Sommaire

0 downloads 0 Views 2MB Size Report
Dec 15, 2010 - An important class of reduced models is formed b\ the five-equation ...... In fact, the Wallis formula is alread\ verified b\ the experiments and.

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 6 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 

6RPPDLUH     %LEOLRJUDSK\.................................................................................................................................................................................9 

,QWURGXFWLRQ.................................................................................................................................................................11



6WLIIHQHGJDVHTXDWLRQRIVWDWH (26 ..............................................................................................................11



0RGHOVIRUFRPSUHVVLEOHWZRSKDVHIORZV.........................................................................................................12



6HYHQHTXDWLRQPRGHO ...............................................................................................................................................12



5HGXFHG0RGHO............................................................................................................................................................13



7KHSUHVVXUHPRGHO0L[WXUH6*(26 ...............................................................................................................13



4XDVL&RQVHUYDWLYH7UDQVSRUW0RGHO..............................................................................................................16



4XDVL&RQVHUYDWLYH7UDQVSRUW0RGHO..............................................................................................................16

 $V\PSWRWLFDQDO\VLV...................................................................................................................................................17  ([WHQVLRQWRPXOWLSKDVHIORZFDVH .......................................................................................................................21 

0RGLILHG0RGHOV .........................................................................................................................................................23

 6*03B0RGHO............................................................................................................................................................23  6*03B0RGHO............................................................................................................................................................23 

1XPHULFDO6FKHPH .....................................................................................................................................................24



9DOLGDWLRQ7HVWV .........................................................................................................................................................26



7HVW$VLPSOHWHVWZLWKDUDUHIDFWLRQZDYHDFRQWDFWGLVFRQWLQXLW\DQGDVKRFN .......................27



7HVW7UDQVSRUWRIWZRGLIIHUHQWJDVHVRQPHFKDQLFDOHTXLOLEULXP......................................................29



7HVW$VKRFNWXEHFRPSRVHGE\WZRGLIIHUHQWJDVHVZLWKDQLQLWLDOYHORFLW\.................................31



7HVW*DVZDWHUVKRFNWXEHSUREOHP .............................................................................................................33



7HVW $VKRFNLQDWZRJDVHVVKRFNWXEH ....................................................................................................35



7HVW6KRFNWXEHZLWKDVWURQJGHQVLW\JUDGLHQWEHWZHHQIOXLGJDV ..................................................37



7HVW:DWHUJDVVKRFNWXEHSUREOHP.............................................................................................................39



7HVW6RXQGVSHHGGXULQJQXPHULFDODGYHFWLRQRIDZDWHUDLULQWHUIDFH ..........................................41



7HVW:DYHSURSDJDWLRQLQDZDWHUJDVPL[WXUH ........................................................................................42

 7HVW:DWHUJDV5LFKWP\HU0HVKNRY,QVWDELOLW\....................................................................................45 

&RQFOXVLRQ......................................................................................................................................................................49

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 7 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 

$SSHQGL[ .......................................................................................................................................................................50 $33(1',; $33(1',;

D E F

62/9(5686(')257+(&219(&7,9()/8; ................................................................................................50 6281'63((' ...............................................................................................................................................53 6RXQGVSHHGIRUWKHSXUH´VWLIIHQHGJDVµ .......................................................................................................53 6RXQGVSHHGIRU0RGHO ......................................................................................................................................54 6RXQGVSHHGIRU0RGHO ......................................................................................................................................56

 

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 8 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

 /LVWHGHV)LJXUHV   )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV.................................................................28 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ...................................................................28 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ................................................................30 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV...................................................................30 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .................................................................32 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ...................................................................32 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ...........................................................34 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .............................................................34 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .................................................................36 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .................................................................36 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ................................................................38 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .................................................................38 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV .........................................................40 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV ...........................................................40 )LJXUH&RPSDULVRQRIHTXLOLEULXP UHG DQGIUR]HQ JUHHQ VSHHGRIVRXQGGXULQJQXPHULFDODGYHFWLRQRID ZDWHUDLULQWHUIDFH .................................................................................................................................................................41 )LJXUH6RXQGVSHHGRIDQDLUZDWHUPL[WXUHXQGHUDWPRVSKHULFFRQGLWLRQVIRUWKHHTXLOLEULXPDQGIUR]HQ VSHHGRIVRXQG .........................................................................................................................................................................42 )LJXUH3URSDJDWLRQRIDVPDOOSUHVVXUHSHUWXUEDWLRQLQWKHDLUZDWHUPL[WXUHLQWHUPVRIWKHDLUYROXPH IUDFWLRQIRUWKH6*030RGHO ...........................................................................................................................................43 )LJXUH3URSDJDWLRQRIDVPDOOSUHVVXUHSHUWXUEDWLRQLQWKHDLUZDWHUPL[WXUHLQWHUPVRIWKHDLUYROXPH IUDFWLRQIRUWKH6*030RGHO...........................................................................................................................................44 )LJXUH,QLWLDO&RQILJXUDWLRQRIWKHZDWHUJDV5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\ .................................................45 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV ............................................................46 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV ............................................................46 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV............................................................47 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV .............................................................47 )LJXUH/LTXLGYROXPHIUDFWLRQDWW PV (XURSOH[XV DQGPV 6DXUHOHWDO .............................48 

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 9 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

%LEOLRJUDSK\  $EJUDOO 5   ¶+RZ WR SUHYHQW SUHVVXUH RVFLOODWLRQV LQ PXOWLFRPSRQHQW IORZ FDOFDXOWLRQV $ TXDVLFRQVHUYDWLYHDSSURDFK·-&RPS3K\VLFV  $EJUDOO 5  6DXUHO 5   ¶'LVFUHWH HTXDWLRQV IRU SK\VLFDO DQG QXPHULFDO FRPSUHVVLEOH PXOWLSKDVHPL[XWUHV·-&RPS3K\VLFV  $OODLUH * &OHUF 6  .RNK 6   ¶$ ILYHHTXDWLRQ PRGHO IRU WKH VLPXODWLRQ RI LQWHUIDFWV EHWZHHQFRPSUHVVLEOHIOXLGV·-&RPS3K\VLFV  %DHU 0 5  1XQ]LDWR - :   ¶$ WZRSKDVH PL[WXUH WKHRU\ IRU WKH GHIODJUDWLRQWR GHWRQDWLRQWUDQVLWLRQ ''7 LQUHDFWLYHJUDQXODUPDWHULDOV· ,QW-0XOWLSKDVH)ORZ9RO1R SS  %DUEHURQ 7 +HOOX\3  5RX\ 6   ¶ 3UDFWLFDO FRPSXWDWLRQ RI D[LV\PPHWULFDO PXOWLIOXLG IORZV·,QWHUQDWLRQDOMRXUQDORIILQLWHYROXPHV  %UHQQHQ & (   ¶)XQGDPHQWDOV RI 0XOWLSKDVH )ORZ· &DPEULGJH8QLYHUVLW\3UHVV,6%1   )ODWWHQ70RULQ$ 0XQNHMRUG67  ·:DYHSURSDJDWLRQLQPXOWLFRPSRQHQWIORZPRGHOV· 6,$0-RXUQDORQ$SSOLHG0DWKHPDWLFV$FFHSWHG  *DORQ 3   ¶0pWKRGH GH 9ROXPH )LQLV HQ $/( GDQV (8523/(;861RXYHOOHV 6WUXFWXUHV ,QIRUPDWLTXHV$VVRFLpHV&DVWHVWV·5DSSRUW&($'066(07'k ρ1c12 ¨ ¸ ¨ ¸  ¨ ¸ ¨ ¸ ρc2 α N ¦ k , j > k ( hkj (θ j − θ k )(T j − Tk ) ) ¸ ¨ θ N ¦ j ≠ N hNj (T j − TN ) + 2 ρ N cN © ¹ ZKHUH hij = ε H ij  H ij LV WKH KHDW WUDQVIHU FRHIILFLHQW FRQVLGHUHG DV D UHOD[DWLRQ FRHIILFLHQW DQG θi = 1 −

Γi p 1 § ∂ei · = ¨ ¸  ρi ci2 Ti © ∂si ¹ p

)RU UHDVRQV RI FODULW\ ZH FDQ UHZULWH WKH HYROXWLRQ HTXDWLRQ IRU WKH YROXPH IUDFWLRQ RI WKH FRPSRQHQWLDOVRFDOOHG´7RSRORJ\7UDQVSRUW(TXDWLRQµDV

& ∂α i & ∂α i ρi ci2 − ρ c 2 ∂u +u + αi ∂t ∂x ∂x ρi ci2

Γ = i2 ρi ci

§ · Γj Γk ρ c2 H ( T − T ) − h ( − )( T − T ) α ¨ ¦ j ≠i ij j i i ρ c 2 ¦ k , j >k ¨ kj ρ c 2 ρ c 2 j k ¸¸ i i k k j j © ¹

 

 

ZKHUH c LVWKHPL[WXUHVSHHGRIVRXQG +HUHLI1 HTXDWLRQ  OHDGVEDFNWRHTXDWLRQ  LQWKHWZRSKDVHIORZFDVH7KHQZHFDQ HDVLO\ H[WHQG LW WR WKH ' FDVH &RQVLGHULQJ WKDW WKHUH LV QR KHDW WUDQVIHU EHWZHHQ WKH WZR SKDVHVWKHVRFDOOHG´7RSRORJ\7UDQVSRUW(TXDWLRQµOHDGVWR Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 23 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 ∂α i & ρ c 2 − ρi ci2 & div ( u )  + u ∇α i = α i 2 ∂t ρi ci

 

  0RGLILHG0RGHOV   6*03B0RGHO  %HVLGHV WKH PDVV FRQVHUYDWLRQ RI HDFK SKDVH WKH PRPHQWXP DQG WKH HQHUJ\ FRQVHUYDWLRQ HTXDWLRQV DQG WKH WRSRORJ\ WUDQVSRUW HTXDWLRQ DV LQ 4XDVL&RQVHUYDWLYH 7UDQVSRUW 0RGHO  ZH DGGHGWKHPDVVFRQVHUYDWLRQHTXDWLRQIRUWKHPL[WXUHIORZ+HUHZHUHVXPHWKHQHZPXOWLSKDVH IORZPRGHODV

∂ρ &   + div ( ρ u ) = 0  ∂t & & ∂ρ u & &   + div ( ρ u ⊗ u ) + ∇p = 0  ∂t ∂ρ E &   + div ( ( ρ E + p ) u ) = 0  ∂t ∂α i ρi &   + div (α i ρi u ) = 0  ∂t ∂α i &   + u ∇α i = 0  ∂t & ZKHUH ρ = ¦ α i ρi LV WKH DYHUDJH GHQVLW\ RI WKH IORZ  6LPLODUO\ u  p  DQG E DUH WKH YHORFLW\ i

SUHVVXUHWRWDOVSHFLILFHQHUJ\RIWKHPL[WXUHIORZ7KHPL[WXUHVRXQGVSHHGLVVWLOOFDOFXODWHGDV WKH´)UR]HQ6RXQG6SHHGµ$OOWKHVHHTXDWLRQV    DUHVROYHGE\WKH+//&VROYHUGHWDLOHGLQ $SSHQGL[,WFRUUHVSRQGVWRWKHPRGHOLQ$OODLUH DOO    7KLVPXOWLSKDVHPRGHOLVLPSODQWHGDV0RGHORIWKH0DWHULDO1ƒ6*03LQ(8523/(;86   6*03B0RGHO  $V LQ WKH SUHYLRXV PRGHO ZH DGGHG WKH PDVV FRQVHUYDWLRQ HTXDWLRQ IRU WKH PL[WXUH IORZ EHVLGH WKH PDVV FRQVHUYDWLRQ HTXDWLRQ RI HDFK SKDVH WKH PRPHQWXP DQG HQHUJ\ FRQVHUYDWLRQ HTXDWLRQV IRUWKHPL[WXUHDQGWKHWRSRORJ\WUDQVSRUWHTXDWLRQDVLQ4XDVL&RQVHUYDWLYH7UDQVSRUW0RGHO )RUWKHPXOWLSKDVHIORZFDVHWKHPRGHOUHDGV

∂ρ & + div ( ρ u ) = 0  ∂t & & ∂ρ u & & + div ( ρ u ⊗ u ) + ∇p = 0  ∂t ∂ρ E & + div ( ( ρ E + p ) u ) = 0  ∂t

     

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 24 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 ∂α i ρi & + div (α i ρi u ) = 0  ∂t ∂α i & ρ c 2 − ρi ci2 & div ( u )  + u ⋅ ∇α i = α i 2 ∂t ρi ci ZKHUH ρ =

¦α ρ i

i

   

&

LV WKH DYHUDJH GHQVLW\ RI WKH IORZ  6LPLODUO\ u  p  DQG E DUH WKH YHORFLW\

i

SUHVVXUH WRWDO VSHFLILF HQHUJ\ RI WKH PL[WXUH IORZ 7KH PL[WXUH VRXQG VSHHG LV VWLOO GHGXFHG DV   DQG   ZKLFK LV FDOOHG ´HTXLOLEULXP VRXQG VSHHGµ LQ 6DXUHO 3HWLWSDV  $EJUDOO   $OO WKHVHHTXDWLRQV    DUHVROYHGE\WKH+//&VROYHUGHWDLOHGLQ$SSHQGL[  7KLVPXOWLSKDVHPRGHOLVLPSODQWHGDV0RGHORIWKH0DWHULDO1ƒ6*03LQ(8523/(;86   1XPHULFDO6FKHPH  ,QRUGHUWRLPSODQWRXUPRGHOVLQ(8523/(;86ZHVOLJKWO\DGDSWHGWKHPLQWRWKHFODVVLFIRUP

∂U + div ( F (U ) ) = Q (U )  ∂t & ρu § ρ · § · ¨ ρ u* ¸ ¨ ρ u& ⊗ u& ¸ ¨ ¸ ¨ &¸ ZKHUH U = ¨ ρ E ¸  F (U ) = ¨ ( ρ E + p ) u ¸ DQG Q (u ) LVWKHQRQFRQVHUYDWLYHWHUP ¨ ¸ ¨ & ¸ ¨ ρiα i ¸ ¨ ρiα i u ¸ & ¨ α ¸ ¨ ¸ αiu © i ¹ © ¹

 



0 § · & ¨ ¸ 0 ¨ ¸ ¨ ¸  ,QWKH6*03BPRGHO Q (u ) = 0 ¨ ¸ 0 ¨ ¸ ¨ α ( ∇ ⋅ u& ) ¸ © i ¹ 0 § · & ¨ ¸ 0 ¨ ¸ ¨ ¸ 0 ¸ ZKLOHLQWKH6*03B0RGHO Q (u ) = ¨ 0 ¨ ¸ ¨ ¸ 2 2 ¨ α §¨1 + ρ c − ρi ci ·¸ ( ∇ ⋅ u& ) ¸ ¨ i ¸ ρi ci2 ¹ © © ¹  :HILUVWVROYHWKHKRPRJHQRXVHTXDWLRQXVLQJ+//&VROYHUGHVFULEHGLQ$SSHQGL[7KHQWKHQRQ FRQVHUYDWLYH´WRSRORJ\WUDQVSRUWHTXDWLRQµLVVROYHGZLWKDVSHFLILFPHWKRG%\IROORZLQJ*KDQJLU

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 25 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 1RZDNRZVNL 1LFROOHDX  0LFKHOLWVFK   IRU WKH TXDVLFRQVHUYDWLYH WUDQVSRUW PRGHO  WKH QRQFRQVHUYDWLYHWUDQVSRUWHTXDWLRQ

∂α i & + u ∇α i = 0   FDQEHUHZULWWHQDV ∂t

∂α i & & + ∇ ⋅ (α i u ) − α i ( ∇ ⋅ u ) = 0  ∂t :HLQWHJUDWHLWRYHUDFRQVLGHUHGFRQWUROYROXPH9

∂α i & & + ∇ ⋅ (α i u ) − α i ( ∇ ⋅ u ) = 0  V ∂t

³³³

 

 $WDJLYHQVWHS α i LVVXSSRVHGWREHFRQVWDQW%\XVLQJWKH2VWURJUDGVN\WKHRUHPZHKDYH

V

∂α i & & & & + ³³ α iu ⋅ ndS − α i ³³ ( u ⋅ n ) dS = 0  ∂V ∂V ∂t

&RQVHUYDWLYH 7HUP WUHDWHG LQWKH+//&VROYHU

 

1RQFRQVHUYDWLYH 7HUP WUHDWHGDVDVRXUFHWHUP



 )LQDOO\WKH´7RSRORJ\7UDQVSRUW(TXDWLRQµLVGLVFUHWL]HGLQWKHIROORZLQJZD\ N

∆t n α i − α i* ) ⋅ v j * S j  ( j =1 V

α in+1 = α in − ¦

 

 ZKHUH α in +1 LVWKHYROXPHIUDFWLRQDWWKHWLPHVWHSQ

α in LVWKHYROXPHIUDFWLRQDWWKHWLPHVWHSQ 9LVWKHFRQWUROYROXPH MLVWKHIDFHQXPEHURIWKHFRQWUROYROXPH S j LVWKHVXUIDFHDUHDRIWKHMIDFH

∆t LVWKHWLPHVWHSVL]H

α i* LVWKHYROXPHIUDFWLRQRIWKHDSSUR[LPDWHGVROXWLRQIRUWKH5LHPDQQ3UREOHPDWWKHLQWHUIDFH v*j LV WKH QRUPDO YHORFLW\ RI WKH VROXWLRQ DW WKH VXUIDFH IRU WKH 5LHPDQQ 3UREOHP ZKLFK LV FDOFXODWHGDVLQ-RKQVHQ &RORQLXV  

∗ n

(v )

­ uL ° ° u + S § S L − u L − 1· ¸ L¨ °° L © SL − SM ¹ =® ° u + S § S R − uR − 1· ¸ R¨ ° R © SR − SM ¹ ° °¯u R

if

SL > 0

if

SL ≤ 0 < SM

  

if

SM ≤ 0 < S R

if

SR < 0

  

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 26 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 'HWDLOVDERXW S L  S M  S R DQGRWKHUSDUDPHWHUVFDQEHIRXQGLQ$SSHQGL[+//&VROYHU 6LVWKHVXUIDFHDUHDRIWKHLQWHUIDFH  6LPLODUO\ IRU WKH TXDVLFRQVHUYDWLYH WUDQVSRUW PRGHO  LI ZH DVVXPH WKDW WKH IORZ LV RQ WHPSHUDWXUHHTXLOLEULXPVRQRKHDWWUDQVIHURFFXUV7KHQRQFRQVHUYDWLYHWUDQVSRUWHTXDWLRQ   UHDGV

∂α i & ρ c 2 − ρi ci2 & div ( u ) ZHLQWHJUDWHLWRYHUDFRQVLGHUHGFRQWUROYROXPH9 + u ⋅ ∇α i = α i 2 ∂t ρi ci

§ ρ c 2 − ρi ci2 · ∂α i & & + ∇ − u α α ( ) ¸ (∇ ⋅ u ) = 0  i i ¨1 + 2 ³³³V ∂t ρi ci © ¹

 

$WDJLYHQVWHS α i LVVXSSRVHGWREHFRQVWDQW%\XVLQJWKH2VWURJUDGVN\WKHRUHPZHKDYH

V

§ & & ρ c 2 − ρi ci2 · & & ∂α i u ⋅ n ) dS = 0  + ³³ α i u ⋅ ndS − ¨ α i + α i ( ¸ 2 ³³ ∂V ρi ci ∂t © ¹ ∂V

&RQVHUYDWLYH 7HUP WUHDWHG LQWKH+//&VROYHU

  

1RQFRQVHUYDWLYH 7HUP WUHDWHGDVDVRXUFHWHUP



:HFDQGLVFUHWL]HLWDV

α

n +1 i

n º ∆t ª n § ρ c 2 − ρi ci2 · * » α = α − ¦ «α i ¨1 + − ⋅ v j*S j  ¸ i 2 ρi ci »¼ j =1 V « ¹ ¬ © N

n i

 

ZKHUH α in +1 LVWKHYROXPHIUDFWLRQDWWKHWLPHVWHSQ

α in LVWKHYROXPHIUDFWLRQDWWKHWLPHVWHSQ 9LVWKHFRQWUROYROXPH S j LVWKHVXUIDFH MLVWKHIDFHQXPEHURIWKHFRQWUROYROXPH ∆t LVWKHWLPHVWHSVL]H α i* LVWKHYROXPHIUDFWLRQRIWKHDSSUR[LPDWHGVROXWLRQIRUWKH5LHPDQQ3UREOHPDWWKHLQWHUIDFH

v*j LV WKH QRUPDO YHORFLW\ RI WKH VROXWLRQ DW WKH VXUIDFH IRU WKH 5LHPDQQ 3UREOHP ZKLFK LV FDOFXODWHGDV   S j LVWKHVXUIDFHDUHDRIWKHMIDFH 

 9DOLGDWLRQ7HVWV  ,Q WKLV FKDSWHU GLIIHUHQW WHVWV XVLQJ WKH ILYHHTXDWLRQV DQG WKH +//& VROYHU SUHVHQWHG LQ WKH SUHYLRXV FKDSWHU DUH FDUULHG RXW :H DUH LQWHUHVWHG KHUH LQ WHVWFDVHV DERXW WZRIOXLG FRPSUHVVLEOH IORZV $Q DQDO\WLFDO VROXWLRQ LV RIIHUHG E\ WKH H[DFW VROYHU RI WKH 5LHPDQQ 3UREOHP Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 27 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 ,YLQJV 0- &DXVRQ '0  7RUR ()   LPSOHPHQWHG E\ 0 $OEHUWR %HFFDQWLQL LQ &($ '(1 '066)0( 7KH REMHFW LV WR FRPSDUH WKH UHODWLYHO\ VLPSOH WHVWV UHVXOWV RI WKH GLIIHUHQW DSSURDFKHVQDPHO\´VKRFNWXEHµZLWKWKHVHH[DFW5LHPDQQ3UREOHPVROXWLRQV 7KH ´VKRFN WXEHµ LV D RQHGLPHQVLRQDO WHVWFDVH :H FRQVLGHU D WXEH ZLWK DQ DUELWUDU\ OHQJWK LQLWLDOO\ ILOOHG ZLWK WZR IOXLGV VHSDUDWHG E\ D PHPEUDQH :H VXSSRVH WKDW WKH PHPEUDQH EUHDNV DQGZHREVHUYHWKHHYROXWLRQ7KHLQWHUIDFHEHWZHHQERWKIOXLGVPRYHV7KHWKHUPRG\QDPLFDODQG NLQHPDWLFDOTXDQWLWLHVFKDQJH  +HUHZHSULQFLSDOO\WHVWHGWKHPRGHOVGHVFULEHGLQWKHSDUW  ¾ &RQVHUYDWLYHVFKHPHVZLWKIUR]HQPL[WXUHVRXQGVSHHGFDOOHG´6*3µ ¾ 4XDVLFRQVHUYDWLYHVFKHPHZLWKIUR]HQPL[WXUHVRXQGVSHHGQDPHG´6*03B0RGHOµ ¾ 4XDVLFRQVHUYDWLYH VFKHPH  ZLWK :RRG·V IRUPXOD VRXQG VSHHG LQ ZKLFK DQ DGGLWLRQDO QRQ FRQVHUYDWLYH WHUP IRU WKH ´7RSRORJ\ 7UDQVSRUW (TXDWLRQµ   LV LQWURGXFHG WR FRUUHFW WKH PL[WXUHVRXQGVSHHGQDPHG´6*03B0RGHOµ   7HVW$VLPSOHWHVWZLWKDUDUHIDFWLRQZDYHDFRQWDFWGLVFRQWLQXLW\DQGDVKRFN  7KLV LV D UHODWLYHO\ VLPSOH WHVW ,W LV SURSRVHG E\ 5RX\ DQG +HOOX\   7KH VKRFN WXEH LV  PHWHUVORQJ,WLVFRPSRVHGE\HOHPHQWV 7KHUHVXOWLVREWDLQHGIRU&)/ DWWLPHW  PV  ρa = 1 kg/m3 γa = 1.4

Pa = 1.2 bar P’a = 0 bar

ρb = 2 kg/m3 γb = 1.4

Pb = 1 bar

P’b = 0 bar

2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 1kg / m3 



,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 1.2bar  6RXQG6SHHG Ca = 410.3m / s   2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 2kg / m3  ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar  6RXQG6SHHG Cb = 263.8m / s   $OOWKHWHVWVIRUWKLV5LHPDQQ3UREOHPDUHVROYHGZLWKILUVWRUGHUDFFXUDWHVFKHPHV

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 28 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 29 / 56

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ρa = 10 kg/m3 γa = 1.4

Pa = 1 bar P’a = 0 bar

ρb = 1 kg/m3 γb = 1.1

Pb = 1 bar P’b = 0 bar

 2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 10kg / m3 



,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 1bar  6RXQG6SHHG Ca = 119.7 m / s   2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 1kg / m3  ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar  6RXQG6SHHG Cb = 331.7 m / s   $OOWKHWHVWVIRUWKLV5LHPDQQ3UREOHPDUHVROYHGZLWKILUVWRUGHUDFFXUDWHVFKHPHV  7KH WZR IOXLGV KDYH LQLWLDOO\ WKH VDPH SUHVVXUH DQG YHORFLWLHV $QG WKH ERXQGDU\ DOORZV DOO WKH ZDYHVWROHDYHWKHVKRFNWXEH7KHH[SHFWHGVROXWLRQLVMXVWWKDWWKHWZRIOXLGVPRYHRQDXQLIRUP YHORFLW\LQWKHVKRFNWXEH 

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 30 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV  Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 31 / 56

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γ i RI HDFKIOXLGWRHOLPLQDWHWKHSUHVVXUHRVFLOODWLRQDWWKHFRQWDFWGLVFRQWLQXLW\RULJLQDOO\SURSRVHGE\ 6DXUHO DQG $EJUDOO   /DWHO\ WKH\ VKRZHG WKDW WKH ´7RSRORJ\ 7UDQVSRUW (TXDWLRQµ LV HTXLYDOHQW WR WKH ´ γ i  WUDQVSRUW HTXDWLRQµ  7KH UHVXOWV SUHVHQWHG KHUH DUH TXLWH FORVH WR WKRVH REWDLQHGLQWKHRULJLQDODUWLFOH  ρa = 10 kg/m3 γa = 1.4

Pa = 1.1 bar P’a = 0 bar

ρb = 1 kg/m3 γb = 1.1

Pb = 1 bar P’b = 0 bar

 2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 10kg / m3 



,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 1.1bar  6RXQG6SHHG Ca = 124.1m / s   2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 1kg / m3  ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar  6RXQG6SHHG Cb = 331.7 m / s   7KH WZR IOXLGV KDYH WKH VDPH LQLWLDO YHORFLW\ RI  PV $V WKH SUHYLRXV WHVW WKH ERXQGDU\ FRQGLWLRQDWWKHWZRVLGHVRIWKHWXEHDOORZVDOOWKHZDYHVWRSDVVWKURXJKWKHERXQGDULHVVRWKDW QRZDYHUHIOHFWLRQZLOOFUHDWHQHZSHUWXUEDWLRQVLQWKHVKRFNWXEH7KHUHVXOWVDUHREWDLQHGDWW  PVIRU&)/ 

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 32 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV  Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 33 / 56

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|KQHU   ,W LV FKRVHQ EHFDXVH RI D VWURQJ VKRFN EHWZHHQWKHOLTXLGDQGJDV SUHVVXUHUDWLRDERXW ,WLVFDUULHGRXWLQ'IRUDPORQJ VKRFNWXEHFRPSRVHGE\HOHPHQWV7KHWXEHLVILOOHGZLWKDKLJKSUHVVXUHJDVRQWKHOHIWVLGH DQGDORZSUHVVXUHOLTXLGRQWKHULJKW  ρa = 1,271 kg/m3 γa = 1,4

Pa = 9,12e4 bar P’a = 0 bar

ρb = 0,99 kg/m3 γb = 7,0

Pb= 10 bar P’b = 3e4 bar

 2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 1.271kg / m3 



,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 9.119252 × 109 Pa  6RXQG6SHHG Ca = 9.978 × 104 m / s   2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 0.9999kg / m3  ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1.01325 ×106 Pa  6RXQG6SHHG Cb = 1.45 × 105 m / s   7KHGHQVLWLHVRIWKHJDVDQGWKHIOXLGDUHTXLWHFORVHGWRHDFKRWKHU%HFDXVHRIWKHKLJKSUHVVXUH UDWLREHWZHHQWKHJDVDQGWKHIOXLGDYHU\LPSRUWDQWVKRFNLVFUHDWHGWRWKHULJKW7KHUHVXOWV SUHVHQWHGKHUHDUHDWW PVIRU&)/  

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 34 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 35 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 $OO RI WKH UHVXOWV RI WKH WHVW PDWFK SUHWW\ ZHOO WKH DQDO\WLF VROXWLRQ DOWKRXJK WKH VW RUGHU VFKHPHV DUH D OLWWOH GLIIXVLYH $ UDUHIDFWLRQ ZDYH OHIW  D FRQWDFW GLVFRQWLQXLW\ PLGGOH  DQG D VWURQJVKRFN ULJKW DUHFDSWXUHG$OORIWKHPRGHOVJLYHWKHVDWLVIDFWRU\UHVXOWVLQWKLVWHVW

 7HVW $VKRFNLQDWZRJDVHVVKRFNWXEH  7KLVWHVWLVDELWPRUHGLIILFXOWFRPSDUHGWRWKHSUHYLRXVRQHV$QPORQJWXEHLVFRPSRVHGE\ HOHPHQWV,WLVILOOHGZLWKWZRGLIIHUHQWIOXLGV2QO\WKHIOXLGRQWKHULJKWLVJLYHQDQLQLWLDO YHORFLW\DWPV7KHERXQGDU\FRQGLWLRQLVDOVRXVHGDWWKHWZRVLGHVRIWKHWXEHVRWKDWDOOWKH ZDYHV FDQ SDVV WKURXJK WKH ERXQGDULHV DQG GRQ·W FUHDWH QHZ SHUWXUEDWLRQV LQ WKH WXEH $OO WKH FRPSXWDWLRQV DUH FDUULHG RXW ZLWK WKH ILUVW RUGHU VFKHPHV 7KH UHVXOWV DUH REWDLQHG DW W  PV ZKHQ&)/ 



ρa = 0.192 kg/m3 Pa = 10 bar γa = 1.667 P’a = 0 bar

ρb = 1.156 kg/m3 Pb = 1 bar γb = 1.4 P’b = 0 bar

   2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 10kg / m3 





,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 10bar  6RXQG6SHHG Ca = 2949.6m / s  ,QLWLDO9HORFLW\ VL = 0m / s   2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 1.156kg / m3  ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar  6RXQG6SHHG Cb = 328.5m / s  ,QLWLDO9HORFLW\ VR = 10m / s   

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 36 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV 

 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 37 / 56

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ρa = 10 kg/m3 γa = 1.4

Pa = 100 bar P’a = 0

ρb = 1000 kg/m3 Pb = 1 bar γb = 5.5 P’b = 4900 bar

 2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 10kg / m3 



,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 100bar  6RXQG6SHHG Ca = 1185.7 m / s   2QWKHULJKWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 1000kg / m3  ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1bar  6RXQG6SHHG Cb = 1639.5m / s   7KHUHVXOWVDUHSUHVHQWHGDWW PVIRU&)/ IRUILUVWRUGHUVFKHPHV 

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 38 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 39 / 56

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—VIRU&)/   ρa = 1000 kg/m3 Pa = 10000 bar γa = 4.4 P’a = 6000 bar

ρb = 10 kg/m3 Pb = 1 bar γb = 1.4 P’b = 0

x(m) 0

0.7

 2QWKHOHIWVLGHRUKLJKSUHVVXUHVLGHWKHIOXLGFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρ a = 1000 kg / m3 

1



,QLWLDO3UHVVXUH Pa = 10.000 bars  6RXQG6SHHG Ca = 2713.2 m / s   2QWKHOHIWVLGHRUORZSUHVVXUHVLGHWKHJDVFKDUDFWHUVDUH 'HQVLW\ ρb = 10 kg / m3  ,QLWLDO3UHVVXUH Pb = 1 bar  6RXQG6SHHG Cb = 108.2 m / s   

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 40 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

 )LJXUHWHVW²3UHVVXUHGLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV 

 )LJXUHWHVW²'HQVLW\GLVWULEXWLRQDORQJWKHVKRFNWXEHDWW PV

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 41 / 56

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rotection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 42 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 VRXQG VSHHG WKDW LV JHQHUDOO\ ORZHU WKDQ WKH VRXQG VSHHG RI WKH SXUH IOXLGV )RU LQWHUIDFH FRPSXWDWLRQ ZLWK DGHTXDWH UHVROXWLRQ LW LV SRVVLEOH WKDW WKHVH GLIIHUHQFHV DUH LQVLJQLILFDQW KRZHYHU LI WKH ]RQHV RI QXPHULFDO GLIIXVLRQ DUH QRW QHJOLJLEOHZHZLOO VHH WKHVH GLIIHUHQFHV FDQ VKRZXSRQWKHPDFURVFRSLFOHYHO 

 )LJXUH6RXQGVSHHGRIDQDLUZDWHUPL[WXUHXQGHUDWPRVSKHULFFRQGLWLRQVIRUWKH HTXLOLEULXPDQGIUR]HQVSHHGRIVRXQG  

7HVW:DYHSURSDJDWLRQLQDZDWHUJDVPL[WXUH

 7R IXUWKHU LOOXVWUDWH WKH GLIIHUHQFH EHWZHHQ WKHVH WZR PRGHOV IRU WUDFNLQJ D IOXLG PL[WXUH ZH FDUULHG RXW D VHULHV RI QXPHULFDO WHVWV ,Q WKHVH WHVWV ZH ILOOHG WKH VKRFN WXEH ZLWK WKH VDPH ZDWHUJDVPL[WXUH+HUHZHWDNHWKHZDWHUDQGJDVXVHGLQWKH7HVW$PL[WXUHRIDLUZDWHULV XQGHURXUFRQVLGHUDWLRQ :DWHU ρ1 = 1000kg / m3 P∞1 = 4.9 × 103 bar  γ 1 = 5.5 c1 = 1182.7 m / s  *DV ρ 2 = 10kg / m3 P∞ 2 = 0bar  γ 2 = 1.4 c2 = 117.65m / s  2QO\ D VOLJKWO\ KLJKHU SUHVVXUH LV LPSRVHG RQ WKH OHIW SDUW RI WKH VKRFN WXEH VR WKDW D VPDOO SUHVVXUH SHUWXUEDWLRQ ZLOO SURSDJDWH LQ WKLV KRPRJHQRXV PL[WXUH 7KLV NLQG RI VPDOO SUHVVXUH SHUWXUEDWLRQFRUUHVSRQGVWRWKHSURSDJDWLRQRIDFRXVWLFZDYHV,QWKLVZD\ZHFDQFDOFXODWHWKH Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 43 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 PL[WXUH VRXQG VSHHG IRU GLIIHUHQW UDWLRV RI PL[WXUH :H UHVXPH WKH UHVXOWV LQ WKH IROORZLQJ ILJXUHVDQGWDEOHV

 )LJXUH3URSDJDWLRQRIDVPDOOSUHVVXUHSHUWXUEDWLRQLQWKHDLUZDWHUPL[WXUHLQWHUPVRI WKHDLUYROXPHIUDFWLRQIRUWKH6*030RGHO  $LU9ROXPH)UDFWLRQĴ

'LVWDQFH P 

       

       

7 PV 6RXQG6SHHGPV 6LPXODWLRQ         

6RXQG6SHHGPV )RUPXOD         

7DEOH6RXQGVSHHGFDOFXODWHGIURP)LJXUHFRPSDUHGZLWKWKHUHVXOWVJRWE\WKH IRUPXOD  Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 44 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

 )LJXUH3URSDJDWLRQRIDVPDOOSUHVVXUHSHUWXUEDWLRQLQWKHDLUZDWHUPL[WXUHLQWHUPVRI WKHDLUYROXPHIUDFWLRQIRUWKH6*030RGHO  $LU9ROXPH)UDFWLRQĴ

'LVWDQFH P 

       

       

7 PV 6RXQG6SHHGPV 6LPXODWLRQ         

6RXQG6SHHGPV )RUPXOD         

7DEOH6RXQGVSHHGFDOFXODWHGIURP)LJXUHFRPSDUHGZLWKWKHUHVXOWVJRWE\WKH IRUPXOD 

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 45 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 )URP)LJXUHDQG7DEOHDQGZHFDQILQGWKDWWKHVPDOOSUHVVXUHSHUWXUEDWLRQFRUUHVSRQGV WRDQDFRXVWLFZDYHSURSDJDWLQJLQWKHDLUZDWHUPL[WXUH,QPRGHOWKHVRXQGVSHHGLVFDOFXODWHG LQWKHZD\RI´)UR]HQVRXQGVSHHGµZKLFKLVVLJQLILFDQWO\ODUJHUWKDQWKDWLQ0RGHOFDOFXODWHGE\ WKH :DOOLV IRUPXOD ,Q IDFW WKH :DOOLV IRUPXOD LV DOUHDG\ YHULILHG E\ WKH H[SHULPHQWV DQG SK\VLFDOO\ FRUUHFW DV LQ %UHQQHQ   7KH 0RGHO  XVLQJ ´)UR]HQ VRXQG VSHHGµ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²PV7RSERWWRPDQG OHIWERXQGDULHVDUHWUHDWHGDVVROLGZDOOV7KHLQLWLDOSDUDPHWHUVIRUWKHOLTXLGDQGJDVDUH :DWHU ρ1 = 1000kg / m3 P∞1 = 6 ×108 bar  γ 1 = 4.4  *DV ρ 2 = 100kg / m3 P∞ 2 = 0bar  γ 2 = 1.8  ,QWKHPRGHOVSUHVHQWHGLQWKHZRUNWKHFDYLWDWLRQVHIIHFWVDUHQRWFRQVLGHU7KHUHIRUHZHQHHG WRLPSRVHWKHPLQLPXPSUHVVXUHIRUWKHOLTXLG

 )LJXUH,QLWLDO&RQILJXUDWLRQRIWKHZDWHUJDV5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\ %HFDXVHRIODFNRIWLPHZHRQO\JHWWKHVLPXODWLRQUHVXOWVIRU6*03B0RGHOXQWLOQRZ$VKRUW SUHVHQWDWLRQRIRXUVLPXODWLRQUHVXOWVLVFRPSDUHGWRWKHUHVXOWVRI6DXUHO DOO   

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 46 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86



6DXUHOHWDO

 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV 



6DXUHOHWDO

 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV  

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 47 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86



6DXUHOHWDO



 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV 



6DXUHOHWDO

 )LJXUH*DVOLTXLG5LFKWP\HU0HVKNRYLQVWDELOLW\GHQVLW\DWW PV      Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 48 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

6DXUHOHWDO 





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·WPRGHOWKHFDYLWDWLRQVHIIHFWVWKHSRFNHWVQHDUWKH OHIW ZDOO DUH QRW VHHQ LQ )LJXUH  DQG WKH OHQJWK RI MHW ORRNV D ELW VKRUWHU WKDQ WKHUHVXOWV RI 6DXUHO  DO   $IWHU DOO RXU PRGHO 6*03B0RGHO  LV DEOH WR WUHDW WKLV NLQG RI LQWHUIDFH SUREOHP      

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 49 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86  &RQFOXVLRQ  ,Q WKLV UHSRUW WKUHH UHGXFHG WZRSKDVH IORZ PRGHOV DUH SUHVHQWHG 7KH ILUVW RQH LV WRWDOO\ FRQVHUYDWLYHDQGLVLPSODQWHGLQ(8523/(;86DV6*3,WJHQHUDWHVVWURQJSUHVVXUHRVFLOODWLRQV DWWKHFRQWDFWGLVFRQWLQXLWLHVDQGLWEORZVXSQXPHULFDOO\LQVRPHGLIILFXOWFDVHV7KHQWZRTXDVL FRQVHUYDWLYH ILYHHTXDWLRQ PRGHOV DUH LPSODQWHG DV 6*03 LQ (8523/(;86 7KH ´7RSRORJ\ 7UDQVSRUW (TXDWLRQµ LQ 6*030RGHO  KDV QR DGGLWLRQDO WHUP 7KH PL[WXUH VRXQG VSHHG LV FDOFXODWHG DV ´)UR]HQ 6RXQG 6SHHGµ 7KH ´7RSRORJ\ 7UDQVSRUW (TXDWLRQµ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

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 50 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86  $SSHQGL[  (8523/(;86 LV D VRIWZDUH FRGHYHORSHG E\ WKH )UHQFK DWRPLF HQHUJ\ FRPPLVVLRQ &($ &RPPLVVDULDW j O·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

$SSHQGL[

62/9(5686(')257+(&219(&7,9()/8;

 7KHUHDUHDGR]HQGLIIHUHQWVROYHUVLPSODQWHGLQ(8523/(;86IRUH[DPSOHV*RGXQRY5XVDQRY +//(=KD%LOJHQ+//&$860'RPLQDQW:DYH&DSWXULQJHWF7KHGHWDLOVRIWKHVHVROYHUVFDQ EH IRXQG LQ WKH ERRN RI 7RUR   DQG ,QWHUQDO 5HSRUW RI *DORQ   ,Q RUGHU WR KDYH D XVDEOHVROYHUZLWKWKHPDWHULHO´6WLIIHQHG*DVµ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rotection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 51 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 7KH+//&6FKHPHKDVVHYHUDOSURSHUWLHV ,WFDQHDVLO\DQGVLPSO\DFFRPPRGDWHJHQHUDO(26 ,W LV IRXQG WR EH DEOH WR RIIHU DFFXUDWH DQG UREXVW VROXWLRQV IRU FDSWXULQJ VWURQJ VKRFN FRQWDFWDQGSKDVHGLVFRQWLQXLWLHVRQDUELWUDULO\PRYLQJJULG ,WHQVXUHVWKHSRVLWLYLW\SUHVHUYLQJRIVFDODUTXDQWLW\ ,WREH\VWKHHQWURS\FRQGLWLRQ  ,Q WKH FODVVLF +//& VROYHU WKH QXPHULF IOX[ IRU WKH PL[WXUH IORZ     LV FDOFXODWHG LQ WKH IROORZLQJZD\H[SUHVVHGLQWKHORFDOFRRUGLQDWHRIWKHFHOOLQWHUIDFH

ij FHLLC

­ FL ° F (U * ) ° L =® * ° F (U R ) °¯ FR

SL > 0 if if S L ≤ 0 < SM  if S M ≤ 0 ≤ S R if S R < 0

  

ZKHUH

& & § ρ L . ( u Ln − vGrid .n ) · ¨ ¸ ¨ ρ L .u Ln . ( u Ln − v&Grid .n& ) + PL ¸ ¨ ¸ & & ¸ FL = ¨ ρ L .uLt1 . ( uLn − vGrid .n ) ¨ ¸ ¨ ρ L .u Lt2 . ( u Ln − v&Grid .n& ) ¸ ¨ ¸ ¨ ρ .E . ( u n − v& .n& ) + P .u n ¸ L L¹ © L L L Grid & & § ρ R . ( uRn − vGrid .n ) · ¨ ¸ ¨ ρ R .uRn . ( uRn − v&Grid .n& ) + PR ¸ ¨ ¸ & & t1 n ¨ ¸  FR = ρ R .uR . ( u R − vGrid .n ) ¨ ¸ ¨ ρ R .uRt2 . ( u Rn − v&Grid .n& ) ¸ ¨ ¸ ¨ ρ .E . ( u n − v& .n& ) + P .u n ¸ R R¹ © R R R Grid

§ · S M ρ L* ¨ ¸ n* S M ( ρ u ) L + p* ¨ ¸ ¨ ¸ * t F (U L* ) = ¨ S M ( ρ v ) L1 ¸ ¨ ¸ t * S M ( ρ w ) L2 ¨ ¸ ¨ S ρ E * + p* S + v& ⋅ n& ¸ ( M Grid ) ¹ © M ( )L

   

   

   

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 52 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 § · S M ρ R*  ¨ ¸ n* * SM ( ρu )R + p ¨ ¸  ¨ ¸ t1 * * F (U R ) = ¨ SM ( ρ v )R ¸   ¨ ¸ t2 * SM ( ρ w)R  ¨ ¸ * ¨ S ρ E + p* S + v& ⋅ n& ¸ )R ( M Grid ) ¹ © M( 7KRVH n  t1  t2 DUHWKHQRUPDODQGWZRWDQJHQWYHFWRUVLQWKHORFDOLQWHUIDFHFRRUGLQDWH  7KHLQWHUPHGLDWHV´6WDUµVWDWHVDUHJLYHQE\ 

(

)

§ · S L − u nL ρ L ¨ ¸ ¨ S − u ( ρ u )n + ( p* − p ) ¸ L ni L L ¨ ¸ t 1 ¨ ¸ S L − unL ( ρ v ) L ¨ ¸ t2 ¨ ¸ S L − u nL ( ρ w ) L ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ S L − un ( ρ E ) − pL un + p * S M ¸ L L L © ¹ § · S R − u nR ρ R § ρ R* · ¨ ¸ ¨ ¸ n* ¨ S − u ( ρ u )n + ( p* − p ) ¸ R nR R ¨ ( ρu )R ¸ R ¨ ¸ ¨ ¸ 1 t1 * t1 * ¨ ¸ U R = ¨ ( ρ v )R ¸ = S R − u nR ( ρ v ) R ¨ ¸ S R − SM ¨ t2 * ¸ t2 ¨ ¸ S R − unR ( ρ w ) R ¨ ( ρ w)R ¸ ¨ ¸ ¨ ρE * ¸ ¨ ¸ * ( ) © ¨ S R − un ( ρ E ) − pR un + p S M ¸ R ¹ R R R © ¹ § ρi* · ¨ ¸ n* ¨ ( ρu )L ¸ ¨ 1 t* ¸ U L* = ¨ ( ρ v ) L1 ¸ = SL − SM ¨ t2 * ¸ ρ w ¨ ( )L ¸ ¨ ρE * ¸ )L ¹ ©(

(

)

( ( )

(

) )

(

(

)

)

( (

(

) )

   

   

)

DQG 

(

)(

)

)(

(

)

p* = ρ L unL − S L unL − S M + pL = ρ R unR − S R unRj − S M + pR  & & & un = (v − vGrid ) ⋅ n LVWKHQRUPDOYHORFLW\DWWKHLQWHUIDFH

SM =

ρ R un ( S R − u n ) − ρ L un R

R

ρ R ( S R − un

R

(S − u ) + p ) − ρ (S − u ) L

Li

L

& vGrid LVWKHYHORFLW\RIWKHJULG

nL

L

L

− pR



     

nL

 6LJQDOYHORFLWLHV S L  S R DUHGHILQHGDV

& & & S L = min ªunL − cL , (vˆ − vGrid ) ⋅ n − cˆ º  ¬ ¼ & & & S R = max ªunR + cR , (vˆ − vGrid ) ⋅ n + cˆ º  ¬ ¼

   

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 53 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86

&

ZLWK vˆ DQG cˆ EHLQJ5RH·VDYHUDJHYDULDEOHVIRUYHORFLW\DQGVSHHGRIVRXQG

& vˆ =

ρ L uLn + ρ R uRn ρ L cL + ρ R cR  cˆ =  ρL + ρR ρL + ρR

   

8VLQJ WKH PHWKRG LQ WKH VHQVH RI ´8SZLQGµ IRU WKH QXPHULFDO PDVV IOX[ RI WKH PL[WXUH WKH QXPHULFDOIOX[IRUWKHPDVVFRQVHUYDWLRQRIHDFKSKDVH  DQGWKHWRSRORJ\WUDQVSRUWHTXDWLRQ  RU  LVFDOFXODWHGLQWKHIROORZLQJZD\

­°( ρ uYi ) = ( ρ u ) HLLC (Yi ) HLLC L LI ( ρ u ) > 0 ® α α = ( ) ( ) °¯ i i L

  



­°( ρ uYi ) = ( ρ u ) HLLC (Yi ) HLLC R LI ( ρ u ) < 0 ® ( α i ) = (α i ) R °¯ ZKHUH ( ρ u )

HLLC

  

LV WKH PDVV IOX[ FDOFXODWHG E\ WKH FODVVLF +//& VROYHU H[SODLQHG DERYH ZKLFK

GHSHQGVRQWKHVWDWHRIVLJQDOYHORFLWLHV S L  S R DQG S M 

$SSHQGL[

6281'63(('

 +HUHZHVKRUWO\SUHVHQWKRZZHFDQJHWWKHVRXQGVSHHGIRUWKHSXUH´VWLIIHQHGJDVµDQGIRUWKH ´VWLIIHQHGJDVµPL[WXUHLQWKHTXDVLFRQVHUYDWLYHPRGHODQGPRGHO D 6RXQGVSHHGIRUWKHSXUH´VWLIIHQHGJDVµ  7KHVWDUWLQJSRLQWRIFDOFXODWLRQLVWKHHQHUJ\FRQVHUYDWLRQHTXDWLRQ  ,QRQHGLPHQVLRQDOFDVH LWFDQEHZULWWHQDV

∂ρ e ∂ ( ρ e + p ) u + =0 ∂t ∂x

 

∂ρ e ∂ ( ρ eu ) ∂u + +p = 0 ∂t ∂x ∂x

 

([WHQGLWLQWRWKHIRUP

$V  

ρ e ( P, v ) =

P + γ P∞ + ρq  γ −1

7KXVZHKDYH

∂ ( ρu ) 1 ∂p ∂ρ 1 ∂ ( pu ) 1 ∂ ( γ P∞ u ) ∂u +q + +q + +p = 0 ∂t γ − 1 ∂x ∂x ∂x γ − 1 ∂t γ − 1 ∂x

 

 Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 54 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 8VLQJWKHPDVVFRQVHUYDWLRQHTXDWLRQ  WKHVHFRQGDQGWKHIRXUWKWHUPVYDQLVKWKXV

p + γ P∞ · ∂u 1 § ∂p ∂p · § = 0 ¨ +u ¸+¨ p+ ∂x ¹ © γ − 1 © ∂t γ − 1 ¹¸ ∂x

 

∂p ∂p ∂u + u + γ ( p + P∞ ) =0 ∂t ∂x ∂x

 

∂p ∂p ∂u + u + ρc2 = 0 ∂t ∂x ∂x

 

ZKLFKOHDGVWR

:HDOVRKDYH  DV

7KHUHIRUHZHJHWWKHVRXQGVSHHGIRUVLQJOHSKDVH´VWLIIHQHGJDVµDV  

ρ c 2 = γ ( P + P∞ ) 

 

 E 6RXQGVSHHGIRU0RGHO  7RLQMHFWWKHHTXDWLRQ  LQWRWKHPL[WXUHLQWHUQDOHQHUJ\  ZHJHW N

N

i =1

i =1

§ p + γ i P∞i · + ρi qi ¸  © γ i −1 ¹

ρ e = ¦ ρi ⋅ α i ⋅ ei = ¦ α i ¨

 

:HKDYH

§ N · ∂ ¨ ¦ ρi ⋅ α i ⋅ ei ¸ N N N ∂ ( ρe) ¹ = α ∂ ( ρi ei ) + ρ e ∂α i + q ∂α i ρi = © i =1 ¦ ¦ ¦ i ∂t  i i i ∂t ∂t ∂t ∂t i =1 i =1 i =1 N N α ∂p N ∂α ∂α ρ =¦ i + ¦ ρi ei i + ¦ qi i i ∂t ∂t i =1 γ i − 1 ∂t i =1 i =1

  

$QG

§ N · ∂ ¨ ¦ ρi ⋅ α i ⋅ ei ¸ ∂ ( ρ eu ) ∂ ( ρe) ∂u ¹ + ρ e ∂u =u + ρe = u © i =1 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x  N N N N α ∂p ∂ρ α ∂α ∂u = u¦ i + u ¦ qi i i + u ¦ ρi ei i + ¦ α i ρi ei ∂x ∂x i =1 ∂x i =1 γ i − 1 ∂x i =1 i =1

  

 6R

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 55 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 & & N ∂α ∂α ρ ∂ρ e ∂ ( ρ eu ) ∂u N α i ∂p N + +p =¦ + ¦ ρi ei i + ¦ qi i i ∂t ∂x ∂x i =1 γ i − 1 ∂t i =1 ∂t ∂t i =1

& N N ∂ρ α ∂α ∂u ∂u +u ¦ + u ¦ qi i i + u ¦ ρi ei i + ¦ α i ρi ei +p ∂x ∂x i =1 ∂x ∂x i =1 γ i − 1 ∂x i =1 i =1 N

α i ∂p



N

∂α · ∂p · N § ∂α i =¦ + u +u i ¸ ¨ ¸ + ¦ ρi ei ¨ ∂x ¹ i =1 ∂x ¹ © ∂t i =1 γ i − 1 © ∂t N ∂α ρ · N ∂u § ∂α ρ + ¦ qi ¨ i i + u i i ¸ + ¦ (α i ρi ei + p ) =0 ∂x ¹ i =1 ∂x © ∂t i =1 N



α i § ∂p

 

 

7KHWKLUGWHUPYDQLVKHVEHFDXVHRIWKHPDVVFRQVHUYDWLRQRIHDFKSKDVH  LWOHDGVWR N

¦γ i =1

α i § ∂p ¨ i − 1 © ∂t

+u

∂α ∂p · N § ∂α i +u i ¸ + ¦ ρi ei ¨ ∂x ¹ i =1 ∂x © ∂t

∂u · N ¸ + ¦ (α i ρi ei + p ) ∂x = 0  ¹ i =1

 

 ,QWKLVHTXDWLRQWKHVHFRQGWHUPFRUUHVSRQGVWRWKHOHIWVLGHRIWKH¶7RSRORJ\7UDQVSRUW(TXDWLRQ·  DQG   ,QWKHPRGHOWKH

∂α i ∂α + u i = 0 WKXV ∂t ∂x

α iγ i ( p + P∞i ) γ −1 ∂p ∂p ∂u + u + i =1 N i =0 αi ∂t ∂x ∂x ¦ i =1 γ i − 1 N

¦

  

 N

¦γ i =1

α i § ∂p ¨ i − 1 © ∂t

+u

∂p · § N α i ( p + γ i P∞i ) + ¸ +¨¦ ∂x ¹ © i =1 γ i −1

· ∂u =0 p¸ ¹ ∂x

 

6LQFHWKHVRXQGVSHHGIRUDVLQJOHSKDVH ρi ci2 = γ i ( P + P∞i ) 

α i ρi ci2 ¦ γ − 1 ∂u ∂p ∂p + u + i =N1 i = 0 α i ∂x ∂t ∂x ¦ i =1 γ i − 1 N

  

&RPSDUHGWR  ZHJHWWKHPL[WXUHVRXQGVSHHGIRUWKHPRGHODV  DV

α i ρi ci2 ¦ γ −1  ρ c 2 = i =N1 i αi ¦ i =1 γ i − 1 N

  



Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S

SEMT/DYN/RT/10-019 /A Indice A 15/12/2010 Page 56 / 56

,QWURGXFWLRQDQG9DOLGDWLRQRI7KUHH'LIIHUHQW0XOWLSKDVH)ORZV0RGHOVLQWKH)DVW  7UDQVLHQW'\QDPLF&RGH(8523/(;86 F 6RXQGVSHHGIRU0RGHO  6WDUWLQJIURPWKHHTXDWLRQ  ZHVXEVWLWXWHWKH¶7RSRORJ\7UDQVSRUW(TXDWLRQ·  LQWRLWZH JHW

§ ρ c 2 − ρi ci2 · N ∂p · N ∂u + =0 e ρ ¸ + ¦ (α i ρi ei + p ) ¦ ¨ ¸ ¦ i i ¨αi 2 ∂x ¹ i =1 ∂x ρi ci i =1 γ i − 1 © ∂t © ¹ i =1 P + γ i P∞i 6XEVWLWXWLRQ ρi ei = + ρi qi LQWR  ZHILQDOO\DUULYHDW γ i −1 N

N

¦γ i =1

α i § ∂p

α i § ∂p ¨ i − 1 © ∂t

+u

+u

α i ( p + γ i P∞i ) ρ c 2 − ρi ci2 · ∂u ∂p · N § α i 2 + + = 0 c ρ ¸ i i ¸ ¦¨ ∂x ¹ i =1 © γ i − 1 γ i −1 ρi ci2 ¹ ∂x

 

 

7KXV

§ αi α i ( p + γ i P∞i ) ρ c 2 − ρi ci2 · 2 ρ c + ¸ ¦¨ i i γ i −1 ρi ci2 ¹ ∂u ∂p ∂p i =1 © γ i − 1 +u + = 0 N αi ∂t ∂x ∂x ¦ i =1 γ i − 1 N

  

&RPSDUHGZLWK  ZHKDYHWKHPL[WXUHVRXQGVSHHGDV

§ αi α i ( p + γ i P∞i ) ρ c 2 − ρi ci2 · 2 c ρ + ¨ ¸ ¦ i i γ i −1 ρi ci2 ¹ i =1 © γ i − 1 2  ρc = N N

¦γ i =1

αi i

  

−1

6XEVWLWXWHRI ρi ci2 = γ i ( P + P∞i ) LQWRLWDIWHUVRPHDOJHEUDPDQLSXODWLRQVILQDOO\ZHFDQJHW  N § αi · 1 =  ¨ ¦ 2 2 ¸ ρc i =1 © ρi ci ¹

   

DVWKHPL[WXUHVRXQGVSHHGDV   

Protection de la propriété intellectuelle et de la confidentialité : Les informations contenues dans ce document sont réservées aux destinataires nommément désignés et ne peuvent être reproduites ou transférées à des tiers sans l’autorisation expresse du DM2S