STATISTIKA II

803 downloads 7773 Views 617KB Size Report
Soal–soal : 1. Sebuah dadu dibuat tidak setimbang sehingga peluang munculnya dadu bilangan genap dua kali dari bilangan ganjil. Jika A adalah munculnya.
STATISTIKA II (BAGIAN -1)

Oleh : WIJAYA

email : [email protected]

FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2008

Wijaya : Statistika II-1

0

I. PELUANG

1.1 Ruang Contoh (S) Ruang Contoh adalah Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan. Cara penulisan atau penyajian ruang contoh S yaitu dengan cara : a.

Daftar : Misal : 2 produk diambil secara acak kemudian diperiksa apakah cacat (C)

atau tidak cacat (T) maka S = { CC, CT, TC, TT } b.

Pernyataan atau Pembangun Himpunan : Misal : S = { x | x = mata kuliah semester III }

Anggota (Titik Contoh) = Setiap kemungkinan hasil dalam suatu ruang contoh. Kejadian = Himpunan bagian dari ruang contoh S. Kaidah Penggandaan Umum : Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, bila setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, dan seterusnya, maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dengan n1. n2 … nk cara. Teladan 1.1 : Seorang ingin memakai sepasang celana, baju dan sepatu. Jika terdapat 4 jenis celana, 2 baju dan 3 sepatu, maka banyaknya kemungkinan memakai pasangan celana, baju dan sepatu tersebut adalah : 4 x 2 x 3 = 24 cara. Teladan 1.2 : Seorang ingin menanam pohon jambu, belimbing dan mangga. Jika terdapat 5 jenis jambu, 4 belimbing dan 3 mangga, maka banyaknya kemungkinan menanam tiga buah tanaman tersebut adalah : 5 x 4 x 3 = 60 cara. Pemutasi = Susunan data atau benda yang tergantung pada letaknya. (1)

Permutasi n benda yang berbeda = n !

(2)

Permutasi r dari n benda = nPr = n ! / (n – r ) !

(3)

Permuasi n benda yang disusun melingkar = (n – 1) ! Wijaya : Statistika II-1

1

(4)

Permutasi n benda yang terdiri dari n1 jenis pertama, n2 jenis kedua … nk jenis ke k = n ! / (n1 ! n2 ! … nk !)

Teladan 1.3 : Seorang ingin menyusun rangkaian lampu pijar yang terdiri dari 2 lampu merah, 3 hijau dan 4 kuning, maka banyaknya kemuningkanan menyusun 9 lampu tersebut dengan susunan yang berbeda adalah : 9 ! / 2 ! 3 ! 4 ! = 1.260 cara Sekatan atau Sel : Banyaknya cara menyekat n benda ke dalam r sel, dengan n1 unsur dalam sel ke–1, n2 unsur dalam sel ke–2, …, adalah = n ! / (n1 ! n2 ! … nk !), dan n1 + n2 + … nk = n. Teladan 1.4 : 1.

Banyaknya cara 7 orang menginap dalam 1 kamar triple dan 2 kamar double adalah = 7 ! / 3 ! 2 ! 2 ! = 210 cara.

2.

Banyaknya cara 9 orang naik mobil dengan kapasitas masing–masing 2, 4 dan 5 orang = 9 ! / 2 ! 4 ! 5 ! = 63 cara.

Kombinasi = Susunan benda tanpa memperhatikan letak atau urutannya. Kombinasi r dari n objek adalah : rCn = n ! / r ! (n – r) ! Teladan 1.5 : Banyaknya cara untuk memilih 2 buah mesin ketik dari 4 jenis mesin ketik adalah = 4 ! / 2 ! (4 –2) ! = 6 cara. 1.2 Peluang Kejadian : Peluang suatu kejadian adalah Frekuensi relatif apabila banyaknya pengamatan diperbesar sampai tak hingga. Atau P (E) = Limit (n / N), jika N



Teladan 1.6 : 1.

Dari pengiriman 200 buah lampu terdapat 10 buah yang rusak. Jika seorang membeli lampu tersebut, berapa peluangnya bahwa yang dibeli itu rusak ?. Jawab : P (R) = 10/200 = 0,05.

Wijaya : Statistika II-1

2

2.

Dalam satu kantung terdapat 20 buah kelereng berwarna kuning dan 30 buah kelereng berwarna merah. Maka peluang terambilnya kelereng kuning dalam satu pengambilan adalah P (K) = 20/50 = 0,4.

(1)

Macam Kejadian :

(a)

Kejadian Eksklusif (Saling Asing / Saling Cegah) : Kejadian A dan B saling asing apabila terjadinya A mencegah terjadinya B.

A

B=A

A komplemen dari B (atau sebaliknya). P (A atau B) = P (A) + P(B) = 1 (b)

Kejadian Bersyarat : Terjadinya A didahului B, atau A terjadi

S

jika B diketahui.

A

B

A bagian dari B atau A ⊂ B P (A| B) = P (A ∩ B) / P(B) (c)

Kejadian Insklusif : A atau B atau keduanya dapat terjadi

S

Gabungan A dan B

A

A∩B

B

P (A dan atau B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) (d)

Kejadian Saling Bebas (Independen) : Terjadinya atau tidak terjadinya A tidak mempengaruhi terjadinya B.

S A

B

A∩B = ∅ P (A dan B) = P (A) . P (B). Kejadian saling bebas merupakan kejadian dengan pemulihan (jika tanpa pemulihan merupakan kejadian bersyarat).

Wijaya : Statistika II-1

3

Teladan 1.7 : 1

Misal populasi sarjana di suatu kota datanya adalah :

Misal

Bekerja (B)

Menganggur (M)

Jumlah

Laki–laki (L)

460

40

500

Wanita (W)

140

260

400

Jumlah

600

300

900

diambil

secara

acak

seorang

diantara

mereka

untuk

ditugaskan

mempublikasikan pentingnya didirikan industri baru. Hitung peluang bahwa yang terpilih adalah : a.

Laki–laki atau wanita

b.

Laki–laki jika diketahui ia sudah bekerja.

c.

Laki–laki atau yang sudah bekerja.

Jawab : a.

Kejadian Eksklusif : P (L atau W) = 5/9 + 4/9 = 1

b.

Kejadian Bersyarat : P (L| B) = P (L ∩ B) / P(B) = (460/900) (600/900) = 460/600 = 13/30 atau langsung dari tabel : P (L| B) = 460/600 = 13/30

c.

Kejadian Inklusif : P (L ∪ B) = P(L) + P(B) – P(L ∩ B) = 500/900 + 600/900 – 460/900 = 32/45

2.

Peluang A beruntung dalam menjual produk minuman = 0,7. Peluang B beruntung dalam menjual produk minuman = 0,8. Berapa peluang A dan B beruntung dalam menjual produk minuman tersebut ? Jawab : P (A dan B) = P (A) . P (B) = 0,7 x 0,8 = 0,56

(2)

Peluang Marginal dan Kaidah Bayes Untuk lebih jelasnya mengenai Peluang Marginal dan Kaidah Bayes, dapat

diilustrasikan dengan bagan sebagai berikut :

Wijaya : Statistika II-1

4

A1

A2



Ak

S

A1 ∩ A

A2 ∩ A



Ak ∩ A

A

Misal A1 , A2 , … Ak merupakan sekatan dari S dengan P(Ai) ≠ 0, dan i = 1, 2, … , k. Dalam setiap sekatan terdapat kejadian A, sehingga terdapat A1 ∩ A, A2 ∩ A, …, dan Ak ∩ A buah bagian. Peluang terjadinya A yaitu P (A) dimana P(A) ≠ 0, adalah : P (A) = P (A1 ∩ A) + P (A2 ∩ A) + … + P (Ak ∩ A) atau P (A) = P (A1).P (A⏐A1) + P (A2).P (A⏐A2) + … + P (Ak).P (A⏐Ak ) atau P (A) = ∑ P (Ai).P (A⏐Ai) …….. disebut Peluang Marginal Selanjutnya Kaidah Bayes didefinisikan sebagai berikut : Jika kejadian–kejadian A1 , A2 , … Ak merupakan sekatan dari S dengan besarnya P(Ai) ≠ 0, dan i = 1, 2, … , k, maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) ≠ 0, P (Ai).P (A⏐Ai) P (Ai⏐A) = P(A1).P(A⏐A1) + P(A2).P(A⏐A2) + … + P (Ak).P(A⏐Ak ) atau : P (Ai).P (A⏐Ai) P (Ai⏐A) = ∑ P (Ai).P (A⏐Ai) Cara penurunan rumus tersebut adalah sebagai berikut : P (A ∩ Ai) = P (A⏐Ai) . P (Ai) P (Ai ∩ A) = P (Ai⏐A) . P (A) Karena : P (A ∩ Ai) = P (Ai ∩ A) maka P (Ai⏐A) . P (A) = P (A⏐Ai) . P (Ai) Wijaya : Statistika II-1

5

Kalau masing–masing dibagi dengan P (A) maka hasilnya : P (Ai⏐A) = P (A⏐ Ai) . P (Ai) / P (A) dan karena P (A) = P (A1).P (A⏐A1) + P (A2).P (A⏐A2) + … + P (Ak).P (A⏐Ak ) sehingga : P (Ai). P (A⏐Ai) P (Ai⏐A) = P (A1).P (A⏐A1) + P (A2).P (A⏐A2) + … + P (Ak).P (A⏐Ak ) atau : P (Ai).P (A⏐Ai) P (Ai⏐A) = ∑ P (Ai).P (A⏐Ai) Teladan 1.8 : 1.

Sebuah toko elektronik men erima kiriman 200 buah TV, yang terdiri dari 100 buah merk Sharp, 60 buah merk Polytron dan 40 buah merk Digitec. Dari 150 buah TV tersebut terdapat yang rusak yaitu 6 buah merk Sharp, 3 buah merk Polytron dan 2 buah merk Digitec. Seorang megambil satu buah TV secara acak :

a.

Hitung peluangnya bahwa TV yang terambil tersebut rusak.

b.

Jika TV yang diambil telah diketahui rusak, berapa peluangnya bahwa TV yang rusak tersebut ternyata merk Sharp.

Jawab : Jumlah seluruh TV = 200 buah Peluang untuk Sharp P (S) = 100/200 = 0,50 Peluang untuk Polytron P (P) = 60/200 = 0,30 Peluang untuk Digitec P (D) = 40/200 = 0,20 Misal peluang TV yang rusak adalah P (R), maka : P (R⏐S) = 6/100 = 0,06 a.

P (R⏐P) = 3/60 = 0,05 dan P (R⏐S) = 2/40 = 0,05

Peluang terambilnya TV yang rusak : P (R) = P (R⏐S).P (S) + P (R⏐P).P (P) + P (R⏐D).P (D) Wijaya : Statistika II-1

6

P (R) = (0,5)(0,06) + (0,3)(0,05) + (0,2)(0,05) = 0,055 b

TV diketahui rusak ternyata merk Sharp : P (S⏐R) = P (S ∩ R) / P (R) = P (S).P (R⏐S) / P (R) = 0,5 (0,05) / 0,055 = 0,45

2.

Sebuah perusahaan menyediakan 3 hotel untuk rekanannya. Dari catatan sebelumnya diketahui bahwa 20 % diinapkan di Ramada Inn, 50 % di Sheraton dan 30 % di Flower Inn. Jika 5 % diantara kamar–kamar Ramada Inn, 4 % Sheraton dan 8 % Flower Inn terdapat kerusakan pipa air ledengnya, hitung peluang bahwa :

a.

Seorang rekanan mendapat kamar dengan pipa air ledeng yang rusak.

b.

Seorang rekanan diketahui mendapat kamar dengan pipa air ledeng yang rusak, ternyata menginap di hotel Flower Inn.

Jawab : P (A⏐R) = 0,05 dari P (R) = 0,20

P (A⏐S) = 0,04 dari P (S) = 0,50

P (A⏐F) = 0,08 dari P (F) = 0,30

P(R)=0,2

a.

P(S)=0,5

P(F)=0,3

Misal P (A) = peluang mendapat kamar yang rusak, atau P (A) = P (A⏐R).P (R) + P (A⏐S).P (S) + P (A⏐F).P (F) = 0,054

b.

Karena sudah diketahui mendapat kamar yang rusak, maka : P (F⏐A) = P (F ∩ A) / P (A) = P (F).P (A⏐F) / P (A) = 0,3 (0,08) / 0,054 = 4/9

Soal–soal : 1.

Sebuah dadu dibuat tidak setimbang sehingga peluang munculnya dadu bilangan genap dua kali dari bilangan ganjil.

Jika A adalah munculnya

bilangan yang lebih kecil dari 4 pada satu lemparan, hitung P (A). Jawab : P (A) = 1/9 + 2/9 + 1/9 = 4/9 2.

Berapa banyak susunan yang dapat dibuat bila 5 pohon yang berbeda disusun membentuk sebuah lingkaran ? Jawab : (n – 1) ! = 4 ! = 24 cara Wijaya : Statistika II-1

7

3.

Berapa banyak cara menanam 3 pohon mangga, 4 jeruk dan 5 jambu sepanjang kebun bila kita tidak membedakan antara tanaman yang sejenis. Jawab : 12! / 3! 4! 5! = 2.720 cara

4.

Suatu perusahaan 2/3 karyawannya berumur < 25 th, 3/5 bagian laki–laki, 5/8 bagian perempuan atau berumur ≥ 25 th.

Dipilih seorang secara acak,

berapa peluangnya bahwa ia adalah perempuan dan berumur ≥ 25 th. Jawab : P (P ∩ ≥ 25 th) = P (P) + P (≥ 25 th) – P (P ∪ ≥ 25 th) =13/120 5.

Peluang ibu rumah tangga ada di rumah ketika salesman Sara Lee datang adalah 0,6. Bila ibu itu ada di rumah, peluang ibu tersebut membeli adalah 0,4. Hitung peluang ibu itu ada di rumah dan membeli produk Sara Lee. Jawab : P (R ∩ B) = P (B⏐R). P (R) = 0,4 x 0,6 = 0,24

6.

Peluang bahwa suatu industri milik orang Amerika berlokasi di Tanggerang adalah 0,7; peluang berada di Bekasi 0,4 dan peluang berlokasi di Tanggerang atau di Bekasi atau keduanya 0,8.

Berapa peluang bahwa

industri tersebut berada a.

Di kedua kota tersebut

b.

Tidak di keduanya Jawab : a) P (T ∩ B) = P (T) + P (B) – P (T ∪ B) = 0,3 Jawab : b) 1 – P (T ∪ B) = 1 – 0,8 = 0,2

7.

Misal 200 orang diklasifikasikan sebagai berikut : Laki–laki (L)

Perempuan (P)

Sekolah Dasar (D)

38

45

Sekolah Menengah (M)

28

50

Perguruan Tinggi (T)

22

17

Bila seorang dipilih secara acak hitunglah bahwa yang terpilih : a.

Laki–laki bila diketahui bahwa ia berpendidikan sekolah menengah. Jawab : P (L⏐M) = 28/78

Wijaya : Statistika II-1

8

b.

Tingkat pendidikannya bukan dari perguruan tinggi, bila diketahui bahwa ia adalah perempuan. Jawab : P (D⏐P) + P (M⏐P) = 45/112 + 50/112 = 95/112

8.

Peluang Tom masih hidup 20 tahun lagi adalah 0,7. Peluang Jerry masih hidup 20 tahun lagi adalah 0,9. Hitung peluang Tom & Jerry masih hidup 20 tahun lagi. Jawab : P (T ∩ J) = P (T) . P (J) = 0,7 x 0,9 = 0,63

9.

Sebuah kantung berisi 4 kelereng putih dan 3 kelereng kuninh, kantung kedua berisi 3 kelereng putih dan 5 kelereng kuning. Satu kelereng diambil dari kantung pertama dan tanpa dilihat lalu dimasukkan ke dalam kantung kedua. Berapa peluang mendapatkan kelereng kuning dari kantung yang kedua. Jawab : P [(K1 ∩ K2) ∪ (P1 ∩ K2)] = P (K1).P (K2⏐K1) + P (P1).P(K2⏐P1 ) = (3/7)(6/9) + (4/7)(5/9) = 38/63

11. Misal banyaknya kelereng berwarna dalam kotak yang sama adalah : Kotak 1

2

3

Merah

2

4

3

Putih

3

1

4

Biru

5

3

3

Sebuah kotak diambil secara acak dan kemudian dari kotak yang terpilih tersebut diambil secara acak sebuah kelereng : a.

Hitung peluang terambilnya kelereng merah

b.

Bila diketahui kelerengnya merah, berapa peluang bahwa kota yang terambil adalah kotak 3. Jawab : (a). P (M) = (0,2)(0,33) + (0,5)(0,33) + (0,3)(0,33) = 0,33 Jawab : (b). P (3⏐M) = P(3).P(M⏐R) / P(M) = (0,33)(0,3) / (0,33) = 0,3 Wijaya : Statistika II-1

9

11. Perakitan radio Indo Electric mempunyai dua unit produksi. Unit I memproduksi 80 % sedangkan unit II memproduksi 20 %. Menurut catatan dari unit pengendalian mutu secara rata–rata produksi dari unit I rusak 5 % dan dari unit II rusak 10 %. Sebuah radio diambil secara acak : a.

Berapa peluangnya bahwa radio yang diambil tersebut rusak.

b.

Jika radio yang diambil tersebut ternyata rusak, berapa peluangnya yang rusak tersebut dari unit I. Jawab : (a).

P (R) = (0,8)(0,05) + (0,2)(0,1) = 0,04 + 0,02 = 0,06

Jawab : (b).

P (I⏐R) = P (I).P(R⏐I) = (0,8)(0,05) = 0,04

Wijaya : Statistika II-1

10

II. SEBARAN PELUANG

2.1 Peubah Acak Peubah acak = Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap anggota dalam ruang contoh S. a.

Peubah Acak Diskrit : Peubah acak diskrit = Peubah yang nilainya tidak dapat diwakili oleh seluruh

titik dalam suatu selang, atau peubah acak yang datanya diperoleh dari hasil mencacah (misal banyaknya produk yang cacat, banyaknya buah cabai per tanaman dan lain–lain). b.

Peubah Acak Kontinyu : Peubah acak kontinyu = Peubah yang nilainya dapat diwakili oleh seluruh titik

dalam suatu selang, atau peubah acak yang datanya diperoleh dari hasil mengukur atau menimbang (misal tinggi, bobot, umur, suhu dan jarak). 2.2 Sebaran Peluang : (a)

Sebaran Peluang Diskrit atau Fungsi Peluang Diskrit : Sebaran Peluang Diskrit atau Fungsi Peluang Diskrit = Tabel atau rumus

yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak diskrit berikut peluangnya. Grafiknya berbentuk histogram peluang. (b). Sebaran Peluang Kontinyu : Sebaran

Peluang

Kontinyu

=

Rumus

yang

mencantumkan

semua

kemungkinan nilai suatu peubah acak kontinyu berikut peluangnya Sebaran Peluang Kontinyu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel. Grafiknya dapat berbentuk linier, simetris, menjulur ke kanan/kiri. Fungsinya disebut Fungsi Kepekatan Peluang. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinyu X, bila luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu X adalah 1, dan bila luas daerah di bawah kurva antara x = a dan x = b menyatakan peluang antara a dan b.

Wijaya : Statistika II-1

11

2.1.1 Sebaran Peluang Diskrit (Fungsi Peluang Diskrit) (1)

Sebaran Peluang Satu Peubah Acak Diskrit

Teladan 2.1 : 1.

Sebuah uang logam dilempar 3 kali (= 3 mata uang dilempar sekali), maka fungsi peluang (sebaran peluang) bagi banyaknya sisi gambar yang muncul adalah : 3 x f (x) = ———— 8

untuk x = 0, 1, 2, 3. Dan 8 = 23

x

0

1

2

3

f (x) = P (X = x)

1/8

3/8

3/8

1/8

F (X) = P (X = x)

1/8

4/8

7/8

8/8

Grafiknya dari f (x) adalah : P(X) 3 2 1 0 2

1

2

3

X

Tentukan sebaran peluang bagi banyaknya kaset Jazz, bila 4 kaset diambil dari sebuah koleksi yang terdiri dari 5 kaset jazz, 2 kaset klasik dan 3 kaset pop. Fungsi peluangnya : 5 x

10 – 5 4–x

f (x) = ———————— 10 4

untuk x = 0, 1, 2, 3, 4.

Wijaya : Statistika II-1

12

3

Dalam suatu pengiriman 7 buah TV terdapat 2 TV yang rusak. Misal diambil 3 TV secara acak, dan X menyatakan banyaknya TV yang rusak, tentukan fungsi peluang bagi X. Fungsi peluangnya : 2 x

7–2 3–x

f (x) = ————————

untuk x = 0, 1, 2.

7 3

(2) Sebaran Peluang Diskrit Bersama Sebaran Peluang Diskrit Bersama = Sebuah tabel atau rumus yang mendaftarkan semua kemungkinan nilai x dan y bagi peubah acak diskrit X dan Y, berikut peluang padanannya. Teladan 2.2 : 1

Dua isi ballpen dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi ballpen biru, 2 merah dan 3 hijau. Bila X menyatakan banyaknya isi bolpen biru dan Y banyaknya isi bolpen merah yang terpilih. Tentukan

a.

fungsi peluang bersama f (x,y).

b.

P [(X,Y) ∈ A] sedangkan A = {(x,y)⏐x + y = 1}

Jawab : a.

Fungsi peluangnya : 3 x

2 y

3 2–x–y

f (x,y) = ———————————— 8 2

Wijaya : Statistika II-1

13

Sebaran peluang bersama bagi x dan y adalah : x

f ( x,y )

1

2

0

3/28

9/28

3/28

1

6/28

6/28

2

1/28

Total Kolom

10/28

y

b.

Total Baris

0

15/28 12/28 1/28

15/28

3/28

1

P [(X,Y) ∈ A] sedangkan A = {(x,y)⏐x + y = 1} = f (0,0) + f (0,1) + f (1,0) = 3/28 + 9/28 + 6/28 = 18/28

(3)

Sebaran Peluang Marginal Peubah Acak Diskrit Sebaran Peluang Marginal Peubah Acak Diskrit = Bagian dari sebaran

peluang bersama, yang merupakan total kolom dan total baris. Jika total kolom sebagai g (x) dan total baris sebagai h (y), maka sebaran peluang marginalnya adalah :

(4)

x

0

1

2

x

0

1

2

g (x)

10/28

15/28

3/28

h (y)

15/28

12/28

½8

Sebaran Peluang Bersyarat Peubah Acak Diskrit Sebaran bersyarat bagi peubah acak diskrit Y untuk X = x adalah : f (x,y) f (y⏐x) = ———— g (x)

g (x) > 0

Sebaran bersyarat bagi peubah acak diskrit X untuk Y = y adalah : f (x,y) f (x⏐y) = ———— h (y)

h (y) > 0

f (x,y) = f (y⏐x) . g (x) = f (x⏐y) . h (y)

Wijaya : Statistika II-1

14

(5) Dua Peubah Acak Diskrit Bebas Dua peubah acak X dan Y dikatakan bebas jika dan hanya jika : f (x,y) = g (x). h (y) Teladan 2.3 : Misal untuk titik (0,1) maka f (0,1) = 6/28, g (0) = 10/28 dan h (1) = 12/28. Oleh karena (6/28) ≠ (10/28).(12/28) atau f (0,1) ≠ g (0). h (1) maka X dan Y tidak bebas. 2.2.1 Sebaran Peluang Kontinyu Peluang atau luas dibawah kurva yang dibatasi oleh X = a dan X = b dapat ditentukan dengan menghitung luas bangun atau dengan integral. Dalam hal ini berlaku : dF(x) f (x) = ———— dx

atau dF(x) = f (x). dx. = Fungsi Peluang Kumulatif.

Teladan 2.4 : 1.

Sebuah peubah acak kontinyu mengambil nilai antara x = 2 dan x = 4 mempunyai fungsi kepekatan peluang f (x) = 1/8 x + 1/8.

a.

Perlihatkan bahwa P (2 < X < 4) = 1

b.

Hitunglah P (X < 3.5) Jawab : f(x) 5/8 4/8 3/8 2/8 1/8 0

a

1

2

3

4

x

P (2 < X < 4) = Luas Trapesium = ½ (3/8 + 5/8) x 2 = 1 4

4

atau : P (2 < X < 4) = ∫ 1/8 x + 1/8 dx = 1/16 x2 + 1/8 x ] = 1 2

b.

2

P (X < 3.5) = ½ (3/8 + 9/16) x 1,5 = 0,70 Wijaya : Statistika II-1

15

(1)

Sebaran Peluang Kontinyu Bersama dan Marjinal d2F(x) f (x,y) = ———— dx.dy x2 y2 P (x1 < X < x2, y1 < Y < y2) = ∫ ∫ f (x,y) dx.dy. x1 y1 ~ g (x) = ∫ f (x,y) dy ~

dan

~ h (y) = ∫ f (x,y) dx. ~

Teladan 2.5 : f (x,y) = x + y , 0 < x < 1, 0 < y < 1 = 0

, untuk x dan y lainnya

a.

Hitunglah f (x,y), jika X = (0), (0,5), (1) dan Y = (0), (0,5), (1)

b.

Tentukan peluang marginal g (x) dan h (y)

c.

Tentukan F (x,y)

d.

Tentukan P (0,2 < X = 0,4, 0,1 < Y = 0,4) Jawab :

a.

f (x,y), jika X = (0), (0,5), (1) dan Y = (0), (0,5), (1) X

Y

0,5

1

0

0

0,5

1

1,5

0,5

0,5

1

1,5

3

1

1

1,5

2

4,5

Jumlah

1,5

3

4,5

9

1

b.

Jumlah

0

1

2

1

g (x) = ∫ f (x,y) dy = ∫ (x + y) dy = xy + ½ y ] = x + ½ 0

0

1

0

1

2

1

h (y) = ∫ f (x,y) dx = ∫ (x + y) dx = ½ x + x y ] = y + ½ 0

0 x y

c.

F (x,y) = ∫ ∫ f (x,y) dx.dy = 0 0

0 x y

∫ ∫ ( x + y ) dx.dy = 0 0

Wijaya : Statistika II-1

16

x

F (x,y) = ∫ xy + ½ y2 dx. = ½ x2y + ½ xy2 = ½ ( x2y + xy2 ) 0 0,4 0,4

d.

F (x,y) = ∫

∫ f (x,y) dx.dy = ½ ( x2y + xy2 )

0,2 0,1

= F (0,4 ; 0,4) – F (0,2 ; 0,4) – F (0,4 ; 0,1) + F (0,2 ; 0,1) = 0,064 – 0,024 – 0,010 + 0,003 = 0,033 (Misal untuk F (0,2 ; 0,4) = ½ [ (0,2)2(0,4) + (0,2)(0,4)2] = ½ (0,048) = 0,024) (2)

Sebaran Peluang Bersyarat Peubah Acak Kontinyu Sebaran bersyarat bagi peubah acak kontinyu Y untuk X = x adalah : f (x,y) f (y⏐x) = ———— g (x)

g (x) > 0

Sebaran bersyarat bagi peubah acak kontinyu X untuk Y = y adalah : f (x,y) f (x⏐y) = ———— h (y)

h (y) > 0

f (x,y) = f (x⏐y). h (y) = f (y⏐x). g (x) Teladan 2.6 : f (x,y) = x + y , 0 < x < 1, 0 < y < 1 a.

Tentukan f (x⏐y)

b.

Tentukan P (0,2 < X < 0,4 ⏐y = 0,2) Jawab : 1

a.

h (y) = ∫ x + y dx. = y + ½ = (2 y + 1) / 2 0

f (x⏐y) = f (x,y) / h (y) = ( x + y )2 / 2 y + 1 = (2x + 2y) / (2y + 1) 0,4

b.

P (0,2 < X < 0,4 ⏐y = 0,2) = ∫ (2x + 0,4) / 1,4 dx. = 1/7 0,2

Wijaya : Statistika II-1

17

2.3 Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak. 2.3.1 Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak Diskrit Nilai Harapan disebut juga harapan matematis, Ekspektasi, Nilai Tengah atau Rata–rata. (1)

Nilai Harapan Suatu Peubah Acak Diskrit. Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan sebaran peluang : x p(X=x)

x1

x2



xn

f (x1)

f (x2)



f (xn)

Maka Nilai harapan bagi X adalah : E (X) = ∑ x. f (xi). Teladan 2.7 : 1.

A akan memperoleh keuntungan Rp. 800.000,– dalam menjual buah mangga dengan peluang 0,8, bila cuaca tidak hujan. Apabila cuaca hujan maka ia akan rugi Rp. 500.000,–.

Bila ia menjual buah duku maka ia akan

memperoleh keuntungan Rp. 600.000,– dengan peluang 0,7 bila cuaca tidak hujan. Bila cuaca hujan maka ia akan rugi sebesar Rp. 200.000,–. Tentukan nilai harapan keuntungan bagi A dalam menjual buah mangga dan duku tersebut, serta tentukan apakah A akan memilih menjual buah mangga atau duku. Jawab. Nilai Harapan keuntungan menjual Mangga : E (X) = (0,8)(800.000) – (0,2)(500.000) = 540.000 Nilai Harapan keuntungan menjual Duku : E (X) = (0,7)(600.000) – (0,3)(200.000) = 360.000 Karena nilai harapan keuntungan menjual buah mangga lebih besar maka A akan memilih menjual buah mangga. 2.

Dalam sebuah permainan, petaruh akan mendapat $5 bila hasil dari 3 lemparan sebuah uang logam adalah gambar semua atau angka semua, tetapi ia harus membayar $3 bila hasilnya adalah 1 atau 2 sisi gambar. Wijaya : Statistika II-1

18

Berapa penerimaan harapan bagi petaruh tersebut. Jawab : S = {GGG, GGA, GAG, GAA, AGG, AGA, AAG, AAA}, jadi gambar semua atau angka semua ada 2 dari 8 kemunngkinan ( p = 2/8) dan muncul 1 atau 2 gambar ada 6 kemungkinan (p = 6/8). E (X) = 5 (2/8) + (–3)(6/8) = –1, artinya rata–rata petaruh itu kalah $1 tiap satu lemparan uang logam. 3.

Tentukan nilai harapan banyaknya orang laki–laki dalam sebuah panitia yang terdiri dari 3 orang, yang diambil secara acak dari 4 laki–laki dan 3 perempuan. Jawab : 4 3 x 3–x f (x) = ——————— 7 3

untuk x = 0, 1, 2, 3.

x

0

1

2

3

f (x)

1/35

12/35

18/35

4/35

Jadi E (X) = (0)(1/35) + (1)(12/35) + (2)(18/35) + (3)(4/35) = 1,7 (2)

Nilai Harapan Fungsi Satu Peubah Acak Diskrit. Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan sebaran peluang : x p(X=x)

x1

x2



xn

f (x1)

f (x2)



f (xn)

Maka Nilai harapan peubah acak g (X) adalah : E [g(X)] = ∑ g(xi). f (xi). Teladan 2.8 : Misal banyaknya mobil X yang dicuci di suatu tempat pencucian mobil antara pukul 16.00 dan 17.00 pada setiap hari jum’at mempunyai sebaran peluang : . x

4

5

6

7

8

9

p (X = x)

1/12

1/12

1/4

1/4

1/6

1/6

Wijaya : Statistika II-1

19

Bila g (X) = 2X –1 menyatakan banyaknya uang ($) yang dibayarkan oleh manajer kepada petugas pencuci, tentukan penerimaan harapan petugas pencuci mobil pada periode tersebut : Jawab : E [(g (X)] = E (2X –1) = ∑ (2X –1). f (xi) = 7(1/12) + 9(1/12) + 11(1/4) + 13(1/4) + 15(1/6) + 17(1/6) = $ 12,67

(3)

Nilai Harapan Fungsi Dua Peubah Acak Diskrit Misal kan X dan Y merupakan peubah acak diskrit dengan peluang bersama f

(x,y), untuk x = x1, x2, …, xn

dan y = y1, y2, … , yn. Maka nilai harapan bagi

peubah acak g (X,Y) adalah : E [g (X,Y)] = ∑ ∑ g(xi ,yi). f (xi , yi). Teladan 2.9 : Sebaran peluang bersama bagi x dan y adalah : x

f ( x,y )

y

0

1

2

0

3/28

9/28

3/28

1

6/28

6/28

2

1/28

Total Kolom

10/28

Total Baris 15/28 12/28 1/28

15/28

3/28

1

Carilah (a) nilai harapan bagi g (x) = XY atau E (XY), (b) E (X) dan E (Y) yang merupakan sebaran peluang marginalnya. Jawab : a.

E [g (XY)] = ∑ ∑ g(xi ,yi). f (xi , yi) = ∑ ∑ x,y. f (x , y) = (0)(0).f (0,0) + (0)(1).f (0,1) + (0)(2).f (0,2) + (1)(0).f (1,0) + (1)(1). f (1,1) + (1)(2). f(1,2) + (2)(1).f (2,1) = f (1,1) = 6/28 Wijaya : Statistika II-1

20

b.

E (X) terjadi jika g (X,Y) = X sehingga E (X) = ∑ ∑ x,. f (x , y) atau E (X) = x. g (x) = (0)(10/28) + (1)(15/28) + (2)(3/28) = 21/28 = ¾ E (Y) = ∑ ∑ y,. f (x , y) atau E (Y) = y. h (y) = (0)(15/28) + (1)(12/28) + (2)(1/28) = 14/28 = ½

(4) Ragam Suatu Peubah Acak Diskrit. Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan sebaran peluang : x p(X=x)

x1

x2



xn

f (x1)

f (x2)



f (xn)

Maka Ragam bagi X adalah : σ2 = E [(X – μ)2 ] = ∑ (xi – μ)2. f (xi). Atau σ2 = E [(X – μ)2 ] = E (X)2 – μ2 Teladan 2.10 : Tentukan Ragam banyaknya orang laki–laki dalam sebuah panitia yang terdiri dari 3 orang, yang diambil secara acak dari 4 laki–laki dan 3 perempuan. Jawab : x

0

1

2

3

f (x)

1/35

12/35

18/35

4/35

telah didapat nilai E (X) = μ = 12/7 σ2 = E [(X – μ)2 ] = ∑ (xi – μ)2. f (xi) = (0–12/7)(1/35) + (1–12/7)(12/35) + (2–12/7)(18/35) + (3–12/7)(4/35) σ2 = 24/49 Dengan rumus hitung : σ2 = E [(X – μ)2 ] = E (X)2 – μ2 E (X)2 = x2.f (x) = (0)(1/35) + (1)(12/35) + (4)(15/35) + (9)(4/35) = 24/7 σ2 = E (X)2 – μ2 = 24/7 – (12/7) = 24/49

Wijaya : Statistika II-1

21

(5)

Ragam Fungsi Satu Peubah Acak Diskrit. Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan sebaran peluang : x

x1

x2



xn

p(X=x)

f (x1)

f (x2)



f (xn)

Ragam bagi g (X) : σ2 = E {[g(X) – μg(x)]2 } = ∑ [(g(xi) – μg(x)]2. f (xi). Atau σ2 = E {[g(X) – μg(x)]2 } = ∑ [(g(xi) ]2 – [μg(x)]2. Teladan 2.11 : Hitung ragam g (X) = 2X + 3 bila X merupakan peubah acak dengan sebaran peluang : x

0

1

2

3

f (x)

1/4

1/8

1/2

1/8

Jawab : E [(g (X)] = E (2X+3) = ∑ (2X+3). f (xi) = 3(1/4) + 5(1/8) + 7(1/2) + 9(1/8) = 6 σ2 = E {[g(X) – μg(x)]2 } = ∑ [(g(xi) – (μg(x))]2 .f (x) = ∑ [(2X+3) – 6]2 .f (x) = ∑ (4X2 – 12X + 9).f (x) = 9(2/8) + 1(1/8) + 1(4/8) + 9(1/8) = 32/8 = 4 , atau dengan rumus hitung : σ2 = E {[g(X) – μg(x)]2 } = E[(g(xi) ]2 – (μg(x))2 E[(g(xi) ]2 = E(2X + 3)2 = ∑ (4X2 +12X + 9).f(x) = = 9(2/8) + 25(1/8) + 49(4/8) + 81(1/8) = 320/8 = 40 σ2 = E {[g(X) – μg(x)]2 } = E[(g(xi) ]2 – (μg(x))2 = 40 – 36 = 4 (6)

Peragam (Kovarians) Dua Peubah Acak Peragam dua peubah acak X dan Y yaitu σYX dirumuskan sebagai : σYX = E [(X – μX ) (Y – μY)

Wijaya : Statistika II-1

22

2.3.2 Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak Kontinyu 1.

~ E (X) = ∫ x. f (x) dx = μX –~

2.

~ E (X – μX)2 = ∫ (x – μx ). f (x) dx = σ2

6.

–~ ~ E {g(x)} = ∫ g(x). f (x) dx –~ ~~ E {g(x,y)} = ∫ ∫ g(x,y). f (x,y) dx.dy. –~ –~ ~ E (X⏐Y) = ∫ x. f (x⏐y) dx (Rata–rata Bersyarat) –~ E (X⏐Y)2 = E [{X – μ X⏐Y}2⏐y] (Ragam Bersyarat)

7.

Koefisien Korelasi X dan Y = Rxy = (σYX ) / (σX .σY)

3. 4. 5.

Teladan 2.12 : 1.

f (x,y) = 2 , = 0,

0