De orde van de veeltermen is maximaal het dubbele ... veeltermen kunnen we
deze veeltermen ontbinden ... eentermen en tweetermen met reële coëfficiënten.
)LOWHUV
-RKDQ %DHWHQ.+/LP
Ontwerp van filters Johan Baeten KHLim
Johan Baeten KHLim
Introductie filters
• In deze cursus bespreken we hoe we een elektronisch circuit kunnen opbouwen (synthetiseren) met een gevraagde transferfunctie • Dit is het omgekeerde van een analyse: – Een analyse vertrekt van een circuit en bepaalt hieruit het gedrag
• We gaan de werkwijze die we gebruikten voor de analyse dan ook omkeren.
Filters
Johan Baeten KHLim
)LOWHUV
-RKDQ %DHWHQ.+/LP
Analyse van een willekeurig circuit
• Het kleinsignaalgedrag van een willekeurig circuit kunnen we uitrekenen aan de hand van de MNA matrix (MNA: Modified Nodal Analysis). • Wanneer we één enkel ingangsignaal hebben (Vin) kunnen we de spanningen van alle knopen uitdrukken in functie van de spanningsbron die staat aan Vin. Dus ook Vuit.
Filters
Johan Baeten KHLim
Ingang- en uitgangssignalen in een Nodale Matrix M ⋅V = G n
Uitdrukking voor de transferfunctie • De transferfunctie kan bepaald worden als een element uit de inverse van de nodale matrix. • Een element van de inverse van een matrix kan uitgedrukt worden als een breuk van 2 determinanten. • Deze determinanten kunnen uitgeschreven worden als veeltermen • Hieruit kunnen we besluiten dat de transferfunctie kan geschreven worden als een breuk van 2 veeltermen in jω S De orde van de veeltermen is maximaal het
dubbele van het aantal elementen uit de matrix S Deze veeltermen hebben reële coëfficiënten
V = M −1G
vuit = M p−1,q vin 2n
vuit = vin
∑ a ( jω ) i =0 2n
∑ b ( jω ) i =0
Filters
i
i
i
i
Johan Baeten KHLim
Opsplitsing van transferfuncties 2n
vuit = vin
m
∑ a ( jω ) ∏ ( jω − n ) i=0 2n
i
i
=
i
i =1 k
∑ b ( jω ) ∏ ( jω − p ) i=0
i
i
i =1
i
• Door het zoeken van de nulpunten van deze veeltermen kunnen we deze veeltermen ontbinden in factoren. – De nulpunten van de teller noemen we nullen – De nulpunten van de noemer noemen we polen
Filters
Johan Baeten KHLim
)LOWHUV
-RKDQ %DHWHQ.+/LP
Bekomen van 2de orde veeltermen
( jω − ni )⋅ ( jω − ni ) = ( jω )2 − 2ℜ(ni ) jω − ni 2 2 = s 2 − 2ℜ(ni )s − ni
• Wanneer er een nul of een pool complex is , hebben we ook steeds zijn complex toegevoegde, zodat we deze 2 factoren kunnen samennemen in een tweede orde veelterm. • Deze tweede orde veelterm heeft reële coëfficiënten
Filters
Johan Baeten KHLim
Realisatie in cascadeerbare actieve circuits m
v H ( jω ) = uit = vin
∏ ( jω − n ) i
i =1 k
∏ ( jω − p )
= H 1 ( j ω )⋅ H 2 ( j ω )⋅ H 3 ( j ω )⋅ Κ
i
i =1
• Om een gevraagde transferfunctie te realiseren gaan we deze opsplitsen in een product van eentermen en tweetermen met reële coëfficiënten. • We realiseren elk van deze circuits op zich en plaatsen ze gewoon achter elkaar. – Het volgende circuit mag wel het vorige niet belasten, anders verandert de transferfunctie.
Filters
Johan Baeten KHLim
)LOWHUV
-RKDQ %DHWHQ.+/LP
Algemeen circuit voor een eerste orde filter
• Algemeen circuit voor een eerste orde filter
vin
v4:9
Filters
Johan Baeten KHLim
Transferfuncties van eerste orde filters
• Laagdoorlaat
TLP =
ωo 1 = s + ωo S + 1
• Hoogdoorlaat
THP =
s S = s + ωo S + 1
• ‘All Pass’
TAP =
s − ωo S − 1 = s + ωo S + 1
Filters
Johan Baeten KHLim
)LOWHUV
-RKDQ %DHWHQ.+/LP
Biquad-filter
• Algemeen circuit voor een tweede orde filter
vin
Filters
Johan Baeten KHLim
Transferfuncties van tweede orde filters • Laagdoorlaat • Hoogdoorlaat
• Banddoorlaat
• Bandsper
TLP =
THP =
TBP
ω o2 1 = S ω 2 2 2 o s + s + ωo S + + 1 Q Q s2 S2 = S ω s 2 + o s + ω o2 S 2 + + 1 Q Q
S ωo s Q Q = = S ω s 2 + o s + ω o2 S 2 + + 1 Q Q
TBE =
s 2 + ω o2 S 2 +1 = S ω s 2 + o s + ω o2 S 2 + + 1 Q Q
ωo S s + ω o2 S 2 − + 1 Q Q = = S ω s 2 + o s + ω o2 S 2 + + 1 Q Q s2 −
• ‘All Pass’ Filters
TAP
Johan Baeten KHLim
v4:9
)LOWHUV
-RKDQ %DHWHQ.+/LP
Laagdoorlaatfilters
• Butterworth-filter: – maximaal vlak rond 0 – stijl dalend vanaf ωc
Η(ω)
• Chebyshev-filter – een constante rimpel tot ωc – stijl dalend vanaf ωc
• Invers-Chebyshev-filter – een constante rimpel vanaf ωc
• Bessel-Thomson-filter – een maximaal vlakke vertragingskarakteristiek rond de frequentie ωc
ωc Filters
Johan Baeten KHLim
Butterworth-filter: transferfunctie
• De transferfunctie is: – alle afgeleiden rond 0 tot 2n-1 van deze functie zijn 0
Tn2 =
1 2n 1 + ( jS )
s ωc
• Voor een laagdoorlaatfilter is S:
S=
• De amplitude voor s=ωc is:
Tn = 1
• Boven deze frequentie daalt deze functie als:
Tn = 1
Filters
2
S
n
Johan Baeten KHLim
f
)LOWHUV
-RKDQ %DHWHQ.+/LP
Butterworth-filter: plaats van de polen • Deze laagdoorlaatfilter heeft enkel polen • Deze polen liggen op een cirkel met straal ωc in het complexe vlak • De orde van de filter n geeft een scheiding tussen de polen van π/n pk =
Im(p)
Re(p)
c - sin π( 2k-1 )
2n
π( 2k-1 ) + j cos 2n
• De polen met hetzelfde reëel deel vormen een 2de graads veelterm: s 2 + 2 Re (pk ) s + ω c2 Filters
Johan Baeten KHLim
Circuit ter realisatie van een Butterworth-filter • Sallen- en Key-circuit • Dit circuit heeft maar 1 OPAMP nodig, in tegenstelling met het algemene circuit • k laat toe de positie op de cirkel te kiezen
C1 vin
R1
ωc =
R2
1 1 1 = = R1C1 R2C2 R2C1
v4:9
kRx C2
Filters
Rx
vout =
k +1 vin s + ω c (2 − k ) s + ω c2 2
Johan Baeten KHLim
)LOWHUV
-RKDQ %DHWHQ.+/LP
Chebyshev-filter: transferfunctie • De transferfunctie is:
Tn2 =
– n rimpels in de doorlaatband
1 1 + ε 2Cn2 ( jS )
Cn (x ) = cos(n ⋅ arccos( x) )
• met • met S voor een laagdoorlaatfilter: • De amplitude voor s=ωc is: – Dit is ook de amplitude van de rimpel
• Boven deze frequentie daalt deze functie als: Filters
S=
Tn = 1 Tn = 1
s ωc
1+ ε 2
ε 2 2 n−1 S
n
Johan Baeten KHLim
Chebyshev-filter: plaats van de polen • Deze laagdoorlaatfilter heeft enkel polen • Deze polen liggen op een ellips in het complexe vlak met als lange as ωc cosh(a) en als korte as ωc sinh(a)
a=
1 1 sinh −1 n ε
• De orde van de filter n geeft een scheiding tussen de polen van π/n pk =
c
Im(p)
π( 2k-1 ) π( 2k-1 ) - sinh a sin 2n + j cosh a cos 2n
Re(p)
• De polen met hetzelfde reëel deel vormen een 2de graads veelterm:
s 2 + 2 Re (pk ) s + ω c2 Filters
Johan Baeten KHLim
)LOWHUV
-RKDQ %DHWHQ.+/LP
Invers-Chebyshev-filter
ε 2Cn2 ( j / S ) T = 1 + ε 2Cn2 ( j / S )
• De transferfunctie is:
2 n
– n rimpels in de sperband
Cn (x ) = cos(n ⋅ arccos( x) )
• met • met S voor een laagdoorlaatfilter:
S=
s ωc
• De polen zijn de omgekeerden (1/p) van de Chebyshev-filter – deze liggen niet op een cirkel
Filters
Johan Baeten KHLim
Bessel-Thomson-filter (Delay filter) • We willen de output een vaste vertraging geven ten opzichte van de ingang. • Hiervoor moet de fase lineair veranderen met de ingang. • We drukken de group delay uit als een reeksontwikkeling van ω, en stellen hierin zoveel mogelijk coëfficiënten gelijk aan nul
Filters
Fase delay
θ = −ωD Group delay
D=−
∂θ ∂ω
X (ω ) θ = tan −1 R(ω )
Johan Baeten KHLim
)LOWHUV
-RKDQ %DHWHQ.+/LP
Transfer functie Bessel-Thomson-filter • De transferfunctie van een Bessel-Thomson-filter met eenheidsdelay kan ook bekomen worden aan de hand van de Bessel veeltermen. • Een belangrijk voordeel van deze laagdoorlaatfilter is ook dat er geen overshoot is als het gevolg van een stap aan de ingang.
Tn (s ) =
n (0) n (s )
n (s ) = (2n − 1)n −1 (s ) + s 2n −2 (s ) 0 (s ) = 1
1 (s ) = s + 1 Filters
Johan Baeten KHLim
Frequentie transformatie voor hoogdoorlaatfilter
• Vanuit de transferfunktie
S=
– S voor een hoogdoorlaatfilter:
ωc s
– We bekomen evenveel nullen op 0 als er polen zijn in de transferfunctie
• Vanuit een schema – vervang elke weerstand Ri door de condensator:
Ci =
1 Ri
– vervang elke condensator Ci door de weerstand:
Ri =
1 Ci
Filters
Johan Baeten KHLim
)LOWHUV
-RKDQ %DHWHQ.+/LP
Frequentie transformatie voor banddoorlaatfilter
• Vanuit de transferfunktie
S=
– S voor een banddoorlaatfilter:
s 2 + ω1ω 2 1 ω 2 − ω1 s
– We bekomen dubbel zoveel trappen als er nodig zijn voor de laagdoorlaatfilter van dezelfde orde – We bekomen half zoveel nullen als er polen zijn in de transferfunctie
