Untuk menentukan nilai dari suatu suku banyak dengan nilai tertentu bagi
peubahnya dapat dilakukan .... Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta:
Erlangga. 4.
Penggunaan Paket Polynom LATEX Pada Pembagian Fungsi Polinomial Fendi Alfi Fauzi 16 Pebruari 2012
1
Pendahuluan
Paket Polinom digunakan (di implementasikan) atau diaplikasikan untuk memanipulasi persamaan polinom (Polinomials). Antara lain Kita dapat mensetting polinomial pembagian panjang dan Pembagian Sintetik (Skema Horner), yang dapat kita tampilkan langkah demi langkah. Persoalan pertama dan aplikasinya adalah persamaan polinomial pada satu variabel dengan koefisien bilangan rasonal. Silahkan dicatat bahwa ini merupakan pekerjaan tingkat lanjut. Polinomial Multivariat belum didukung pada saat ini [1]. Donald Arseneau telah banyak berkontribusi dalam paket pada komunitas TEX. Khususnya dia mempublikasikan makro untuk pembagian panjang (Pembagian bersusun) pada comp.tex. tex juga telah terpublikasi dalam TGUBoat dan sebagai longdiv.tex pada CTAN[1]. Paket Polynom mengijinkan kita melakukan pekerjaan yang berhubungan dengan polinomial. Di Sini kita juga bisa memahami satu contoh dari skema Horner untuk pembagian sintetik. Pada Algoritma Euclidean untuk menentukan satu pembagi terbesar dari dua polinomial, dan pada hal lain faktorisasi dari polinomial dengan paling banyak dua bilangan rasional bukan nol. Ini harus mencukupi bagi kebanyakan alat bantu. Bagi anda yang sekarang sedang menyandang gelar sebagai guru SMA khususnya guru mata pelajaran matematika, mungkin paket ini cukup berguna untuk anda. Coba anda bayangkan saja jika kita harus menuliskannya dengan menggunakan Microsoft Word1 maka kita akan merasa kesulitan dan akan memakan waktu yang cukup lama. Jadi, saya sarankan menggunakan LATEX dengan paket polynom merupakan saran yang pas dalam situasi yang cukup sulit ini.
2
Penerapan Paket Polynom Pada Metode Pembagian Panjang dan Metode Skema (Sintetik Horner)
Untuk menentukan nilai dari suatu suku banyak dengan nilai tertentu bagi peubahnya dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu metode pembagian panjang dan metode sintetik (Horner)[2]. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut: Misalkan suku banyak f (x) = ax3 + bx2 + cx + d. Jika akan ditentukan nilai suku banyak 1 Program
pengolah kata buatan Microsoft Coorporation
1
x = k, maka: f (x) = ax3 + bx2 + cx + d f (x) = (ax2 + bx + c)x + d f (x) = ((ax + b)x + c)x + d f (k) = ((ak + b)k + c)k + d Lihatlah contoh-contoh berikut: 1. f (x) = x3 − 7x2 + 4x + 50 adalah suku banyak x berderajat 3. Pembagian P (x) oleh x − 3 dengan dua metode adalah sebagai berikut: Pembagian Panjang: x2 − 4x − 8 x−3
x3 − 7x2 + 4x + 50 − x3 + 3x2 − 4x2 + 4x 4x2 − 12x − 8x + 50 8x − 24 26
Dengan cara Horner diperoleh: 1 3 1
−7
4
50
3
− 12
− 24
−4
−8
26
Dari dua cara pembagian diatas terlihat bahwa fungsi f (x) = x3 − 7x2 + 4x + 50 ketika dibagi dengan (x − 3) menghasilkan x2 − 4x − 8 dengan sisa 26. 2. Jika diketahui fungsi P (X) = X 3 + X 2 − 1 adalah suku banyak X berderajat 3. Pembagian P (X) oleh X − 1 dengan dua metode adalah sebagai berikut: Dengan pembagian panjang: X 2 + 2X + 2 X −1
X3 + X2 − X3 + X2
−1
2X 2 − 2X 2 + 2X 2X − 1 − 2X + 2 1 Dengan cara Horner: 1 1 1
1
0
−1
1
2
2
2
2
1
2
Dari dua cara pembagian diatas terlihat bahwa fungsi P (X) = X 3 + X 2 − 1 ketika dibagi dengan X − 1 menghasilkan X 2 + 2X + 2 dengan sisa 1. Algoritma Euclidean dengan polinomial: X 4 − 2X 3 + 2X 2 − 2X + 1 = X 3 + X 2 − X − 1 · X − 3 + 6X 2 − 4X − 2 5 X 3 + X 2 − X − 1 = 6X 2 − 4X − 2 · 61 X + 18 + 94 X − 49 4 4 27 9 6X 2 − 4X − 2 = · +0 9X − 9 2 X + 2 Faktorisasi dari beberapa Polinomial: Dengan menggunakan perintah \polyfactorize kita dapat mencari faktor dari suatu polinomial. Contoh-contoh berikut adalah fungsi polinomial beserta faktornya. 2 1. Faktorisasi dari (X − 1)(X − 1)(X 2 + 1) yaitu X 2 + 1 X − 1 √ √ 2. Faktorisasi dari 2X 3 + X 2 − 7X + 3 yaitu 2 X − 21 X + 12 + 213 X + 21 − 213 3. Faktorisasi dari 120X 5 − 274X 4 + 225X 3 − 85X 2 + 15X − 1 yaitu: 120 X − 1 X − 21 X − 31 X − 41 X − 15 Kembali kita tuliskan pembagian Panjang: x4 − 2x3 + 2x2 + x + 5 x−1
x5 − 3x4 + 4x3 − x2 + 4x − 5 − x5 + x4 − 2x4 + 4x3 2x4 − 2x3 2x3 − x2 − 2x3 + 2x2 x2 + 4x − x2 + x 5x − 5 − 5x + 5 0
Untuk perintah diatas dapat dituliskan dengan: $\polylongdiv{x^5-3x^4+4x^3-x^2+4x-5}{x-1}$ Kemudian kita menggunakan Pembagian dengan sintetik (Horner): 1 1 1
−3
4
−1
4
−5
1
−2
2
1
5
−2
2
1
5
0
dan untuk perintah diatas anda cukup menuliskan dengan: $\polyhornerscheme[x=1]{x^5-3x^4+4x^3-x^2+4x-5}$
Sekian tutorialnya, semoga bermanfaat bagi kita semua.
3
Pustaka [1] Carsten Heinz and Hendri Adriaens. 2006. The Polynom Package Version 0.17.
[email protected] : LATEX document [2] Sartono Wirodikromo. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga
4
