STATISTIKA MATEMATIKA I - WordPress.com

STATISTIKA MATEMATIKA I

Disusun Oleh :

Februl Defila (10050051)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN PENDIDIKAN (STKIP) PGRI SUMATERA BARAT 2012

BAB I PELUANG 1.1 Ruang Sampel dan Kejadian Ruang sampel atau sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin dari sebuah experience, disimbolkan “S”. Himpunan bagian dari ruang sampel dinamakan kejadian/event. Secara khusus, himpunan yang hanya terdiri dari satu kejadian dinamakan kejadian dasar. Contoh : 1. Jika sebuah koin dilempar 3 kali, kejadian yang mungkin adalah : S={GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA}. Dengan S adalah ruang sampel. 2. S = {1,2,3}

 S   23 = {  ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Dari pernyataan diatas diperoleh : {1}  S {1}   S  {1}   S  Dimana  S  adalah power set atau himpunan bagian. 3. Sebuah dadu dilempar 120 kali. Dari kejadian tersebut, diperoleh hasil eksperimen atau frekuensi kejadian sebagai berikut : Angka 1 sebanyak 20 kali, angka 2 sebanyak 19 kali, angka 3 sebanyak 18 kali, angka 4 sebanyak 21 kali, angka 5 sebanyak 17 kali, angka 6 sebanyak 25 kali. Tentukan banyaknya jumlah frekuensi jika : a) Ada sebuah kejadian munculnya angka genap. b) Ada sebuah kejadian munculnya angka ganjil. c) Ada sebuah kejadian munculnya angka kurang dari 4. Jawab : Untuk

menjawab

pertanyaan

diatas,

pengertian

peluang

dapat

diterjemahkan

menggunakan frekuensi relatif kejadian yang didefinisikan sebagai : f n ( A) 

f ( A) f (S ) 1

Februl Defila [email protected] http://febroeldefila.wordpress.com

f ( S ) 120  1 f ( S ) 120

f n (S ) 

a) A = {2,4,6} maka f(A) = 19 + 21 + 25 = 65 f n ( A) 

f ( A) 65  f ( S ) 120

b) B = {1,3,5} maka f(B) = 20 + 18 + 17 = 55 f n ( B) 

c)

f ( B) 55  f ( S ) 120

C = {1,2,3} maka f(C) = 20 + 19 + 18 = 57 f n (C ) 



f (C ) 57  f ( S ) 120

Dari contoh soal diatas, frekuensi relatif memiliki sifat : 

f n (0)  0



f n (S )  1



f n ( A  B)  f n  A  f n B  jika A  B  



Kejadian dikatakan saling asing jika kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersama-sama.



Jika ruang sampel suatu percobaan dengan kejadian dasar S = {Si}, maka peluang timbulnya kejadian dasar S = {Si} dengan i = 1,2,…,n adalah : Pi = P[{Si}], i = 1,2,…,n dengan sifat :  Pi  0 

P i 1

i

1

 k  k  Jika A1,…,Ak adalah kejadian dalam S yang saling asing maka P  Pi    Pi  i 1  i 1

1.2 Peluang Klasik Peluang Klasik adalah suatu kejadian yang mempunyai peluang yang sama, yaitu Pi 

1 . N

1 , i, i  1,2,...,N N 2


P  A 

n( A) , dengan sifat : P( A)  0 ; P(S )  1 ; P( )  0 dan P( A  B)  P( A)  P( B) n( S )

jika A  B  

Sifat – sifat lain dari peluang, dinyatakan dalam teorema berikut : Jika A,B suatu kejadian dalam S, maka : 1. P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) 2. P( A)  1  P( A)

A A  S A A 

3. P( A  B)  P( A)  P( A  B) 4. P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( A  B)  P( A  C )  P( B  C ) +

P A  B  C 

Contoh : Dua kartu diambil secara acak satu – persatu, tentukan peluang bahwa kartu yang terambil pertama adalah kartu Jack dan kartu yang terambil kedua adalah kartu Queen! Jawab : Peluang dari kejadian diatas adalah : 4 4 16 4    52 51 2652 663

1.3 Peluang Bersyarat Peluang bersyarat suatu kejadian dengan syarat terjadinya peristiwa yang lain (sebelumnya) didefinisikan sebagai berikut : P A | B  

P A  B  P B 

dengan PB   0

3


Secara umum, jika dua peristiwa A1 dan A2 saling asing P A1  A2 | B  

 A1  A2    ,

maka :

P A1  A2  B  P B 

=

P A1  B  A2  B  P B 



P A1  B  P A2  B   P B  P B 

 P A1 | B   P A2 | B  Sifat – sifat lain dari peluang bersyarat adalah sebagai berikut : 1. P(A|B) = P A | B  2. P A1  A2 | B  = P A1 | B   P A2 | B   P A1  A2 | B  3. 0  P A | B   1

Contoh : 1. Empat kartu diambil secara random satu persatu tanpa pengembalian. Tentukan probabilitas bahwa kartu yang terambil secara berturut – turut adalah as waru hitam (AsWH), as waru merah (AsWM), as wajik (AsW), as semanggi (AsS)! Jawab : P( AsWH  AsWM  AsWJ  As s )  P AsWH P AsWM | AsWH P AsWJ | AsWH  AsWM  P As s | AsWH  AsWM  AsWJ 



1 1 1 1 = 0,079    52 51 50 49

2. Kotak A berisi 10 bola merah (MA) dan 15 bola hijau (HA). Kotak B berisi 12 bola merah (MB) dan 17 bola hijau (HB). Sebuah bola diambil secara acak dari kotak A kemudian dikembalikan ke kotak B. Dari kotak B diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang bahwa 2 bola yang terambil berwarna hijau! Jawab : 4


PH A  H B   PH A PH B | H A  

15 18 .  0,36 25 30

1.4 Hukum Total Probabilitas Menurut teori himpunan, telah diuraikan bahwa jika kejadian B dan kejadian B saling asing, maka : 1.

BB 

3.

A   

5.

A S  A

2.

BB  S

4.

A   A

6.

A S  S

–

kejadian

Hukum diatas disebut dengan Hukum Identitas.

A S

= A

A  B  B  n A  B  B 

= A B  A B = n A  B   nA  B  , sehingga = P A  B  B 

P A

= P A  B   PA  B 

Secara

umum,

jika

B1 , B2 ,..., Bk

kejadian

saling

asing,

maka

S  B1  B2  ...  Bk . Sehingga : A  S  A  B1  B2  ...  Bk   A  B1  A  B2  ...  A  Bk

Teorema : Jika B1 , B2 ,..., Bk himpunan kejadian saling asing, maka untuk sebarang peristiwa A berlaku : k

P  A   P Bi P A | Bi  i 1

Bukti : Karena A   A  B1   ...   A  Bk  5


P A  P A  B1   ...  P A  Bk 

= PB1 .P A | B1   ...  PBk .P A | Bk  k

=

 PB .P A | B  i

i 1

i

Contoh : a.

Terdapat 3 dos berisi barang elektronik (lampu). Dos I berisi 25 lampu dan 5 diantaranya rusak. Dos II berisi 35 lampu dan 10 diantaranya rusak. Dos III berisi 40 lampu dan 5 diantaranya rusak. Sebuah dos dipilih secara random, tentukan probabilitas bahwa produk yang terambil rusak! Jawab: Misal : A = lampu yang rusak B1 = dos 1 B2 = dos 2 B3 = dos 3 P A  P A  B1   P A  B2   P A  B3 

= PB1   P A | B1   PB2   P A | B2   PB3   P A | B3  =

1 5 1 10 1 5      3 25 3 30 3 40

Dari contoh di atas, dapat dikaitkan konsep aturan Bayes, sebagai berikut : Jika diasumsikan seperti syarat pada teorema sebelumnya, maka untuk setiap j,j=1, 2, 3, ... , k berlaku :

PB j | A 

PB j PA | B j 

 PB PA | B  k

j 1

j

j

6


1.5 Kejadian Saling Bebas Dua kejadian dikatakan saling bebas jika tidak saling mempengaruhi. Secara statistik, A dan B dikatakan bebas / independent, jika :

P A  B  = P A  PB   Saling Bebas P A  B   P A  PB   Tidak bebas / Saling tergantung Sehingga : P A | B   P A, jika A, B bebas : P A | B   PB , jika B, A bebas Teorema : Jika A dan B adalah dua kejadian saling bebas jika dan hanya jika : 7. A dan B , bebas 8. A dan B, bebas 9. A dan B , bebas Bukti : 10.

P  A  B  = P  A  P  A  B 

= P A  P APB  = P A1  PB  = P B P  A Secara umum, jika Ai,

i ,

i  1,2,...,k

adalah peristiwa saling bebas, maka :

k  k  P  Ai   P Ai  i 1  i 1 

Contoh : Jika dua dadu dilempar satu kali secara bersamaan, tunjukkan bahwa dua kejadian dibawah ini saling bebas ! Jawab : A : Dua dadu berjumlah tujuh. B : Dua dadu memiliki angka yang sama. 7


Jawab :

A  1,6, 2,5, 3,4, 4,3, 5,2, 6,1 B  1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 5,5, 6,6 Sehingga dapat diketahui bahwa : P  A  P  B  

1 1 1 1 , P A  PB     6 6 36 6

A  B   , P A  B   0

Karena P A  B   P A PB  , maka dua kejadian A dan B adalah kejadian yang saling bebas.

8


BAB II VARIABEL RANDOM DAN FUNGSI DISTRIBUSI 2.1 Variabel Random Variabel random adalah sebuah fungsi dengan domain kecil hasil pengamatan dan kodomainnya merupakan himpunan bilangan real. Variabel random disimbolkan dengan huruf kapital ( X, Y, Z, dll ). Contoh : 1. Sebuah koin dilemparkan tiga kali, maka ruang sampelnya adalah : S = { AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} 2. Misalkan X merupakan variabel random yang menyatakan banyaknya angka yang muncul, Y adalah variabel random yang menyatakan banyaknya gambar yang muncul, maka apa hubungan antara X dan Y? Jawab :

S

X

Y

P(X)

P(Y)

AAA

3

0

1 8

1 8

2

1

3 8

3 8

1

2

3 8

3 8

0

3

1 8

1 8

AAG AGA GAA AGG GAG GGA GGG

Keterangan : 9


Karena P X   PY  , dan X  Y , maka X dan Y merupakan variabel acak identik. Selain itu, karena P X  Y   P X PY   X, Y independent. Macam-macam variabel acak : a.

Variabel Acak Diskrit (Countable)

b.

Variabel Acak Continue (Measurable)

2.2

Variabel Acak Diskrit (pdf) Jika ruang sampel dari variabel random X countable, maka variabel random X dinamakan variabel random diskrit. Suatu fungsi dengan domain variabel acak diskrit dinamakan fungsi densitas probabilitas diskrit. Disingkat dengan pdf diskrit atau dinamakan fungsi masa probabilitas.

Teorema : Suatu fungsi f (x) adalah pdf diskrit jika hanya jika memenuhi sifat: 1. f (x) > 0 2.

 f x   1

3. Penulisan lain f (x)  f X x  dengan x = nilai variabel random X

Contoh : Dari contoh pelemparan koin di atas (Sebuah koin yang dilempar 3 kali), jelas bahwa f (x) = P (X = x), x = 0, 1, 2, 3. Semuanya  0 dan jumlahnya = 1

2.3 Fungsi Distributif Kumulatif (CDF) CDF dari variabel acak X didefinisikan untuk sebarang bilangan real x berlaku :

F x   P X  x   FX x  = P X  x   1  F  x 

10


Teorema : Misal X variabel acak diskrit dengan pdf = f(x) dan CDF = F(x). Jika nilai-nilai dari variabel acak X yang mungkin adalah berurutan naik, maka : x1  x 2  x3  .....

f x1   F x1  dan  j , j>1 , berlaku f x j  = F x j   F x j 1  Sedangkan untuk x < x i , maka F(x) = 0 Sehingga F x  

 f x 

x j x

j

Sifat-sifat CDF : lim F x   1

a.

X 

lim F x   0

b.

X 

lim F x  h  F x 

c.

h 0 

a  b  F a   F b 

d.

Contoh : Dari contoh pelemparan koin diatas (sebuah koin yang dilemparkan tiga kali), bentuklah fungsi distribusinya! Jawab : F x 

1 7

4 1

8

8 8

1

2

x

3

11


2.4 Variabel Acak Kontinu Suatu variabel acak X disebut variabel acak kontinu jika terdapat pdf f(x), sedemikian hingga CDF-nya dapat dinyatakan sebagai : F x  

CDF 

x

 f t dt



f x  

pdf 

d F x  dx

Secara khusus, jika X variabel acak kontinu, maka : a.

Pa  x  b   Pa  x  b   Pa  x  b   Pa  x  b 

a.

Px  k   0, dengan k = konstanta

b.

Pa  x  b    f x dx

b

a

Teorema : Suatu fungsi f (x) adalah pdf untuk beberapa variabel acak kontinu X, jika memenuhi : 1.

f  x   0 ,  bilangan real X. 

2.

 f xdx  1



Contoh :

c 1 x  , x 0 Jika X merupakan variabel acak kontinu dengan pdf f x     0, x 0 3

Tentukan CDF nya! Jawab : 

 c1  x 

3

= 1

dx





1 1  x 2  c 2 0

= 1

c

= 2 12


Maka, CDF nya adalah : F x  

x



f t dt =



x

 21  t 

3

dt



11 x  , x 0 F x     0, x 0 2

2.5 Nilai Harapan Apabila X adalah variabel acak diskrit dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan dari X n

didefinisikan sebagai : E  x    xf  x  X 1

Contoh : Dari contoh pelemparan koin di atas (Sebuah koin yang dilempar 3 kali), didapat E x  

3 1 3 3 1 3 . E x   3.  2.  1.  0.  2 8 8 8 8 2

Jika X variabel acak kontinu dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan   E x  



 xf x dx



Contoh : Dari contoh di atas (Jika X merupakan variabel acak kontinu), maka : E x  







0

 x.0.dx   x.21  x  dx  1 3

Sifat – sifat umum nilai harapan Teorema : Jika X variabel random dengan pdf f(x) dan u(x) merupakan fungsi bernilai real dari variabel random X, maka : E u  x    u  x  f  x 

, X VAD

R

Eux    ux  f x dx

, X VAK

R

13


Jika X variabel random dengan pdf f(x), a, b suatu konstanta dan g(x), h(x) suatu fungsi bernilai real dari variabel x, maka:

E a.g x   bhx   aEg x   bEhx  Bukti : Misalkan V variable acak kontinu, maka :

Ea.g x   bhx    a.g x   bhx  f x dx R

=  a.g x  f x dx   bhx  f x dx R

R

= a  g x  f x dx  b hx  f x dx R

R

= aE g x   bE hx  Secara khusus, E ax  b   aE x   E b 

E b   bf x dx  E  f x dx  1 R

R

2.6 Distribusi Campuran (Mixed Distribution) Suatu distribusi probabilitas untuk variabel random X dinamakan campuran, jika CDF-nya dapat dinyatakan sebagai berikut : F x   Fd x   1   Fc x  , dengan 0  x  1

Contoh : Misal X adalah variabel random yang menyatakan waktu tunggu sebuah proses dengan CDF F x   0,4.Fd x   0,6.Fc x  , dengan Fd  x   1 dan Fc  x   1  e  x , untuk x  0 . Tentukan

bentuk CDF campuran tersebut! Jawab :

P x  t 

= F x 

P x  t 

= 1  F x 

x  0  Px  0  0,4 14






x  5  0,4  0,6 1  e  x  0,636

Jadi, Px  t | x  0

=

P x  0danP x  t  P x  0

=

P0  x  t  Px  0

=

F t   F 0  1  F x  0

=

0,4  0,6 1  e t 1  0,4





= 1  e t f t  





d d F t   1  e t  e t dt dt

2.7 Varian Varian

dari

variabel

acak

X

didefinisikan

sebagai

Var(x)

=

V(x)

=

 x2  Ex  Ex2 ,  0, dengan E x    Atau Var  x    x    f  x  , variabel acak diskrit 2

Atau Varx    x    f x dx , variabel acak kontinu 2

R

Teorema : Jika X variabel acak kontinu, maka vx   E x 2    2 Bukti :

V x    x    f x dx  E x    2

2

R

  = E x   2E x   E   = E x 2  2 x  

2

2

2

= E  x   2  .   2 2

2 V x   E x    2

15


Contoh : Perhatikan contoh pelemparan koin sebelumnya, dengan mean = 3 . Tentukan varian dan 2 simpangan bakunya! Jawab : x = 0, 1, 2, 3 Var(x) =  x    f  x  2



= 0 3

2 . 18  1  3 2  . 2 8  2  3 2  . 38  3  3 . 18 2

2

2

2

Var(x) = 0.75 Maka,   V x  0,75  0,8661 Teorema : Jika X variabel acak dan a, b suatu konstanta, maka : V(ax+b)=V(ax) sehingga V(ax+b) = a2 V(x) Bukti :

V ax  b   E ax  b   E ax  b 2 = E ax  b   E ax  b  2

2

= a 2 v x  Jika X,Y dua buah variabel random, maka berlaku :

V x  y   V x   V  y   2Covx, y  Jika X, Y independen dan cov (x, y) = 0, maka berlaku : v( x  y )  v( x)  v( y )

Covx, y   E x  x  y  y  = E xy   E x .E  y 

Jika X, Y independen, maka :

E xy   E x .E  y  Sehingga Cov (x,y) = 0 16


 x, y   korelasi (x, y) =

cov(x, y )

V  y  V x 

Secara khusus, V ( x)  cov(x, x)

2.8 Momen Momen ke-k di sekitar x=0 dari variabel random X didefinisikan sebagai :

 k  E x k  Momen ke k disekitar x =  , didefinisikan :  k  Ex   

k

Jika k=1  1  E x     E ( x)    0 k=2   2  E ( x   ) 2   2 Contoh : Misalkan ada seorang pembalap mobil yang diasumsikan waktu berkendaranya antara 20 hingga 30 menit. Jika X adalah variable acak yang menyatakan waktu dalam menit, maka tentukan momen ke k dari variable tersebut! Jawab :

f X x  



1 10

1 10

, 20  x  30

, untuk yang lain.

Momen ke k dari variable acak tersebut adalah : mk

 E X 

30

xk   dx 10 20

k



30 k 1  20 k 1 , dimana k = 1, 2, 3, … 10 k  1

Sehingga diperoleh : 2 2  30  20 m1  102

 25 dan m2 

303  203  633 1 103 3

17


Karena m1   X , sehingga diperoleh  X  25 . Dan karena m2   X2   X2 , maka diperoleh

 X2  8

1 3

Batas – batas probabilitas Jika X suatu variabel random dan  x fungsi bernilai real non-negatif, maka untuk sembarang konstanta positif c, berlaku : p (  x  c) 

E  x  c

Dari teorema batas – batas probabilitas di atas, dapat diturunkan sebuah pertidaksamaan Chebychev, sebagai berikut : Teorema : Jika X variabel random dengan mean  dan varian  2 , maka untuk sebarang k>0, berlaku : Px    k  





1 1 or p x    k  1  2 2 k k

Jika diambil   k  k  











2 2 P x      2 atau p x      1  2   2.9 Aproksimasi Mean dan Varian Jika suatu fungsi dari variabel random X dapat dinyatakan atau diekspansikan dengan Deret Taylor di sekitar x   , maka mean dan variannya dapat ditentukan. Selanjutnya, misalkan turunan dari fungsi H '  x , H '' x ,...., H n  x  dan H  x  dapat diekspansikan menurut Deret Taylor di sekitar x   , maka : H '  x   H   

x ' x H    H "    ......... 1! 2! 2

Sehingga : E H ( x)   E H     x   H '   

x   2 H "    ....) 2!

18


= H    E x   H '    E x    . 2

= H    0  0  Jadi, E H x   H   

H "    ..... 2

H ''   2

1 " 1 H   2  e   e   2 2 2

V H x   V H    x   H '    ........  = 0  V x     H '  

  = H    Jadi, V H x   H   r

= H '   vx    2

2

'

2

2

'

2

Contoh : Jika X variabel random bernilai positif dengan pdf f  x   ln x , maka tentukan Eln x  dan

V ln x  Jawab :

H x  ln x maka H    ln x H ' x  

1 x

H " x    E ln x   ln  

= ln   = ln  

1 x2

1 x   2  H '' x  2

1 x   2   12  2    1 2 2

2 19


V ln x   H '    2 2

=

=

1



2

2

2 2

2.10 Momen Generation Function (MGF) Jika X variabel random, maka MGF dari X didefinisikan sebagai berikut :

 

M x t   E e tx ,  h  t  h , h  0

Ekspektasi ini ada nilainya, jika : X Variabel acak diskrit  M x t   E e tx    e txi f  x1  

i 1

 

X Variabel acak kontinu  M x t   E e tx   e tx f x dx r

Fungsi ini penting terutama dalam mendapatkan mean dan varian. Secara khusus, jika X variabel diskrit, maka berlaku :

M x t    etxi f xi 

M ' xt    xietxi f xi  M " x t    xi e txi f xi  2

: :

M x( r ) t    xir etxi f xi  Jika t = 0, maka :

M x' 0   xi f xi  = E x   

M x'' 0   xi2 f xi  20


= E x 2    2  r 2

M xr f xi    xir f xi  Jadi ,   M '  x 0 

 2  M '' x0  M ' x0

2

Contoh : Jika X variabel acak kontinu dengan f  x   e  x , x  0 , maka tentukan MGF! Jawab :

M x t    e tx f x dx R 

=  e tx e  x dx 0 

e

=

t 1 x

dx

0

e t 1x d t  1x = t 1 0 

=

1 t 1x  e 0 t 1 

=

=

1 1t  x e 0 t 1 1 0  1 1 t

1 ,t  1 t 1

M x t  

1 1  1  t  1 t

M x' t   11  t   1 2

21


= 1  t 

2

M x' 0   1

M x" t   21  t   1 3

= 21  t 

3

M x" 0   2

Jadi, E x   1

 2  2   12  1

Contoh : 1 Jika X variabel acak diskrit dengan pdf f x     2

x 1

dengan x=0,1... Tentukan MGF-nya!

Jawab : 

M x t    e txi f  xi  i 0



1 = e   2 i 0

xi 1

txi

1   et =   2 i 0  2

  

xi

=

1  xi s 2 i 0

=

1 1  s  s 2  ... 2





1 1  =  2 1  8 

=

1  deret konvergen 2  et

Jadi, e t  2

t  ln 2 22


Sifat-sifat MGF : 1. Jika y = ax+b, maka MGF-nya adalah M y t   ebt M x at  2. y  x    M y t   e  t M x t 

Teorema : 

Jika MGF X ada, maka E x r   M xr  0  dengan M x t   1   r 1

 

E xr t r r!

23


BAB III HUKUM – HUKUM PROBABILITAS 

Distribusi Probabilitas Terdapat dua macam distribusi probabilitas, yaitu : 1. Variabel acak diskrit 2. Variabel acak kontinu

Macam-macam distribusi probabilitas variabel acak diskrit : 1. Distribusi Bernoulli 2. Distribusi Binomial 3. Distribusi Hipergeometrik 4. Distribusi Poisson 5. Distribusi Uniform, dll.

Macam-macam distribusi probabilitas variabel acak kontinu : 1. Distribusi Uniform 2. Distribusi Gamma 3. Distribusi Eksponensial 4. Distribusi Weibull 5. Distribusi Normal, dll. 

VARIABEL ACAK DISKRIT 3.1 Distribusi Bernoulli Suatu variabel acak X berdistribusi Bernoulli jika pdf-nya berbentuk : f ( x)  p x q 1 x , x  0,1,...

p = sukses, jika 0 < p < 1 q = gagal, jika (1 - p) 24


Teorema : Jika X  Bernoulli, maka :

E ( x)  p v( x)  pq

Contoh : Buktikan teorema diatas dan cari MGF-nya! Jawab :

E( x)   xf ( x)

E( x 2 )   x 2 f ( x)

= 0.q  1. p

= 0.q  1. p

= p

= p

Sehingga, v( x)  E ( x 2 )  ( E ( x)) 2 = p  p2 = p(1  p) = pq M x (t )  ( pe t  q )

3.2 Distribusi Binomial Ciri-ciri : a.

Percobaan dilakukan n kali dan independen

b.

Peluang sukses (p) dan gagal (q)

Suatu variabel acak X berdistribusi Binomial, jika pdf-nya berbentuk :

 n f ( x)    p x q n  x , x  0,1,...  x f ( x)  b( x, n, p)

= BIN(n, p) 25


Teorema : Jika X  BIN (n, p), maka : E ( x)  np

v( x)  npq M x (t )  ( pe t  q ) n

Bukti : M x (t )  E (e tx )

 n  xi n xi   p q  x

=

e

=

  x (e p)

txi

 n

t

xi

 

q n xi

= ( pe t  q ) n

( a  b) n =

n

n

  i a b i o

i

n i

 

E ( x)   ' x (0) v( x)   ' ' x (0)  (  ' x (0)) 2

Contoh : 1   20  1   1   b16,10,         0,0046 2   16  2   2   16

4

3.3 Distribusi Hipergeometris Suatu populasi akan berdistribusi Hipergeometris apabila memenuhi : a. Berukuran M, diantaranya bersifat a (tertentu). b. Sampel diambil secara random berukuran n, x diantaranya bersifat a. c. Pengambilannya tanpa pengembalian. 26


Definisi : Variabel random X dikatakan berdistribusi Hipergeometris, jika pdf-nya berbentuk :  M  N  M     x  n  x   h ( x , n, N , M )  , x  0,1,2,...,n N   n

Teorema : Jika X distribusi Hipergeometris, maka : E ( x) 

nM N

v( x) 

nM N

 M  N  M  1    N  N  1  

Bukti : E( x)   xf ( x)  M  N  M     x  n  x    x N   n  M  1 N  M     M  x  1  n  x   x x N  N  1 x 0   n  n  1  n

 M  1 N  M     n nM  x  1  n  x    N  1 x 1 N    n 1 

Misal : y  x  1 , maka y  x  1 , sehingga x  1, y  0

Sehingga : 27


 M  1 N  M     y  n  1  y  nM    N x 0  N  1   n  1   n 1

nM N

Jadi, E ( x) 

 M  N  M     2 2  x  n  x  E(x )   x N   n

Dengan cara yang sama, maka v( x)  E ( x 2 )  ( E ( x)) 2

Jadi, v( x) 

nM  M  N  M   1   N  n  n  1 

Contoh : Sepuluh produk diambil dari sebuah dos besar berisi 1000 produk, 400 diantaranya rusak. Sampel tersebut diambil secara random. Dari sepuluh yang diambil tadi, terdapat lima produk yang cacat. Jawab : x= 5, n=10, N=1000, M=400  400  600     5  5   h( x, n, N , M )  h(5,10,1000,400)   0,2013 1000     10 

Teorema : Jika X berdistribusi Hipergeometris dan x  0,1,...,n , N   , M   ,

M  P ,maka : N

28


 M  N  M     x  n  x   n  x q  x  lim    p q N  N  x   n

3.4 Distribusi Poisson Suatu variabel random X berdistribusi Poisson jika pdf-nya berbentuk : f ( x,  )  f ( x ) 

x e  x x!

, x  0,1,2,...,   0

Teorema : Jika X berdistribusi Poisson, maka E( x)   , v( x)  , M x (t )  e  (e 1) t

Bukti : M x (t )  E (e ix ) n

=

e

tx

x e  x!

x 0

= e  

e tx  x x!

= e  

(e t  ) x x!

= e  x e et = e  ( e 1) t

M ' x (t )  e  (e 1) e t t

M ' x ( 0)  

M ' ' x (t )  e  (e 1) (e t ) 2  (e t )e x(e 1) t

t

M n (0)  2   v( x)  M n x (0)  ( M ' x (0)) 2

= 2    2 = 29


Teorema : Jika X  BIN(n, p) , maka untuk setiap nilai x = 0,1,2,…,n dan P  0 dengan   np

 n e   x suatu konstanta, maka lim   p x (1  p) n x  , dengan    . n x x!  

Contoh : Buktikan teorema diatas! Jawab :

n x n!      p (1  p) n x    1   x!(n  x)! n   n  x x

n x

n(n  1)(n  2)...(n  x  1)       =   1   x( x  1)(x  2)...(1) n  n x

n x

n(n  1)(n  2)...(n  x  1)  x       = 1   1   x! nx  n   n  n

=

n(n  1)(n  2)...(n  x  1)  x    1   x!  n  nx

 n(n  1)...(n  x  1)   = lim   n n.n.n...n   x! x

= 1. =

x x!

  1    n

n

n

  1    n

  1    n

x

x

x

.e   .1

 x e  x!

(Terbukti)

30


3.5 Distribusi Uniform Diskrit (Seragam) Suatu variabel random X berdistribusi Uniform Diskrit, jika pdf-nya berbentuk : 1 , N  1,2,...,N N

f(x) =

Memiliki peluang yang sama 0, yang lain

Teorema : Jika X  DU (N ) , maka E ( x) 

1 1 ( N  1), dan v( x)  ( N 2  1) 2 12

Contoh : Buktikan teorema diatas! Jawab : N

E ( x)   xf ( x) x 1

1

=

x N

=

1 1  2  ...  N  N

=

1 1 N a  U n  N 2

=

1 1   N  N  1 N 2 

=

1 N  1 (Terbukti) 2

v( x)   x 2 f ( x)   xf x 

2

=





1 1 2 1  2 2  3 2  ...  N 2   N  1  N 4  

31


=

1 ( N 2  1) 12

(Terbukti) 

VARIABEL ACAK KONTINU 3.6

Distribusi Uniform Kontinu Suatu variabel acak X berdistribusi Uniform Kontinu pada interval (a,b), jika pdf-nya berbentuk : x  UNIF (a, b)

pdf  f ( x, a, b) 

1 ,a  x  b ba

= 0, yang lain

0, x  a CDF  F ( x, a, b) 

xa ,a  x ba 1, x  b

Teorema : Jika X  UNIF(a, b) , maka E ( x) 

1 1 (b  a), dan v( x)  (b  a) 2 2 12

Contoh : Buktikan teorema diatas! Jawab : b

E ( x)   xf ( x)dx a b

=

1

 x b  a dx a

32


=

1  1 2  a  x  b  a  2  b 

=

1 1 2 1 2   a  b  ba2 2 

=

1 1 b  a b  a  ba 2

=

1 (b  a ) 2

 

 

(Terbukti)

b  v( x)   x f ( x)dx    xf ( x)dx  a a  b

2

2

b

=

x

2

a

1 1 2 dx   b  a   ba 4 

=

1  1 3  a 1  x    b  a 2 b  a  3  b 4

=

1 1 3 1 b  a 3  b 2  2ab  a 2 ba 3 4

=

1 1 b  a  b 2  ab  a 2  1 b 2  1 ab  1 a 2 ba 3 4 2 4

=

1 2 1 1 1 1 1 b  ab  a 2  b 2  ab  a 2 3 3 3 4 2 4

=

1 2 1 1 b  ab  a 2 12 6 12

=

1 2 b  2ab  a 2 12

=

1 b  a 2 12

















(Terbukti)

33


3.7

Distribusi Gamma Untuk memahami distribusi Gamma, perlu diketahui fungsi Gamma secara umum dan sifat-sifatnya. Secara umum, fungsi Gamma didefinisikan sebagai : 

x    t  1e t dt 0

Sifat-sifatnya : 1. x     1x ,   0 2. n   n  1!, n  A 3. 1  1 1 4.     2

X suatu variabel acak kontinu dengan distribusi Gamma dengan parameter  positif dan

 negatif, jika pdf-nya berbentuk : x  GAM (  ,  ) : f x,  ,   

 dan 

x 1  1  x e ,   0,   0, x  0    

merupakan parameter-parameter tertentu,  merupakan parameter bentuk

dan  merupakan parameter skala. Karena  merupakan bentuk, maka bentuk kurva distribusi Gamma tergantung dari nilai  . Teorema : Jika X  GAM (  ,  ) , maka E ( x)  , dan v( x)   2

Contoh : Buktikan teorema diatas! Jawab : 

E ( x)   xf x dx 0 

=

x 0

x 1  1  x e dx    x 

34




=

x 1 ( 1) 1  x e dx   x  0

=

1 x  

=

x   1  1  1 x ( 1)1e  dx    1    0    1

=

   .1  

  1  1 ( 1)1  x  0   1   1 x e dx



=  (Terbukti)

Akibat khusus : CDF-nya : X  GAM (  ,  ) 

F x,  ,     0

Jika   2 dan  

t 1 t  1e  dt   





  , maka x  x 2 GAM (  )  GAM  2,  2  2

Jika   1, maka GAM  ,1  eksponensial  

3.8 Distribusi Eksponensial X berdistribusi Eksponensial ( X  exp( ) ), jika pdf-nya : f  x,   

Jika  

1

 1



x

e



,   0, x  0

, maka : f x,    e  x ,   0, x  0

CDF-nya berbentuk : F ( x,  )  1  e

x



35


Teorema : Jika X berdistribusi Eksponensial, maka E ( x)   , dan v( x)   2

Secara khusus, distribusi Eksponensial merupakan distribusi yang sangat penting, khususnya di bidang teori (keandalan). Pada umumnya, pada distribusi eksponensial berlaku sifat no memory, seperti pada teorema berikut : X  exp( ) , jika hanya jika : Px  a  t | x  a   Px  t , a  o, t  0  no memory

Bukti : P x  a  t | x  a  

Px  a  t danPx  a  P x  a 

= P x  a  t   ( a t )

=

e a

e





= P x  t  (Terbukti)

Contoh : Masa usia sejenis komponen listrik berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata 100 jam. Tentukan probabilitas bahwa komponen tersebut dapat digunakan 50 jam lagi dari batas yang ditentukan perusahaan! Jawab : P = 0,6065

3.9 Distribusi Weibull Seperti pembahasan sebelumnya, distribusi Weibull sering diaplikasikan untuk mendapatkan keandalan sejenis komponen tertentu. Sama seperti distribusi Gamma maupun distribusi Eksponensial.

Definisi : 36


Suatu variabel acak X  wei ,  ,   0,  0 , maka : x



  1    x e ,x  0  f  x,  ,   

0, yang lain

Jika   1 , maka : f  x,  ,1 

1



Jika   2 , maka : f x, ,2 

e

2





x

 x  exp( )



xe

x    

Bentuk CDF-nya : F x, ,    1  e

2

x    

 x  Rayleigh 

Terorema : Jika X  wei( ,  ) , maka :  1 E (x)  1    

   2 1  v( x)   2 1     2 1        

3.10 Distribusi Normal Distribusi ini dinamakan juga distribusi Gauss dan mempunyai 2 parameter. Selain kelebihan di atas, distribusi ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan beberapa kasus / persoalan yang terkait dengan distribusi hampiran (limited distribution). Salah satu teorema yang terkenal yang terkait dengan distribusi Normal adalah CLT (Central Limited Distribution). Definisi : Variabel X acak kontinu berdistribusi Normal dengan parameter  (mean) dan  (simpangan baku). 37


x  N (  ,  )  f  x,  ,   

1 2 

  v( x)   x f  x dx   xf  x dx R R 

e

1  x     2  

2

,    ,0    ,  x  

2

2

= E x   

2

Sifat-sifat : 1.

f  x,  ,    0

2.

 f x, , dx  1 R

Contoh : Buktikan :

 f x, , dx  1 R

Jawab :

 R

1 2 

e

1  x     2  

Ambil z  1

= 2

2

R

e

2

dx

x

 1  z2 2

 dz 

1



dx

dz

1 2 z 2 Misal : z 2  2v v

1

1  z  2v  dz  2 . v 2 dv 2 

=

2 0

1

1  e v 2 v 2 dv 2  2 1

38




=





0

=

=

=



1

1



1

v 2 e v dv





1

v  v 2 e dv 0 

1 1 1        t  1 dt    1      2 2  2 0

1

 

=1 Selanjutnya, jika Z berdistribusi Normal baku dengan rata-rata  = 0 dan  = 1, yang dinotasikan z  N (0,1) , maka pdf-nya berbentuk :

pdf   z  

1 2

e

1  z2 2

,  z  



CDF   z     t dt 

Sifat-sifat : 1.  z     z   fungsigenap 2. N (0,1) simetris di z = 0

Teorema : x Jika X  N ( ,  ) , maka Fx  x       Px  x    

Contoh : Misalkan X variabel acak yang menyatakan masa pakai suatu komponen listrik dengan ukuran bulan. Jika variabel diasumsikan berdistribusi Normal dengan  = 60 dan 2 = 36

39


bulan. Tentukan probabilitas bahwa komponen tersebut masa pakainya maksimal 4 tahun! Jawab :  48  60  P x  48       6 

=   2 =  2  = 0,0228

Teorema : Jika X  N ( ,  ) , maka M x t   e

1 2

t   2t 2

Bukti :

 

M x t   E e tx

x

Misal : z 



 x    z

 

M x t   E e tx

=  e t f z dz 2

R

= e

1

tz

2

R

=

1



2

R

=e

1 2 t 2

 R

1

e



e

1  z2 2

1  z t 2 2

1 2

e



dz

e

1 2 t 2

1  z t 2 2

dt

dz

t2

= e 2 .1 Sehingga M x t   M   2 t  40


= e t M z t  t

=e e =e

1 2 2  t 2

1 2

t   2t 2

(Terbukti)

Teorema : Jika X  N ( ,  ) , maka : E  x    ' x 0 

vx  "x 0   ' x 0

2

41


BAB IV JOIN DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM

4.1 Join Distribusi (Distribusi Bersama) Dalam analisis statistik, distribusi bersama umumnya distribusi yang terdiri dari k buah variabel random (berdimensi k) atau sering dinamakan vektor random. X   X 1 , X 2 ,..., X k   vektoracak

Definisi : pdf bersama dari variabel acak diskrit berdimensi k (vektor random) didefinisikan sebagai berikut : f  X 1 ,..., X k   P X 1  x1 ,..., X k  x k 

= P X 1  x1  ...  X k  x k  Untuk semua nilai (x), X   X 1 , X 2 ,..., X k  dari vektor random yang mungkin.

Contoh : Sebuah dos berisi 1000 bolpen, 400 warna merah, 400 warna hitam, sisanya biru. Jika 10 bolpen diambil secara random sekaligus tanpa pengembalian, maka tentukan probabilitas banyaknya bolpen yang terambil berwarna merah, hitam, dan biru. Jawab : 200  400  400       X 1  X 2  n  X 1  X 2   f 1000 ,10 , X 1 , X 2   , dengan X 1  X 2  X 3  n 1000     10 

Distribusi bersama biasanya terkait dengan distribusi multinomial (perluasan dari binomial).

4.2 Distribusi Multinomial Misalkan terdapat k  1 kejadian yang terbatas dan saling asing, yakni e1 , e2 ,..., ek 1 dengan e = event yang terjadi dari sebuah eksperimen dan misalkan Pi  PEi  . 42


Misalkan Xi variabel acak menyatakan banyaknya kejadian Ei dari n eksperimen, maka vektor random dikatakan berdistribusi multinomial, jika pdf-nya berbentuk : f  X 1 ,..., X k  

n! X X , P1 1 ... Pk 1 k 1 X 1!... X k 1! k

X k 1  n   X i ,0  i  n i 1

k

Pk 1  1   Pi i 1

X  mult n, P1 , P2 ,..., Pk 

Teorema : Suatu fungsi f  X 1 ,..., X k  adalah pdf bersama untuk beberapa vektor random jika hanya jika berlaku : f  X 1 ,..., X k   0, i, i  1,2,..., k

a. b.

... f  X ,...,X   1 1

X1

k

Xk

Contoh : 1. Sebuah bidang tetrahedron dilemparkan sebanyak 20 kali, masing-masing permukaaan mempunyai peluang yang sama, yakni 1/4. Tentukan probabilitas bahwa dari percobaan tersebut munculnya angka 1 adalah 4 kali, angka 2 adalah 6 kali, angka 3 dan 4 adalah 5 kali. Jawab : 4

6

5

5

20!  1   1   1   1  20!  1             4!.6!.5!.5!  4   4   4   4  4!.6!.5!.5!  4 

20

= 0,0089  0,9% 2.

X  mult 3;0,4;0,4

43


X1/X2

0

1

2

3



0

0,008

0,048

0,096

0,064

0,216  f1(0) = P(X1=0)

1

0,048

0,192

0,192

0

0,432  f1(1) = P(X1=1)

2

0,096

0,192

0

0

0,288  f1(2) = P(X1=2)

3

0,064

0

0

0

0,064  f1(3) = P(X1=3)



0,216

0,432

0,288

0,064

1

Peluang :  harus 1  (0,4)0(0,4)0(0,2)3 = 0,008

Px  X   f 0,1  f 0,2  f 0,3  f 1,2  f 1,3  f 2,3 = 0,048  0,096  0,064  0,192  0  0 = 0,4

Definisi : Jika pasangan variabel acak diskrit X1, X2 mempunyai pdf f  X 1 , X 2  , maka pdf marginal dari X1 dan X2 adalah :

f1  X 1    f  X 1 , X 2   (X1 fixed and X2 variable) X2

f 2  X 2    f  X 1 , X 2   (X2 fixed and X1 variable) X1

CDF bersama dari k variabel acak (vector random) adalah suatu fungsi yang didefinisikan sebagai berikut : F  X 1 ,..., X k   F  X 1  x1 ,..., X k  x k 

Teorema : Suatu fungsi F  X 1 , X 2  adalah CDF bivarian jika hanya jika berlaku : 1. 2.

lim F  X 1 , X 2   F  , X 2   0, X 2

X1 

lim F  X 1 , X 2   F  X 1 ,  0, X 1

X 2 

44


3.

lim F  X 1 , X 2   F ,   1

X 1 , X 2 

4. F b, d   F b, c   F a, d   F a, c   0, a  b, c  d 5.

lim F  X 1  h, X 2   lim F  X 1 , X 2  h  F  X 1 , X 2 , X 1 , X 2

h0

h0

4.3 Variabel Acak Kontinu Bersama Suatu variabel random (vektor random) dikatakan kontinu jika terdapat fungsi pdf bersama f  X 1 ,..., X k  dari vector random tersebut, sedemikian sehingga CDF-nya dapat dinyatakan

sebagai berikut : Xk

X1





F  X 1 , X 2 ..., X k    ..... f t1 , t 2 ,...,t k dt1 ,...,dt k , t1 ,...,t k

Teorema : pdf bersama f  X 1 ,..., X k  jika hanya jika memenuhi : a. b.

f  X 1 ,..., X k   0 







 ..... f  X

1

,...,X k dX 1 ,...,dX k  1

Pdf marginal : f1  X 1  



 f  X , X dX 1

2

2

 

=

 f X

1

, X 2 dX 1



Contoh : Misalkan X1 menyatakan konsentrasi dari substansi tertentu dari percobaan 1 dan X2 menyatakan konsentrasi dari substansi tertentu dari percobaan 2. Jika diasumsikan bahwa pdf bersamanya f  X 1 ,. X 2   4 X 1 X 2 ,0  X 1  1;0  X 2  1 , maka tentukan CDF-nya. Jawab : 45


X2

X1





X2

X1

0

0

F  X 1 , X 2    ..... f t1 , t 2 dt1 .dt 2

=

 ..... 4.t t .dt .dt 1 2

= X 1 , X 2 

1

2

2

4.4 Variabel Random Bebas Stokastik Dalam analisis statistik (inferensi statistik), variabel random bebas stokastik merupakan pokok bahasan yang penting, karena hampir sebagian besar persoalan analisis statistic terkait dengan variabel random bebas stokastik.

Definisi : X1 dan X2 variabel acak diskrit dengan pdf bersama f  X 1 , X 2  , dikatakan bebas stokastik jika dapat dinyatakan sebagai : f  X 1 , X 2   f1  X 1 . f 2  X 2  Dengan cara yang sama, apabila X1 dan X2 merupakan variabel acak kontinu sedemikian sehingga f  X 1 , X 2   f1  X 1 . f 2  X 2  , maka :

d b

Pa  X 1  b, c  X 2  d     f  X 1 , X 2 dX 1dX 2 c a d b

=

  f  X . f  X dX dX 1

2

1

2

c a

b

=



d

f1  X 1 dX 1 . f 2  X 2 dX 2

a

c

Jadi, Pa  X 1  b, c  X 2  d   Pa  X 1  b .Pc  X 2  d  Secara

umum,

variabel

random

X 1 ,..., X 2 dikatakan

bebas

stokastik

jika

k

ai  bi , i  1,2,..., k berlaku bahwa : Pa1  X 1  b1 ,..., a k  X k  bk    Pai  X i  bi  i 1

46


Teorema : Vektor random X bebas stokastik jika hanya jika : k

CDF  F  X 1 ,..., X k    Fi  X i  i 1

k

pdf  f  X 1 ,..., X k    f i  X i  i 1

Contoh : X1/X2

0

1

2

f1(X1)

0

0,1

0,2

0,1

0,4

1

0,1

0,2

0,1

0,4

2

0,1

0,1

0

0,2

f2(X2)

0,3

0,5

0,2

1

f 1,1  f1 1. f 2 1

f (1,2) = 0,1 f1 (X1) = 0,4

f 1,2  f1 1. f 2 2

0,2  0,4.0,5

f2 (X2) = 0,2

Sehingga bebas stokastik

Sehingga bukan bebas stokastik

4.5 Distribusi Bersyarat (Conditional Distribution) Jika X1, X2 variabel acak diskrit atau variabel acak kontinu dengan pdf bersama f  X 1 , X 2  , maka pdf bersyarat dari X2 dengan syarat : f  X 2 | X 1  x1  

f X 1 , X 2  , f1  X 1   0 f1  X 1 

Dengan cara yang sama, f  X 1 | X 2  x2  

f X 1 , X 2  , f 2 X 2   0 f 2 X 2 

Jika X1, X2 bebas stokastik, maka : 47


a.

f X 2 | X 1   f 2 X 2   f X 2 | X 1  

b.

f  X 1 | X 2   f1  X 1 

f  X 1 , X 2  f1  X 1 . f 2  X 2    f 2 X 2  f1  X 1  f1  X 1 

Contoh : Jika x dan y dua variabel acak kontinu yang mempunyai pdf bersama :

f x, y   x  y,0  x  1;0  y  1 Tentukan : a. f  y | x  1 1  b. P 0  y  | x   2 4 

Jawab : a.

f  y | x 

f  x, y   f x 

x y 1

 x  y.dy 0

b.



x y 1 2 1 y  xy  2 0



x y 1 x 2

1 1 x y  P 0  y  | x    1 2 4  x 2 1 2

=

 0

1 y 4 .dy 1 1  4 2

1 2 1 1 y  y 2 2 4  0 = 3 4 2 1 = 8  3 3 4

48


Sifat –sifat probabilitas 1. Jika X vektor random yang mempunyai pdf bersama f  X 1 ,..., X k  dan jika y  u (x) merupakan fungsi dari vektor random, maka : 

Variabel acak diskrit

E ( y)  E (u( x)) =

... u( X ,...,X 1

X1



k

) f ( X 1 ,..., X k )

Xk

Variabel acak kontinu

E ( y)  E (u( x)) =









 ...  .u( X ,...,X 1

k

) f ( X 1 ,..., X k )dX 1 ,...,dX k

Teorema : Jika X1, X2 suatu random variabel dengan pdf bersama f  X 1 , X 2  , maka :

E( X 1  X 2 )  E( X 1 )  E( X 2 ) Bukti :  

E( X 1  X 2 ) 

 X

1

 X 2 f ( X 1 , X 2 )dX 1dX 2

 

=

X





1

f ( X 1 , X 2 )dX 1   X 2 f ( X 1 , X 2 )dX 2 

= E( X 1 )  ( X 2 ) Jadi, terbukti bahwa E ( X 1  X 2 )  E ( X 1 )  E ( X 2 ) 2. Jika ai , i  1,2,..., k suatu konstanta, maka :

E ai X i    Eai X i  Teorema : Jika x, y dua variabel random bebas stokastik g(x) dan h(y) sebuah fungsi, maka : 49


E ( g ( x)h( y))  E ( g ( x))..E (h( y))

Secara umum, jika x vektor random saling independen dan u(x) suatu fungsi, maka :

E (u ( x))  E (u ( X 1 )),..., u ( X k )) = E (u ( X 1 )),..., E (u ( X k ))

4.6 Covarian Definisi covarian bersama antara x dan y :





cov x, y   E x   x  y   y    xy  E xy   E x E  y  Jika x = y, maka covx, x   Ex   x x   x 



= E x 2  2 xx   x

 

= E x 2  E  x 

2



2

= v x  = x

2

Teorema : Jika x dan y bebas stokastik, maka :

E x, y   E x E  y  , sehingga cov (x, y) = 0 Apabila cov (x, y) = 0, maka tidak berlaku x dan y bebas stokastik. Sifat – sifat covarian 1. Cov Bukti:

= = = 50


2. 3. 4.

Teorema : Jika X, Y variabel random, maka :

= = = =

Jika X, Y independen, maka:

= = (Terbukti)

Jika X vector random yakni

dan

varian

suatu konstanta, maka jika x saling independen,

maka :

Contoh :

= = 51


= =2

+ 1

+ 4 + 2

= 9

4.7

Korelasi Jika X dan Y merupakan variabel random dengan variansinya maisng-masing adalah dan kovariansinya adalah

Maka korelasi X dan Y

didefinisikan

Sifat – sifat korelasi : 1. 2. Dengan 0,jika -1,jika 3. a.  xy  0  corr   b.  xy  0  corr   c.  xy  0  uncorrelated 4.

4.8

Jika x,y bebas stokastik, maka

tetapi tidak berlaku sebaliknya.

Ekspektasi Bersyarat Jika X dan Y variabel random berdistribusi bersama f (X,Y), maka harapan Y yang diberikan X didefinisikan sebagai :

EY | X  x  Y . f Y | x , x, y variabel acak diskrit 52




E Y | X  x    Y . f Y | x dy , x, y variabel acak kontinu 

Contoh : Misalkan diketahui pdf bersama dari variabel random Y yang diberikan X sebagai berikut :

E Y | X  

2 X ,0  Y  ,0  X  Z X 2

Cari E Y | X   EY | X Y   E Y | X  x  ! Jawab : x 2

x 2

2 2 1 x x E Y | X  x    Y   Y . .dY  . Y 2  2  x x 2  0 4 0 0

Teorema : Jika X dan Y variabel random berdistribusi bersama, maka :

EE  y | x   E  y  Bukti : Misal : E  y | x   hx  

EE  y | x   E hx    hx  f1 x dx 



=

 E  y | x f x dx 1



 

=

  y. f  y | x. f x.dy.dx 1



 

=

  y. f x, y .dy.dx

 

=



 y  f x, y .dx.dy

 

53


= E y  (Terbukti)

Contoh : Dari soal sebelumnya, jika E  y | x  

1 x x dan f1 x   ,0  x  2 , maka cari E  y  ! 4 2

Jawab : 2

2

x x E  y    E  y | x . f1 x dx   . .dx 4 2 0 0 =

1 32 x 2.4  0

=

8 1  24 3

Dari contoh-contoh di atas, ekspektasi bersyarat dapat juga digunakan untuk 2 variabel yang saling bebas stokastik. Jika x, y bebas stokastik, maka : a. E  y | x   E  y  b. E x | y   E x  Variansi bersyarat dari y diberikan x didefinisikan sebagai :





v y | x   E y 2 | x  E  y | x 

2

Teorema : Jika X dan Y variabel random berdistribusi bersama, maka :



v y   E var y | x   varE  y | x  Bukti :



2





E var y | x   E E y 2 | x  E  y | x 

 

= E y 2  E E  y | x 

2



2

54


 

= E y 2  E  y   E  y   E E  y | x  2



2

= var y   E E  y | x   E  y  2

2

2



= var y   varE  y | x 

4.9

MGF Bersama MGF bersama dari vector random X jika ada, didefinisikan sebagai :

  k  M x t   E exp  t i X i ,h  t1  h    i 1 Jika M x , y t1 ,t 2  ada, maka variabel random x, y bebas jika hanya jika : M x , y t1 , t 2   M x t1 .M y t 2 

55


BAB V FUNGSI VARIABEL RANDOM Tujuan dari subpokok bahasan ini adalah menentukan distribusi pdf dari fungsi variabel acak. Dengan syarat, variabel acak sebelumnya (x) biasanya sudah diketahui bentuk CDF-nya. Terdapat tiga metode / teknik untuk mendapatkan distribusi fungsi variabel acak. Teknik tersebut antara lain : 5.1 Metode CDF. 5.2 Metode transformasi variabel acak (transformasi satu-satu atau transformasi yang lain). 5.3 Metode MGF.

5.1 Metode CDF Misalkan variabel acak X mempunyai CDF Fx (x). Dan misalkan y = u(x) suatu fungsi variabel acak X, maka teknik CDF ini adalah menentukan fungsi diatas dengan asumsi variabel acak X terdefinisi dengan jelas. Secara khusus, misalkan untuk setiap bilangan real y didefinisikan Ay = {x |u(x)  y}, maka Y  y  X  Ay. Contoh : A = {x | x  A  10} B = {1,2,3,…,10} C = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j} Sehingga dari pengertian diatas bentuk CDF dari Y adalah : Fy (y) = P {u(x)  y} = P {x  Ay} = P [ x1  x  x 2 ] x2

=

f

x

( x)dx

x1

= Fy ( x 2 ) – Fy ( x1 ) Jadi, pdf =

d CDF. dy 56


Contoh : 1. Diketahui Fx (x) = 1 – e-3x, 0  x   . Tentukan pdf dari Y = ex! Jawab : Fy (y) = P[Y  y] = P[ex  y] = P[x  ln y] = P[Fx (hy)] = 1 – e-3ln y =1– Jadi, Fy (y) = =

1 , 1 y   y2

d 1 (1  2 ) dy y 2 , 1 y   y3

2. Jika X variabel acak kontinu. Tentukan pdf dari Y = x2 ! Jawab : Fy (y) = P[Y  y] = P[x2  y] = P[  y  x  y ] = P( x 

y ) – P(  y  x )

= Fx ( y ) – Fx (- y ) Fy (y) =

=

d ( Fx ( y ) – Fx (- y )) dy

    

d Fx y d Fx  y  dy dy

= fx



 y  2 1 y  f  y  2 1 y x

, untuk y  0

57


Teorema : Misalkan X vector random dari variabel acak kontinu dengan pdf bersama X  x1 , x 2 ,..., xk  . Maka CDF dari Y berbentuk Fy  y   Pu  x   y  =

  f x , x ,...,x dx ...dx 1

2

k

1

k

dengan Y =

Ay

u  x  dan Ay  x | u  x   y Contoh : Misalkan Y = x1  x2 dengan xi ~ Exp 1 , tentukan pdf dari Y, p  x1  y  x 2 , 0  x1  y ? Jawab :

FY  y  = PY  y  = Px1  x2  y  y y  x2

=

  f x , x dx dx 1

0

y y  x2

=

 e 0

1

 x1  x2 

 x2

y  x2

0

dx1dx2

e

 x1

dx1 dx2

0

y

=  e  x2   e  x1  0

 1  e y

=

2

0

y

=e

2

0

  y  x2 

y  x2 0

e

 x2

dx  2 dx2

0

 e y

=

 x2



 e  y dx2

0



=  e  x2  e  y x 2

 y

0

=  e  y  ye  y  1 = 1  e  y  ye  y Jadi, pdf dari y  x1  x 2 adalah



d 1  e  y  ye  y dy



58


5.2 Metode Transformasi Variabel Acak Dalam metode transformasi ini, terdapat dua hal, yaitu : 5.2.1 Metode Transformasi Satu – Satu Misalkan X variabel acak diskrit dengan pdf f(x) dan misalkan y = u(x) merupakan fungsi transformasi satu-satu, maka pdf dari Y dinyatakan sebagai: y  u( x)  x  w( y)





f y  y   f x w y , y  B dengan B  y f y  y   0

Contoh : 1. X ~ GEO (p) dengan pdf f x  x   pq x 1 , x  1,2,... Dan y = x-1, tentukan pdf Y! Jawab : x = y+1

x  w y  f y  y   f x w y 

= fx  y  1  p.q y 11  pq y , y  0,1,....

Misalkan X variabel acak kontinu dengan pdf f(x) diasumsikan bahwa y=u(x)









merupakan fungsi satu-satu dari himpunan A  x f y x   0 , B  y f y  y   0 dengan transformasi invers x=w(y). Jika turunan w’(y) kontinu dan tidak bernilai nol pada himpunan

B,

f y  y   f x w y 

maka

pdf

dari

y

dapat

dinyatakan

sebagai

d w y  Contoh : dy

Misalkan CDF dari variabel random X adalah F  x   1  e 2 x , maka tentukam pdf dari y  e x dengan metode transformasi!

Jawab : 59


y  e x  x  ln y  w y 

w'  y  

1 y

f y  y   f x w y  j

= 1  e  2 ln y  f y w  

1 1 1   y y y3

d Fy  y   1 , dengan 1  y   dy

=  y 2  3 y 4 

 y2  3 y4

f x  x   1  e 2 x

f x x  

d Fx x  dx

= 2 e 2 x

f y  y   f x w y  J = 2e 2 ln y =

1 y

2 y3

   2. Misalkan X variabel acak kontinu berdistribusi uniform U   ,  . Tentukan  2 2

distribusi fungsi Y  b  tan x  a ! Jawab : pdf U a, b  

1 ba

1 1    f x x   U   ,     2 2    2 2 60


y  b  tan x  a b  tan x  y  a

tan x 

ya b

w y  = x  rc tan

ya b

Misal : f  y  

ya b

Maka : w'  y  

f 'y 2 1   f  y 

dw y   dy

=

1 b 2  ya 1    b  b 2 b  y  a 2

Sehingga :

f y  y   f x w y  J =

1 b  2   b   y  a 2

   

5.2.2 Metode Transformasi Bukan Satu – Satu ( Umum ) Transformasi untuk k buah variabel random Secara umum, transformasi variabel random dapat diterapkan k buah variabel, y = u(x) dengan asumsi fungsi variabel tersebut mempunyai penyelesaian tunggal. X=(x1,x2,...,xk) dan mempunyai jacobian matriks sebagai berikut :

61


Teorema : Jika X suatu vektor random yang kontinu dengan PDF bersama: pada himpunan A dan Y=

, merupakan transformasi satu-satu yakni

yi=u(xi), i=1,2,...,k dan jacobian matriks kontinu tidak nol, maka PDF dari y adalah X=

solusi tunggal dari y.

Contoh : Misalkan x1 & x2 adalah 2 variabel random independen yang masing-masing berdistribusi eksponensial satu. x=1

exp(1)

Dengan pdf bersamanya : =

, x1>0, x2>0

Maka tentukan pdf bersama dari y1 & y2 bila diketahui y1=

, y2 =

62


Jawab:

y1= y2 = =

=1

= =

=

Jadi G   

1

   

x

 1



e

x



,   2,   1

63


5.3 Metode MGF Sebagaimana metode sebelumnya, metode MGF ini juga dapat digunakan dengan mudah untuk menentukan distribusi variabel random atau jumlah fungsi variabel random. Jika (x1,x2,...,xk) merupakan n buah variabel random yang saling independen aatau bebas dan masing-masing punya MGF :

maka jumlah n buah variabel random

diatas yakni :

x,y independen

Contoh : Misalkan

variabel random berdistribusi binomial yang saling independen : dengan

Tentukan distribusi dari 64


Jawab:

= = =(

= BIN (

5.4 Order Statistik (yi) Konsep order statistik merupakan konsep yang terkait variabel random yang nilai-nilai observasinya diurutkan sesuai variabel random tersebut. Contoh : Misalkan x variabel random yang menentukan lamanya waktu tahan hidup dari 5 macam bola lampu yang diuji hasilnya. x1 =

5

bulan

y2

x2 =

2

bulan

y1

x3 =

6

bulan

y3

x4 =

10

bulan

y5

x5 =

7

bulan

y4

Secara umum

pengurutan mulai dari yang terkecil

(misal terdapat n pengamatan) 65


Teorema : Jika

variabel random dari suatu populasi yang kontunyu, maka PDF

bersamanya dari statistik urut

Misalkan : A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6 = B = A1=

=

,

,

A1=

=

,

,

Dengan memperhatikan nilai-nilai jacobian diatas dan berdasarkan metode transformasi sebelumnya, maka PDF bersama dari kasus diatas merupakan perkalian dari faktor-faktor , sehingga PDF bersamanya dinyatakan :

66


Contoh : 1.

Misalkan

menyatakan

sampel

random

dengan

. Tentukan PDF bersama dari statistik bersama

PDF

dan PDF

marginal! Jawab :

Penurunan distribusi dari order statistik ke-k dapat juga dilakukan hubungan antara PDF dan CDF :

2. Misalkan

, variabel acak kontinyu dengan PDF : . Tentukan bentuk dari distribusi marginal

dari

(pengamatan yang terkecil)!

Jawab:

67


; a