REKAYASA OPTIK - Fisika Universitas Padjadjaran

REKAYASA OPTIK DIKTAT KULIAH

Oleh:

Dr. Ayi Bahtiar, M.Si.

JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PADJADJARAN BANDUNG 2008

KATA PENGANTAR Puji syukur Alhamdulillah, penulis panjatkan kepada Alloh SWT yang berkat rahmat- dan karunia-Nya, penyusunan diktat huliah REKAYASA OPTIK akhirnya ini dapat diselesaikan. Penulisan diktat ini dimotivasi oleh kurangnya referensi tentang optik, khususnya optika modern di Jurusan Fisika, FMIPA UNPAD. Diktat ini merupakan materi kuliah Rekayasa Optik yang diberikan pada semester-5 di Jurusan Fisika FMIPA UNPAD, khususnya Kelompok Bidang Keahlian (KBK) Fisika Material. Diktat ini bertujuan sebagai panduan untuk agar mahasiswa mampu merancang divais-divais fotonik berkapasitas besar dan kecepatan tinggi untuk menggantikan divais elektronik di masa mendatang. Materi diktat ini dibagi dalam 7-Bab, yang berisi tentang sumber cahaya laser, jenis-jenis laser, optika berkas (beam optics), pandu gelombang planar, serat optik, switching optik dan kristal fotonik. Disamping teori, beberapa hasil eksperimen yang dilakukan oleh para peneliti juga diberikan, sehingga diharapkan menjadi panduan bagi mahasiswa untuk mempelajari divais-divais fotonik modern, terutama yang banyak dikembangkan saat ini. Penulis menyadari bahwa diktat ini masih jauh dari sempurna, namun demikian penulis berharap semoga diktat ini dapat memberikan manfaat dan kontribusi bagi pendidikan fotonik/optik, khususnya di Jurusan Fisika FMIPA UNPAD. Kritik dan saran penulis harapkan dari para pembaca untuk perbaikan materi dan isi diktat dimasa mendatang. Jatinangor Penulis

i

DAFTAR ISI Halaman KATA PENGANTAR ..............................................................................................

i

DAFTAR ISI ...........................................................................................................

ii

DAFTAR TABEL ....................................................................................................

iv

DAFTAR GAMBAR ...............................................................................................

v

LASER ....................................................................................................

1

1.1. Interaksi cahaya dengan materi .......................................................... 1.2. Ide dasar dari Laser ............................................................................ 1.3. Komponen dasar Laser ..................................................................... 1.4. Sifat-sifat berkas cahaya Laser .......................................................... 1.5. Tipe-tipe cahaya Laser .......................................................................

1 3 5 7 11

JENIS-JENIS CAHAYA LASER ..........................................................

12

2.1. Laser zat padat .................................................................................... 2.2. Laser dye ............................................................................................ 2.3. Laser semikonduktor .......................................................................... 2.4. Laser gas .............................................................................................

12 17 21 24

OPTIKA BERKAS CAHAYA LASER (BEAM OPTICS) .................

30

3.1. Gelombang paraksial .......................................................................... 3.2. Berkas Gauss (Gaussian Beam) ......................................................... 3.3. Transmisi melalui suatu lensa tipis .................................................... 3.4. Berkas Hermite-Gauss ....................................................................... 3.5. Berkas Laguerre-Gauss ...................................................................... 3.6. Berkas Bessel .....................................................................................

31 32 37 39 42 42

PANDU GELOMBANG PLANAR .......................................................

45

4.1. Pandu gelombang logam .................................................................... 4.2. Pandu gelombang planar dielektrik ................................................... 4.3. Pandu gelombang dua-dimensi .......................................................... 4.4. Kopling optik kedalam pandu gelombang .........................................

46 52 60 63

SERAT OPTIK (FIBER OPTICS) ........................................................

74

5.1. Step-index fiber .................................................................................. 5.2. Graded-index fiber ............................................................................. 5.3. Atenuasi dan dispersi .........................................................................

75 83 88

BAB 1

BAB 2

BAB 3

BAB 4

BAB 5

ii

Halaman SWITCHING OPTIK ...........................................................................

102

6.1. Switching ........................................................................................... 6.2. Switching elektronik ........................................................................... 6.3. Switching opto-mekanik .................................................................... 6.4. Switching elektro-optik ...................................................................... 6.5. Switching akusto-optik ....................................................................... 6.6. Switching magneto-optik ................................................................... 6.7. All-optical switching .......................................................................... 6.8. Divais bistable-optics .........................................................................

102 103 104 105 106 108 109 115

KRISTAL FOTONIK ............................................................................

118

7.1. Konsep dasar kristal fotonik .............................................................. 7.2. Pembentukan PBG (dispersion relation) ........................................... 7.3. Cacat pada kristal fotonik .................................................................. 7.4. Aplikasi kristal fotonik .......................................................................

119 120 136 138

REFERENSI ...........................................................................................................

143

BAB 6

BAB 7

iii

DAFTAR TABEL Halaman Tabel 2.1.

Tabel 2.6.

Konfigurasi elektronik dari beberapa elemen tanah jarang dan logam transisi yang sering digunakan sebagai material aktif laser ................ Parameter optik dan spektroskopi laser rubi pada temperatur kamar.. Parameter optik dan spektroskopi laser dimana ion Nd3+ sebagai doping pada beberapa material host..................................................... Parameter optik dan spektroskopi beberapa laser kuasi tiga level....... Parameter optik dan spektroskopi dari laser Ti:Safir, Cr:LiSAF dan Cr:LiCAF.............................................................................................. Parameter optik dan spektroskopi dari tipikal media laser dye ...........

Tabel 7.1.

Perbandingan konsep kristal fotonik dan kristal biasa ........................

Tabel 2.2. Tabel 2.3. Tabel 2.4. Tabel 2.5.

13 13 14 15 16 20 119

iv

DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1.1. Gambar 1.2. Gambar 1.3. Gambar 1.4. Gambar 1.5. Gambar 1.6. Gambar 1.7. Gambar 1.8. Gambar 1.9. Gambar 2.1. Gambar 2.2. Gambar 2.3. Gambar 2.4. Gambar 2.5. Gambar 2.6. Gambar 2.7. Gambar 2.8. Gambar 2.9. Gambar 3.1. Gambar 3.2 Gambar 3.3 Gambar 3.4. Gambar 3.5. Gambar 3.6. Gambar 3.7.

Tiga jenis interaksi cahaya dengan materi, yaitu (a). absorpsi, (b). emisi spontan dan (c). emisi terstimulasi........................................... Fluks cahaya input datang F melewati bahan menjadi F + dF akibat absorpsi dan emisi terstimulasi.......................................................... Skema dasar dari Laser ..................................................................... Skema laser (a). three-level, dan (b). four-level ............................... Contoh gelombang EM dengan waktu koherensi τ0......................... Difraksi berkas cahaya laser untuk kasus koheren ruang sempurna... Proyeksi sudut ruang yang dipancarkan ............................................ Diameter berkas laser D dan sudut difraksi θ.................................... Pemfokusan berkas cahaya laser oleh lensa dengan numerical apertur NA menghasilkan intensitas yang tinggi................................ Struktur kimia dari beberapa dye (a). 3,3’ diethylthiatricarbocyanine iodide, (b). rhodamine 6G, dan (c). coumarine 2 Penampang absorpsi σa, penampang emisi singlet-singlet σe dan penampang absorpsi triplet-triplet σT, dari larutan rhodamine 6G dalam etanol ........................................................................................ (a). Tipikal tingkatan-tingkatan energi pada larutan dye. Keadaan singlet dan triplet ditunjukkan pada kolom terpisah. (b) Diagram tingkat energi suatu dye ...................................................................... Prinsip kerja laser semikonduktor ...................................................... (a). Struktur pita laser semikonduktor sambungan p-n, dan (b) tegangan maju yang diberikan pada sambungan ................................ Tingkatan-tingkatan energi dari laser He:Ne ..................................... Tingkatan-tingkatan energi atom tembaga untuk proses laser ........... Tingkatan-tingkatan energi argon untuk laser .................................... Tingkatan-tingkatan energi dalam laser He:Cd .................................. Normalisasi intensitas berkas I/I0 sebagai fungsi dari jarak radial r pada beberapa jarak aksial berbeda : (a). z = 0, (b) z = z0, dan (c) z = 2z0........................................................................................................ Jari-jari berkas W(z) mempunyai nilai minimum W0 pada waist (z = 0), 2 W0 pada z = ± z0, dan meningkat secara linier dengan z......... Kedalaman fokus dari berkas Gauss .................................................. Transmisi berkas Gauss pada suatu lensa tipis .................................. Kombinasi dua buah lensa untuk memperlebar berkas cahaya Gauss (teleskop) ............................................................................................ Beberapa orde-terendah dari fungsi Hermite-Gauss: (a) G0(u), (b) G1(u), (c) G2(u), dan (d) G3(u)............................................................. Distribusi intensitas beberapa orde terendah dari berkas HermiteGauss dalam transverse-plane. Orde (l, m ) ditunjukkan dalam setiap kasus..........................................................................................

1 4 5 6 8 8 9 10 11 17 18 19 21 22 25 26 27 28 33 35 36 37 39 41 42

v

Gambar 3.8. Gambar 3.9. Gambar 4.1. Gambar 4.2.

Gambar 4.3. Gambar 4.4. Gambar 4.5.


Gambar 4.9.


Distribusi intensitas dari berkas Bessel dalam bidang transverse tidak bergantung pada jarak perambatan z; sehingga berkas tidak mengalami disversi.............................................................................. Perbandingan antara distribusi radial dari intensitas berkas Gauss dan berkas Bessel................................................................................ Pandu gelombang optik: (a) slab; (b) strip; (c) fiber .......................... Contoh dari pirantik optik terintegrasi yang digunakan sebagai transmitter dan receiver optik. Cahaya yang diterima dikopling ke dalam pandu gelombang dan diarahkan ke dalan fotodioda untuk dideteksi. Cahaya dari laser dipandu, dimodulasi dan dikopling ke dalam suatu serat optik........................................................................ Pandu gelombang planar logam atau cermin ...................................... Kondisi konsistensi diri; suatu gelombang memantul dua kali dan menduplikasi dirinya sendiri............................................................... Sudut-sudut θm dan komponen vektor gelombang dari modus suatu pandu gelombang planar logam (ditunjukkan oleh titik-titik). Komponen transversal kym adalah terpisah oleh π/d, namun sudut θm dan konstanta perambatan βm tidak terpisah dengan jarak yang sama. Modus m = 1 mempunyai sudut yang paling kecil dan konstanta perambatan yang paling besar............................................. Distribusi medan dari modus-modus stau pandu gelombang planar logam .................................................................................................. Pandu gelombang planar dielektrik. Berkas-berkas cahaya membentuk suatu sudut θ < θc = cos-1 (n2/n1) dipandu oleh pemantulan sempurna (total internal reflection)................................. Solusi grafis persamaan (4.19) untuk menentukan sudut-sudut θm dari suatu pandu gelombang planar dielektrik. Ruas kiri (LHS) dan ruas kanan (RHS) persamaan () diplot sebagai fungsi sin (θ). Titik potong kedua kurva (dicirikan oleh titik penuh) menentukan nilai θm. Titik-titik kosong mencirikan sin θm = mλ/2d, yang memberikan sudut-sudut modus suatu pandu gelombang logam untuk dimensi yang sama............................................................................................ Sudut-sudut θm dan komponen-komponen vektor gelombang dari modus-modus pandu gelombang kz dan ky diindikasikan oleh titiktitik. Sudut-sudut θm terletak antara 0 dan θc dan konstantakonstanta perambatan βm terletak antara n2k0 dan n1k0....................... Jumlah modus TE sebagai fungsi dari frekuensi ................................ Distribusi medan untuk modus terpandu TE dalam suatu pandu gelombang dielektrik........................................................................... Skematik hubungan dispersi; frekuensi ω terhadap konstanta perambatan β untuk modus-modus TE yang berbeda m = 0,1,2,... Kecepatan group diperoleh dari kemiringan v = dω dβ . Jika w meningkat, maka kecepatan group untuk masing-masing modus berkurang dari c2 = c0/n2 menjadi c1 = c0/n1........................................

43 44 45

46 47 47

49 50 53

54

55 56 58

59

vi



Gambar 4.19. Gambar 4.20. Gambar 4.21. Gambar 4.22. Gambar 5.1. Gambar 5.2. Gambar 5.3. Gambar 5.4.

Gambar 5.5.


Modus dari pandu gelombang logam persegipanjang dikarakterisasi oleh suatu jumlah nilai kx dan ky yang diskrit, seperti yang digambarkan oleh titik-titik................................................................. Geometri dari pandu gelombang dielektrik persegipanjang. Nilainilai kx dan ky untuk modus ditunjukkan oleh titik-titik...................... (Atas). Berbagai tipe geometri pandu gelombang: (a) strip; (b) embedded-strip; (c) rib atau ridge; (d) strip-loaded. Daerah yang lebih gelap menunjukkan indeks bias yang lebih tinggi. (Bawah). Konfigurasi piranti-piranti optik dari pandu gelombang: (a) straight; (b) S-bend; (c) Y-branch; (b) Mach-Zehnder; (e) directional coupler; (f) intersection atau cross...................................................... Kopling dari suatu berkas optik ke dalam suatu pandu gelombang.... Prisma kopler ..................................................................................... Kopling antara dua pandu gelombang yang sejajar. Pada z1, cahaya terpusat dalam pandu gelombang-1, pada z2 cahaya terbagi antara dua pandu gelombang dan pada z3, akan terpusat dalam pandu gelombang-2........................................................................................ Pertukaran daya secara periodic antara pandu gelombang-1 dan -2... Pertukaran daya antara pandu gelombang-1 dan -2 untuk kasus phase matched..................................................................................... Kopler-kopler optik: (a). switching antara daya dari satu pandu gelombang ke pandu gelombang lain; (b). kopler 3-dB...................... Kebergantungan dari rasio daya transfer pada parameter mismatch... Pandu gelombang dielektrik silinder atau fiber .................................. Geometri, profil indeks bias dan tipikal berkas-berkas dalam: (a). multimode step-index fiber, (b). single-mode step-index fiber dan (c). multimode graded-index fiber ...................................................... Trajektori berkas-berkas meridional yang terletak di dalam bidang yang memotong sumbu serat optik...................................................... Suatu berkas terpelintir (skewed ray) terletak dalam suatu bidang offset dari sumbu fiber dengan jarak R. Berkas dicirikan oleh sudutsudut θ dan φ. Berkas ini mengikuti trajektori (lintasan) heliks didalam suatu kulit silinder dengan jari-jari R dan a........................... (atas). Sudut θa dari fiber. Berkas dengan sudut tersebut dipandu dengan TIR. NA adalah numerical aperture dari fiber. (bawah). Kapasitas cahaya yang dikumpulkan ke dalam fiber dengan NA yang besar lebih banyak daripada oleh NA yang kecil....................... Sistem koordinat silinder .................................................................... Contoh distribusi radial u(r) yang diberikan oleh pers. (5.9) untuk l = 0 dan l = 3 .................................................................................... Geometri dan profil indeks bias graded-index fiber .......................... Berkas-berkas terpandu didalam core suatu fiber graded-index. (a). berkas meridional berada dalam bidang meridional didalam silinder dengan jari-jari R0. (b) Suatu berkas terpelintir mengikuti trajektori suatu heliks didalam dua selubung silinder dengan jari-jari rl dan R l .......................................................................................................

60 62

63 64 66

67 69 69 70 71 74 75 76

77

78 79 81 83

84

vii

Gambar 5.10. Gambar 5.11.



Gambar 5.17.

Gambar 5.18.

Gambar 6.1.

(a). Vektor gelombang k = (kr, kφ, kz) dalam sebuah sistem koordinat silinder. (b). Gelombang bidang-kuasi mengikuti arah suatu berkas (heliks)............................................................................ Kebergantungan koefisien atenuasi α dari gelas silika pada panjang gelombang λ0. Koefisien atenuasi minimum pada 1,3 µm (α ~ 0, 3 dB/km) dan pada 1,55 µm (α ~ 0,16 dB/km)...................................... Pelebaran pulsa akibat dispersi modus (modal dispersion) ................ Koefisien dispersi Dλ dari gelas silika sebagai fungsi dari panjang gelombang λ0....................................................................................... Profil-profil indeks bias untuk mengurangi efek dispersi kromatik dan skematik koefisien dispersi yang bergantung pada panjang gelombang (kurva putus-putus) dan kombinasi dispersi material dan koefisien dispersi pandu gelombang untuk serat optik (a). dispersion-shifted dan (b). dispersion-flattened ................................. Respon dari fiber multimode terhadap pulsa tunggal (single pulse) .. Pelebaran pulsa optik pendek setelah transmisi melalui beberapa tipe fiber (serat optik) yang berbeda. Lebar pulsa yang ditransmisikan dibentuk oleh dispersi modus dalam fiber multimode (step-index dan graded-index). Dalam fiber single-mode, lebar pulsa ditentukan oleh dispersi material dan dispersi pandu gelombang. Pada kondisi tertentu dengan intensitas pulsa yang tinggi (soliton), pulsa dapat merambat melalui fiber nonlinier tanda pelebaran. Hal ini sebagai hasil dari seimbangnya antara dispersi material dan self-phase modulation (indeks bias yang bergantung pada intensitas cahaya)........................................................................ Pelebaran pulsa pendek dalam medium linier dengan dispersi anomali; panjang gelombang pendek dari komponen B mempunyai kecepatan group yang lebih besar, karenanya menjalar lebih cepat dibandingkan dengan panjang gelombang yang lebih panjang dari komponen R. (b). Dalam medium nonlinier, self-phase modulation (n2 > 0), mengakibatkan pergeseran frekuensi negatif dalam pulsa R dan pergeseran frekuensi positif dalam pulsa B, sehingga pulsa berbentuk chirped tetapi bentuk pulsanya tak berubah. Jika pulsa chirped menjalar dalam medium linier, maka pulsa akan dikompres. Namun jika mediumnya adalah medium nonlinier dispersif (c), maka pulsa akan dikompres, diperlebar atau dijaga konstan (soliton) bergantung pada besar dan tanda dari dispersi dan efek nonlinier medium................................................................................................ Penjalaran pulsa Gauss dalam medium linier dan soliton dalam medium nonlinier. (a) pulsa Gauss mengalami pelebaran pulsa sedangkan soliton tidak mengalami pelebaran pulsa sepanjang arah perambatannya, (b) pada intensitas tinggi berkas laser tidak mengalami pelebaran dan pelemahan karena efek soliton ................. Contoh elemen swtiching, (a) 1 x 1, (b) 1 x 2, dan (c) 2 x 2. Unit kontrol berfungsi untuk mengkontrol elemen sesuai dengan yang dikehendaki..........................................................................................

86 89 90 92

94 96

98

99

101 102

viii

Gambar 6.2.


Gambar 6.6. Gambar 6.7. Gambar 6.8. Gambar 6.9. Gambar 6.10. Gambar 6.11 Gambar 6.12. Gambar 6.13. Gambar 6.14. Gambar 6.15.

Gambar 6.16. Gambar 6.17. Gambar 6.18. Gambar 6.19. Gambar 6.20.

Proses switching sinyal optik menggunakan switching elektronik. Fotodetektor digunakan untuk mengkonversi sinyal optik menjadi sinyal elektronik (O/E), sedangkan sinyal elektronik dikonversi menjadi sinyal optik (E/O) menggunakan LED (Light Emitting Diode). Tahapan konversi sinyal menyebabkan waktu switching menjadi lebih lama dan kerugian daya (power loss)........................... Switching opto-mekanik, dimana sinyal optik diswitch menggunakan sistem mekanik. Keterbatasan utama sistem switching ini adalah waktu yang relatif lama (mili-detik)................... Contoh penggunaan switching elektro-mekanik pada sambungan serat optik input pada 5 (lima) serat optik output. Index matching liquid digunakan agar kopling memiliki efisiensi yang tinggi............ Switching elektro-optik dengan konfigurasi (a). Mach-Zehnder interferometer, dan (b). Directional coupler. Tegangan yang diberikan pada bahan elektro-optik mengakibatnya perbedaan fasa sehingga output dapat diatur dengan tegangan yang diberikan........... Defleksi sinyal optik oleh grating bunyi ............................................ Proses defleksi cahaya oleh bunyi, mengikuti hukum Bragg ............. Hubungan antara reflektansi dengan sudut cahaya datang pada divais switching akusto-optik.............................................................. Contoh suatu switching dengan 4 x 4 magneto-optic crossbar.......... All-optical switching menggunakan Mach-Zehnder interferometer dengan material yang memiliki efek optik Kerr.................................. Fiber optik nonlinier dan anisotropi digunakan sebagai retardasi fasa untuk all-optical switching........................................................... Switching dengan material kristal cair (liquid crystal), dimana liquid crystal mengontrol cahaya input .............................................. All-optical switching menggunakan divais directional coupler, dimana intensitas input yang berbeda dipisahkan pada masingmasing output...................................................................................... Hubungan antara rasio daya transfer dengan phase mismatch ........... Limit pada energi dan waktu untuk all-optical switching. Energi switching harus diatas garis 100 foton. Jika switching dilakukan berulang, maka energi dan waktu switching berada di sebelah kanan garus heat transfer. Limit untuk divasi elektronik berbahan semikonduktor adalah garis 1 µW, 20 fJ dan 20 ps............................ Kurva bistabilitas optik, dimana satu nilai input memiliki dua buah nilai output. Kurva ini banyak digunakan untuk switching dan flipflops pada gerbang logika optik.......................................................... Prinsip kerja flip-flops berdasarkan kurva histeresis (bistabilitas optik) ................................................................................................... Gerbang logika AND .......................................................................... Penggunaan kurva bistabilitas untuk gerlang logika optik AND. Nilai output akan berharga satu (1), jika kedua inputnya bernilai satu (1)................................................................................................. Penggunaan kurva bistabilitas optik sebagai penguat cahaya input....

104 104 105

105 106 107 108 109 110 111 111 112 112

114 115 115 116 116 117

ix

Gambar 6.21. Gambar 7.1. Gambar 7.2. Gambar 7.3. Gambar 7.4. Gambar 7.5. Gambar 7.6. Gambar 7.7. Gambar 7.8. Gambar 7.9.

Gambar 7.10.


Gambar 7.15.

Penggunaan kurva bistabilitas sebagai pembentuk dan pembatas intensitas sinyal optik input................................................................. Kristal fotonik 1D, 2D dan 3D. Warna menggambarkan material dielektrik dengan permitivitas atau indeks bias yang berbeda............ Perambatan medan dalam kristal fotonik 1D ..................................... Pembentukan PBG pada kristal fotonik 1D. Hubungan dispersi untuk keistal 1D seragam (kiri), dan efek dari perubahan permitivitas menyebabkan split pada batas daerah Brilloin k = ± π/a Struktur kristal fotonik 2D, dimana indeks bias bervariasi pada arah-x, dan –y, namun seragam dalam arah-z..................................... Kristal fotonik 2D yang terdiri dari kolom-kolom silinder dielektrik dengan permitivitas εa dan jari-jari ra dalam udara (εb) membentuk kisi persegi dengan kosntanta kisi a ................................................... Struktur pita kristal fotonik 2D yang terdiri dari kolom-kolom dielektrik dalam udara dengan kisi persegi (square lattice) ............... (a) konfigurasi kristal fotonik 2D persegi dengan lubang-lubang udara dalam bahan dielektrik dan zona Brilloin, dan (b) struktur pita pada polarisasi TM. Daerah yang diarsir merah menunjukkan PBG. (a) konfigurasi kristal fotonik 2D heksagonal dan zona Brilloin, dan (b) struktur pita. Garis merah menunjukkan polarisasi TE dan garis biru putus-putus menunjukkan polarisasi TM .................................... (a) konfigurasi kristal fotonik 2D yang terdiri dari lubang-lubang udara dalam bahan dielektrik membentuk kisi heksagonal dan zona Brilloin, dan (b) struktur pita. Garis merah menunjukkan polarisasi TE dan garis biru putus-putus menunjukkan polarisasi TM .............. Struktur pita kristal fotonik 2D dengan lubang-lubang udara dalam bahan dielektrik yang membentuk kisi heksagonal (εa = 12 dan ra/a = 0,3). Garis merah menunjukkan polarisasi TE dan garis biru untuk polarisasi TM. Bandgap terjadi untuk kedua polarisasi ..................... Beberapa struktur kristal fotonik 3D; (a). Yablonovich (fcc mirip intan), (b). Woodpile atau Lincoln/log like, dan (c). Tetragonal square spiral (Sajeev John).................................................................. Struktur pita dari kristal fotonik 3D; (a). Yablonovich, dan (b). Tetragonal square spiral...................................................................... (a). Struktur kristal fcc dari bola-bola silika, (b). Foto SEM struktur kristal hasil eksperimen ...................................................................... (a). Prosedur pembuatan inverted opal, (b). Foto SEM inverted opal silikon dan struktur pitanya (bawah), yang menunjukkan terbentuknya bandgap sempurna (taken from A. Blanco, et al., Nature 405 (2000), p.437) .................................................................. Struktur pita kristal fotonik 3D inverted opal silikon hasil perhitungan (atas) dan hasil pengukuran dalam dua-arah yang berbeda (bawah). Garis merah menunjukkan polarisasi TE dan hitam untuk polarisasi TM (taken from Y. A. Vlasov et al., Nature 414, (2001), p. 289) ............................................................................

117 118 123 125 126 128 130 131 131

132

133 133 134 134

135

136

x


Gambar 7.18.

Gambar 7.19.


Gambar 7.22.

Pengaruh penyisipan defect pada struktur pita bandgap (a). Point defect, dan (b) Line defect................................................................... Hasil eksperimen dan kurva resonansi dari (a) point defect untuk aplikasi resonator [taken from J.S. Foresi, et al, Nature 390 (1997), p. 14], dan (b). Line defect untuk pandu gelombang [taken from S. Olivier et al, Optical and Quantum Electronics 34 (2002), p.171]...... Kristal fotonik untuk aplikasi laser; (a). 1D dari material MEH-PPV [taken from M. Gaal et al., Adv. Mater 15 (2003), p.1165], dan (b) 2D dari material InGaAsP [taken from O. Painter et al, Science 284 (1999), p. 1819]................................................................................... Foto pandu gelombang dengan sudut 1200 pada kristal fotonik 2D (kiri), dan hasil pengukuran refleksi cahaya. Tampak bahwa cahaya dengan panjang gelombang sekitar 1 µm dapat ditransmisikan [taken from M. Tokushima et al, Appl. Phys. Lett. 76 (2000), p. 952] ..................................................................................................... Disain, foto SEM dan hasil pengukuran spektrum filter add-drop [taken from S. Noda et al, Nature 407 (2000), p.608] ........................ (a) Disain all-optical diode dan perhitungan transmitansi sebagai fungsi dari frekuensi, dan (b) Karakteristik all-optical diode [taken from S. Mingaleev & Y. Kivshar, J. Opt. Soc. Am. B 19 (2002), p.2241] ................................................................................................ (a). Foto SEM struktur kristal fotonik (kiri) dan hasil pengukuran, simulasi PBG (kanan), dan (b). Hasil pengukuran transmitansi pada defect mode (551 nm) sebagai dungsi dari intensitas pumping (bagian kiri adalah hasil pengukuran dan kanan adalah hasil simulasi), sedangkan bagian kanan adalah perubahan transmitansi sebagai fungsi dari waktu tunda (delay) .............................................

137

138

139

140 140

141

142

xi

BAB 1 LASER

Laser merupakan singkatan dari Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, yaitu terjadinya proses penguatan cahaya oleh emisi radiasi yang terstimulasi. Ada tiga prinsip interaksi antara cahaya dengan materi, yaitu abosrpsi, emisi spontan dan emisi terstimulasi.

Dalam bab ini, akan dibahas proses emisi

terstimulasi dan beberapa persyaratan material agar terjadi emisi terstimulasi.

1.1. Interaksi cahaya dengan materi Pada dasarnya ada tiga macam bentuk interaksi yang terjadi antara cahaya dengan materi, yaitu absorpsi, emisi spontan dan emisi terstimulasi. Pandang dua buah tingkatan energi E1 dan E2, dimana E2 > E1, seperti ditunjukkan pada Gb. 1.1.

Gambar 1.1. Tiga jenis interaksi cahaya dengan materi, yaitu (a). absorpsi, (b). emisi spontan dan (c). emisi terstimulasi.

Adapun pengertian dari masing-masing proses di atas adalah sebagai berikut : (a). Absorpsi adalah proses tereksitasinya elektron dari tingkatan energi E1 ke E2 akibat penyerapan foton dengan energi hν > (E2 - E1), dimana h adalah konstanta Planck 6,626 x 10-34 J.s (b). Emisi spontan adalah proses meluruhnya elektron yang tereksitasi di tingkatan energi E2 ke tingkatan energi E1. Karena E2 > E1, maka proses peluruhan akan melepaskan energi yang berupa :

1

♦ Emisi radiatif (memancarkan foton dengan energi = E2 – E1) ♦ Emisi non-radiatif ( tidak memancarkan foton) (c). Emisi terstimulasi adalah proses yang melibatkan elektron-elektron yang sudah berada di E2 distimulasi/dirangsang oleh foton yang datang untuk meluruh ke E1, sehingga akan memperkuat energi cahaya yang datang (amplification by stimulated emission of radiation) Assumsikan Ni adalah jumlah molekul/atom persatuan volume yang menduduki tingkat energi ke-i pada waktu t (populasi level-i), maka probabilitas/kemungkinan terjadinya proses absorpsi dan emisi adalah sebagai berikut : (1). Absorpsi Laju transisi polulasi dari tingkatan energi-1 ke tingkatan energi-2 :

 dN1    = − W12 N1  dt a

(1.1)

dengan W12 adalah laju absorpsi yang didefinisikan sebagai :

W12 = σ12 F

(1.2)

dimana σ12 adalah penampang absorpsi, dan F adalah fluks foton (cm-2 det-1). (2). Emisi Spontan Emisi spontan merupakan laju transisi populasi dari tingkatan energi-2 ke energi-1

N  dN 2    = − AN 2 = − 2 τsp  dt sp

(1.3)

dengan A adalah laju emisi spontan atau disebut juga koefisien Einstein (det-1), dan τsp = A-1 = lifetime emisi spontan (det). Untuk emisi non-radiatif berlaku :

N  dN 2    =− 2 τnr  dt  nr

(1.4)

dimana τnr = lifetime emisi spontan (det). Perbedaan antara emisi spontan dan emisi non-radiatif adalah pada lifetimenya, dimana nilai τsp hanya bergantung pada transisi tertentu, sedangkan τnr bergantung pada transisi tertentu dan keadaan media sekelilingnya.

2

(2). Emisi Terstimulasi Emisi terstimulasi sama dengan emisi spontan, dimana terjadi laju transisi dari E2 ke E1 :

 dN 2    = − W21 N 2  dt st

(1.5)

dengan W21 adalah laju emisi terstimulasi (det-1) yang didefinisikan sebagai :

W21 = σ 21 F

(1.6)

dimana σ21 adalah penampang emisi terstimulasi, dan F adalah fluks foton (cm-2 det-1). Proses emisi terstimulasi dicirikan oleh emisi terstimulasi dan absorpsi, dimana menurut Einstein:

g 2 W21 = g1W12 g 2 σ 21 = g1σ12

(1.7)

dengan g1 adalah jumlah degenerasi di tingkatan energi-1, dan g2 adalah jumlah degenerasi di tingkatan energi-2

1.2. Ide Dasar dari Laser Emisi pada Laser adalah emisi terstimulasi. Pandang suatu sistem yang terdiri dari dua tingkatan energi E1 dan E2 (E2 > E1), dengan jumlah populasi masing-masing N2 dan N1. Suatu cahaya dengan fluks F datang ke dalam sistem melewati suatu elemen panjang dz, maka fluks output menjadi F + dF, seperti yang ditunjukkan pada Gb. 1.2. Bila suatu foton datang dengan fluks F ke dalam bahan, maka akan terjadi perubahan fluks sebesar dF akibat absorpsi dan emisi terstimulasi. Jika foton yang datang mempunyai penampang lintang S, maka perbedaan foton yang datang dan yang keluar dari daerah dz adalah SdF.

3

Gambar 1.2. Fluks cahaya input datang F melewati bahan menjadi F + dF akibat absorpsi dan emisi terstimulasi.

SdF merupakan perbedaan emisi spontan dan absorpsi di daerah dz persatuan waktu, yang didefinisikan sebagai :

S dF = (W21 N 2 − W12 )S dF

(1.8)

Dari persamaan-persamaan (1.1), (1.5), (1.6), dan (1.7), maka diperoleh :

S dF = (W21 N 2 − W12 ) S dF  dN   dN 2   =  1  −    S dz  dt  a  dt  sp    g dF = σ 21 F N 2 − 2 N 1  dz g1  

(1.9)

Persamaan (1.9), mempunyai arti fisis sebagai berikut : (a). Bahan bersifat sebagai penguat cahaya (optical amplifier), jika :

dF > 0 maka N 2 > N1 dz yang berarti inversi populasi (N2 > N1). (b). Bahan bersifat sebagai penyerap cahaya (optical absorber), jika :

dF < 0 maka N 2 < N 1 dz Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa material yang dapat digunakan sebagai bahan aktif Laser adalah material yang memiliki inversi populasi.

4

1.3. Komponen Dasar Laser Pada persamaan (1.9), populasi pada keadaan kesetimbangan termal (ekuilibrium), populasi-populasi digambarkan oleh statistik Boltzmann. Jika N1e dan N e2 adalah berturut-turut populasi pada kesetimbangan termal, maka :

N e2 g 2  E − E1  = exp−  2  e N1 g1  kT 

(1.10)

dengan k adalah konstanta Boltzmann dan T adalah temperatur absolut dari material. Pada kesetimbangan termal, berlaku N e2 < g 2 N1e / g1 , dimana ini terjadi pada kondisi

yang umum/normal. Namun jika kondisi ketidaksetimbangan dicapai ( N e2 > g 2 N1e / g1 ), maka material berperilaku sebagai penguat (amplifier), yang berarti terjasi inversi populasi. Sehingga material ini dapat digunakan sebagai bahan aktif dari Laser. Jika frekuensi transisi ν 0 = (E 2 − E1 ) / kT berada pada daerah gelombang mikro, maka tipe material penguat ini disebut maser amplifier, dan jika berada pada daerah optik, maka disebut laser amplifier. Untuk membuat suatu osilator dari amplifier, maka diperlukan suatu feedback positif yang sesuai.

Dalam daerah gelombang mikro, hal ini dilakukan dengan

menempatkan bahan aktif dalam resonant cavity yang memiliki frekuensi ν0. Dalam kasus Laser, feedback sering diperoleh dengan menempatkan bahan aktif diantara dua cermin pemantul (reflecting mirrors), seperti cermin bidang yang sejajar (Gambar 1.3).

output cermin-1

bahan aktif

cermin-2

Gambar 1.3. Skema dasar dari Laser

Dalam kasus ini, gelombang bidang EM menjalar dalam arah yang tegak lurus dari cermin, sehingga terjadi pemantulan oleh kedua cermin, dan dikuatkan pada setiap lintasan melalui bahan aktif. Jika cermin-2 dibuat transparan sebagian, maka berkas cahaya output akan diperoleh dari cermin-2.

5

Agar dapat diproduksi inversi populasi dalam bahan aktif, maka interaksi antara cahaya dengan material/bahan harus cukup kuat, mungkin dengan menggunakan lampu berintensitas cukup tinggi pada frekuensi ν = ν0. Karena pada kesetimbangan termal

(N1 / g1 ) > (N 2g 2 ) ,

absorpsi lebih dominan daripada emisi terstimulasi, maka cahaya

datang akan lebih banyak menghasilkan transisi 1→2 daripada 2→1, sehingga diharapkan akan terjadi inversi populasi. Namun kenyataannya tidak pernah terjadi (setidaknya pada kasus steady state). Jika g2N2 = g1N1, proses absorpsi dan emisi terstimulasi saling mengkompensasi, sehingga material menjadi transparan. Keadaan ini disebut two-level saturation. Populasi inversi tidak akan pernah bisa dihasilkan oleh material dengan dua tingkatan energi (two-level). Agar terjadi inversi populasi, maka harus dilakukan pada three-level atau fourlevel, seperti ditunjukkan pada Gb. 1.4.

3

3

fast decay

fast decay

2

2 pumping

pumping

laser

1

laser

fast decay

1 (a)

0 (b)

Gambar 1.4. Skema laser (a). three-level, dan (b). four-level

Dalam laser three-level, atom-atom tereksitasi ke tingkatan/level-3, kemudian meluruh dengan cepat ke level-2, sehingga inversi populasi terjadi antara level-2 dan level-1, maka terjadilah laser. Dalam laser four-level, atom-atom tereksitasi dari keadaan dasar (level-0) ke level-3, kemudian meluruh secara cepat ke level-2 dan terjadi inversi populasi antara level-2 dan level-1, sehingga terjadi emisi terstimulasi (laser). Peluruhan cepar dapat terjadi dari level-1 ke level-0 yang umumnya non-radiatif. Jika dibandingkan antara kedua sistem laser diatas, maka jelas, bahwa inversi populasi lebih mudah terjadi pada four-level daripada three-level laser.

6

1.4. Sifat-sifat Berkas Cahaya Laser Sifat cahaya laser dicirikan oleh monokromatik, koheren, terarah dan brightness. 1.4.1. Monokromatik

Monokromatis artinya hanya satu frekuensi yang dipancarkan. Sifat ini diakibatkan oleh : •

Hanya satu frekuensi yang dikuatkan [ν = (E2-E1)/h]

•

Susunan dua cermin yang membentuk cavity-resonant sehingga osilasi hanya terjadi pada frekuensi yang sesuai dengan frekuensi cavity.

1.4.2. Koheren

(a). Koheren ruang (spatial coherence) Pandang dua buah titik P1 dan P2 dimana pada waktu t = 0 terletak pada bidang muka gelombang cahaya/EM yang sama. Andaikan E1(t) dan E2(t) adalah medan-medan listrik pada kedua titik tadi. Pada t = 0 perbedaan fasa kedua medan ini adalah nol. Jika perbedaan fasa ini dapat dipertahankan pada t > 0, maka dikatakan koheren ruang sempurna (perfect spatial coherence).

Jika titik P1 dan P2 terletak pada beberapa titik memiliki

korelasi fasa yang baik (perbedaan fasanya kecil), maka disebut koheren ruang sebagian (partial spatial cohenrence). (b). Koheren waktu (temporal coherence) Pandang medan listrik suatu gelombang EM pada titik P pada waktu t dan t + τ. Jika pada sembarang waktu τ yang diberikan, perbedaan fasa antara dua medan tetap sama seperti pada waktu t, maka dikatakan terjadi koheren waktu sepanjang waktu τ. Jika hal ini terjadi pada sembarang nilai τ, maka gelombang EM dikatakan koheren waktu sempurna (perfect temporal coherence). Jika hanya terjadi untuk waktu delay τ, dimana 0 < τ < τ0,

maka gelombang EM dikatakan koheren waktu sebagian dengan waktu koherense τ0. Contoh suatu gelombang EM dengan waktu koherensi τ0 ditunjukkan pada Gb. 1.5, dimana medan listrik mengalami lompatan fasa pada interval waktu τ0.

7

Gambar 1.5. Contoh gelombang EM dengan waktu koherensi τ0. 1.4.3. Keterarahan (Directionality)

Merupakan konsekuensi langsung ditempatkannya bahan aktif dalam cavity resonant, dimana hanya gelombang yang merambat dalam arah yang tegak lurus terhadap cermin-cermin yang dapat dipertahankan dalam cavity. (a). Kasus koheren ruang sempurna Pada jarak tertentu masih terjadi divergensi akibat difraksi, seperti ditunjukkan pada Gb. 1.6.

Gambar 1.6. Difraksi berkas cahaya laser untuk kasus koheren ruang sempurna

8

Prinsip Huyghens : muka-muka gelombang pada layar dapat diperoleh

akibat superposisi dari gelombang-gelombang yang dipancarkan oleh tiap titik di apertur D, maka sudut difraksi diungkapkan oleh :

θD =

βλ D

(1.11)

dimana λ adalah panjang gelombang laser, D adalah diameter celah dan β adalah koefisien numerik. Suatu berkas cahaya dimana divergensinya dapat diungkapkan dalam bentuk θD diatas disebut diffraction limited. (a). Kasus koheren ruang parsial Divergensi lebih besar daripada nilai minimum untuk difraksi, dimana :

θ=

βλ

(S c )1 / 2

(1.12)

dimana Sc adalah luas koherensi yang berperilaku sebagai apertur batas terjadinya superposisi koheren dari wavelets elementer. Sebagai kesimpulan, bahwa berkas output laser harus dibuat dalam batas difraksi (diffraction limited). 1.4.4. Brightness (Kecemerlangan)

Brightness suatu sumber cahaya didefinisikan sebagai daya yang dipancarkan persatuan luas permukaan persatuan sudut ruang (lihat Gb. 1.7).

Gambar 1.7. Proyeksi sudut ruang yang dipancarkan

Daya yang dipancarkan dP oleh permukaan luas dS ke sudut ruang dΩ di sekitar titik OO’:

9

dP = B cos θ dS dΩ

(1.13)

Faktor cos θ secara fisis merupakan proyeksi dS para bidang ortogonal terhadap arah OO’. B adalah brightness sumber pada titik O dalam arah OO’. Besaran ini bergantung pada koordinat θ. Bila B merupakan suatu konstanta, maka sumber cahaya dikatakan isotropik (sumber Lambertian). Berkas laser dengan daya P mempunyai diameter berkas D dan divergensi θ (biasanya θ z0, jari-jari berkas bertambah secara linier dengan z [pers. (3.22). Terdapat sekitar 86% daya berkas terfokus pada sudut θ0. Karenanya sudut θ0 disebut dengan sudut berkas.

3.2.1.5. Kedalaman Fokus Karena berkas (beam) memiliki lebar minimum pada z = 0, seperti ditunjukkan pada Gb. 3.3., maka berkas akan memperoleh fokus yang baik pada z = 0. Di luar daerah itu, berkas meningkat secara perlahan “keluar dari fokus (out of focus)”. Jarak dimana jari-jari berkas terletak dalam suatu faktor sebesar

2 dari nilai minimumnya

(2z0) disebut dengan kedalaman fokus (depth of focus) atau parameter konvokal (convocal parameter), yang didefinisikan sebagai: b = 2z 0 =

2πW02 λ

(3.23)

35

Contoh: Laser He-Ne, dengan panjang gelombang 633 nm, mempunyai 2W0 = 2 cm. maka kedalaman fokusnya berdarkan pers. (3.23) adalah 1 km.

Gambar 3.3. Kedalaman fokus dari berkas Gauss

3.2.1.6. Fasa Fasa dari berkas Gauss diberikan oleh: ϕ(ρ, z ) = kz − ξ(z ) +

kρ 2 2R (z )

(3.24)

Pada sumbu berkas ρ = 0, ϕ(0, z ) = kz − ξ(z ) dengan kz adalah fasa dari berkas/cahaya datang, dan ξ (z) adalah perbedaan fasa dengan rentang dari –π/2 pada z = -∞ sampai +π/2 pada z = ∞.

Perbedaan fasa ini berkaitan dengan delay antara muka-muka

gelombang (wavefront) dibandingkan dengan gelombang bisang atau bola.

Total

perbedaan dari penjalaran gelombang dari z = -∞ sampai z = ∞ adalah π. Fenomenon ini disebut dengan efek Guoy.

36

3.3. Transmisi melalui suatu lensa tipis Suatu berkas Gauss yang berpusat di z = 0 dengan beam waist W0 dilewatkan ke dalam suatu lensa tipis pada jarak z, seperti yang diilustrasikan dalam Gb.3.4. W0 θ0

W

θ0

R

W0'

W’

θ'0

z

R’

z'0

z0 z’

z

Gambar 3.4. Transmisi berkas Gauss pada suatu lensa tipis Dari Gb. 3.4. diatas, fasa pada bidang lensa adalah: kz +

kρ 2 − ξ(z ) 2R (z )

(3.25)

sedangkan fasa dari berkas yang ditransmisikan diberikan oleh: kz +

kρ 2 ρ2 kρ 2 − ξ(z ) − k = kz + − ξ(z ) 2R (z ) 2f 2R ' (z )

 kρ 2   adalah A 0 exp i   2f 

dimana

transmittansi

(3.26)

dari

lensa

tipis,

( nc), dengan n adalah indeks bias lensa, d

A 0 = exp(− ink 0 d 0 ) dan k 0 = ω

0

dengan

adalah tebal

lensa dan f adalah fokus lensa. Dengan demikian, maka:

1 1 1 = − R' R f W

W0' =

(

)

1 + πW 2 λR ' 2    R' z' = 1 + λR ' πW 2 2   

(

1/ 2

(3.27)

)

Bila besaran R dan W dalam pers. (3.14) disubsitusikan ke dalam pers. (3.27), diperoleh:

37

a. Beam waist;

W0' = MW0

b. Posisi waist;

(z'−f ) = M 2 (z − f )

c. Kedalaman fokus; 2z '0 = M 2 ( 2z 0 ) d. Sudut divergensi; 2θ'0 = M=

e. Penguatan;

r=

2θ0 M Mr

(1 + r )

2 1/ 2

z0 z−f

Mr =

f z−f

3.3.1. Pemfokusan berkas Bila suatu lensa diletakkan pada posisi beam waist dari berkas Gauss, maka berkas cahaya Gauss akan difokuskan. Substitusi z = 0 kedalam pers. (3.27), diperoleh: W0' = z' =

[1 + (z

W0 0

f )2

]

1/ 2

f

(3.28)

[1 + (f z ) ] 2

0

Jika kedalaman fokus berkas cahaya datang (2z0) jauh lebih besar daripada folus dari lensa (f), maka: W0' ≈

f W0 = θ0 f z0

(3.29)

z' = f

Pemfokusan berkas digunakan pada berbagai aplikasi, seperti scanning laser, printer laser dan fusi laser. Dalam aplikasi-aplikasi tersebut, spot size diusahakan sekecil mungkin, maka: a. Panjang gelombang berkas (λ) diusahakan sependek mungkin b. Fokus lensa (f) sekecil mungkin c. Beam waist berkas cahaya datang (W0) sebesar mungkin.

38

3.3.2. Ekspansi berkas Dalam aplikasi, seringkali kita memerlukan berkas cahaya laser dengan spot

size yang besar. Cara yang seringkali digunakan adalah menggunakan teleskop, yaitu kombinasi dua buah lensa dengan panjang fokus yang berbeda, seperti yang diilustrasikan dalam Gb. 3.5.

d z

z’

z1 2W0"

2W0

f1

2W0'

f2 Gambar 3.5. Kombinasi dua buah lensa untuk memperlebar berkas cahaya Gauss (teleskop)

Sebagai latihan: Hitung berapa fokus lensa f1 dan f2, agar berkas Gauss menjadi 4 kali beam waist berkas cahaya datang.

3.4. Berkas Hermite-Gauss Solusi persamaan paraksial Helmholtz [pers. (3.8)], bukan hanya berkas Gauss, namun juga dapat berbentuk berkas-berkas non-Gauss. Pandang berkas Gauss berbentuk:

A G (x , y, z ) =

 A x 2 + y2  exp  − ik  q(z ) 2q ( z )  

(3.30)

q( z ) = z + iz 0 Sekarang kita tinjau suatu gelombang yang dimodulasi oleh berkas Gauss dengan bentuk:  x   y  A ( x , y, z ) = Χ  2 Υ 2 exp[iΖ( z )]A G ( x , y, z )  W( z )   W( z )  

(3.31)

39

dimana X, Y dan Z adalah fungsi-fungsi riil. Bila persamaan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan paraksial Helmholtz, diperoleh: ∂Z 1  ∂2X ∂Y  ∂X  1  ∂ 2 Y  + kW 2 (z )  2 − 2u  +  2 − 2ν =0     ∂z ∂ν  Χ  ∂u ∂u  Y  ∂ν

dimana u = 2

(3.32)

x y dan ν = 2 . W (z) W (z)

Dengan menggunakan teknik pemisahan variabel (dibahas dalam mata kuliah Fisika Matematik), maka diperoleh:

−

1 d2X dX +u = µ1 X 2 2 du du

−

1 d2Y dY +ν = µ2 Y 2 2 dν dν

(3.33)

  z  2  dZ z 0 1 +    = µ1 + µ 2   z 0   dz Pers. (3.33) adalah persamaan eigen dengan nilai eigen µ1 = l; l = 0,1,2,... dan fungsinya adalah polinom Hermit. X( u) = H l ( u)

(3.34)

dimana: H l+1 ( u ) = 2uH l ( u ) − 2lH l−1 ( u ) H 0 (u) = 1

H 1 ( u ) = 2u

(3.35)

H 2 ( u ) = 4u 2 − 2 Dengan cara yang sama, maka: µ2 = m Υ ( ν) = H m ( ν )

(3.36)

Substitusi µ1 = l, µ 2 = m kedalam pers. (3.33) dan kemudian integrasikan, diperoleh: Z(z ) = (l + m )ξ(z )  z  ξ(z ) = tan −1    z0 

(3.37)

40

sehingga persamaan gelombangnya menjadi:  2y     W   2x  x 2 + y2 U l,m ( x , y, z ) = A l,m  0 G l  G exp − ikz − ik + i(l + m + 1)ξ(z )  m   2R (z )  W( z )   W( z )     W( z )  (3.38) Persamaan (3.38) disebut dengan persamaan berkas Hermite-Gauss, dan:  u2  G l ( u ) = H l ( u ) exp −   2 

(3.39)

disebut dengan fungsi Hermite-Gauss. Karena H 0 (u ) = 1 , maka orde-0 dari persamaan (3.39) adalah fungsi Gauss. Fungsi Hermite-Gauss mempunyai karakteristik selangseling fungsi ganjil dan fungsi genap, seperti yang diilustrasikan dalam Gb.3.6.  u2  G1 ( u ) = 2u exp −  : fungsi ganjil  2   u2  G 2 ( u ) = ( 4u 2 − 2) exp −  : fungsi genap  2 

G3(u) : fungsi ganjil,....

Gambar 3.6. Beberapa orde-terendah dari fungsi Hermite-Gauss: (a) G0(u), (b) G1(u), (c) G2(u), dan (d) G3(u).

41

3.4.1. Distribusi Intensitas

Intensitas berkas Hermite-Gauss diberikan oleh: 2

 2x  2  2y  2 W  I l,m ( x, y ) = A l,m  0  G 2l   G m   W( z )   W( z )   W( z ) 

(3.40)

Gambar 3.7., mengilustrasikan kebergantungan intensitas pada normalisasi jarak

u = 2 x / W (z) dan v = 2 y / W (z) untuk beberapa nilai l dan m. Berkas orde lebih tinggi memiliki lebar yang lebih besar daripada orde yang lebih rendah. Namun, lebar berkas sebanding dengan W(z), sehingga jika z meningkat, maka profil intensitas diperbesar dengan faktor W(z)/W0 dengan tetap mempertahankan bentuk profilnya.

Gambar 3.7. Distribusi intensitas beberapa orde terendah dari berkas Hermite-Gauss dalam transverse-plane. Orde (l, m ) ditunjukkan dalam setiap kasus.

3.5. Berkas Laguerre-Gauss Berkas Laguerre-Gauss merupakan solusi persamaan paraksial Helmholtz dalam koordinat silinder r = (ρ, φ, z ) . Orde terendah dari berkas Laguerre-Gauss adalah Gauss.

3.6. Berkas Bessel Dalam setiap pencarian bentuk gelombang berkas, merupakan cara alami untuk menentukan kemungkinan dari eksistensi gelombang-gelombang dengan muka-muka gelombang (wavefront) planar, namun dengan distribusi intensitas yang tak-seragam (non-uniform). Pandang suatu fungsi gelombang dengan amplitudo kompleks: r U (r ) = A( x, y ) exp( −iβz )

(3.41)

42

Persamaan gelombang ini memenuhi persamaan Helmholtz, ∇ 2 U + k 2 U = 0 , dimana amplitudo A(x,y,z) memenuhi persamaan: ∇T 2 A + k T 2 A = 0

(3.42)

k T2 + β 2 = k 2

Pers. (3.42) disebut dengan persamaan Helmholtz orde kedua. Dengan substitusi x = ρ cos φ dan y = ρ sin φ , maka diperoleh: A( x, y) = A m J m (k T ρ ) exp(imφ); m = 0,±1,±2,...

dimana Jm adalah fungsi Bessel dan Am adalah konstanta.

(3.43) Untuk m = 0, maka

diperoleh fungsi Bessel: r U ( r ) = A 0 J 0 (k T ρ ) exp(− iβ z )

(3.44)

sehingga memiliki wavefront planar. Normal dari wavefront adalah seluruhnya sejajar dengan sumbu-z. Intensitas berkas Bessel diungkapkan oleh: 2

( )

I(ρ, φ, z ) = A 0 J 02 k T ρ

(3.45)

yang merupakan simetri sirkular yang berubah terhadap ρ, seperti diilustrasikan pada Gb. 3.8. Intensitas tidak bergantung pada arah perambatan-z, sehingga tidak terjadi pelebaran daya optik. Gelombang ini disebut berkas Bessel. Berkas cahaya Bessel ini banyak digunakan dalam penelitian untuk komunikasi optik dengan menggunakan hollow fibers, sehingga tidak terjadi pengurangan intensitas pulsa dengan pertambahan

jarak.

Gambar 3.8. Distribusi intensitas dari berkas Bessel dalam bidang transverse tidak bergantung pada jarak perambatan z; sehingga berkas tidak mengalami disversi.

43

Jika dibandingkan antara berkas Gauss dan Bessel, maka terdapat tiga perbedaan mendasar, yaitu : a.

Amplitudo kompleks dari berkas Bessel adalah solusi eksak dari persamaan Helmholtz, sedangkan berkas Gauss adalah solusi aproksimasi (tepatnya complex envelope-nya merupakan solusi eksak dari persamaan paraksial Helmholtz).

b.

Distribusi intensitas dari berkas Gauss dan Bessel ditunjukkan pada Gb. 3.9. Perilaku asimtotis dari kedua distribusi pada jarak radial yang besar sangat berbeda.

[

]

Jika intensitas berkas Gauss berkurang secara eksponensial, I ~ exp − 2ρ 2 / W 2 ( z ) , maka intensitas berkas Bessel sebanding dengan J 02 ( k T ρ) ≅

2 π  cos 2  k T ρ −  , k Tρ 4 

dimana merupakan fungsi osilator yang meluruh secara lambat (slowly decay). c.

Root-mean square (rms) dari lebar berkas Gauss adalah terbatas (finite)

σ = W (z) / 2 , maka rms lebar berkas Bessel adalah tak-terbatas (infinite) pada semua nilai z, namun ada trade-off (kompomi) antara ukuran minimum berkas dengan divergensi. Walaupun divergensi berkas Bessel adalah nol, namun lebar rms-nya tak-terbatas.

Berkas Bessel dibangkitkan dengan skema khusus,

sedangkan berkas Gauss dapat diperoleh pada resonator speris yang umum pada laser.

Gambar 3.9. Perbandingan antara distribusi radial dari intensitas berkas Gauss dan berkas Bessel.

44

BAB 4 PANDU GELOMBANG PLANAR Instrumen optik konvensional dapat mentransmisikan cahaya antara tempattempat yang berbeda dalam bentuk berkas-berkas (beams) yang dikolimasi, direlay, difokuskan atau discanning dengan cermin, lensa dam prisma.

Teknologi untuk

mentransmisikan cahaya saat ini menggunakan pandu gelombang. Pandu gelombang mempunyai peranan penting dalam teknologi komunikasi dan fabrikasi piranti-piranti optik dan optoelektronik memerlukan confinement cahaya. Konsep dasar dari confinement cahaya cukup sederhana. Suatu medium dengan indeks bias tertentu disisipkan dalam suatu medium yang mempunyai indeks bias lebih rendah, sehingga akan bertindak sebagai perangkap cahaya (trap). Pandu gelombang dapat berupa papah (slab), strip atau fiber, seperti yang diilustrasikan dalam Gb. 4.1.

(a)

(b)

(c)

Gambar 4.1. Pandu gelombang optik: (a) slab; (b) strip; (c) fiber

Optik terintegrasi adalah teknologi terintegrasi dari berbagai piranti dan komponen optik untuk pembangkitan, pemfokusan, pemisahan, penggabungan, isolasi, polarisasi, penggandengan (coupling), switching, modulasi dan pendeteksian cahaya, dalam satu substrat tunggal (chip). Pandu gelombang digunakan sebagai sambungan antara komponen-komponen optik diatas. Tujuan dari optik terintegrasi adalah

45

miniaturisasi optik sebagaimana halnya pada miniaturisasi elektronik dengan sirkuit terintegrasi.

Coupler

Coupler

Cahaya masuk Serat optik

Cahaya keluar

Modulator

Substrat Pandu gelombang Laser

Fotodioda

Gambar 4.2. Contoh dari pirantik optik terintegrasi yang digunakan sebagai transmitter dan receiver optik. Cahaya yang diterima dikopling ke dalam pandu gelombang dan diarahkan ke dalan fotodioda untuk dideteksi. Cahaya dari laser dipandu, dimodulasi dan dikopling ke dalam suatu serat optik.

Dalam optik terintegrasi, ada dua jenis pandu gelombang, yakni pandu gelombang logam dan dielektrik. Perbedaan antara kedua pandu gelobnag tersebut adalah bahwa pada batas suatu pandu gelombang logam, medan harus sama dengan nol, namun pada pandu gelombang dielektrik, medan akan berpenetrasi ke dalam selubung dengan indeks bias ang lebih rendah. Modus-modus gelombang dapat dicari dengan dua cara: dengan menyelesaikan persamaan-persamaan Maxwell atau dengan cara analisa berkas (ray tracing).

4.1 Pandu Gelombang Logam Pandang suatu pandu gelombang yang terbuat dari dua buah cermin planar sejajar yang panjangnya tak hingga (lihat Gb. 4.3). Cermin-cermin tersebut terpisah oleh jarak d dan diasumsikan ideal, yaitu memantulkan cahaya tanpa kerugian (loss).

46

Gambar 4.3. Pandu gelombang planar logam atau cermin

4.1.1. Modus-modus Pandu Gelombang

Pandang suatu gelombang bidang monokromatik TEM dengan panjang gelombang λ = λ0/n, bilangan gelombang k = nk0 dan kecepatan fasa c = c0/n, dimana n adalah indeks bias medium diantara cermin-cermin. Kondisi konsistensi diri (selfconsistency) memerlukan bahwa gelombang gelombang memantul dua kali dan

mereproduksi dirinya sendiri (lihat Gb. 4.4), sehingga ada dua gelombang bidang yang dapat dibedakan. Medan-medan yang memenuhi kondisi ini disebut eigenmoduss atau modus dari pandu gelombang.

Gambar 4.4. Kondisi konsistensi diri; suatu gelombang memantul dua kali dan menduplikasi dirinya sendiri.

Secara grafik, pada Gb. 4.4, fasa dapat diungkapkan sebagai: 2 πA C 2πA B − 2π − = 2 πN λ λ

(4.1)

47

dimana N = 0,1,2,… Karena AC − AB = 2d sin θ , maka: 2π 2d sin θ = 2πm λ

(4.2)

dimana m = 1,2,…. Sudut θ suatu modus dapat ditulis sebagai: λ  θ m = sin −1  m   2d 

(4.3)

Persamaan 4.3, dapat diilustrasikan dalam Gb. 4.5(atas). Karena komponen-y (komponen transversal) dari konstanta perambatan adalah ky = nk0 sin θ, maka ia dapat dikuantisasi menjadi nilai: k ym = m

π d

(4.4)

4.1.2. Konstanta Perambatan

Komponen-z dari konstanta perambatan, kz, dimana gelombang menjalar adalah gelombang bidang dengan exp(-ikzz), maka konstanta perambatan kz = β = k cos θm. Nilai βm dapat dikuantisasi sebagai:

β 2m

 mπ  = k (1 − sin θ m ) = k −    d  2

2

2

2

(4.5)

Modus dengan orde yang lebih tinggi menjalar dengan konstanta perambatan yang lebih kecil. Nilai-nilai θm, kym dan βm untuk berbagai modus diilustrasikan dalam Gb. 4.5(bawah).

48

Gambar 4.5. Sudut-sudut θm dan komponen vektor gelombang dari modus suatu pandu gelombang planar logam (ditunjukkan oleh titik-titik). Komponen transversal kym adalah terpisah oleh π/d, namun sudut θm dan konstanta perambatan βm tidak terpisah dengan jarak yang sama. Modus m = 1 mempunyai sudut yang paling kecil dan konstanta perambatan yang paling besar.

4.1.3. Distribusi Medan

Distribusi medan dapat diungkapkan oleh: E x ( y, z ) = a m u m ( y ) exp( −iβ m z )

(4.6)

dimana um(y) didefinisikan sebagai:

49

   u m (y ) =    

2 mπy cos , m = 1,3,5,... d d (4.5) 2 mπy sin , m = 2,4,6,... d d

dan a m = 2d A m adalah amplitudo modus m. Fungsi-fungsi um(y) dinormalisasi untuk memenuhi: d/2

∫−

d/2

u 2m ( y )dy = 1

(4.8)

Juga dapat ditunjukkan bahwa fungsi-fungsi um(y) memenuhi: d/2

∫−

d/2

u m ( y )u l ( y)dy = 0, l ≠ m

(4.9)

yaitu ortogonal di dalam interval [-d/2,d/2]. Distribusi transversal um(y) ditunjukkan dalam Gb. 4.6. Masing-masing modus dipandang sebagai gelombang berdiri dalam arah-y yang merambat dalam arah-z. Karena kita berasumsi bahwa gelombang bidang TEM adalah terpolarisasi dalam arahx, medan listrik total juga dalam arah-x, maka gelombang terpandu disebut gelombang TE (Transverse-Electric). Gelombang TM (Transverse-Magnetic) dapat diturunkan dengan cara yang sama.

Gambar 4.6. Distribusi medan dari modus-modus stau pandu gelombang planar logam

50

4.1.4. Jumlah Modus

Jumlah modus didefinisikan sebagai: sin θ m =

mλ d

(4.10)

Karena nilai maksimum adalah pada sin θm = 1, maka jumlah maksimum modus adalah:

m max = M =

2d λ

(4.11)

dan panjang gelombang cut-off didefinisikan sebagai: λ cut − off = 2d

(4.12)

Sebagai contoh, bila 1 < 2d/λ < 2, pandu gelombang adalah modus tunggal. Bila d = 5µm, maka panjang gelombang cut-off adalah λmax = 10µm dan pandu gelombang adalah modus tunggal antara 5 µm dan 10 µm serta multimodus untuk λmax < 5µm.

4.1.5. Kecepatan Group Suatu pulsa cahaya mempunyai frekuensi sudut ω dan konstanta perambatan β menjalar dengan kecepatan group ϑ = dω / dβ . Hubungan antara βm dalam persamaan (4.5) dan ω dikenal sebagai hubungan dispersi (dispersion relation). Kecepatan group suatu modus m adalah: ϑm = c cos θ m

(4.13)

Sehingga modus yang berbeda mempunyai kecepatan group yang berbeda. Modus dengan orde yang lebih tinggi menjalar dengan kecepatan group yang lebih kecil, karena modus tersebut diperlambat dengan lintasan cahaya yang lebih panjang.

51

4.1.6. Modus TM Modus yang telah kita bahas sejauh ini adalah modus TE (medan listrik dalam arah-x). Modus TM (medan magnet dalam arah-x) juga dapat disupport oleh pandu gelombang logam/cermin. Sudut-sudut θ, komponen vektor gelombang transversal ky, dan konstanta perambatan β untuk modus TM adalah identik dengan modus TE. Jumlah modus yang dapat disupport oleh pandu gelombang adalah M = 2d/λ. Komponen-komponen medan listrik dalam arah-z ditunjukkan oleh (kerjakan

sebagai latihan):  a m  E z (y, z ) =   a m 

2 mπy cos exp(− iβ m z ), m = 1,3,5,... d d (4.14) 2 mπy sin exp(− iβ m z ), m = 2,4,6,... d d

dan komponen-komponen medan listrik dalam arah-y adalah:  a m  E y (y, z ) =   a m 

2 mπy cot θ m cos exp(− iβ m z ), m = 1,3,5,... d d (4.15) 2 mπy cot θ m sin exp(− iβ m z ), m = 2,4,6,... d d

4.2 Pandu Gelombang Planar Dielektrik Suatu pandu gelombang planar dielektrik adalah suatu bahan dielektrik papah (slab) yang dikelilingi oleh bahan-bahan dengan indeks bias yang lebih rendah. cahaya akan dipandu ke dalam pandu gelombang dengan prinsip pemantulan sempurna (total

internal reflection). Dalam piranti film tipis, papah disebut sebagai film, dan bahan bagian atas dan bawah disebut pelindung (cover) dan substrat. Bahan bagian dalam disebut core, sedangkan bagian luar disebut selubung (cladding) dari pandu gelombang. Pada Sub-bab ini, akan dibahas perambatan cahaya dalam pandu gelombang planar dielektrik simetris terbuat dari suatu papah dengan lebar d dan indeks bias n1 yang dikelilingi oleh suatu selubung dengan indeks bias yang lebih kecil n2, sebagaimana

52

diilustrasikan dalam Gb. 4.5. Semua bahan diasumsikan tidak mempunyai koefisien absorpsi (losses). y

d 2

0 d − 2

Gambar 4.7. Pandu gelombang planar dielektrik. Berkas-berkas cahaya membentuk suatu sudut θ < θc = cos-1 (n2/n1) dipandu oleh pemantulan sempurna (total internal reflection). Pandu gelombang planar dielektrik mempunyai tiga-perbedaan bila dibandingkan dengan pandu gelombang planar logam: (a). Mempunyai sudut kritis θc untuk pemantulan sempurna. Sudut ini didefinisikan sebagai θc = sin −1 ( n 2 / n1 ) . (b). Terdapat suatu perubahan fasa ϕ r pada refleksi pada medium dengan indeks bias lebih tinggi yang berubah antara 0 dan π/2. Perubahan fasa untuk polarisasi TE (Transverse- Electric) didefinisikan sebagai:

ϕ tan  r  2

sin 2 (θc ) − sin 2 (θ)  =  sin (θ) 

(c). Medan diperbolehkan untuk berpenetrasi ke dalam selubung pandu gelombang.

4.2.1. Modus-modus Pandu Gelombang

Dengan menggunakan kodisi konsistensi diri (self-consistency) seperti dalam persamaan (4.1), maka diperoleh:

53

2π 2d sin(θ) − 2ϕ r = 2πm λ (4.16) 2k y d − 2ϕ r = 2πm dimana m = 0,1,2,... Atau bila diungkapkan dalam bentuk perubahan fasa: ϕ r 2π πm = 2d sin(θ) − λ 2 2

(4.15)

maka perubahan fasa untuk polarisasi TE menjadi: sin 2 (θc ) − sin 2 (θ) πm  ϕ   2π = tan  r  = tan 2d sin(θ) −  2  sin(θ)  2   λ

(4.16)

Persamaan diatas disebut kondisi konsistensi diri untuk modus TE. Untuk nilai θ yang kecil, persamaan terbut identik dengan persamaan transedental untuk satu variabel sin(θ): 1   tan  αx + b) ≈  cx  

(4.17)

Solusinya akan menghasilkan sudut-sudut modus θm, yang diilustrasikan dalam Gb 4.8.

Gambar 4.8. Solusi grafis persamaan (4.19) untuk menentukan sudut-sudut θm dari suatu pandu gelombang planar dielektrik. Ruas kiri (LHS) dan ruas kanan (RHS) persamaan (4.17) diplot sebagai fungsi sin (θ). Titik potong kedua kurva (dicirikan oleh titik penuh) menentukan nilai θm. Titik-titik kosong mencirikan sin θm = mλ/2d, yang memberikan sudut-sudut modus suatu pandu gelombang logam untuk dimensi yang sama.

54

Sudut-sudut θm terletak antara 0 dan θc (0 < θ m < θc ) , yang berhubungan dengan komponen vektor-vektor gelombang [0, n1k0sin(θm), n1k0cos(θm)]. Komponenkomponen z adalah konstanta-konstanta perambatan: β m = n1k 0 cos θ m

(4.20)

Karena cos θm terletak antara 1 dan cos θc = n2/n1, maka βm terletak antara n2k0 dan n1k0 sebagaimana diilustrasikan dalam Gb 4.9.

Gambar 4.9. Sudut-sudut θm dan komponen-komponen vektor gelombang dari modusmodus pandu gelombang kz dan ky diindikasikan oleh titik-titik. Sudut-sudut θm terletak antara 0 dan θc dan konstanta-konstanta perambatan βm terletak antara n2k0 dan n1k0.

4.2.2. Jumlah Modus

Jumlah modus adalah dibatasi oleh sudut kritis dari pemantulan sempurna θc dan didefinisikan sebagai:

M=

sin θc 2d 2d n12 − n 22 = NA = λ / 2d λ λ

(4.21)

dimana NA adalah bukaan numerik (numerical aperture): 55

NA = n12 − n 22

(4.22)

Bila λ/2d > sin(θc) atau (2d/λ)NA < 1, maka hanya ada satu modus yang diperbolehkan, karenanya pandu gelombanya disebut pandu gelombang modus tunggal (single modus waveguide). Hal ini terjadi bila papah cukup tipis atau panjang gelombang cukup panjang. Tidak seperti pada pandu gelombang logam, pandu gelombang dielektrik ini tidak memiliki panjang gelombang atau frekuensi cut-off. Dalam pandu gelombang dielektrik, minimal ada satu modus TE, karena modus fundamental (m = 0) selalu diperbolehkan. Namun, untuk modus m = 1,2, .... mempunyai frekuensi cut-off sendiri-sendiri. Jumlah modus dapat juga diungkapkan sebagai fungsi dari frekuensi yang diilustrasikan dalam Gb. 4.10. NA ν (c 0 / 2d )

(4.23)

Jumlah modus M

M=

ν Gambar 4.10. Jumlah modus TE sebagai fungsi dari frekuensi

M bertambah 1 bila frekuensi υ meningkat sebesar (c0/2d)/NA, dimana c0 adalah kecepatan cahaya. Ungkapan identik untuk jumlah modus TM dapat diturunkan dengan cara yang sama.

56

4.2.3. Distribusi Medan

Amplitudo kompleks dari medan listrik didalam pandu gelombang adalah E x ( y, z ) = a m u m ( y) exp(− iβ m z ) , dimana konstanta perambatan β m = n1k 0 cos θ m dan

am adalah amplitudo. Fungsi um(y) didefinisikan sebagai:

  2π sin θ m  y , m = 0,2,4,... cos λ    u m (y ) ∝   2π sin θ m  sin y , m = 1,3,5,... λ   

(4.24)

dengan λ = λ0/n1. Walaupun medan ini harmonik, namun ia tidak nol pada batas papah (slab). Medan di luar harus sama dengan medan di dalam pandu gelombang pada semua titik-titik batas y = ±d / 2 . Dengan substitusi medan listrik Ex(y,z) ke dalam persamaan Helmholtz:

(∇

2

)

+ n 22 k 02 E x ( y, z ) = 0

(4.25)

maka diperoleh: d2um − γ 2m u m = 0 2 dy (4.26) γ 2m = β 2m − n 22 k 02 Untuk modus terpandu β m > n 2 k 0 , maka γ 2m > 0 . Karena medan harus meluruh bila menjauh dari pandu gelombang, maka fungsi um(y) adalah: d  exp(− γ m y ), y > 2  u m (y ) ∝   d exp(γ m y ), y < − 2 

(4.27)

57

Laju peluruhan γm disebut dengan koefisien ekstinsi (extinction coefficient) dan gelombangnya disebut gelombang evanescent. Dengan substitusi nilai βm dan cos θc = n2/n1 ke dalam persamaan (4.26), diperoleh: 1/ 2

γm

 cos 2 θ m  = n 2 k 0  − 1 2  cos θc 

(4.28)

Bila nomor modus m meningkat, θm juga meningkat, namun γm berkurang. Karenanya modus orde yang lebih tinggi akan berpenetrasi lebih jauh ke dalam selubung (cover dan substrat), seperti diilustrasikan dalam Gb. 4.11.

Gambar 4.11. Distribusi medan untuk modus terpandu TE dalam suatu pandu gelombang dielektrik.

Faktor confinement daya adalah perbandingan antara daya di dalam pandu gelombang (slab) dan daya total, didefinisikan sebagai: d/2

Γm

∫ = ∫ 0

∞

0

u 2m ( y)dy

u 2m ( y )dy

(4.29)

Modus dengan orde terendah (θm terkecil) memiliki faktor confinement daya paling tinggi.

58

4.2.4. Kecepatan Group Kecepatan group ϑ = dω / dβ untuk masing-masing modus ditentukan dengan substitusi k 2y = (ω / c1 )2 − β 2 ke dalam pers. (4.16), diperoleh:   ω  2 2d   − β 2    c1 

1/ 2

= 2ϕ r + 2πm

(4.30)

Karena cos θ = βc1 / ω dan cos θc = n 2 / n1 = c1 / c 2 , maka: 1/ 2 2     ϕr mπ  β 2 − ω2 / c 22 2 d  ω  2 tan = tan    − β  − = 2 2 2 2 2 c 2   1    ω / c1 − β      2

(4.31)

Persamaan (4.31) disebut sebagai hubungan dispersi. Hubungan ini secara skematik untuk berbagai modus m = 0,1,2,... diilustrasikan dalam Gb. 4.12. Kecepatan group terletak antara c1 dan c2 (kecepatan fasa dalam slab dan substrat). Pada suatu nilai ω tertentu, modus orde-terendah) mempunyai kecepatan group mendekati c1, sedangkan modus-tertinggi mempunyai kecepatan group mendekati c2. Dengan demikian sebagian besar energi dari modus tertinggi akan menjalar dalam substrat.

ω

ω = c 2β m=1

m=2

ω = c1β

m=0

β Gambar 4.12.

Skematik hubungan dispersi; frekuensi ω terhadap konstanta perambatan β untuk modus-modus TE yang berbeda m = 0,1,2,... Kecepatan group diperoleh dari kemiringan v = dω dβ . Jika w meningkat, maka kecepatan group untuk masing-masing modus berkurang dari c2 = c0/n2 menjadi c1 = c0/n1.

59

4.3 Pandu Gelombang Dua-Dimensi Pandu gelombang dua-dimensi memandu gelombang dalam dua arah transversal (dalam arah-x dan –y). Prinsip dasarnya adalah sama dengan pandu gelombang satudimensi, hanya deskripsi matematisnya lebih panjang.

4.3.1. Pandu Gelombang Logam Persegipanjang Bentuk umum yang paling sederhana dari pandu gelombang planar adalah pandu gelombang persegipanjang (Gb. 4.13). Bila dinding-dindingnya terbuat dari cermin, maka seperti pada kasus planar, cahaya akan dipandu dengan refleksi berulangulang pada semua sudut. Untuk penyederhanaan, kita berasumsi bahwa penampang lintang dari pandu gelombang adalah persegi dengan lebar d. Andaikan suatu vektor gelombang dari gelombang bidang adalah kx, ky, dan kz serta pematulannya di dalam pandu gelombang memenuhi kondisi konsistensi diri, maka:

2k x d = 2πm x , m x = 1,2,... (4.32) 2k y d = 2πm y , m y = 1,2,... merupakan generalisasi pers. (4.4).

ky •

π d d d

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

π/d

nk 0

kx

Gambar 4.13. Modus dari pandu gelombang logam persegipanjang dikarakterisasi oleh suatu jumlah nilai kx dan ky yang diskrit, seperti yang digambarkan oleh titik-titik.

60

Konstanta perambatan β = kz dapat ditentukan dari kx dan ky dengan menggunakan hubungan: k 2x + k 2y + β 2 = n 22 k 02

(4.33)

Ketiga komponen dari vektor gelombang tersebut harus memiliki nilai diskrit, sehingga menghasilkan jumbah modus yang terbatas. Masing-masing modus diidentifikasikan oleh dua indeks mx dan my, dimana semua nilai-nilai positif dari mx dan my diperbolehkan sepanjang k 2x + k 2y ≤ n 2 k 02 , sebagaimana diilustrasikan dalam Gb. 4.13. Jumlah modus M dapat dengan mudah ditentukan dengan menghitung jumlah titik-titik di dalam seperempat lingkaran dengan jari-jari nk0 pada diagram kx-ky (Gb. 4.13).

Jika jumlah titik-titik tersebut besar, maka dapat diaproksimasi dengan

perbandingan luas π(nk 0 )2 / 4 dan luas satu satuan sel (π / d )2 :

M≈

π  2d    4 λ 

2

(4.34)

Karena terdapat dua-polarisasi dalam setiap modus, maka jumlah total modus 2M. Distribusi medan yang berkainkan dengan modus-modus ini digeneralisasi dari kasus planar. Pola yang diilustrasikan dalam Gb. 4.6, berlaku juga untuk pandu gelombang dua-dimensi, dengan nilai mx dan my.

4.3.2. Pandu Gelombang Dielektrik Persegipanjang

Suatu silinder dielektrik dengan indeks bias n mempunyai penampang lintang dengan lebar d disisipkan ke dalam medium yang memiliki indeks bias lebih rendah n2. Modus pandu gelombang dalam ditentukan dengan teori yang sama. Komponenkomponen vektor gelombang (kx, ky, kz) harus memenuhi kondisi: k 2x + k 2y ≤ n12 k 02 sin 2 θc

(4.35)

dimana θc = cos −1 ( n 2 / n1 ) , sedemikian rupa sehingga kx dan ky terletak dalam area yang ditunjukkan dalam Gb. 4.14. Nilai-nilai kx dan ky untuk modus-modus yang 61

berbeda dapat diperoleh dari kondisi konsistensi diri dimana mencakup pergeseran fase pada batas dielektrik, seperti yang dilakukan dalam kasus planar. Tidak seperti pandu gelombang logam atau cermin, nilai kx dan ky tidak terpisah secara seragam. Namun, dua nilai kx atau ky yang berurutan dipisahkan oleh suatu nilai rata-rata π/d. Jumlah modus dapat diaproksimasi dengan menghitung jumah titiktitik di dalam lingkaran pada diagram kx-ky dalam Gb.4.14. ky

n1k 0 n1k 0 sin θc y

π d

n2 d

x

n1

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

π/d

kx

Gambar 4.14. Geometri dari pandu gelombang dielektrik persegipanjang. Nilai-nilai kx dan ky untuk modus ditunjukkan oleh titik-titik.

Jumlah modus TE adalah: 2 π  (n1k 0 sin θc )  π  2d  M≈   =   NA 4  (π / d )2  4  λ0  2

(

dimana NA = n12 − n 22

)

1/ 2

(4.36)

adalah bukaan numerik. Aproksimasi ini baik bila M besar.

Persamaan (4.36) ini juga berlaku untuk modus TM.

4.3.3. Geometri-geometri Pandu Gelombang Saluran (Channel)

Beberapa geometri dari pandu gelombang yang banyak digunakan seperti strip, embedded-strip, rib atau ridge dan strip-loaded diilustrasikan dalam Gb. 4.15. Analis

eksak untuk beberapa geometri tersebut tidak mudah dan memerlukan berbagai pendekatan.

62

strip

(a)

embedded strip

(b)

(c)

(a). Straight ; (b). S bend

(d)

rib/ridge

(e)

Strip loaded

(f)

; (c). Y branch ; (d). Mach-Zehnder

(e). Directional Coupler ; (f). Intersection/cross

Gambar 4.15. (Atas). Berbagai tipe geometri pandu gelombang: (a) strip; (b) embedded-strip; (c) rib atau ridge; (d) strip-loaded. Daerah yang lebih gelap menunjukkan indeks bias yang lebih tinggi. (Bawah). Konfigurasi piranti-piranti optik dari pandu gelombang: (a) straight; (b) S-bend; (c) Y-branch; (b) Mach-Zehnder; (e) directional coupler; (f) intersection atau cross.

4.4 Kopling Optik ke dalam Pandu Gelombang 4.4.1. Input Kopling 4.4.1.1. Eksitasi Modus

Perambatan cahaya dalam pandu gelombang berbentuk modus. Amplitudo kompleks dari medan optik secara umum merupakan superposisi dari modus-modus, yang dapat diungkapkan sebagai: E( y, z ) =

∑ a m u m ( y) exp( −iβ m z )

(4.37)

m

dimana am adalah amplitudo, um(y) adalah distribusi transversal (diasumsikan riil) dan βm adalah konstanta perambatan modus m.

63

Amplitudo-amplitodu dari modus-modus yang berbeda bergantung pada sumber cahaya yang digunakan. Bila sumber cahaya mempunyai distribusi yang sesuai atau cocok dengan suatu modus tertentu, maka hanya modus tersebut yang tereksitasi. Suatu sumber dengan distribusi sembarang s(y) akan menimbulkan atau mengeksitasi modus yang berbeda dengan jumlah modus yang berbeda pula. Fraksi daya yang ditransfer dari sumber menjadi modus m bergantung pada kesamaan derajat antara s(y) dan um(y). Kita dapat mengungkapkan s(y) sebagai superposisi ortogonal dari fungsi um(y):

∑a

s(y ) =

mum

(y )

(4.38)

m

dimana koefisien a l adalah amplitudo modus yang tereksitasi l : al =

∫

∞

−∞

s(y )u l (y )dy

(4.39)

4.4.1.2. Input Kopler

Cahaya dapat dikopel secara langsung ke dalam suatu pandu gelombang dengan pemfokusan cahaya pada salah satu ujung pandu gelombang (Gb. 4.16).

Untuk

mengeksitasi suatu modus tertentu, distribusi transversal dari cahaya datang s(y) harus sesuai (match) dengan modus tersebut. Polarisasi dari cahaya datang juga harus sesuai dengan modus itu. Karena dimensi dari pandu gelombang papah (slab) sangat kecil, maka pemfokusan dan penyearahan biasanya sangat sulit dan tidak efisien.

y

n2

Lensa

s(y )

n1

u m (y )

z

Gambar 4.16. Kopling dari suatu berkas optik ke dalam suatu pandu gelombang.

64

Cahaya dapat dikopling kedalam pandu gelombang dengan memfokuskannya secara langsung pada salah satu ujungnya. Untuk mengeksitasi modus yang diberikan, distribusi transversal dari cahaya datang s(y) harus sesuai (match) dengan modus tersebut. Polarisasi cahaya datang juga harus sesuai dengan modus yang diinginkan. Karena dimensi pandu gelombang kecil, maka pemfokusan dan pengaturan (alignment) biasanya sulit dan karenanya kopling menjadi tidak efisien. Dalam pandu gelombang multimode, kopling dapat ditinjau dengan pendekatan berkas-berkas optik (ray-optics). Berkas-berkas terpandu di dalam pandu gelombang dalam suatu sudut : θc = cos −1 (n 2 n1 )

(4.40)

Karena refraksi dari berkas-berkas datang, sudut tersebut berkaitan dengan sudut eksternal θa yang memenuhi :

[

sinθa = NA = n1 sin θc = n1 1 − (n 2 / n1 )2

] = (n 1/ 2

2 1

− n22

)

1/ 2

(4.41)

dimana NA adalah numerical aperture dari pandu gelombang. Untuk memperoleh efisiensi kopling yang maksimum, cahaya datang sebaiknya difokuskan dengan sudut yang lebih besar dari θc . Cahaya dapat juga dikopling dari sumber semikonduktor (LED atau dioda laser) ke dalam pandu gelombang dengan meluruskan ujung sumber tadi dan pandu gelombang dengan membuat jarak yang kecil agar kopling maksimum (lihat Gambar 4.16). Dalam LED, cahaya berasal dari sambungan semikonduktor dan dipancarkan ke segala arah. Dalam dioda laser, cahaya yang dipandarkan sendiri sudah dipandu dalam pandu gelombang. Metoda lain untuk mengkopling cahaya ke dalam suatu pandu gelombang adalah dengan menggunakan prisma, grating atau pandu gelombang yang lain.

4.4.1.3. Prisma Kopler

Cahaya dapat dikopel ke dalam dan ke luar dari suatu pandu gelombang dengan menggunakan prisma. Suatu prisma dengan indeks bias np > n2 diletakkan pada suatu 65

jarak dp dari pandu gelombang dengan indeks bias n1 dan n2 seperti diilustrasikan dalam Gb. 4.17.

gelombang datang

dp

prisma

np θp

n2 n1

Pandu gelombang

Gambar 4.17. Prisma kopler

Suatu gelombang optik datang pada prisma sedemikian rupa sehingga mengalami pemantulan sempurna di dalam prisma dengan sudut θp.

Gelombang-

gelombang cahaya datang dan yang terpantul membentuk suatu gelombang menjalar dalam arah-z dengan konstanta perambatan: β p = n p k 0 cos θ p

(4.42)

Distribusi medan transversal akan melebar keluar prisma dan meluruh secara eksponensial di dalam ruang antara prisma dan slab pandu gelombang. Bila jarak dp cukup kecil, gelombang akan dikopel menjadi suatu modus pandu gelombang dengan konstanta perambatan β m ≈ β p . Bila daya dapat dikopel ke dalam pandu gelombang melalui prisma, maka prisma bertindak sebagai input kopler. Output kopler bekerja sebaliknya yaitu mengeluarkan cahaya dari pandu gelombang ke udara.

4.4.2. Kopling antara Pandu Gelombang

Bila dua pandu gelombang terpisah oleh jarak yang cukup dekat, dimana medan-medannya overlap satu sama lain, cahaya dapat dikopel dari satu pandu gelombang ke pandu gelombang yang lain. Daya optik yang ditransfer dapat digunakan

66

untuk membuat kopler dan saklar optik. Pandang dua buah pandu gelombang planar sejajar dengan lebar d yang terpisah oleh jarak 2a dan indeks bias n1 dan n2, seperti yang diilustrasikan dalam Gb. 4.18. Diasumsikan bahwa masing-masing pandu gelombang memiliki modus tunggal.

Gambar 4.18. Kopling antara dua pandu gelombang yang sejajar. Pada z1, cahaya terpusat dalam pandu gelombang-1, pada z2 cahaya terbagi antara dua pandu gelombang dan pada z3, akan terpusat dalam pandu gelombang-2.

Perambatan cahaya dalam struktur ini dipelajari dengan persamaan-persamaan Maxwell pada daerah-daerah yang berbeda dan menggunakan syarat batas untuk menentukan modus-modus sistem secara keseluruhan. Untuk kopling yang lemah, cukup dengan menggunakan teori modus yang terkopel (coupled modus theory). Teori modus terkopel berasumsi bahwa modus masing-masing pandu gelombang,

katakanlah:

u1 ( y ) exp(− iβz )

dan

u 2 ( y) exp(iβz ) .

Kopling

akan

memodifikasi amplitudo modus-modus tersebut tanpa mempengaruhi distribusi transversal ruang atau konstanta perambatannya. Karenanya amplitudo-amplitudo modus pandu gelombang-1 dan -2 adalah fungsi dari z: A1(z) dan A2(z). Teori modus terkopel ini bertujuan untuk menentukan A1(z) dan A2(z) pada kondisi batas yang sesuai. Kopling dapat dianggap sebagai efek hamburan. Medan dari pandu gelombang1 terhambur dari pandu gelombang-2, membentuk suatu sumber cahaya yang akan merubah amplituto medan dalam pandu gelombang-2. Amplitudo-amplitudo A (z) dan 1

A (z) diungkapkan oleh persamaan diferensial orde-pertama (penurunannya dapat 2

dilihat pada bagian 4.4.2.2): 67

dA1 = −iρ 21 exp(i∆βz )A 2 (z ) dz dA 2 = −iρ12 exp(− i∆βz )A1 (z ) dz

(4.43)

dimana: ∆β = β1 − β 2 adalah fasa mismatch per-satuan panjang, dan ρ 21 = ρ12

(

) ∫ u (y )u

(

) ∫

k2 1 2 n2 − n2 0 β1 2

2 1 2 2 k0 = n1 − n β2 2

a +d

a

1

−a

−a −d

2

(y )dy (4.44)

u 2 (y )u1 (y )dy

adalah koefisien-koefisien kopling. Dengan asumsi bahwa amplitudo cahaya yang masuk ke dalam pandu gelombang-1 adalah A1(0) dan tak ada cahaya yang masuk ke dalam pandu gelombang2 A2(0) = 0, maka persamaan dapat diselesaikan dengan syarat batas tersbut, yang akan menghasilkan solusi harmonik:  ∆β  ∆βz  A1 (z ) = A1 (0) exp i sin γz   cos γz − i 2γ  2   ρ  ∆βz  A 2 (z ) = A1 (0) 12 exp − i  sin γz iγ 2  

(4.45)

dimana: 2

 ∆β  2 γ =  +ρ  2  2

(4.46)

ρ = (ρ12ρ 21 ) 2

1/ 2

Daya-daya optik P1 (z ) ∝ A1 ( z ) dan P2 (z ) ∝ A 2 ( z ) adalah: 2

2    ∆β  2 P1 (z ) = P1 (0)cos γz −   sin 2 γz     2γ 

P2 (z ) = P1 (0)

ρ12 γ

2

2

2

(4.47)

sin 2 γz

Daya ini akan saling berpindah secara periodik antara dua pandu gelombang, sebagaimana diilustrasikan dalam Gb. 4.19. Periodanya adalah 2π/γ. Kekekalan daya memerlukan ρ12 = ρ21 = ρ.

68

Gambar 4.19. Pertukaran daya secara periodic antara pandu gelombang-1 dan -2.

Bila kedua pandu gelombang tersebut identik, yaitu n1 = n2; β1 = β2, dan ∆β = 0, maka kedua pandu gelombang dikatakan phase matched. Dengan demikian daya-daya optik menjadi: P1 (z ) = P1 (0) cos 2 ρz P2 (z ) = P1 (0 ) sin 2 ρz

(4.48)

dan pertukaran daya antara kedua pandu gelombang menjadi sempurna, seperti diilustrasikan dalam Gb. 4.22.

Gambar 4.20. Pertukaran daya antara pandu gelombang-1 dan -2 untuk kasus phase matched.

69

Gambar 4.21 adalah contoh piranti optik yang menggunakan kopling dua buah pandu gelombang. Pada jarak z = L0 = π/2a (jarak transfer), daya akan ditransfer secara sempurna dari pandu gelombang-1 ke pandu gelombang-2 [Gb. 4.21(a)]. Pada jarak z = L0/2, daya setengahnya ditransfer, sehingga piranti tersebut dikatakan sebagai kopler 3dB, yaitu pemisahan berkas cahaya (beam-splitter) 50/50 [Gb. 4.21(b)].

L0

(a)

(b)

Gambar 4.21. Kopler-kopler optik: (a). switching antara daya dari satu pandu gelombang ke pandu gelombang lain; (b). kopler 3-dB.

4.4.2.1. Switching dengan Kontrol Phase Mismatch

Suatu pandu gelombang kopler dengan panjang yang tetap, L0 = π/2a merubah rasio daya transfernya bila phase mismatch ∆β kecil. Perbandingan/rasio daya transfer dapat ditulis sebagai fungsi ∆β: 2 1/ 2    2 P2 (L 0 )  π   ∆βL 0    2 1 =   sin c  1 +  ℘=    P1 (0)  2   2   π   

(4.49)

Gambar 4.22 mengilustrasikan kebergantungan rasio transfer daya pada parameter phase mismatch ∆βL0. Rasio mempunyai nilai maksimum satu pada ∆βL0 = 0, dan berkurang dengan meningkatnya nilai ∆βL0, kemudian sama dengan nol bila ∆βL 0 = 3π .

70

Gambar 4.22. Kebergantungan dari rasio daya transfer pada parameter mismatch.

Kebergantungan daya yang ditransfer pada paramater mismatch dapat dimanfaatkan dalam pembuatan directional couplers yang dikendalikan secara elektrik. Bila mismatch ∆βL0 diubah antara 0 dan

3π , cahaya ditransfer dari pandu

gelombang-2 ke pandu gelombang-1. Kontrol ∆β secara elektrik dapat dilakukan dengan bahan elektro-optik (bila indeks bias bahan dapat diubah dengan medan listrik).

4.4.2.2. Penurunan Persamaan-persamaan Gelombang Terkopel

Kita akan mencoba menurunkan amplitudo-amplitudo dari modus-modus terkopel A1(z) dan A2(z). Bila kedua pandu gelombang tidak berinteraksi, masingmasing akan membawa medan optik dengan amplitudo kompleks yang didefinisikan: E1 ( y, z ) = A1u1 (y ) exp(− iβ1z )

E 2 ( y, z ) = A 2 u 2 (y ) exp(− iβ 2 z )

(4.50)

dimana amplitudo-amplitudo A1 dan A2 adalah konstanta. Dengan adanya kopling, maka amplitudo-amplitudo tersebut merupakan fungsi dari arah perambatan z, namun konstanta perambatan tidak berubah. Amplitudo A1(z) dan A2(z) diasumsikan sebagai funsi yang berubah secara lambat terhadap z (slowly varying functions of z). Kehadiran pandu gelombang-2 dianggap sebagai suatu gangguan pada medium diluar pandu gelombang-1 dalam bentuk suatu slab dengan indeks bias n2-n dan lebar d pada suatu jarak 2a. Indeks bias (n2-n) dan medan E2 berhubungan dengan rapat polarisasi

71

P = (ε 2 − ε )E 2 = ε 0 ( n 22 − n 2 ) E 2 yang membentuk suatu radiasi optik ke dalam pandu gelombang-1: S1 = µ 0 ω2 P = µ 0 ω2 ε 0 ( n 22 − n 2 ) E 2 = k 02 ( n 22 − n 2 ) E 2

(4.51)

S1 = ( k 22 − k 2 ) E 2

Untuk menentukan efek sumber radiasi tersebut pada medan dalam pandu gelombang-1, kita gunakan persamaan Helmholtz dengan efek kehadiran suatu sumber yaitu: ∇ 2 E1 + k12 E1 = −S1 = −( k 22 − k 2 ) E 2

(4.52)

Dengan cara yang sama, kita bisa menuliskan persamaan Helmholtz untuk gelombang dalam pandu gelombang-2 dengan suatu sumber yang dibangkitkan hasil dari medan dalam pandu gelombang-1: ∇ 2 E 2 + k 22 E 2 = −S 2 = −( k 22 − k 2 ) E1

(4.53)

dimana k1 = n1k0. Persamaan-persamaan adalah dua persamaan diferensial parsial terkopel

yang

akan

kita

selesaikan

untuk

mencari

E1

dan

E2.

Analisis

gangguan/perturbasi ini hanya berlaku bila kopling antara pandu gelombang-pandu gelombang tersebut lemah (weakly coupled waveguides). Bila kita andaikan E1 dan E2 adalah: E1 ( y, z ) = A1 ( z )e1 ( y, z ) E 2 ( y, z ) = A 2 ( z )e 2 ( y, z )

(4.54)

dimana e1 ( y, z ) = u1 ( y ) exp(− iβz ) dan e 2 ( y, z ) = u 2 ( y) exp(− iβz ) harus memenuhi persamaan Helmholtz: ∇ 2 e1 + k12 e1 = 0 ∇ 2 e 2 + k 22 e 2 = 0

(4.55)

72

dengan k1 = n1k0 dan k2 = n2k0 untuk titik-titik di dalam pandu gelombang-1 dan -2, serta k1 = k2 = nk0 untuk titik-titik diluar pandu gelombang-1 dan -2. Dengan substitusi E1 = A1e1 ke dalam pers (4.53) diperoleh:

(

)

d 2 A1 dA de e1 + 2 1 1 = − k 22 − k 2 A 2 e 2 2 dz dz dz

(4.56)

Dengan asumsi bahwa A1 berubah secara lambat (e1 berubah secara cepat) terhadap z, maka suku pertama diabaikan dibanding suku kedua. Rasio antara kedua suku adalah:  dΨ   dΨ   dz e1   dz e1  (dΨ / Ψ ) = =i de1  [2Ψ (− iβ1e1 )] 2β1dz  2Ψ dz 

(4.57)

dimana Ψ = dA1 / dz . Aproksimasi ini berlaku bila dΨ / Ψ n 2

Gambar 5.1. Pandu gelombang dielektrik silinder atau fiber

Salah satu masalah yang berkaitan dengan perambatan cahaya dalam fiber multimode adalah ditimbulkan dari perbedaan kecepatan group dari masing-masing

modus. Akibatnya pulsa akan melebar sepanjang fiber. Efek ini dikenal sebagai modal

74

dispersion (dispersi modus), yaitu batas kecepatan dimana pulsa-pulsa dapat dikirim

tanpa saling tumpang tindih (overlapping). Modal dispersion dapat dikurangi dengan gradien indeks bias dari core, yang mempunyai nilai maksimum pada pusatnya dan nilai minimum pada batas core/cladding. Fiber tersebut dikenal sebagai graded-index fiber, dimana pada fiber konvensional indeks bias core dan cladding adalah konstan

(step-index fiber) [lihat Gb. 5.2.]

n2 n1

(a)

n2 n1

(b)

n2 n1

(c)

Gambar 5.2. Geometri, profil indeks bias dan tipikal berkas-berkas dalam: (a). multimode step-index fiber, (b). single-mode step-index fiber dan (c). multimode graded-index fiber.

5.1. Step-index Fiber Suatu step-index fiber dispesifikasi oleh indeks bias core n1 dan cladding n2 dengan jari-jari a dan b [lihat Gb. 5.1]. Contoh-contoh diamater core/cladding (2a/2b) dalam satuan mikrometer (µm) adalah 8/125, 50/125, 62.5/125, 85/125, 100/140. Perbedaan nilai indeks bias core dan cladding sangat kecil sehingga fraksi perubahan indeks bias sangat kecil:

75

∆=

n1 − n 2 a) dan k 0 = 2π / λ 0 . Dengan asumsi jari-jari cladding b cukup besar, sehingga dapat dianggap tak-hingga dalam perhitungan cahaya

78

terpandu didalam core dan di dekat batas core -cladding. Dalam koordinat silinder, persamaan Helmholz diberikan oleh: ∂ 2 U 1 ∂U 1 ∂ 2 U ∂ 2 U + + 2 + 2 + n 2 k 02 U = 0 2 2 r ∂r r ∂φ ∂r ∂z

(5.3)

dimana amplitudo kompleks U = U (r , φ, z ) menggambarkan komponen-komponen Kartesian dari medan listrik dan medan magnet atau komponen-komponen Ez dan Hz dalam koordinat silinder.

x

Er a

cladding

Ez

Eφ y

r

φ

z

core

Sistem koordinat silinder

Gambar 5.6. Sistem koordinat silinder

Bentuk solusi dari gelombang harmonik yang menjalar dalam arah sumbu-z dengan konstanta perambatan β, diberikan oleh: U (r, φ, z ) = u( r ) exp( −ilφ) exp(− iβz ) , l = 0,±1,±2,...

(5.4)

Substitusi pers. (5.4) kedalam pers. (5.3) diperoleh: l2  d 2 u 1 du  2 2 2  u = 0 + + n k − β − 0 dr 2 r dr  r 2 

(5.5)

Gelombang akan dipandu, jika konstanta perambatan lebih kecil daripada bilangan gelombang dalam core (β < n1k 0 ) dan lebih besar daripada bilangan gelombang dalam cladding (β > n 2 k 0 ) . Dengan mendefinisikan:

79

k T2 = n12 k 02 − β 2 (5.6) 2

2

γ =β −

n 22 k 02

sehingga untuk gelombang terpandu, k T2 dan γ2 positif maka kT dan γ adalah riil. Persamaan (5.5) dapat dipisahkan untuk core dan cladding: d 2 u 1 du  2 l 2  + +  k T − 2  u = 0 , dr 2 r dr  r 

r < a (core)

(5.7a)

d 2 u 1 du  2 l 2  + −  γ + 2  u = 0 , dr 2 r dr  r 

r > a (cladding)

(5.7b)

Pers. (5.7) dikenal sebagai persamaan diferensial dengan solusinya adalah fungsi Bessel. Solusi persamaan diatas adalah: J l (k T r ), core  u( r ) ∝   K (γr ), cladding  l

(5.8)

dimana J l (x ) adalah fungsi Bessel jenis pertama dan orde ke- l , sedangkan K l ( x ) adalah fungsi Bessel jenis kedua dan orde ke- l . Fungsi J l (x ) berosilasi seperti fungsi sinus atau cosinus tetapi dengan amplitudo yang meluruh. Dalam batas x >> 1: 1/ 2

 2  J l (x ) ≈    πx 

  cos x −  l +  

1  π  2  2 

(5.9a)

Dalam x >>1, fungsi K l ( x ) diberikan oleh: 1/ 2

π    2x 

 K l (x ) ≈ 

  4l 2 − 1    exp(− x ) 1 −     8x 

(5.9b)

Dua contoh distribusi radial u(r) ditunjukkan dalam Gb. 5.7.

80

u (r )

u (r )

J 3 (k T r )

J 0 (k T r ) K 0 (γr ) 0

a

K 3 (γr )

r

0

a

r

Gambar 5.7. Contoh distribusi radial u(r) yang diberikan oleh pers. (5.9) untuk l = 0 dan l = 3

Parameter-parameter kT dan γ berturut-turut menentukan laju perubahan u(r) dalam core dan dalam cladding. Harga kT yang besar berarti distribusi radial dalam core berosilasi dengan cepat. Nilai γ yang besar berarti lebih cepat meluruh dan

penetrasi gelombang ke dalam cladding kecil. Penjumlahan kuadrat dari kT dan γ adalah konstan: k T2 − γ 2 = ( n12 − n 22 ) k 02 = NA 2 .k 02

(5.10)

sehingga bila kT meningkat, γ menurun dan medan berpenetrasi lebih dalam kedalam cladding.

5.1.1.2. Parameter Fiber, V

Parameter fiber V merupakan parameter penting yang membentuk jumlah modus dan konstanta perambatan dalam fiber. Parameter ini diperoleh dari: k T2 a 2 + γ 2 a 2 = ( NA ) 2 k 02 a 2 = V 2 V = 2π

a . NA λ0

(5.11)

Agar cahaya atau gelombang terpandu, maka k T .a < V .

5.1.1.3. Jumlah Modus

Untuk fiber dengan parameter V besar (V >>1) jumlah modus yang dapat disalurkan dalam step-index fiber diberikan oleh:

81

M≈

4 2 V π2

(5.12)

5.1.1.4. Konstanta Perambatan

Untuk fiber dengan parameter V yang besar, konstanta perambatan diberikan: β l ,m

 π2  ≈  n12 k 02 − (l + 2m )2 2  4a  

1/ 2

(5.13)

Karena jumlah modus, seperti yang digambarlan dalam pers. (5.12) dapat ditulis dalam bentuk: M ≈

(

)

4 2 n 12 ∆ k 02 a 2 π2

(5.14)

maka: β l ,m

 ( l + 2m )2  ≈ n1k 0 1 − 2 ∆ M  

1/ 2

(5.15)

Karena nilai ∆ 20 GHz.

Transmitansi divais

bergantung pada tegangan yang diberikan (V) berdasarkan persamaan :

Γ π V   ℑ(V) = sin 2  0 − 2 2 V π   Γ0 = k 0 (n1 − n 2 )L Vπ =

λ0 d 3 L χ1n1 − χ 2 n 32

(6.1)

Dimana jika medium memiliki efek Pockels, indeks biasnya menjadi anisotropi karena kehadiran medan listrik E :

1  n1 (E ) ≈ n1 − χ1n13E   2  χ i = koefisien Pockels 1 3  n 2 (E ) ≈ n 2 − χ 2 n 2 E  2 

(6.2)

Keterbatasan switching ini adalah dimensi yang relatif besar, kesulitan kopling dengan fiber optik, khususnya bila single mode fiber dihubungkan dengan directional coupler.

6.5. Switching Akusto-Optik Switching akusto-optik menggunakan sifat defleksi Bragg cahaya oleh bunyi, dimana daya dari cahaya yang didefleksikan dikontrol dengan intensitas bunyi, seperti diperlihatkan pada Gb. 6.6. Keterbatasan switching ini adalah maksimum perkalian NM yang dapat dicapai dengan sel akusto-optik.

Gambar 6.6. Defleksi sinyal optik oleh grating bunyi

106

Prinsip kerja dari switching akusto-optik ditunjukkan pada Gb. 6.7, dimana defleksi sinyal optik oleh bunyi mengikuti hukum Bragg.

Gambar 6.7. Proses defleksi cahaya oleh bunyi, mengikuti hukum Bragg

Kondisi Bragg terpenuhi, jika sudut θ = θB (sudut Bragg) :

(2π / Λ ) q = 2k 2(2π / λ ) λ = 2Λ

sin θB =

(6.3)

dengan λ adalah panjang gelombang cahaya dan Λ adalah perioda grating dari bunyi. Koefisien refleksi dari divais switching diatas diungkapkan oleh :

1 L  jr ' L sin c (q − 2k sin θ)  e jΩt 2 2π   −q r' = ∆n 0 ; Ωt = ϕ 2n sin 2 θ r=

(6.4)

sehingga reflektansinya menjadi : 2

π2  L  R= 2  ℵI S 2λ 0  sin θ  ℘2 n 6 ℵ= ρv3s

(6.5) 107

dimana ℵ adalah figure of merit (FOM) untuk kekuatan efek akusto-optik dalam bahan, dan ℘ adalah konstanta fotoelastik (strain-optic coefficient).

Jelas bahwa untuk

meningkatkan kinerja dari switching akusto-optik, FOM dan konstanta fotoelastik dari bunyi harus tinggi. Hubungan antara reflektansi dan sudut cahaya datang ditunjukkan pada Gb. 6.8.

Gambar 6.8. Hubungan antara reflektansi dengan sudut cahaya datang pada divais switching akusto-optik.

6.6. Switching Magneto-Optik Divais ini menggunakan bahan magneto-optik (material yang sifat-sifat optiknya dipengaruhi oleh medan magnet). Misalnya material yang memiliki efek Faraday (berperilaku sebagai polarisator jika diberikan medan magnet statik), dimana rotary power ρ (sudut persatuan panjang) sebanding dengan rapat fluks magnet B dalam arah perambatan gelombang :

ρ = VB

(6.6)

dimana V adalah konstanta Verdet. Prinsip kerja switching ini adalah jika material ini diletakkan diantara dua buah cross polarizers, transmisi optik ℑ = sin2θ bergantung pada sudut rotasi polarisasi θ =

ρd, dimana d adalah ketebalan sel. Jadi divais switching ini dapat dikontrol dengan medan magnet B. Contoh konfigurasi switching magneto-optik diperlihatkan pada Gb. 6.9. Keterbatasan dari sistem switching ini adalah waktu switching yang relatif lama (orde mili – mikro detik).

108

Gambar 6.9. Contoh suatu switching dengan 4 x 4 magneto-optic crossbar

6.7. All-Optical Switching Dalam all-optical switching (optik-optik), switching dilakukan oleh cahaya sehingga cahaya mengontrol cahaya dengan bantuan bahan optik nonlinier. Efek-efek optik nonlinier bersifat langsung dan tidak langsung. Efek langsung terjadi pada tingkatan atom atau molekul akibat kehadiran cahaya yang merubah suseptibilitas atom atau laju absorpsi atom dari medium. Contoh dari efek langsung adalah : 1. Efek Kerr (indeks bias berubah terhadap intensitas cahaya)

n ( I) = n 0 ± n 2 I dimana n0 adalah indeks bias linier, n2 adalah indeks bias nonlinier dan I adalah intensitas cahaya. Tanda plus dan minus mengandung arti bahwa nilai n2 bisa positif atau negatif bergantung pada bahan dan panjang gelombang cahaya. 2. Saturable absorption (koefisien absorpsi berubah terhadap intensitas cahaya)

α ( I) = α 0 ± α 2 I dimana α0 adalah indeks bias linier, α2 adalah indeks bias nonlinier dan I adalah intensitas cahaya. Tanda plus dan minus mengandung arti bahwa nilai α2 bisa positif atau negatif bergantung pada bahan dan panjang gelombang cahaya.

109

Efek optik nonlinier tidak langsung meliputi suatu proses, dimana cahaya menimbulkan muatan listrik atau medan listrik yang memodifikasi sifat-sifat optik medium: (a). Material fotorefraktif : absorpsi cahaya yang tak seragam menimbulkan muatanmuatan berdifusi menjauhi daerah yang memiliki konsentrasi tinggi dan terjebak dimana-mana, sehingga membentuk medan listrik yang memodifikasi sifat-sifat optik medium. (b). Optically-addressed liquid crystal saptial light modulator : cahaya diserap oleh lapisan fotokonduktif dan menimbulkan muatan-muatan listrik (medan listrik) yang memodifikasi orientasi molekul sehingga indeks bias material berubah. Dengan demikian transmisi cahaya dikontrol dengan cahaya. Efek-efek optik nonlinier (langsung dan tidak langsung) dapat digunakan untuk membuat all-optical switching. (1).

Material yang memiliki efek Kerr, digunakan untuk modulasi intensitas ditempatkan didalam salah satu lengan interferometer sehingga dapat mengontrol transmitansi interferometer (ON dan OFF), seperti tampak pada Gb. 6.10.

Gambar 6.10. All-optical switching menggunakan Mach-Zehnder interferometer dengan material yang memiliki efek optik Kerr.

(2).

Retardasi, yaitu suatu divais dimana material nonlinier anisotropi diletakkan diantara dua polarisator. Contoh divais ini adalah fiber optik nonlinier dan anisotropi yang digunakan untuk all-optical switch (Gambar 6.11). Kontrol cahaya ke dalam fiber mengakibatkan kelambatan fasa (retardasi) sebesar π, sehingga polarisasi input berubah sebesar 900. Dengan demikian ouptput berbeda polarisasinya dengan input sebesar 900. Jika kontrol cahaya ditiadakan, maka

110

didalam fiber tidak terjadi kelambatan fasa, sehingga output dan input sefasa. Filter digunakan untuk memfilter cahaya/sinyal yang berbeda panjang gelombang.

Gambar 6.11. Fiber optik nonlinier dan anisotropi digunakan sebagai retardasi fasa untuk all-optical switching.

(3). Suatu array switching menggunakan Optically-addressed liquid crystal spatial light modulator seperti tampak pada Gb. 6.12 . Kontrol cahaya merubah medan

listrik

didalam

lapisan

material

liquid

crystal

sehingga

merubah

reflektansi/transmitansi. Titik-titik dalam permukaan liquid crystals memiliki relektansi yang berbeda dan bertindak sebagai switching independen yang dikontrol dengan cahaya input. Divais ini dapat mengakomodasi switching yang besar namun kecepatannya rendah.

Gambar 6.12. Switching dengan material kristal cair (liquid crystal), dimana liquid crystal mengontrol cahaya input.

(4). Directional coupler : Indeks bias dapat dipilih sedemikian rupa sehingga input yang rendah dapat berpindah ke channel waveguide yang lain, sedangkan input yang tinggi dapat bertahan dalam channel waveguide yang sama. Indeks bias yang dapat diatur adalah material optik nonlinier (efek Kerr). Contoh divais directional coupler untuk all-optical switching diperlihatkan pada Gb. 6.13.

111

Gambar 6.13. All-optical switching menggunakan divais directional coupler, dimana intensitas input yang berbeda dipisahkan pada masing-masing output.

Suatu directional coupler dengan panjang yang tetap, L0 = π/2a merubah rasio daya transfernya bila phase mismatch ∆β kecil. Perbandingan/rasio daya transfer dapat ditulis sebagai fungsi ∆β diungkapkan oleh : 2 1/ 2  2 1    P2 (L 0 )  π  L ∆ β   0  ℘= =   sin c 2  1 +     P1 (0)  2   2   π   

(6.7)

Switching (perubahan transmitansi daya) dapat diatur dengan mengatur phase mismatch ∆βL0 (∆β = perbedaan konstanta propagasi). Dengan menyisipkan bahan optik nonlinier dalam salah satu lengan directional coupler, maka ∆β dapat diatur dengan mengatur indeks bias menggunakan cahaya. Hubungan antara rasio daya transfer dengan phase mismatch ditunjukkan pada Gb. 6.14.

Gambar 6.14. Hubungan antara rasio daya transfer dengan phase mismatch

112

Dalam all-optical switching, ada beberapa keterbatasan fundamental, dimana nilai minimum energi switching (E) dan waktu switching (t) dari divais all-optical switching dibatasi oleh fundamental physical limits, yaitu:

(1). Fluktuasi jumlah foton. Pada prinsipnya energi minimum yang diperlukan untuk switching adalah satu foton. Namun jumlah foton yang dihasilkan sinar laser selalu jauh lebih besar dari satu. Akibatnya energi minimum yang diperlukan untuk switching akan lebih besar.

Jumlah foton yang dihasilkan oleh sumber cahaya umumnya

memenuhi distribusi random Poisson, dengan probabilitas :

p(n ) = n n exp(− n ) / n!

(6.8)

dimana n adalah jumlah foton rata-rata. Contoh : Jika ada 21 foton yang dihasilkan oleh laser, untuk panjang gelombang λ = 1 µm diperlukan energi switching E = 21 x 1,24 = 4,2 aJ (26 eV). Sebagai referensi, biasanya digunakan 100 foton, sehingga untuk λ = 1 µm energi minimum switching yang diperlukan adalah 20 aJ. (2). Ketidakpastian energi-waktu (energy-time uncertainty).

σEσt ≥

h 4π

(6.9)

Perkalian E dan t harus lebih besar daripada h/4π (E ≥ h/4πt = hν/4πνt). Karena waktu switching tidak lebih kecil daripada satu putaran optik (1/ν), maka bagian 4πνt selalu lebih besar dari 1. Karena E dipilih lebih besar daripada energi satu foton (hν), maka kondisi ketidakpastian energi-waktu selalu terpenuhi. (3). Waktu switching Ini dibatasi oleh ketidakpastian energi-waktu. Kecepatan dalam femtosecond tidak dapat dicapai oleh switching semikonduktor. Kecepatan sub-picosecond telah didemonstrasikan oleh all-optical switching devices. (4). Ukuran Limit dari ukuran switching foton dibentuk oleh efek difraksi, dimana sulit untuk mengkopel cahaya ke dalam dan keluar dari divais dengan dimensi lebih kecil dari panjang gelombang cahaya.

113

(5). Keterbatasan Praktis Masalah utama untuk all-optical switching adalah sulitnya memperoleh material dengan efek optik nonlinier yang besar, sehingga energi switching yang diperlukan cukup besar. Masalah lain adalah panas yang dihasilkan dari proses switching terutama jika switching dilakukan secara berulang.

Jika energi

minimum untuk setiap switching adalah E, maka total energi yang diperlukan per detik adalah E/t. Jika waktu switching sangat kecil (fs atau ps), maka total energi menjadi besar, sehingga membuat switching dengan kombinasi energi yang kecil dan waktu yang pendek sangat sulit. Gambar 6.15. menunjukkan grafik hubungan antara energi switching dan waktu switching untuk all-optical switching dibandingkan dengan switching elektronik dari bahan semikonduktor. Tampak bahwa all-optical switching membutuhkan energi yang kecil dan waktu switching yang sangat cepat (orde femto-detik atau 10-15 detik). Namun untuk all-optical switching pun ada keterbatasan fundamental, seperti yang diuraikan diatas.

Gambar 6.15. Limit pada energi dan waktu untuk all-optical switching. Energi switching harus diatas garis 100 foton. Jika switching dilakukan berulang, maka energi dan waktu switching berada di sebelah kanan garus heat transfer. Limit untuk divasi elektronik berbahan semikonduktor adalah garis 1 µW, 20 fJ dan 20 ps.

114

6.8. Divais Bistable Optics Dalam sistem elektronik digital (komputer digital) mengandung sejumlah besar elemen-elemen dasar : switching, gerbang dan elemen-elemen memori (flip-flops). Dalam bagian ini akan dibahas divasi bistable optics yang dapat digunakan untuk gerbang-gerbang optik dan flip-flops. Sistem bistabil memiliki output dalam dua harga yang stabil, berapapun input yang diberikan, seperti tampak pada Gb. 6.16. Switching antara dua harga tersebut diperoleh dengan perubahaan sesaat dari input.

Gambar 6.16. Kurva bistabilitas optik, dimana satu nilai input memiliki dua buah nilai output. Kurva ini banyak digunakan untuk switching dan flip-flops pada gerbang logika optik.

Sistem ini dapat dioperasikan untuk input yang kecil, maka outputnya kecil ; input besar maka output juga besar. Jika nilai input melebihi nilai kritis (v2), maka output loncat dari rendah ke tinggi. Jika input diperkecil sehingga melewati nilai kritis yang lain (v1, dimana v1 < v2), maka output loncat dari tinggi ke rendah. Hubungan ini disebut dengan kuva histeresis.

Gambar 6.17. Prinsip kerja flip-flops berdasarkan kurva histeresis (bistabilitas optik)

115

Nilai input antara v1 dan v2 ; nilai output bisa rendah atau tinggi bergantung pada histori dari input. Dalam daerah ini sistem berperilaku seperti sebuah seesaw. Jika output rendah, input positif yang besar menyebabkan flip output ke tinggi dan jika input negatif yang besar menyebabkan flops ke output yang rendah (Gambar 6.17). Berikut ini beberapa contoh pemakaian kurva bistabilitas optik untuk berbagai divais, seperti gerbang logika AND, penguat sinyal (amplifier) dan optical limiter atau optical pulse shaper. 1. Gerbang logika AND

Prinsip kerja gerbang logika AND ditunjukkan pada Gb. 7.18, dimana input berharga 1 jika kedua input juga berga satu, sisanya nol (0).

Gambar 6.18. Gerbang logika AND

Kurva bistabilitas dapat digunakan sebagai gerbang logika AND, dimana output akan tinggi jika kedua input memiliki intensitas cahaya tinggi, seperti diperlihatkan pada Gb. 6.19.

Gambar 6.19. Penggunaan kurva bistabilitas untuk gerlang logika optik AND. Nilai output akan berharga satu (1), jika kedua inputnya bernilai satu (1).

116

2. Penguat Optik (Optical Amplifier)

Nilai/intensitas input dapat diperkuat oleh suatu sistem yang memiliki kurva bistabilitas, seperti ditunjukkan pada Gb. 6.20.

Gambar 6.20. Penggunaan kurva bistabilitas optik sebagai penguat cahaya input. 3. Pembentuk Pulsa (Pulse Shaper) atau Limiter

Kurva bistabilitas dapat juga digunakan sebagai pembentuk pulsa, artinya merubah bentuk pulsa input atau bahkan untuk membatasi intensitas sinyal input, seperti ditunjukkan pada Gb. 6.21.

Gambar 6.21. Penggunaan kurva bistabilitas sebagai pembentuk dan pembatas intensitas sinyal optik input.

117

BAB 7 KRISTAL FOTONIK Kristal fotonik (photonic crystal, PhC) atau material photonic bandgap (PBG) adalah struktur periodik dari material dielektrik dengan permitivitas (e) atau indeks boas (n) yang berbeda, sehingga dapat menghambat perambatan gelombang dengan frekuensi dan arah tertentu. Periodisitas dapat berupa satu, dua dan tiga dimensi, sehingga PhC disebut kristal fotonik 1D, 2D dan 3D, seperti ditunjukkan pada Gb. 7.1. PhC pertama kali diusulkan oleh Sajeev John dan Eli Yablonovitch pada tahun 1987 yang bertujuan untuk merancang suatu material yang dapat mempengaruhi sifat-sifat foton seperti halnya kristal semikonduktor yang dapat mempengaruhi sifat-sifat elektron.

Gambar 7.1. Kristal fotonik 1D, 2D dan 3D. Warna menggambarkan material dielektrik dengan permitivitas atau indeks bias yang berbeda.

Jika gelombang elektromagnetik menjalar ke dalam struktur PhC, maka ia akan dihamburkan akibat perbedaan indeks bias di dalam struktur. Jika panjang gelombang jauh lebih besar daripada konstanta kisi dari PhC, struktur berperilaku seperti suatu medium efektif, namun jika panjang gelombang sebanding atau lebih kecil daripada konstanta kisi PhC, maka akan terjadi refleksi Bragg, sehingga membentuk PBG. pada setiap bidang batas dua material dielektrik yang berbeda. Proses pembentukan PBG digambarkan oleh persamaan Maxwell yang akan menghasilkan nilai eigen seperi halnya pada persamaan Schroedinger pada kasus elektron. Solusi persamaan tersebut disebut dengan persamaan dispersi, dimana nilai eigen untuk vektor-gelombang tertentu berkaitan dengan energi elektromagnetik dan fungsi eigennya disebut moda/modus. Jika tidak ada moda pada rentang spektra tertentu, maka disebut photonic bandgap (PBG). Suatu PBG dapat berupa stop gap, bandgap atau bandgap sempurna. Stop gap

118

berkaitan dengan tidak adanya moda fotonik dalam suatu frekuensi tertentu untuk satu arah tertentu.

Bandgap adalah tidak adanya modus fotonik dalam suatu rentang

frekuensi tertentu untuk segala arah tetapi hanya satu polarisasi saja, yang hanya ada pada PhC 2D. Sedangkan bandgap sempurna berarti tidak ada moda dalam semua arah dan polarisasi.

7.1 Konsep Dasar Kristal Fotonik Konsep dasar dari PhC mirip dengan konsep dasar perambatan elektron dalam kristal, hanya pembawanya adalah foton, sehingga bentuk ineraksi antara foton dan PhC digambarkan oleh persamaan Maxwell. Perbandingan konsep kristal fotonik dan kristal biasa, ditunjukkan pada Tabel 7.1. Karena keduanya periodik, maka digunakan fungsi Bloch untuk menggambarkan fungsi gelombangnya. Tabel 7.1. Perbandingan konsep kristal fotonik dan kristal biasa Kristal fotonik

Kristal biasa

Pembawa adalah foton

Pembawa adalah elektron

Interaksi pembawa dengan PhC digambarkan oleh persamaan Maxwell

Interasi pembawa dengan kristal digambarkan oleh persamaan Schroedinger

2 r 1 r r r  ω r r ∇ × r ∇ × H k (r ) =   H k (r ) ε( r ) c

 p2 r  r r  + V( r ) ψ k ( r ) = Eψ k (r )  2m 

Hamburan foton terjadi akibat perbedaan permitivitas struktur

Hamburan elektron terjadi karena potensial inti atom V(r)

Permitivitas bersifat periodik r r r ε( r ) = ε r + R

Potensial bersifat periodik r r r V(r ) = V r + R

Fungsi medan H memenuhi fungsi Bloch r r r r r r H k ( r ) = u k ( r ) exp i k • r

Fungsi gelombang memenuhi fungsi Bloch r r r r r ψ k ( r ) = u k ( r ) exp i k • r

Struktur pita/dispersi ωn (k )

Struktur pita En(k)

Mengatur sifat-sifat foton

Mengatur sifat-sifat elektron

(

)

[ ( )]

(

)

[ ( )]

119

7.2. Pembentukan PBG (Dispersi Relation) Salah satu metoda untuk kalkulasi PBG adalah menggunakan ekspansi gelombang bidang. Analisis medan radiasi/ perambatan gelombang EM dalam kristal fotonik, diawali dengan memformulasikan persamaan nilai eigen dari persamaan Maxwell. Diasumsikan bahwa tak ada sumber muatan-muatan bebas (ρ = 0) dan tak ada sumber arus listrik (J = 0), maka bentuk persamaan Maxwell : r r r ∇ • D( r , t ) = 0 r r r ∇ • B(r , t ) = 0 r r r r r ∂B(r , t ) (7.1) ∇ × E(r , t ) = − ∂t r r r r r ∂D(r , t ) ∇ × H(r , t ) = ∂t r r r dimana D adalah perpindahan listrik, B adalah induksi magnet, H adalah intensitas r magnet dan E adalah medan listrik. Jika diasumsikan bahwa material kristal fotonik bukan material magnetik, sehingga permeabilitas kristal fotonik sama dengan permeabilitas ruang hampa µ0, maka berlaku : r r r r B( r , t ) = µ 0 H(r , t ) r r r r r D( r , t ) = ε 0ε( r )E(r , t )

(7.2)

r r r Karena permitivitas PhC bersifat periodik dalam ruang ε( r ) = ε( r + a i ) , dengan i = 1, 2, r r 3, ...dan {a i }adalah vektor kisi elementer dari kristal fotonik, maka ε −1 (r ) dapat

diungkapkan dalam deret Fourier: r r r r 1 ε −1 (r ) = r = ∑ ε G exp iG • r ε(r ) Gr r dengan G adalah vektor kisi balik. r r r r G = l 1b1 + l 2 b 2 + l 3b3  r  bi = vektor elementer kisi balik r r a i • b j = 2πδij 

( ) (

)

(7.3)

{}

(7.4)

( )

( )

r r Sekarang, jika diasumsikan bahwa fungsi dielektrik adalah riil ε − G = ε * G , maka persamaan Maxwell dalam kristal fotonik menjadi :

120

{

}

r r r r ∇ • ε( r )E( r , t ) = 0 r r r ∇ • H( r , t ) = 0 r r r r r ∂H( r , t ) ∇ × E( r , t ) = −µ 0 ∂t r r r r r r ∂D( r , t ) ∇ × H ( r , t ) = ε 0 ε( r ) ∂t

(7.5)

Dengan mengeliminasi medan-medan E dan H, maka diperoleh persamaan gelombang EM :

{

}

1 r r r r 1 ∂2 r r ( ) ∇ × ∇ × = − E r , t E(r , t ) r ε( r ) c 2 ∂t 2 r  1 r r r  1 ∂2 r r ∇ ×  r ∇ × H( r , t ) = − 2 2 H( r , t ) c ∂t  ε( r )  1 c= ε 0µ 0

(7.6)

Dengan mengasumsikan bahwa gelombang EM adalah gelombang harmonik r r r r r r r r dengan frekuensi ω : E (r , t ) = E(r ) e −iωt dan H( r , t ) = H(r ) e − iωt , maka persamaan gelombang (7.6) menjadi :

{

}

r r ω2 r r 1 r r r r LE E ( r ) ≡ r ∇ × ∇ × E ( r ) = 2 E ( r ) ε( r ) c r r r  1 r r r  ω2 r r LH H( r ) ≡ ∇ ×  r ∇ × H( r ) = 2 H( r )  ε( r )  c

(7.7)

Persamaan (7.7) dikenal sebagai persamaan Master untuk kristal fotonik, dengan LE , LH adalah berturut-turut operator-operator untuk medan E dan medan H.

r r 1 r r LE E ( r ) ≡ r ∇ × ∇ × ε( r ) r r r  1 r  LH H( r ) ≡ ∇ ×  r ∇ ×  ε( r ) 

(7.8)

Operator-operator LE , LH memiliki sifat-sifat sebagai berikut : r r ω2 r r LH H ( r ) = 2 H ( r ) c r r ω2 r r ( H, LH H ) = 2 ( H, H ) c

(7.9)

Karena frekuensi ω adalah riil, maka :

121

r r r r (H, LH H)* = ω2 c 2 * (H, H ) r r = ω2 c 2 (H, H) r r = L H H, H

( (

) )

(

(7.10)

)

Maka operator LH adalah Hermitian. Karena itu biasanya untuk menghitung bandgap pertama dilakukan untuk medan H, baru kemudian medan E melalui :

r r  ic  r r r E( r ) =  − r ∇ × H( r )  ωε( r ) 

(7.11)

Karena ε bersifat periodik dalam ruang, maka kita dapat menerapkan teorema Bloch ke dalam persamaan Master, seperti halnya dalam kasus persamaan elektron dalam kristal biasa dengan potensial periodik akibat susunan atom yang teratur. Medan E dan H dicirikan oleh vektor gelombang k dalam zona Brillouin pertama dan indeks pita/band n: r r r r r r r r E (r ) = E krn ( r ) = u krn (r )exp ik • r r r r r r r r r H( r ) = H krn ( r ) = v krn ( r )exp ik • r

( (

dimana

) )

(7.12)

r r r r u krn (r ) dan v krn (r )

fungsi-fungsi

adalah

periodik

yang

memenuhi

r r r r r r r r r r u krn (r + a i ) = u krn (r ) dan v krn (r + a i ) = v krn ( r ) . Karena fungsi-fungsi diatas juga periodik r terhadap ruang, maka dapat diungkapkan dalam deret Fourier seperti halnya ε −1 (r ) : r r r r r r r r G exp i k + G • r E krn ( r ) = ∑ E kn r

( ) {( ) } r (Gr )exp{i(k + Gr )• rr }

G

(7.13)

r r r H krn (r ) = ∑ H krn r G

Dengan mensubstitusikan kedalam persamaan Master, maka diperoleh :

(

)(

) {(

)

( )}

( )

(

)(

) {(

)

( )}

( )

r r r r r r r r ω2krn r r r − ∑ ε G − G ' k + G ' × k + G ' × E kn G ' = 2 E krn G r c G' (7.14) r r r r r r r r ω2krn r r − ∑ ε G − G ' k + G ' × k + G ' × H krn G ' = 2 H krn G r c G' r r r r Dimana ωkn merupakan frekuensi eigen dari medan E krn ( r ) dan H krn ( r ) . Dengan

menyelesaikan salah satu dari dua persamaan diatas secara numerik, maka akan diperoleh hubungan dispersi dari eigenmodes atau photonic bandgap (PBG) stucture.

122

7.2.1. PBG pada Kristal Fotonik 1D

Dalam struktur kristal fotonik 1D, persamaan nilai eigen jauh sederhana karena hanya ada satu nilai k, dan indeks bias atau permitivitas ε seragam dalam dua arah (misalnya arah-x dan –z), sehingga permitivitas, medan H, dan medan B hanya bergantung pada satu koordinat saja (misalnya arah-y), seperti ditunjukkan pada Gb. 7.2. Perhitungan PBG dapat dilakukan dengan dua metoda, yaitu

plane-wave

expansion (solid state) dan matriks transfer.

Gambar 7.2. Perambatan medan dalam kristal fotonik 1D

Jika menggunakan metoda plane-wave expansion, kita pandang kristal fotonik 1D, dimana medan E sejajar sumbu-z dan gelombang merambat dalam arah-y, sehingga medan listrik E dapat dinyatakan E(y,t), sehingga persamaan Master menjadi: 1 ∂ 2E 1 ∂ 2E = ε(y ) ∂y 2 c 2 ∂t 2 ε(y + a ) = ε(y ) ; a = perioda

(7.15)

Fungsi ε(y) dapat diungkapkan dalam deret Fourier : ε −1 (y ) =

+∞

∑ε

m = −∞

m

exp(iGy ) =

+∞

∑ε

m = −∞

m

 2πm  exp i y  a 

(7.16)

Medan listrik diungkapkan oleh :

E (y, t ) ≡ E k (y, t ) = u k (y )exp{i(ky − ωt ) } u k (y + a ) = u k (y ) E k (y, t ) =

+∞

∑E

m = −∞

m

(7.17)

  2πm  expi k +  y − iωk t  a   

Dengan mengasumsikan hanya ada komponen-komponen dengan m = 0 dan m = ± 1, maka :  2π   2π  ε −1 (y ) ≈ ε 0 + ε1 exp i y  + ε −1 exp − i y  a   a  

(7.18)

123

maka subsitusi persamaan (7.18) kedalam persamaan (7.17), diperoleh : 2 2 2  ω2k 2(m − 1)π  2(m + 1)π  2mπ      ε1  k +  E m  E m −1 + ε −1  k +  E m +1 ≈  2 − ε 0  k + a   a a  c     

(7.19) yang dapat diurai untuk masing-masing nilai m. 2 2   2π   2π  c2  E0 ≈ 2  E −1 + ε −1  k +  E1   ε1  k − ωk − ε 0c 2 k 2   a   a  

;m=0

2    c2 4π  2 ε k− E −1 ≈ 2  E − 2 + ε −1k E 0  ; m = −1 2  1 2 a  ωk − ε 0c (k − 2π a )    2    c2 4π  2 ε k+ E1 ≈ 2  E 2 + ε1k E 0  2  −1  2 a  ωk − ε 0c (k + 2π a )   

(7.20)

; m =1

Ketiga persamaan pada pers. (7.20) akan bernilai sama jika k ≈

π ; ω2k ≈ ε 0c 2 k 2 , maka a

hanya E0 dan E-1 saja yang dominan, sehingga suku yang lain dapat diabaikan, dengan demikian diperoleh dua persamaan terkopel : 2

2π   ω − ε 0c k E 0 − ε1c  k −  E −1 = 0 a   2 2π    2 2 2 2 − ε −1c k E 0 +  ωk − ε 0c  k −  E −1 = 0 a    

(

2 k

2

2

)

2

(7.21)

Kedua persamaan linier ini mempunyai solusi nontrivial jika determinan koefisienkoefisiennya nol : 2

ω2k − ε0c 2 k 2 − ε −1c 2 k 2

2π   − ε1c 2  k −  a   2 = 0 2π  2 2 ωk − ε 0c  k −  a  

(7.22)

2 2  2  2 2π   2π   2 2 2  ω − ε 0c k ωk − ε 0c  k −  − ε −1c k ε1c  k −  =0  a   a      

(

2 k

2

)

Persamaan (7.22) disebut persamaan dispersi untuk kristal fotonik 1D.

124

Ilustrasi persamaan (7.22) diperlihatkan pada Gb. 7.3., dimana terbentuk bandgap, jika kedua material dielektrik memiliki permitivitas yang berbeda.

Gambar 7.3. Pembentukan PBG pada kristal fotonik 1D. Hubungan dispersi untuk keistal 1D seragam (kiri), dan efek dari perubahan permitivitas menyebabkan split pada batas daerah Brilloin k = ± π/a . Perbedaan frekuensi (gap) pada k = π/a (kondisi Bragg) : 2

4

4

2 π π π ω − 2ω ε 0c   + ε 02c 4   − ε1 c 4   = 0 a a a 4

2

2

2

ε1 = ε1ε −1 (7.23)

2

π ω2 = c 2   (ε0 ± ε1 ) a π ω = c  ε 0 ± ε1 a maka bandgap terjadi pada rentang frekuensi

πc πc ε 0 − ε1 < ω < ε 0 + ε1 . Jika a a

tidak ada variasi indeks bias (permitivitas, |ε1| = 0), seperti pada medium 1D seragam, maka tidak akan terbentuk bandgap (∆ω = 0), seperti pada Gb. 7.3 (kiri), sehingga hubungan dispersi menjadi ω = ∆ω =

πc = ck . Lebar bandgap ∆ω pada k = π/a sebedar a

πc 2 ε1 , sehingga lebar bandgap bergantung pada perbedaan indeks bias dua a

medium dalam kristal fotonik. Perhitungan PBG kristal fotonik 1D dengan metoda matrik transfer dapat dilihat pada perhitungan multilayer dalam buku karangan P. Yeh, “Optical waves in Layered

Media”, John Wiley, NY, 1988.

125

7.2.2. PBG pada Kristal Fotonik 2D Dalam PhC 2D, variasi indeks bias/permitivitas terjadi dalam dua arah koordinat (misalnya arah-x, dan arah-y) tapi seragam dalam arah-z, seperti ditunjukkan pada Gb. 7.3. Akibatnya gelombang merambat dalam bidang x-y dan seragam dalam arah-z, sehingga permitivitas ε, medan E dan medan H tidak bergantung pada sumbu-z.

Gambar 7.4. Struktur kristal fotonik 2D, dimana indeks bias bervariasi pada arah-x, dan –y, namun seragam dalam arah-z. Perhitungan PBG diawal dengan persamaan Master, dimana untuk kasus 2D seperti pada Gb. 7.4, ada dua set-persamaan, yaitu :

dengan

r r ∂ ∂  E z ( r// , t ) = −µ 0 H x ( r// , t )  ∂y ∂t  r r ∂ ∂  E z ( r// , t ) = µ 0 H y ( r// , t )  ∂x ∂t  r r r ∂ r  ∂ ∂ H y ( r// , t ) − H x (r// , t ) = ε 0 ε(r// ) E z ( r// , t ) ∂x ∂y ∂t 

(7.24a)

r r ∂ r ∂  H z (r// , t ) = ε 0 ε(r// ) E x ( r// , t )  ∂y ∂t  r r ∂ r ∂  H z (r// , t ) = −ε 0 ε( r// ) E y ( r// , t )  ∂x ∂t  r r r  ∂ ∂ ∂ E y ( r// , t ) − E x ( r// , t ) = −µ 0 H z ( r// , t ) ∂x ∂y ∂t 

(7.24b)

r r//

adalah vektor posisi 2D (x,y). Dari persamaan (7.24a), dengan

mengeliminasi medan Hx(r//,t) dan Hy(r//,t), diperoleh : r 1  ∂2 ∂2  r 1 ∂2 r  2 + 2 E z (r// , t ) = 2 2 E z ( r// , t ) ε( r// )  ∂x ∂y  c ∂t

(7.25)

sedangkan dari persamaan (7.24b), dengan mengeliminasi medan Ex(r//,t) dan Ey(r//,t), diperoleh :

126

∂ 1 ∂ r r 1 ∂2 ∂ 1 ∂ + r r  H z ( r// , t ) = 2 2 H z ( r// , t ) c ∂t  ∂x ε( r// ) ∂x ∂y ε(r// ) ∂y 

(7.26)

Dengan mengasumsikan bahwa medan-medan E dan H adalah medan harmonik : r r E z ( r// , t ) = E z ( r// ) exp(− iωt ) r r H z (r// , t ) = H z ( r// ) exp(− iωt )

(7.27)

maka diperoleh persamaan nilai eigen :

r r ∂2  r ω2 1  ∂2 L(E2 ) E z ( r// ) ≡ − r  2 + 2 E z ( r// ) = 2 E z (r// ) ε( r// )  ∂x ∂y  c ∂ 1 ∂ r r r ∂ 1 ∂ ω2 ( ) L(H2 ) H z (r// ) ≡ −  + H r = H z ( r// ) r r  z // 2 c  ∂x ε(r// ) ∂x ∂y ε(r// ) ∂y 

(7.28)

dimana L(E2 ) , L(H2 ) adalah operator-operator untuk medan listrik dan medan magnet dalam kristal fotonik 2D. Dua jenis operator ini menghasilkan dua fungsi eigen dengan duapolarisasi yang berbeda : 1. Polarisasi E (TE), dimana medan listrik E sejajar sumbu-z 2. Polarisasi H (TM), dimana medan magnet H sejajar sumbu-z. Dengan menerapkan teorema Bloch, maka medan E// dan H// dapat diungkapkan sebagai :

{( r ) exp{i(k

) } r r + G )• r }

r r r r r E (r// ) = E z ,k // n ( r// ) = ∑ E z ,kr n (G // ) exp i k // + G // • r// //

G //

r r H (r// ) = H z ,k // n ( r// ) = ∑ H z ,kr n (G // //

G //

//

//

(7.29)

//

Dimana k// dan G// adalah vektor gelombang dan vektor kisi resiprok/balik dalam 2D. Substitusi persamaan tersebut ke dalam persamaan nilai eigen (7.28), diperoleh : r r' r r' 2 r' r ω(kE// )n2 r ε G // − G // k // + G // E z ,k n (G // ) = 2 E z ,kr n (G // ) ∑ r // // c G '// r G

(

)

)(

)(

(7.30)

)

r r r' r r r' r' r ω(kH// n) 2 r G −G r (G ) = r (G ) k G k G H H ε + • + ∑ // // // // // // // // 2 G z , k n z , k n r // // c G '//

(

dengan ω(krE )n adalah frekuensi sudut eigen dari medan E z ,kr //

frekuensi sudut eigen dari H z ,kr

// n

(rr// ) .

// n

(rr// ) ,

dan ω(krHn) adalah //

Jika didefinisikan suatu matrik Mk// yang

Hermitian :

127

( (

) )

(

)( )

)(

r r r r r r r r M kr G // , G '// = ε Gr G // − G '// k // + G // • k // + G '// // r r r r M kr G // , G '// = M *kr G '// , G // //

//

(

)

(7.31)

maka persamaan nilai eigen dapat diungkapkan dalam bentuk :

∑ r G '//

(

)

r r M kr G // , G '// H z ,kr //

dimana medan H z ,kr

∫

r d r// H *z ,kr

V( 2)

// n

(Gr ) = ' //

ω(krHn) 2 //

c

2

H z ,kr

// n

(Gr ) //

(7.32)

(G ) bersifat ortogonal : r

// n

// n

//

(rr// )H z,kr ' n ' (rr '// ) = V (2 )δ kr //

//

r k '//

δ nn '

(7.33)

dengan V(2) adalah volume kristal fotonik 2D. Ortogonalitas ini konsekuensi dari operator L(H2 ) yang Hermitian. Sedangkan operator L(E2 ) tidak Hermitian, maka fungsifungsi eigennya tidak perlu saling ortogonal. Untuk menghitung PBG dengan metoda plane-wave expansion, diperlukan ekspansi dari koefisien-koefisien Fourier : r r r r ε( r ) = ∑ ε Gr G exp iG • r r

( ) (

)

G

( )

r 1 ε Gr G = V0

(

r r r 1 ∫V d r ε(rr ) exp − iG • r 0

)

dengan V0 adalah volume sel-satuan (unit cell) dari kristal fotonik.

(7.34)

Integral ini

umumnya diselesaikan secara numerik.

7.2.2.1. PBG Kolom silinder dielektrik (kisi persegi, square lattice) Pandang bentuk PhC 2D yang terdiri dari kolom-kolom silinder dari bahan dielektrik dalam udara, membentuk kisi persegi, seperti yang ditunjukkan pada Gb. 7.5.

Gambar 7.5. Kristal fotonik 2D yang terdiri dari kolom-kolom silinder dielektrik dengan permitivitas εa dan jari-jari ra dalam udara (εb) membentuk kisi persegi dengan kosntanta kisi a.

128

Karena strukturnya uniform dalam arah-z, integral koefisien-koefisien Fourier adalah nol, jika Gz ≠ 0, sehingga kita hanya membahas vektor-vektor {G//}:

( )

r 1 ε Gr G // = ( 2 ) V0

(

r r r 1 − exp i G d r r // • r// ∫ // ε(r// ) V( 2)

)

0

(7.35)

1 1  1 1  ( 2) r r = +  −  S (r// ) ε( r// ) ε b  ε a ε b  dimana : r 1 untuk r// ≤ ra r S (r// ) =  r 0 untuk r// > ra (2 )

sehingga diperoleh :

( )

(

r r r 1 1  1 1  r (2 ) r  −  ∫ d r// S ( r// ) exp − iG // • r// ε Gr G // = δ Gr 0 + ε b // V0  ε a ε b  V ( 2 ) 0

)

(7.36)

Untuk menghitung integral ini, kita gunakan koordinat polar (r,ϕ). Jika kita ambil arah dengan ϕ = 0 sebagai arah dari G//, maka untuk G// ≠ 0:

(

)

ra 2π r r r (2 ) r  π   ∫( 2d) r// S (r// )exp − iG // • r// = ∫0 dr ∫0 dϕ r expiGr sin ϕ − 2  V0 ra

2π

∞   π  = ∫ dr ∫ dϕ r ∑ J l (Gr ) expil ϕ −  2  l = −∞   0 0

(7.37)

ra

= 2π ∫ dr r J 0 (Gr ) 0

Dimana G = | G// | dan J l adalah fungsi Bessel orde- l . Jika kita turunkan persamaan (7.37) diatas dengan : exp(iω sin φ) =

∞

∑ J (ω)exp(ilφ)

l = −∞

l

{ωJ1 (ω)}' = ωJ 0 (ω)

(7.38)

maka diperoleh :

(

)

r r r r 2πra ( ) d r S r exp − i G J1 (Gra ) // • r// = ∫( 2) // // G V

(7.40)

0

129

Dengan mendefinisikan fraksi volume kolom silinder adalah f =

π ra2 , maka untuk V0( 2)

r G // ≠ 0 : r  1 1  J (G ra ) ε Gr G // = 2 f  −  1  ε a ε b  G ra r dan untuk G // = 0 diperoleh :

( )

ε(0 ) =

f f -1 + εa εb

(7.41)

(7.42)

Dengan menggunakan perhitungan numerik, struktur pita untuk ra/a = 0.2, konstanta dielektrik silinder (εa = 8,9) dan bahan latar belakang udara (εb = 1,0), ditunjukkan pada Gb. 7.6.

Garis merah menunjukkan polarisasi E (E//z, TE) dan garis biru untuk

polarisasi H (H//z, TM). Gambar indeks adalah zona Brillouin pertama untuk kisi kuadrat (quadratic lattice). Tampak bahwa bandgap hanya terjadi untuk kasus polarisasi H (TM).

Gambar 7.6. Struktur pita kristal fotonik 2D yang terdiri dari kolom-kolom dielektrik dalam udara dengan kisi persegi (square lattice)

7.2.2.2. PBG Lubang udara dalam bahan dielektrik (kisi persegi, square lattice)

Kristal fotonik 2D dengan kisi persegi dapat juga dibuat dengan membuat lubang-lubang udara berbentuk silinder dalam bahan dielektrik, seperti ditunjukkan pada Gb. 7.7 (b). Struktur pita untuk polarisasi TM dengan lubang udara yang disusun menurut kisi heksagonal dalam bahan dielektrik, dengan konstanta dielektrik silinder εa

130

= 12 dan ra/a = 0,475, ditunjukkan pada Gb. 7.7(b). Dalam struktur ini, bandgap tidak terjadi pada polarisasi TE.

Gambar 7.7. (a) konfigurasi kristal fotonik 2D persegi dengan lubang-lubang udara dalam bahan dielektrik dan zona Brilloin, dan (b) struktur pita pada polarisasi TM. Daerah yang diarsir merah menunjukkan PBG.

7.2.2.3. PBG Kolom silinder dielektrik (kisi heksagonal, hexagonal lattice)

Struktur pita untuk kolom-kolom silinder dielektrik yang disusun menurut kisi heksagonal dalam udara, dengan konstanta dielektrik silinder (εa = 12 dan ra/a = 0,2) dan bahan latar belakang udara (εb = 1,0), ditunjukkan pada Gb 7.8.

Gambar 7.8. (a) konfigurasi kristal fotonik 2D heksagonal dan zona Brilloin, dan (b) struktur pita. Garis merah menunjukkan polarisasi TE dan garis biru putus-putus menunjukkan polarisasi TM.

131

Bagian kiri menunjukkan konfigurasi PhC dan zona-Brillouin pertama-nya. Tampak bahwa bandgap hanya terjadi pada polarisasi TM saja. Dengan mengatur rasio ra/a, maka bandgap pada polarisasi TE dapat diperoleh, namun tidak dapat diperoleh bandgap pada frekuensi yang sama untuk kedua polarisasi, sehingga tidak memiliki bandgap sempurna. 7.2.2.4. PBG Lubang dalam bahan dielektrik (kisi heksagonal, hexagonal lattice)

Struktur pita untuk kolom-kolom silinder dielektrik yang disusun menurut kisi heksagonal dalam udara, dengan konstanta dielektrik silinder (εa = 12 dan ra/a = 0,3) dan bahan latar belakang udara (εb = 1,0), ditunjukkan pada Gb 7.9. Bagian kiri menunjukkan konfigurasi PhC dan zona-Brillouin pertama-nya. Dalam struktur pita, tampak bahwa bandgap hanya terjadi pada polarisasi TE saja.

Gambar 7.9. (a) konfigurasi kristal fotonik 2D yang terdiri dari lubang-lubang udara dalam bahan dielektrik membentuk kisi heksagonal dan zona Brilloin, dan (b) struktur pita. Garis merah menunjukkan polarisasi TE dan garis biru putus-putus menunjukkan polarisasi TM.

Dengan mengatur rasio ra/a, maka bandgap pada kedua polarisasi TE dan TM dapat diperoleh pada rentang frekuensi yang sama, seperti yang ditunjukkan pada Gb. 7.10, untuk εa = 12 dan ra/a = 0,3, sehingga struktur ini memiliki bandgap sempurna (complete bandgap).

132

Gambar 7.10. Struktur pita kristal fotonik 2D dengan lubang-lubang udara dalam bahan dielektrik yang membentuk kisi heksagonal (εa = 12 dan ra/a = 0,3). Garis merah menunjukkan polarisasi TE dan garis biru untuk polarisasi TM. Bandgap terjadi untuk kedua polarisasi.

7.2.3. PBG pada Kristal Fotonik 3D

Kristal fotonik 3D memiliki variasi permitivitas atau indeks bias ke semua arah perambatan, sehingga memiliki bandgap pada semua arah polarisasi. PhC 3D dibuat dengan berbagai bentuk dan struktur, seperti ditunjukkan pada Gb. 7.11.

(a)

(b)

(c)

Gambar 7.11. Beberapa struktur kristal fotonik 3D; (a). Yablonovich (fcc mirip intan), (b). Woodpile atau Lincoln/log like, dan (c). Tetragonal square spiral (Sajeev John).

Struktur Yablonovich merupakan struktur kristal 3D pertama yang dibuat oleh Yablonovich pada tahun 1991.

Perhitungan PBG untuk PhC 3D sama dengan

perhitungan untuk 1D dan 2D menggunakan persamaan Master. Gambar 7.12,

133

memperlihatkan contoh struktur pita dari kristal fotonik 3D Yablonovich dan tetragonal square spiral.

(a)

(b)

Gambar 7.12. Struktur pita dari kristal fotonik 3D; (a). Yablonovich, dan (b). Tetragonal square spiral.

Struktur kristal fotonik 3D diatas dibuat teknik litografi yang berbiaya mahal, sehingga dikembangkan kristal fotonik 3D menggunakan metoda sederhana yang disebut dengan self-assembly.

Kristal ini dibentuk dari bola-bola silika yang

membentuk kisi fcc, seperti yang ditunjukkan pada Gb. 7.13.

Gambar 7.13. (a). Struktur kristal fcc dari bola-bola silika, (b). Foto SEM struktur kristal hasil eksperimen.

134

Dalam struktur diatas, karena perbedaan indeks bias sangat kecil, maka untuk memperoleh bandgap yang cukup lebar digunakan teknik inversi, dimana bola-bola silika yang terbentuk digantikan dengan material dielektrik lain yang memiliki indeks bias tinggi, seperti silikon melalui proses etching secara kimia. Dengan demikian kristal fotoniknya disebut inverted opal. Contoh prosedur pembuatan inverted opal silikon diperlihatkan pada Gb. 7.14(a) dan foto SEM hasil eksperimen beserta struktur pitanya pada bagian (b).

(a)

(b)

Gambar 7.14. (a). Prosedur pembuatan inverted opal, (b). Foto SEM inverted opal silikon dan struktur pitanya (bawah), yang menunjukkan terbentuknya bandgap sempurna (taken from A. Blanco, et al., Nature 405 (2000), p.437).

Hasil pengukuran struktur bandgap dari kristal fotonik inverted opal silikon menunjukkan kesesuaian dengan perhitungan teoritis, seperti yang ditunjukkan pada Gb. 7.15.

Hal ini berarti teknik pembuatan struktur ini sangat cocok untuk

dikembangkan pada fabrikasi kristal fotonik 3D berbiaya murah.

135

Gambar 7.15. Struktur pita kristal fotonik 3D inverted opal silikon hasil perhitungan (atas) dan hasil pengukuran dalam dua-arah yang berbeda (bawah). Garis merah menunjukkan polarisasi TE dan hitam untuk polarisasi TM (taken from Y. A. Vlasov et al., Nature 414, (2001), p. 289)

Perkembangan teknologi litografi dan berbagai teknik pembuatan struktur PhC 3D, telah menghasilkan berbagai struktur kristal yang berbeda dan menghasilkan bandgap

sempurna

pada

rentang

frekuensi

yang

berbeda,

sehingga

tidak

memungkinkan untuk dirangkum dalam tulisan ini. Para pembaca dipersilahkan untuk mengikuti perkembangan kristal fotonik dalam berbagai jurnal ilmiah.

7.3. Cacat pada Kristal Fotonik Cacat pada kristal fotonik sifatnya disengaja, yaitu dengan menyisipkan indeks bias material dielektrik yang berbeda dengan struktur kristal fotonik sempurna atau dengan merubah geometri (ukuran), sehingga periodisitasnya terganggu. Cacat dapat berupa titik (point defect) yaitu dengan merubah hanya salah satu dari susunan dielektrik dan cacat garis (line defect) yaitu dengan menyisipkan beberapa defect. Penyisipan lapisan cacat mengakibatkan munculnya frekuensi (defect mode) didalam bandgap, sehingga frekuensi tersebut dapat merambat ke dalam struktur kristal fotonik. Gambar 7.16 menunjukkan pengaruh cacat titik terhadap struktur pita. Tampak bahwa terdapat moda didalam bandgap.

136

(a)

(b) Gambar 7.16. Pengaruh penyisipan defect pada struktur pita bandgap (a). Point defect, dan (b) Line defect.

Pembuatan lapisan defect ini agar kristal fotonik dapat digunakan untuk berbagai aplikasi, seperti resonator laser (point defect) atau pandu gelombang (line defect). Gambar 7.17 menunjukkan hasil eksperimen dari point defect dan line defect.

Tampak bahwa frekuensi tertentu dapat merambat kedalam struktur.

137

(a)

(b)

Gambar 7.17. Hasil eksperimen dan kurva resonansi dari (a) point defect untuk aplikasi resonator [taken from J.S. Foresi, et al, Nature 390 (1997), p. 14], dan (b). Line defect untuk pandu gelombang [taken from S. Olivier et al, Optical and Quantum Electronics 34 (2002), p.171].

7.4. Aplikasi Kristal Fotonik Kristal fotonik dikembangkan untuk memuat berbagai divais fotonik untuk menggantikan divais elektronik, sehingga diharapkan dapat dibuat suatu sistem optik terintegrasi (integrated optical devices), seperti halnya pada integrated electronic. Pada bagian ini akan dibahas beberapa aplikasi kristal fotonik, seperti laser, pandu gelombang, all-optical switching, add-drop filter, dan all-optical diode. Para pembaca dapat mengikuti perkembangan berbagai aplikasi kristal fotonik melalui jurnal ilmiah. 7.4.1. Laser

Laser yang efisien adalah laser yang hanya membutuhkan energi pembangkit (dapat berupa arus, tegangan listrik atau energi foton) yang kecil atau threshold yang kecil. Gambar 7.18 memperlihatkan hasil eksperimen aplikasi kristal fotonik 1D dan 2D untuk laser. Laser 1D dibuat dengan membentuk grating pada permukaan film tipis polimer terkonjugasi MEH-PPV dengan teknik solvent-assisted micromolding [Gb.

138

7.18(a)] dan laser 2D dibentuk dengan membuat point defect pada kristal fotonik 2D [Gb. 7.18(b)].

(a)

(b)

Gambar 7.18. Kristal fotonik untuk aplikasi laser; (a). 1D dari material MEH-PPV [taken from M. Gaal et al., Adv. Mater 15 (2003), p.1165], dan (b) 2D dari material InGaAsP [taken from O. Painter et al, Science 284 (1999), p. 1819].

7.4.2. Pandu Gelombang

Salah satu masalah penting pada pandu gelombang konvensional adalah loss pada bengkokan, akibat prinsip pemantulan total internal tidak terpenuhi. fotonik menawarkan solusi untuk mengatasi masalah tersebut.

Kristal

Gambar 7.19

menunjukkan hasil eksperimen pandu gelombang pada kristal fotonik 2D yang membentuk sudut 1200. Tampak bahwa cahaya masih dapat terpandu karena hamburan (loss) pada daerah bengkokan dapat dikurangi.

139

Gambar 7.19. Foto pandu gelombang dengan sudut 1200 pada kristal fotonik 2D (kiri), dan hasil pengukuran refleksi cahaya. Tampak bahwa cahaya dengan panjang gelombang sekitar 1 µm dapat ditransmisikan [taken from M. Tokushima et al, Appl. Phys. Lett. 76 (2000), p. 952].

. 7.4.3. Filter Add-Drop

Filter add-drop merupakan filter yang dapat mendistribusikan sinyal dengan frekuensi yang berbeda pada tempat yang berbeda walaupun sinyal-sinyal tersebut dibawa pada pandu gelombang yang sama. Filter add-drop banyak digunakan dalam komunikasi optik, terutama pada pengolahan dan distribusi sinyal optik. Dengan mengatur letak dan geometri point defect, kristal fotonik dapat diaplikasikan sebagai filter add-drop, seperti ditunjukkan pada Gb. 7.20.

Gambar 7.20. Disain, foto SEM dan hasil pengukuran spektrum filter add-drop [taken from S. Noda et al, Nature 407 (2000), p.608]

140

7.4.4. All-Optical Diode

Suatu all-optical diode adalah suatu divais yang mengijinkan propagasi suatu sinyal dengan panjang gelombang/frekuensi tertentu dalam satu arah (unidirectional propagation).

Dalam kasus ideal, transmisi dioda adalah 100% dalam arah maju

(forward) dan sangat kecil atau tidak ada untuk arah perambatan balik (backward). Disain all-optical diode menggunakan kristal fotonik 2D ditunjukkan pada Gb. 7.21, dengan menyisipkan beberapa point defect. Dengan bentuk kristal fotonik yang terdiri atad kolom-kolom silinder dielektrik (ε = 11,56 misalnya GaAs atau Si pada 1,5 µm) dalam udara. Di dalam lapisan defect dibuat beberapa silinder dielektrik dengan permitivitas nonlinier 7 dan rasio r/a = 0,18. Jika panjang gelombang/frekuensi cahaya diambil 0,326(2πc/a), maka transmitansinya bergantung dari arah dimana cahaya datang, sehingga memiliki karakteristik dioda.

(a)

(b)

Gambar 7.21. (a) Disain all-optical diode dan perhitungan transmitansi sebagai fungsi dari frekuensi, dan (b) Karakteristik all-optical diode [taken from S. Mingaleev & Y. Kivshar, J. Opt. Soc. Am. B 19 (2002), p.2241]

7.4.5. All-Optical Switching

Kebutuhan yang besar pada divais pemrosesan sinyal optik berkecepatan tinggi, membuat banyak sekali peneliti yang mengusulkan membuat divais all-optical switching menggunakan kristal fotonik 2D.

Switching terjadi karena penyisipan

material optik nonlinier, dimana indeks biasnya bergantung pada intensitas cahaya datang.

Switching (perubahan transmisi pada frekuensi tertentu) diatur dengan

intensitas cahaya datang. Gambar 7.22 memperlihatkan salah satu contoh dari banyak

141

struktur yang dibuat untuk aplikasi all-optical switching. Tampak bahwa transmitansi pada defect mode (λ = 551 nm) berubah terhadap intensitas pumping, dan switching (perubahan transmitansi) dapat berlangsung pada 40 ps (4 x 10-11 detik).

(a)

(b) Gambar 7.22. (a). Foto SEM struktur kristal fotonik (kiri) dan hasil pengukuran, simulasi PBG (kanan), dan (b). Hasil pengukuran transmitansi pada defect mode (551 nm) sebagai dungsi dari intensitas pumping (bagian kiri adalah hasil pengukuran dan kanan adalah hasil simulasi), sedangkan bagian kanan adalah perubahan transmitansi sebagai fungsi dari waktu tunda (delay).

142

REFERENSI 1. O. Svelto,”Principle of Lasers ; 4th Edition”, Plenum Press, New York, 1998. 2. B.E.A. Saleh, and M.C. Teich, “ Fundamentals of Photonics”, John Wiley & Sons Inc., NY, 1991. 3. W. Koechner, “Solid-State Laser Engineering”, Springer Verlag, Berlin 1999. 4. J. D. Joannopoulos, R. D. Meade, J. N. Winn, “Photonic Crystals; Molding the Flow of Light”, Princeton University Press, 1995. 5. K. Sakoda,” Optical Properties of Photonic Crystals”, Springer Verlag Berlin, 2001. 6. J. D. Joannopoulos, S. G. Johnson, R. D. Meade, J. N. Winn, “Photonic Crystals; Molding the Flow of Light; 2nd Edition”, 2008.

143