skripsi firdaus safran 050803053 departemen matematika fakultas ...

1

PEMROGRAMAN 0-1 PADA PENENTUAN MINIMUM SPANNING TREE YANG MEMENUHI KENDALA BIAYA

SKRIPSI

FIRDAUS SAFRAN 050803053

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011

Universitas Sumatera Utara

2


SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains


DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011


i

PERSETUJUAN

Judul

Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Falkultas

: PEMROGRAMAN 0-1 PADA PENENTUAN MINIMUM SPANNING TREE YANG MEMENUHI KENDALA BIAYA : SKRIPSI : FIRDAUS SAFRAN : 050803053 : SARJANA (S1) MATEMATIKA : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, Juni 2011

Komisi Pembimbing

:

Pembimbing 2

Pembimbing 1

Dra. Mardiningsih, M.Si NIP. 19630405 198811 2 001

Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP. 19461225 197403 1 001

Diketahui Oleh : Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002


ii

PERNYATAAN


SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

Juni 2011



iii

PENGHARGAAN

Dengan puji dan syukur kepada Allah SWT, karena berkat dan rahmat- Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “PEMROGRAMAN 0-1 PADA PENENTUAN MINIMUM SPANNING TREE YANG MEMENUHI KENDALA BIAYA” ini dengan baik. Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak sekali menerima bantuan dan masukan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada: 1. Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng, selaku dosen pembimbing I, Dra. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pembimbing II, Drs. Bambang Irawan, M.Sc dan Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si yang telah memberi dukungan moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini. 2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. 3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Ketua Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. 4. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. 5. Ayahanda (Alm) Hadri Rhozali dan Ibunda tercinta Mardiana IS, kakak tercinta Irda Haryanti, dan Mardalisna serta abangda tercinta Agus Satria Putra dan Alfi Syahrin yang selalu memberikan dukungan moril dan material serta doa yang tiada henti kepada penulis. Terima kasih buatnya “my best” Taufik Zuhri, Astri Syafrianti, Kiki winarti, dan Fitriyanti, Juanda, Haris, dan Haikal yang telah menjadi sahabat terdekat selama menimba ilmu di USU. Abangda Saffaruddin, K’nova, B’Anton yang terus memberi motifasi kepada penulis. Teman seperjuangan, Rifyal, Tasvin, Aan, Tedy, HN Leily. Adik adik terbaikku Noza, Jebi, Del, Rozha, dan Ahyan serta keluarga besar FKPPMABDYA Medan. Kepada guru-guru dan kawan-kawan sewaktu duduk di bangku SD, SMP, dan SMA, juga tidak lupa kiranya penulis mengucapkan terimakasih atas didikan dan persahabatan selama ini. Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian. Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan. Medan, Juni 2011 Penulis, Firdaus Safran


iv

ABSTRAK

Sebuah graph tak-berarah G

(V , E )

dengan himpunan verteks V dan

himpunan edge E, yang masing-masing edge e E mempunyai dua nilai yaitu jarak ( d e ) dan biaya ( c e ) . Tulisan ini membahas tentang penerapan pemrograman 0-1 dalam mencari minimum spanning tree yang memenuhi kendala biaya. Pada persoalan ini solusi optimal akan menunjukkan kemungkinan pilihan yang terbaik dan diimplementasikan ke dalam suatu program dengan menggunakan program QM for Windows.


v

ABSTRACK

An undirected graph G

(V , E )

with sets of vertex V and sets edge E , where

each edge associate with distance ( d e ) and cost ( c e ) . This article studies about applying of 0-1 programming in looking for minimum spanning tree satisfy with cost constraint. At this problem optimal solution will show possibility that best choice and implementation by a program using QM for Windows.


vi

DAFTAR ISI

Halaman PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACK DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR

i ii iii iv v vi viii ix

BAB 1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Pembatasan Masalah 1.4 Tujuan Penelitian 1.5 Kontribusi Penelitian 1.6 Metode Penelitian

1 4 4 4 4 5

BAB 2. LANDASAN TEORI 2.1 Definisi Graph 2.2 Terminologi Dasar Graph 2.3 Trees 2.4 Minimum Spanning Tree 2.5 Integer Programming 2.6 Metode Balas (Balas Additive Algorithm) 2.7 Program QM for Windows

6 8 8 12 16 17 22

BAB 3. PEMBAHASAN 3.1 Kondisi Minimum Spanning Tree yang Memenuhi Kendala Biaya 3.2 Kondisi Minimum Spanning yang Memenuhi Kendala Biaya Dalam Bentuk Pemrograman 0-1 3.3 Kelayakan Nilai Biaya Dalam Penentuan Minimum Spanning Tree yang Memenuhi Kendala Biaya 3.4 Kompleksitas 3.5 Kondisi Minimum Spanning Tree yang Memenuhi Kendala Biaya dengan Menggunakan Algoritma Balas

24 27 28 29 31


vii

3.6 Penyelesaian Permasalahan Minimum Spanning Tree yang Memenuhi Kendala Biaya dengan Menggunakan Program QM for Windows

41

BAB 4. KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan 4.2 Saran

45 46

DAFTAR PUSTAKA

47


viii

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 3.1 Input koefisien fungsi objektif dan kendala dari permasalahan pemrograman 0-1 pada QM for Windows

42

Tabel 3.2 Input koefisien fungsi objektif dan kendala serta solusi optimal dari permasalahan pemrograman 0-1 pada QM for Windows

43

Tabel 3.3 Jumlah iterasi penyelesaian pemrograman 0-1 pada Simulasi 1 dengan menggunakan QM for Windows 43


ix

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 1.1 Graph G=(V,E) dengan edge diberikan 2 (dua) nilai Gambar 1.2 Graph G=(11,18) dengan setiap edge mempunyai 2 nilai

1 2

( d e , ce )

Gambar 1.3 Minimum spanning tree dengan mengabaikan kendala biaya ( c e )

2

Gambar 1.4 Minimum spanning tree dengan d (T ) kendala biaya c (T ) 33

3

24

yang memenuhi

Gambar 2.1 Contoh graph ( a ) simple graph, ( b ) multi graph, ( c ) pseudograph Gambar 2.2 Directed graph Gambar 2.3 Sebuah graph yang merupakan tree Gambar 2.4 Graph G dengan 6 verteks dan 7 edge Gambar 2.5 Spanning tree yang dibentuk dari graph pada Gambar 2.4 Gambar 2.6 Graph G dengan 6 verteks dan 7 edge Gambar 2.7 Distance graph Gambar 2.8 Penyelesaian integer programming dengan menggunakan metode grafik Gambar 2.9 Tree enumerasi secara lengkap Gambar 2.10 Tampilan awal program QM for Windows Gambar 3.1 Graph tak-berarah dengan setiap edge diberikan nilai jarak ( d e ) dan biaya ( c e ) Gambar 3.2 Graph G dengan setiap edge diberikan nilai jarak ( d e ) dan biaya ( c e ) Gambar 3.3 Graph yang dibentuk dari permasalahan Knapsack Gambar 3.4 Graph tak-berarah dengan 5 verteks dan 6 edge Gambar 3.5 Minimum spanning tree terhadap nilai biaya dari graph Gambar 2.4 Gambar 3.6 Iterasi 1 Gambar 3.7 Iterasi 2 Gambar 3.8 Iterasi 3 Gambar 3.9 Iterasi 4 Gambar 3.10 Iterasi 5 Gambar 3.11 Iterasi 6 Gambar 3.12 Iterasi 7 Gambar 3.13 Iterasi 8

7 7 9 11 11 12 12 16 18 23 24 29 31 32 32 33 34 34 34 35 35 35 36


x

Gambar 3.14 Iterasi 9 Gambar 3.15 Iterasi 10 Gambar 3.16 Iterasi 11 Gambar 3.17 Iterasi 12 Gambar 3.18 Iterasi 13 Gambar 3.19 Iterasi 14 Gambar 3.20 Iterasi 15 Gambar 3.21 Iterasi 16 Gambar 3.22 Iterasi 17 Gambar 3.23 Minimum spanning tree dengan total jarak d (T ) memenuhi kendala biaya c (T ) 15 Gambar 3.24 Minimum spanning tree dengan total jarak d (T ) memenuhi kendala biaya c (T ) 15

36 37 37 38 38 39 39 40 40 33

yang 41

33

yang 44
