x+z+1 =0 s: r: x−z =0 x−y−1 = 0 e il punto A ≡ (1, 1, −1), verificare che r, s sono sghembe e determinare le equazioni cartesiane della retta t passante per A e incidente r, s. 5.3. Considerati nello spazio i piani α : x+y−z+1 = 0 α′ : x − 2y + z =0 β : 2x − y + 1 =0

si verifichi che α, α′ non sono paralleli, e si dimostri che la retta intersezione α ∩ α′ `e contenuta in β. 5.4. Scrivere l’equazione cartesiana del piano che contiene l’asse delle y e passa per il punto di intersezione dei piani x+y−1 =0 y+z =0 x−y+z−1 = 0 5.5. Si dimostri che la famiglia di piani dello spazio (a + b + c) x + (2a + 2b − c) y + (−a − b + c) z + (3a + 3b − c) = 0, al variare della terna di numeri reali (a, b, c), costituisce un fascio di piani, determinando anche equazioni della retta asse del fascio. 7

6. SPAZI AFFINI

6.1. Sia A uno spazio affine reale di dimensione 4, in cui `e fissato un riferimento affine. I punti p0 ≡ (1, 1, 1, 0), p1 ≡ (2, 1, 1, 1), p2 ≡ (1, 2, 2, 0), p3 ≡ (2, 2, 2, 1)

generano un sottospazio S. Si consideri inoltre il sottospazio T = {p ≡ (x, y, z, t) : x − y + z − t = −1}.

Calcolare le dimensioni di S, T . Verificare che S `e parallelo a T . Determinare una traslazione τ tale che τ (S) ⊂ T . 6.2. In uno spazio affine reale di dimensione tre, in cui `e fissato un riferimento, si considerino le rette r:

x+y−1 =0 y+z−2 =0

s:

y=0 x+y−z =0

Determinare una traslazione T nella direzione del vettore v ≡ (1, 1, 0) tale che le rette r e T (s) siano complanari. Calcolare l’equazione del piano che contiene queste due rette. 6.3. In uno spazio affine reale A di dimensione 4, in cui `e fissato un riferimento, i cinque punti a ≡ (0, 0, 1, 1), b ≡ (−1, −1, 0, 0),

c ≡ (1, 1, 0, 0), d ≡ (0, 1, 1, 0), e ≡ (1, 1, 1, 1),

generano una retta R = h a, b i e un piano P = h c, d, e i. Dimostrare che l’insieme R ∪ P `e contenuto in un sottospazio S di dimensione 3. 6.4. Dati in uno spazio affine reale A3 un riferimento R = (O, U1 , U2 , U3 ) e un riferimento R′ = (O ′ , U1′ , U2′ , U3′ ) individuato rispetto al primo per mezzo delle coordinate O ′ ≡ (1, 0, 1), U1′ ≡ (0, 1, 1), U2′ ≡ (−1, 1, −1), U3′ ≡ (1, 0, 0),

si scrivano le equazioni che legano i due sistemi di coordinate di un punto arbitrario (x, y, z) rispetto a R, (x′ , y ′, z ′ ) rispetto a R′ .

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` 7. AFFINITA 7.1. Sia A3 lo spazio affine standard costruito sullo spazio vettoriale R3 . Scrivere le equazioni della affinit`a f : A3 → A3 tale che f (0, 0, 0) = (1, 0, 1), f (1, 0, 0) = (2, 1, 1), f (0, 1, 0) = (1, 1, 2), f (0, 0, 1) = (2, 1, 2). 7.2. Sia A2 lo spazio affine standard costruito sullo spazio vettoriale R2 . Sia f : A2 → A2 l’affinit`a definita da f (x, y) = (ax+ u, by + v) dove ab 6= 0, a 6= b. Dimostrare che esiste una retta R tale che f (R) = R. Trovare per quali valori dei coefficienti l’affinit`a f ha una unica retta fissa R. 7.3. Sia A3 lo spazio affine standard costruito sullo spazio vettoriale R3 . Considerati i punti a = (1, −1, 1), b = (2, 0, 1), c = (1, 0, 1), d = (1, 0, 2),

a′ = (−1, 0, −1), b′ = (1, 1, 1), c′ = (0, 1, 0), d′ = (0, 2, 1), sia f : A3 → A3 l’affinit`a tale che f (a) = a′ , f (b) = b′ , f (c) = c′ , f (d) = d′ .

Scrivere le equazioni di f rispetto al riferimento canonico. Trovare se esistono una retta R avente la direzione del vettore v = (1, 0, 0) e un piano P parallelo al piano a′ , b′ , c′ tali che l’intersezione f (R) ∩ P sia un punto. 7.4. Sia A uno spazio affine reale di dimensione tre, costruito sullo spazio vettoriale V , in cui sia fissato un riferimento. Sia f : A → A una affinit`a, associata all’isomorfismo ϕ : V → V . Supponiamo che il polinomio caratteristico di ϕ sia p(T ) = (T − λ)(T 2 + 1) e che l’autospazio di λ contenga il vettore v di coordinate (1, 1, 1). Sia P ⊂ A il piano di equazione ax + by + cz + d = 0. Trovare condizioni sui parametri affinch`e esista una retta R ⊂ A tale che la retta f (R) sia parallela a R e al piano P . 7.5. Sia A2 lo spazio affine standard costruito sullo spazio vettoriale R2 . Sia f : A2 → A2 l’affinit`a definita da f (x, y) = (x + cy + u, y + v). Determinare le condizioni sui coefficienti c, u, v necessarie e sufficienti affinch`e esista una retta R tale che f (R) = R. Dimostrare che l’insieme delle rette fisse di f , quando qualcuna esiste e quando f 6= id, `e un fascio di rette parallele.

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8. GEOMETRIA EUCLIDEA in dimensione 3 In questi esercizi l’espressione lo spazio indica uno spazio affine euclideo di dimensione 3, in cui si intende fissato un sistema di riferimento ortonormale.

8.1. Nel piano, in cui `e fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti √ √ A ≡ (1, 1), B ≡ ( 3 + 1, − 3 + 1), C ≡ (2, 2).

Si dimostri che A, B, C determinano un triangolo non degenere, e si ˆ β = ABC, ˆ ˆ determinino gli angoli α = C AB, γ = B CA. 8.2. Considerati nello spazio  x+y+z−1 = 0 e il piano π : x − y + z − 2 = 0, la retta r : 2x − y + 3z =0 si mandino dal punto P ≡ (0, 1, 1) la retta P A perpendicolare a r e incidente r in A, e la retta P B perpendicolare a π, la quale interseca π in B. Si calcoli l’area del parallelogramma non degenere individuato →



dai vettori P A, P B applicati in P . 8.3. Considerata la retta r di equazioni cartesiane  x + 3y − 2z − 1 = 0 , r: 2x + y + z − 2 = 0

dopo aver verificato che su di essa esistono due punti distinti A, B che hanno distanza uguale a 1 dal punto P ≡ (1, 0, 1), si calcoli l’a→



rea del parallelogramma non degenere individuato dai vettori P A, P B applicati in P .

8.4. Si dimostri che esiste una (unica) retta r passante per il punto A ≡ (1, 3, 2), la quale incontri la retta s che esce dall’origine e contiene il vettore v ≡ (1, −1, 2), e sia inoltre perpendicolare al vettore w ≡ (2, 0, 1). Quindi, detto B il punto di intersezione tra r ed s, si dica →

perch`e il parallelepipedo individuato dai tre vettori AB, v, w applicati in A `e non degenere, e se ne calcoli il volume.

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9. ISOMETRIE

9.1. Nel piano euclideo E2 ´e fissato un riferimento cartesiano R = (O, i, j). Considerati i punti A ≡ (−1, 1), B ≡ (0, 1), C ≡ (0, 2), A′ ≡ (2, 2), B ′ ≡ (2, 1), C ′ ≡ (3, 1), sia f : E2 → E2 l’affinit`a tale che f (A) = A′ , f (B) = B ′ , f (C) = C ′ . Scrivere le equazioni di f rispetto a R e verificare che f ´e una isometria.

9.2. Siano E uno spazio euclideo di dimensione 3, V lo spazio vettoriale associato. Una affinit`a f : E → E induce un isomorfismo ϕ : V → V . Considerato in E un riferimento cartesiano (O, i, j, k), posto u = i + j, sia f l’affinit`a che tiene fissi i punti della retta O, u e che soddisfa ϕ(j) = k, ϕ(k) = −j. Scrivere le equazioni di f rispetto al dato riferimento. Verificare che f non `e una isometria.

9.3. In uno spazio vettoriale euclideo V di dimensione tre sia u ∈ V un vettore fissato e sia U = u⊥ il sottospazio perpendicolare. Sia f : V → V una trasformazione lineare che ha u come autovettore con autovalore 1/2 e che trasforma il sottospazio U in s`e stesso in modo tale che la restrizione U → U sia una rotazione. Calcolare det f e dire se f `e una trasformazione unitaria.

9.4. Sia E uno spazio euclideo di dimensione 3, costruito sullo spazio vettoriale V , in cui `e fissato un riferimento cartesiano (O, i, j, k). Una affinit`a f : E → E ha un isomorfismo associato ϕ : V → V . Posto u = i + j, sia f l’affinit`a che tiene fissi i punti del piano P = hO, u, ki e che soddisfa ϕ(i) = j. Scrivere le equazioni di f rispetto al dato riferimento. Verificare che f `e la riflessione rispetto al piano P .

9.5. Sia E uno spazio euclideo di dimensione 3, costruito sullo spazio vettoriale V , in cui `e fissato un riferimento√ortonormale (O, i, j, k). Posto u = i + j verificare che si ha j = 12 u + 22 j ′ dove j ′ `e un vettore unitario perpendicolare a u. Sia f : E → E la rotazione con centro O √ 2 ′ tale che ϕ(u) = u e ϕ(j ) = 2 (j ′ + k) dove ϕ indica l’automorfismo di V associato a f . Scrivere le equazioni della rotazione f rispetto al dato riferimento. 11

9.6. Sia E3 lo spazio euclideo standard, costruito sullo spazio vettoriale R3 con il prodotto scalare standard. Sia f : E3 → E3 l’isometria tale che f (X) = A X dove A `e la matrice   0 √26 − √13 √  2  2  1 − √ 3  6 √3  √1 3

2 3

2 3

e dove X indica la colonna delle coordinate di un punto. Verificare che f `e una rotazione. Determinare l’asse della rotazione. Verificare che f `e la rotazione di angolo π/2 intorno all’asse. 9.7. In uno spazio euclideo di dimensione tre `e fissato un riferimento ortonormale. Sia r la retta passante per il punto a ≡ (1, 0, −1) e avente la direzione del vettore u ≡ (2, 1, 2), sia s la retta per l’origine o avente la direzione del vettore v ≡ (0, 1, 0). La retta oa `e la perpendicolare comune alle rette r, s. Definiamo la rotazione f con centro o tale che ϕ(v) = 31 u dove ϕ indica l’automorfismo associato. Determinare la retta ruotata f (r) calcolando il punto f (a) e il vettore ϕ(u).

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10. FORME BILINEARI

10.1. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 in cui `e fissata una base i, j, k. Sia f la forma bilineare simmetrica su V tale che f (i, i) = 0, f (j, j) = 1, f (k, k) = −1, f (i, j) = 2, f (j, k) = 1, f (k, i) = 3. (1) Determinare una base i′ , j ′ , k ′ di V che diagonalizza f . (2) Dimostrare che non esiste una base diagonalizzante in cui i′ = i. 10.2. Tema identico al precedente tranne che per i valori f (i, i) = 0, f (j, j) = 0, f (k, k) = 0, f (i, j) = 1, f (i, k) = 0, f (j, k) = −1. 10.3. Considerata la matrice simmetrica   1 0 1 2  A =  0 −1 1 2 −3 determinare una matrice invertibile P ∈ GL(3) tale che P t AP sia diagonale. 10.4. Nello spazio euclideo R3 , dotato del prodotto scalare ordinario, si costruisca una base ortogonale (u, v, w) il cui primo vettore sia u = (2, −1, 2); si scriva quindi la matrice che rappresenta il prodotto scalare rispetto alla base trovata. 10.5. Nello spazio vettoriale R3 si consideri la forma quadratica q(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − xy. Determinare la forma bilineare simmetrica associata b(x, y, z; x′ , y ′, z ′ ). Provare che q `e definita positiva (ovvero b `e un prodotto scalare). Costruire una base di R3 ortonormale rispetto a q. 10.6. Si consideri la forma quadratica q : R4 → R definita da q(x, y, z, w) = a x2 + 2 xy + a y 2 + 2b zw

con a, b ∈ R. Determinare una forma canonica di q con i coefficienti funzioni di a, b. Trovare per quali valori dei parametri la forma q ha positivit`a = negativit`a = 2. 13

2 10.7. Sia f  la forma  bilineare simmetrica su R rappresentata dalla a c matrice A = rispetto alla base canonica. Dimostrare che c b

1. 2.

se f `e definita positiva allora a > 0, b > 0, ab − c2 > 0,

viceversa se a > 0, ab − c2 > 0 allora f `e definita positiva.

10.8. Determinare la segnatura  1  a 0

della matrice simmetrica reale  a 0 0 b  b 1

al variare dei coefficienti a, b. Trovare se esistono valori dei coefficienti per cui si ha una matrice simile alla matrice diagonale con coefficienti diagonali 1, 1, −1. 10.9. Su R3 si consideri la forma bilineare simmetrica hv, v ′i tale che hv, vi = x2 + y 2 + z 2 − 2c xz se v = (x, y, z), dove c `e un parametro reale. Determinare condizioni su c necessarie e sufficienti affinch`e si abbia un prodotto scalare. Sotto queste condizioni, detto U il sottospazio generato dai vettori (0, 1, 1), (1, 0, 0), determinare una base ortogonale e1 , e2 , e3 tale che e1 , e2 ∈ U. 10.10. Si consideri la forma quadratica q : R3 → R definita da q(x, y, z) = (x + hy)2 + h(y + z)2 dove h 6= 0 `e un coefficiente reale. Detta A la matrice di q rispetto alla base canonica, determinare una congruenza D = M t AM in cui D `e diagonale e M `e invertibile. Trovare per quali valori di h esiste una congruenza in cui D `e la matrice diagonale con coefficienti diagonali 1, 1, 0. 10.11. Su R3 si consideri la forma bilineare simmetrica f tale che f (v, v) = 2 (xy + yz + zx) se v = (x, y, z). Determinare una base ortonormale di R3 che diagonalizza f . Dimostrare che esiste una base rispetto alla quale la forma `e rappresentata dalla matrice diagonale con coefficienti diagonali 1, −1, −2. 14

10.12. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 in cui `e fissata una base i, j, k. Sia q la forma quadratica su V tale che q(v) = x2 + y 2 + 2a xy + 2yz se v ≡ (x, y, z), dove a `e un parametro reale. Determinare a in modo che i vettori i + j e j + k risultino ortogonali rispetto a q. Per questo valore di a determinare un vettore u tale che la successione i+j, j+k, u sia una base di V che diagonalizza q. 10.13. Su R4 si consideri la forma bilineare simmetrica f associata alla forma quadratica q(x, y, z, w) = 2 (xy + yz + zw + wx) Verificare che f ha rango 2. Determinare una base ortonormale i, i′ , j, j ′ tale che i vettori i, i′ formino una base del sottospazio {v : f (v, w) = 0 ∀w}. Determinare una base ortonormale di R4 che diagonalizza f .

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11. CONICHE In questi esercizi, nel piano affine reale o nel piano euclideo si intende fissato un riferimento, affine oppure ortonormale, rispettivamente.

11.1. Nel piano euclideo si consideri la famiglia di coniche di equazione (x + ay)2 + 2 (ax − y) + 1 = 0

al variare del parametro reale a. Dimostrare che si ha sempre una parabola (non degenere). Scrivere per la famiglia una equazione canonica metrica X 2 + 2pY = 0 con p funzione di a. Trovare se esistono valori dei parametri per cui si ha una conica isometrica alla conica y 2 +2x = 0. 11.2. Nel piano euclideo si consideri la famiglia di coniche di equazione (x + h)2 + (hy + 1)2 + h = 0 al variare di h 6= 0. Dimostrare che si ha una famiglia di coniche non degeneri a centro. Scrivere per la famiglia una equazione canonica metrica uX 2 + vY 2 + 1 = 0 con u, v funzioni di h. Trovare se esistono valori di h per cui si ha una conica isometrica alla conica x2 −y 2 +1 = 0. 11.3. Si consideri la famiglia di coniche di equazione x2 + 2a xy + y 2 + 2b y + 1 = 0. al variare di a, b ∈ R. Determinare quale condizione sui parametri perch`e si abbia una conica a centro. Sotto questa condizione scrivere una equazione canonica uX 2 + vY 2 + 1 = 0 con u, v funzioni di a, b. Trovare se esistono valori dei parametri per cui si ha una conica isometrica alla conica x2 + 2y 2 + 1 = 0. 11.4. Si consideri la famiglia di coniche di equazione (x + ay)2 + bx + y + 1 = 0 al variare di a, b ∈ R. Determinare i coefficienti a, b per cui si ha una conica simmetrica rispetto alla retta x − y = 0. Per questa conica scrivere una equazione canonica metrica. 11.5. Si consideri la famiglia di coniche di equazione (x + ty)(tx + y) + (x + y) + 1 = 0 al variare di t ∈ R. Determinare il valore di t per cui si ha una parabola (non degenere) e trovare se questa parabola sia isometrica alla parabola y = x2 . Determinare il tipo affine a cui appartengono le altre coniche non degeneri della famiglia. 16

11.6. Si consideri la famiglia di coniche di equazione (x − a)(y − b) − y = 0

al variare di a, b ∈ R. Determinare le coniche della famiglia che sono isometriche alla conica x2 − y 2 + 1 = 0. Trovare se di queste coniche che sono isometriche alla conica data qualcuna si ottiene come traslata della conica data. 11.7. Nel piano affine euclideo in cui `e fissato un riferimento cartesiano si consideri la famiglia di coniche di equazione x2 + 2a xy + y 2 − y − 1 = 0

al variare del parametro reale a. Determinare la conica della famiglia che `e simmetrica rispetto a una retta di equazione x − 2y = f e determinare la costante f per cui si ha la simmetria. Di questa conica scrivere una equazione canonica metrica. 11.8. Nel piano affine reale si consideri la famiglia di coniche Cα : (x + αy)2 + α(y + 1)2 + α = 0 al variare del parametro reale α 6= 0. Trovare per quali valori di α esiste una affinit`a fα che porta la conica Cα sulla conica C ′ : xy = 1. Per ogni tale α determinare una affinit`a fα .

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12. FASCI DI CONICHE In questi esercizi, il piano affine reale A2 si considera incluso nel completamento proiettivo P 2 . Inoltre si intende fissato un sistema di riferimento, rispetto al quale si hanno coordinate affini (x, y) e coordinate omogenee (X, Y, T ).

12.1. Sia F il fascio di coniche di equazione x2 + (k − 1)y 2 + 2x − (4k − 2)y + (4k + 1) = 0. Determinare le coniche degeneri di F , i punti base di F , il tipo delle coniche non degeneri di F , al variare di k. 12.2. Sia F il fascio di coniche di equazione (x2 − y) + ky 2 = 0. Determinare i punti base di F (con molteplicit`a). Scrivere l’equazione cartesiana del luogo descritto dai centri delle coniche di F . 12.3. Considerato il fascio di coniche piane kx2 + (2 − k)y 2 + 2xy − k = 0 si determinino le coniche degeneri del fascio e di ciascuna le rette componenti, i punti base del fascio, il tipo delle coniche non degeneri del fascio. 12.4. Scrivere l’equazione del fascio F delle coniche aventi centro in (1, 1) e passanti per i punti impropri degli assi coordinati. Determinare le coniche degeneri di F e classificare le coniche non degeneri di F . 12.5. Scrivere l’equazione della iperbole equilatera avente la retta 2x+ y = 0 come asintoto, avente il centro sull’asse x, e passante per (1, 1). Determinare infine le direzioni degli assi di tale iperbole. 12.6. Scrivere l’equazione della ellisse avente all’infinito la coppia di punti immaginari coniugati le cui coordinate omogenee soddisfano X 2 + 2Y 2 = 0, avente centro nel punto di coordinate affini (1, 1), e passante per l’origine. Determinare infine gli assi di tale ellisse. 18

12.7. Scrivere l’equazione della conica C passante per i cinque punti di coordinate (−1, −1), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0)

e classificare tale conica C.

12.8. Determinare l’equazione cartesiana della conica C avente con la conica C ′ : (x − 1)(y + 1) − y = 0 quattro intersezioni coincidenti nel punto P ≡ (1, 0) (C `e iperosculatrice a C ′ in P ) e avente centro sulla retta x + 1 = 0. Classificare la conica C. 12.9. Scrivere l’equazione della conica C avente con la conica C ′ : x2 − y 2 + y = 0

tre intersezioni coincidenti nell’origine (C ′ osculatrice a C nell’origine), e tangente in P ≡ (1, 1) alla retta x = 1. Classificare la conica C. 12.10. Considerate le coniche piane di equazioni rispettive C : x2 − 2xy − x + y = 0,

C ′ : x2 − x + y = 0,

determinare le coniche degeneri del fascio F generato da C, C ′ , e determinare l’intersezione C ∩ C ′ . 12.11. Scrivere l’equazione della iperbole equilatera avente la retta x = 1 come asintoto, avente il centro sulla retta x = y, e passante per l’origine. Determinare infine gli assi di simmetria di tale iperbole. 12.12. Scrivere l’equazione cartesiana della parabola avente come asse di simmetria la retta y = 2x, avente vertice nell’origine e passante per il punto di coordinate (1, 1). Determinare quindi il punto proprio di tale parabola in cui la tangente `e parallela alla retta x = y. 12.13. Scrivere l’equazione della parabola tangente in (0, 0) alla retta 2x + y = 0, passante per (1, 1) e per il punto improprio della retta x − 2y = 0. Determinare quindi l’asse ed il vertice di tale parabola. 12.14. Scrivere l’equazione del fascio formato dalle coniche del piano passanti per i punti (0, 0), (1, 1) e tangenti alla conica di equazione x2 + y 2 + 2x − 1 = 0 nel punto (0, −1). Determinare quindi le coniche degeneri del fascio, l’unica iperbole equilatera del fascio, il suo centro e i suoi asintoti. 19

13. QUADRICHE In questi esercizi, lo spazio affine reale A3 si considera incluso nel completamento proiettivo P 3 . Inoltre si intende fissato un sistema di riferimento, rispetto al quale si hanno coordinate affini (x, y, z) e coordinate omogenee (X, Y, Z, T ).

13.1. Scrivere l’equazione della quadrica avente nell’origine un punto semplice con piano tangente z = 0, tagliata dal piano improprio secondo la conica X 2 + Y 2 + Z 2 = 0, e passante per (0, 0, 1). Classificare tale quadrica. 13.2. Classificare la quadrica Q : x2 − y 2 + z − x = 0 e la conica C sezione di Q con il piano P : x + y + z = 0. 13.3. Classificare la quadrica di equazione x2 + 2y 2 + z 2 − 2y + 1 = 0. 13.4. Scrivere l’equazione della quadrica avente nell’origine un punto semplice con piano tangente y = 0, avente all’infinito la conica di equazione (X − Y )(Y − Z) = 0, e passante per il punto (0, 1, 0). Classificare tale quadrica. 13.5. Verificare che la conica C ottenuta come intersezione della quadrica Q di equazione x2 − xy + z − 1 = 0 con il piano π di equazione x + y − z = 0 ´e una conica non degenere (π non ´e tangente a Q). 13.6. Scrivere l’equazione della quadrica Q avente all’infinito la conica X 2 + Y 2 − Z 2 = 0, avente in P ≡ (1, 0, 1) un punto semplice con piano tangente x − z = 0 e passante per A ≡ (0, 0, 1). Classificare Q. 13.7. Scrivere l’equazione della quadrica generale tagliata dal piano yz secondo la conica y 2 + z 2 − 2y + 1 = 0, x = 0, tangente al piano improprio nel punto improprio dell’asse x, e passante per il punto ≡ (1, 0, 0). Classificare tale quadrica. 13.8. Verificare che la quadrica di equazione 3x2 + y 2 + z 2 − 2(x + z) = 0 ´e un ellissoide a punti reali. Determinare le rette (immaginarie) contenute nella quadrica che passano per l’origine. 20

13.9. Scrivere l’equazione della quadrica avente nell’origine un punto semplice con piano tangente x + y = 0, avente all’infinito la conica di equazione (X − Z)(Y − Z) = 0, e passante per il punto di coordinate (0, 1, −1). Classificare infine tale quadrica. 13.10. Determinare la quadrica Q avente una equazione del tipo x2 + xy + a(y + z) = 0 e contenente la curva C : x = t, y = t2 , z = t3 . Classificare infine tale quadrica Q. 13.11. Sia Q la quadrica di equazione y 2 + xy + xz + yz + y + z = 0. Verificare che Q ´e degenere di rango 2. Scrivere equazioni cartesiane della retta d luogo dei punti doppi di Q. Detti A, B i punti di intersezione di Q con l’asse y, verificare che i piani α, β contenenti la retta d e passanti per A, B (rispettivamente) sono i piani componenti di Q. 13.12. Scrivere l’equazione della quadrica avente all’infinito la conica X 2 − Y Z = 0, avente nel punto ≡ (0, 1, 0) un punto semplice con piano tangente x + y − z − 1 = 0, e passante per il punto ≡ (1, −1, 0). Classificare tale quadrica.

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