U okviru predmeta Statika I i Statika II prou~avaju se teoretske osnove i metode ...
Statika 1 zadatak }e biti prou~avanje metoda za odre|ivanje presje~nih sila, ...
Statika I
1. Uvod
1. UVOD 1.1.
Predmet izu~avanja
Prilikom projektovanja objekata, zadatak gra|evinskih in`enjera je da osmisle projektuju konstrukciju koja }e osigurati funkcionalnost objekta pri djelovanju o~ekivanih vanjskih uticaja na objekat. Drugim rije~ima, zadatak konstruktera je da odabere dimenzije i raspored svih konstruktivnih elemenata, kao i materijal od kojih }e se ti konstruktivni elementi napraviti. Jedini na~in da se do|e do optimalnih dimenzija konstruktivnih elemenata je da se prora~unaju naprezanja i pomjeranja konstrukcije uslijed djelovanja vanjskih uticaja. Dakle, potrebno je prvo sagledati sve uticaje koji djeluju na konstrukciju i brojno ih izraziti. Taj dio prora~una se naziva analiza optere}enja. Nakon toga, se osmisli konstrukcija koja to optere}enje mo`e prenijeti na tlo, a potom je potrebno matemati~ki provjeriti i dokazati da ne}e do}i do prevelikih naprezanja ili pomjeranja te konstrukcije. Pri tome je potrebno usvojiti niz pretpostavki, pomo}u kojih se realna konstrukcija zamjenjuje matemati~kim modelom koji je mogu}e matemati~ki analizirati. Ovaj dio prora~una se naziva modeliranje konstrukcije. Kori{tenjem fizi~kih zakona, a na osnovu usvojenih pretpostavki i konstruktivnog modela vr{i se prora~un naprezanja unutar konstrukcije i prora~un pomjeranja svih ta~aka konstrukcije. Na osnovu dobivenih rezultata vr{i se dimenzioniranje konstruktivnih elemenata. Savremena analiza konstruktivnih sistema podrazumijeva upotrebu ra~unara i odgovaraju}ih softvera za prora~un i dimenzioniranje konstrukcija. To zna~i da se sada zadatak in`injera konstruktera sastoji u tome da napravi analizu optere}enja, osmisli model konstrukcije (sve ~e{}e trodimenzionalni) i unese ga u memoriju ra~unara. Nakon toga, dobivaju se rezultati prora~una na kompletnom modelu: presje~ne sile, pomjeranja, deformacije, naponi, a ukoliko to `elimo i dimenzije popre~nih presjeka, odnosno koli~ine i raspored armature. Obzirom da su moderni softverski paketi za analizu konstrukcija opremljeni modulima pomo}u kojih se unos podataka obavlja grafi~ki na prili~no jednostavan na~in, ~ini se da je cijeli proces analize konstrukcije prili~no jednostavan i nije zahtijevan sa aspekta poznavanja teorije na kojoj se zasniva analiza konstrukcija. Me|utim, u opisanom procesu analize konstrukcije mogu se dobiti pogre{ni rezultati, koji mogu biti posljedica gre{ke u analizi optere}enja, gre{ke u modeliranju (naj~e{}e) ili gre{ke u prora~unu. Obzirom da je za ta~nost rezultata prora~una uvijek odgovoran isklju~ivo projektant, pred njega se postavlja jako zahtijevan zadatak da provjeri ta~nost prora~una. Uz upotrebu ra~unara ovaj zadatak postaje jo{ te`i, jer je sam prora~un van kontrole projektanta. To zna~i da projektant mora biti sposoban procijeniti ta~nost rezultata koji su dati na kompletnom (~esto i vrlo slo`enom) modelu, a samo na osnovu ulaznih podataka. Jasno je da je za ovakav zadatak potrebno bolje razumijevanje pona{anja konstrukcije u odnosu na tradicionalni pristup gdje se slo`ena konstrukcija rastavljala na niz jednostavnijih sistema koji su se ra~unali odvojeno. Dakle, konstrukcije projektuju i analiziraju projektanti - konstrukteri, a ra~unari su sredstvo da se analiza sprovede kvalitetnije, jer je omogu}ena analiza vi{e varijanti konstruktivnih rje{enja i analiza uticaja pojedinih korekcija konstruktivnog sistema na rezultate prora~una. Pri tome, ovakva kvalitetna analiza podrazumijeva da projektant u 1
Statika I
1. Uvod
potpunosti razumije pona{anje konstrukcije pod raznim uticajima i da u potpunosti vlada metodama koje se koriste u svim fazama analize. U okviru predmeta Statika I i Statika II prou~avaju se teoretske osnove i metode analize linijskih i najjednostavnijih povr{inskih nosa~a kao deformabilnih sistema. Pod pojmom linijski nosa~ podrazumijeva se konstruktuvni element ~ije se dvije dimenzije mogu zanemariti (stubovi i grede), a povr{inski nosa~i se elementi kod kojih se zanemaruje jedna dimenzija (plo~e, zidovi i ljuske). Tradicionalno, svi linijski nosa~i se dijele na stati~ki odre|ene i stati~ki neodre|ene nosa~e. Za prora~un presje~nih sila i napona stati~ki odre|enih linijskih nosa~a, koji su dijelom izu~avani u okviru predmeta Otpornost materijala I, uvjeti ravnote`e su dovoljni, tako da nema potrebe uzimati deformabilnost nosa~a u obzir. Drugim rije~ima, takvi linijski sistemi se tretiraju kao skup krutih tijela me|usobno povezanih krutim ili zglobnim vezama. Naravno, ukoliko `elimo izra~unati pomjeranja stati~ki odre|enih nosa~a potrebno je {tapove takvog sistema tretirati kao deformabilna tijela. U okviru predmeta Statika 1 zadatak }e biti prou~avanje metoda za odre|ivanje presje~nih sila, pomjeranja i deformacija stati~ki odre|enih nosa~a. 1.2.
Osnovne jedna~ine mehanike
Osnovni zadatak u mehanici jeste da se izra~unaju pomjeranja nekog deformabilnog sistema uslijed djelovanja vanjskih uticaja. Vanjski uticaji mogu biti: optere}enja, zadata pomjeranja pojedinih ta~aka ili temperaturne promjene. Svi ovi uticaji su mjerljivi i smatraju se poznatim prije po~etka prora~una. Pomjeranja sistema su nepoznate veli~ine i zadatak je da se za date rubne uvjete izra~unaju pomjeranja. Direktna veza izme|u vanjskih uticaja i rezultiraju}ih pomjeranja ne postoji, pa se uspostavlja posredna veza uvo|enjem novih nepoznatih veli~ina: napona i deformacija. Svaki mehani~ki problem se matematski mo`e opisati pomo}u tri seta diferencijalnih jedna~ina kojima se uspostavlja veza izme|u poznatih vanjskih uticaja i nepoznatih napona, deformacija i pomjeranja. U ovom dijelu }e se pokazati oblik tih jedna~ina za op{ti problem u mehanici, bez izvo|enja. Sve ove jedna~ine kao i kori{teni pojmovi su detaljno obja{njeni u predmetima Otpornost materijala I i II. Jasno, da bi se diferencijalne jedna~ine rije{ile, potrebno je zadati i rubne uvjete. Pod rubnim uvjetima se podrazumijevaju unaprijed zadate vrijednosti pomjeranja ili napona u pojedinim ta~kama sistema. Stoga se ~esto u literaturi mehani~ki problemi nazivaju i problemi rubnih vrijednosti u mehanici. JEDNA^INE RAVNOTE@E Diferencijalne jedna~ine ravnote`e se dobivaju iz uvjeta da je vektorski zbir svih sila koje djeluju na infinitezimalni segment (kvadar) nekog tijela jednak nuli.
∇ ⋅σ + b = 0
(1.1)
ili u razvijenom obliku:
2
Statika I
1. Uvod
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + bx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ xy ∂τ yz + + + by = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + bz = 0 ∂x ∂y ∂z gdje je b vektor zapreminskih sila koje djeluju na infinitezimalni kvadar. Uvjet ravnote`e se mo`e postaviti i u integralnom obliku, pomo}u principa virtualnih radova (Mehanika II) ili na osnovu razmatranja energetskih uvjeta ravnote`e, {to }e, za {tapne elemente, biti pokazano kasnije. KONSTITUTIVNE JEDNA^INE Konstitutivnim jedna~inama se uspostavlja veza izme|u napona i deformacija. U op{tem slu~aju veza izme|u napona i deformacija se predstavlja jedna~inom:
σ = C ⋅ (ε − εo )
(1.2)
U gornjoj jedna~ini σ je tenzor napona, ε je ukupni tenzor deformacija, ε o je tenzor tzv. po~etnih deformacija i C je konstitutivni tenzor. Konstitutivnim tenzorom se definiraju fizi~ke osobine materijala. U najop{tijem slu~aju, ovo je tenzor ~etvrtog reda, definiran 81 parametrom, jer tenzori napona i deformacija imaju po 9 parametara. Me|utim, uvo|enjem pretpostavke da je materijal homogen, izotropan i linearno elasti~an, broj potrebnih parametara za definiranje ovog tenzora se definira na dva. Po{to su tenzori napona i deformacija simetri~ni, mogu se prikazati kao vektori sa {est ~lanova a, u skladu s tim, konstitutivni tenzor kao matrica dimenzija 6x6. Parametri kojima se definira tenzor mogu biti: E i ν - Young-ov modul elasti~nosti i Poisson-ov koeficijent K i G - zapreminski i smi~u}i modul λ i μ - Lame-ovi koeficijenti Me|usobne veze izme|u ovih koeficijenata su date u Tabeli 1.1.
3
Statika I
1. Uvod
K,G
E,ν
λ,μ
K=
K
E 3(1− 2ν )
λ + 23 μ
G=
G
E 2(1+ν )
μ
E=
9 KG 3 K +G
E
μ ( 3λ + 2 μ ) λ +μ
ν=
3 K −2G 2( 3 K +G )
ν
λ=
K − 23 G
μ=
G
λ
2( λ + μ )
Eν
λ
E 2(1+ν )
μ
(1+ν )(1− 2ν )
Tabela 1.1. - Zavisnost uobi~ajenih parametara elasti~nosti Prema tome veza izme|u napona i deformacija za linearno elasti~no pona{anje, ukoliko nema po~etnih deformacija, se mo`e napisati kao:
ν ν 0 0 0 ⎤ ⎧ εx ⎫ ⎧σ x ⎫ ⎡1 −ν ⎪σ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ν ν 1 −ν 0 0 0 ⎥⎥ ⎪ ε y ⎪ ⎪ y⎪ ⎢ ⎢ ν ν 1 −ν 0 0 0 ⎥ ⎪⎪ ε z ⎪⎪ E ⎪⎪σ z ⎪⎪ ⎨ ⎬= ⎢ ⎥ ⋅⎨1 ⎬ τ 0 0 0 1 2 0 0 ν − 1 1 2 ν ν + − ( )( ) xy ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ 2 γ xy ⎪ ⎪τ xz ⎪ ⎢ 0 0 0 0 1 − 2ν 0 ⎥ ⎪ 12 γ xz ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ 0 0 0 0 1 − 2ν ⎦⎥ ⎩⎪ 12 γ yz ⎭⎪ ⎣⎢ 0 ⎩⎪τ yz ⎭⎪
(1.3)
Pojam po~etnih deformacija je vezan za one deformacija koje se javljaju bez pojave napona. Tipi~an uzrok pojave ovakvih deformacija jeste promjena temperature, gdje se naponi javljaju jedino ako je deformacija sprije~ena. Na slici 1.1a) uslijed ravnomjernog zagrijavanja ta~ka B }e se pomjeriti udesno i svaka ta~ka {tapa }e imati aksijalnu deformaciju, a naponi }e, prema jedna~ini (1.2) biti jednaki nuli. Ukoliko se pomjeranje ta~ke B sprije~i, uslijed ravnomjernog zagrijavanja }e se pojaviti aksijalni naponi pritiska, a deformacija }e biti jednaka nuli.
a)
Δt>0, ε=εo, σ=0
b)
Δt>0, ε=0, σ=-Eεo
Slika 1.1. Deformacije i naponi uslijed ravnomjerne promjene temperature
4
Statika I
1. Uvod
GEOMETRIJSKE JEDNA^INE Geometrijske jedna~ine predstavljaju vezu izme|u pomjeranja i deformacija. U op{tem slu~aju veza izme|u pomjeranja i deformacija je data slijede}om jedna~inom:
ε= ⎡ ∂∂ux ⎢ gdje je: ∇u = ⎢ ∂∂xv ⎢ ∂w ⎢⎣ ∂x
∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
1 ∇ u + ∇ uT ) ( 2
(1.4)
⎤ ⎥ ∂v ∂z ⎥ ; ∂w ⎥ ∂z ⎥ ⎦ ∂u ∂z
u, v i w su komponente pomjeranja u pravcu osovina x, y i z, respektivno Iz jedna~ine (1.3) dobivamo: ∂u ∂u ∂v + ; γ xy = γ yx = ∂x ∂y ∂x ∂v ∂v ∂w ε y = ; γ yz = γ zy = + ∂y ∂z ∂y ∂w ∂u ∂w + εz = ; γ xz = γ zx = ∂z ∂z ∂x
εx =
Kako je vidljivo iz gornjih jedna~ina, deformacija se defini{e kao razlika pomjeranja izme|u dvije ta~ke deformabilnog tijela. Dakle, pojam pomjeranja je vezan za ta~ku deformabilnog tijela (kod krutog tijela pomjeranja svih ta~aka su jednaka), a pojam deformacije je vezan za tijelo (kod krutog tijela deformacije su jednake nuli). Napominje se da ovako definirana veza izme|u deformacija i pomjeranja zna~i da je svaka deformacija uzrokovana nekim pomjeranjem, ali svako pomjeranje ne mora uzrokovati deformaciju. Pomjeranja koja ne uzrokuju nikakvu deformaciju (niti napone) nazivaju se kinematska pomjeranja ili pomjeranja krutog tijela (rotacija i/ili translacija). Na slici 1.2. dio A-C se pomjera i deformi{e, a dio C-B se samo pomjera - translatira. Jasno, na dijelu AC postoje aksijalni naponi, a na dijelu C-B ne.
A
C
B
Slika 1.2. Pomjeranje sa deformacijom i kinematsko pomjeranje Dakle, veze izme|u pojedinih veli~ina koje se koriste u analizi problema mehanike mogu se {ematski prikazati kao na slici 1.3.
5
Statika I
1. Uvod
Vanjski uticaji
ravnoteža
naponi
konstitutivne jednačine
deformacije
pomjeranja
Slika 1.3. [ema rje{avanja problema mehanike Za najve}i broj problema u mehanici nije mogu}e analiti~ki sprovesti ovaj proces i na}i eksplicitno rje{enje, tj. direktnu vezu izme|u pomjeranja i vanjskih uticaja. Razvojem ra~unara i numeri~kih metoda, posebno metode kona~nih elemenata, stvorena je mogu}nost numeri~kog rje{avanja gotovo svih problema u mehanici. Jedini ograni~avaju}i faktor jeste odre|ivanje ulaznih parametara, {to za kompleksne probleme mo`e biti jako zahtijevan zadatak. Me|utim, za razli~ite tipove problema, mogu}e je uvesti odre|ene pretpostavke koje omogu}uju analiti~ko rje{avanje tih problema. Jedan od takvih problema jeste linearna analiza linijskih konstruktivnih elemenata.
6
Statika I
2. Vanjski uticaji
2. VANJSKI UTICAJI 2.1. Osnovni principi modeliranja konstrukcija Kako je u Uvodu navedeno, analizu neke realne konstrukcije je mogu}e uraditi jedino ako se njeno pona{anje idealizira i zanemare uticaji koji ne uti~u bitno na rezultate koji su bitni za dimenzioniranje konstrukcija. Idealiziranje, tj. usvajanje raznih pretpostavki kojim se pojednostavljuje prora~unski model, se vr{i u svim fazama analize, po~ev od analize optere}enja do dimenzioniranja konstrukcije. Osnovni princip pri modeliranju svake konstrukcije je da treba napraviti {to jednostavniji model koji }e dati rezultate koji pribli`no odgovaraju stvarnom pona{anju konstrukcije. Naravno, posljedica svakog pojednostavljivanja modela je odre|ena gre{ka u rezultatima. Iz ove kolizije se javlja i glavni problem pri modeliranju svake konstrukcije: procijeniti {ta se mo`e zanemariti pri rje{avanju odre|enog problema, a da rezultati ostanu dovoljno ta~ni. Da bi se ova procjena mogla uraditi kvalitetno, potrebno je, osim poznavanja metoda kojima se analizira problem, poznavati i pona{anje odre|enih tipova konstrukcija koje zavisi od materijala (beton, metal ili drvo), usvojenog konstruktivnog sistema, optere}enja, na~ina rje{avanja odre|enih detalja itd. Posebno je va`no naglasiti da modeliranje svih detalja koji se izvode na realnoj konstrukciji ne garantuje pove}anu ta~nost rezultata. Drugim rije~ima, nekada se sa jednostavnijim modelom mogu dobiti bolji rezultati, posebno ako se prora~un vr{i metodom kona~nih elemenata, koja se danas naj~e{}e koristi. U nekim slu~ajevima stepen detaljiranja modela zavisi od toga koji nas rezultati interesuju. Naime, mogu}e je jedan dio konstrukcije modelirati tako da uop{te ne odgovara realnom stanju ukoliko pona{anje tog dijela konstrukcije ne uti~e bitno na rezultate koji su cilj analize. 2.2. Analiza optere}enja Osnovna svrha konstrukcija jeste da prenesu vanjsko optere}enje na tlo. Vanjske sile uvijek djeluju ili na nekoj povr{ini (snijeg, vjetar, korisna optere}enja itd.) ili kao zapreminske sile (sopstvena te`ina). Jasno, pri stvaranju modela potrebno je u okviru analize optere}enja svesti realna optere}enja na modelirana optere}enja koja se mogu aplicirati na odabrani model konstrukcije, {to zna~i da se linijski sistemi optere}uju linijskim raspodjeljenim optere}enjima, te koncentrisanim silama i momentima. Analiza optere}enja je po~etni korak pri svakoj analizi konstrukcija, koji po~inje tako da se identificiraju svi slu~ajevi optere}enja. Pod pojmom slu~aj optere}enja podrazumijeva se sistem vanjskih sila ili uticaja koji na konstrukciju djeluju istovremeno. U principu na konstrukciju mogu djelovati gravitacione sile, vjetar i seizmi~ke-inercijalne sile, te pritisak vode ili tla kod uronjenih, odnosno ukopanih konstrukcija. Me|utim, pored ovih sila, na konstrukciju mogu djelovati i drugi uticaji, koji izazivaju naprezanja u konstrukciji a nisu sile, kao {to su promjena temperature, slijeganje oslonaca ili uticaji reologije materijala (npr. skupljanje ili te~enje btona). Ovi uticaji se, ako je potrebno, tako|er obuhvataju analizom optere}enja. Kada se identificiraju svi slu~ajevi optere}enja, ona se modeliraju i prilago|avaju odabranom modelu konstrukcije. Ukoliko se modelira kompletna konstrukcija sa povr{inskim elementima koji primaju optere}enje, tada je analiza optere}enja relativno jednostavna, jer se raspodjela optere}enja na linijske nosa~e ra~una softverski prema deformacijama metodom kona~nih elemenata. U tabeli 2.1. je pokazan primjer analize
7
Statika I
2. Vanjski uticaji
optere}enja za krovnu plo~u, ~ija je dispozicija pokazana na slici 2.3. Plo~a je oslonjena na ramove koji se prostiru u oba pravca, s tim da je na jednoj strani plo~a konzolno prepu{tena. Iz ovog primjera je vidljivo da se korisno optere}enje aproksimira jako grubo. Realno optere}enje u ovom primjeru su vozila koja se mogu kretati ili stajati i ~ija se te`ina na konstrukciju prenosi preko to~kova. Dakle, realniji model optere}enja bi bio niz povr{inskih optere}enja koja bi djelovala na povr{ini koja odgovara kontaktnoj povr{ini gume i asfalta. Ovakav model bi opet zavisio od vrste vozila, dimenzija guma, optere}enje bi bilo pokretno itd. Sasvim je o~igledno da bi takav model optere}enja onemogu}io bilo kakvu analizu plo~e, jer bi bio suvi{e komplikovan i ovisio bi od niza parametara koje nije mogu}e utvrditi. Umjesto toga, usvaja se jednoliko podijeljeno optere}enje, ~ija je vrijednost ne{to ve}a od o~ekivane, {to daje rezultate koji su na strani sigurnosti (ve}e dimenzije konstruktivnih elemenata). Vrijednosti korisnog optere}enja, zavisno o namjeni prostora koji }e se koristiti iznad konstrukcije, su date propisima.
A
B
1
Ly
2 Lx
Lk
Slika 2.3. Dispozicija krovne plo~e sa {emom raspodjele optere}enja opis slojeva
debljina m
A)STALNO OPTERE]ENJE 1 asfalt 2 estrih 3 hidroizolacija 4 stiropor 5 hidroizolacija 6 nagibni beton 7 armiranobetonska plo~a STALNO OPTERE]ENJE B)KORISNO OPTERE]ENJE korisno optere}enje za gara`e i parkirne povr{ine, prema JUS U.C7.121 KORISNO OPTERE]ENJE
0.035 0.085 0.01 0.055 0.004 0.0925 0.20
γ kN/m3
g kN/m2 22 22 10 1 10 24 25 p=
0.77 1.87 0.10 0.06 0.04 2.22 5.0 12.56
pk=
2.50 2.50
Tabela 2.1. - Primjer analize optere}enja
8
Statika I
2. Vanjski uticaji
Ukoliko se konstrukcija modelira i ra~una tako da se posebno ra~una plo~a, a posebno ramovi, tada je za prora~un ramova potrebno izvr{iti dodatnu analizu optere}enja kojom bi se odredilo optere}enje koje djeluje na ram kao linijski model. Ukoliko plo~a ima oslonce u oba pravca, pretpostavlja se da ne jednu gredu otpada optere}enje sa povr{ine ome|ene pravcima koji se pod uglom od 45o povla~e iz uglova plo~e. Konkretno za primjer pokazan na slici 2.3. prora~unski modeli sa odgovaraju}im optere}enjem su pokazani na slici 2.4. RAM A:
q = p ⋅ ly / 2
RAM B:
q1 = p ⋅ l y / 2 q2 = p ⋅ lK
RAMOVI 1 i 2
q = p ⋅ lY / 2
Slika 2.4. Stati~ke {eme i optere}enja linijskih modela za primjer sa slike 6. Ramovi A i B se me|usobno razlikuju po optere}enju, jer se na ram B prenosi i kompletno optere}enje od konzolnog dijela plo~e. Poseban problem mogu predstavljati pokretna optere}enja koja imaju ve}u vrijednost (prora~un saobra}ajnih objekata) i gdje presje~ne sile znatno zavise i od polo`aja tog optere}enja. Tada je potrebno postaviti optere}enje tako da se dobiju maksimalne presje~ne sile u presjeku koji se `eli dimenzionirati. Ovaj problem se rje{ava kori{tenjem uticajnih linija, {to }e kasnije biti detaljno obja{njeno. Pojedina optere}enja zahtijevaju slo`eniju analizu. Ovo se posebno odnosi na seizmi~ka optere}enja i optere}enja vjetrom, gdje se vrijednost vanjskih sila dobiva posebnim analizama, ~ije su osnove i potrebni ulazni podaci dati posebnim propisima.
9
Statika I
3. Teorija {tapa
3. TEORIJA [TAPA 3.1. Definicija {tapa Svaka realna konstrukcija zauzima neku zapreminu u prostoru i strogo govore}i svaki konstruktivni element je trodimenzionalan. Savremena nau~na dostignu}a omogu}avaju da se svaki konstruktivni element i kompletna konstrukcija modelira pomo}u trodimenzionalnih elemenata. Me|utim, radi niza tehni~kih pote{ko}a, a ponajprije radi jako ote`ane kontrole i pra}enja rezultata, ovakvi modeli se ne koriste pri analizi konstrukcija. U cilju dobivanja {to jednostavnijeg matematskog modela za analizu, za razne elemente se uvode razli~ite pretpostavke na osnovu kojih se razvijaju metode rje{avanja tih elemenata. Osnovna podjela vezana je za dimenzije konstruktivnih elemenata. Elementi kod kojih na pona{anje uti~u sve tri dimenzije se koriste pri prora~unu brana, nasutih objekata, za modeliranje tla pri analizi temeljnih plo~a itd. Ukoliko je jedna dimenzija zanemarljiva u odnosu na druge dvije, tada se radi o povr{inskim elementima: plo~e, ljuske, zidovi itd. Analiza ovakvih elemenata se prou~ava u predmetu Teorije povr{inskih nosa~a.
Materijalno tijelo ~ije su dvije dimenzije zanemarljivo male u odnosu na tre}u naziva se {tap. Ovakvim elementima modeliramo stubove, grede, zatege, spregove itd. [tapovima se mogu modelirati i plo~e ili zidovi kod kojih jedna dimenzija nema uticaja na rezultate. Na slici 3.1. prikazana je plo~a oslonjena na dva zida i model proste grede kojim se dobivaju uticaju po metru du`nom {irine plo~e.
Slika 3.1. Plo~a i linijski model plo~e [tap je ograni~en omota~em Γ i bo~nim plohama Aj i Ak. Prema definiciji {tapa, veli~ina bo~nih ploha je zanemarljiva u odnosu na povr{inu omota~a. Pri analizi konstrukcija {tapovi se zamjenjuju linijama koje predstavljaju osovinu {tapa. Osovina {tapa je linija koja povezuje te`i{ta j i k ploha Aj i Ak i prolazi kroz te`i{te svakog popre~nog presjeka - Slika 3.2. Ta~ke j i k nazivaju se ~vorovi {tapa. Pri analizi konstruktivnih sistema, uticaji na {tapu se prikazuju u lokalnom koordinatnom sistemu {tapa. Lokalni koordinatni sistem {tapa je ustvari prirodni koordinatni sistem, gdje je osovina x uvijek u pravcu tangente na {tap, a druge dvije osovine su u pravcu glavnih osa inercije popre~nog presjeka u posmatranoj ta~ci.
10
Statika I
3. Teorija {tapa
Ukoliko se radi o pravom {tapu tada se za kompletan {tap definira jedan lokalni koordinatni sistem, a za krivi {tap definira se lokalni sistem u svakoj ta~ci {tapa. omotač Γ
osovina {tapa
Ak
j
Aj
k
Slika 3.2. Elementi {tapa Osovina {tapa mo`e biti prava i kriva. Jasno analiza pravolinijskih {tapova je jednostavnija. Pretpostavlja se da svako optere}enje djeluje u osovini {tapa. [tap mo`e imati ili konstantan ili promjenljiv popre~ni presjek. Osim toga, osovina {tapa mo`e le`ati u jednoj ravni (ravan {tapa). U daljem tekstu razmatra}e se isklju~ivo ovakvi {tapovi. 3.2. Osnovne pretpostavke Osim pretpostavki koje proizilaze iz definicije {tapa, u razvoju linearne teorije {tapa, koja je predmet ovog kursa, uvode se slijede}e pretpostavke: a. Materijal od kojeg su napravljeni {tapovi se pona{a po Hook-ovom zakonu, odnosno idealno elasti~no, {to zna~i da je veza izme|u napona i deformacija definirana jedna~inom (1.4) b. Pomjeranja su mala, tako da se uvjeti ravnote`e postavljaju pod pretpostavkom da optere}enje djeluje na nedeformisanom {tapu c. Na {tapove djeluje stati~ko optere}enje, tj. optere}enje se nanosi tako sporo da se ne mogu javiti inercijalne sile d. Deformacije su male, {to za posljedicu ima linearnu vezu izme|u deformacija i pomjeranja e. Bernoulli-jeva hipoteza: ravni presjeci okomiti na osovinu grede ostaju ravni i okomiti na osovinu i nakon deformacije Jasno je da nijedna od ovih pretpostavki kod realnih gra|evinskih konstrukcija nije zadovoljena, ali se smatra da gre{ke koje nastaju njihovim uvo|enjem zanemarljive. S druge strane, uvo|enje ovih pretpostavki omogu}ava da se naponi, deformacije i pomjeranja jednozna~no analiti~ki sra~unaju na osnovu zadatih vanjskih uticaja, karakteristika materijala i popre~nih presjeka, te geometrije konstruktivnog sistema. U narednim poglavljima }e se pokazati izvo|enje osnovnih jedna~ina mehanike uzimaju}i u obzir gornje pretpostavke. Treba naglasiti da uvedene pretpostavke obezbje|uju linearnost prora~una {to za posljedicu ima da va`i zakon superpozicije, tj. uticaji od vi{e optere}enja na konstrukciju su jednaki zbiru uticaja od svakog optere}enja koje djeluju pojedina~no na istu konstrukciju.
11
Statika I
3. Teorija {tapa
3.4. Jedna~ine ravnote`e O~igledno je da optere}enje uvijek djeluje na deformisanu konfiguraciju {tapa. To zna~i da bi za ta~no postavljanje jedna~ina ravnote`e trebalo uzeti u obzir da su napadne ta~ke vektora vanjskog optere}enja promijenile polo`aj u odnosu na po~etnu konfiguraciju, jer je do{lo do njihovog pomjeranja. Me|utim, u slu~aju kada su pomjeranja mala u odnosu na du`inu {tapa ({to naj~e{}e jeste slu~aj kod gra|evinskih konstrukcija) ovi uticaji se mogu zanemariti. Za neke tipove konstrukcija, a posebno za neke konstruktivne elemente, ovi uticaji se ne mogu zanemariti i potrebno je uvjete ravnote`e postaviti na deformisanoj konstrukciji. Teorija bazirana na ovakvim uvjetima ravnote`e naziva se Teorija II reda. Pri postavljanju uvjeta ravnote`e koristi se jedna~ina (1.1), uzimaju}i u obzir definiciju {tapa. Dakle, ravnote`a se postavlja na osovini nedeformisanog {tapa infinitezimalne du`ine (jedna~ina (1.1) va`i za kvadar), a naponi koji djeluju u popre~nim presjecima (presjeci okomiti na os {tapa) na krajevima posmatranog segmenta se zamjenjuju silama koje se dobivaju redukcijom napona na te`i{te tih popre~nih presjeka, odnosno osovinu {tapa. Ovako dobivene sile nazivaju se presje~ne ili unutra{nje sile i u op{tem slu~aju ih ima {est: 1. Normalna sila jednaka sumi normalnih napona koje djeluju na presjek N = ∫ σ x dA
(3.1)
A
2. Transverzalna sila u ravni {tapa jednaka sumi smi~u}ih napona koji djeluju u presjeku u ravni {tapa Ty = ∫ τ xy dA
(3.2)
A
3. Transverzalna sila okomito na ravan {tapa jednaka sumi smi~u}ih napona koji djeluju u presjeku okomito na ravan {tapa Tz = ∫ τ xz dA
(3.3)
A
4. Momenat torzije jednak momentu kojeg smi~u}i naponi prave oko osovine x prirodnog koordinatnog sistema M x = ∫ ( yτ xz + zτ xy ) dA
(3.4)
A
5. Momenat savijanja oko osovine koja je u ravni {tapa, jednak momentu kojeg normalni naponi prave oko osovine y (osovina u ravni {tapa okomita na osovinu x) prirodnog koordinatnog sistema M y = ∫ zσ x dA
(3.5)
A
6. Momenat savijanja oko osovine koja je okomita na ravan {tapa, jednak momentu kojeg normalni naponi prave oko osovine z (osovina okomita na ravan {tapa) prirodnog koordinatnog sistema M z = − ∫ yσ x dA
(3.6)
A
12
Statika I
3. Teorija {tapa
Bitno je napomenuti da tenzor napona na popre~nom presjeku {tapa ima samo tri komponente razli~ite od nule: σ x ,τ xy ,τ xz . Ukoliko se {tap presije~e nekom ravni koja nije okomita na osovinu {tapa tenzor napona mo`e imati sve komponente razli~ite od nule. Jasno, pri rje{avanju linijskih sistema koriste se samo popre~ni presjeci. Ukoliko je {tap optere}en optere}enjem koje djeluje samo u ravni {tapa, tada nema smi~u}ih napona τ xz , a normalni naponi σ x i smi~u}i naponi τ xy su simetri~ni u odnosu na osovinu y, tako da su integrali u jedna~inama (3.3) - (3.5) jednaki nuli. Tada postoje samo dvije presje~ne sile u ravni {tapa i jedan momenat savijanja okomit na ravan {tapa. Radi jednostavnosti izvo|enje uvjeta ravnote`e je pokazano za {tap koji je optere}en u svojoj ravni. Na slici 3.3. je prikazan beskona~no mali segment du`ine ds, sa radijusom zakrivljenosti R, optere}en u ravni rezultantama pripadaju}eg okomitog i uzdu`nog optere}enja. Lokalni koordinatni sistem }emo postaviti na lijevi kraj segmenta, tako da je osa x tangenta na segment u ta~ci j.
pyds y x
pxds
k
Ty Mz
Mz+dMz
j Ty+dTy
R
Nx+dNx
Nx dα
Slika 3.3. Ravnote`a infinitezimalnog segmenta {tapa u ravni Jedna~ine ravnote`e se jednostavno dobivaju postavljanjem tri uvjeta ravnote`e. Pri tome treba uzeti u obzir da se radi o infinitezimalnom segmentu, odnosno da: dα → 0 ⇒ sin dα = dα i cos dα = 1 .
∑ x = 0:− N +(N x
x
+ dN x ) + Ty dα + dTy dα + px ds + p y dsdα = 0
Zanemarivanjem infinitezimalnih veli~ina vi{eg reda dobiva se: dN x − Ty dα + px ds = 0 , a dijeljenjem sa ds i uzimaju}i ds = Rdα dobivamo:
dN x Ty + + px = 0 ds R
∑ y = 0 : − T + (T y
y
(3.7)
+ dTy ) − N x dα − dN x dα − p y ds + px dsdα = 0
13
Statika I
3. Teorija {tapa
Odnosno koriste}i isti postupak:
dTy ds
∑M
k
−
Nx − py = 0 R
(3.8)
= 0 : − Ty ds + M z − ( M z + dM z ) − N x dsdα − p y ds 2 / 2 = 0
dM z + Ty = 0 ds
(3.9)
Ukoliko se radi o pravom {tapu, gornji izrazi postaju jo{ jednostavniji: ⎧ dN x ⎪ dx + px = 0 ⎪ ⎪ dTy − py = 0 R → ∞; ds = dx ⇒ ⎨ dx ⎪ ⎪ dM z ⎪ dx + Ty = 0 ⎩
(3.10)
Koriste}i iste principe, mogu se izvesti i diferencijalne jedna~ine ravnote`e za {tap u ravni, koji je optere}en i optere}enjem koje je okomito na ravan {tapa. U tom slu~aju javljaju se i transverzalne sile okomite na ravan {tapa i momenat u ravni {tapa okomit na os {tapa.
dTz − pz = 0 ds
dM y ds
+ Tz = 0
(3.11)
(3.12)
Gornjim izrazima date su diferencijalne veze za sve presje~ne sile {tapa u ravni osim momenta torzije. Moment torzije se jedino mo`e javiti uslijed vanjskog momenta torzije, koji mo`e djelovati kontinuirano du` {tapa (npr. ispust sa jedne strane du` grede). Teoretski i ostala dva momenta se mogu zadati kao kontinuirano optere}enje {to bi pro{irilo jedna~ine (3.9) i (3.12) dodatnim ~lanom. Me|utim, u praksi se takvo optere}enje ne mo`e javiti. Dakle za moment torzije se mo`e napisati:
dM x − mx = 0 ds
(3.13)
gdje je mx raspodijeljeni moment torzije koji djeluje po du`ini {tapa.
14
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
4. PRORA^UN STATI^KI ODRE\ENIH NOSA^A 4.1. Stati~ka odre|enost i kinematska stabilnost Ukoliko neki elasti~ni linijski sistem ima dovoljno rubnih uvjeta koji su izra`eni preko sila, tada se gornje diferencijalne jedna~ine ravnote`e mogu rije{iti neovisno od ostalih jedna~ina i tada govorimo o stati~ki odre|enim sistemima. Naravno, poznato je da se sile i naponi na stati~ki odre|enim nosa~ima ne ra~unaju rje{avanjem diferencijalnih jedna~ina. Me|utim, treba primijetiti da se u principu koriste isti uvjeti ravnote`e, a jedina je razlika {to se oni postavljaju na segmentima {tapa ili segmentima konstrukcije kona~ne veli~ine, umjesto na beskona~no malim segmentima, kako je ovdje pokazano. Rubni uvjeti za sile ustvari su uvjeti ravnote`e iz kojih nalazimo reakcije stati~ki odre|enih nosa~a. Primjer 4.1: Posmatrajmo prav {tap u ravni. Na krajevima {tapa se nalaze ~vorovi A i B.
B
A
Slika 4.1. Svaki ~vor se mo`e pomjeriti na tri nezavisna na~ina: translacije u dva ortogonalna pravca i jedna rotacija 1 . To zna~i da je u svakom ~voru mogu}e postaviti po tri rubna uvjeta, kojim }e se unaprijed definisati ili pomjeranje ili sila. Nije mogu}e u jednom ~voru kao rubni uvjet zadati istovremeno i silu i pomjeranje. Dakle, u jednom ~voru se mogu zadati slijede}i rubni uvjeti: a) slobodan ~vor — sve sile (M, T i N) su jednake nuli, pomjeranja su nepoznata b) pokretni oslonac — translacija u jednom pravcu jednako nuli (sila u tom pravcu nepoznata), a rotacija i translacija u drugom pravcu nepoznati (momenat i sila u tom pravcu jednaki nuli) c) nepokretni oslonac — translacija u oba pravca jednako nuli (nepoznate sile) i momenat jednak nuli (nepoznata rotacija) d) pokretno uklje{tenje — translacija u jednom pravcu i rotacija jednaka nuli (sila i momenat nepoznati), translacija u drugom pravcu nepoznato (sila u tom pravcu jednaka nuli) e) uklje{tenje — sva tri pomjeranja jednaka nuli, M, T i N nepoznati
a)
b)
c)
d)
e)
Slika 4.2. 1
Podrazumijeva se da je čvor dio štapa, a ne tačka, jer tačka, kao bezdimenzionalna, se ne može rotirati oko svoje ose, već samo translatorno pomjerati. Štap kao tijelo sa dimenzijama može rotirati oko svoje osi. Vidi sliku 4.2.
15
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
Evo nekih mogu}nosti kako se na posmatranom {tapu mogu zadati rubni uvjeti : 1. Ta~ke A i B slobodne — sve sile u tim ta~kama su jednake nuli. [tap nije konstrukcija i ne mogu se sra~unati sile, jer postoji {est rubnih uvjeta za sile, a samo tri jedna~ine ravnote`e. U kinematici se ovakav {tap posmatrao kao kruto tijelo i o~igledno je da se njegovo pomjeranje mo`e definisati sa tri parametra: dva koja definiraju translaciju i jedan koji definira rotaciju — mehanizam sa tri stepena slobode kretanja. 2. Ta~ka A vezana nepokretnim osloncem, ta~ka B slobodna. [tap i dalje nije konstrukcija, jer postoje ~etiri rubna uvjeta za sile — jedan vi{e od broja jedna~ina, a samo dva po pomjeranjima (mehanizam sa jednim stepenom slobode kretanja). 3. Ta~ka A vezana nepokretnim osloncem, a ta~ka B pokretnim (prosta greda). [tap je stati~ki odre|ena konstrukcija, jer postoje tri rubna uvjeta po silama (MA=0, MB=0 i NB=0), tako da je mogu}e jednozna~no rije{iti tri jedna~ine ravnote`e. B
B
4. Ta~ka A vezana uklje{tenjem, a ta~ka B slobodna (konzola). Stati~ki odre|ena konstrukcija, sva tri rubna uvjeta po silama data u ta~ki B. 5. Ta~ka A vezana uklje{tenjem, a ta~ka B vezana pokretnim osloncem (pridr`ana konzola). Sada imamo dva rubna uvjeta po silama (momenat i sila jednaki nuli u ta~ki B) i ~etiri po pomjeranjima. Konstrukcija je stati~ki neodre|ena, jer jedna~ine ravnote`e imaju vi{e rje{enja. Da bi se dobilo jednozna~no rje{enje potrebno je upotrijebiti dodatne jedna~ine. 6. Obje ta~ke vezan nepokretnim osloncima. Konstrukcija je jednom stati~ki neodre|ena, jer ima samo dva rubna uvjeta po silama. 7. Ta~ke A i B vezane uklje{tenjem (obostrano uklje{tena greda). Tri puta stati~ki neodre|ena konstrukcija, jer je svih {est rubnih uvjeta dato po pomjeranjima i nijedan po silama, tako da nedostaju tri rubna uvjeta po silama. Primjer 4.2: Podijelimo posmatrani {tap na dva tako {to }emo na sredini dodati ~vor C.
A
1
C
2
B
2 2 u1xC = u xC ; u1yC = u yC ; ϕ C1 = ϕ C2
N C1 = N C2 ; TC1 = TC2 ; M C1 = M C2
Sada imamo tri ~vora od kojih svaki ima po tri stepena slobode kretanja. Me|utim, u ta~ki C {tapovi imaju ista pomjeranja i istu rotaciju — {tapovi su u ta~ki C kruto vezani, tako da kompletna konstrukcija i dalje ima tri stepena slobode kretanja. Posmatraju}i odvojeno {tapove zaklju~ujemo da {tap 1 ima tri rubna uvjeta po silama u ta~ki A i ukupno {est rubnih uvjeta u ta~ki C, koji glase: pomjeranja i sile u ta~ki C su jednake na {tapovima 1 i 2. [tap 2 ima istih {est rubnih uvjeta u ta~ki C i tri rubna uvjeta po silama u ta~ki B. Analizirajmo zadavanje raznih uvjeta na ovom primjeru. A. Ukoliko u ta~ki C ostane kruta veza, njeno prisustvo ne}e uticati ni na jedan od slu~ajeva iz gornjeg primjera. Naime, isijecanjem ta~ke C i postavljanjem uslova
16
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
ravnote`e, dobivaju se tri jedna~ine ravnote`e sa tri nepoznate presje~ne sile u ta~ki C, tako da se ne pove}ava niti broj nepoznatih sila, niti broj jedna~ina. B. Postavimo u ta~ku C zglob. Time smo postavili dodatni rubni uvjet po silama, jer umjesto jedne jedna~ine M C1 = M C2 imamo dvije jedna~ine: M C1 = 0 i M C2 = 0 . Automatski je smanjen jedan rubni uvjet po pomjeranjima jer je sada: ϕ C1 ≠ ϕ C2 . To zna~i da }emo u slu~ajevima 3 i 4 iz prethodnom primjeru umjesto stati~ki odre|enih konstrukcija imati mehanizme gdje ne mo`emo odrediti sile iz jedna~ina ravnote`e. U slu~aju 5 dobi}emo stati~ki odre|en, a u slu~aju 7 dva puta stati~ki neodre|en nosa~. Slu~aj 6 je posebno interesantan pa }emo ga analizirati odvojeno.
C.
A
1
C
2
B
Rubni uvjeti po silama su: {tap 1 - M 1A = 0; M C1 = 0; TC1 = TC2 ; N C1 = N C2 {tap 2 - M B2 = 0; M C2 = 0; TC1 = TC2 ; N C1 = N C2 {to daje ukupno {est jedna~ina sa {est nepoznatih: transverzalne i normalne sile u ta~kama A, B i C. Problem kod ovakve geometrije sistema je to {to se u pet jedna~ina javljaju samo tri nepoznate — transverzalne sile, a samo se jedna jedna~ina odnosi na preostale tri nepoznate. Zbog toga ovaj sistem ne predstavlja stati~ki odre|en nosa~. Ukoliko bi se ta~ka C pomakla van linije AB sistem bi postao stati~ki odre|en, jer bi se u jedna~inama M C1 = 0 i M C2 = 0 , kao promjenjive javile i normalne sile, ~ime bi se dobio kompletan sistem jedna~ina. Dakle, pri projektovanju konstrukcije i stvaranju modela prvi uvjet je da konstrukcija bude nosa~ (stati~ki odre|en ili neodre|en), tj. da ne bude mehanizam. Kod linijskih sistema to se mo`e relativno jednostavno provjeriti na taj na~in {to se pretpostavi da su svi {tapovi apsolutno kruti i provjeri se kinematska pomjerljivost sistema ili stepen slobode kretanja. Da bi se ovaj proces pojednostavio koristi se jedna~ina za prora~un stepena slobode kretanja. Ukoliko posmatramo sistem u ravni sa n ~vorova, mo`emo re}i da je to ustvari n ta~aka, koje su me|usobno povezane {tapovima ili vezane za okolinu. Po{to ta~ka u ravni ima dva stepena slobode kretanja, n ta~aka ima 2n nezavisnih pomjeranja, odnosno 2n stepeni slobode kretanja. Svaki {tap predstavlja jednu vezu, tj. smanjuje broj stepeni slobode kretanja za jedan. Kako smo vidjeli u primjeru 3.2. kruta veza izme|u dva {tapa daje tri jedna~ine po pomjeranjima, {to zna~i da svaka kruta veza izme|u dva {tapa oduzima dodatni stepen slobode kretanja. Na kraju potrebno je oduzeti i btoj veza sa okolinom, {to nam daje jedna~inu za stepen slobode kretanja sistema u ravni : SSK=2n-s-c-r
(4.1)
gdje je n-broj ~vorova, s-broj {tapova, c-broj krutih veza i r-broj veza sa okolinom. Ukoliko posmatramo sistem u prostoru, svaka ta~ka ima tri stepena slobode kretanja, tako da jedna~ina glasi:
17
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
SSK=3n-s-c-r
(4.2)
Ukoliko sistem ima suvi{e veza, tada }e gornje jedna~ine dati negativan rezultat, {to zna~i da je sistem stati~ki neodre|en, odnosno stepen stati~ke neodre|enosti je jednak negativnoj vrijednosti stepena slobode kretanja: SSN=-SSK
(4.3)
Nagla{ava se da je stepen slobode kretanja mogu}e ta~no odrediti jedino kinematskim razmatranjem, tj. ove jedna~ine ne daju uvijek ta~an rezultat, jer stepen slobode kretanja osim broja veza ovisi i o tome kako su veze raspore|ene. Jedan od takvih primjera je primjer 4.2., a na slici 4.3. dati su jo{ neki.
A
A
b) SSK=2·5-5-5-2=-2
a) SSK=2·3-2-1-3=0
G
B
A d) SSK=2·5-5-2-3=0
c) SSK=2·4-4-0-4=0
Slika 4.3. U primjeru a) oslonci su postavljeni tako da cijeli sistem mo`e rotirati oko ta~ke A. U primjeru b) sistem ima vi{ka unutra{njih, ali nema dovoljno vanjskih veza, tako da rotira oko ta~ke A. Ako bi u ta~ku A postavili uklje{tenje, sistem bi bio tri puta stati~ki neodre|en, iako bi se reakcije mogle odrediti iz uvjeta ravnote`e, jer unutra{nji {tapovi imaju suvi{e rubnih uvjeta po pomjeranjima. U primjeru c) donji {tap je nema funkciju veze, jer spaja dva nepokretna oslonca, tako da sistem ima horizontalno pomjeranje u nivou gornje grede. U primjeru d) sistem mo`e rotirati oko ta~ka koja se nalazi na presjeku pravca BG sa vertikalom kroz ta~ku A. Ovdje {tap BG nema funkciju veze jer spaja dvije ta~ke koje su svakako kruto vezane. Ovi primjeri pokazuju da je osim broja veza, pri odre|ivanju stati~ke odre|enosti potrebno voditi ra~una i o rasporedu veza.
18
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
4.2. Odre|ivanje reakcija Prvi korak pri prora~unu presje~nih sila, nakon odre|ivanja stati~ke odre|enosti, kod stati~ki odre|enih nosa~a jeste odre|ivanje nepoznatih sila na mjestu i u pravcu sprije~enih pomjeranja. Po{to se radi o stati~ki odre|enim nosa~ima, ove sile (reakcije) je mogu}e izra~unati iz uvjeta ravnote`e, koji se mogu postaviti na kompletnom nosa~u ili na jednom njegovom dijelu, zavisno od toga o kakvom konstruktivnom sistemu radi. Tradicionalno postoji ustaljena i vrlo detaljna podjela stati~ki odre|enih nosa~a na: 1. proste grede, grede sa prepustom i konzole 2. Gerber-ove nosa~e 3. trozglobne nosa~e 4. trozglobne nosa~e sa zategama 5. kombinovane nosa~e Prora~un presje~nih sila kod svih ovih nosa~a je isti, a jedina razlika je u postupku odre|ivanja reakcija. Naravno svi postupci se zasnivaju na postavljanju uvjeta ravnote`e. Reakcije prve grupe nosa~a se nalaze tako da se postave tri uvjeta ravnote`e na kompletnom nosa~u. Sve ostale grupe imaju istu osobinu da unutar nosa~a postoji jedan ili vi{e zglobova, tj. mjesta gdje su momenti savijanja jednaki nuli *rubni uvjet po silama). Presijecanjem nosa~a kroz zglob i postavljanjem uvjeta ravnote`e na isje~enom dijelu nosa~a dobiva se dodatna jedna~ina, kojom je mogu}e odrediti nepoznatu reakciju ili unutra{nju silu, koja je potrebna za prora~un presje~nih sila na kompletnom nosa~u. U pro{losti su razvijeni razni postupci za odre|ivanje reakcija, grafi~ki i analiti~ki. Razvojem analiti~kih postupaka, grafi~ki postupci su, radi svoje nepreciznosti i velikog utro{ka vremena, napu{teni, tako da se ovdje o njima ne}e govoriti. Analiti~ki postupci su razvijani u zavisnosti od vrste nosa~a i u su{tini se razlikuju po tome {to se odre|enim postupkom najbr`e ra~unaju reakcije za odre|enu vrstu nosa~a. 4.2.1. Gerber-ovi nosa~i Kod ove vrste nosa~a, unutar sistema mo`e postojati jedan ili vi{e zglobova, koji moraju biti raspore|eni tako da sistem bude stati~ki odre|en nosa~, a ne mehanizam. Po{to je za kompletan sistem mogu}e postaviti tri nezavisne jedna~ine ravnote`e iz kojih se mogu izra~unati tri nepoznate reakcije, broj zglobova mora biti jednak broju dodatnih nepoznatih reakcija (rubnih uvjeta po pomjeranjima). Na slici 4.4. su prikazani neki Gerber-ovi nosa~i i neki mehanizmi koji li~e na Gerber-ove nosa~e.
Gerber-ovi nosa~i
Mehanizmi
Slika 4.4. 19
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
Pravilo je da dva zgloba ne smiju biti u krajnjem polju koje je slobodno oslonjeno, {to je specijalni slu~aj generalnijeg pravila da zglobovi ne smiju biti postavljeni tako da daju dvije jedna~ine po istoj nepoznatoj reakciji. Osnovna karakteristika Gerber-ovih nosa~a (za razliku od trozglobnih) je to da se optere}enje prenosi u jednom smjeru. Naime, ako optere}enje na dijelu A nosa~a izaziva uticaje na dijelu B, tada optere}enje na dijelu B sigurno ne izaziva uticaje na dijelu A. Ova osobina omogu}ava da se reakcije kod Gerberovih nosa~a ra~unaju tako da se nosa~ isije~e u zglobovima i svaki dio se ra~una odvojeno, vode}i ra~una o tome kako se prenose uticaji sa jednog dijela na drugi. Na slici 4.5. prikazan je nosa~ sa tri zgloba. Presijecanjem u svakom zglobu se javljaju samo normalna i transverzalna sila, jer je momenat jednak nuli. Me|usobni uticaj pojedinih dijelova nosa~a se odre|uje na osnovu rasporeda oslonaca.
A
B
C
G1 AH
D
E G3
G2 NG1
TG1 AV a)
NG2
NG1
TG3
NG3
TG2 TG2
TG1 BV B
NG3
NG2 CV
Postavljanjem uvjeta ravnote`e
EV
TG3
∑M
DV L G1
= 0 dobiva se reakcija AV. Sada se na
isje~enom dijelu AG1 mo`e postaviti i uvjet da je suma svih vertikalnih sila jednaka nuli, odakle se dobiva transverzalna sila u presjeku G1. Dakle, vertikalne sile na dijelu AG1 ne zavise od optere}enja na preostalom dijelu nosa~a. Postavljanjem uvjeta da je suma horizontalnih sila jednaka nuli dobiva se jedna~ina sa dvije nepoznate, koja se zasad ne mo`e rije{iti. Dakle, dijagrami momenata i transverzalnih sila se ve} mogu odrediti na dijelu AG1, jer ne zavise od optere}enja na drugim dijelovima nosa~a. Za dijagram normalnih sila to ne va`i. Na dijelu G1G2 mo`e se postaviti uvjet
∑M
L G2
= 0 , odakle se mo`e sra~unati
reakcija BV, jer je sila TG1 poznata. Postavljanjem narednog uvjeta ravnote`e ili
∑Y = 0
∑M
B
=0
dobiva se sila TG2. Ravnote`a horizontalnih sila jo{ uvijek ne daje nikakav
rezultat. Ukoliko sada pre|emo na dio G2G3 uvidje}emo da nam uvjeti ravnote`e ne}e dati rezultat, jer mo`emo postaviti dvije nezavisne jedna~ine po vertikalnim silama, a imamo tri nepoznate (CV, DV i TG3), te jednu po horizontalnim silama sa dvije nepoznate. Dakle, potrebno je najprije rije{iti dio G3E. Postavljanjem dva uvjeta ravnote`e po vertikalnim silama (npr. ∑ M E = 0 i ∑ M G 3 = 0 ) dobivaju se reakcija EV i
20
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
transverzalna sila TG3. Iz ravnote`e horizontalnih sila dobiva se vrijednost normalne sile u presjeku G3. Ako se sada vratimo na dio G2G3 ostale su nam nepoznate CV, DV i NG2. Iz tri uvjeta ravnote`e mo`ema lako sra~unati ove nepoznate (npr. ∑ M C = 0 , ∑ M D = 0 ,
∑ X = 0 ).
Iskoristiv{i ravnote`u horizontalnih sila za dijelove AG1 i G1G2 mogu se
dobiti sve normalne sile i horizontalna reakcija u osloncu A. Dakle, vertikalno optere}enje se prenosi sa ostalih dijelova na dio G2G3 koji jedini ima dva oslonca koji mogu primiti vertikalne sile, a horizontalne sile se prenose na jedini oslonac koji ih mo`e primiti — oslonac A. Nagla{ava se da je opisani postupak nije jedini za pronala`enje vertikalnih reakcija. Mogu}e je reakcije na}i i postavljanjem druga~ijih uvjeta ravnote`e bez rastavljanja na dijelove, ali se time uvijek dobiva neki sistem jedna~ina sa vi{e nepoznatih (za konkretan primjer pet jedna~ina sa pet nepoznatih). Opisanim postupkom uvijek rje{avamo jednu jedna~inu sa jednom nepoznatom, {to ubrzava prora~un i smanjuje mogu}nost gre{ke. Jasno, horizontalna reakcija se mogla dobiti i direktno iz sume horizontalnih sila na kompletnom nosa~u. 4.2.2. Trozglobni nosa~i Kod nosa~a koji u svojoj konfiguraciji imaju ta~no tri zgloba nije mogu}e primijeniti tehniku koja je prikazana za Gerber-ove nosa~e. Posmatrajmo ram prikazan na slici 4.5. Ukoliko rastavimo nosa~ na dva dijela (Slika 4.5.b) uvidje}emo da nije mogu}e nijedan dio rije{iti zasebno. Slijede}a bitna razlika u odnosu na Gerber-ove nosa~e je ta {to se kod trozglobnih nosa~a uslijed djelovanja vertikalnog optere}enja javljaju horizontalne reakcije, koje se nazivaju sile potiska i uslijed kojih se smanjuju momenti savijanja du` nosa~a. Tehnike odre|ivanja reakcija kod ovih nosa~a se zasniva na jednostavnom odre|ivanju sila potiska.
NG G
TG
NG
TG
BH B
BH
B AH
A
A BV
BV
AH
B
AV
B
B
B
AV
a)
b)
G ZB B ZA
A BV0 AV0
c)
Slika 4.5. Trozglobni nosa~ 21
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
Za nosa~ prikazan na slici 4.5. mogu}e je primijeniti dva pristupa pri odre|ivanju reakcija. Prvi se zasniva na tome da se jednostavno postave dva uvjeta ravnote`e (Slika 4.5.a), npr : ∑ M A = 0 i ∑ M GD = 0 , {to rezultira sistemom od dvije jedna~ine sa dvije nepoznate. Ukoliko `elimo izbje}i rje{avanje sistema jedna~ina, reakcije u nepokertnim osloncima se mogu rastaviti na vertkalni pravac i na kosi pravac, koji povezuje dva oslonca, kako je prikazano na slici 4.5.c). Postavljanjem uslova ravnote`e ∑ M A = 0 direktno se dobiva reakcija BV0 , koja ustvari predstavlja reakciju proste grede za vertikalno optere}enje. Slijede}im uvjetom
∑M
D G
= 0 dobiva se jedna~ina u kojoj je
nepoznata jedino reakcija ZB. Analogno se dobivaju i reakcije u osloncu A. Prednost ovog postupka je to {to se izbjegava sistem jedna~ina, a nedostatak je to {to se na kraju opet moraju sra~unati horizontalne i vertikalne reakcije u osloncima, radi jednostavnijeg prora~una presje~nih sila. B
4.2.3. Trozglobni nosa~i sa zategama Trozglobni nosa~i sa zategama su nosa~i kod kojih se vanjeske reakcije mogu izra~unati iz uvjeta ravnote`e kompletnog sistema, a iz uvjeta da je momenat savijanja u unutra{njem zglobu dobiva se sila u zatezi. Naime, svrha zatege jeste da primi silu potiska, koja se javlja kod trozglobnih nosa~a. Pri tome ta sila ostaje unutar sistema, tj. prenosi se na nosa~, a ne na okolinu. Ova osobina je jako korisna pri projektovanju konstrukcija kojima se ne mogu obezbijediti dobri horizontalni oslonci (npr. neke vrste krovnih konstrukcija).
G
G B
B AH
AH BV
A AV
Z Z
A
BV B
AV
Slika 4.6. Trozglobni nosa~ sa zategom Zatega ne mora povezivati oslonce, tj. mo`e se locirati bilo gdje i u bilo kakvom nagibu. Bitno je da se krajevi zatege nalaze sa razli~ite strane zgloba, tj. da ne povezuje dvije ta~ke nosa~a koje su svakako kruto vezane (vidi sliku 4.3.d). Princip preno{enja optere}enja kod ovakvih nosa~a se svodi na to da se u donjem dijelu nosa~a javlja aksijalna sila zatezanja, a u gornjem sila pritiska (kao kod pune proste grede), koje zajedno stvaraju otporni spreg, ~ime se smanjuju momenti savijanja u {tapovima. Iz uvjeta ravnote`e ∑ M GD = 0 ili ∑ M GL = 0 jasno je da vrijednost sile u zatezi zavisi od njene vertikalne udaljenosti od zgloba. Ukoliko se zatega nalazi iznad nosa~a (u praksi se to rijetko de{ava) tada je sila u zatezi pritiskuju}a, {to je u skladu sa op{tim principom da je gornji dio nosa~a uvijek pritisnut, a donji zategnut.
22
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
O~igledno je da su sistemi sa zategama jako povoljni, jer se momenti primaju aksijalnim silama koji se nalaze na velikom odstojanju. Pri realnoj primjeni, glavni problem je lociranje zatega, jer one ometaju funkcionalnost prostora ispod nosa~a. Radi toga, se ~esto koriste sistemi sa izlomljenim zategama, gdje se umjesto jedne zatege postavlja vi{e njih, koje se me|usobno zglobno spajaju. Prora~un ovakvih nosa~a je u osnovi potpuno ekvivalentan kao kad imamo jednu zategu. Naime, nakon odre|ivanja sile u jednoj zatezi (iz uvjeta da je momenat savijanja u zglobu jednak nuli), Sile u svi ostalim {tapovima se mogu na}i postavljenjem uveta ravnote`e u ~vorovima gdje su zatege vezane. Karakteristi~ni primjeri ovakvih nosa~a su prikazani na slici 4.7.
Slika 4.7. Trozglobni nosa~i Poslednji nosa~ spada u grupu tzv. kombinovanih nosa~a, jer sistem zatega nije povezan sa glavnim nosa~em, ve} je posebno oslonjen. Time je postignuto da se vertikalno optere}enje prenosi dijelom preko momenata savijanja na glavnom nosa~u, a dijelom preko aksijalnih sila u donjim {tapovima koje se ne prenose na glavni nosa~. Ukoliko se sistem zatega nalazi iznad nosa~a, onda se takvi nosa~i nazivaju zavje{eni.
23
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
4.2.4. Lu~ni nosa~i Prora~un presje~nih sila kod lu~nih nosa~a je ne{to komplikovaniji radi zakrivljenosti {tapova, {to je vidljivo iz jedna~ina ravnote`e koje su izvedene u tre}em poglavlju. Me|utim, prora~un reakcija se vr{i na isti na~in kako je pokazano za sisteme sa pravim {tapovima. Karakteristika lu~nih nosa~a je da u njima dominira normalna sila pritiska, dok su momenti savijanja, a samim tim i ugibi zanemarljivi. Ova osobina omogu}ava izgradnju lu~nih konstrukcija velikih raspona od materijala koji imaju dobru otprnost na pritisak, a slabu na zatezanje (kamen, beton, opeka itd.). Za odre|ene vrste regularnih optere}enja mogu}e je napraviti takav oblik luka da momenti u svim presjecima budu jednaki nuli. Linija koja prati takav oblik naziva se racionalna osovina luka. Racionalna osovina za ravnomjerno podijeljeno optere}enje, naprimjer, je parabola drugog reda. Dakle, ukoliko je neki raspon potrebno premostiti konstrukcijom, mogu}e je napraviti tri su{tinski razli~ita tipa konstrukcije: ravnu konstrukciju — dominiraju momenti, lu~nu konstrukciju — dominiraju aksijalne sile pritiska i zavje{enu konstrukciju — dominiraju aksijalne sile zatezanja ({ematski prikazano na Slici 4.8.).
a)
b)
c)
Slika 4.8. 4.3. Lan~ani sistemi Lan~ani sistemi su sistemi sastavljeni od linijskih elemenata koji mogu primiti isklju~ivo silu zatezanja. Ovi sistemi imaju osobinu da njihova konfiguracija zavisi od optere}enja koje djeluje na taj sistem. U teorijskoj mehanici ovakvi sistemi se dijele na lan~ane poligone — sistemi sa krutim pravim {tapovima, koji su me|usobno povezani zglobovima i lan~anice — sistemi koji se sastoje od jedne fleksibilne ili aksijalno krute niti (sajle, u`eta i sl.). Lan~ani sistemi su uvijek vezani za nepokretne oslonce, a bitna razlika u odnosu na sve ostale nosa~e je to {to oni nisu kinematski stabilni, tj. stepen slobode kretanja im je ve}i od nule. Time se dobivaju dodatne jedna~ine iz kojih se osim reakcija mogu izra~unati i pomjeranja pojedinih ta~aka sistema. Dakle, pri prora~unu lan~anih sistema iz uslova ravnote`e je potrebno izra~unati i oblik sistema koji on zauzima uslijed djelovanja optere}enja. Drugim rije~ima, potrebno je izra~unati i deformacionu liniju sistema, pod pretpostavkom da se radi o aksijalno krutim {tapovima ili niti. Ukoliko se radi o aksijalno fleksibilnoj niti, ~ija se du`ina mo`e izmijeniti u zavisnosti od modula elasti~nosti tada je potrebno osim jedna~ina ravnote`e na deformisanom sistemu primijeniti i konstitutivne i geometrijske jedna~ine. Rje{avanje lan~anog poligona se uvijek svodi na sistem nelinearnih jedna~ina u kojem su nepoznate reakcije ili sile u {tapovima i polo`aj {tapova.
24
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
Primjer: Napisati jedna~ine ravnote`e za lan~ani poligon dat na slici 4.9. Zadate su sile F1 i F2, polo`aji nepokretnih oslonaca L i h, te du`ine {tapova L1, L2 i L3. Potrebno je odrediti reakcije, sile u {tapovima i polo`aj {tapova.
BV B
BH
AV
B
L3
α1
AH
h
L1 G1
L2
α2
G2
α3 F2
F1 a1
a2
a3
L
Slika 4.9. Dakle, u ovom problemu postoji ukupno sedam nepoznatih: AV, AH, BV, BH, α1, α2 i α3. Dvije jedna~ine se mogu dobivaju iz zadatih polo`aja nepokretnih oslonaca: L1cosα1+L2cosα2+L3cosα3=L
i
L1sinα1+L2sinα2=L3sinα3+h
Mogu}e je postaviti ukupno pet nezavisnih jedna~ina ravnote`e po silama na kompletnom sistemu i tako dobiti sistem od sedam nelinearnih jedna~ina sa sedam nepoznatih: = 0 → BH ⋅ h − BV ⋅ L + F2 ⋅ (L1 ⋅ cos α1 + L2 ⋅ cos α 2 ) + F1 ⋅ L1 cos α1 = 0
∑M
A
∑M
L G1
= 0 → AH ⋅ L1 ⋅ sin α1 − AV ⋅L1 ⋅ cos α1 = 0
∑M
D G2
= 0 → BH ⋅ L3 ⋅ sin α 3 − BV ⋅L3 ⋅ cos α 3 = 0
∑Y = 0 → A
V
∑X =0→ A
H
+ BV − F1 − F2 = 0 − BH = 0
Ovakvi sistemi se rje{avaju nekom od numeri~kih metoda.
25
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
Lan~anica je materijalna pri~vr{}ena na krajevima za nepokretne oslonce. Da bi se polo`aj svake ta~ke dobio samo iz jedna~ine ravnote`e, potrebno je pretpostaviti da je nit aksijalno kruta, tj. da joj je du`ina konstantna. Diferencijalna jedna~ina ravnote`e se izvodi na deformisanom infitezimalnom dijelu niti u globalnom koordinatnom sistemu.
N dY
H
V
pYdX pXdY
ds
H+dH
dX dα
H=Ncosφ V=Nsinφ V dY = tan ϕ = H dX
N+dN V+dV
Uz pretpostavku da je cosdα = 1 i uz zanemarenje infitezimalnih veli~ina vi{eg reda, imamo:
∑ X = 0 → dH + p
X
dY = 0
(4.4)
∑ Y = 0 → dV + p dX = 0
(4.5)
Y
Za slu~aj da na lan~anicu djeluje samo vertikalno optere}enje imamo:
⎛ dY ⎞ p X = 0 → H = const. ⇒ dV = d ⎜ H ⎟ ⎝ dX ⎠ Uvr{tavanjem u jedna~inu (4.5) dobiva se diferencijalna jedna~ina aksijalno krute lan~anice optere}ene vertikalnim optere}enjem:
d 2Y pY + =0 dX 2 H
(4.6)
Rje{enje ove diferencijalne jedna~ine je:
Y=
1 H
∫ (∫ p dx )dx + C x + C Y
1
2
Konstante integracije se dobivaju iz koordinata oslona~kih ta~aka. Pri tome ostaje nepoznata sila H, koja se dobiva iz zadate du`ine lan~anice ili unaprijed zadate ta~ke kroz koju lan~anica prolazi.
4.4. Odre|ivanje presje~nih sila Nakon {to se odrede reakcije, oslona~ke veze se zamijene silama, tako da za svaki oblik nosa~a u su{tini imamo istu situaciju: linijski nosa~ optere}en vanjskim silama. Kako je ve} ranije re~eno, za prora~un presje~nih sila kod stati~ki odre|enih
26
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
nosa~a dovoljno je koristiti jedna~ine ravnote`e. Tri presje~ne sile u svakom presjeku se lako mogu izra~unati iz tri jedna~ine ravnote`e. Radi jednostavnijeg prora~una presje~nih sila i crtanja njihovih dijagrama obi~no se usvaja konvencija o predznaku presje~nih sila. U ovom predmetu }emo koristiti konvenciju prikazanu na slici 4.10.
M
T
T
M N
N Pozitivne presje~ne sile
Slika 4.10. Konvencija za presje~ne sile Jako je va`no naglasiti da se ova konvencija koristi samo kao pomo}no sredstvo za crtanje dijagrama presje~nih sila i da nema matematski karakter. To je vidljivo sa slike 4.10. gdje vektori koji djeluju u suprotnim smjerovima imaju isti predznak. Najbitnije je kod crtanja dijagrama presje~nih sila nacrtati dijagram momenata savijanja na onoj strani gdje su zategnuta vlakna uslijed djelovanja momenta. Kao pomo} mo`e poslu`iti pravilo da ”pozitivni” momenti zate`u donja vlakna, {to je vidljivo sa slike 4.10. Naravno, ovo pravilo nije mogu}e primijeniti kod vertikalnih {tapova. Pri crtanju dijagrama transverzalnih i normalnih sila nije bitno sa koje strane se crtaju dijagrami.
4.5. Indirektno optere}eni nosa~i U stvarnosti je svaki linijski element optere}en indirektno. Optere}enja djeluju uvijek na nekoj povr{ini i prenose se na linijske nosa~e na koje se ti povr{inski elementi oslanjaju. Posmatrajmo konstrukciju jednostavne hale prikazanu na slici 4.11.
Sekundarni nosa~i
Glavni nosa~i
Slika 4.11.
27
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
Povr{insko optere}enje (snijeg, vjetar, te`ina pokrova itd.) prvo primaju povr{inski elementi pokrova (lim, salonit itd.). Radi njihove male nosivosti oni se oslanjaju na linijske nosa~e koji su na relativno malom rastojanju (do 1.0 m). Ovi linijski nosa~i se nazivaju sekundarni nosa~i i oslanjaju se na glavne nosa~e. To zna~i da su u ovom slu~aju glavni nosa~i optere}eni koncentri~nim silama ~iji je intenzitet jednak reakcijama sekundarnih nosa~a. U literaturi se pod pojmom indirektno optere}en nosa~ podrazumijevaju ovako optere}eni nosa~i, tj. nosa~i koji optere}enje primaju preko sekundarnih nosa~a, koji se uvijek prostiru okomito na ravan glavnog nosa~a. Pri prora~unu indirektno optere}enih nosa~a potrebno je u prvom koraku izra~unati reakcije u sekundarnim nosa~ima, koje predstavljaju vanjske aktivne sile. Time se dobiva nosa~ optere}en koncentri~nim silama, koji se rje{ava na ranije opisan na~in. Po{to sada na nosa~ djeluju samo koncentri~ne sile, dijagram momenata je uvijek poligonalan. 4.6. Re{etkasti nosa~i Pod re{etkastim nosa~em se podrazumijeva sistem pravih {tapova koji su me|usobno povezani zglobovima. Pri rje{avanju re{etkastih nosa~a, uvode se dvije osnovne pretpostavke: {tapovi su pravi i povezani idealnim cilindri~nim zglobovima i optere}enje djeluje u ~vorovima re{etke. Obje pretpostavke predstavljaju idealizaciju stvarnog stanja. Naime, ~vorovi re{etke se konstrui{u naj~e{}e preko ~vornih limova, zavrtnjevima ili zavarivanjem, tako da rotacija {tapova nije potpuno slobodna. Vanjsko optere}enje se preko sekundarnih nosa~a prenosi u ~vorove re{etke, ali ipak du` {tapa djeluje optere}enje od sopstvene te`ine {tapa. Svrha uvedenih pretpostavki je ta da se pri analizi re{etkastih nosa~a ra~una samo sa aksijalnim silama u {tapovima. Iy navednih razloga u {tapovima se javljaju momenti savijanja, ali je njihova veli~ina zanemarljiva. Prilikom konstruisanja re{etke, bitno je voditi ra~una da ona bude nepomjerljiva. Naime, po{to su {tapovi zglobno vezani, osnovni kinematski stabilan element je trougao, tj. nije mogu}e promijeniti oblik trougla bez promjene du`ine njegovih stranica (kod ~etverougla je to mogu}e). Dakle, nepomjerljivost re{etke se posti`e tako da se ona konstrui{e iz niza trouglova u ravni. Bitno je naglasiti da se re{etkasti nosa~i u su{tini pona{aju isto kao puni nosa~i. Razlika je u tome {to re{etkasti nosa~i momenti savijanja primaju preko sprega unutra{njih sila u gornjem i donjem pojasu, a transverzalne sile preko {tapova ispune (vidi sliku 4.12.). Ukoliko djeluje gravitaciono optere}enje, donji pojas je uvijek zategnut, a gornji pritisnut.
q O
h U
U = −O =
qL2 8h
L
Slika 4.12. 28
Statika I
4. Prora~un stati~ki odre|enih nosa~a
Sam prora~un stati~ki odre|enih re{etkastih nosa~a se, naravno, zasniva na uvjetima ravnote`e. Dakle, u prvom koraku se odre|uju reakcije oslonaca na potpuno isti na~in kao kod punih nosa~a. Napominje se da se i re{etkasti nosa~i mogu konstruisati kao proste grede, konzole, Gerber-ovi nosa~i, trozglobni nosa~i sa i bez zatege, itd. Kada se oslonci zamijene reaktivnim silama ra~unaju se aksijalne sile u {tapovima. Tokom razvoja teorije konstrukcija osmi{ljeno je vi{e metoda za prora~un raznih tipova nosa~a, pa tako i re{etkastih. Sve te metode se u osnovi dijele na grafi~ke i analiti~ke. Za prora~un sila u {tapovima re{etke kori{tene su dvije grafi~ke metode: Kremonin plan sila i Kulmanova metoda. Obzirom da se ove metode u praksi vi{e ne koriste ovdje se one ne}e detaljno obrazlagati. Kremonin plan sila se zasniva na ~injenici da je ~vor u ravnote`i, ako sve sile koje djeluju na njega tvore zatvoren poligon. Dakle, rezultantu poznatih sila je potrebno rastaviti na dva poznata pravca {tapova i iz gornjeg uslova izra~unati njihovu vrijednost. To zna~i da je analizu potrebno zapo~eti od ~vora gdje postoje dvije nepoznate sile, dakle od oslona~kog ~vora, i nastaviti je prema slijede}em ~voru gdje postoje dvije nepoznate sile u {tapovima. Kremoninim planom sila se dobivaju sile u svim {tapovima re{etke. Kulmanovom metodom je mogu}e dobiti sile u presjeku re{etke gdje su presje~ena tri {tapa. Metoda se zasniva na tome da se poznati vektor rastavlja na tri poznata pravca. Analiti~ki se sile u {tapovima re{etke mogu dobiti na dva na~ina. Prvi na~in je postavljanje jedna~ina ravnote`e svakog ~vora. Po{to se za ~vor mogu postaviti dvije nezavisne jedna~ine ravnote`e, potrebno je analizu zapo~eti od ~vora gdje se susti~u dva {tapa re{etke. Ovom metodom dobivaju se sile u svim {tapovima re{etke. Riter-ov metod su{tinski odgovara metodi prora~una presje~nih sila kod punih nosa~a. Re{etkasti nosa~ se presijeca na mjestu gdje `elimo sra~unati sile u {tapovima i postavljamo uvjet da je isje~eni dio nosa~a u ravnote`i. Po{to se mogu postaviti maksimalno tri nezavisne jedna~ine ravnote`e, nephodan uslov je da u presjeku nema vi{e od tri {tapa sa nepoznatim silama. Specifi~nost ove metode je da se biraju oni uslovi ravnote`e koji daju jedna~ine sa samo po jednom nepoznatom, odnosno za prora~un sile u jednom {tapu treba postaviti uvjet da je suma momenata oko ta~ke gdje se sijeku pravci druga dva {tapa jednaka nuli (slika 4.13).
2
O
h
1
D U
L
∑M = 0 →O ∑M = 0 →U ∑Y = 0 → D 2
1
Slika 4.13. 29
Statika I
Uticajne linije
5. UTICAJNE LINIJE 5.1. Pojam i primjena Prilikom prora~una konstrukcija sa velikim pokretnim optere}enjem javlja se jo{ jedna nepoznanica — koji polo`aj optere}enja izaziva maksimalan uticaj u nekom presjeku. Direktan pristup, koji bi se sastojao u tome da se pokretno optere}enje pomi~e du` nosa~a i da se za svaki polo`aj prora~una konstrukcija, o~igledno bi tra`o suvi{e vremena. Da bi se rije{io ovaj problem koriste se uticajne linije. Uticajna linija je linija koja pokazuje promjenu nekog uticaja u zavisnosti od polo`aja jedini~ne koncentri~ne sile. Pod pojmom jedini~na koncetri~na sila se podrazumijeva bezdimenzionalna sila, ~ija je vrijednost 1.0. Uticajne linije se mogu konstruisati za razli~ite uticaje: momente, transverzalne i normalne sile, reakcije, ugibe, nagibe, promjene rastojanja itd. Dakle, uticajna linija se crta za jedan uticaj pri djelovanje jedne jedini~ne sile koja djeluje u jednom pravcu (obi~no vertikalnom), ali u razli~itim polo`ajima. Na slici 5.1. je prikazana uticajna linija za momenat savijanja u presjeku A. Ordinata μ1 predstavlja vrijednost momenta u presjeku A kada sa sila nalazi u polo`aju 1.
A
1
"M1" μ1
Slika 5.1 Veoma je bitno uo~iti razliku izme|u uticajnih linija i dijagrama presje~nih sila. Dijagram presje~nih sila pokazuje vrijednosti presje~nih sila u svakom presjeku od datog optere}enja, a uticajna linija za presje~nu silu u nekom presjeku pokazuje vrijednosti presje~ne sile u tom presjeku za razne polo`aje jedini~ne sile. Vrijednosti presje~nih sila od djelovanja datog pokretnog optere}enja u pojedinim presjecima se mogu dobiti integracijom uticajnih linija. Osim toga, uticajna linija pokazuje gdje je potrebno postaviti pokretno optere}enje da bi se dobio maksimalni uticaj za koji je uticajna linija nacrtana. Ukoliko postoji vi{e slu~ajeva stalnog ili pokretnog optere}enja, pomo}u jedne uticajne linije se dobiva odre|eni uticaj bez prora~una ostalih uticaja. Naprimjer, ako nas interesuje vrijednost momenta u presjeku A na slici 5.1. mogu}e je pomo}u prikazane uticajne linije izra~unati tu vrijednost bez ra~unanja reakcija. 5.2. Konstrukcija uticajnih linija Uticajne linije se konstrui{u na osnovu jedna~ina ravnote`e. Po{to je zadat uticaj za koji se tra`i uticajna linija, jedina promjenjiva je ordinata kojom se definira polo`aj jedini~ne sile. Na~in konstrukcije }e se pokazati na slijede}em primjeru.
30
Statika I
Uticajne linije
Primjer 1: Za datu prostu gredu na}i uticajne linije za reakcije i presje~ne sile u presjeku 1.
x
1.0 1
a
AV
b
BV
L
Slika 5.2. Dakle, zadatak je odrediti reakcije i presje~ne sile u presjeku 1 od djelovanja jedini~ne sile, koja se nalazi na udaljenosti x od oslonca A. Uticajna linija za reakciju AV : Postavljamo uvjet ravnote`e:
∑M
B
= 0 ⇒ AV ⋅ L − 1.0 ⋅ (L − x ) = 0
AV = 1 −
x , L
x ∈ [0, L ]
Dakle, ako se sila nalazi u osloncu A (x=0), tada je AV=1 i to predstavlja vrijednost ordinate uticajne linije u ta~ki A. Ako se sila nalazi u ta~ki B (x=L), tada je AV=0. Po{to je iz jedna~ine uticajne linije vidljivo da se radi o pravcu, uticajna linija se dobiva jednostavnim spajanjem ove dvije ta~ke, {to je pokazano na slici 5.3.
1 "AV"
1.0
"BV"
1.0 ab L
"M1" − "T1"
b L a L
Slika 5.3. Uticajna linija za reakciju BV : Za x=0: BV=0,
∑M
A
= 0 ⇒BV ⋅ L − 1.0 ⋅ x = 0 ⇒ BV =
x L
za x=L: BV=1.
31
Statika I
Uticajne linije
Za prora~un presje~nih sila u presjeku 1 postavlja se uslov da su presje~ne sile u ravnote`i sa lijevim ili desnim dijelom nosa~a. Po{to je sila pokretna, ona se mo`e na}i i lijevo i desno od presjeka A, {to zna~i da postoje dvije razli~ite jedna~ine za uticajne linije za presje~ne sile: jedna va`i ako se jedini~na sila nalazi desno od presjeka 1, a druga ako je sila lijevo. Prvi slu~aj, sila lijevo od presjeka 1, A ↓ 1, x ∈ [0, a ] . Po{to sa desne strane presjeka postoji samo jedna sila - BV, postavi}emo uslov ravnote`e:
∑M ∑Y
D 1
= 0 ⇒ M 1 = BV ⋅ b =
= 0 ⇒ T1 = BV =
D
1
x , L
x ⋅ b, L
x = 0 → μ A = 0; x = a → μ1 =
x = 0 → μ A = 0; x = a → μ1 =
a ⋅b L
a L
Drugi slu~aj, sila desno od presjeka 1, 1 ↓ B, x ∈ [a, L ] .
∑M
x⎞ ⎛ = 0 ⇒ M 1 = AV ⋅ a = ⎜1 − ⎟ ⋅ a, ⎝ L⎠
L 1
∑Y
L 1
x⎞ ⎛ = 0 ⇒ T1 = − AV = −⎜1 − ⎟, ⎝ L⎠
x = a → μ1 =
x = a → μ1 = −
a ⋅b ; x = L → μB = 0 L
b ; x = L → μB = 0 L
Dobiveni pravci su prikazani na slici 5.3. kao uticajne linije za M1 i T1. Naravno, uticajne linije za horizontalnu reakciju u osloncu A i normalnu silu u presjeku 1 su jednake nuli. Vidljivo je da su sve uticajne linije izvedene u op{tem obliku i da va`e za svaku prostu gredu i za svaki presjek. Primjer 2: Za datu gredu sa prepustom na}i uticajne linije za presje~ne sile u presjecima 1 i 2.
x
1.0 C 1
a
AV
b
BV B
c
L
Slika 5.3. Za presjek 1 su jedna~ine iste, izuzev {to u drugom slu~aju jedna~ina va`i i kad se sila nalazi na prepustu.
A ↓ 1, x ∈ [0, a ]
∑M ∑Y
1
D 1
D
= 0 ⇒ M 1 = BV ⋅ b =
= 0 ⇒ T1 = BV =
x , L
x ⋅ b, L
x = 0 → μ A = 0; x = a → μ1 =
x = 0 → μ A = 0; x = a → μ1 =
a ⋅b L
a L
1 ↓ C , x ∈ [a, L + c] .
32
Statika I
Uticajne linije
x⎞ a ⋅b a⋅c ⎛ = 0 ⇒ M 1 = AV ⋅ a = ⎜1 − ⎟ ⋅ a, x = a → μ1 = ; x = L + c → μC = − L L ⎝ L⎠ x⎞ b c ⎛ ∑ Y1L = 0 ⇒ T1 = − AV = −⎜⎝1 − L ⎟⎠, x = a → μ1 = − L ; x = L + c → μ B = L
∑M
L 1
Presjek 2: Kada presije~emo nosa~ u presjeku 2 i posmatramo ravnote`u desnog dijela nosa~a, jasno je da su presje~ne sile u presjeku 2 jednake nuli kada se jedini~na sila nalazi lijevo od presjeka, tj. kada se sila nalazi izme|u oslonaca. Kada se sila nalazi desno od presjeka 2, posmatra}emo opet ravnote`u desnog dijela nosa~a na kojem djeluje samo jedini~na sila. Ako udaljenost sile od presjeka 2 ozna~imo sa x’ imamo:
∑M ∑Y
D 2
D 2
= 0 ⇒ M 2 = −1.0 ⋅ x′; x′ ∈ [0, c ],
= 0 ⇒ T2 = −1.0,
x′ = 0 → μ 2 = 0; x′ = c → μC = −c
μ 2 = μC = −1.0 2 1
"M1" − "T1"
ab L
−
ac L
a L b L
"M2"
c L −c
-1.0
"T2"
Slika 5.4 Posmatraju}i uticajnu liniju za momenat M1, mo`emo zaklju~iti da optere}enje na prepustu smanjuje momenat u polju. To zna~i da se pokretno optere}enje ne smije staviti na prepust, ukoliko tra`imo mjerodavni momenat za dimenzioniranje presjeka u polju. 5.2. Integracija uticajnih linija Pomo}u uticajnih linija je mogu}e dobiti vrijednosti uticaja od bilo kakvog optere}enja mno`enjem stvarnog optere}enja sa ordinatama uticajnih linija. Ovaj postupak se naziva integracija uticajnih linija. U nastavku }e se izvesti izrazi za integraciju uticajnih linija uslijed djelovanja osnovnih optere}enja koja mogu djelovati na linijski nosa~.
33
Statika I
Uticajne linije
Koncentri~na sila
P Po{to je po definiciji μ1 vrijednost uticaja od sile ~ija je vrijednost 1.0, jasno je da }e vrijednost istog tog uticaja od sile P biti jednak:
μ1
Z = P ⋅ μ1
Kontinuirano optere}enje
q a
b
b
a
a
Z = ∫ q ⋅ μ (x )dx = q ⋅ ∫ μ ( x )dx = q ⋅ A b
A
gdje je A povr{ina koju zatvara uticajna linija ispod optere}enja.
Linearno promjenjivo optere}enje
q1
qT q2 xT
A
b
b
Z = q1 A +
q2 − q1 ⋅ xT ⋅ A = qT ⋅ A b−a
q − q1 ⎞ ⎛ Z = ∫ q( x ) ⋅ μ ( x )dx = ∫ ⎜ q1 + 2 x ⎟ μ ( x )dx b−a ⎠ a a⎝
gdje je A povr{ina koju zatvara uticajna linija ispod optere}enja, a qT vrijednost optere}enja iznad te`i{ta figure oivi~ene uticajnom linijom i ordinatama na krajevima optere}enja. Koncentri~ni momenat
P
M
Ako momenat rastavimo na spreg sila imamo:
P μ2
μ1 α d
Z = P ⋅ μ1 − P ⋅ μ 2 =
M (μ1 − μ 2 ) = M ⋅ tan α d
Predznak uticaja se odre|uje na osnovu odnosa ordinata μ1 i μ2.
5.3. Maksimalni uticaji od optere}enja Razvojem softverskih paketa za analizu konstrukcija, prora~un mjerodavnih uticaja pomo}u uticajnih linija sve vi{e gubi svoju prakti~nu vrijednost. Me|utim, jako je bitno poznavati oblike uticajnih linija za nosa~e koji su optere}eni znatnim pokretnim optere}enjem, jer se jedino tako mo`e znati gdje je potrebno staviti optere}enje da bi se dobili mjerodavni uticaji za dimenzioniranje.
34
Statika I
Uticajne linije
Ukoliko `elimo dobiti maksimalni uticaj od pokretnog kontinuiranog optere}enja nedefinirane du`ine, jasno je da ga treba postaviti na sve dijelove nosa~a gdje je uticajna linija pozitivna. Ukoliko se radi o kontinuiranom optere}enju odre|ene du`ine, tada se optere}enje postavlja preko maksimalne vrijednosti, tako da ordinate uticajne linije na krajevima budu jednake (vidi sliku 5.5). U tom slu~aju povr{ina ispod optere}enja ima maksimalnu vrijednost.
q μ2
μ1
μ1=μ2
Ukoliko optere}enje djeluje u vidu koncentrisanih sila, potrebno je silu staviti iznad maksimalne vrijednosti uticajne linije. U slu~aju da na nosa~ djeluje vi{e koncentrisanih sila istovremeno sa definisanom razdaljinom (npr. osovine vozila) tada se polo`aj optere}enja koje daje maksimalni uticaj odre|uje prema kriteriju koji je opisan u nastavku. a b
F1 F2 F3 F4
μmax d Jedna od sila se postavlja iznad maksimalne ordinate i provjerava se da li su zadovoljene nejedna~ine: RL R RD ≤ ≤ a d b
i
RL R RD ≥ ≥ a d b
(5.1)
gdje su: a - odstojanje od krajnje lijeve sile do sile koja se nalazi iznad maksimuma b - odstojanje od krajnje desne sile do sile koja se nalazi iznad maksimuma
d - odstojanje od krajnje lijeve do krajnje desne sile R — rezultanta svih sila RL — rezultanta sila koje djeluju lijevo od presjeka RD — rezultanta sila koje djeluju desno od maksimuma, uklju~uju}i i silu koja djeluje iznad maksimuma
RL - rezultanta sila koje djeluju lijevo od maksimuma, uklju~uju}i i silu koja djeluje iznad maksimuma RD - rezultanta sila koje djeluju desno od maksimuma Ukoliko su sve nejedna~ine (5.1) zadovoljene kontrolisani polo`aj daje maksimalnu vrijednost uticaja, koji se lako ra~una integracijom uticajne linije.
35
