Jun 25, 2013 - dérivée d'ordre n d'un produit. La formule d'inversion ..... p + λ. DpwDnâpÏ dt. à nouveau n â p intégrations par parties conduisent à l'égalité.
arXiv:1306.5742v1 [math.CA] 25 Jun 2013
SUR DEUX FORMULES DE FROBENIUS ET STICKELBERGER ET INVERSION DE LAGRANGE ROGER GAY & MARCEL GRANGÉ & AHMED SEBBAR Résumé. Nous présontons une preuve et une extension de deux formules de Frobenius et Stickelberger ainsi que des développements basés sur la formule d’inversion de Lagrange.
Le point de départ du présent travail est les deux formules, utilisées par Frobenius et Stickelberger dans leur important travail sur les fonctions elliptiques [2]. Ces deux formules relèvent du calcul différentiel pur et s’énoncent ainsi: Soient U, V deux fonctions n-fois continûment différentiable sur un intervalle J ⊂ R, on a: X n 1 V p p+1 (n−p) (n) D (U )D (0.1) D (V ) = U p+1 p p+1 0≤p≤n
et
(0.2)
D
(n)
(V ) =
X
0≤p≤n
n 1 U −p−1 D (n−p) (V D p U p+1 ). (−1) p p+1 p
Le calcul différentiel comporte diverses formules intéressantes [1], notamment faisant intervenir le produit de fonctions. La plus connue est la formule de Leibniz donnant la dérivée d’ordre n d’un produit. La formule d’inversion de Lagrange, [4] et [6], possède de nombreuses applications dont la plus emblématique est la fonction arbre ∞ X xn nn−1 a(x) = n! n=1
a(x)
qui résout l’équation a(x) = xe . Cette fonction a beaucoup d’applications combinatoires et est souvent donnée à l’aide de la classique fonction de Weber W (x) = −a(−x), W (x)eW (x) = x.
De la formule d’inversion de Lagrange on a pu déduire ce qu’il est convenu d’appeler la formule du produit de Lagrange, qui généralise la formule de Leibniz. Par ailleurs Frobenius et Stickelberger indiquent les égalités (0.1) et (0.2) (en bas de page de [2], sans démonstration) et d’autres dont l’aspect rappelle encore la formule de Leibniz, sans toutefois pouvoir se réduire à cette dernière. Le travail présenté ici propose de démontrer ces diverses formules en utilisant un même outil: les applications bilinéaires Φ, introduites et étudiées dans la première section. La deuxième section est dévolue à deux généralisations des formules de Frobenius-Stickelberger Key words and phrases. Formule d’inversion de Lagrange, Formule de Faà di Bruno, polynômes de Bell . 1
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[2] et une application aux fonctions entières de type exponentiel. La troisième section reprend donc la formule du produit de Lagrange à partir des applications bilinéaires Φ, et grâce à des calculs algébriques sur des fonctions et leurs dérivées successives, évidemment sans utiliser la formule d’inversion de Lagrange. Enfin la dernière et quatrième section traite d’un résultat de P. J. Olver qui a été, nous semble t-il, succinctement avancé dans [5], qui est ici intégralement démontré, notamment à l’aide de la formule du produit de Lagrange. Ainsi on constate que rien de ce qui est avancé ici dans le cadre de la variable complexe, ne dépend de la formule intégrale de Cauchy, contrairement à [6]: seule la théorie des séries entières est utilisée. Les concepts et notations sont assez courants, toutefois il est peut-être utile de donner les précisions qui suivent. Tous les intervalles considérés dans cette étude contiennent au mois deux points distincts. La fonction dérivée d’une fonction complexe f définie et dérivable sur un intervalle est notée Df , et les éventuelles dérivées successives sont notées D k f . Un espace vectoriel complexe est aussi un espace vectoriel réel, et on désigne par En l’espace de Banach réel des fonctions complexes de classe C n sur le segment réel a, b . La norme étant : n X
j
D f kf k = [a,b] j=0
et par Un l’ouvert de En
Un = f ∈ En ; ∀t ∈ a, b , f (t) 6= 0 .
Cet ouvert est aussi connexe car les fonctions de En sont à valeurs complexes. Étant donnée une application F définie et différentiable sur un ouvert Ω d’un espace normé réel E, à valeurs dans un espace normé réel, sa différentielle en un point x de Ω est notée dans ce contexte DF (x) de manière à éviter la confusion avec l’opération D ci-dessus décrite. Pour tout couple (n, p) ∈ N × N∗ on désigne par E (n, p) l’ensemble α = (α1 , . . . , αp ) ∈ Np ; α1 + · · · + αp = n .
Si lecouple d’entiers vérifie en outre la condition 0 ≤ p ≤ n, on désigne, comme d’habitude, n n! , qui est inférieur ou égal à 2n en vertu de la formule par le nombre entier p! (n − p)! p n+p−1 du binôme. L’ensemble E (n, p) est de cardinal . p−1 Les notations de la quatrième section, plus spécifiques à celle-ci, sont rappelées ou introduites au début de cette dernière section.
1. Les applications bilinéaires Φ Étant donnés un entier naturel n et un intervalle J ⊂ R, on considère une fonction complexe u de classe C n et ne s’annulant pas sur J. À cette fonction u est attachée l’application bilinéaire Φn,u définie sur l’espace vectoriel complexe des fonctions de classe C n sur J, à
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valeurs dans l’espace vectoriel complexe des fonctions continues sur J: n X n (1.1) Φn,u (f, g) = D p (up f ) D n−p u−p g . p p=0
Théorème 1.1. Pour tout couple (n, u) comme ci-dessus et pour tout entier naturel q on a: (1.2) Φn,u uq , u−q = Φn,u (1, 1) .
Pour tout couple (n, u) comme ci-dessus on a: n X n (1.3) Φn,u (f, g) = Φn−r,u (1, 1) D r (f g) . r r=0
Démonstration. En développant D p (up f ) et D n−p (u−p g) par la formule de Leibniz, après n X X X avec les sommations et avoir interverti la sommation de la formule de 0≤j≤p
p=0
Leibniz, on obtient:
X
Φn,u (f, g) =
0≤k≤n−p
Qn (u, j, k) D j f D k g
0≤j,k≤n
où l’on a posé:
Qn (u, j, k) =
Par suite on obtient:
0 X
j≤p≤n−k
si j + k > n
n p n−p D p−j up D n−k−pu−p p j k
Φn,u (f, g) =
n X X r=0
j
k
si j + k ≤ n.
Qn (u, j, k) D f D g .
j+k=r
Or, notant r = j + k, et supposant r ≤ n, on a l’égalité: n p n−p n r n−r = , p j k r j p−j d’où l’on tire:
En conséquence: (1.4)
n−r n r X n−r Qn (u, j, k) = D q uq+j D n−r−q u−q−j r j q q=0 n r = Φn−r,u uj , u−j . r j
n X X j n r j −j k Φn,u (f, g) = Φn−r,u u , u D fD g . r j r=0 j+k=r
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Preuve de la formule (1.2): Pour tout entier naturel q on a immédiatement: Φ0,u uq , u−q = uq u−q = 1 = Φ0,u (1, 1) .
Soit un entier naturel n supérieur ou égal à 1, et supposons la propriété vraie jusqu’au rang n − 1. Compte-tenu de la formule (1.2), pour tout entier naturel q on a: n X X j q k −q n r q −q j −j = Φn,u u , u D u D u Φn−r,u u , u . r j r=0
j+k=r
Puis, en vertu de l’hypothèse de récurrence q
Φn,u u , u
=
−q
n X n r=0
q −q
= Φn,u (1, 1) u u
+
n X n r=1
X r j q k −q Φn−r,u (1, 1) D u D u r j j+k=r
X X n r n j q k −q D u D u = Φn−r,u (1, 1) Φn−r,u (1, 1) D r uq u−q , j r r j+k=r
r=0
ce qu’il fallait montrer.
Preuve de la formule (1.3): En vertu des formules (1.4) et (1.2) et de la formule de Leibniz, on obtient: X n X n X r n n j k Φn,u (f, g) = Φn−r,u (1, 1) D f D g = Φn−r,u (1, 1) D r (f g) . j r r r=0
r=0
j+k=r
Remarque 1.2. Pour tout couple de couples (f1 , g1 ) et (f2 , g2 ) de fonctions complexes de classe C n et vérifiant f1 g1 = f2 g2 on a: Φn,u (f1 , g1 ) = Φn,u (f2 , g2 ) = Φn,u (1, f1 g1 ) . 2. Une extension des formules de Frobenius-Stickelberger 2.1. Les formules. La proposition suivante établit une extension de l’identité (0.1) de Frobenius et Stickelberger [2] Proposition 2.1. Pour tout nombre entier λ supérieur ou égal à 1, pour tout triplet (u, v, w) de fonctions complexes de classe C n sur un intervalle J, la fonction u ne s’annulant pas, on a la formule: n n X X n 1 n 1 −p−λ p+λ n−p p u v = D u w D D p (w) D n−p (v) . (2.1) p p+λ p p+λ p=0
p=0
Démonstration. Il suffit de démontrer le résultat lorsque l’intervalle J est un segment a, b .
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Étant donné un couple (v, w) de fonctions de l’espace de Banach En , on considère l’application Gn,v,w : Un −→ E0 n X n 1 D p up+λ w D n−p u−p−λ v . Gn,w,v (u) = p p+λ p=0 Or, pour tout entier α, l’application u 7−→ uα est différentiable sur l’ouvert Un , à valeurs dans En , et sa différentielle est h 7−→ α uα−1 h. Par ailleurs, pour tout entier naturel q ≤ n l’application linéaire D q est continue de En dans E0 . Donc l’application Gn,v,w est différentiable sur l’ouvert Un et on a: n X n DGn,v,w (u) = D p up+λ−1 hw D n−p u−p−λ v −D p up+λ w D n−p u−p−λ−1 hv . p p=0
Introduisant l’application bilinéaire Φn,u , considérée définie sur Em × Em à valeurs dans E0 , on observe l’égalité: DGn,v,w (u) · h = Φn,u huλ−1 w, u−λ v − Φn,u uλ w, hu−λ−1 v soit, compte-tenu du théorème 1.1:
DGn,v,w (u) · h = Φn,u 1, hu−1 vw − Φn,u 1, hu−1 vw = 0.
L’application Gn,v,w est donc constante sur l’ouvert connexe Un . Mais il est clair qu’on a: n X n 1 Gn,v,w (1) = D p (w) D n−p (v) p p + λ p=0 l’application Gn,v,w est ainsi contante de valeur
n X n p=0
1 D p (w) D n−p (v). p p+λ
Par dualité, à partir de la formule de la proposition 2.1 ci-dessus, on obtient une seconde formule qui étend l’identité (0.2) de Frobenius-Stickelberger. La proposition suivante précise cette deuxième formule, et en avance aussi une troisième, différente malgré les apparences. Proposition 2.2. Pour tout nombre entier λ ≥ 1, pour tout triplet (u, v, w) de fonctions complexes de classe C n sur un intervalle J, la fonction u ne s’annulant pas, on a: n n X X n (−1)p −p−λ n−p n (−1)p n−p p p+λ (2.2) u D vD u w = D (v D p w) . p p + λ p + λ p p=0 p=0 (2.3)
n X n (−1)p p=0
p p+λ
p+λ
u
D
p
vD
n−p
u
−p−λ
w
=
n X n (−1)p p=0
p p+λ
D p v D n−p w .
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Démonstration. Seule est donnée une esquisse de la preuve de la formule (2.2). Pour toute fonction ϕ de classe C ∞ à support compact dans l’intervalle J, par n − p intégrations par parties et en vertu de la formule (2.1) on a: Z X Z n n X n 1 n (−1)p −p−λ n−p n p+λ p dt = (−1) v vD u w u D D p wD n−p ϕ dt ϕ p p + λ p + λ p J J p=0
p=0
À nouveau n − p intégrations par parties conduisent à l’égalité Z X Z n n X n 1 n (−1)p n−p p n−p (−1)n v ϕ D wD ϕ dt = D (v D p w) dt. p p + λ p p + λ J J p=0
p=0
Enfin on conclut grâce au lemme de du Bois-Reymond.
2.2. Une application de la première formule de Frobenius-Stickelberger. Choisissons les trois fonctions u, v et w comme suit: u (t) = exp (xt) ;
v (t) = exp (yt) ;
w (t) = exp (zt)
où x, y et z désignent des nombres complexes. Pour tout entier λ ≥ 1 on obtient: n n X X n 1 n 1 p n−p (z + (p + λ) x) (y − (p + λ) x) = z p y n−p . p p+λ p p+λ p=0
p=0
La différence des deux membres de cette relation est, pour (x, y, z) fixé, une fonction fraction rationnelle en λ, qui s’annule sur l’ensemble infini N∗ . Donc cette fonction fraction rationnelle est la fonction nulle et on obtient ainsi l’identité: n n X X n 1 n 1 p n−p (2.4) (z + (p + λ) x) (y − (p + λ) x) = z p y n−p p p+λ p p+λ p=0
p=0
valable pour tout (x, y, z) ∈ C3 et tout λ ∈ C \ {0, −1, . . . , −n}. Proposition 2.3. Soit une fonction entière f de type exponentiel. Il existe un voisinage symétrique convexe compact A de x = 0 dans C vérifiant: Pour tout (x, y, z) de A × C2 et tout λ de C \ {0, −1, . . . , −n, . . .} on a: (2.5)
∞ X p=0
∞
X 1 zp 1 (z + (p + λ) x)p p D f (y − (p + λ) x) = D p f (y) . p+λ p! p + λ p! p=0
Pour tout (x, λ) de A × C on a: (2.6)
f (λx) = f (0) + λ
∞ X p=1
(λ − p)p−1
xp p D f (px) . p!
Pour tout x de A et pour tout entier m supérieur ou égal à 1 on a: ∞ X p − 1 (−1)p−m pp−m p−m p 1 m D f (0) = x D f (px) . (2.7) m−1 m! p! p=m
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Démonstration. Démontrons la formule (2.5): Par hypothèse, il existe deux nombres strictement positifs C et K tels que pour tout entier naturel n on ait l’inégalité D n f (0) ≤ K n C. De là, on effectue les majorations suivantes: ∞ X n X p 1 n 1 y − (p + λ) x n−p D f (0) n z + (p + λ) x p |p + λ| n! n=0 p=0 p ∞ n−p ! ∞ X X z + (p + λ) x n y − (p + λ) x ≤C K p! |p + λ| (n − p)! n=p p=0 p ∞ X p z + (p + λ) x exp (K |y − (p + λ) x|) ≤C K p! |p + λ| p=0 p ∞ X p z + (p + λ) x ≤ C exp (K |y − λx|) K (exp (K |x|))p . p! |p + λ| p=0
Dans le cas x = 0, la série ci-dessus est, évidemment, convergente. Dans le cas x 6= 0, on peut écrire: ∞ ∞ p p z + (p + λ) x p X X |z + λx| p p p p (|x| exp (K |x|)) p (exp (K |x|)) ≤ K 1+ . K p! |p + λ| p! |p + λ| p |x| p=1
p=1
√ Grâce à l’inégalité de Stirling : p! ≥ pp e−p 2πp, on obtient la majoration: ∞ ∞ X 3 |z + λx| X pp (|x| exp (K |x|))p |z + λx| p (eK |x| exp (K |x|))p p− 2 . Kp 1+ . exp p! |p + λ| p |x| |x| p=1
p=1
En conséquence, dans le voisinage symétrique convexe compact A = x ∈ C, eK |x| exp K |x| ≤ 1
du point x = 0, la série double ∞ n X X 1 n n 1 D f (0) (z + (p + λ) x)p (y − (p + λ) x)n−p p p+λ n! n=0
p=0
est absolument convergente, et en intervertissant les sommes, elle s’écrit d’une part: ∞ X p=0
1 (z + (p + λ) x)p p D f (y − (p + λ) x) . p+λ p!
D’autre part, grâce à l’identité (2.4), et en intervertissant les sommes elle s’écrit aussi: ∞ ∞ n X X X n 1 1 zp p 1 n p n−p D f (0) z y D f (y) = p p+λ n! p + λ p! n=0
d’où la conclusion.
p=0
p=0
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Démontrons la formule (2.6): Faisant z = 0 dans l’identité (2.5) et multipliant par λ, on obtient: ∞ X (p + λ)p−1 p p f (y) = f (y − λx) + λ x D f (y − (p + λ) x) . p! p=1
Mais le terme général de cette série est majoré comme suit: (p + λ)p−1 p p x D f (y − (p + λ) x) p! |p + λ|p−1 ≤ C exp (K |y − λx|) K p (K |x| exp (K |x|))p p! 3
. exp (|λ| + K |y − λx|) (K |x| exp (K |x|))p p− 2 .
La série ci-dessus est donc normalement convergente par rapport à λ sur tout compact de C. En conséquence la formule ci-dessus exprimant f (y) s’étend à tout triplet (x, y, λ) appartenant à A × C × C. La formule (2.6) s’obtient en faisant y = λx et en remplaçant (x, λ) par (−x, −λ).
Démontrons la formule (2.7): En développant (λ − p)p−1 par la formule du binôme, et grâce aux majorations effectuées pour démontrer (2.6), il résulte aussi que pour tout (x, λ) appartenant à A × C: ! ∞ ∞ X X p − 1 (−1)p pp−m p−m p m m (−1) λ f (λx) = f (0) + x D f (px) . m−1 p! p=m m=1
3. Formule du produit de Lagrange Dans cette section et la suivante, pour tout couple (ψ, f ) de fonctions complexes de classe C n sur un intervalle J, la fonction désignée par D m−1 (ψ m D (f )) est, pour m = 0, la fonction f = D −1 (Df ). Mais tout d’abord il convient de s’assurer du lemme suivant sur les applications bilinéaires Φ. Lemme 3.1. Pour tout couple (m, N ) d’entiers naturels et pour toute fonction complexe ψ de classe C n sur un intervalle J et ne s’y annulant pas, on a: 1 (3.1) Φm,ψ 1, ψ N Dψ = Φm+1,ψ 1, ψ N +1 − D m+1 ψ N +1 m+1 1 Φm+1,ψ 1, ψ N +1 Dψ − D m+1 ψ N +1 Dψ (3.2) Φm,ψ 1, ψ N (Dψ)2 = m+1 1 1 = Φm+2,ψ 1, ψ N +2 − D m+2 ψ N +2 − D m+1 ψ N +1 Dψ . (m + 1) (m + 2) m+1
Démonstration. Démontrons la formule (3.1): Compte-tenu de la remarque (1.2) on a successivement: m X m N N = Φm,ψ 1, ψ Dψ = Φm,ψ Dψ, ψ D p (ψ p Dψ) D m−p ψ N −p p p=0
9 m X m 1 = D p+1 ψ p+1 D m−p ψ N −p p p+1 p=0 m 1 X m+1 = D p+1 ψ p+1 D m+1−(p+1) ψ N −p m+1 p+1 p=0
m+1 1 X m+1 1 D m+1 ψ N +1 + D q (ψ q ) D m+1−q ψ N +1−q m+1 m+1 q q=0 1 Φm+1,ψ 1, ψ N +1 − D m+1 ψ N +1 . = m+1 Montrons la formule (3.2): Compte-tenu de la remarque (1.2) on a successivement: m X m 2 N N Φm,ψ 1, ψ (Dψ) = Φm,ψ Dψ, ψ Dψ = D p (ψ p Dψ) D m−p ψ N −p Dψ p p=0 m X m 1 D p+1 ψ p+1 D m−p ψ N −p Dψ = p p+1 p=0 m 1 X m+1 = D p+1 ψ p+1 D m+1−(p+1) ψ N −p Dψ m + 1 p=0 p + 1 =−
m+1 1 X m+1 1 m+1 N +1 D ψ Dψ + =− D q (ψ q ) D m+1−q ψ N +1−q Dψ m+1 m + 1 q=0 q 1 Φm+1,ψ 1, ψ N +1 Dψ − D m+1 ψ N +1 Dψ = m+1 1 1 = Φm+2,ψ 1, ψ N +2 − D m+2 ψ N +2 − D m+1 ψ N +1 Dψ (m + 1) (m + 2) m+1
en vertu de la formule (3.1) ci-dessus démontrée.
Théorème 3.2. Pour tout triplet (ψ, f, g) de fonctions complexes de classe C n sur un intervalle J, on a la formule: n X 1 k−1 k 1 n−1 n 1 (3.3) ψ D (f ) D (ψ D (f g)) = D D n−k−1 ψ n−k D (g) . n! k! (n − k)! k=0
Plus généralement, pour entier naturel p supérieur ou égal à 2 et tout système (ψ, f1 , . . . , fp ) de fonctions complexes de classe C n sur un intervalle J, on a la formule: p Y X 1 1 n−1 n D (ψ D (f1 · · · fp )) = D αj −1 (ψ αj D (fj )) . n! α ! j α +···+α =n 1
p
j=1
Démonstration. La seconde formule s’obtient immédiatement à partir de la première, par récurrence sur l’entier p. La démonstration ne concerne donc que la première formule, qui est clairement vraie dans les cas n = 0 et n = 1 ; aussi l’entier n est supposé supérieur
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ou égal à 2 dans ce qui suit. L’idée consiste à exprimer le membre de droite de la formule de Lagrange en fonction des dérivées successives D j (f g) où j appartient à {0, . . . , n}. Si on suppose que la fonction ψ ne s’annule pas, on constate qu’apparaissent les applications bilinéaires Φ introduites dans la section 2. Réduction au cas où la fonction ψ ne s’annule pas: Ainsi, on suppose la formule de Lagrange pour tout triplet (ϕ, u, v) de fonctions complexes de classe C n sur un intervalle I lorsque la fonction ϕ ne s’annule pas. Soit un triplet (ψ, f, g) de fonctions complexes de classe C n sur un intervalle J et notons F le sous-ensemble fermé {ψ = 0} de J. Grâce à l’hypothèse, la formule de Lagrange est acquise sur l’intérieur de F qui est une réunion au plus dénombrable d’intervalles, ouverts dans J, et pour la même raison sur le complémentaire Ω de F . La formule de Lagrange est donc vraie en tout point ◦
de l’adhérence Ω dans J de Ω. Enfin, sachant qu’on a J = F ∪ Ω la formule est vraie sur tout l’intervalle J. On suppose dorénavant que la fonction ψ ne s’annule pas. Compte-tenu des relations ψ k Df = D ψ k f − kψ k−1 Dψ f, ψ n−k Dg = D ψ n−k g − (n − k) ψ n−k−1 Dψ g
le membre de droite de la formule de Lagrange s’écrit comme la somme de quatre termes T1 (f, g) + T2 (f, g) − T3 (f, g) − T4 (f, g)
qui sont exprimés et traités dans ce qui suit.
Expression du premier terme: n X n T1 (f, g) = D k ψ k f D n−k ψ n−k g = Φn,ψ (f, ψ n g) k k=0 n n X r X X n n r = Φn−r,ψ (1, 1) D r (ψ n f g) = D r−j (ψ n ) D j (f g) Φn−r,ψ (1, 1) r r j r=0 r=0 j=0 n n X X n r = Φn−r,ψ (1, 1) D r−j (ψ n ) D j (f g) r j j=0 r=j X n−j n n X X n n n−j q n j Φn−j,ψ (1, ψ n ) D j (f g) . = Φn−j−q,ψ (1, 1) D (ψ ) D (f g) = j j q j=0
q=0
j=0
Expression du deuxième terme: n−1 X n T2 (f, g) = k (n − k) D k−1 ψ k−1 f Dψ D n−k−1 ψ n−k gDψ k k=1 n−1 X n − 2 = n (n − 1) D k−1 ψ k−1 f Dψ D n−k−1 ψ n−k gDψ k−1 k=1 n−2 X n − 2 = n (n − 1) D j ψ j f Dψ D n−2−j ψ n−2−j gDψ j j=0
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= n (n − 1) Φn−2,ψ f Dψ, ψ n−2 gDψ n−2 X n − 2 = n (n − 1) Φn−2−r,ψ (1, 1) D r ψ n−2 f g (Dψ)2 r r=0 n−2 r X n − 2 X r = n (n − 1) D r−j ψ n−2 (Dψ)2 D j (f g) Φn−2−r,ψ (1, 1) r j r=0 j=0 n−2 X n − 2r X n−2 Φn−2−r,ψ (1, 1) D r−j ψ n−2 (Dψ)2 D j (f g) = n (n − 1) r j r=j j=0 n−2 X n − 2 n−2−j X n − 2 − j = n (n − 1) Φn−2−j−q,ψ (1, 1) D q ψ n−2 (Dψ)2 D j (f g) j q q=0 j=0
= n (n − 1)
n−2 X j=0
n−2 Φn−2−j,ψ 1, ψ n−2 (Dψ)2 D j (f g) . j
Expression du troisième terme: T3 (f, g) =
n X n
k
k=1 n X
kD k−1 ψ k−1 f Dψ D n−k ψ n−k g
n−1 D k−1 ψ k−1 f Dψ D n−k ψ n−k g =n k−1 k=1 n−1 X n−1 =n D j ψ j f Dψ D n−1−j ψ n−1−j g = nΦn−1,ψ f Dψ, ψ n−1 g j j=0
n−1 X
n−1 =n Φn−1−r,ψ (1, 1) D r ψ n−1 f gDψ r r=0 n−1 r X n − 1 X r =n D r−j ψ n−1 Dψ D j (f g) Φn−1−r,ψ (1, 1) r j r=0 j=0 n−1 n−1 X X n − 1r =n Φn−1−r,ψ (1, 1) D r−j ψ n−1 Dψ D j (f g) r j j=0 r=j n−1−j n−1 X X n−1 n−1−j =n Φn−1−j−q,ψ (1, 1) D q ψ n−1 Dψ D j (f g) j q j=0
=n
n−1 X j=0
q=0
n−1 Φn−1−j,ψ 1, ψ n−1 Dψ D j (f g) . j
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Expression du quatrième terme: n−1 X n T4 (f, g) = (n − k) D k ψ k f D n−k−1 ψ n−k−1 gDψ k k=0 n X n = pD p−1 ψ p−1 gDψ D n−p ψ n−p f = Σ3 (g, f ) = Σ3 (f, g) . p p=1
En conséquence le membre de droite de la formule de Lagrange s’écrit comme suit: n X Cn (j, ψ) D j (f g) j=0
où les fonctions coefficients Cn (j, ψ) sont données par:
Cn (n, ψ) = Φ0,ψ (1, ψ n ) Cn (n − 1, ψ) = nΦ1,ψ (1, ψ n ) − 2nΦ0,ψ 1, ψ n−1 Dψ et pour tout entier naturel j ≤ n − 2: n n−2 n Cn (j, ψ) = Φn−j,ψ (1, ψ ) + n (n − 1) Φn−2−j,ψ 1, ψ n−2 (Dψ)2 j j n−1 −2n Φn−1−j,ψ 1, ψ n−1 Dψ . j Dψ Comme on a en général Φ0,ψ (F, G) = F G et Φ1,ψ (F, G) = D (F G) + F G, il vient: ψ Cn (n, ψ) = ψ n Cn (n − 1, ψ) = n (n − 1) ψ n−1 Dψ = (n − 1) D (ψ n ) et pour tout entier naturel j ≤ n − 2, en vertu du lemme (3.1) précédent: n n−2 1 Cn (j, ψ) = Φn−j,ψ (1, ψ n ) + n (n − 1) Φn−j,ψ (1, ψ n ) j j (n − j − 1) (n − j) n−2 1 D n−j (ψ n ) −n (n − 1) (n − j − 1) (n − j) j n−2 1 −n (n − 1) D n−j−1 ψ n−1 Dψ j n−j−1 n−1 1 n−1 1 n Φn−j,ψ (1, ψ ) + 2n D n−j (ψ n ) −2n n−j n−j j j 0 si j = 0 = n − 1 D n−j (ψ n ) si 1 ≤ j ≤ n − 2 j−1 En conséquence, on aboutit à: n n X X n Cn (j, ψ) D j (f g) . D k−1 ψ k D (f ) D n−k−1 ψ n−k D (g) = k k=0
j=0
13
=
n X n−1 j=1
j−1
D n−j (ψ n ) D j (f g) =
n−1 X k=0
n−1 D n−1−k (ψ n ) D k+1 (f g) = D n−1 (ψ n D (f g)) k
Corollaire 3.3. Pour tout couple (ψ, f ) de fonctions complexes de classe C n sur un intervalle J, et pour tout polynôme P ∈ C [X] on a la formule: ! ∞ ∞ X X 1 n−1 n 1 n−1 n n = (3.4) P D (ψ Df ) X D (ψ D (P (f ))) X n . n! n! n=0
n=0
Une autre formule de Frobenius-Stickelberger. Dans ce paragraphe la fonction complexe ψ est de classe C ∞ sur un segment J. Frobenius et Stickelberger [2] ont avancé une autre formule qu’il est possible d’établir à l’aide de la formule du produit de Lagrange, en remplaçant les fonctions f et g par la fonction ψ −1 si la fonction ψ ne s’annule pas, et plus généralement on peut remplacer les fonctions f et g par la fonction ψ −p ou ψ p où p désigne un entier naturel non nul. Supposant que la fonction ψ ne s’annule pas, pour tout entier naturel m et tout entier rationnel q on définit la fonction de classe C ∞ sur le segment J: Fm (ψ, q) = D m−1 (ψ m D (ψ q ))
Bien entendu F0 (ψ, q) = ψ q . Il est immédiat de constater, par récurrence sur l’ordre q de dérivation, la formule: (3.5)
q D p Fm (ψ, q + p) = (q + p) Fm+q (ψ, q) .
Tenant compte de la formule du produit de Lagrange (3.3) et de la formule de dérivation (3.4) ci-dessus, pour tout couple (n, p) d’entiers naturels vérifiant 1 ≤ p ≤ n on obtient: n X n p (3.6) 2D Fn−p (ψ, −p) = Fk (ψ, −p) Fn−k (ψ, −p) k k=0
formule plus générale que celle de Frobenius-Stickelberger, écrite par ces auteurs dans le cas particulier p = 1. Pour tout couple (n, p) d’entiers non nuls on peut disposer aussi de la formule : ! n X n (3.7) 2Fn+p (ψ, p) = D p Fk (ψ, p) Fn−k (ψ, p) . k k=0
4. Sur un théorème de P. J. Olver Notations. On désigne par A (J) la C-algèbre des fonctions réelle-analytiques sur J, à valeurs complexes. Le théorème de Pringsheim stipule qu’une fonction complexe f ∈ C ∞ (J) est réelle-analytique si et seulement s’ il existe R > 0 tel qu’on ait kD p gk < +∞. p p∈N p! R
sup
Un tel nombre sera appelé niveau de la fonction g.
14
Pour tout nombre réel R > 0, on introduit le sous-espace vectoriel de l’algèbre A (J): ) ( kD p gk < +∞ AR (J) = g ∈ A (J) ; sup p p∈N p! R kD p gk . L’espace normé AR (J) est complet. Pour p p∈N p! R tous nombres réels R et S vérifiant 0 < R < S, on a l’inclusion AR (J) ⊂ AS (J) et l’injection canonique est continue: pour toute fonction g appartenant à l’espace normé AR (J) on a l’inégalité NS (g) ≤ NR (g). L’algèbre A (J) est munie de la structure limite-inductive de la suite croissante des sous-espaces de Banach (Ak (J))k≥1 . qu’on munit de la norme NR (g) = sup
Étant donnés une suite (an )n∈N d’éléments de l’algèbre A (J) et ζ ∈ C∗ , la série
∞ X
ζ n an
n=0
est convergente dans l’algèbre A (J) si, par définition, elle l’est dans un espace de Banach AR (J), ce qui suppose en particulier l’appartenance des sommes partielles à l’espace de Banach AR (J) ; ainsi toutes les fonctions coefficients an ont un même niveau R, car le nombre complexe ζ est distinct de 0. La suite de terme général ζ n an est donc bornée dans l’espace de Banach AR (J), de sorte que l’ensemble r > 0 ; A (r) = sup NR (an ) r n < +∞ n
n’est pas vide puisqu’il contient |ζ|, et est un intervalle dont la borne supérieure ρ est strictement positive, éventuellement infinie. Ce nombre ρ est le rayon de convergence de ∞ ∞ X X z n an z n an : pour tout nombre complexe z vérifiant |z| < ρ, la série la série entière n=0
n=0
est absolument convergente dans l’espace de Banach AR (J), de plus on a la formule de Hadamard: −1 p > 0. ρ = lim sup n NR (an ) n
Ainsi on dispose de l’application somme de série entière à valeurs dans A (J): ◦
f
D (0, ρ) −→ A (J) ,
f (z) =
NR (f (z)) ≤ et la série de fonctions
∞ X
n=0
z n an
n=0
qui satisfait, pour tout z ∈ C, |z| < ρ, à l’inégalité ∞ X
∞ X
NR (an ) |z|n
z n an est normalement convergente sur le segment J et ainsi pour
n=0
tout point t du segment J on a f (z) (t) =
∞ X
n=0
an (t) z n . La condition d’appartenance des
coefficients an à l’un des sous-espaces de Banach AR (J) et l’inégalité stricte ρ > 0 sont suffisantes pour assurer que pour tout z de module strictement inférieur à ρ, la somme de
15
la série de fonctions
∞ X
an (t) z n de la variable réelle t, est analytique sur le segment J.
n=0
On peut observer que la convergence normale sur le segment J de cette série et de toutes ses séries dérivées, ne conduit pas à l’analyticité de la somme, comme le montre l’exemple ∞ X 1 z n sur le segment 0, 1 . 1 + nt n=0
On va énoncer à présent quelques lemmes qui nous seront utiles par la suite
Lemme 4.1. Soit une suite (fn )n∈N d’éléments de l’algèbre A (J). On suppose qu’il existe trois nombres strictement positifs R, A et S, un nombre entier q ≥ 1, tels pour tout entier naturel n ≥ 1 on ait NR (fn ) ≤ A n! S n . ∞ X 1 n Alors la série entière z fn définit l’application f somme de série entière à valeurs n! n=0 dans A (J), précisément dans AR (J) ◦ f D 0, S −1 −→ A (J) ,
f (z) =
∞ X 1 n z fn . n!
n=0
1 Démonstration. Pour tout entier naturel n ∈ N∗ on a NR fn ≤ S n A. De ce fait n! 1 fn r n < +∞ contient l’intervalle 0, S −1 et est contenu l’ensemble r > 0 ; sup NR n! n A dans l’intervalle 0, S −1 . Observons qu’on a l’inégalité NR (f (z)) ≤ . 1 − S |z|
Lemme 4.2. Pour tout entier naturel p ≥ 1, pour tout p-uple (g1 , . . . , gp ) de fonctions réelle-analytiques de niveau R sur le segment J, on a l’inégalité: N2R (g1 · · · gp ) ≤ 2p−1 NR (g1 ) · · · NR (gp ) .
Démonstration. En vertu de la formule de Leibniz, pour tout entier naturel n, on a: X n! D α1 g1 · · · D αp gp . D n (g1 · · · gp ) = α1 ! · · · αp ! α∈E(n,p)
Par suite 1 1 kD α1 g1 k · · · kD αp gp k α1 ! αp ! α∈E(n,p) X n+p−1 α1 +···+αp ≤ n! NR (g1 ) · · · NR (gp ) R = n! Rn NR (g1 ) · · · NR (gp ) p−1
kD n (g1 · · · gp )k ≤ n!
X
α∈E(n,p)
n+p−1
≤2
n! R NR (g1 ) · · · NR (gp ) = n! (2R)n 2p−1 NR (g1 ) · · · NR (gp ) . n
16
Lemme 4.3. Pour toute fonction réelle-analytique g de niveau S sur le segment J, et pour tout entier naturel q on a l’inégalité: N2S (D q g) ≤ NS (g) q! (2S)q . Démonstration. Comme on a l’inégalité (p + q)! ≤ p! q! 2p+q , on a successivement:
p q p+q
D (D g) = D g ≤ NS (g) (p + q)! S p+q ≤ (NS (g) q! (2S)q ) p! (2S)p .
Corollaire 4.4. Soient un couple (u, g) de fonctions réelle-analytiques sur J, u étant de niveau R et g de niveau S. On définit le nombre T = 2 max (R, 2 S). Alors la suite D n−1 (un Dg) n≥1 d’éléments de l’algèbre A (J) satisfait l’hypothèse du lemme (4.1), à savoir pour tout entier naturel n ≥ 1: S 1 N2T D n−1 (un Dg) ≤ NS (g) n! (4NR (u) T )n ≤ NS (g) n! (4NR (u) T )n . T 4
Démonstration. D’après le lemme (4.3) la fonction réelle-analytique Dg appartient à A2S (J), précisément N2S (Dg) ≤ 2SNS (g). Ensuite, d’après le lemme (4.2), on a: NT (un Dg) ≤ 2n NR (u)n N2S (Dg) ≤ 2n+1 S NR (u)n NS (g) .
Puis à nouveau en vertu du lemme (4.3), pour tout entier naturel n ≥ 1 on conclut: S N2T D n−1 (un Dg) ≤ NT (un Dg) (n − 1)! (2 T )n−1 ≤ NS (g) n! (4NR (u) T )n . T
Remarque 4.5. On dispose donc de l’application somme de série entière à valeurs dans A (J), précisément dans A2T (J): ∞ X ◦ z n n−1 n −1 −→ A (J) , z 7−→ D (u Dg) . D 0, (4NR (u) T ) n! n=0 Rappelons qu’une fonction somme de série entière à coefficients complexes f (z) =
∞ X
cn z n ,
n=0
de rayon de convergence strictement positif ρ, est telle que pour tout complexe z nombre vérifiant |z| < ρ, pour tout nombre réel r appartenant à l’intervalle |z| , ρ on a l’inégalité: ∞ ∞ X X 1 (k) k |cn | r n = f ∗ (r) . (r − |z|) ≤ f (z) k! n=0 k=0
Proposition 4.6. Soient une fonction g réelle-analytique de niveau S sur le segment J, ∞ X cn wn , de rayon de un point t de J et une série entière à coefficients complexes ψ (w) = convergence ρ > 0. La fonction somme de série entière
ζ 7−→ ϕ t (ζ) = ψ (ζ − g (t)) ◦
est définie dans le disque ouvert D (g (t) , ρ).
n=0
17
Pour tout segment Jt contenant le point t, contenu dans le segment J et tel que l’image ◦
g (Jt ) soit contenue dans le disque ouvert D (g (t) , ρ), la fonction composée ϕ t ◦ g est réelleanalytique de niveau SJt (r) sur le segment Jt où: NS (g) S SJt (r) = 1 + r − kg − g (t)kJt
et de plus
kg − g (t)kJt < r < ρ Démonstration. En vertu de la formule de Faà di Bruno exprimée avec les polynômes de Bell [3] (ainsi que les références qui s’y trouvent), pour tout entier naturel p ≥ 1, on peut écrire: p X (i) ϕ t ◦ g Bp,i Dg, . . . , D p−i+1 g . D p (ϕ t ◦ g) = i=1
Compte-tenu de l’expression des polynômes de Bell: 1 X p! Bp,i = Xα · · · Xαi i! α1 ! · · · αi ! 1 α∈F (p,i)
où F (p, i) est l’ensemble α = (α1 , . . . , αi ) ∈ (N∗ )i ; α1 + · · · + αi = p p−1 dont le cardinal est . On obtient: i−1
Bp,i Dg, . . . , D p−i+1 g ≤ p − 1 1 NS (g)i p! S p . J i − 1 i!
Pour tout s appartenant à Jt on tire l’inégalité: p−1 X p p−1 1 (j+1) D (ϕ t ◦ g) (s) ≤ p! S p (g (s)) NS (g)j+1 . ϕt j (j + 1)! j=0
Or, pour tout s appartenant à Jt et pour tout nombre r vérifiant |g (s) − g (t)| < r < ρ, on dispose des inégalités: 1 (j+1) ψ ∗ (r) 1 (j+1) (g (s)) = ϕt ψ (g (s) − g (t)) ≤ (j + 1)! (j + 1)! (r − |g (s) − g (t)|)j+1 desquelles on déduit:
p−1 X p p−1 NS (g)j+1 D (ϕ t ◦ g) (s) ≤ ψ ∗ (r) p! S p j (r − |g (s) − g (t)|)j+1 j=0
ou (4.1)
p D (ϕ t ◦ g) (s) ≤ ψ ∗ (r) p! S p 1 +
La conclusion s’ensuit immédiatement.
NS (g) r − |g (s) − g (t)|
p
.
18
4.1. Formulation du problème. Soient un couple (u, g) de fonctions réelle-analytiques sur J, u étant de niveau R et g de niveau S, un point t de J et une série entière à coefficients ∞ X cn wn , de rayon de convergence ρ > 0, à laquelle est associée la complexes ψ (w) = n=0
fonction somme de série entière, ζ 7−→ ϕ t (ζ) = ψ (ζ − g (t)), définie dans le disque ouvert ◦
D (g (t) , ρ).
D’après la remarque (4.5), notant TJt = 2 max (R, 2SJt (ρ)), comme on a TJt ≥ T , on obtient les applications somme de série entière à valeurs dans A (Jt ) ◦
D 0, (4NR (u) TJt )−1 −→ A (Jt ) , ◦
D 0, (4NR (u) TJt )−1 −→ A (Jt ) ,
z 7−→ z 7−→
∞ X zn
n=0 ∞ X
n=0
n!
D n−1 (un Dg)
z n n−1 n D (u D (ϕ t ◦ g)) . n!
La formule (3.4) suggère la question: pour quels nombres complexes z de module éventuellement plus petit que (4NR (u) TJt )−1 , !peut-on, pour tout s du segment Jt , considérer la ∞ X z n n−1 n D (u Dg) (s) et avoir l’égalité composée ϕ t n! n=0 ! ∞ ∞ X X z n n−1 n z n n−1 n D (u Dg) (s) = D (u D (ϕ t ◦ g)) (s) . ϕt n! n! n=0 n=0 4.2. Étude et résolution du problème. Afin de simplifier les énoncés ultérieurs on s’attache dorénavant au cas particulier du segment Jt = {t}, sans que cela modifie la subNS (g) stance de l’étude. De ce fait, notons qu’on a : S{t} (ρ) = 1 + S = S0 , on écrit ρ T{t} = T0 = 2 max (R, 2S0 ). On remarque que si le nombre complexe z satisfait l’inégalité 1 alors |z| < 4NR (u) T0 ∞ X |z|n n−1 n |D (u Dg) (t)| < ∞ n! n=0
et
∞ X |z|n n (u D (ϕ t ◦ g)) (t) < +∞. n! n=0
On suppose donc que le nombre complexe ! z satisfait à cette l’inégalité. Devant disposer de ∞ X z n n−1 n D (u Dg) (s) on souhaite l’inégalité l’expression ϕ t n! n=0 ∞ X z n n−1 n D (u Dg) (t) < ρ. n! n=1
19
Comme on a ∞ X zn
n=0
n!
D
n−1
n
(u Dg) (t) = g (t) +
∞ X zn
n=1
l’inégalité souhaitée est impliquée par l’inégalité formule de Leibniz on a 1 1 n−1 n D (u Dg) (t) ≤ n! n
X
α∈E(n−1,n+1)
n
n!
D n−1 (un Dg) (t)
∞ X
|z|n n−1 n D (u Dg) (t) < ρ. Grâce à la n! n=1
1 1+α 1 α1 1 αn n+1 D D u (t) · · · D u (t) g (t) α1 ! αn ! αn+1 !
≤ NR (u) NS (g) R
X
n
α∈E(n−1,n+1)
1+αn+1 S . R
Mais en général pour tout nombre réel x strictement positif on a n−1 n n−1 X 2n − 2 − j X X X x j 1+αn+1 x =x 22n−2−j xj = 22n−1 xj ≤ x 2 n−1 j=0
α∈E(n−1,n+1)
j=1
j=0
Il vient alors n X 1 1 n−1 n D (u Dg) (t) ≤ (4NR (u) R)n NS (g) n! 2 j=1
Par suite
∞ ∞ X NS (g) X |z|n n−1 n (2SNR (u) |z|)j D (u Dg) (t) ≤ n! 2 n=0 j=1
S 2R
∞ X
m=0
j
.
(4RNR (u) |z|)m
!
.
L’hypothèse faite sur le nombre z conduit aux deux inégalités : 1 1 NS (g) −1 2SNR (u) |z| < , 4RNR (u) |z| < . 1+ 8 ρ 2 De là on tire: ∞ X NS (g) |z|n n−1 n NS (g) −1 ρ D (u Dg) (t) < < < ρ. 1+ n! 8 ρ 8
n=0
En conclusion, pour tout nombre complexe z satisfaisant l’inégalité |z| < pose alors la question de l’égalité: ϕt
∞ X zn
n=0
n!
D
n−1
n
!
(u Dg) (t)
=
∞ X zn
n=0
n!
1 , se 4NR (u) T0
D n−1 (un D (ϕ t ◦ g)) (t) .
20
Désignons par Pm la fonction polynôme somme partielle d’ordre m de la série entière de somme ϕ t , à savoir m X Pm (ζ) = ck (ζ − g (t))k . k=0
En vertu de l’égalité (3.4), On peut écrire: ! ∞ X z n n−1 n D (u Dg) (t) = lim PM ϕt M n!
∞ X zn
= lim M
∞ X zn
n=0
n!
D n−1 (un D (PM ◦ g)) (t) = lim lim M
N
n!
n=0
n=0
N X zn n=0
n!
D
n−1
n
!
(u Dg) (t)
!
D n−1 (un D (PM ◦ g)) (t) .
Le lemme suivant montre qu’on peut intervertir les limites.
Lemme 4.7. Dans les conditions ci-dessus énoncées, uniformément par rapport au couple (N, z) appartenant à N × ∆, où ∆ désigne le disque ouvert centré en z = 0 et de rayon 1 , on a: 4NR (u) T0 N X zn
n=0
n!
D n−1 (un D (ϕ t ◦ g)) (t) = lim M
N X zn
n=0
n!
D n−1 (un D (PM ◦ g)) (t) .
Démonstration. Comme (ϕ t − PM ) (g (t)) = 0, il s’agit de démontrer qu’on a: ! N X z n D n−1 (un D ((ϕ t − PM ) ◦ g)) (t) = 0. lim sup M n! N ≥1 et z∈∆ n=1
Tout d’abord on définit les fonctions ψM et φM : ∞ X cm wm φM (ζ) = ψM (ζ − g (t)) = (ϕ t − PM ) (ζ) . ψM (w) = m=M +1
Pour tout r vérifiant 0 < r < ρ, on a: 1 n−1 n D (u D (φM ◦ g)) (t) n! X 1 1+α 1 1 α1 1 αn n+1 D ≤ D u (t) · · · D u (t) (φM ◦ g) (t) . n α1 ! αn ! αn+1 ! α∈E(n−1,n+1)
Or, la fonction φM étant à ψM ce que la fonction ϕ t est à ψ, en vertu de l’inégalité (4.1), pour tout entier naturel p on a: p p D (φM ◦ g) (t) ≤ ψM∗ (r) p! S p 1 + NS (g) . r
Donc: 1 n−1 n D (u D (φM ◦ g)) (t) ≤ ψM∗ (r) NR (u)n Rn n!
X
α∈E(n−1,n+1)
S R
NS (g) 1+ r
1+αn+1
.
21
Or, pour tout nombre réel x strictement positif: X
α∈E(n−1,n+1)
x1+αn+1 ≤ 22n−1
n X x j j=1
2
.
Il vient alors: j n X 1 ∗ 1 n−1 n S N (g) S n D (u D (φM ◦ g)) (t) ≤ ψM (r) (4NR (u) R) 1+ n! 2 2R r j=1
puis l’inégalité:
j N N X X ψM∗ (r) NS (g) |z|n n−1 n D (u D (φM ◦ g)) (t) ≤ . 2 |z| NR (u) S 1 + n! 2 (1 − 4 |z| NR (u) R) r n=1
j=1
L’hypothèse sur le nombre complexe z conduit aux deux inégalités: 1 1 NS (g) −1 2 |z| SNR (u) < , 4RNR (u) |z| < . 1+ 8 ρ 2
De là on tire: ∞ ∞ X X 1 NS (g) j NS (g) −j |z|n n−1 n ∗ . D (u D (φM ◦ g)) (t) < ψM (r) 1+ 1+ n! 8j r ρ n=0
j=1
Choisissant convenablement le nombre r, par exemple sup N ≥1 et z∈∆
NS (g) ρ ≤ r < ρ, on obtient: ρ + 2NS (g)
N ∞ X X |z|n n−1 n 1 1 ∗ D (u D (φM ◦ g)) (t) ≤ ψM (r) = j n! 4 3 n=1 j=1
∞ X
m=M +1
|cm | r m .
En conséquence, les limites ayant été interverties, on aboutit à: ! ! ∞ N X X z n n−1 n z n n−1 n ϕt D (u Dg) (t) = lim lim D (u D (PM ◦ g)) (t) = N M n! n! n=0
= lim N
n=0
N X zn
n=0
n!
D n−1 (un D (ϕ t ◦ g)) (t) =
de sorte qu’on énonce le
∞ X zn
n=0
n!
D n−1 (un D (ϕ t ◦ g)) (t)
Théorème 4.8. Soient un couple (u, g) de fonctions réelle-analytiques sur le segment J, u ∞ X cn wn , de niveau R, g de niveau S, et une série entière à coefficients complexes ψ (w) = n=0
de rayon de convergence ρ strictement positif. La fonction somme de série entière, ζ 7−→ ϕ t (ζ) = ψ (ζ − g (t))
22 ◦
est définie dans le disque ouvert D (g (t) , ρ). On note NS (g) S, T0 = 2 max (R, 2S0 ) . S0 = 1 + ρ Pour tout point t du segment J, et pour tout nombre complexe z vérifiant |z|
S, on aboutit à: ∞ n−1 X X |z|n n − 1 n=1 k=0
n!
k
∞
N2T D n−k−1 (un ) N2T D k+1 g
NS (g) X |z|n (4 T NR (u))n ≤ 2 n
=
NS (g) 4
n=1 ∞ X n=1
n−1 X
(k + 1)
k=0
!
(n + 1) |z|n (4T NR (u))n < +∞.
1 permet donc l’interversion, et on obtient: 4 NR (u) T ! ∞ ∞ X X 1 k+1 zn Lu (g, z) = g + D g D n−k−1 (un ) k! (n − k − 1)! n k=0 n=k+1 j+k+1 ∞ ∞ k+1 n X X z z u =g+ D k+1 g Dj k! j! j+k+1 j=0 k=0 k+1 ∞ ∞ n k+1 X X u z z D k+1 g D j−1 uj D =g+ k! j! k+1 j=0 k=0 ∞ ∞ ∞ X X zm m z m m X z n j−1 j Lu (um , z) D g D u D (um ) = D g. =g+ m! j! m! L’hypothèse |z|
