Scientific Philosophy, Mathematical Philosophy, and ...

4 downloads 140146 Views 100KB Size Report
us to draw non‐trivial conclusions from them and to relate them logically to other theories .... Time to conclude: Mathematics in philosophy can be awesome.
Scientific Philosophy, Mathematical Philosophy, and All of That    Hannes Leitgeb  LMU Munich      Recently, we changed the subtitle of Erkenntnis from “An International Journal of Analytic  Philosophy”  into  “An  International  Journal  of  Scientific  Philosophy”.  In  a  sense,  this  was  old news: “Scientific philosophy” had been amongst the terms of art that characterized the  Logical  Empiricist  movement—exemplified  by  the  work  of  Rudolf  Carnap  and  Hans  Reichenbach,  the  founders  of  the  journal—from  the  start.  But  it  was  also  good  news:  “scientific philosophy” expresses the attitude of philosophizing that is associated with the  journal more adequately than the less specific “analytic philosophy”. And: I am convinced  that one important way of doing philosophy in the future will be scientific. In this sense,  having  changed  Erkenntnis’  subtitle  accordingly  should  serve  also  as  an  indication  of  things to come. Let me explain.    What is scientific philosophy? I see at least three different ways of understanding this term  in the relevant literature (all of which, and more, have a place in Erkenntnis):  First  of  all,  there  is  a  scientific  philosophy  in  the  sense  of  philosophy  for  the  sake  of  science. This is very close to what the Vienna and Berlin circles had in mind, and especially  Carnap: philosophy as an auxiliary discipline that reflects, on the metalevel, science proper  with  the  aim  of  reforming  and  improving  the  language  and  logic  of  science  wherever  appropriate.  In  the  last  couple  of  years,  Michael  Friedman  has  taken  up  this  line  of  reasoning again when he argues that philosophy has a crucial innovating and guiding role  to  play  at  those  revolutionary  stages  of  science  at  which  one  Kuhnian  paradigm  is  being  abandoned in favour of another and where philosophy may furnish even radical scientific  change with rationality.  Then there is philosophy as part of science: Willard van Orman Quine and his naturalized  epistemology programme constitute the most famous proponents of scientific philosophy  in this sense; more recently, Penelope Maddy, and also James Ladyman and Don Ross have  argued for a similar naturalization of parts of philosophy. Philosophers should be working  hand  in  hand  with,  and  on  the  same  object  language  level  as,  the  scientists  themselves.  Epistemology,  philosophy  of  mathematics,  and  metaphysics  ought  to  be  extensions  of  cognitive  psychology,  set  theory,  and  physics,  respectively,  so  that  the  former  areas  address some of the more general and foundational questions that arise in the latter ones.  Thirdly,  scientific  philosophy  can  be  understood  as  philosophy  done  (partially)  by  scientific  methods.  This  is  perfectly  compatible  with  philosophy  being  a  discipline  of  its  own  right,  which  possesses  its  own  concepts,  questions,  problems,  and  hypotheses;  with  philosophy not necessarily being pursued, whether on the metalevel or on the object level,  with the aim of facilitating scientific progress (though it is nice if this is a by‐product); and  with philosophers working on the same traditional topics as their ancient Greek ancestors,  such as truth, knowledge, existence, morality, consciousness, and so on, for the sole reason  that  we  can’t  help  it,  perhaps  even  by  “human  nature”—we  simply  have  an  urge  to  understand  these  concepts  and  what  is  denoted  by  them.  But  still  philosophy  might  be  scientific  in  the  sense  that  amongst  the  methods  by  which  these  philosophical  topics  are  being addressed, one finds some of the methods that are also used in science.  It  is  scientific  philosophy  in  this  third  sense  that  many  young  philosophers  are  doing  these days. And it is also what I predict to become even more important in the future. So  let me focus now on scientific philosophy of this last, methodological brand. 

  What  are  scientific  methods?  And  which  of  them  are  such  that  we  might  want  to  apply  them in philosophy? Answering this in general is just as difficult as solving the notorious  demarcation  problem  of  “scientific  vs.  non‐scientific”,  but  at  least  it  is  easy  to  give  some  paradigm case instances.  Clearly, mathematical methods count as scientific methods, and many of them are used  in philosophy: quite often these are logical methods (which may be subsumed under the  more  general  term  “mathematical  methods”),  such  as  methods  from  propositional  logic,  first‐order logic, higher‐order logic, proof theory, model theory, computability theory, set  theory,  non‐classical  logic,  modal  logic,  conditional  logic,  dynamic  logic,  possible  worlds  semantics, and so forth; but also some methods that belong to more mainstream parts of  mathematics,  such  as  methods  from  the  calculus,  probability  theory,  graph  theory,  game  theory, category theory, etc., populate scientific philosophy. Following common usage, we  may  call  such  applications  of  mathematical  methods  to  philosophical  questions  and  problems  “mathematical  philosophy”  or  “formal  philosophy”.  For  instance,  Vincent  Hendricks’ and John Symons’ Formal Philosophy volume (Automatic Press, 2005), in which  various  senior  formal  philosophers  have  been  interviewed  about  their  work,  gives  an  excellent  impression  of  the  great  range  of  philosophical  topics  that  are  approached  by  mathematical means these days.  Secondly, computational methods: Paul Thagard’s Computational Philosophy of Science is  a good example (MIT Press, 1993), or Branden Fitelson’s and Ed Zalta’s “Steps Towards a  Computational  Metaphysics”  (Journal  of  Philosophical  Logic,  2007),  or  all  the  recent  applications of computer simulations in formal epistemology, formal ethics, formal social  philosophy,  and  the  like  (for  an  instance,  see  Igor  Douven’s  “Simulating  Peer  Disagreements“, Studies in History and Philosophy of Science, 2010).  Thirdly, experimental methods: whether they can be applied qua philosophical method  is  hotly  debated  these  days,  e.g.,  in  a  recent  exchange  in  the  New  York  Times  (cf.  http://opinionator.blogs.nytimes.com/2010/09/07/experimental‐philosophy/).  Sometimes these methods mutually presuppose or strengthen each other: computation  usually  presupposes  formalization;  and  empirically  operationalizing  and  testing  people’s  inferences on the acceptability of conditionals (more about which below) is greatly helped  by formal accounts (see, e.g., Niki Pfeifer and Gernot Kleiter on “The Conditional in Mental  Probability Logic”, in Oaksford and Chater, eds., Cognition and Conditionals: Probability and  Logic in Human Thought, Oxford University Press, 2010).  I should add that there are many further kinds of scientific methods, and some of them  might prove important for philosophy in the future, too.    Presumably,  mathematical  and  computational  philosophy  should  not  be  quite  as  difficult  to swallow for philosophical traditionalists as experimental philosophy, at least in so far as  proofs and computations yield, in principle, a priori insight, whereas experimental results  do  not.  And  mathematical  philosophy  isn’t  exactly  the  new  kid  in  town  either:  what  else  than mathematical philosophy is to be found in Aristotle on logic, Leibniz on metaphysics,  and  Carnap  and  Reichenbach  on  philosophy  of  science?  But  that  does  not  mean  that  mathematical  philosophy  isn’t  still  a  no‐go  for  some  of  our  colleagues.  Why  is  that?  For  what  reasons  do  some  philosophers  still  deny  that  mathematical  methods  can  play  an  important role in philosophy?  Here  is  one  (rare  case  of  explicit)  argument:  Kant  in  the  Critique  of  Pure  Reason.  According to Kant's Transcendental Doctrine of Method, philosophy cannot be developed  along the lines of the definitions‐axioms‐proofs scheme that is known from mathematics,  and  this  is  for  the  following  reason:  mathematics  is  based  on  pure  intuition,  while 

philosophy is not. For instance, when a geometrical concept, such as triangle, is defined in  Euclidean geometry, it is always supplied with a corresponding construction method, such  as  a  construction  algorithm  for  triangles  in  general  or  maybe  for  general  triangles.  Such  constructions presuppose our geometrical intuition of the Euclidean plane in order to be  applicable  at  all.  Accordingly,  the  axioms  of  geometry  are  justified  in  virtue  of  these  geometrical  intuitions,  and  proofs  in  Euclidean  geometry  typically  involve  geometrical  constructions by which some geometrical objects are constructed from others in order to  justify to ourselves that a particular theorem holds in the Euclidean plane. None of this can  be  done  in  philosophy,  or  so  Kant  argues,  simply  because  our  abstract  philosophical  concepts  do  not  exhibit  the  same  kind  of  intuitive  content.  Hence,  philosophy  cannot  be  done—not even in parts—in the style of mathematics. In contrast, physics can be done—in  parts—mathematically, because some physical concepts do have, e.g., geometrical content.  Considering the stage to which mathematics had developed by Kant’s time, this is not a  bad  argument  at  all:  for  mathematics  did  seem  to  rely  on  geometrical  intuition  (and  possibly other forms of intuition) just as Kant had been claiming. From our modern point  of  view,  however,  Kant’s  argument  has  been  defeated:  due  to  the  arithmetization  of  analysis in the 19th century and the emergence of set theory as a quasi‐logical foundation  for mathematics at the beginning of the 20th century, we know now that mathematics does  not actually presuppose intuition in the way required by Kant’s argument. (Even though I  doubt  that  intuition  can  be  expelled  from  mathematics  completely.)  In  the  meantime,  mathematics  has  developed  into  a  theory  of  abstract  structures  in  general,  and  the  progress in modern logic shows that even the “space of concepts and propositions” itself  has  an  intricate  mathematical  structure.  So  this  is  one  argument  against  mathematical  philosophy gone with the wind.    More importantly, in the meantime, philosophers have accumulated a great lot of positive  evidence  for  the  thesis  that  applications  of  mathematical  methods  in  philosophy  can  be  very useful. I won’t argue for this thesis here—just take a look at the numerous entries in  the Stanford Encyclopedia of Philosophy in which such applications of formal methods are  being mentioned. Or consider all the sophisticated research done at the various centers for  formal epistemology, mathematical philosophy, and the like, which have emerged in recent  years. Or check out the great number of excellent papers that are being presented at the  corresponding workshops and conferences. And so on. This shows quite conclusively that  any argument to the contrary thesis must be unsound.  However,  usually,  those  of  our  colleagues  who  worry  about  the  mathematization  of  (parts of) philosophy do not so much put forward arguments but really express a feeling of  uneasiness or insecurity vis‐à‐vis mathematical philosophy. Maybe this is but an indication  of a misleading view of mathematics? (Like: “Mathematics is about calculating numbers”,  which  is  false—mathematics  is  concerned  with  giving  proofs  and  studying  structure  as  such.)  Bad  maths  teachers  in  school?  A  little  bit  of  laziness  about  learning  the  bits  of  mathematics  that  would  be  needed  to  appreciate  paradigm  cases  of  mathematical  philosophy? Whatever the reason, such feelings are unfounded: mathematics can be very  useful in philosophy.    In fact, I want to claim more: Sometimes the application of mathematical is even required  in order to make philosophical progress. Why is that?  Let me explain this in terms of one important type of philosophical endeavour (among  many others): the explication of philosophical concepts. That is: the construction of a new  concept C’ which replaces a given, often pre‐theoretic concept C of philosophical interest,  so  that  the  extension  of  C’  coincides  with  that  of  C  in  the  clear‐cut  and  uncontroversial 

cases,  but  where  C’  is  permitted  to,  and  indeed  ought  to,  improve  upon  C  in  terms  of  exactness,  fruitfulness,  and  simplicity  in  all  the  unclear  or  fuzzy  cases.  (Carnap  in  the  introductory part of his Logical Foundations of Probability explains this in great detail. He  also thinks that explications must be to the benefit of science—but as explained before, we  might just as well be satisfied if they are to the benefit of philosophy.)  Here are three paradigm case examples from the 1930s, 1950s, and 1970s, respectively:  Alfred Tarski’s explication of truth, Carnap’s own explication of confirmation of hypotheses  by  evidence,  and  Ernest  Adams’  explication  of  the  acceptability  of  conditionals.  Each  of  these explications has been extremely successful: today no philosopher could reasonably  develop  a  theory  of  truth  for  sentences  or  propositions,  or  a  theory  of  confirmation  in  science, or a theory of the subjective acceptability of if‐then sentences in natural language,  without comparing their theories with these classical explications. Which does not mean  that  they  could  not  be  superseded  by  even  better  ones:  in  fact,  precisely  that  has  happened,  as  witnessed  by  Kripke’s  theory  of  truth  and  the  modern  literature  on  formal  theories of truth that emerged from it, contemporary work on the plurality of confirmation  measures  and  their  virtues  and  shortcomings  (as  by  Branden  Fitelson),  and  the  suppositional theory of conditionals in its fully developed form (as defended by Dorothy  Edgington).  But what is more important for my purposes here: none of these classical explications,  nor their revisions and improvements, would have been possible without the application  of formal methods. Tarski’s explication needed second‐order logic or set theory, Carnap’s  relied on the theory of logical or (in its modern guise) subjective probability, and Adams’  explication  required  subjective  probabilities  again  (even  though  Isaac  Levi,  Peter  Gärdenfors,  and  others  have  developed  a  qualitative  theory  of  the  acceptability  of  conditionals in which the formal theory of belief revision replaces probability theory). And  this  is  no  coincidence:  for  the  desiderata  of  exactness  and  fruitfulness  will  always  “pull”  explication  towards  the  application  of  mathematical  methods.  In  many  cases  only  the  language  of  mathematics  will  allow  philosophers  to  make  their  explicata  more  precise  (“exactness”) than the corresponding explicanda, and very often only their mathematical  background theories will supply explications with the right deductive structure to enable  us to draw non‐trivial conclusions from them and to relate them logically to other theories  in science or philosophy (“fruitfulness”).  For  instance:  do  conditionals  express  propositions  and  have  truth  conditions?  Let  us  assume Adams’ account of measuring the degree of acceptability of “if A then B” in terms of  the subjective conditional probability of B given A: then it is only due to the exactness and  deductive proper of probability theory that David Lewis was able to prove that the answer  to  our  question  must  be  “no!”  (given  some  plausible  auxiliary  assumptions—see  Lewis,  “Probabilities  of  Conditionals  and  Conditional  Probabilities”,  Philosophical Review,  1976).  As  Dorothy  Edgington  once  said,  this  was  a  bombshell—hardly  anyone  would  have  guessed.  E.g.,  Robert  Stalnaker  had  assumed  precisely  the  contrary  in  some  of  his  (excellent!)  papers  prior  to  Lewis’  theorem.  (Of  course,  some  might  take  this  to  be  an  argument  against  Adam’s  explication:  but  that’s  just  the  usual  modus  ponens  vs.  modus  tollens issue.)  So  we  find  that  there  are  philosophical  endeavours,  such  as  the  explication  of  philosophical concepts, which typically require mathematics.    I  haste  to  emphasize  that  not  every  philosophical  paper  deals  with  the  explication  of  a  concept, of course.  But  then  again  almost  every  philosophical  paper  includes  arguments.  In  many  cases,  these arguments will be such that philosophers simply “see” that the argument’s premises 

cannot be true without its conclusion being true as well. But, in some cases, the argument  from some given philosophical premises to the intended philosophical conclusion might be  really  complex;  the  deductive  “distance”,  as  it  were,  between  premises  and  conclusion  might  become  so  large  that  we  crave  for  a  helping  hand:  then,  just  as  in  science,  mathematical  proof  might  be  needed  again  in  order  to  bridge  the  gap,  even  when  the  argument  in  question  is  not  based  on  any  explication.  Just  think  of  Frege’s  derivation  of  arithmetic from Hume’s Principle and second‐order logic, on which the whole program of  modern  Neo‐Logicism  about  mathematics  is  based:  there  is  no  way  to  just  see  that  arithmetic follows from all of that.  Or,  for  some  philosophical  purposes,  we  aim  to  give  an  argument  that  is  inductively  strong rather than necessarily truth‐preserving: then we need to show that the premises  make the conclusion at least likely. How can we do so? One salient way of pulling this off is  to build a formal toy model that captures prototypical features of the problem in question,  in  which  additionally  the  premises  are  clearly  satisfied,  and  in  which  we  can  then,  hopefully,  also  verify  the  conclusion.  For  instance,  Luc  Bovens’  and  Stephan  Hartmann’s  Bayesian  Epistemology  (Oxford  University  Press,  2003)  includes  lots  of  illustrative  examples  of  so‐called  Bayesian  networks  that  are  used  as  such  “prototypical”  models  by  which more general claims about reliability, confirmation, underdetermination, testimony  and the like can be supported. These are models in the sense of scientists, not of logicians;  and  they  are  not  explications  in  the  Carnapian  sense  either:  for  they  are  not  models  of  concepts; and, by idealization, they distort reality (though in a good way), where explicata  are supposed to be the new and better conceptual reality.  Either way, mathematical methods supply us with ways of extracting information from  philosophical assumptions and converting this information into support for philosophical  theses, which in the case of complex arguments might be the only way of building feasible  bridges  between  assumptions  and  theses.  Obviously,  mathematics  won’t  create  the  philosophical  content,  but  it  might  be  necessary  for  transforming  the  philosophical  content.  (Much  as  mathematics  does  for  physics  when  it  converts  empirical  law  hypotheses and initial conditions into empirical predictions.)    Other than enabling us to give explications of philosophical concepts and to construct and  validate  complex  philosophical  arguments,  mathematical  theorizing  in  philosophy  comes  with many additional benefits: it forces us to put our cards on the table, that is, to make  tacit presuppositions explicit; it helps us to separate the essential from the accidental by  making transparent what exactly is needed to make an argument go through; if two areas  of  philosophy  share  enough  mathematical  structure,  it  may  allow  us  to  translate  arguments in the one area into arguments in the other; it functions as a means by which  we  can  put  some  of  our  “intuitions”  to  the  test  and  correct  our  epistemic  biases  (as  highlighted  and  discussed  by  Catarina  Dutilh  Novaes  in  her  forthcoming  monograph  on  Formal Languages from a Cognitive Perspective, Cambridge University Press); it facilitates  the  illustration  of  abstract  circumstances  by  means  of  diagrams  (think  of  the  illustrative  power  of  possible  worlds  semantics  concerning  abstract  concepts  such  as  necessity  or  knowledge); it allows us to compare two philosophical theories in terms of the aesthetic  appeal  of  their  formal  structures  and  to  use  this  as  a  (highly  tentative  and  defeasible)  method  of  theory  choice;  it  forges  unexpected  connections  to  scientific  areas  in  which  mathematical  methods  are  accepted  as  a  standard  anyway;  and  if  two  ways  of  making  a  philosophical  concept  or  thesis  mathematically  precise  lead  to  the  same  philosophical  conclusion, then this adds to the robustness of that conclusion.  About the last two points: A while ago when I counted how often Lewis’ original paper  on his impossibility result concerning conditionals and conditional probability was cited in 

computer science  journals,  I  counted  not  less  than  78  citations.  And  even  after  replacing  probability  theory  by  belief  revision  theory,  Gärdenfors  was  still  able  to  prove  that  conditionals  could  not  express  propositions—just  as  Lewis  had  done  before  by  probabilistic  means—once  the  corresponding  qualitative  version  of  Adams’  theory  of  acceptability of conditionals was in place (see Gärdenfors, “Belief Revision and the Ramsey  test for conditionals”, Philosophical Review, 1986).    Time to conclude: Mathematics in philosophy can be awesome. Scientific philosophy can be  awesome. And we are still at the beginning—the best is yet to come.  This  being  said,  some  qualifications  are  due.  Let  me  explain  them  for  the  case  of  mathematical  philosophy  again:  Everyone  who  works  as  a  mathematical  philosopher  knows some papers in which philosophers hide behind the symbols—where mathematical  clothing is meant to conceal lack of philosophical content. Or where mathematics does not  do  much  but  to  complicate  some  states  of  affairs  that  could,  and  should,  have  been  described in more elementary terms. Or where a mathematical method is applied blindly  without any awareness of its potential limitations. In other words: just as all others tools,  also mathematical methods can be abused. But clearly that should not stop us from putting  them to good use in philosophy.  Accordingly, there are philosophical tasks for which mathematical philosophy does not  pay  off,  or  where  it  does  not  pay  off  as  yet.  Just  as  all  other  tools,  also  mathematical  methods cannot be useful for each and everything. But one should not be too quick either  in thinking that a particular area of philosophy would be beyond mathematical methods in  principle—it  might  just  need  time  until  an  area  develops  to  the  stage  at  which  mathematical  methods  become  applicable;  when  its  basic  concepts  have  stabilized  and  matured enough to be ready for explication, or when its arguments have become complex  enough to cry out for the helping hands of logic and mathematics.  Finally,  as  with  the  application  of  tools  more  generally,  also  the  application  of  mathematical  methods  in  philosophy  needs  training:  in  the  traditional  philosophy  curricula,  logic  courses  went  some  way  towards  achieving  this.  In  the  future,  a  combination of education in logic, a little bit of discrete mathematics, the fundamentals of  probability  theory,  and  a  review  of  some  examples  of  mathematical  philosophy  in  epistemology,  philosophy  of  science,  metaphysics,  philosophy  of  language,  philosophy  of  mathematics, ethics, and so forth should suffice.    I  do  recommend  scientific  philosophy  to  new  graduate  students  as  a  way  of  doing  philosophy that has a lot of potential. By this I do not want to say that scientific philosophy  should  be  the  only  way  of  doing  philosophy.  Erkenntnis  does  not  just  publish  articles  in  scientific philosophy either! As long as some minimal criteria are satisfied that ought to be  characteristic of all kinds of academic research—to speak as clearly as possible, to defend  some  theses,  to  put  forward  arguments,  to  give  concrete  examples,  to  systematize  one’s  thoughts,  to  compare  one’s  view  with  rival  ones,  to  stay  critical  of  one’s  theory,  and  so  on—let  many  flowers  bloom,  also  and  especially,  in  philosophy.  It  is  just  that  scientific  philosophy is a particularly beautiful flower; and it is blossoming.