Ce réel est appelé logarithme népérien de x et on le note : ln x ou ( ) ... On dit que
la fonction logarithme népérien est la « fonction réciproque » de la fonction.
Synthèse de cours (Terminale S) Æ La fonction logarithme népérien Définition et premières propriétés Définition Pour tout réel x strictement positif, il existe un unique réel y tel que e y = x (voir la figure ci-dessous). Ce réel est appelé logarithme népérien de x et on le note : ln x ou ln ( x ) . On a donc, pour tout réel x strictement positif :
eln x = x
On dit que la fonction logarithme népérien est la « fonction réciproque » de la fonction exponentielle.
Définition de la fonction logarithme népérien comme fonction réciproque de la fonction exponentielle.
PanaMaths
[1-5]
Février 2009
Premières propriétés (directement liées à la définition) • • •
ln1 = 0 ; ∀x ∈ \, ln e x = x ; La fonction ln est strictement croissante sur ]0, +∞[ . Il en découle :
o
∀x ∈ ]0,1[ , ln x < 0 ;
o
∀x ∈ ]1, +∞[ , ln x > 0 ;
o
∀ ( x, y ) ∈ ( ]0, +∞[ ) , ln x = ln y ⇔ x = y ;
o
∀ ( x, y ) ∈ ( ]0, +∞[ ) , ln x > ln y ⇔ x > y ;
o
∀ ( x, y ) ∈ ( ]0, +∞[ ) , ln x < ln y ⇔ x < y
2
2
2
Propriété fondamentale : logarithme népérien d’un produit Logarithme népérien d’un produit ∀ ( x, y ) ∈ ( ]0, +∞[ ) , ln ( xy ) = ln x + ln y 2
Conséquences de la propriété fondamentale • • •
⎛1⎞ ∀y ∈ ]0, +∞[ , ln ⎜ ⎟ = − ln y ; ⎝ y⎠ 2 ⎛ x⎞ ∀ ( x, y ) ∈ ( ]0, +∞[ ) , ln ⎜ ⎟ = ln x − ln y ; ⎝ y⎠ Généralisations de la propriété fondamentale : o
∀n ∈ `* , ∀ ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ ( ]0, +∞[ ) , ln ( x1 x2 ...xn ) = ln x1 + ln x2 + ... + ln xn
o
∀p ∈ ], ∀x ∈ ]0, +∞[ , ln x p = p ln x
o
•
n
( ) ∀q ∈ _, ∀x ∈ ]0, +∞[ , ln ( x ) = q ln x
∀x ∈ ]0, +∞[ , ln x =
q
1 ln x . 2
Etude de la fonction logarithme népérien Ensemble de définition Dln = ]0, +∞[
Continuité La fonction logarithme népérien est continue sur son ensemble de définition.
PanaMaths
[2-5]
Février 2009
Limites aux bornes de l’ensemble de définition lim ln x = −∞ x →0
lim ln x = +∞
x →+∞
Dérivabilité et dérivée La fonction logarithme népérien est dérivable sur son ensemble de définition et sa fonction dérivée est la fonction inverse : ∀x ∈ \, ( ln ) ' ( x ) =
1 x
Tableau de variation x
0
1
+∞
1 ln' ( x ) = x +∞
ln
0
−∞
Courbe représentative
Courbe représentative de la fonction logarithme népérien.
PanaMaths
[3-5]
Février 2009
Interprétation graphique de la réciprocité des fonctions logarithme népérien et exponentielle
Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x (1ère bissectrice).
Tangente et approximation affine L’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien x en un point M ( a, ln a ) (avec a > 0 ) est : y = + ln a − 1 . a h On en déduit l’approximation affine : ln ( a + h ) + ln a . a Pour a = 1 , les formules précédentes s’écrivent : Equation réduite de la tangente : y = x − 1 Approximation affine : ln (1 + h ) h
PanaMaths
[4-5]
Février 2009
Composée du logarithme népérien et d’une fonction strictement positive Dérivée de ln ( f ) = lnof On considère un intervalle I et une fonction f dérivable sur I et telle que : ∀x ∈ I , f ( x ) > 0 . On a alors : ( ln of ) ( x ) = '
f '( x) f ( x)
:
( ln of ) Primitive de
'
=
f' f
f' f
On considère un intervalle I et une fonction f dérivable sur I et ne s’annulant pas sur I. On a alors : ln f est une primitive de
f' sur I f
Logarithme décimal Définition ln x définie sur ]0; +∞[ est appelée « fonction logarithme décimal ». ln10 ln x Pour tout réel x, le nombre = log x est appelé « logarithme décimal de x ». ln10 En particulier : ∀n ∈ ], log10n = n . La fonction log : x 6
Propriétés La fonction logarithme décimal étant le produit de la fonction logarithme népérien par une 1 constante strictement positive ( ), on retrouve les principales propriétés du logarithme ln10 népérien (croissance stricte et conséquences, propriétés algébriques, …).
PanaMaths
[5-5]
Février 2009
