Rayonnement thermique - Les Pages Personnelles au LAL

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On consid`ere le rayonnement `a l'intérieur d'une cavité dont les parois sont maintenues `a une tem- pérature T. Il s'établit un équilibre thermique entre les ...
Chapitre 14

Rayonnement thermique Sommaire 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5

Mise en ´ evidence exp´ erimentale . . . . . . . Rayonnement d’´ equilibre . . . . . . . . . . . Corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Etude thermodynamique du rayonnement Etude corpusculaire du rayonnement . . . .

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291 292 295 297 300

Les transferts thermiques d´ecrits au § 13.3 faisaient intervenir des syst`emes mat´eriels en contact les uns avec les autres. Dans certains cas, le transfert thermique se fait sans contact entre la source et le r´ecepteur, et sans ´echauffement du milieu interm´ediaire. Il correspond `a l’´emission d’ondes ´electromagn´etiques induites ` a l’´echelle microscopique par le mouvement de particules charg´ees ` a la surface du corps. On ´etudie dans ce chapitre les lois du rayonnement issues de l’hypoth`ese de Planck, et les fonctions thermodynamiques qui leur sont associ´ees.

14.1

Mise en ´ evidence exp´ erimentale

On peut mettre en ´evidence les propri´et´es de ce rayonnement par plusieurs exp´eriences simples : • Des braises chauffent directement un solide (par exemple le corps humain) et non l’air ambiant. Par contre, ce rayonnement est arrˆet´e par un ´ecran opaque • Ce rayonnement ob´eit aux lois de l’optique g´eom´etrique. Ceci peut se montrer avec l’exp´erience d´ecrite sur la figure 14.1. Le thermom`etre plac´e au foyer du miroir indique une temp´erature sup´erieure `a celle de la pi`ece. Il re¸coit un rayonnement de la part de la lampe • La surface illumin´ee par le rayonnement joue un rˆ ole dans la puissance re¸cue. Ceci peut se montrer avec l’exp´erience d´ecrite sur la figure 14.2. On constate qu’avec des conditions exp´erimentales identiques, la temp´erature du thermom`etre dont le r´eservoir est recouvert de noir de fum´ee est plus ´elev´ee que celle de l’autre thermom`etre L’exp´erience montre que tout corps ´emet ce rayonnement ´electromagn´etique et que son spectre d’´emission est continu et d’autant plus d´ecal´e vers les hautes fr´equences (ie les hautes ´energies) que la temp´erature est ´elev´ee.

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´ 14.2. RAYONNEMENT D’EQUILIBRE

(a)

(b)

Figure 14.1 – Le thermom`etre plac´e au foyer du

Figure 14.2 – A conditions exp´erimentales iden-

miroir indique une temp´erature sup´erieure `a celle de la pi`ece. Il re¸coit un rayonnement de la part de la lampe

tiques, la temp´erature d’un thermom`etre `a alcool dont le r´eservoir est recouvert de noir de fum´ee (b) est plus ´elev´ee que celle d’un autre thermom`etre identique mais sans noir de fum´ee (a)

14.2

Rayonnement d’´ equilibre

14.2.1

Energie volumique spectrale

On consid`ere le rayonnement ` a l’int´erieur d’une cavit´e dont les parois sont maintenues `a une temp´erature T . Il s’´etablit un ´equilibre thermique entre les parois et le rayonnement ´electromagn´etique `a l’int´erieur de l’enceinte. A partir du 2`eme principe, Kirchhoff a d´emontr´e en 1859 que ce rayonnement ne d´ependait que de la temp´erature 1 . En 1900, Planck a montr´e 2 par un raisonnement de physique statistique que l’´energie volumique spectrale uν (ν, T ) pouvait se mettre sous la forme : uν (ν, T ) =

8π h 3 1 1 dU = ν 3 V dν c eβ h ν − 1

avec

β =

1 kB T

(14.1)

La figure 14.3 repr´esente l’´energie volumique spectrale uν (ν, T ) en fonction de la fr´equence ν. On peut ´egalement repr´esenter comme sur la figure 14.4 la variation de l’´energie volumique spectrale uλ (λ, T ) en fonction de la longueur d’onde λ = c/ν. Les deux repr´esentations sont reli´ees par : uν dν = − uλ dλ

c′ est `a dire

h 8πc 5 λ eβ h c/λ − 1

soit encore

uλ = − uν

dν c = uν 2 dλ λ

(14.2)

On en d´eduit : uλ (λ, T ) =

uλ (λ, T ) =

4 c1 1 5 c λ ec2 /(λ T ) − 1

(14.3)

en introduisant les deux constantes de rayonnement c1 et c2 : c1 = 2 π h c2 = 374, 18 10−18 Wm2

14.2.2

et

c2 =

hc = 14, 39 103 Km kB

(14.4)

D´ eveloppements limites de la loi de Planck

Les fonctions uλ et uν sont toutes les deux des fonctions positives, tendant vers z´ero pour les faibles valeurs et vers l’infini. Les courbes de la figure 14.3 passent par un maximum que l’on d´etermine par : h i β hν − 1 − β hν 3 e 8π h 2 duν eβ h ν = 0 = ν h i2 dν c3 eβ h ν − 1 1. On trouvera un historique complet de la g´en`ese de la loi de Planck dans [29, page 473]. 2. On en trouvera une esquisse de d´emonstration dans [34, page 359].

Thermodynamique classique, P. Puzo

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´ 14.2. RAYONNEMENT D’EQUILIBRE

Figure 14.3 – Energie volumique spectrale uν en fonction de la fr´equence ν

Figure 14.4 – Energie volumique spectrale uλ en fonction de la longueur d’onde λ

La r´esolution num´erique de l’´equation 3 (1 − e−x ) = 0 donne x = 2, 82. On obtient finalement : νm =

2, 82 = 5, 88 1010 T βh

(14.5)

Par exemple, pour T = 5600 K (temp´erature `a la surface du soleil consid´er´e comme un corps noir), le maximum se situe ` a la fr´equence νm = 3, 3 1014 Hz, c’est `a dire `a la longueur d’onde λ = c/νm = 0, 91 µm. Remarque 1 : On peut remarquer que la longueur d’onde λm correspondant au maximum de la courbe en longueur d’onde n’est pas ´egale `a c/νm car les fonctions uλ et uν sont diff´erentes.

emis entre 0, 5 λm et 8 λm Remarque 2 : 98% du rayonnement est ´ On peut d´evelopper la relation (14.1) vers les basses et les hautes fr´equences. On obtient les cas limites suivants : • dans le cas des faibles fr´equences (h ν ≪ kB T ) : uν =

8 π h ν3 8 π kB T 2 == ν c3 β h ν c3

(14.6)

Cette ´equation est connue sous le nom d’approximation de Rayleigh-Jeans. Historiquement, Lord Rayleigh et Jeans avaient auparavant trouv´e cette loi exp´erimentalement et l’avaient expliqu´ee par des arguments thermodynamiques. N´eanmoins, ils n’´etaient pas parvenu `a expliquer pourquoi uν s’effondrait dans le domaine des hautes fr´equences 3 • dans le cas des hautes fr´equences (h ν ≫ kB T ) :



hν 8π h 3 − k T 8π h 3 −β hν B ν e = ν e = c3 c3

(14.7)

Cette ´equation est connue sous le nom de loi de Wien 3. Ce probl`eme est rest´e c´el`ebre sous le nom de catastrophe ultraviolette.

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290

´ 14.2. RAYONNEMENT D’EQUILIBRE

14.2.3

Loi du d´ eplacement de Wien

En posant x = h c/(λ kB T ), on peut r´e´ecrire (14.3) sous la forme : uλ =

5 T5 8 π kB x5 (h c)4 ex − 1

(14.8)

La d´etermination du maximum de cette fonction revient `a r´esoudre 5 (e−x − 1) − x ex = 0. Num´eriquement, on trouve x = 4, 965. On en d´eduit que le maximum λm de la fonction uλ (T ) v´erifie : λm T = 2898 µm K

(14.9)

Cette loi est connue sous le nom de loi du d´eplacement de Wien car elle a ´et´e trouv´ee exp´erimentalement par Wien en 1893. On peut faire les commentaires suivants : • Par exemple, pour T = 5600 K (temp´erature `a la surface du soleil consid´er´e comme un corps noir), le maximum se situe ` a la longueur d’onde λm = 0, 52 µm (jaune-vert) • La loi de Wien montre que plus un corps s’´echauffe, plus λm devient petit et plus la couleur du corps tend donc vers le bleu. Une bˆ uche qui flambe apparaˆıt jaune `a ses endroits les plus chauds et rouge `a ses endroits les ”moins” chauds 400

500

Bleu

Vert

600

700

λ (nm)

Jaune Rouge

Figure 14.5 – Partie visible du spectre du rayonnement • Un corps humain ` a 300 K ´emet un rayonnement centr´e sur 9,66 µm (infrarouge) • La loi de Wien est utilis´ee pour d´eterminer la temp´erature de surface des ´etoiles. Les plus chaudes ont un rayonnement visible dans le bleu (Rigel par exemple) et les moins chaudes dans le rouge (B´etelgeuse par exemple) • Le rayonnement cosmique fossile, associ´e `a la temp´erature de 2,72 K, correspond `a λm ≈ 1 mm, c’est `a dire aux ondes radio´electriques (figure 14.6) 10

2

1

10

−2

10

−4

10

−6

10

−8

10

−10

10

−12

λ (m) Ondes radio

IR

Micro−ondes

Rayons γ

UV Visible

Rayons X

ν (Hz) 10

6

10

8

10

10

10

12

10

14

10

16

10

18

10

20

Figure 14.6 – Spectre du rayonnement

Thermodynamique classique, P. Puzo

291

14.3. CORPS NOIR

14.2.4

Loi de Stephan - Boltzmann

En sommant l’´energie interne spectrale uν sur toutes les fr´equences, on obtient l’´energie interne spectrale totale, soit : Z Z ∞ ν3 8π h ∞ uν dν = dν u = hν c3 0 0 e kB T − 1 =

8 π (kB T )4 (h c)3

Z

∞ 0

x3 dx ex − 1

en posant

x =

hν kB T

On obtient finalement 4 : u = σB T 4

avec

σB =

4 8 π 5 kB = 7, 56 10−16 Jm−3 K−4 15 (h c)3

(14.10)

o` u σB est appel´e constante de Stephan. Cette loi a ´et´e ´etablie exp´erimentalement en 1879 par Stephan et interpr´et´ee en 1884 par Boltzmann. Par exemple, on trouve que la temp´erature du rayonnement fossile cosmologique (T = 2, 72 K) est associ´ee `a une densit´e volumique d’´energie de 0,25 eV/cm3 .

14.3

Corps noir

14.3.1

D´ efinition

On peut classer les corps en plusieurs cat´egories, en fonction de leurs propri´et´es vis `a vis du rayonnement thermique : • un corps noir est un corps capable d’absorber int´egralement tout rayonnement incident, quelle que soit sa fr´equence ν. Le facteur d’absorption d’un corps noir est donc aν = 1. Ce sont ces corps qui ob´eissent aux lois issues du mod`ele de Planck donn´ees au paragraphe § 14.2 • un corps gris est un corps dont le facteur d’absorption aν est inf´erieur `a un et ne varie pas avec la temp´erature • un corps color´e est un corps dont la couleur `a temp´erature ambiante n’est ni noire, ni grise. Pour de tels corps, l’absorption est s´elective et aν varie avec la fr´equence S’ils portent ces noms (noirs, gris ou color´es), c’est que cela correspond `a leur ”couleur” en lumi`ere naturelle, `a temp´erature ambiante. La r´ealisation pratique d’un corps noir est en toute rigueur impossible. De mani`ere approch´ee, on peut r´ealiser un corps noir par une petite ouverture `a la surface d’une enceinte dont les parois int´erieures absorbent le rayonnement puisque tout rayonnement qui p´en`etre dans l’enceinte subira plusieurs r´eflexions au cours desquelles il sera partiellement absorb´e. Apr`es un certain nombre de r´eflexions, tout le rayonnement sera absorb´e. L’ouverture peut donc ˆetre vue comme un corps noir. 4. En utilisant la valeur tabul´ee :

Z

0

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x3 π4 dx = −1 15

ex

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14.3. CORPS NOIR

14.3.2

Energie solaire

La densit´e d’´energie spectrale solaire est repr´esent´ee sur la figure 14.7, superpos´ee `a une courbe de corps noir pour T = 5900 K. Le d´ebit total moyen d’´energie solaire peut donc s’´ecrire : 2 ˙ = 4 π RO W σB T 4

˙ = 4, 3 1026 W. Cette o` u RO = 7 108 m est le rayon du Soleil. On obtient num´eriquement W ´energie rayonn´ee provient des r´eactions de nucl´eosynth`ese au sein du Soleil 5 . La puissance re¸cue par une surface d’aire A situ´ee ` a une distance d du Soleil est la fraction A/(4πd2 ) de la puissance totale rayonn´ee. En introduisant l’angle apparent α selon lequel on voit le Soleil depuis la Terre (α = 2RO /d), on ´ecrira finalement : P =

1 A α2 σB T 4 4

Num´eriquement, on obtient que le flux d’´energie re¸cu du Soleil sur la Terre est de 1400 W/m2 . Cette valeur est ´evidemment la valeur mesur´ee en dehors de l’atmosph`ere terrestre. A la surface de la Terre, plusieurs facteurs diminuent cette puissance re¸cue : • environ 50% du spectre est absorb´e par l’atmosph`ere • le temps d’ensoleillement moyen n’est que de 2500 heures par an Tout ceci fait que la puissance re¸cue annuellement au niveau de la mer est en moyenne de 1000 kWh, soit l’´equivalent d’environ 100 kg de p´etrole. On constate exp´erimentalemnt que 42% de l’´energie est ´emise sous forme visible, 9% en lumi`ere ultraviolette et 49% en lumi`ere infrarouge.

Figure 14.7 – Radiance spectrale solaire (figure extraite de [14, page 53]) ˙ du Soleil par seconde : 5. On peut d’ailleurs par ce biais ´evaluer la perte de masse M ˙ ˙ = W = 4, 7 109 kg/s M c2 Comme la masse du Soleil est MO = 2 1030 kg, la variation relative M˙ /MO ≈ 10− 21 est n´eanmoins tr`es faible.

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14.4. ETUDE THERMODYNAMIQUE DU RAYONNEMENT

Exercice 14.1 : Rayonnement du corps humain Evaluer les pertes ´energ´etiques quotidiennes par rayonnement d’un ˆetre humain de corpulence moyenne, assimil´e `a un corps noir de 37 ◦ C, plong´e dans un environnement `a 0 ◦ C

Exercice 14.2 : Etude d’une lampe ` a incandescence D´eterminer le diam`etre d et la longueur ℓ du filament de tungst`ene d’une lampe `a incandescence de 100 W aliment´ee sous 200 V, sachant que pour obtenir une lumi`ere suffisamment blanche, la temp´erature du filament doit ˆetre voisine de 2500 K. On consid`erera que toute la puissance ´electrique est rayonn´ee, c’est `a dire que le vide de l’ampoule est quasiment parfait et que les contacts thermiques du filament avec le culot de la lampe sont n´egligeables. On donne la r´esistivit´e du tungst`ene ρW = 8, 5 10− 7 Ωm et son coefficient d’absorption αW = 0, 35

Exercice 14.3 : Emittance de la Terre du cˆ ot´ e du Sahara

La figure ci-contre repr´esente l’´emittance spectrale d’une portion du Sahara vue de l’espace `a midi solaire. On a superpos´e les ´emittances de corps noir `a diverses temp´eratures ainsi que les bandes d’absorption de O3 , CO2 et H2 O

1. Que peut-on d´eduire de ce diagramme ? 2. Sachant que la bande d’obsorption du m´ethane et des CFC se situe entre 8 et 12 µm, expliquer pourquoi on cherche acuellement ` a limiter au maximum le rejet de ces gaz dans l’atmosph`ere par les activit´es humaines

14.4

Etude thermodynamique du rayonnement

14.4.1

Fonctions thermodynamiques du rayonnement

Du point de vue thermodynamique, on peut assimiler une onde ´electromagn´etique stationnaire confin´ee dans une enceinte ` a un fluide dont l’´energie interne U serait donn´ee par (14.10) : U = u V = σB T 4 V Thermodynamique classique, P. Puzo

(14.11) 294

14.4. ETUDE THERMODYNAMIQUE DU RAYONNEMENT La 1`ere relation de Gibbs-Helmholtz (5.68) permet d’obtenir l’´energie libre :  Z  U σB T 4 V F = T − dT + φ(V ) = − + T φ(V ) T2 3 o` u la constante d’int´egration φ(V ) est pour l’instant ind´etermin´ee. En utilisant dF = −S dT −p dV , on peut en d´eduire l’expression de l’entropie :   4 σB T 3 V ∂F − φ(V ) = S = − ∂T V 3 Le 3`eme principe impose φ(V ) ≡ 0. Les expressions finales de l’´energie libre et de l’entropie sont donc : 4 σB T 3 V σB T 4 V et S = (14.12) F = − 3 3 La pression de radiation p s’obtient par :   ∂F σB T 4 p = − (14.13) = ∂V T 3 Cette ´equation d’´etat repr´esente la pression exerc´ee sur les parois par le rayonnement de photons en ´equilibre thermique. La relation (14.13) est l’´equation d’´etat du gaz de photons et montre que la pression ne d´epend pas du volume mais uniquement de la temp´erature. Pour des temp´eratures inf´erieures `a 1000 K, la pression du rayonnement est faible. Par contre, elle devient importante pour les temp´eratures typiques au centre des ´etoiles. Par exemple, elle vaut 2,52 1012 Pa soit 2 107 atm pour T=107 K (figure 14.8).

Figure 14.8 – Variation de la pression de radiation avec la temp´erature Une modification isotherme du volume de l’enceinte ne modifiera pas la pression. D’apr`es (14.11), on peut ´ecrire 6 : u U = (14.14) p = 3V 3 L’enthalpie H et l’enthalpie libre G du syst`eme s’´ecrivent respectivement : H = U + pV =

4 U = 4pV 3

(14.15)

6. Dans le cas d’un gaz parfait monoatomique, on avait obtenu p = 2/3 × u (2.20).

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295

14.4. ETUDE THERMODYNAMIQUE DU RAYONNEMENT

et

4 σB T 4 V ≡ 0 (14.16) 3 L’enthalpie libre du gaz de photon est donc toujours nulle 7 . Le terme de ”gaz de photons” est donc `a utiliser avec pr´ecautions, car on ne retrouve aucun des r´esultats classiques des gaz.. G = H − T S = 4pV −

14.4.2

Loi d’´ evolution d’une isentropique

De plus, pour une transformation adiabatique r´eversible, le gaz de photons ne re¸coit pas de chaleur d’o` u: δQ = 0 = dU + p dV = σB d(T 4 V ) + p dV = 4 σB T 3 V dT + (σB T 4 + p) dV On d´eduit de l’´equation d’´etat (14.13) que dp = 43 σB T 3 dT d’o` u: δQ = 0 = 3 V dp + 4 p dV

soit

ln p3 V 4



= Cste

La transformation isentropique d’un gaz de photons est donc soumise `a une loi ”analogue” `a la loi de Laplace (3.24) qui s’´enonce : p3 V 4 = Cste

ou encore

p V 4/3 = Cste

(14.17)

On verra un exemple d’application de cette loi au § 16.1.

14.4.3

Capacit´ es thermiques du rayonnement

On peut d´eduire de (14.11) que : CV =



∂U ∂T



= 4 σB T 3 V V

o` u CV repr´esenta la capacit´e thermique du rayonnement. On obtient par exemple (pour 1 cm3 ) CV = 81, 6 10− 15 J/K pour T = 300 K et CV = 0, 38 10− 3 J/K pour T = 0, 5 106 K. On voit donc que cette capacit´e thermique n’est de l’ordre de grandeur des capacit´es thermiques des syst`emes mat´eriels habituels que pour des temp´eratures sup´erieures `a plusieurs centaines de milliers de degr´es 8 . D’apr`es (14.13), une transformation isobare d’un gaz de photons est ´egalement isotherme. La capacit´e thermime ` a pression constante (donn´ee par Cp = (∂H/∂T )p ) n’est pas d´efinie et le rapport γ = Cp /CV non plus. L’exposant 4/3 obtenu dans l’´equation (14.17) de l’isentropique n’a donc pas la mˆeme signification physique que pour le gaz parfait ! 7. Cela signifie en particulier que pour une r´eaction de photolyse ` a l’air libre (donc monobare et monotherme) telle que AB ⇆ A + B, le photon qui induit la r´eaction n’apparaˆıt pas dans la variation d’enthalpie libre entre les composants : ∆G = GA + GB − GAB La constante d’action de masse ne fait jamais intervenir d’activit´e photonique ! 8. Puisque pour 1 cm3 , on a : CV ≈ n R ≈

Thermodynamique classique, P. Puzo

8, 314 ≈ 0, 37 10− 3 J/K 22400

296

14.5. ETUDE CORPUSCULAIRE DU RAYONNEMENT

Exercice 14.4 : L´ evitation par pression de radiation

Une coquille h´emisph´erique, de masse m et de rayon r, est constitu´ee d’un m´etal parfaitement refl´echissant. On ´eclaire la base de cette coquille `a l’aide d’un faisceau laser cylindrique de rayon R et de puissance P . A quelle condition la coquille est-elle maintenue en l´evitation ?

14.5

Etude corpusculaire du rayonnement

On peut retrouver la relation (14.14) en utilisant le raisonnement corpusculaire utilis´e au § 2.1.3 pour ´etablir la pression cin´etique. On consid`ere pour cela une enceinte close de volume V dont les parois sont `a la temp´erature T . Elle renferme un rayonnement assimil´e `a des photons d’´energie ǫ = h ν associ´ee ` a la quantit´e de mouvement P~ telle que : ǫ P~ h ν P~ = P~ = c P cP

(14.18)

~ = dS ~n de ces parois soumis aux chocs des photons de On consid`ere un ´el´ement de surface dS l’enceinte et on ´etudie le choc (suppos´e ´elastique) sur la paroi d’un de ces photons d’´energie ǫ, et de quantit´e de mouvement incidente et r´efl´echie P~i et P~r respectivement. Au cours du rebond, dont on suppose qu’il dure dt, le photon subit la force f~i donn´ee par : P~r − P~i ∆P~ = f~i = dt dt Avec les notations de la figure ci-dessous, on en d´eduit que : 2 Pi cos(θ) 2 ǫ cos(θ) f~i = − ~n = − ~n dt c dt La force F~i subie par la paroi est alors : 2 ǫ cos(θ) ~n F~i = c dt

(14.19)

Le volume ´el´ementaire dτ dans lequel doit se trouver le photon pour entrer en collision avec dS pendant dt est dτ = c dt cos(θ) dS. La probabilit´e que le photon s’y trouve vaut : P(dτ ) = Thermodynamique classique, P. Puzo

dτ V

(14.20) 297

14.5. ETUDE CORPUSCULAIRE DU RAYONNEMENT

v ∆ t

M

v

M

Surface S θ θ

Surface S

2mvx

ex

ex Figure 14.9 – Quantit´e de mouvement transf´er´ee `a la paroi par chaque photon (cette figure est identique `a la figure 2.3)

Figure 14.10 – Volume initialement occup´e par les photons qui viennent heurter la paroi pendant ∆t (cette figure est identique `a la figure 2.4)

On note n(ǫ) le nombre de photons d’´energie ǫ et P(ǫ) la probabilit´e associ´ee : P(ǫ) =

n(ǫ) N

(14.21)

o` u N est le nombre total de photons. Pour qu’un photon contenu dans le volume dτ heurte la paroi dS pendant dt, il faut ´egalement que sa quantit´e de mouvement P~i soit comprise dans l’angle solide dΩ = 2 π sin(θ) dθ. Les chocs subis par dS ne proviennent que d’un seul demi-espace, donc l’angle solide `a consid´erer est Ω = 2 π. La probabilit´e P qu’un photon ait son impulsion P~i dans l’angle solide dΩ est donc : dΩ = sin(θ) dθ (14.22) P(dΩ) = Ω La force r´esultant des photons qui exercent la force F~i donn´ee par (14.19) pendant l’intervalle de temps dt peut s’´ecrire : 1 δ3 F~ = N × P(dτ ) × P(ǫ) × P(dΩ) × F~i 2 o` u le facteur 1/2 vient du fait que seuls les photons se dirigeant vers la paroi vont contribuer ` a la 3 ~ force δ F . On en d´eduit que : 1 ~ ǫ n(ǫ) × cos2 (θ) sin(θ) dθ × dS δ3 F~ = V En introduisant la densit´e volumique d’´energie u d´efinie par : 1 X u = ǫ n(ǫ) V ǫ

(14.23)

on montre que la force totale qui s’exerce sur la paroi dS pendant dt peut se mettre sous la forme : ! Z π/2 2 ~ ~ = 1 u dS cos (θ) sin(θ) dθ × dS δF~ = u × 3 0 Cette force qui s’exerce sur la surface dS est ´equivalente `a une pression de radiation dont l’expression serait : u p = (14.24) 3 On retrouve bien la relation (14.14) obtenue pr´ec´edemment. erent de ne pas prendre en compte de terme de pression mol´eculaire comme Remarque : Il est coh´ on l’a fait pour le gaz r´eel (§ 6.2) car il n’existe pas de force attractive entre les photons ! Thermodynamique classique, P. Puzo

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