soal dan pembahasan osn 2013 matematika ... - ahmadthohir1089

40 downloads 176 Views 98KB Size Report
APA BILA ADA KESALAHAN DAN KEKELIRUAN DALAM PEMBAHASAN. SOAL SAYA ... Diberikan segitiga ABC lancip dengan lingkaran luar ω. Garis bagi ...

SOAL DAN PEMBAHASAN OSN 2013 MATEMATIKA SMA/MA TINGKAT NASIONAL

DIBAHAS OLEH :

AHMAD THOHIR www.ahmadthohir1089.wordpress.com

MA FUTUHIYAH JEKETRO GUBUG GROBOGAN JAWA TENGAH



APA BILA ADA KESALAHAN DAN KEKELIRUAN DALAM PEMBAHASAN SOAL SAYA MOHON KEPADA PEMBACA YANG BUDIMAN SEKIRANYA SUDI MEMBERIKAN KOREKSI, MASUKAN, DAN SARANNYA YANG MEMBANGUN.



SOAL YANG DIBAHAS HANYA NO 1 SAMPAI DENGAN 6

HARI PERTAMA 1. Perhatikanlah persegi panjang 4 x 6 dengan beberapa ruas garis seperti pada gambar berikut

Tentukanlah banyaknya ruas jajar genjang tanpa sudut siku-siku, dengan bantuan ruas garis yang sudah ada pada gambar di atas Pembahasan :

Ada 2 posisi utama jajar genjang pada gambar di atas, yaitu mendatar dan berdiri Untuk posisi mendatar(horizontal) : Perhatikan untuk bentuk ini ada sebanyak = 5 x 4 x 2 = 40 Untuk bentuk ini ada sebanyak = 4 x 4 x 2 = 32

Selanjutnya untuk susunan 3 jajar genjang mendatar ada sebanyak = 3 x 4 x 2 = 24 • Untuk susunan 4 jajar genjang mendatar ada sebanyak = 2 x 4 x 2 = 16 • Untuk susunan 5 jajar genjang mendatar ada sebanyak = 1 x 4 x 2 = 8 (posisi 2 dengan 1 menatar) ada sebanyak = 4 • Untuk susunan x 3 x 2 = 24 (posisi 2 dengan 2 mendatar) ada sebanyak = • Untuk susunan 3 x 3 x 2 = 18 • Untuk susunan 2 dengan 3 mendatar ada sebanyak = 2 x 3 x 2 = 12 • Untuk susunan 2 dengan 4 mendatar ada sebanyak = 1 x 3 x 2 = 6 • Untuk susunan 3 dengan 1 mendatar ada sebanyak = 3 x 2 x 2 = 12 • Untuk susunan 3 dengan 2 mendatar ada sebanyak = 2 x 2 x 2 = 8 • Untuk susunan 3 dengan 3 mendatar ada sebanyak = 1 x 2 x 2 = 4 • Untuk susunan 4 dengan 1 mendatar ada sebanyak = 1 x 2 x 2 = 4 • Untuk susunan 4 dengan 2 mendatar ada sebanyak = 1 x 1 x 2 = 2 Jadi total banyak jajar genjang posisi mendatar ada sebanyak 210 buah •

Untuk posisi berdiri(vertikal) Dengan cara yang hampir mirip ada sebanyak 120 buah jajar genjang. Jadi, total banyak jajar genjang pada gambar di atas ada sebanyak 210 + 120 = 330 buah jajar genjang

2. Diberikan segitiga ABC lancip dengan lingkaran luar ω. Garis bagi dari + + ≥ 3 ===> ௖





≥ 3 ===> ܽଶ ܾ + ܾ ଶ ܿ + ܿ ଶ ܽ ≥ 3ܾܽܿ ………………………..………………..1)

Dari soal juga kita mendapatkan ெ ܽ + ≥ 1 + ‫ܽ >=== ܯ‬ଶ ܾ + ‫ ≥ ܯ‬ሺ1 + ‫ܯ‬ሻሺܾܽሻ ≥ 1 + ‫ ≥ ܯ‬1 ……………………….2) ௔௕ ெ

ܾ + ௕௖ ≥ 1 + ‫ ܾ >=== ܯ‬ଶ ܿ + ‫ ≥ ܯ‬ሺ1 + ‫ܯ‬ሻሺܾܿሻ ≥ 1 + ‫ ≥ ܯ‬1…………………………3) ܿ + ௖௔ ≥ 1 + ‫ ܿ >=== ܯ‬ଶ ܽ + ‫ ≥ ܯ‬ሺ1 + ‫ܯ‬ሻሺܿܽሻ ≥ 1 + ‫ ≥ ܯ‬1…………………………4) Sehingga 2) + 3) + 4) kita mendapatkan ܽଶ ܾ + ܾ ଶ ܿ + ܿ ଶ ܽ + 3‫ ≥ ܯ‬3 ===> 3‫ ≥ ܯ‬3 − ሺܽଶ ܾ + ܾ ଶ ܿ + ܿ ଶ ܽሻ 3‫ ≥ ܯ‬3 − ሺ3ܾܽܿሻ ‫ ≥ ܯ‬1 − ܾܽܿ Jadi harga M adalah ‫ ≥ ܯ‬1 − ܾܽܿ dengan ‫ܯ‬, ܽ, ܾ, ܿ adalah bilangan-bilangan riil positif ெ

4. Misalkan 3 < ‫ ݌‬bilangan prima dan

ܵ=



ଶஸ௜ழ௝ழ௞ஸ௣ିଵ

݆݅݇

Buktikanlah bahwa bilangan ܵ + 1 habis dibagi oleh ‫݌‬ Pembahasan : Soal di atas untuk S dapat kita tuliskan kembali ܵ=

atau

ܵ=





ଶஸ௜ழ௝ழ௞ஸ௣ିଵ

݆݅݇

ሺ݅ + 2ሻሺ݆ + 2ሻሺ݇ + 2ሻ

଴ஸ௜ିଶழ௝ିଶழ௞ିଶஸ௣ିଷ

Perhatikanlah bahwa untuk ‫>݌‬3 dan sekaligus juga prima, maka ‫ ݌‬dapat kita tuliskan sebagai ‫ = ݌‬6݊ ± 1, dengan ݊ ∈ ℕ. Sedangkan untuk ܵ + 1 hanya ada 2 kemungkinan, yaitu bilangan itu prima atau bilangan itu komposit. a) Jika bilangan itu prima jelas ܵ + 1 habis dibagi ‫ = ݌‬6݊ ± 1 dengan ݊ ∈ ℕ, untuk ‫ > ݌‬3 dan ‫ ݌‬prima. Tapi kemungkinan bilangan ܵ+1 prima sangatlah kecil karena ‫ ݌‬− 1 terbatas, sedangkan ܵ=



ଶஸ௜ழ௝ழ௞ஸ௣ିଵ

݆݅݇

lebih besar dari ‫ ݌‬− 1. b) Jika bilangan itu komposit(ini yang paling mungkin), juga ada 2 kemungkinan antara paritas genap dan ganjil, kondisi ini tetap memenuhi keterbagian oleh ‫ = ݌‬6݊ ± 1 dengan ݊ ∈ ℕ, untuk ‫ > ݌‬3 dan ‫ ݌‬prima. kita ambil contoh untuk • ܵଵ = 2.3.4=24, maka ܵଵ + 1 = 24 + 1 = 25 ≡ 0 ሺ݉‫ ݀݋‬5ሻ (karena p=5) • ܵଶ = 2.3.4 + 2.3.5 + 2.3.6 + 2.4.5 + 2.4.6 + 2.5.6 + 3.4.5 + 3.4.6 + 3.5.6 + 4.5.6 = 580 , maka ܵଶ + 1 = 580 + 1 = 581 ≡ 0 ሺ݉‫ ݀݋‬7ሻ (karena p=7) Jadi terbukti. HARI KEDUA 5. Diberikan sebarang polinom kuadrat ܲሺ‫ݔ‬ሻ dengan koefisien utama adalah positifdan harga harga diskriminan negatif. Buktikan bahwa ܲሺ‫ݔ‬ሻ dapat dinyatakan dengan jumlah tiga polinom kuadrat ܲሺ‫ݔ‬ሻ = ܲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ + ܲଶ ሺ‫ݔ‬ሻ + ܲଷ ሺ‫ݔ‬ሻ dengan ܲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ, ܲଶ ሺ‫ݔ‬ሻ ,ܲଷ ሺ‫ݔ‬ሻ memiliki koefisien utama positif dengan diskriminan nol serta akar riil kembar dari ketiga polinom berbeda tersebut Pembahasan : Misalkan polinom ܲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݕ‬ଵ = ‫ ݔ‬ଶ adalah salah satu polinom yang kita pilih sebagaimana fakta dari soal di atas. Kemudian kita geser ܲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ tersebut ke kanan dan ke kiri sebesar ‫ ݌‬satu satuan dan kita tetapkan sebagai ܲଶ ሺ‫ݔ‬ሻ dan ܲଷ ሺ‫ݔ‬ሻ Sehingga ܲଶ ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݕ‬ଶ = ሺ‫ ݔ‬− ‫݌‬ሻଶ = ‫ ݔ‬ଶ − 2‫ ݔ݌‬+ ‫݌‬ଶ dan ܲଷ ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݕ‬ଷ = ሺ‫ ݔ‬+ ‫݌‬ሻଶ = ‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ݌‬+ ‫݌‬ଶ Jika ܲሺ‫ݔ‬ሻ = ܲଵ ሺ‫ݔ‬ሻ + ܲଶ ሺ‫ݔ‬ሻ + ܲଷ ሺ‫ݔ‬ሻ ܲሺ‫ݔ‬ሻ = ሺ‫ ݔ‬ଶ ሻ + ሺ‫ ݔ‬ଶ − 2‫ ݔ݌‬+ ‫݌‬ଶ ሻ + ሺ‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ݌‬+ ‫݌‬ଶ ሻ = 3‫ ݔ‬ଶ + 2‫݌‬ଶ adalah sebuah polinom baru yaitu ܲሺ‫ݔ‬ሻ dengan koefisien utama positif dan nilai diskriminan negatif (definit positif atau kurva di atas sumbu-x). Terbukti ‫ݕ‬ଵ = ‫ ݔ‬ଶ

Y

X O

6. Suatu bilangan asli ݊ dikatakan "݇‫ "ݐܽݑ‬jika ada bilangan asli ‫ ݔ‬sehingga ‫ ݔ‬௡௫ + 1 habis dibagi oleh 2௡ a) Buktikan bahwa 2013 adalah bilangan kuat b) Jika ݉ bilangan kuat, tentukan bilangan asli terkecil ‫ ݕ‬sehingga ‫ ݕ‬௠௬ + 1 habis dibagi oleh 2௠ Pembahasan : a) Misalkan kita pilih ‫ = ݔ‬3, sehingga untuk 3ଶ଴ଵଷሺଷሻ + 1 ሺ3ଶ଴ଵଷ ሻଷ + 1 ሺ3ଶ଴ଵଷ ሻଷ + 1ଷ = = 2ଶ଴ଵଷ 2ଶ଴ଵଷ 2ଶ଴ଵଷ ሺ3ଶ଴ଵଷ + 1ሻሺሺ3ଶ଴ଵଷ ሻଶ − 3ଶ଴ଵଷ + 1ሻ = 2ଶ଴ଵଷ ሺሺ4 − 1ሻଶ଴ଵଷ + 1ሻሺሺ3ଶ଴ଵଷ ሻଶ − 3ଶ଴ଵଷ + 1ሻ = 2ଶ଴ଵଷ Untuk ሺ4 − 1ሻଶ଴ଵଷ 2013 ଶ଴ଵଷ ଴ 2013 ଶ଴ଵଷିଵ ଵ 2013 ଶ଴ଵଷିଶ ଶ =൬ ൰4 .1 −൬ ൰4 .1 + ൬ ൰4 .1 − ⋯ 0 1 2 2013 ଶ଴ଵଷିଶ଴ଵଶ ଶ଴ଵଶ 2013 ଶ଴ଵଷିଶ଴ଵଷ ଶ଴ଵଷ +൬ ൰4 .1 −൬ ൰4 .1 2012 2013 ଶ଴ଵଷ ሺሺ4 − 1ሻ + 1ሻ 2013 ଶ଴ଵଷ ଴ 2013 ଶ଴ଵଷିଵ ଵ 2013 ଶ଴ଵଷିଶ ଶ = ቆ൬ ൰4 .1 − ൬ ൰4 .1 + ൬ ൰4 .1 − ⋯ 0 1 2 2013 ଶ଴ଵଷିଶ଴ଵଶ ଶ଴ଵଶ 2013 ଶ଴ଵଷିଶ଴ଵଷ ଶ଴ଵଷ +൬ ൰4 .1 −൬ ൰4 .1 − 1ቇ 2012 2013 2013 ଶ଴ଵଷ ଴ 2013 ଶ଴ଵଷିଵ ଵ 2013 ଶ଴ଵଷିଶ ଶ = ቆ൬ ൰4 .1 − ൬ ൰4 .1 + ൬ ൰4 .1 − ⋯ 0 1 2 2013 ଶ଴ଵଷିଶ଴ଵଶ ଶ଴ଵଶ ቇ +൬ ൰4 .1 2012 2013 2013 ଶ଴ଵଵ 2013 ଶ଴଴ଽ = 2ଶ଴ଵଷ ቆ൬ ൰ . 2ଶ଴ଵଷ − ൬ ൰2 +൬ ൰2 −⋯ 0 1 2 2013 ିଶ଴ଵଵ ቇ +൬ ൰2 2012 Misalkan ܾ = ቀ൫ଶ଴ଵଷ ൯. 2ଶ଴ଵଷ − ൫ଶ଴ଵଷ ൯2ଶ଴ଵଵ + ൫ଶ଴ଵଷ ൯2ଶ଴଴ଽ − ⋯ + ൫ଶ଴ଵଷ ൯2ିଶ଴ଵଵ ቁ, maka ଴ ଵ ଶ ଶ଴ଵଶ ሺሺ4 − 1ሻଶ଴ଵଷ + 1ሻ = 2ଶ଴ଵଷ . ܾ Sehingga

3ଶ଴ଵଷሺଷሻ + 1 ሺ3ଶ଴ଵଷ ሻଷ + 1 ሺሺ4 − 1ሻଶ଴ଵଷ + 1ሻሺሺ3ଶ଴ଵଷ ሻଶ − 3ଶ଴ଵଷ + 1ሻ = = 2ଶ଴ଵଷ 2ଶ଴ଵଷ 2ଶ଴ଵଷ ଶ଴ଵଷ ଶ଴ଵଷ ሻଶ ଶ଴ଵଷ 2 . ܾሺሺ3 −3 + 1ሻ = = ܾሺሺ3ଶ଴ଵଷ ሻଶ − 3ଶ଴ଵଷ + 1ሻ ଶ଴ଵଷ 2 Terbukti bahwa 2013 adalah bilangan kuat b) Jika ݉ bilangan kuat dan ‫ ݕ‬௠௬ + 1 habis dibagi 2௠ serta ݉, ‫ ∈ ݕ‬ℕ, kita pilih saja ݉ = ‫ = ݕ‬1 supaya didapatkan nilai ‫ ݕ‬terkecil, yaitu 1ଵ.ଵ + 1 ‫=ݕ‬ =1 2ଵ

SUMBER SOAL • http://stenlyivan.wordpress.com/2013/09/05/soal-osn-2013-tingkat-smabidang-matematika/

Suggest Documents