sifat-e28093-sifat-transformasi-linear - hariono5a

SIFAT – SIFAT TRANSFORMASI LINEAR DARI

Rn

KE

Rm

Disusun untuk memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear

Dosen Pengampu : Drs. Suroso, M. Pd Disusun oleh : Kelompok 3 1. Age Christie Arini

( 08411.055 )

2. Andik Setyo Nugroho

( 08411.065 )

3. Benti Lutvi Muyasaroh

( 08411.092 )

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2010

1

SIFAT – SIFAT TRANSFORMASI LINEAR DARI

Rn

KE

Rm

A. Transformasi Linear Satu ke Satu Transformasi linear yang memetakan vektor – vektor (titik – titik) berbeda ke vektor – vektor (titik – titik) berbeda lainnya merupakan hal yang penting. Satu contoh transformasi semacam ini adalah operator linear T : R 2  R 2 yang merotasi setiap vektor sebesar θ. Secara geometrik jelas bahwa jika u dan v adalah vektor – vektor yang berada pada

R 2 , maka demikian juga vektor – vektor hasil rotasi T (u) dan T (v) seperti terlihat pada Gambar 1 di samping.

Sebaliknya, seperti yang Nampak pada gambar 2 di samping, jika T : R 3  R 3 adalah proyeksi ortogonal

R 3 pada

bidang xy, maka titik – titik yang berbeda yang terletak pada garis vertikal yang sama akan dipetakan ke titik yang sama pada bidang xy.

2

Definisi : Suatu transformasi linear T : R n  R m dinyatakan sebagai satu ke satu (one-to-one) jika T memetakan vektor – vektor (titik – titik) berbeda pada R n ke vektor – vektor (titik – titik) berbeda pada R m

Teorema 1. Pernyataan – Pernyataan yang Ekuivalen Jika A adalah suatu matriks n x n dan jika TA : R n  R m adalah perkalian dengan A, maka pentayaan – pernyataan berikut adalah eluivalen: (a). A dapat dibalik (b). Range dari T A adalah R n (c). T A adalah satu ke satu

Akibat Teorema 1. Invers dari Operator Linear Satu ke Satu Jika TA : R n  R m adalah operator linear satu ke satu, maka dari teorema 1 dapat diperoleh TA1 : R  R sendiri merupakan operator linear yang disebut invers dari T A n

n

Sebelum mempelajari lebih lanjut, akan kita pelajari dahulu masalah notasi. Jika operator linear satu ke satu pada R n ditulis sebagai T : R n  R n (dan bukannya TA : R n  R n ), maka invers dari operator T dinotasikan dengan T 1 (dan bukannya T A1 ) karena matriks standar untuk T 1 adalah invers dari matriks standar untuk T, kita peroleh :

T   T 

1

1

B. SIFAT – SIFAT LINEARITAS Teorema 2. Suatu transformasi T : R n  R m adalah linear jika dan hanya jika hubungan – hubungan berikut berlaku untuk semua vektor u dan v pada R n dan setiap skalar c. (a). T (u  v)  T (u)  T (v) (b). T (cu )  cT (u)

3

Bukti: Asumsikan T adalah suatu transformasi linear, dan misalkan A adalah matriks standar untuk T. Selanjutnya, sesuai dengan sifat – sifat aritmatika dasar matriks diperoleh:

T (u  v)  A(u  v)  Au  Av  T (u)  T (v) dan

T (cu )  A(cu )  c( Au )  cT (u) Sebaliknya, asumsikan sifat – sifat (a) dan (b) berlaku untuk transformasi T. Dapat kita buktikan T linear dengan menentukan suatu matriks A dengan sifat

T ( x)  Ax Untuk semua vektor x pada R n . Ini akan menunjukkan bahwa T adalah perkalian dengan A dan oleh karena itu adalah linear. Teorema 3. Jika T : R n  R m adalah suatu transformasi linear, dan e1 , e2 ,..., en adalah vektor – vektor basis standar untuk R n , maka matriks standar untuk T adalah T   e1 e2 ...T en  Rumus di atas dapat diandalkan untuk menentukan matriks standard dan menganalisis dampak geometrik dari suatu transformasi linear.

C. Interpretasi Geometrik dari Vektor Eigen Definisi Jika T : R n  R n adalah operator linear, maka skalar λ disebut sebagai nilai Eigen dari T (eigenvalue of T), jika terdapat x yang taknol pada Rn sedemikian rupa sehingga T ( x)  x Vektor – vektor taknol x tersebut yang memenuhi persamaan ini disebut vektor Eigen dari T yang terkait dengan λ (eigenvector of T corresponding to λ) Jika λ adalah nilai Eigen dari A dan x adalah suatu vektor Eigen yang terkait, maka Ax=λx , sehingga perkalian dengan A memetakan x ke dalam suatu perkalian skalar dengan dirinya sendiri. Pada R 2 dan R 3 , ini berarti bahwa perkalian dengan A memetakan setiap vektor eigen x ke suatu vektor yang terletak pada garis yang sama dengan x , seperti gambar di bawah ini

4

Contoh Vektor Eigen Misal A =

3 −1

2 0

λI – A = λ

1 0

det (λI – A)

0 3 2 1 −1 0 𝑥 − 3 −2 = det 1 𝜆 = 2  3  2

I  A  0

2  3  2  0 (λ – 2) (λ – 1) = 0 λ=2

λ=1

Nilai Eigen λ = 2 dan λ = 1

 x1  Vektor Eigen x =    x2   x  3  2  x1  0   1    x2  0 

Jika λ = 2 maka Jika λ = 1 maka

2  3  2  x1  0   1 2   x2  0 

1  3  2  x1  0   1 1   x2  0 

 1  2  x1  0  1 2   x2  0 

 2  2  x1  0  1 1   x2  0 

 x1  x 2  0

 2 x1  2 x2  0

x1  2 x 2  0

x1  x2  0 +

+

1 Missal x1  s maka x 2   s 2

Missal

 x1   s   1  x =     1 s    1  s  x2   2   2 

x=

5

x1  s

maka

x2  s

 x1   s   1   x    s    1 s  2    

Kesimpulan: Teorema 4. Pernyataan – Pernyataan yang Ekuivalen Jika A adalah suatu matriks n x n dan jika TA : R n  R n adalah perkalian dengan A, maka pernyataan – pernyataan berikut ekuivalen (a). A dapat dibalik (b). Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial (c). Bentuk eselon baris tereduksi dari A dan I n (d). A dapat dinyatakan sebagai suatu hasilkali dari matriks – matriks elementer. (e). Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n x 1 (f). Ax = b memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks b, n x 1 (g). det  A  0 (h). Range dari T A adalah R n (i). T A adalah satu ke satu.

6

DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard, and Rorres, Chris. Aljabar Linear Elementer. Jakarta : Erlangga. Anton, Howard. 1991. Aljabar Linear Elementer Edisi ke 3. Jakarta : Erlangga

7