KATA PENGANTAR iii. Bab 1. Pengukuran dan Vektor. 1. 1. Latihan Soal. 1. Bab
2. Kinematika. 3. 1. Soal Latihan. 3. Bab 3. Hukum I Newton. 5. 1. Soal Latihan.
SOLUSI SOAL - SOAL FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I ROSYID ADRIANTO Departemen Fisika Universitas Airlangga, Surabaya E-mail address, P. Carlson: i an
[email protected] URL: http://www.rosyidadrianto.wordpress.com
Puji syukur atas kehadirat Allah swt yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga dapat diterbitkannya buku seri ”SOLUSI SOAL - SOAL FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I” ini. Ringkasan. Buku seri SOLUSI SOAL - SOAL Fisika untuk Universitas Jilid I ini diterbitkan untuk menunjang materi kuliah Rosyid Adrianto, S.Si., di kelas dan merupakan kumpulan penyelesaian soal - soal latihan dalam buku ”FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I.
KATA PENGANTAR Buku seri yang berjudul Solusi Soal - Soal Fisika untuk Universitas Jiild I merupakan buku pegangan mata kuliah fisika dasar (basic physics) bagi jurusan teknik dan MIPA (Science) pada semester pertama. Dengan asumsi bahwa para mahasiswa telah atau sedang mengambil mata kuliah kalkulus (calculus) atau matematika dasar (basic mathematics). Satuan SI digunakan dalam seluruh buku ini. Semua contoh soal yang dikerjakan, latihan dan soal diberikan dalam satuan SI, kecuali beberapa soal tentang konversi satuan gaya. Sasaran utama saya dalam menulis buku ini adalah: (1) Memberikan suatu pendahuluan yang seimbang pada konsep-konsep terpenting dan gejala dalam fisika klasik dan fisika modern dengan cara yang mencerminkan keindahan dan semangat ilmu fisika juga memberikan dasar yang kuat guna studi lanjut. (2) Menyajikan ilmu fisika dengan cara yang logis (logic) dan koheren (masuk akal) sehingga menarik dan dapat dicerna semua mahasiswa. (3) Membantu para mahasiswa membangun rasa percaya diri (self-consistent) dalam pemahaman mereka tentang fisika dan dalam keterampilan mereka memecahkan persoalan. (4) Merangsang para mahasiswa dengan menghadapkan mereka pada beberapa penggunaan dan perkembangan ilmu fisika dalam kehidupan seharihari di masa kini dan pada tekonologi saat ini maupun yang akan datang. Akhirnya, saya ingin menyampaikan terima kasih kepada setiap orang di Universitas Airlangga untuk bantuan dan dorongan mereka. Ucapan terima kasih saya khususkan kepada Febdian Rusydi, Andi H. Zaidan, dan Bu Nur atas diterbitkannya buku ini Mulyorejo, Surabaya September 2009
iii
Daftar Isi KATA PENGANTAR
iii
Bab 1. Pengukuran dan Vektor 1. Latihan Soal
1 1
Bab 2. Kinematika 1. Soal Latihan
3 3
Bab 3. Hukum I Newton 1. Soal Latihan
5 5
Bab 4. Hukum II Newton 1. Soal Latihan
7 7
Bab 5. Kerja dan Energi 1. Soal Latihan
19 19
Bibliografi
27
v
BAB 1
Pengukuran dan Vektor 1. Latihan Soal Soal 1.1 Berapakah nilai ekivalen dari kecepatan 100 km/jam dalam meter per sekon dan dalam mil per jam? JAWAB : 100 km/jam
=
27, 778 m/s
=
62, 15 mil/jam
Soal 1.2 Dalam persamaan berikut, jarak x dinyatakan dalam meter, waktu t dalam sekon, dan kecepatan v dalam meter per sekon. Apakah satuan-satuan SI untuk konstanta C1 dan C2 ? (1) x = C1 + C2 t (2) x=
1 C1 t2 2
(3) v 2 = 2 C1 x (4) x = C1 cos(C2 t) (5) v = C1 exp(−C2 t) JAWAB : (1) x
= C1 + C2 t
m
=
[m] + [m/s][s]
Jadi satuan C1 adalah meter dan C2 adalah m/s. (2) x
=
m
=
1 C1 t2 2 [m/s2 ][s2 ]
Jadi satuan C1 adalah m/s2 . 1
2
1. PENGUKURAN DAN VEKTOR
(3) v2
=
2 C1 x
2
=
[m/s2 ][m]
(m/s)
Jadi satuan C1 adalah m/s2 . (4) x = C1 cos(C2 t) m
=
[m] cos([1/s][s])
Jadi satuan C1 adalah meter dan C2 adalah 1/s. (5) v
=
m/s =
C1
exp(−C2 t)
[m/s] exp(−[1/s][s])
Jadi satuan C1 adalah m/s dan C2 adalah 1/s.
BAB 2
Kinematika 1. Soal Latihan Soal 2.1 Sebuah partikel berada di x = +5 m pada t = 0, x = −7 m pada t = 6 s, dan x = +2 m pada t = 10 s. Carilah kecepatan rata rata partikel selama selang (a) t = 0 sampai t = 6 s, (b) t = 6 s sampai t = 10 s, dan (c) t = 0 sampai t = 10 s. JAWAB : (a) −7 − 5 v= = −2 m/s 6−0 (b) 2 − (−7) v= = 2, 25 m/s 10 − 6 (c) 2−5 v= = −0, 3 m/s 10 − 0 Soal 2.2 Cahaya merambat dengan kelajuan c = 3 · 108 m/s (a) berapa waktu yang dibutuhkan cahaya untuk bergerak dari matahari ke bumi yang berjarak 1, 5 · 1011 m? (b) berapa waktu yang dibutuhkan cahaya untuk bergerak dari bulan ke bumi yang berjarak 3, 84 · 108 m? (c) Satu tahun cahaya adalah satuan jarak yang sama dengan jarak yang ditempuh cahaya dalam 1 tahun. Carilah jarak ekivalen dari 1 tahun cahaya dalam kilometer dan dalam mil. JAWAB : (a) 1, 5 · 1011 m t= = 500 s 3 · 108 m/s (b) 3, 84 · 108 m t= = 1, 28 s 3 · 108 m/s (c) x
=
3 · 108 m/s(365)(24)(3600) s
=
9, 4608 · 1012 km
=
5, 88 · 1012 mil 3
4
2. KINEMATIKA
Soal 2.3 Bintang yang terdekat adalah Proxima Centauri dan jaraknya sejauh 4, 1 · 1013 km dari bumi. (a) Berapa waktu yang dibutuhkan sinyal cahaya yang dikirim dari bumi untuk mencapai Proxima Centauri? (b) Berapa tahun waktu yang dibutuhkan pesawat ruang angkasa yang bergerak dengan kelajuan 10−4 c untuk mencapai Proxima Centauri? JAWAB : (a) t=
4, 1 · 1016 m 3 · 108 m/s
=
1, 3667 · 108 s
=
37 962, 963 jam
=
1 581, 790 hari
=
4, 334 tahun
=
1, 3667 · 1012 s
=
3, 7962963 · 108 jam
=
1, 58179 · 107 hari
=
4, 334 · 104 tahun
(b) t=
4, 1 · 1016 m (10−4 )3 · 108 m/s
Soal 2.4 Sebuah mobil bergerak dengan kelajuan 45 km/jam saat t = 0. Mobil dipercepat dengan percepatan konstan 10 km/jam · s. (a) Berapa kecepatan mobil saat t = 1 s dan saat t = 2 s? (b) Berapakah kelajuannya saat t? JAWAB : (a) saat t = 1 s v(1)
= v0 + a t =
45 + 10(1) = 55 km/ jam
saat t = 2 s v(1)
= v0 + a t =
45 + 10(2) = 65 km/ jam
(b) kelajuan saat t v(t) = 45 + 10 t
BAB 3
Hukum I Newton 1. Soal Latihan Soal 3.1 Galileo melakukan suatu percobaan terhadap sebuah benda yang bermassa 10 kg mula - mula diam berada di x = +5 m pada t = 0, lalu bergerak ke x = −7 m pada t = 6 s, dan x = +2 m pada t = 10 s. Carilah gaya yang dibutuhkan untuk menggerakkan benda selama selang (a) t = 0 sampai t = 6 s, (b) t = 6 s sampai t = 10 s, dan (c) t = 0 sampai t = 10 s. JAWAB : (a) percepatan pada t = 0 sampai t = 6 s a = =
2(x − x0 − v0 t) t2 2 2(−7 − 5 − 0) = − m/s2 2 6 3
Gaya yang dikerjakan F
= m · a 2 = 10 · − = −6, 667 N 3
(b) kecepatan saat t = 6 s v
= v0 + a t 2 = 0+ − (6) = −4 m/s 3
percepatan pada t = 6 sampai t = 10 s a
2(x − x0 − v0 t) t2 2(2 − (−7) − (−4)(4)) 50 = m/s2 42 16
= =
Gaya yang dikerjakan F
= m · a 50 = 10 · = 31, 25 N 16 5
6
3. HUKUM I NEWTON
(c) Gaya yang dikerjakan dari t = 0 sampai t = 10 s Ftotal
=
Ft=0→t=6 + Ft=6→t=10
=
(−6, 667 + 31, 25) N = 24, 573 N
Soal 3.2 Sebuah bola yang ditendang oleh David Beckham mengalami percepatan sebesar 4 m/s2 ketika gaya tertentu (F0 ) dikenakan padanya (a) Berapakah percepatannya bila gaya menjadi dua kali gaya mula - mula? (b) Bola kedua mengalami percepatan 8 m/s2 dengan gaya F0 . Berapakah rasio massa kedua bola ini? (c) Jika kedua bola dijadikan satu sistem, berapa percepatan yang dihasilkan karena gaya F0 ? JAWAB : (a) diketahui F2 = 2 F0 dari hukum Newton disimpulkan bahwa F ∝ a sehingga a2 = 2 a1 = 8 m/s2 (b) rasio massa bola pertam dan kedua adalah m2 a1 = m1 a2 1 4 m2 = = m1 8 3 Jadi m2 = 12 m1 (c) coba dilakukan perhitungan rasio massa sekali lagi a1 m1 + m2 = m1 atotal 3 4 2 m1 = m1 atotal maka atotal = 83 m/s2 . Soal 3.3 Sebuah benda 5 kg ditarik sepanjang permukaan horizontal yang licin oleh gaya horizontal 10 N. (a) Jika benda diam pada t = 0, seberapa cepat benda bergerak setelah 5 s? (b) Seberapa jauh benda bergerak dari t = 0 sampai t = 5 s? JAWAB : percepatan yang dialami benda F a = m 10 = 2 m/s2 = 5 (a) kecepatan benda setelah 5 s adalah v
=
v0 + a t
=
(0) + (2)(5) = 10 m/s
(b) jarak yang ditempuh benda setelah 5 s (x0 = 0) 1 x = x0 + v0 t + a t2 2 1 = (0) + (0) + (2) (5)2 = 25 m 2
BAB 4
Hukum II Newton 1. Soal Latihan Soal 4.1 Dua anak yang berada di atas kereta luncur ditarik melewati tanah yang diselimuti salju. Kereta luncur ditarik dengan tali yang membuat sudut dengan sumbux positif. Anak - anak itu mempunyai massa gabungan 45 kg dan kereta luncur mempunyai massa 5 kg. Koefisien gesek statis dan kinetik adalah 0,2 dan 0,15. Cari gaya gesek yang dikerjakan tanah pada kereta dan percepatan anak - anak serta kereta jika tegangan tali adalah (a) 100 N dan (b) 140 N JAWAB : (a) 100 N Gaya vertikal yang bekerja pada kereta X Fy = 0 Fn + T sin(40o ) − m g
=
0
Fn
=
m g − T sin(40o )
=
(50 kg)(9, 81 m/s2 ) − (100 N)(0, 643)
=
(490, 5 − 64, 3) N = 426, 2 N
Gaya gesek statis maksimum yang mungkin adalah fs,maks
= µs Fn =
0, 2(426, 2 N) = 85, 24 N
Komponen horizontal tegangan tali adalah Tx
= T cos(40o ) =
(100 N)(0, 766) = 76, 6 N
Karena gaya luar Tx < fs,maks maka kereta tetap diam dan gaya geseknya sama dengan gaya horizontal yang bekerja yaitu 76,6 N ke arah kiri. Ada dua hal penting pada kasus ini (1) Gaya normal tidak sama dengan berat anak dan kereta karena komponen vertikal tegangan membantu mengangkat kereta dari bawah (2) Gaya gesek statis tidak sama dengan µs Fn (gaya yang terjadi kurang dari nilai batas maksimum yang mungkin). (b) 140 N Gaya normal Fn
=
m g − T sin(40o )
=
(50 kg)(9, 81 m/s2 ) − (140 N)(0, 643)
=
(490, 5 − 90) N = 400, 5 N 7
8
4. HUKUM II NEWTON
Gaya gesek statis maksimum yang mungkin adalah fs,maks
= µs Fn =
0, 2(400, 5 N) = 80, 1 N
Karena gaya luar Tx > fs,maks maka kereta meluncur dan gaya gesek kinetiknya adalah fk
= µk Fn =
0, 15(400, 5 N) = 60, 075 N
Dengan meninjau gaya horizontal yang bekerja maka didapat percepatan yang dialami kereta X Fx = m ax T cos(40o ) − fk
=
ax
= =
m ax T cos(40o ) − fk m (140 N)(0, 766) − 60, N = 0, 94 m/s2 50 kg
Soal 4.2 Sebuah mobil bergerak dengan kelajuan 30 m/s sepanjang jalan horizontal. Koefisien gesekan antara jalan dan ban adalah µs = 0, 5 dan µk = 0, 3. Berapa jauh mobil bergerak sebelum berhenti jika (a) mobil direm secara hati - hati sehingga roda - roda hampir selip dan (b) mobil direm keras agar roda terkunci JAWAB : (a) Karena mobil tidak bergerak ke atas maka X Fy = 0 Fn − m g Fn
=
0
= mg
Karena roda tidak selip maka gaya horizontal yang dikerjakan oleh jalan adalah gaya gesek statis X Fx = m ax −µs Fn
=
ax
= =
m ax µs Fn − = −µs g m −(0, 5)(9, 81 m/s2 ) = −4, 905 m/s2
Karena percepatan bernilai konstan maka jarak perhentian mobil adalah v2 0 ∆x
= v02 + 2 a ∆x = v02 + 2 a ∆x v2 = − 0 2a (30 m/s)2 = − = 91, 8 m 2(−4, 905 m/s2 )
1. SOAL LATIHAN
9
(b) Jika roda terkunci maka gaya horizontal yang dilakukan oleh jalan adalah gaya gesek kinetik ax
=
−µk g
=
−(0, 3)(9, 81 m/s2 ) = −2, 943 m/s2
Jadi jarak perhentian mobil pada keadaan ini adalah ∆x
= −
v02 2a
= −
(30 m/s)2 = 153 m 2(−2, 943 m/s2 )
Soal 4.3 Sebuah mobil bergerak di atas jalan horizontal pada suatu lingkaran berjari - jari 30 m. Jika koefisien gesek statis 0,6, maka hitung cepat mobil agar dapat bergerak tanpa selip JAWAB : Analisis gaya - gaya vertikal yang bekerja X
Fy
=
0
Fn − m g
=
0
Fn
= mg
Analisis gaya - gaya horizontal yang bekerja X
Fx
=
µs m g
=
vmaks
= =
m ax v2 m maks √ r µs g r p (0, 6)(9, 81 m/s2 )(30 m) = 13, 3 m/s
vmaks = 13, 3 m/s = 47,8 km/jam = 29,7 mil/jam. Jika kecepatan mobil melebihi dari 13,3 m/s maka gaya gesek statis tidak cukup besar untuk memberikan percepatan yang dibutuhkan untuk bergerak melingkar (mobil cenderung bergerak lurus). Soal 4.4 Sebuah lengkungan berjari - jari 30 m dimiringkan dengan sudut θ. Cari θ agar mobil dapat mengelilingi lengkungan itu dengan kelajuan 40 km/jam (=11,1 m/s) walaupun jalan licin. JAWAB : Analisis gaya - gaya vertikal yang bekerja X
Fy
=
0
Fn cos(θ) − m g
=
0
Fn cos(θ)
=
mg
10
4. HUKUM II NEWTON
Analisis gaya - gaya horizontal yang bekerja X Fx = m ax Fn sin(θ)
= m
v2 r
sehingga diperoleh hubungan 2
m vr = mg v2 tan(θ) = gr (11, 1 m/s)2 = = 0, 419 (9, 81 m/s2 )(30 m) θ = 22, 7o
Fn sin(θ) Fn cos(θ)
Soal 4.5 Sebuah balok tergantung pada tali yang tak bermassa yang melewati suatu katrol yang licin dan dihubungkan ke balok lain pada meja yang licin pula. Hitung percepatan tiap balok dan tegangan tali. JAWAB : Analisis gaya - gaya horizontal yang bekerja X Fx = m ax T1 1
= m1 a1
Analisis gaya - gaya vertikal yang bekerja X Fy = m2 g − T2
=
m ay m2 a2
dengan mengasumsikan bahwa tali homogen maka T1 = T2 = T dan a1 = a2 = a. Dengan demikian diperoleh hubungan sebaga berikut m2 g − m1 a = m2 a sehingga nilai percepatan adalah a= dan tegangan tali sebesar
m2 g m1 + m2
m1 m2 g m1 + m2 Untuk keadaan m2 >> m1 maka a ≈ g dan T ≈ 0. Untuk keadaan m1 >> m2 maka a ≈ 0 dan T ≈ m2 g. Soal 4.6 Sebuah balok bermassa m1 berada di atas balok kedua yang massanya m2 . Balok kedua ini berada di atas meja horizontal yang licin. Sebuah gaya F dikerjakan pada balok bawah seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Koefisien gesek statis dan kinetik antara balok - balok adalah µs dan µk (a) Cari nilai maksimum F yang menyebabkan balok tidak saling bergeser satu sama lain. T =
1. SOAL LATIHAN
11
Gambar 1. Ilustrasi gaya yang bekerja terhadap dua benda pada soal 4.6. (b) Cari percepatan tiap balok jika F lebih besar dari nilai ini. JAWAB : (a) Balok 1 Analisis gaya - gaya vertikal yang bekerja X Fy = 0 Fn 21 − m1 g
=
0
Fn 21
=
m1 g
Analisis gaya - gaya horizontal yang bekerja X Fx = m1 a1 fs 1
= m1 a1
Balok 2 Analisis gaya - gaya vertikal yang bekerja X Fy
=
0
Fn − Fn 12 − m1 g
=
0
Analisis gaya - gaya horizontal yang bekerja X Fx = m2 a2 F − fs 2
= m2 a2
karena a1 = a2 = a dan fs 1 = fs 2 = fs maka F = (m1 + m2 ) a. Dengan demikian makin besar F maka makin besar percepatan yang terjadi akan tetapi percepatan balok pertama terbatas karena nilai fs 1 a1 =
fs 1 m1
µs Fn 21 m1 ≤ µs g
≤
Sehingga Fmaks = (m1 + m2 ) µs g (b) Jika F > Fmaks maka balok akan bergerak satu dengan yang lain
12
4. HUKUM II NEWTON
Pada balok 1 berlaku Fn 21 = m1 g dan fk
=
m1 a1
µk Fn 21
=
m1 a1
a1
=
µk g
Sementara pada balok kedua berlaku F − fk
=
m2 a2
F − µk m1 g
=
a2
=
m2 a2 F − µk m1 g m2
Soal 4.7 Suatu benda bermassa 0,8 kg berada pada bidang miring yang membuat sudut θ dengan bidang datar. Koefisien gesek kinetik dengan bidang 0,3 dan g = 9, 8 m/s2 . Berapa gaya yang diberikan agar bergerak (a) ke atas atau (b) ke bawah? (untuk kedua hal anggap bahwa benda bergerak beraturan dengan percepatan konstan 0,1 m/s2 ) JAWAB : (a) Gaya F bekerja ke atas Analisis gaya - gaya yang sejajar dengan permukaan bidang miring dengan fk = µk Fn dan Fn = m g cos(θ)
F
F − m g sin(θ) − fk
= ma
F − m g(sin(θ) + µk cos(θ)
= ma
=
m g(sin(θ) + µk cos(θ) + m a 3 4 = (0, 8 kg)(9, 81 m/s2 )( + 0, 3 ) + (0, 8 kg)(0, 1 m/s2 ) 5 5 = 6, 7 N dengan arah ke atas
(b) Gaya F bekerja ke bawah Analisis gaya - gaya yang sejajar dengan permukaan bidang miring
F
= = =
F + m g sin(θ) − fk
= ma
F + m g(sin(θ) + µk cos(θ)
= ma
m g(sin(θ) − µk cos(θ) + m a 3 4 (0, 8 kg)(9, 81 m/s2 )( − 0, 3 ) + (0, 8 kg)(0, 1 m/s2 ) 5 5 −2, 7 N
artinya gaya ini juga memiliki arah ke atas Soal 4.8 Suatu balok bermassa m1 = 3 kg berada di atas balok kedua m2 = 5 kg. Anggap tak ada gesekan antara balok m2 dengan lantai. Sementara itu kofisien gesek statis dan kinetik antara kedua balok adalah 0,2 dan 0,1. Kemudian balok kedua didosong dengan gaya sebesar F . Tentukan (a) gaya maksimum yang dapat dikenakan pada balok agar balok - balok bergerak tetapi dengan keadaan m1 tetap di atas balok m2 . Hitung pula percepatannya. (b) percepatan pada balok m1 dan m2 jika gaya yang lebih besar dari gaya maksimum pada (a) dikerjakan pada m2 .
1. SOAL LATIHAN
13
JAWAB : (a) besar gaya gesek dan percepatan adalah fs 1
= µs Fn 1 (0, 2)(3 kg)(9, 81 m/s2 ) = 5, 88 N fs 1 = 1, 96 m/s2 m
= a
=
dengan meninjau gaya - gaya yang bekerja pada balok 2 Fmaks − fs 2
= m2 a
Fmaks
= fs 2 + m 2 a 5, 88 N + (5 kg)(1, 96 m/s2 ) = 15, 68 N
=
(b) Jika F > Fmaks maka fk 1 = fk 2 = (0, 1)(3 kg)(9, 81 m/s2 ) = 2, 94 N. Sehingga percepatan balok 1 adalah a1
= =
fk 1 m1 2, 94 N = 0, 98 m/s2 3 kg
Percepatan balok 2 adalah a2 =
F − fk 2 m2
Soal 4.9 Sebuah bola ping pong memiliki massa 2,3 gram dan kelajuan terminalnya 9 m/s. Gaya hambat berbentuk b v 2 . Berapa nilai b? JAWAB : X
Fy
=
0
bv − mg
=
0 mg v2 (0, 0023 kg)(9, 81 m/s2 ) ≈ 0, 0025 kg/m (9 m/s)2
2
b = =
Soal 4.10 Sebuah kursi bergeser melintasi lantai yang dipoles dengan kelajuan awal 3 m/s. Setelah bergeser sejauh 2 m kursi berhenti. Berapakah koefisien gesek kinetik antara lantai dan kursi? JAWAB : Menurut kinematika diperoleh percepatan kursi a
= =
v02 2 ∆x (3 m/s)2 − = −2, 25 m/s2 2(2 m)
−
14
4. HUKUM II NEWTON
dengan mengasumsikan hanya gaya gesek yang bekerja pada kursi maka dapat ditentukan besar koefisien gesek kinetik −fk −µk m g µk
= ma = ma a = − g −2, 25 m/s2 = − ≈ 0, 23 9, 81 m/s2
Soal 4.11 Sebuah benda berada di bawah pengaruh gravitasi dan gaya hambat Fd = −b v (a) Tunjukkan bahwa percepatan benda dapat ditulis sebagai berikut v a=g 1− , vt dengan vt = mg/b adalah kelajuan terminal. (b) Selesaikan secara numerik untuk mendapatkan sebuah grafik v terhadap t dan sebuah grafik x terhadap t untuk vt = 60 m/s JAWAB : (a) percepatan benda X Fy = m a mg − bv
=
a = =
ma bv g− m v g 1− vt
(b) kecepatan vi+1 = vi + ai ∆t posisi xi+1 = xi + vi ∆t Soal 4.12 Sebuah benda jatuh karena pengaruh gravitasi dan sebuah gaya hambat Fd = −b v (seperti pada soal 4.11) (a) Tunjukkan bahwa percepatan benda dapat ditulis dv b =g− v dt m (b) Susun kembali nilai percepatan ini menjadi a=
dv g−
b m
v
= dt
(c) Integrasikan persamaan ini untuk mendapatkan solusi eksak −g t −b t mg v= 1 − e( m ) = v t 1 − e( vt ) b (d) Gambar v terhadap t untuk v4 = 60 m/s dan bandingkan hasil ini dengan pemecahan numerik pada soal 4.11(b) JAWAB : (a) tulis menjadi dv b a= =g− v dt m
1. SOAL LATIHAN
15
(b) susun ulang menjadi dv g−
b m
v
= dt
(c) integrasikan Z
b m v b m v
d g−
Z =
−
b dt m
g− b b ln g − v = − t+c m m b b g− v = e− m t+c m saat t = 0 kecepatan v = 0 sehingga ec = g. Dengan demikian didapat b b v = g e− m t g− m b mg 1 − e− m t v = b gt
= vt 1 − e− vt
Soal 4.13 Sebuah balok 2 kg berada di atas balok 4 kg yang diam di atas meja licin. Koefisien gesek antara kedua balok µs = 0, 3 dan µk = 0, 2. Gaya sebesar F digunakan untuk menarik balok 4 kg (a) Berapa gaya maksimum F yang dapat diberikan jika balok 2 kg tidak boleh bergeser dari balok 4 kg? (b) Jika F mempunyai stengah nilai ini maka cari percepatan tiap balok dan gaya gesek yang bekerja pada tiap balok. (c) Jika F dua kali nilai yang didapat dari soal (a) maka cari percepatan tiap balok. JAWAB : (a) Besar gaya maksimum adalah Fmaks
= fs 1 + m 2 a = µs m1 g + m2 µs g = µs g(m1 + m2 ) =
(0, 3)(9, 81 m/s2 )(2 + 4) = 17, 64 N
(b) jika F = 12 Fmaks maka sistem diam satu sama lain (c) jika F = 2 Fmaks maka a1
= µk g (0, 2)(9, 81 m/s2 ) = 1, 962 m/s2 F − fk 1 = m2 2(17, 64 N) − 3, 92 N = = 7, 84 m/s2 4 kg =
a2
16
4. HUKUM II NEWTON
Soal 4.14 Sebuah tangan mendorong dua benda pada permukaan licin. Massa benda pertama 1 kg dan benda kedua yang tepat berada di depan benda kedua memiliki massa 1 kg. Tangan mengerjakan gaya 5 N pada benda 2 kg. (a) Berapakah percepatan sistem? (b) Berapakah percepatan benda 1 kg? Berapa gaya yang dikerjakan padanya? Dari mana asal gaya ini? (c) Tunjukkan semua gaya yang bekerja pada benda 2 kg. Berapakah gaya neto yang bekerja pada benda ini? JAWAB : (a) percepatan sistem a=
F 5 = m/s2 m1 + m2 3
(b) percepatan benda 1 kg juga 5/3 m/s2 . Gaya yang bekerja adalah F = (1 kg)(
5 5 m/s2 ) = N 3 3
(c) gaya neto sebesar 5 N Soal 4.15 Dua benda dihubungkan oleh tali tak bermassa yang bertumpu pada suatu katrol, benda pertama berada pada permukaan bidang miring yang memiliki sudut θ sementara benda kedua tergantung bebas. Anggap permukaan bidang miring dan katrol licin. Cari percepatan benda pertama dan kedua serta tegangan tali untuk (a) θ = 30o dan m1 = m2 = 5 kg serta (b) untuk nilai - nilai umum θ, m1 dan m2 JAWAB :
X
F
=
(m1 + m2 ) a
m2 g + m1 g sin(θ)
=
(m1 + m2 ) a g (m2 + m1 sin(θ)) m1 + m2 7, 5 m/s2
a = ≈
Soal 4.16 Sebuah kotak 3 kg diam di atas meja horizontal. Kotak itu diikatkan pada kotak 2 kg lewat tali ringan yang bertumpu pada suatu katrol yang licin. (a) Berapa koefisien gesek statis minimum supaya benda tetap diam ? (b) Jika koefisien gesek statis lebih kecil dari yang ditemukan di soal (a) dan koefisien gesek kinetik antara kotak dan meja adalah 0,3 maka cari waktu agar massa 2 kg jatuh 2 m ke tanah jika sistem mulai dari keadaan diam. JAWAB : (a) Pada benda 3 kg berlaku fs − T = 0 dengan T = (2 kg) g dan fs = µs (3 kg) g maka µs = 32
1. SOAL LATIHAN
17
(b) mencari percepatan terlebih dahulu X F = (m1 + m2 ) a m2 g − µk m1 g
=
(m1 + m2 ) a g(m2 − µk m1 ) a = m1 + m2 (9, 81 m/s2 )[2 − 0, 3(3)] = = 2, 09 m/s2 3+2 dari kinematika dapat kita tentukan lama jatuhnya benda 1 2 x = at 2 r 2x t = a s 2(2) ≈ 1, 4 s = 2, 09 Soal 4.17 Mesin Atwood berupa benda satu yang dikaitkan dengan tali pada benda kedua melewati suatu katrol yang terpasang diam di langit - langit. Mesin ini digunakan untuk mengukur percepatan gravitasi g dengan mengukur percepatan benda - benda. Dengan asumsi tali tak bermassa dan katrol licin tunjukkan bahwa besarnya percepatan masing - masing benda adalah m1 − m2 a= m1 + m2 sementara tegangan tali adalah 2 m1 m2 g T = m1 + m2 JAWAB : (a) percepatan sistem X Fy = (m1 + m2 ) a w1 − w2
=
(m1 − m2 ) g
=
a
(m1 + m2 ) a
(m1 + m2 ) a m1 − m2 = g m1 + m2
(b) tegangan tali T2 − w2 T2
terbukti
= m2 a = w2 + m2 a m2 (m1 − m2 ) g = m2 g + m1 + m2 m2 (m1 + m2 ) g + m2 (m1 − m2 ) g = m1 + m2 2 m1 m2 g = m1 + m2
18
4. HUKUM II NEWTON
Soal 4.18 Seperti pada contoh soal D.6 periode T dan jari - jari r dari suatu planet. Misal jari - jari orbitnya adalah r = 1, 5 × 10111 m. Hitung periodenya orbitnya Soal 4.19 Seperti pada contoh soal D.5 hitung berat astronot yang bermassa 100 kg ketika dia berada di permukaan planet merkurius, venus, mars, jupiter, saturnus, uranus dan neptunus. Soal 4.20 Gunakan hukum Keppler ketiga untuk menentukan jari - jari planet A yang mengelilingi matahari 27 kali lebih lama dibanding waktu yang dibutuhkan oleh bumi dan tentukan pula waktu revolusi planet B yang memiliki jari - jari 10 kali lebih besar dari jari - jari bumi.
BAB 5
Kerja dan Energi 1. Soal Latihan Soal 5.1 Seorang anak menarik balok yang massanya 50 kg sejauh 100 meter sepanjang permukaan horizontal dengan kelajuan konstan. Berapakah kerja yang ia lakukan terhadap balok jika koefisien gesek kinetik 0,2 dan ia menarik balok dengan sudut θ = 45o terhadap sumbu-x positif? JAWAB : Analisis gaya - gaya vertikal yang bekerja pada balok X Fy = 0 F sin(45o ) + N − W
=
0
N
=
W − F sin(45o )
Analisis gaya - gaya horizontal yang bekerja pada balok X Fx = 0 F cos(45o ) − µk N F cos(45 ) − µk W − F sin(45o ) F cos(45o ) + µk sin(45o )
=
0
=
0
=
µk W
F
=
o
=
µk W cos(45o ) + µk sin(45o ) 0, 2 (50 kg)(9, 81 m/s2 ) √ √ ≈ 118 N 1 1 2 2 + 0, 2 2 2
Maka kerja yang dilakukan oleh gaya tersebut terhadap balok sebesar W
= =
F cos(45) s 1√ (118 N) 2 (100 m) = 8342, 6 J 2
Soal 5.2 Sebuah benda dijatuhkan dari ketinggian 5 meter dari permukaan bumi. Jika gaya gravitasi konstan untuk pergeseran kecil di atas permukaan bumi maka hitung besar energi kinetik dan kelajuan benda saat menumbuk tanah. JAWAB : Analisis energi yang ada Ep 0 = m g h dan Ek 0 = 0 Sementara itu Ep0 = 0 dan Ek0 = 12 m v 2 19
20
5. KERJA DAN ENERGI
dari hukum kekekalan energi didapat 1 m v2 = m g h 2
Ek0 =
√ sehingga v = 2 g h Soal 5.3 Sebuah balok seberat 35,6 N meluncur sepanjang meja horizontal tanpa geseran dengan kelajuan 1,22 m/s. Balok ini dibuat berhenti oleh sebuah pegas yang menghadangnya. Berapakah pegas memendek jika konstanta pegas sebesar 1,35 N/m? JAWAB : Energi kinetik yang berlaku di kasus ini adalah Ek =
1 1 w 2 m v2 = v 2 2 g
Energi potensial pegas adalah Epegas =
1 k x2 2
Menurut hukum kekekalan energi didapat hubungan 1 w 2 1 k x2 = v 2 2 g sehingga diperoleh jarak pegas memendek r w x = v gk s 35, 6 N ≈2m = (1, 22 m/s) (9, 81 m/s2 )(1, 35 N/m) Soal 5.4 Sebuah kotak bermassa 4 kg dinaikkan dari keadaan diam sejauh 3 m oleh gaya luar ke atas sebesar 60 N. Cari (a) kerja yang dilakukan oleh gaya luar tersebut, (b) kerja yang dilakukan oleh gravitasi dan (c) kelajuan akhir kotak. JAWAB : (a) kerja yang dilakukan oleh gaya luar W
= F ∆y =
(6 N)(3 m) = 180 J
(b) kerja yang dilakukan oleh gravitasi W
maka Wtotal = 62 J
=
−m g ∆y
=
−(4 kg)(9, 81 m/s2 )(3 m) = −118 J
1. SOAL LATIHAN
21
(c) kelajuan akhir kotak v
r
2 Wtotal m
s
2 (62 J) = 5, 57 m/s 4 kg
= =
Soal 5.5 Jika massa kereta luncur adalah 5 kg dan anak laki - laki mengerjakan gaya sebesar 12 N yang membentuk sudut 30o dari sumbu-x positif maka hitung kerja yang dilakukan oleh anak tersebut dan kelajuan akhir kereta setelah bergerak 3 m dengan asumsi bahwa kereta mulai dari keadaan diam dan tanpa gesekan. JAWAB : Kerja yang dilakukan oleh anak adalah W
= F cos(30o ) s 1√ = 12 N 3 (3 m) = 31, 2 J 2
Kelajuan akhir kereta setelah bergerak 3 m adalah r 2K v = m s 2 (31, 2 J) = = 3, 53 m/s 5 kg Soal 5.6 Diketahui suatu gaya yang bekerja pada balok memilki besar yang konstan yaitu 5 N saat balok dari posisi nol hingga posisi 4 meter. Akan tetapi besarnya terus menurun hingga bernilai 0 N pada posisi 6 meter. Cari kerja yang dilakukan oleh gaya pada sebuah partikel jika partikel bergerak dari x = 0 ke x = 6 m. JAWAB : Gambar 1 menunjukkan grafik gaya terhadap posisi balok. Dari grafik ini dapat diketahui bahwa besar energi merupakan luasan yang dibentuk oleh bangun
Gambar 1. Ilustrasi grafik gaya terhadap posisi balok pada soal 5.6.
22
5. KERJA DAN ENERGI
trapesium tersebut yaitu 1 (4 + 6) 5 = 25 J 2
W =
Soal 5.7 Sebuah partikel diberi perpindahan ∆s = 2 m ˆi − 5 m ˆj sepanjang garis lurus. Selama perpindahan itu sebuah gaya konstan F = 3 N ˆi + 4 N ˆj bekerja pada paartikel. Cari kerja yang dilakukan oleh gaya dan komponen gaya dalam arah perpindahan. JAWAB : Kerja yang dilakukan oleh gaya adalah W
= F · ∆s = (3ˆi + 4ˆj) · (2ˆi − 5ˆj) = −14 J
Besar nilai posisi adalah ∆s =
p
22 + (−5)2 =
√
29 m
Sehingga komponen gaya dalam arah perpindahan adalah W |F~ | = ∆s −14 J = √ = −2, 6 N 29 m Soal 5.8 ~ = 3 m ˆi + 2 m ˆj dan B ~ = 4 m ˆi − 3 m ˆj. Cari sudut antara vektor A JAWAB : ~ dan vektor B ~ adalah cosinus sudut antara vektor A ~·B ~ A cos(φ) = ~ |B| ~ |A| = =
(3ˆi + 2ˆj) · (4ˆi − 3ˆj) p √ | 32 + 22 | | 42 + (−3)2 | 6 √ = 0, 333 13 (5)
maka φ = 70o Soal 5.9 Seorang pemain ski dengan massa 80 kg meluncur menuruni sebuah bukit licin yang mempunyai sudut kemiringan θ. Pemain ski mulai dari keadaan diam pada ketinggian 250 meter. Jika pemain ski dianggap seperti partikel maka cari kerja yang dilakukan pada pemain ski itu oleh semua gaya dan cari kelajuan pemain ski di kaki bukit. JAWAB : Kerja yang dilakukan oleh gravitasi adalah ∆W W
= m g sin(θ) ∆s X = ∆W = m g sin(θ) s = m g h = ···
Besar energi kinetik adalah : E =
1 2
m v2
1. SOAL LATIHAN
23
dari kekekalan energi diperoleh hubungan E = m g h = 12 m v 2 √ sehingga v = 2 g h = · · · Soal 5.10 Sebuah botol bermassa 0,35 kg jatuh dari keadaan diam dari sebuah yang berada 1,75 m di atas lantai. Cari energi potensial awal sistem botol-bumi relatif terhadap lantai dan energi kinetiknya tepat sebelum mengenai lantai. JAWAB : Energi potensial awal sebesar Ep
=
mgh
=
(0, 35 kg)(9, 81 m/s2 )(1, 75 m) = 6, 01 J
Karena energi kekal maka besar energi kinetik akhir sama dengan besar energi potensial awal Soal 5.11 Sebuah bandul yang trdiri dari beban bermassa m = 10 kg diikatkan pada sebuah tali yang panjangnya 1 m. Massa ini ditarik ke samping sehingga membuat sudut θ0 = 10o dengan sumbu vertikal dan dilepas dari keadaan diam. Cari kelajuan v di dasar ayunan dan tegangan dalam tali pada saat itu. JAWAB : Soal 5.12 Sebuah balok 2 kg didorong pada sebuah pegas yang mempunyai konstanta pegas 500 N/m, sehingga tertekan 20 cm. Kemudian balok dilepas dan pegas melemparnya sepanjang permukaan datas yang licin dan kemudian naik ke suatu bidang miring yang juga licin dan memiliki sudut 45o . Sejauh mana balok itu dapat menaiki bidang miring? JAWAB : Pertama hitung energi potensial pegas yang terjadi 1 Epegas = k x2 2 1 = (500 N/m)(0, 2 m)2 = 10 J 2 dari hukum kekekalan energi besar energi potensial pegas ini digunakan untuk menaikkan balok setinggi h Epegas
= mgh Epegas h = mg 10 J ≈ 0, 51 m (2 kg)(9, 81 m/s2 )
= karena h = s sin(45o ) maka s = =
h sin(45o ) 0, 51 m √ ≈ 0, 721 m 1 2 2
Soal 5.13 Sebuah pegas dengan konstanta gaya k = 10 N/m digantungkan secara vertikal. Sebuah balok dengan massa 10 g diikatkan pada pegas yang tak diregangkan
24
5. KERJA DAN ENERGI
dan dibiarkan jatuh dari keadaan diam. Cari jarak maksimum jatuhnya balok itu sebelum balok mulai bergerak naik. JAWAB : Energi awal diketahui sama dengan nol Energi potensial akhir adalah 1 Ep0 = −m g h + k y 2 2 pada jarak maksimum v = 0 sehingga energi kinetik akhir juga bernilai nol. Dengan demikian berlaku 1 2 −m g h + k ym = 0 2 2mg ym = k Soal 5.14 Pada mesin Atwood dua balok bermassa m1 = 10 kg dan m2 = 5 kg mula - mula diam siikatkan pada tali ringan yang lewat sebelah atas suatu katrol yang licin. cari kelajuan kedua balok jika balok yang lebih berat jatuh sejauh 1 m. JAWAB : Soal 5.15 Sebuah kereta luncur bermassa 5 kg bergerak dengan kelajuan awal 0,4 m/s. Jika koefisien gesek antara kereta luncur dan salju adalah 0,14 maka hitung jarak yang ditempuh kereta sebelum berhenti. JAWAB : Energi kinetik awal adalah 1 Ek 0 = m v2 2 1 = (5 kg)(0, 4 m/s)2 = 0, 4 J 2 Besar gaya gesek adalah f
=
−µk m g
=
−(0, 14)(5 kg)(9, 81 m/s2 ) = −6, 86 N
Karena kerja yang dikerjakan oleh gaya gesek sebesar - 0,4 J maka jarak yang ditempuh adalah W ∆ = f −0, 4 J = = 0, 0583 m −6, 86 N Soal 5.16 Sebuah gaya 25 N dikerjakan pada kotak 4 kg yang semula diam di meja horizontal yang kasar. Koefisien gesek kinetik antara kotak dan meja adalah 0,35. Cari kelajuan kotak setelah didorong sejauh 3 m. JAWAB : Energi yang dikerjakan oleh gaya W
= F ∆x =
(25 N)(3 m) = 75 J
1. SOAL LATIHAN
25
Kerja yang dilakukan oleh gaya gesek adalah W
=
f ∆x
=
−µk m g ∆x
=
−(0, 35)(4 kg)(9, 81 m/s2 )(3 m) = −41, 1 J
maka Wtotal = 33, 9 J. Jika kerja total ini sama dengan enrgi kinetik maka r 2E v = m s 2 (33, 9 J) = = 4, 12 m/s (4 kg) Soal 5.17 Seorang anak bermassa 40 kg meluncur menuruni papan luncur kasar yang miring dengan sudut 30o . Koefisien gesek kinetik antara anak dan papan luncur adalah µk = 0, 2. Jika anak mulai dari keadaan diam di puncak tempat peluncur, pada ketinggian 4 m dari dasar maka hitung besar kelajuan saat ia mencapai dasar. JAWAB : v = 7,16 m/s Soal 5.18 Sebuah balok 4 kg bergantung pada sebuah tali ringan yang lewat di atas katrol yang licin dan dihubungkan dengan balok 6 kg yang diam di atas meja yang kasar. Koefisien gesek kinetik adalah 0,2. Balok 6 kg didorong menekan sebuah pegas yang mempunyai konstanta pegas 180 N/m sehingga tertekan sejauh 30 cm, kemudian dilepas. Cari kelajuan balok ketika balok yang bermassa 4 kg telah jatuh sejauh 40 cm. JAWAB : v = 1,95 m/s Soal 5.19 Sebuah kotak 5 kg dinaikkan dari keadaan diam sejauh 4 m oleh gaya vertikal 80 N. Cari (a) usaha yang dilakukan oleh gaya itu = 320 J (b) usaha yang dilakukan oleh gravitasi = - 196,2 J (c) energi kinetik akhir kotak = 123,8 J Soal 5.20 Uraikan dengan singkat beberapa macam energi yang Anda ketahui.
Bibliografi [1] P. A. Tipler, 1991, Fisika untuk Sains dan Teknik Edisi Ketiga Jilid 1, Penerbit Erlangga, Jakarta. [2] F. W. Sears, M. W. Zemansky, 1982, Fisika untuk Universitas 1: Mekanika, Panas, Bunyi, Penerbit Binacipta, Bandung. [3] G. Woan, 2000, The Cambridge Handbook of Physics Formulas, Cambridge University Press, Cambridge. [4] R. Feynman, 1964, The Feynman Lectures on Physics Volume 1, Addison-Wesley Publishing Company, London. [5] Tim Dosen ITS, 2006, Fisika I: Kinematika, Dinamika, Getaran, Panas, FMIPA, ITS
27
