RUANG VEKTOR (Kajian pada Ruang-n Euclidis dan Ruang Vektor ...

Outline

RUANG VEKTOR (Kajian pada Ruang-n Euclidis dan Ruang Vektor Umum) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009

Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR

Outline

Outline 1

Ruang Vektor Ruang-n Euclidis Ruang Vektor Umum

2

Basis dan Dimensi Kebebasan Linier Konsep Basis dan Dimensi

3

Ruang Vektor Khusus Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasilkali Dalam Basis Ortonormal Koordinat - Perubahan Basis Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR

Outline

Outline 1


2


3


RUANG VEKTOR

Outline

Outline 1


2


3


RUANG VEKTOR

Ruang Vektor Basis dan Dimensi Ruang Vektor Khusus

Ruang-n Euclidis Ruang Vektor Umum

Definisi-definisi tupel-n-terorde adalah sebuah urutan n bilangan riil (a1 , a2 , ..., an ). Himpunan semua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan R n Dua vektor u = (u1 , u2 , ..., un ) dan v = (v1 , v2 , ..., vn ) pada R n u = v jika u1 = v1 , u2 = v2 , ..., un = vn u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , ..., un + vn ) jika k skalar, maka ku = (ku1 , ku2 , ..., kun )


RUANG VEKTOR





RUANG VEKTOR





RUANG VEKTOR





RUANG VEKTOR





RUANG VEKTOR



Sifat Ilmu Hitung dalam R n Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k serta l adalah skalar, maka 1

u+v =v +u

2

u + (v + w) = (u + v ) + w

3

u+0=0+u =u

4

u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5

k(lu) = (kl)u

6

k(u + v ) = ku + kv

7

(k + l)u = ku + lu

8

1u = u Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR




u+v =v +u

2

u + (v + w) = (u + v ) + w

3

u+0=0+u =u

4

u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5

k(lu) = (kl)u

6

k(u + v ) = ku + kv

7

(k + l)u = ku + lu

8


RUANG VEKTOR




u+v =v +u

2

u + (v + w) = (u + v ) + w

3

u+0=0+u =u

4

u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5

k(lu) = (kl)u

6

k(u + v ) = ku + kv

7

(k + l)u = ku + lu

8


RUANG VEKTOR




u+v =v +u

2

u + (v + w) = (u + v ) + w

3

u+0=0+u =u

4

u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5

k(lu) = (kl)u

6

k(u + v ) = ku + kv

7

(k + l)u = ku + lu

8


RUANG VEKTOR




u+v =v +u

2

u + (v + w) = (u + v ) + w

3

u+0=0+u =u

4

u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5

k(lu) = (kl)u

6

k(u + v ) = ku + kv

7

(k + l)u = ku + lu

8


RUANG VEKTOR




u+v =v +u

2

u + (v + w) = (u + v ) + w

3

u+0=0+u =u

4

u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5

k(lu) = (kl)u

6

k(u + v ) = ku + kv

7

(k + l)u = ku + lu

8


RUANG VEKTOR




u+v =v +u

2

u + (v + w) = (u + v ) + w

3

u+0=0+u =u

4

u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5

k(lu) = (kl)u

6

k(u + v ) = ku + kv

7

(k + l)u = ku + lu

8


RUANG VEKTOR




u+v =v +u

2

u + (v + w) = (u + v ) + w

3

u+0=0+u =u

4

u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5

k(lu) = (kl)u

6

k(u + v ) = ku + kv

7

(k + l)u = ku + lu

8


RUANG VEKTOR




u+v =v +u

2

u + (v + w) = (u + v ) + w

3

u+0=0+u =u

4

u + (−u) = 0, yakni u − u = 0

5

k(lu) = (kl)u

6

k(u + v ) = ku + kv

7

(k + l)u = ku + lu

8


RUANG VEKTOR



Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis Definisi Jika u = (u1 , u2 , ..., un ) dan v = (v1 , v2 , ..., vn ) adalah sebarang vektor pada R n , maka hasilkali dalam Eucidis u · v didefinisikan dengan u · v = u1 v1 + u2 v2 + ... + un vn Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada R n dan k adalah skalar, maka: u·v =v ·u (u + v ) · w = u · w + v · w (ku) · v = k(u · v ) v · v ≥ 0. Selanjutnya v · v = 0 ⇐⇒ v = 0 Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR



Norm dan Jarak Euclidis Analog dengan norm pada R 2 dan R 3 Norm (atau panjang) Euclidis vektor u = (u1 , u2 , ..., un ) pada R n adalah q 1 ||u|| = (u · u) 2 = u12 + u22 + ... + un2 Analog dengan jarak pada R 2 dan R 3 Jarak Euclidis antara titik u = (u1 , u2 , ..., un ) dan v = (v1 , v2 , ..., vn ) pada R n dinotasikan d(u, v ) dan sama dengan q ||u − v || = (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 + ... + (un − vn )2 Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR



Norm dan Jarak Euclidis Analog dengan norm pada R 2 dan R 3 Norm (atau panjang) Euclidis vektor u = (u1 , u2 , ..., un ) pada R n adalah q 1 ||u|| = (u · u) 2 = u12 + u22 + ... + un2 Analog dengan jarak pada R 2 dan R 3 Jarak Euclidis antara titik u = (u1 , u2 , ..., un ) dan v = (v1 , v2 , ..., vn ) pada R n dinotasikan d(u, v ) dan sama dengan q ||u − v || = (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 + ... + (un − vn )2 Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR



Ruang Vektor V disebut ruang vektor jika 1

∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2

u+v =v +u

3

u + (v + w) = (u + v ) + w

4

∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5

∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6

∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V

7

k(lu) = (kl)u

8

k(u + v ) = ku + kv

9

(k + l)u = ku + lu

10


RUANG VEKTOR




∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2

u+v =v +u

3

u + (v + w) = (u + v ) + w

4

∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5

∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6


7

k(lu) = (kl)u

8

k(u + v ) = ku + kv

9

(k + l)u = ku + lu

10


RUANG VEKTOR




∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2

u+v =v +u

3

u + (v + w) = (u + v ) + w

4

∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5

∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6


7

k(lu) = (kl)u

8

k(u + v ) = ku + kv

9

(k + l)u = ku + lu

10


RUANG VEKTOR




∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2

u+v =v +u

3

u + (v + w) = (u + v ) + w

4

∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5

∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6


7

k(lu) = (kl)u

8

k(u + v ) = ku + kv

9

(k + l)u = ku + lu

10


RUANG VEKTOR




∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2

u+v =v +u

3

u + (v + w) = (u + v ) + w

4

∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5

∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6


7

k(lu) = (kl)u

8

k(u + v ) = ku + kv

9

(k + l)u = ku + lu

10


RUANG VEKTOR




∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2

u+v =v +u

3

u + (v + w) = (u + v ) + w

4

∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5

∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6


7

k(lu) = (kl)u

8

k(u + v ) = ku + kv

9

(k + l)u = ku + lu

10


RUANG VEKTOR




∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2

u+v =v +u

3

u + (v + w) = (u + v ) + w

4

∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5

∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6


7

k(lu) = (kl)u

8

k(u + v ) = ku + kv

9

(k + l)u = ku + lu

10


RUANG VEKTOR




∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2

u+v =v +u

3

u + (v + w) = (u + v ) + w

4

∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5

∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6


7

k(lu) = (kl)u

8

k(u + v ) = ku + kv

9

(k + l)u = ku + lu

10


RUANG VEKTOR




∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2

u+v =v +u

3

u + (v + w) = (u + v ) + w

4

∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5

∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6


7

k(lu) = (kl)u

8

k(u + v ) = ku + kv

9

(k + l)u = ku + lu

10


RUANG VEKTOR




∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2

u+v =v +u

3

u + (v + w) = (u + v ) + w

4

∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5

∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6


7

k(lu) = (kl)u

8

k(u + v ) = ku + kv

9

(k + l)u = ku + lu

10


RUANG VEKTOR




∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V

2

u+v =v +u

3

u + (v + w) = (u + v ) + w

4

∃0 ∈ V , ∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u

5

∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 0

6


7

k(lu) = (kl)u

8

k(u + v ) = ku + kv

9

(k + l)u = ku + lu

10


RUANG VEKTOR



Sifat Dasar Ruang Vektor

Jika V ruang vektor maka ∀u ∈ V , u disebut vektor Jika V ruang vektor, u ∈ V , dan k skalar 0u = 0 k0 = 0 (−1)u = −u ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0


RUANG VEKTOR






RUANG VEKTOR






RUANG VEKTOR






RUANG VEKTOR






RUANG VEKTOR






RUANG VEKTOR



Subruang

Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut subruang jika W merupakan ruang ruang vektor di bawah penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan dalam V Teorema Subruang Misal V ruang vektor. W ⊂ V . W 6= φ. W merupakan subruang dari V ⇐⇒ 1

Jika u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W

2

Jika k skalar dan u ∈ W =⇒ ku ∈ W


RUANG VEKTOR



Subruang


Jika u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W

2



RUANG VEKTOR



Subruang


Jika u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W

2



RUANG VEKTOR



Subruang


Jika u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W

2



RUANG VEKTOR



Kombinasi Linier dan Merentang Kombinasi Linier Sebuah vektor w disebut kombinasi linier dari vektor-vektor v1 , v2 , ..., vn jika vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai w = k1 v1 + k2 v2 + ... + kn vn dengan k1 , k2 , ..., kn adalah skalar-skalar. Merentang Jika v1 , v2 , ..., vr ∈ V dan ∀u ∈ V , u merupakan kombinasi linier dari v1 , v2 , ..., vr maka vektor-vektor v1 , v2 , ..., vr dikatakan merentang V . Dinotasikan: V = lin{v1 , v2 , ..., vr } Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR



Kombinasi Linier dan Merentang Kombinasi Linier Sebuah vektor w disebut kombinasi linier dari vektor-vektor v1 , v2 , ..., vn jika vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai w = k1 v1 + k2 v2 + ... + kn vn dengan k1 , k2 , ..., kn adalah skalar-skalar. Merentang Jika v1 , v2 , ..., vr ∈ V dan ∀u ∈ V , u merupakan kombinasi linier dari v1 , v2 , ..., vr maka vektor-vektor v1 , v2 , ..., vr dikatakan merentang V . Dinotasikan: V = lin{v1 , v2 , ..., vr } Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR



Himpunan Kombinasi Linier

Teorema Jika v1 , v2 , ..., vr ∈ V dan W = {k1 v1 + k2 v2 + ... + kr vr }, maka W subruang V . W subruang terkecil yang memuat v1 , v2 , ..., vr


RUANG VEKTOR






RUANG VEKTOR






RUANG VEKTOR


Kebebasan Linier Konsep Basis dan Dimensi

Kebebasan Linier Definisi Jika S = {v1 , v2 , ..., vr } adalah himpunan vektor-vektor dan satu-satunya solusi untuk sistem homogen k1 v1 + k2 v2 + ... + kr vr = 0 adalah penyelesaian trivial, maka S disebut himpunan bebas linier, dan v1 , v2 , ..., vr disebut vektor-vektor bebas linier Akibatnya: Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah tak bebas linier ⇐⇒ ada vektor dalam S yang merupakan kombinasi linier vektor-vektor selebihnya. bebas linier ⇐⇒ yang terjadi negasinya Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR



Teorema Kebebasan Linier Jika sebuah himpunan memuat vektor nol maka himpunan tersebut tak bebas linier Sebuah himpunan mempunyai tepat dua vektor tak bebas linier jika dan hanya jika salah satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain Misalkan S = {v1 , v2 , ..., vr } adalah himpunan vektor-vektor dalam R n . Jika r > n maka S tak bebas linier


RUANG VEKTOR





RUANG VEKTOR





RUANG VEKTOR



Basis dan Dimensi Definisi Misalkan V ruang vektor dan S = {v1 , v2 , ..., vr } ⊂ V . S disebut basis untuk V jika S bebas linier S merentang V 1

Jika S = {v1 , v2 , ..., vn } basis untuk ruang vektor V maka tiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas linier

2

Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama

3

Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi V. Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR





2


3


RUANG VEKTOR





2


3


RUANG VEKTOR





2


3


RUANG VEKTOR





2


3


RUANG VEKTOR





2


3


RUANG VEKTOR





2


3


RUANG VEKTOR



Teorema Basis Teorema a Jika S = {v1 , v2 , ..., vn } adalah himpunan n vektor bebas linier pada ruang V berdimensi n, maka S adalah basis Teorema b Jika S = {v1 , v2 , ..., vn } adalah himpunan n vektor yang merentang ruang V berdimensi n, maka S adalah basis Teorema c Jika S = {v1 , v2 , ..., vr } adalah himpunan r vektor bebas linier pada ruang V berdimensi n dan r < n, maka S dapat diperbesar untuk menjadi basis V Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR


Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasilkali Dalam Basis Ortonormal Koordinat - Perubahan Basis

Ruang Baris dan Ruang Kolom Tinjaulah matriks m × n    A= 

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1 am2

... ...

a1n a2n .. .

... ... amn

    

Subruang R n yang direntang oleh vektor-vektor baris A disebut ruang baris A Subruang R m yang direntang oleh vektor-vektor kolom A disebut ruang kolom A Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR



Ruang Baris dan Ruang Kolom Tinjaulah matriks m × n    A= 

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1 am2

... ...

a1n a2n .. .

... ... amn

    

Subruang R n yang direntang oleh vektor-vektor baris A disebut ruang baris A Subruang R m yang direntang oleh vektor-vektor kolom A disebut ruang kolom A Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR



Teorema Ruang Baris (Kolom) Operasi Baris Elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks Vektor-vektor baris taknol pada bentuk eselon baris dari matriks A membentuk basis untuk ruang baris A Ruang baris dan ruang kolom suatu matriks memiliki dimensi yang sama Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan dinyatakan dengan rank (A) Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR



Pernyataan-pernyataan Ekivalen Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen: 1

A invertibel

2

Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial

3

A ekivalen baris terhadap In

4

Ax = b selalu konsisten

5

det(A) 6= 0

6

rank (A) = n

7

Vektor-vektor baris A bebas linier

8

Vektor-vektor kolom A bebas linier Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR




A invertibel

2


3


4


5

det(A) 6= 0

6

rank (A) = n

7


8


RUANG VEKTOR




A invertibel

2


3


4


5

det(A) 6= 0

6

rank (A) = n

7


8


RUANG VEKTOR




A invertibel

2


3


4


5

det(A) 6= 0

6

rank (A) = n

7


8


RUANG VEKTOR




A invertibel

2


3


4


5

det(A) 6= 0

6

rank (A) = n

7


8


RUANG VEKTOR




A invertibel

2


3


4


5

det(A) 6= 0

6

rank (A) = n

7


8


RUANG VEKTOR




A invertibel

2


3


4


5

det(A) 6= 0

6

rank (A) = n

7


8


RUANG VEKTOR




A invertibel

2


3


4


5

det(A) 6= 0

6

rank (A) = n

7


8


RUANG VEKTOR




A invertibel

2


3


4


5

det(A) 6= 0

6

rank (A) = n

7


8


RUANG VEKTOR



Beberapa Teorema Lanjutan Sebuah sistem linier Ax = b adalah konsisten jika dan hanya jika b berada dalam ruang kolom matriks A Sebuah sistem linier Ax = b akan konsisten jika dan hanya jika rank(A) = rank (A|b) Jika Ax = b sistem konsisten yang memuat m persamaan dan n variabel, dan jika rank (A) = r , maka pemecahan sistem tersebut memuat n − r parameter


RUANG VEKTOR





RUANG VEKTOR





RUANG VEKTOR



Hasilkali Dalam Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil < u, v > dengan pasangan vektor (u, v )dan memenuhi aksioma: 1

< u, v >=< v , u >

2

=< u, w > + < v , w >

3

< ku, v >= k < u, v >

4

< v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0

untuk u, v , w ∈ V dan k skalar Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR




< u, v >=< v , u >

2

=< u, w > + < v , w >

3

< ku, v >= k < u, v >

4

< v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0


RUANG VEKTOR




< u, v >=< v , u >

2

=< u, w > + < v , w >

3

< ku, v >= k < u, v >

4

< v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0


RUANG VEKTOR




< u, v >=< v , u >

2

=< u, w > + < v , w >

3

< ku, v >= k < u, v >

4

< v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0


RUANG VEKTOR




< u, v >=< v , u >

2

=< u, w > + < v , w >

3

< ku, v >= k < u, v >

4

< v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0


RUANG VEKTOR




< u, v >=< v , u >

2

=< u, w > + < v , w >

3

< ku, v >= k < u, v >

4

< v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0


RUANG VEKTOR



Sifat-sifat Hasilkali Dalam

Jika u, v , w vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam dan k skalar < 0, v >=< v , 0 >= 0 < u, v + w >=< u, v > + < u, w > < u, kv >= k < u, v >


RUANG VEKTOR






RUANG VEKTOR






RUANG VEKTOR






RUANG VEKTOR



Panjang dan Sudut di Ruang Hasilkali Dalam Analog dengan ruang Euclidis Jika V sebuah ruang hasilkali dalam, maka 1

norm vektor u = ||u|| =< u, u > 2 jarak antara titik u dan v adalah

d(u, v ) = ||u − v ||

Ketaksamaan Cauchy-Schwartz Jika u dan v adalah vektor pada ruang hasilkali dalam, maka < u, v >2 ≤< u, u >< v , v > Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR





d(u, v ) = ||u − v ||


RUANG VEKTOR





d(u, v ) = ||u − v ||


RUANG VEKTOR





d(u, v ) = ||u − v ||


RUANG VEKTOR



Sifat Dasar Norm dan Jarak

Norm kuk ≥ 0 kuk = 0 ⇐⇒ u = 0 kkuk = |k|kuk ku + v k ≤ kuk + kv k

Jarak d(u, v ) ≥ 0 d(u, v ) = 0 ⇐⇒ u = v d(u, v ) = d(v , u) d(u, v ) ≤ d(u, w) + d(w, v )

Jika V ruang hasilkali dalam maka norm dan jarak yang didefinisikan memenuhi semua sifat yang didaftar dalam tabel di atas


RUANG VEKTOR



Ortogonalitas Dalam ruang hasilkali dalam vektor u dan v dikatakan ortogonal jika < u, v >= 0. Selanjutnya jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada himpunan W , maka dikatakan u ortogonal terhadap W Teorema Pythagoras yang digeneralisasi Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada ruang hasilkali dalam, maka ku + v k2 = kuk2 + kv k2


RUANG VEKTOR



Ortogonalitas Dalam ruang hasilkali dalam vektor u dan v dikatakan ortogonal jika < u, v >= 0. Selanjutnya jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada himpunan W , maka dikatakan u ortogonal terhadap W Teorema Pythagoras yang digeneralisasi Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada ruang hasilkali dalam, maka ku + v k2 = kuk2 + kv k2


RUANG VEKTOR



Basis Ortonormal Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebut ortonormal jika tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal semua vektor memiliki norm 1 Jika S = {v1 , v2 , ..., vn } adalah basis ortonormal pada ruang hasilkali dalam V dan u sebarang vektor dalam V , maka u =< u, v1 > v1 + < u, v2 > v2 + ...+ < u, vn > vn Jika S = {v1 , v2 , ..., vn } himpunan ortogonal dari vektor-vektor taknol dalam ruang hasilkali dalam, maka S bebas linier Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR




RUANG VEKTOR



Proyeksi Ortogonal Misalkan V adalah ruang hasilkali dalam dan {v1 , v2 , ..., vr } adalah himpunan ortonormal dari vektor-vektor V . Jika W menyatakan ruang yang direntang oleh v1 , v2 , ..., vr maka tiap vektor u dalam V dapat dinyatakan dalam bentuk u = w1 + w2 dengan w1 terletak pada W w1 =< u, v1 > v1 + < u, v2 > v2 + ...+ < u, vr > vr = proyW u dan w2 ortogonal terhadap W w2 = u− < u, v1 > v1 + < u, v2 > v2 + ...+ < u, vn > vn Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR



Proses Gram-Schmidt Teorema Setiap ruang hasilkali dalam berdimensi hingga taknol mempunyai sebuah basis ortonormal Bukti Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengkonstruksi sebuah basis ortonormal {v1 , v2 , ..., vn } dari sebarang basis S = {u1 , u2 , ..., un } dengan menggunakan proses Gram-Schmidt Step 1 v1 =

u1 ku1 k Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR





RUANG VEKTOR





RUANG VEKTOR



Proses Gram-Schmidt Step 2 v2 =

u2 −proyW1 u2 ku2 −proyW1 u2 k

=

u2 −v1 ku2 −v1 k

=

u3 −v1 −v2 ku3 −v1 −v2 k

=

u4 −v1 −v2 −v3 ku4 −v1 −v2 −v3 k

Step 3 v3 =


Step 4 v4 =


Sampai step ke 4 didapatkan bahwa {v1 , v2 , v3 , v4 } merupakan himpunan ortonormal. Secara analog proses ini terus berlanjut hingga mendapat basis ortonormal {v1 , v2 , ..., vn } Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR





=

u2 −v1 ku2 −v1 k

=

u3 −v1 −v2 ku3 −v1 −v2 k

=

u4 −v1 −v2 −v3 ku4 −v1 −v2 −v3 k

Step 3 v3 =


Step 4 v4 =



RUANG VEKTOR





=

u2 −v1 ku2 −v1 k

=

u3 −v1 −v2 ku3 −v1 −v2 k

=

u4 −v1 −v2 −v3 ku4 −v1 −v2 −v3 k

Step 3 v3 =


Step 4 v4 =



RUANG VEKTOR





=

u2 −v1 ku2 −v1 k

=

u3 −v1 −v2 ku3 −v1 −v2 k

=

u4 −v1 −v2 −v3 ku4 −v1 −v2 −v3 k

Step 3 v3 =


Step 4 v4 =



RUANG VEKTOR



Koordinat

Jika S = {v1 , v2 , ..., vn } adalah basis untuk ruang vektor V , maka setiap vektor v ∈ V dapat dinyatakan dalam bentuk v = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn dengan tepat satu cara Skalar c1 , c2 , ..., cn disebut koordinat v relatif terhadap basis S


RUANG VEKTOR



Koordinat

Jika S = {v1 , v2 , ..., vn } adalah basis untuk ruang vektor V , maka setiap vektor v ∈ V dapat dinyatakan dalam bentuk v = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn dengan tepat satu cara Skalar c1 , c2 , ..., cn disebut koordinat v relatif terhadap basis S


RUANG VEKTOR



Vektor dan Matriks Koordinat Vektor Koordinat dari v relatif terhadap basis S dinyatakan oleh (v )S = {c1 , c2 , ..., cn } Matriks Koordinat dari v relatif terhadap basis S dinyatakan oleh   c1  c2    [v ]S =  .  .  .  cn Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR



Vektor dan Matriks Koordinat Vektor Koordinat dari v relatif terhadap basis S dinyatakan oleh (v )S = {c1 , c2 , ..., cn } Matriks Koordinat dari v relatif terhadap basis S dinyatakan oleh   c1  c2    [v ]S =  .  .  .  cn Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR



Kontribusi Basis Ortonormal Jika S adalah basis ortonormal untuk ruang hasilkali dalam berdimensi n dan jika (u)S = (u1 , u2 , ..., un ) dan (v )S = (v1 , v2 , ..., vn ) maka q u12 + u22 + ... + un2 p d(u, v ) = (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 + ... + (un − vn )2

kuk =

< u, v >= u1 v1 + u2 v2 + ... + un vn Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR



Kontribusi Basis Ortonormal Jika S adalah basis ortonormal untuk ruang hasilkali dalam berdimensi n dan jika (u)S = (u1 , u2 , ..., un ) dan (v )S = (v1 , v2 , ..., vn ) maka q u12 + u22 + ... + un2 p d(u, v ) = (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 + ... + (un − vn )2 kuk =


RUANG VEKTOR





RUANG VEKTOR





RUANG VEKTOR



Masalah Perubahan Basis

Masalah Jika basis untuk suatu ruang vektor diubah dari basis lama, B, ke basis baru B 0 , bagaimanakah matriks (vektor) koordinat v terhadap basis lama, [v ]B , bila dihubungkan dengan matriks (vektor) koordinatnya terhadap basis baru, [v ]B 0 ?


RUANG VEKTOR



Masalah Perubahan Basis Ilustrasi Misal B = {u1 , u2 } dan B 0 = {u10 , u20 } (u 0 )1 = (a, b) dan (u 0 )2 = (c, d) (v )B 0 = (k1 , k2 ) Tentukan (v )B ! Solusi [v ]B =


a c b d

[v ]B 0

RUANG VEKTOR





a c b d

[v ]B 0

RUANG VEKTOR





a c b d

[v ]B 0

RUANG VEKTOR





a c b d

[v ]B 0

RUANG VEKTOR





a c b d

[v ]B 0

RUANG VEKTOR





a c b d

[v ]B 0

RUANG VEKTOR



Masalah Perubahan Basis Masalah Secara Umum Jika basis untuk suatu ruang vektor diubah dari basis lama, B = {u1 , u2 , ..., un }, ke basis baru B 0 = {u10 , u20 , ..., un0 }, bagaimanakah matriks (vektor) koordinat v terhadap basis lama, [v ]B , bila dihubungkan dengan matriks (vektor) koordinatnya terhadap basis baru, [v ]B 0 ? Solusi [v ]B = P [v ]B 0 dengan P=

0 0 u1 B , u2 B , ..., un0 B

Matriks P disebut matriks transisi dari basis B’ ke B Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR



Masalah Perubahan Basis Masalah Secara Umum Jika basis untuk suatu ruang vektor diubah dari basis lama, B = {u1 , u2 , ..., un }, ke basis baru B 0 = {u10 , u20 , ..., un0 }, bagaimanakah matriks (vektor) koordinat v terhadap basis lama, [v ]B , bila dihubungkan dengan matriks (vektor) koordinatnya terhadap basis baru, [v ]B 0 ? Solusi [v ]B = P [v ]B 0 dengan P=

0 0 u1 B , u2 B , ..., un0 B

Matriks P disebut matriks transisi dari basis B’ ke B Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR



Matriks Transisi

Jika P matriks transisi dari basis B 0 ke basis B, maka P invertibel P −1 adalah matriks transisi dari B ke B 0 Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal yang lain untuk suatu ruang hasilkali dalam, maka P −1 = P t


RUANG VEKTOR



Matriks Transisi



RUANG VEKTOR



Matriks Transisi



RUANG VEKTOR



Matriks Transisi



RUANG VEKTOR



Matriks Ortogonal Matriks Ortogonal adalah matriks persegi yang inversnya sama dengan transposnya. A−1 = At Pernyataan berikut ekivalen 1

A matriks ortogonal

2

Vektor-vektor baris dari A membentuk himpunan ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis

3

Vektor-vektor kolom dari A membentuk himpunan ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis Antonius Cahya Prihandoko

RUANG VEKTOR




A matriks ortogonal

2


3


RUANG VEKTOR




A matriks ortogonal

2


3


RUANG VEKTOR




A matriks ortogonal

2


3


RUANG VEKTOR




A matriks ortogonal

2


3


RUANG VEKTOR