Tabellenbuch Metall

EUROPA-FACHBUCHREIHE für Metallberufe

M

P Ulrich Fischer Roland Gomeringer

Max Heinzler Roland Kilgus

Friedrich Näher Stefan Oesterle

Heinz Paetzold Andreas Stephan

K

Tabellenbuch Metall W 45., neu bearbeitete und erweiterte Auflage

N

F Europa-Nr.: 10609 mit Formelsammlung Europa-Nr.: 1060X ohne Formelsammlung Europa-Nr.: 10706 XXL, mit Formelsammlung und CD A VERLAG EUROPA LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten

Autoren: Ulrich Fischer Roland Gomeringer Max Heinzler Roland Kilgus Friedrich Näher Stefan Oesterle Heinz Paetzold Andreas Stephan

Dipl.-Ing. (FH) Dipl.-Gwl. Dipl.-Ing. (FH) Dipl.-Gwl. Dipl.-Ing. (FH) Dipl.-Ing. Dipl.-Ing. (FH) Dipl.-Ing. (FH)

Reutlingen Meßstetten Wangen im Allgäu Neckartenzlingen Balingen Amtzell Mühlacker Marktoberdorf

Lektorat: Ulrich Fischer, Reutlingen Bildbearbeitung: Zeichenbüro des Verlages Europa-Lehrmittel, Ostfildern

Das vorliegende Buch wurde auf der Grundlage der aktuellen amtlichen Rechtschreibregeln erstellt.

Maßgebend für die Anwendung der Normen und der anderen Regelwerke sind deren neueste Ausgaben. Sie können durch die Beuth Verlag GmbH, Burggrafenstr. 6, 10787 Berlin, bezogen werden. Inhalte des Kapitels „Programmaufbau bei CNC-Maschinen nach PAL“ (Seiten 412 bis 424) richten sich nach Veröffentlichungen der PAL-Prüfungsaufgaben- und Lehrmittelentwicklungsstelle der IHK Region Stuttgart.

45. Auflage 2011 Druck 6 5 4 3 2 1 Alle Drucke dieser Auflage sind im Unterricht nebeneinander einsetzbar, da sie bis auf korrigierte Druckfehler und kleine Normänderungen unverändert sind.

ISBN 978-3-8085-1725-3 ISBN 978-3-8085-1675-1 ISBN 978-3-8085-1082-7

mit Formelsammlung ohne Formelsammlung XXL, mit Formelsammlung und CD

Umschlaggestaltung unter Verwendung eines Fotos der Firma TESA/Brown & Sharpe, CH-Renens Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. © 2011 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten http://www.europa-lehrmittel.de Satz: Satz+Layout Werkstatt Kluth GmbH, 50374 Erftstadt Druck: M. P. Media-Print Informationstechnologie GmbH, 33100 Paderborn

3

Vorwort Zielgruppen des Tabellenbuches u Industrie- und Handwerksmechaniker u Werkzeugmechaniker u Fertigungsmechaniker u Zerspanungsmechaniker u Technische Zeichner u Meister- und Technikerausbildung u Praktiker in Handwerk und Industrie u Studenten des Maschinenbaues Inhalt Der Inhalt des Buches ist in sieben Hauptkapitel gegliedert, die in der rechten Spalte benannt sind. Er ist auf die Bildungspläne der Zielgruppen abgestimmt und der Entwicklung der Technik und der KMK-Lehrpläne angepasst. Die Tabellen enthalten die wichtigsten Regeln, Bauarten, Sorten, Abmessungen und Richtwerte der jeweiligen Sachgebiete. Bei den Formeln wird in der Legende auf die Nennung von Einheiten verzichtet, wenn mehrere Einheiten möglich sind. Die oft parallel zum Buch verwendeten „Formeln für Metallberufe“ geben die Einheiten an, um vor allem Berufsanfängern beim Berechnen eine Hilfestellung zu geben. Mit der CD „Tabellenbuch Metall digital“, der elektronischen Form des Tabellenbuches, können bei Berechnungen die Formeln und Einheiten gewählt und umgestellt werden. Die elektronisch ermittelten Rechenergebnisse können ebenfalls in verschiedenen Einheiten angezeigt werden. Ab Sommer 2011 wird auch eine Online-Version zur Verfügung stehen. Das Inhaltsverzeichnis am Anfang des Buches wird durch Teilinhaltsverzeichnisse vor jedem Hauptkapitel ergänzt. Das Sachwortverzeichnis am Schluss des Buches enthält neben den deutschen auch die englischen Bezeichnungen. Im Normenverzeichnis sind alle im Buch zitierten aktuellen Normen und Regelwerke aufgeführt. Änderungen in der 45. Auflage In der vorliegenden Ausgabe wurden die zitierten Normen aktualisiert und wegen der technischen Entwicklung besonders folgende Kapitel neu strukturiert, aktualisiert, erweitert oder neu aufgenommen: u Grundlagen der technischen Mathematik u Festigkeitslehre u Stahlsorten u Kunststoffe u Werkstoffprüfung u Produktionsmanagement u Spanende Fertigung u Umformen u Spritzgießen (neu) u Schweißen u GRAFCET u PAL-Programmiersysteme für NC-Drehen und NC-Fräsen Autoren und Verlag sind auch weiterhin allen Nutzern des Tabellenbuches für Hinweise und Verbesserungsvorschläge an [email protected] dankbar. Sommer 2011

Autoren und Verlag

1 Technische Mathematik

M

M

P

P

K

K

W

W

M

N

F

F

A

A

9 … 28

2 Technische Physik 29 … 50

3 Technische Kommunikation

51 … 110

4 Werkstofftechnik 111 … 200

5 Maschinenelemente 201 … 268

6 Fertigungstechnik 269 … 366

7 Automatisierungstechnik 367 … 424

4

Inhaltsverzeichnis 1 Technische Mathematik (M) 1.1

1.2

9

Einheiten im Messwesen SI-Größen und Einheiten. . . . . . . . . . . . 10 Abgeleitete Größen und Einheiten. . . 11 Einheiten außerhalb des SI . . . . . . . . . 12 Formeln Formelzeichen, mathem. Zeichen . . . Formeln, Gleichungen, Diagramme. . Umstellen von Formeln . . . . . . . . . . . . Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . Rechnen mit Größen . . . . . . . . . . . . . . Prozent- und Zinsrechnung. . . . . . . . .

13 14 15 16 17 17

1.3

Winkel und Dreiecke Winkelarten, Satz des Pythagoras . . . 18 Funktionen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . 19

1.4

Längen Teilung von Längen . . . . . . . . . . . . . . . 20 Gestreckte Längen . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Rohlängen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5

Flächen Eckige Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dreieck, Vielecke, Kreis . . . . . . . . . . . . Kreisausschnitt, Kreisabschnitt. . . . . . Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6

Volumen und Oberfläche Würfel, Zylinder, Pyramide . . . . . . . . . 25 Kegel, Kegelstumpf, Kugel . . . . . . . . . 26 Zusammengesetzte Körper . . . . . . . . . 27

1.7

Masse Allgemeine Berechnung . . . . . . . . . . . 27 Längenbezogene Masse . . . . . . . . . . . 27 Flächenbezogene Masse . . . . . . . . . . . 27

1.8

Schwerpunkte Linienschwerpunkte. . . . . . . . . . . . . . . 28 Flächenschwerpunkte . . . . . . . . . . . . . 28

2 Technische Physik (P) 2.1

22 23 24 24

29

Bewegungen Konstante Bewegungen . . . . . . . . . . . 30 Beschleunigte Bewegungen . . . . . . . . 30 Geschwindigkeiten an Maschinen . . . 31

2.2

Kräfte Zusammensetzen und Zerlegen . . . . . 32 Kräftearten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Drehmoment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3

Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Mechanische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . Einfache Maschinen. . . . . . . . . . . . . . . Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . . .

34 35 35 36

2.4

Reibung Reibungskraft, Reibungszahlen . . . . . 37 Rollreibungszahlen . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5

Druck in Flüssigkeiten und Gasen Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hydraulische Kraftübersetzung . . . . . Druckübersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . Durchflussgeschwindigkeit . . . . . . . . . Zustandsänderung bei Gasen. . . . . . .

38 38 38 39 39 39

2.6

2.7

2.8

Festigkeitslehre Belastungsfälle, Beanspruchungsarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Werkstoffkennwerte . . . . . . . . . . . . . . . Grenzspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . Festigkeitsrechnung. . . . . . . . . . . . . . . Zulässige Spannungen . . . . . . . . . . . . Elastizitätsmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . Zug-, Druck-, Flächenpressung . . . . . . Abscherung, Biegung, Torsion . . . . . . Flächenmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . Widerstandsmomente . . . . . . . . . . . . .

40 40 40 41 41 41 42 43 44 44

Wärmetechnik Temperaturen, Längenänderung . . . . Schwindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmemenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Heizwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 46 46

Elektrotechnik Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . Ohmsches Gesetz. . . . . . . . . . . . . . . . . Leiterwiderstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schaltung von Widerständen . . . . . . . Stromarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrische Arbeit und Leistung . . . . . Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47 47 48 48 49 50 50

5

Inhaltsverzeichnis

3 Technische Kommunikation (K) 3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

Diagramme Kartesisches Koordinatensystem . . . . Diagrammformen. . . . . . . . . . . . . . . . . Geom. Grundkonstruktionen Strecken, Lote, Winkel . . . . . . . . . . . . . Tangenten, Kreisbögen . . . . . . . . . . . . Inkreise, Ellipsen,Spirale . . . . . . . . . . . Zykloide, Evolvente, Hyperbel . . . . . . Zeichnungselemente Schriftzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normzahlen, Radien, Maßstäbe . . . . . Zeichenblätter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stücklisten, Positionsnummern . . . . . Linienarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung Projektionsmethoden. . . . . . . . . . . . . . Ansichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schnittdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . Schraffuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maßeintragung Maßlinien, Maßzahlen . . . . . . . . . . . . . Bemaßungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . Zeichnungselemente . . . . . . . . . . . . . . Toleranzangaben . . . . . . . . . . . . . . . . . Maßarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeichnungsvereinfachung. . . . . . . . . .

51 3.6

52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 64 66 68 70 71 72 73 75 76 78

Maschinenelemente Zahnräder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wälzlager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sicherungsringe, Federn . . . . . . . . . . . 3.7 Werkstückelemente Butzen, Werkstückkanten . . . . . . . . . . Gewindeausläufe und -freistiche . . . . Gewinde, Schraubenverbindungen . . Zentrierbohrungen, Freistiche . . . . . . 3.8 Schweißen und Löten Sinnbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bemaßungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Oberflächen Härteangaben in Zeichnungen . . . . . . Gestaltabweichungen, Rauheit. . . . . . Oberflächenprüfung, -angaben . . . . . Erreichbare Rauheit . . . . . . . . . . . . . . . Verzahnungsqualität . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Toleranzen und Passungen Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ISO-Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeintoleranzen . . . . . . . . . . . . . Wälzlagerpassungen . . . . . . . . . . . . . Passungsempfehlungen . . . . . . . . . . Geometrische Tolerierung . . . . . . . .

4 Werkstofftechnik (W) 4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

Stoffe Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Periodisches System der Elemente . Chemikalien der Metalltechnik . . . . . Bezeichnungssystem der Stähle Definition und Einteilung. . . . . . . . . . Normung von Stahlprodukten . . . . . Werkstoffnummern . . . . . . . . . . . . . . Bezeichnungssystem . . . . . . . . . . . . . Stahlsorten Erzeugnisse aus Stahl, Übersicht . . . Stähle, Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . Baustähle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einsatzstähle, Vergütungsstähle. . . . Werkzeugstähle . . . . . . . . . . . . . . . . . Nichtrostende Stähle . . . . . . . . . . . . . Federstähle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stähle für Blankstahlerzeugnisse . . . Stahl-Fertigerzeugnisse Bleche, Bänder, Rohre . . . . . . . . . . . . Profile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Längen- u. flächenbezogene Masse. Wärmebehandlung Eisen-Kohlenstoff-Diagramm . . . . . . Wärmebehandlungsverfahren . . . . . Gusseisen-Werkstoffe Bezeichnung, Werkstoffnummern . .

79 80 81 82 83 84 85 86 88 91 92 93 94 96 97 98 100 106 106 107 108

111 112 114 115 116 117 118 119 123 124 126 129 132 133 135 136 138 142 151

4.7 4.8

4.9

4.10 4.11

4.12

152 153 157

4.13

Gusseisenarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . Gießereitechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . Leichtmetalle Übersicht Al-Legierungen . . . . . . . . . Aluminium-Knetlegierungen . . . . . . Aluminium-Gusslegierungen . . . . . . Aluminium-Profile . . . . . . . . . . . . . . . Magnesium- u. Titan-Legierungen. . Schwermetalle Bezeichnungssystem . . . . . . . . . . . . . Kupfer-Legierungen . . . . . . . . . . . . . . Sonstige metallische Werkstoffe . . . Kunststoffe Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Duroplaste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thermoplaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elastomere, Schaumstoffe . . . . . . . . Kunststoffverarbeitung . . . . . . . . . . . Polyblends, Schichtpressstoffe . . . . Kunststoffprüfung . . . . . . . . . . . . . . . Werkstoffprüfung Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zugversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wöhler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Härteprüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Korrosion, Korrosionsschutz . . . . . . Gefährliche Stoffe . . . . . . . . . . . . . . .

158 161 163 166 167 168 171 172 174 176 178 181 182 185 186 187 188 188 190 192 193 196 197

6

Inhaltsverzeichnis

5 Maschinenelemente (M) 5.1

5.2

5.3

5.4

Gewinde Gewindearten, Übersicht. . . . . . . . . . Ausländische Normen . . . . . . . . . . . . Metrisches ISO-Gewinde. . . . . . . . . . Sonstige Gewinde . . . . . . . . . . . . . . . Gewindetoleranzen . . . . . . . . . . . . . . Schrauben Schraubenarten, Übersicht . . . . . . . . Bezeichnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sechskantschrauben . . . . . . . . . . . . . Zylinderschrauben . . . . . . . . . . . . . . . Sonstige Schrauben. . . . . . . . . . . . . . Berechnung von Schrauben . . . . . . . Schraubensicherungen . . . . . . . . . . . Schraubenantriebe. . . . . . . . . . . . . . . Senkungen Senkungen für Senkschrauben. . . . . Senkungen für Zylinderschrauben. . Muttern Mutternarten, Übersicht . . . . . . . . . . Bezeichnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sechskantmuttern . . . . . . . . . . . . . . . Sonstige Muttern . . . . . . . . . . . . . . . .

201 5.5 202 203 204 205 207 208 209 210 211 214 215 220 221 222 223 224 225 226 227 228 230

Scheiben Bauarten, Übersicht . . . . . . . . . . . . . . Flache Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . Sonstige Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Stifte und Bolzen Bauarten, Übersicht . . . . . . . . . . . . . . Zylinderstifte, Spannstifte . . . . . . . . . Kerbstifte, Bolzen . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Welle-Nabe-Verbindungen Keile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Passfedern, Keilwellen. . . . . . . . . . . . Werkzeugkegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . Werkzeugaufnahmen. . . . . . . . . . . . . 5.8 Sonstige Maschinenelemente Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Griffe, Aufnahmen, Nutensteine. . . . Schnellspannvorrichtung . . . . . . . . . 5.9 Antriebselemente Riemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stirnräder, Maße . . . . . . . . . . . . . . . . Kegel- u. Schneckenräder, Maße . . . Übersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Lager Gleitlager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wälzlager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schmieröle und Schmierfette . . . . . .

6 Fertigungstechnik (F) 6.1

6.2 6.3

6.4

6.5

Qualitätsmanagement Normen, Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . Qualitätsplanung, Qualitätsprüfung . . Statistische Auswertung . . . . . . . . . . Statistische Prozesslenkung . . . . . . . Qualitätsfähigkeit von Prozessen . . . Maschinenrichtlinie . . . . . . . . . . . . . . Produktionsorganisation Erzeugnisgliederung . . . . . . . . . . . . . Arbeitsplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Instandhaltung Wartung, Instandsetzung. . . . . . . . . . Instandhaltungskonzepte . . . . . . . . . Dokumentationskonzepte . . . . . . . . . Spanende Fertigung Werkzeug- u. Schnittdatenwahl . . . . Kräfte und Leistungen . . . . . . . . . . . . Drehzahldiagramm . . . . . . . . . . . . . . Bohren, Reiben, Senken . . . . . . . . . . Drehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fräsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wendeschneidplatten . . . . . . . . . . . . Kühlschmierung . . . . . . . . . . . . . . . . .

232 232 234 235 236 237 238 239 240 241 242 245 248 250 253 255 256 257 259 267

269 270 272 273 275 277 278 280 282 286 289 290 292 293 294 297 298 301 305 308 311

Schneidstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schleifen, Honen . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Abtragen Drahterodieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . Senkerodieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Trennen durch Schneiden Schneidkraft, Pressen . . . . . . . . . . . . Schneidwerkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . Werkzeug und Werkstückmaße . . . . Streifenausnutzung . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Umformen Biegen: Werkzeug, Verfahren . . . . . . Einstellwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiefziehen: Werkzeug, Verfahren . . . Einstellwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Spritzgießen Spritzgießwerkzeug . . . . . . . . . . . . . . Schwindung, Kühlung, Dosierung . . 6.10 Fügen Schmelzschweißen: Verfahren . . . . . Nummern der Schweißverfahren . . Nahtvorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . Schutzgasschweißen . . . . . . . . . . . . . Lichtbogenschweißen . . . . . . . . . . . .

315 317 323 324 325 326 328 329 330 332 334 336 338 341 343 344 345 346 348

7

Inhaltsverzeichnis Strahlschneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . Kennzeichnung von Gasflaschen . . . Löten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kleben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

350 352 354 357

6.11 Arbeits- und Umweltschutz Sicherheitszeichen . . . . . . . . . . . . . . . Warn-, Gebots-, Hinweiszeichen. . . . Kennzeichnung von Rohrleitungen . Schall und Lärm . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Automatisierungstechnik (A) 7.1

7.2

7.3

7.4

359 360 365 366

367 7.5

Steuerungstechnik, Grundbegriffe Begriffe, Kennzeichnung . . . . . . . . . . Analoge Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unstetige und digitale Regler . . . . . . Binäre Verknüpfungen. . . . . . . . . . . . Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . Informationsverarbeitung . . . . . . . . .

368 370 371 372 373 374

Elektrotechnische Schaltungen Schaltzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kennzeichnungen in Schaltplänen. . Stromlaufpläne. . . . . . . . . . . . . . . . . . Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schutzmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . .

375 377 378 379 380

GRAFCET Grundstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schritte, Transitionen . . . . . . . . . . . . Aktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verzweigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

382 383 384 386

SPS-Steuerungen Programmiersprachen, Übersicht . . Kontaktplan (KOP) . . . . . . . . . . . . . . . Anweisungsliste . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfache Funktionen. . . . . . . . . . . . . . Programmierbeispiel . . . . . . . . . . . . .

388 389 390 391 392

Hydraulik, Pneumatik Schaltzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proportionalventile. . . . . . . . . . . . . . . Schaltpläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pneumatische Steuerung . . . . . . . . . Elektropneumatische Steuerung . . . Elektrohydraulische Steuerung . . . . Druckflüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . Luftverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kräfte und Leistungen . . . . . . . . . . . . Präzisionsstahlrohre. . . . . . . . . . . . . .

393 395 396 397 398 399 400 401 402 403

7.6

Handhabungs-, Robotertechnik Koordinatensystem, Achsen . . . . . . . 404 Aufbau von Robotern . . . . . . . . . . . . 405 Greifer, Arbeitssicherheit . . . . . . . . . 406

7.7

CNC-Technik Koordinatenachsen . . . . . . . . . . . . . . Programmaufbau nach DIN . . . . . . . Werkzeug- und Bahnkorrekturen . . . Arbeitsbewegungen nach DIN . . . . . Programmaufbau nach PAL . . . . . . . PAL-Funktionen bei Drehmaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PAL-Zyklen bei Drehmaschinen . . . . PAL-Funktionen bei Fräsmaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PAL-Zyklen bei Fräsmaschinen. . . . .

407 408 409 410 412 413 414 417 418

Normenverzeichnis

425 … 429

Sachwortverzeichnis

430 … 448

8

Normen

Normen und andere Regelwerke Normung und Normbegriffe Normung ist eine planmäßig durchgeführte Vereinheitlichung von materiellen und nichtmateriellen Gegenständen, wie z. B. Bauteilen, Berechnungsverfahren, Prozessabläufen und Dienstleistungen, zum Nutzen der Allgemeinheit. Normbegriff

Beispiel

Erklärung

Norm

DIN 7157

Eine Norm ist das veröffentlichte Ergebnis der Normungsarbeit. Beispiel: Die Auswahl bestimmter Passungen in DIN 7157.

Teil

DIN 30910-2

Normen können aus mehreren in Zusammenhang stehenden Teilen bestehen. Die Teilnummern werden mit Bindestrich an die Norm-Nummer angehängt. DIN 30910-2 beschreibt z. B. Sinterwerkstoffe für Filter, während die Teile 3 und 4 Sinterwerkstoffe für Lager und Formteile beschreiben.

Beiblatt

DIN 743 Bbl 1

Ein Beiblatt enthält Informationen zu einer Norm, jedoch keine zusätzlichen Festlegungen. Das Beiblatt DIN 743 Bbl 1 enthält z. B. Anwendungsbeispiele zu den in DIN 743 beschriebenen Tragfähigkeitsberechnungen von Wellen und Achsen.

Entwurf

E DIN 743 (2008-10)

Normentwürfe werden zur Einsicht und Stellungnahme veröffentlicht. Die geplante Neufassung DIN 743 für Tragfähigkeitsberechnungen von Wellen und Achsen liegt der Öffentlichkeit z. B. seit Oktober 2008 als Entwurf E DIN 743 vor.

Vornorm

DIN V 66304 (1991-04)

Eine Vornorm ist das Ergebnis einer Normungsarbeit, das wegen Vorbehalten nicht als Norm herausgegeben wird. DIN V 66304 behandelt z. B. ein Format zum Austausch von Normteildateien für das rechnergestützte Konstruieren.

Ausgabedatum

DIN 76-1 (2004-06)

Zeitpunkt des Erscheinens, welcher im DIN-Anzeiger veröffentlicht wird und mit dem die Norm Gültigkeit bekommt. Die DIN 76-1, welche Freistiche für metrische ISO-Gewinde festlegt, ist z. B. seit Juni 2004 gültig.

Normenarten und Regelwerke (Auswahl) Art

Kurzzeichen

Erklärung

Zweck und Inhalte

Internationale Normen (ISO-Normen)

ISO

International Organisation for Standardization, Genf (O und S werden in der Abkürzung vertauscht)

Den internationalen Austausch von Gütern und Dienstleistungen sowie die Zusammenarbeit auf wissenschaftlichem, technischem und ökonomischem Gebiet erleichtern.

Europäische Normen (EN-Normen)

EN

Europäische Normungsorganisation CEN (Comunité Européen de Normalisation), Brüssel

Technische Harmonisierung und damit verbundener Abbau von Handelshemmnissen zur Förderung des Binnenmarktes und des Zusammenwachsens von Europa.

Deutsche Normen (DIN-Normen)

DIN

Deutsches Institut für Normung e.V., Berlin

DIN EN

Deutsche Umsetzung einer europäischen Norm

Die nationale Normungsarbeit dient der Rationalisierung, der Qualitätssicherung, der Sicherheit, dem Umweltschutz und der Verständigung in Wirtschaft, Technik, Wissenschaft, Verwaltung und Öffentlichkeit.

DIN ISO

Deutsche Norm, deren Inhalt unverändert von einer ISO-Norm übernommen wurde.

DIN EN ISO

Norm, die von ISO und CEN veröffentlicht wurde, und deren deutsche Fassung als DIN-Norm Gültigkeit hat.

DIN VDE

Druckschrift des VDE, die den Status einer deutschen Norm hat. Diese Richtlinien geben den aktuellen Stand der Technik zu bestimmten Themenbereichen wieder und enthalten z. B. konkrete Handlungsanleitungen zur Durchführung von Berechnungen oder zur Gestaltung von Prozessen im Maschinenbau bzw. in der Elektrotechnik.

VDI-Richtlinien VDI

Verein Deutscher Ingenieure e.V., Düsseldorf

VDE-Druckschriften

VDE

Verband Deutscher Elektrotechniker e.V., Frankfurt am Main

DGQ-Schriften

DGQ

Deutsche Gesellschaft für Qualität e.V., Frankfurt am Main

Empfehlungen für den Bereich der Qualitätstechnik.

REFA-Blätter

REFA

Verband für Arbeitsstudien REFA e.V., Darmstadt

Empfehlungen für den Bereich der Fertigung und Arbeitsplanung.

Inhaltsverzeichnis

9

1 Technische Mathematik Größe

Formelzeichen

Länge

Einheit Name Zeichen Meter

1.1

Einheiten im Messwesen SI-Basisgrößen und Basiseinheiten . . . . . . . . . . . . .10 Abgeleitete Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . 11 Einheiten außerhalb des SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2

Formeln Formelzeichen, mathematische Zeichen . . . . . . . . Formeln und Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umstellen von Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechnen mit Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prozent- und Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 14 15 16 17 17

Winkel und Dreiecke Winkelarten, Winkelsumme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strahlensatz, Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . Funktionen im rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . Funktionen im schiefwinkligen Dreieck . . . . . . . . .

18 18 19 19

m

Oberfläche

T ·d2 AO T · d · h 2 · 4 Mantelfläche

AM = T · d · h

1.3 Sinus

Gegenkathete Hypotenuse Ankathete = Hypotenuse Gegenkathete = Ankathete =

Kosinus Tangens

1.4 Längen Teilung von Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Gestreckte Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Rohlängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Flächen Eckige Flächen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dreieck, Vielecke, Kreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreisausschnitt, Kreisabschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . Ellipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 23 24 24

M

P

K

W

N

1.6 Volumen und Oberfläche Würfel, Zylinder, Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Pyramidenstumpf, Kegel, Kegelstumpf, Kugel . . . 26 Zusammengesetzte Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

F kg m' in m

1.7 Masse Allgemeine Berechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Längenbezogene Masse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Flächenbezogene Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1m

d

A

y

1.8 Schwerpunkte Linienschwerpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Flächenschwerpunkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

S S2 ys

S1 xs

x

10

1.1 Einheiten im Messwesen

Einheiten im Messwesen SI1)-Basisgrößen

M

vgl. DIN 1301-1 (2010-10), -2 (1978-02), -3 (1979-10)

Basisgröße

Länge

Masse

Zeit

Elektrische Stromstärke

Basiseinheit

Meter

Kilogramm

Sekunde

Ampere

Kelvin

Mol

Candela

m

kg

s

A

K

mol

cd

Einheitenzeichen 1)

P

und Basiseinheiten

Thermodynamische Temperatur

Stoffmenge

Lichtstärke

Die Einheiten im Messwesen sind im Internationalen Einheitensystem (SI = Système International d’Unités) festgelegt. Es baut auf den sieben Basiseinheiten (SI-Einheiten) auf, von denen weitere Einheiten abgeleitet sind.

Basisgrößen, abgeleitete Größen und ihre Einheiten Größe

Formelzeichen

Einheit Name Zeichen

Beziehung

Bemerkung Anwendungsbeispiele

Länge, Fläche, Volumen, Winkel Länge

m

Meter

K

1m 1 mm 1 km

Fläche

Volumen

A, S

V

W

ebener Winkel (Winkel)

Ar Hektar

a ha

Kubikmeter

m3

Liter

, L

E, F, K» … Radiant

In der Luft- und Seefahrt gilt: 1 internationale Seemeile = 1852 m

= 10 000 cm2 Zeichen S nur für Querschnittsflächen = 1 000 000 mm2 2 1a = 100 m Ar und Hektar nur für Flächen von 1 ha = 100 a = 10 000 m2 Grundstücken 2 100 ha = 1 km

1 m3

= 1000 dm3 = 1 000 000 cm3 1 = 1 L = 1 dm3 = 10 d = 0,001 m3 1 m = 1 cm3

Meist für Flüssigkeiten und Gase

1 rad ist der Winkel, der aus einem um den Scheitelpunkt geschlagenen Kreis mit 1 m Radius einen Bogen von 1 m Länge schneidet. Bei technischen Berechnungen statt E = 33° 17 27,6 besser E = 33,291° verwenden. Ein Objekt, dessen Ausdehnung in einer Richtung 1 rad misst und senkrecht dazu ebenfalls 1 rad, bedeckt einen Raumwinkel von 1 sr.

Grad

°

Minute Sekunde

Steradiant

sr

1 sr

m

Kilogramm Gramm

kg g

1 kg 1g

= 1000 g = 1000 mg

Megagramm Tonne

Mg t

1t 0,2 g

= 1000 kg = 1 Mg = 1 Kt

rad

1 inch = 1 Zoll = 25,4 mm

1 m2

1 rad = 1 m/m = 57,2957…° = 180°/T 1° = T rad = 60 180 1 = 1°/60 = 60 1 = 1/60 = 1°/3600

N Raumwinkel

Quadratmeter m2

= 10 dm = 100 cm = 1000 mm = 1000 μm = 1000 m

= 1 m2/m2

Mechanik

F

A

Masse

Gewicht im Sinne eines Wägeergebnisses oder eines Wägestückes ist eine Größe von der Art der Masse (Einheit kg). Masse für Edelsteine in Karat (Kt).

längenbezogene Masse

m

Kilogramm pro Meter

kg/m

1 kg/m = 1 g/mm

Zur Berechnung der Masse von Stäben, Profilen, Rohren.

flächenbezogene Masse

m

Kilogramm pro Meter hoch zwei

kg/m2

1 kg/m2 = 0,1 g/cm2

Zur Berechnung der Masse von Blechen.

V

Kilogramm pro Meter hoch drei

kg/m3

1000 kg/m3 = 1 t/m3 = 1 kg/dm3 = 1 g/cm3 = 1 g/ml = 1 mg/mm3

Die Dichte ist eine vom Ort unabhängige Größe.

Dichte

11


Einheiten im Messwesen Größen und Einheiten (Fortsetzung) Größe

Formelzeichen


Beziehung


M

Mechanik Trägheitsmoment, Massenmoment 2. Grades

J

Kilogramm mal Meter hoch zwei

kg · m2 Für homogene Körper gilt: J = V · r2 · V

Kraft

F

Newton

N

Die Kraft 1 N bewirkt bei der Masse = 1 kg ·2 m = 1 J 1 kg in 1 s eine Geschwindigkeitsändes m 1 MN = 103 kN = 1 000 000 N rung von 1 m/s.

Newton mal Meter

N·m

2 1 N · m = 1 kg ·2m s

1 N · m ist das Moment, das eine Kraft von 1 N bei einem Hebelarm von 1 m bewirkt.

Gewichtskraft

FG, G

Drehmoment Biegemoment Torsionsmoment

M Mb T

Das (Massen-)Trägheitsmoment hängt neben der Gesamtmasse des Körpers auch von dessen Form und der Lage der Drehachse ab.

1N

Impuls

p

Kilogramm mal Meter pro Sekunde

kg · m/s 1 kg · m/s = 1 N · s

Der Impuls ist das Produkt aus Masse mal Geschwindigkeit. Er hat die Richtung der Geschwindigkeit.

Druck

p

Pascal

Pa

1 Pa = 1 N/m2 = 0,01 mbar 1 bar = 100 000 N/m2 = 10 N/cm2 = 105 Pa 1 mbar = 1 hPa 1 N/mm2 = 10 bar = 1 MN/m2 = 1 MPa 1 daN/cm2 = 0,1 N/mm2

Unter Druck versteht man die Kraft je Flächeneinheit. Für Überdruck wird das Formelzeichen pe verwendet (DIN 1314). 1 bar = 14,5 psi (pounds per square inch = Pfund pro Quadratinch)

Meter hoch vier m4 Zentimeter cm4 hoch vier

1 m4 = 100 000 000 cm4

früher: Flächenträgheitsmoment

mechanische Spannung

Flächenmoment 2. Grades

W, X

I

N/mm2 Newton pro Millimeter hoch zwei

E, W

Joule

J

1J =1N·m=1W·s = 1 kg · m2/s2

Joule für jede Energieart, kW · h bevorzugt für elektrische Energie.

Leistung, Wärmestrom

P -

Watt

W

1 W = 1 J/s = 1 N · m/s = 1 V · A = 1 m2 · kg/s3

Leistung beschreibt die Arbeit, die in einer bestimmten Zeit verrichtet wurde.

t

Sekunde Minute Stunde Tag Jahr

s min h d a

1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3600 s 1 d = 24 h = 86 400 s

Hertz

Hz

1 Hz = 1/s

1 Hz ¥ 1 Schwingung in 1 Sekunde.

1/s

Die Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit ergibt die Drehzahl, auch Drehfrequenz genannt. Geschwindigkeit bei der Seefahrt in Knoten (kn): 1 kn = 1,852 km/h

Zeit

Frequenz

N

f, Z

Drehzahl, Umdrehungsfrequenz

n

1 pro Sekunde 1/s 1 pro Minute

1/min

= 60/min = 60 min–1 1/min = 1 min–1 = 1 60 s

Geschwindigkeit

v

Meter pro Sekunde Meter pro Minute Kilometer pro Stunde

m/s

1 m/s

Winkelgeschwindigkeit Beschleunigung

K

W

Energie, Arbeit, Wärmemenge

Zeit, Zeitspanne, Dauer

P

[

a, g

= 60 m/min = 3,6 km/h m/min 1 m/min = 1 m 60 s km/h 1 km/h = 1 m 3,6 s

1 pro Sekunde 1/s rad/s Radiant pro Sekunde Meter pro Sekunde hoch zwei

m/s2

3 h bedeutet eine Zeitspanne (3 Std.), 3h bedeutet einen Zeitpunkt (3 Uhr). Werden Zeitpunkte in gemischter Form, z. B. 3h24m10s geschrieben, so kann das Zeichen min auf m verkürzt werden.

F

mile per hour = 1 mile/h = 1 mph 1 mph = 1,60934 km/h

A

[=2T·n

Bei einer Drehzahl von n = 2/s beträgt die Winkelgeschwindigkeit [ = 4 T/s.

1 m/s2 = 1 m/s 1s

Formelzeichen g nur für Fallbeschleunigung. g = 9,81 m/s2 £ 10 m/s2

12


Einheiten im Messwesen Größen und Einheiten (Fortsetzung)

M


Formelzeichen

Größe


Beziehung

Elektrizität und Magnetismus

P

Elektrische Stromstärke Elektr. Spannung Elektr. Widerstand Elektr. Leitwert

Ampere Volt

A V

1 V = 1 W/1 A = 1 J/C

R G

Ohm Siemens

5 S

1 5 = 1 V/1 A 1 S = 1 A/1 V = 1/5

V

Ohm mal Meter Siemens pro Meter

5·m

10–6 5 · m = 1 5 · mm2/m

V

f

Hertz

Hz

1 Hz = 1/s 1000 Hz = 1 kHz

Frequenz öffentlicher Stromnetze: EU 50 Hz, USA 60 Hz

Elektr. Arbeit

W

Joule

J

1J =1W·s=1N·m 1 kW · h = 3,6 MJ 1 W · h = 3,6 kJ

In der Atom- und Kernphysik wird die Einheit eV (Elektronenvolt) verwendet.

Phasenverschiebungswinkel

N

–

–

für Wechselstrom gilt: cos N = P U·I

Winkel zwischen Strom und Spannung bei induktiver oder kapazitiver Belastung.

Elektr. Feldstärke Elektr. Ladung Elektr. Kapazität Induktivität

E Q C L

Volt pro Meter Coulomb Farad Henry

V/m C F H

F Q 1 C = 1 A · 1 s; 1 A · h = 3,6 kC E , C , Q = I · t Q U 1 F = 1 C/V 1 H = 1 V · s/A

Leistung Wirkleistung

P

Watt

W

1 W = 1 J/s = 1 N · m/s =1V·A

Spezifischer Widerstand Leitfähigkeit Frequenz

K

W

Die Bewegung elektrischer Ladung nennt man Strom. Die Spannung ist gleich der Potentialdifferenz zweier Punkte im elektrischen Feld. Den Kehrwert des elektrischen Widerstands nennt man elektrischen Leitwert.

I U

K, O

S/m

1 7 · mm2 in O m 1 m O in V 7 · mm2

In der elektrischen Energietechnik: Scheinleistung S in V · A

Thermodynamik und Wärmeübertragung Formelzeichen

Größe

N

Thermodynamische Temperatur CelsiusTemperatur



Beziehung

T, 7

Kelvin

K

0 K = – 273,15 °C

t, L

Grad Celsius

°C

0 °C = 273,15 K 0 °C = 32 °F 0 °F = – 17,77 °C

J

1J =1W·s=1N·m 1 kW · h = 3 600 000 J = 3,6 MJ

1 kcal ¥ 4,1868 kJ

1 MJ/kg = 1 000 000 J/kg

Freiwerdende Wärmeenergie je kg Brennstoff abzüglich der Verdampfungswärme des in den Abgasen enthaltenen Wasserdampfes.

Wärmemenge

Q

Joule

Spezifischer Heizwert

Hu

Joule pro J/kg Kilogramm Joule pro J/m3 Meter hoch drei

F

Kelvin (K) und Grad Celsius (°C) werden für Temperaturen und Temperaturdifferenzen verwendet. t = T – T0; T0 = 273,15 K Grad Fahrenheit (°F): 1,8 °F = 1 °C

1 MJ/m3 = 1 000 000 J/m3

Einheiten außerhalb des Internationalen Einheitensystems SI

A

Länge

Fläche

1 inch (in) = 25,4 mm

1 sq.in

= 6,452 cm2

1 cu.in

= 16,39 cm3

1 oz

= 28,35 g

1 PSh

= 0,735 kWh

1 foot (ft) = 0,3048 m

1 sq.ft

= 9,29 dm2

1 cu.ft

= 28,32 dm3

1 lb

= 453,6 g

1 PS

= 735 W

1 sq.yd

= 0,8361 m2

1 cu.yd

= 764,6 dm3

1t

= 1000 kg

1 kcal

= 4186,8 Ws

1 acre

= 4046,856 m2

1 gallon 1 (US) = 3,785

1 short ton

1 kcal

= 1,166 Wh

= 907,2 kg

1 gallon 1 (UK) = 4,546

1 Karat

= 0,2 g

1 yard (yd) 1 Seemeile

= 0,9144 m = 1,852 km

1 USLandmeile = 1,6093 km

Volumen

Druck, Spannung 1 bar

= 14,5 pound/in2

1 N/mm2 = 145,038 pound/in2

Masse

1 barrel = 158,8

Energie, Leistung

1 pound/in3 = 27,68 g/cm3

1 kpm/s = 9,807 W 1 Btu

= 1055 Ws

1 hp

= 745,7 W

13

1.2 Formeln

Formelzeichen, mathematische Zeichen Formelzeichen Formelzeichen

vgl. DIN 1304-1 (1994-03) Formelzeichen

Bedeutung

Formelzeichen

Länge Breite Höhe Weglänge

r, R d, D A, S V

Radius Durchmesser Fläche, Querschnittsfläche Volumen

E, F, K P

ebener Winkel Raumwinkel Wellenlänge

Masse längenbezogene Masse flächenbezogene Masse Dichte Trägheitsmoment Druck absoluter Druck Atmosphärendruck Überdruck

F FG, G M T Mb W X I E

Kraft Gewichtskraft Drehmoment Torsionsmoment Biegemoment Normalspannung Schubspannung Dehnung Elastizitätsmodul

G N, f W I W, E Wp, Ep Wk, E k P R

Schubmodul Reibungszahl Widerstandsmonent Flächenmoment 2. Grades Arbeit, Energie potenzielle Energie kinetische Energie Leistung Wirkungsgrad

f, Z v, u [

Frequenz Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit

a g E · Q, V, qv

Beschleunigung örtliche Fallbeschleunigung Winkelbeschleunigung Volumenstrom

L R V K, O

Induktivität Widerstand spezifischer Widerstand elektrische Leitfähigkeit

X Z N N

Blindwiderstand Scheinwiderstand Phasenverschiebungswinkel Windungszahl

Q P E

Wärme, Wärmemenge Wärmeleitfähigkeit Wärmeübergangskoeffizient Wärmedurchgangskoeffizient

Bedeutung

Bedeutung

M

Länge, Fläche, Volumen, Winkel b h s Mechanik m m m V J p pabs pamb pe Zeit t T n

Zeit, Dauer Periodendauer Umdrehungsfrequenz, Drehzahl

P

K

Elektrizität Q U C I

Ladung, Elektrizitätsmenge Spannung Kapazität Stromstärke

W

Wärme T, 7

thermodynamische Temperatur *T, *t, *L Temperaturdifferenz t, L Celsius-Temperatur E , E Längenausdehnungskoeffizient

k

· -, Q a c Hu

Wärmestrom Temperaturleitfähigkeit spezifische Wärmekapazität spezifischer Heizwert

Licht, elektromagnetische Strahlung Ev

Beleuchtungsstärke

f n

Brennweite Brechzahl

Schalldruck Schallgeschwindigkeit

LP I

Schalldruckpegel Schallintensität

Ie Q e, W

N Strahlstärke Strahlungsenergie

Akustik p c

N LN

Mathematische Zeichen Math. Zeichen £ ¥ … = « def

== < ¨ > ¢ + – · –, /, : :

Lautheit Lautstärkepegel vgl. DIN 1302 (1999-12)

Sprechweise

Math. Zeichen

ungefähr gleich, rund, etwa entspricht und so weiter unendlich gleich ungleich ist definitionsgemäß gleich kleiner als kleiner oder gleich größer als größer oder gleich plus minus mal, multipliziert mit durch, geteilt durch, zu, pro Summe

ax n

x S & v *x % ‰

Sprechweise

Math. Zeichen

Sprechweise

proportional a hoch x, x-te Potenz von a Quadratwurzel aus n-te Wurzel aus Betrag von x senkrecht zu ist parallel zu gleichsinnig parallel gegensinnig parallel Winkel Dreieck kongruent zu Delta x (Differenz zweier Werte) Prozent, vom Hundert Promille, vom Tausend

log lg ln e sin cos tan cot (), [], { }

Logarithmus (allgemein) dekadischer Logarithmus natürlicher Logarithmus Eulersche Zahl (e = 2,718281…) Sinus Kosinus Tangens Kotangens runde, eckige, geschweifte Klammer auf und zu pi (Kreiszahl = 3,14159 …)

T AB o AB a, a a1, a2

Strecke AB Bogen AB a Strich, a zwei Strich a eins, a zwei

F

A

14

1.2 Formeln

Formeln, Gleichungen, Diagramme Formeln

M

Die Berechnung physikalischer Größen erfolgt meist über Formeln. Sie bestehen aus: s &ORMELZEICHEN Z"vc für die Schnittgeschwindigkeit, d für den Durchmesser, n für die Drehzahl s /PERATOREN2ECHENVORSCHRIFTEN Z"qFàR-ULTIPLIKATION FàR!DDITION – für Subtraktion, –– (Bruchstrich) für Division s +ONSTANTEN Z"T (pi) = 3,14159 … s :AHLEN Z" x

P

Formel für die Schnittgeschwindigkeit

vc = T · d · n

Die Formelzeichen (Seite 13) sind Platzhalter für Größen. Bei der Lösung von Aufgaben werden die bekannten Größen mit ihren Einheiten in die Formel eingesetzt. Vor oder während der Berechnung werden die Einheiten so umgeformt, dass s DER2ECHENGANGMÚGLICHWIRDODER s DAS%RGEBNISDIEGEFORDERTE%INHEITERHËLT Die meisten Größen und ihre Einheiten sind genormt (Seite 10). Das Ergebnis ist immer ein Zahlenwert mit einer Einheit, z. B. 4,5 m, 15 s Beispiel:

K

Wie groß ist die Schnittgeschwindigkeit vc in m/min für d = 200 mm und n = 630/min? vc = T · d · n = T · 200 mm · 630

1 1m 1 m = T · 200 mm · · 630 = 395,84 min 1000 mm min min

Zahlenwertgleichungen Zahlenwertgleichungen sind Formeln, in welche die üblichen Umrechnungen von Einheiten bereits eingearbeitet sind. Bei ihrer Anwendung ist zu beachten:

W

Die Zahlenwerte der einzelnen Größen dürfen nur in der vorgeschriebenen Einheit verwendet werden. s Die Einheiten werden bei der Berechnung nicht mitgeführt. s Die Einheit der gesuchten Größe ist vorgegeben.

M = 9550 · P n vorgeschriebene Einheiten

Beispiel: Wie groß ist das Drehmoment M eines Elektromotors mit der Antriebsleistung P = 15 kW und der Drehzahl n = 750/min? M=

Zahlenwertgleichung für das Drehmoment

9550 · P 9550 · 15 = N · m = 191 N · m n 750

Bezeichnung

Einheit

M Drehmoment N · m P Leistung

kW

n Drehzahl

1/min

N Gleichungen und Diagramme Bei Funktionsgleichungen ist y die Funktion von x, mit x als unabhängige und y als abhängige Variable. Die Zahlenpaare (x, y ) einer Wertetabelle bilden ein Diagramm im x-y -Koordinatensystem. Beispiel: y = 0,5x+1

3

F

1. Beispiel: y = 0,5 x + 1 x y

y

2

–1 –1

1

2

3

x

Kosten bzw. Erlös

800 000 Gewinnschwelle (Gs)

600 000 400 000

0

t

us

200 000

rl Ve

0

Lineare Funktion 0 1

2 2

3 2,5

2. Beispiel: Kostenfunktion und Erlösfunktion KG = 60 %/Stck · M + 200 000 % E = 110 %/Stck · M

b =1

A

y = f(x)

y=m·x+b

m = 0,5

1

–2

–2 0

Zuordnungsfunktion

Erlös

M KG E

n win

Ge

Gesamtkosten variable Kosten fixe Kosten

2000 4000 Stück 6000 Menge

KG M Kf Kv E

0 200 000 0

4 000 440 000 440 000

6 000 560 000 660 000

Gesamtkosten abhängige Variable Menge unabhängige Variable Fixe Kosten y-Koordinatenabschnitt Variable Kosten Steigung der Funktion Erlös abhängige Variable

Beispiele: Kostenfunktion

KG = KV · M + Kf Erlösfunktion

E = E/Stück · M

15

1.2 Formeln

Umstellen von Formeln Umstellen von Formeln Formeln und Zahlenwertgleichungen werden umgestellt, damit die gesuchte Größe allein auf der linken Seite der Gleichung steht. Dabei darf sich der Wert der linken und der rechten Formelseite nicht ändern. Für alle Schritte einer Formelumstellung gilt. Veränderungen auf der linken Formelseite

=

Veränderungen auf der rechten Formelseite

Formel

M

P = F·s t linke rechte Formel- = Formelseite seite

Zur Rekonstruktion der einzelnen Schritte ist es sinnvoll, jeden Schritt rechts neben der Formel zu kennzeichnen:

P

· t beide Formelseiten werden mit t multipliziert. : F beide Formelseiten werden durch F dividiert.

Umstellung von Summen Beispiel: Formel L = 1 + 2, Umstellung nach 2 1 L = 1 + 2

– 1

2 L – 1 = 1+ 2 – 1

1 subtrahieren

3 L – 1 = 2

Seiten vertauschen

subtrahieren durchführen

4 2 = L – 1

umgestellte Formel

dividieren durch b

3 A= b

Seiten vertauschen

kürzen mit b

4 =A b

umgestellte Formel

K

Umstellung von Produkten Beispiel: Formel A = · b, Umstellung nach

W 1 A=·b

: b

2 A= ·b b b

Umstellung von Brüchen Beispiel: Formel n = 1 + s

, Umstellung nach s 1 + s

N subtrahieren dividieren durch n

mit (1 + s) multiplizieren

4 n · 1 – n · 1 + n · s = – n · 1

2 n · (1 + s) = · (1 + s) (1 + s)

rechte Formelseite kürzen Klammer auflösen

5 s · n = – n · 1 n n

kürzen mit n

3 n · 1 + n · s =

– n · 1 subtrahieren

6 s = – n · 1 n

umgestellte Formel

1 n=

· (1 + s)

– n · 1

: n

F

Umstellung von Wurzeln Beispiel: Formel c = a 2 + b2, Umstellung nach a a2 + b2 1 c =

( )2

Formel quadrieren

4 a2 = c2 – b2

2 c2 = a2 + b2

– b2

b2 subtrahieren

5

2 – b2 a2 = c

subtrahieren, Seite tauschen

6

2 – b2 a = c

3 c2 – b2 = a2 + b2 – b2

radizieren Ausdruck vereinfachen umgestellte Formel

A

16

1.2 Formeln

Größen und Einheiten Zahlenwerte und Einheiten

M

Physikalische Größen, z. B. 125 mm, bestehen aus einem Physikalische Größe

s Zahlenwert, der durch Messung oder Berechnung ermittelt wird, und aus einer s Einheit, z. B. m, kg

10 mm

Die Einheiten sind nach DIN 1301-1 genormt (Seite 10). Zahlenwert

Sehr große oder sehr kleine Zahlenwerte lassen sich über Vorsatzzeichen als dezimale Vielfache oder Teile vereinfacht darstellen, z. B. 0,004 mm = 4 μm.

Einheit

Dezimale Vielfache oder Teile von Einheiten

P

VorsatzZeichen

K

W

Name

Zehnerpotenz

vgl. DIN 1301-1 (2004-10)

Mathematische Bezeichnung

Beispiele 12 000 000 000 000 N = 12 · 1012 N = 12 TN (Tera-Newton)

T

Tera

1012

Billion

G

Giga

109

Milliarde

45 000 000 000 W = 45 · 109 W = 45 GW (Giga-Watt)

M

Mega

106

Million

8 500 000 V = 8,5 · 106 V = 8,5 MV (Mega-Volt)

k

Kilo

103

Tausend

12 600 W = 12,6 · 103 W = 12,6 kW (Kilo-Watt)

h

Hekto

102

Hundert

500 = 5 · 102 = 5 h (Hekto-Liter)

da

Deka

101

Zehn

32 m = 3,2 · 101 m = 3,2 dam (Deka-Meter)

–

–

100

Eins

1,5 m = 1,5 · 100 m

d

Dezi

10–1

Zehntel

0,5 = 5 · 10–1 = 5 d (Dezi-Liter)

c

Zenti

10–2

Hundertstel

0,25 m = 25 · 10–2 m = 25 cm (Zenti-Meter)

m

Milli

10–3

Tausendstel

0,375 A = 375 · 10–3 A = 375 mA (Milli-Ampere) 0,000 052 m = 52 · 10–6 m = 52 μm (Mikro-Meter)

μ

Mikro

10–6

Millionstel

n

Nano

10–9

Milliardstel

0,000 000 075 m = 75 · 10–9 m = 75 nm (Nano-Meter)

p

Piko

10–12

Billionstel

0,000 000 000 006 F = 6 · 10–12 F = 6 pF (Pico-Farad)

Umrechnung von Einheiten Berechnungen mit physikalischen Größen sind nur dann möglich, wenn sich ihre Einheiten jeweils auf eine Basis beziehen. Bei der Lösung von Aufgaben müssen Einheiten häufig auf Basiseinheiten umgerechnet werden, z. B. mm in m, s in h, mm2 in m2. Dies geschieht durch Umrechnungsfaktoren, die den Wert 1 (kohärente Einheiten) darstellen.

Umrechnungsfaktoren für Einheiten (Auszug)

N

F

Größe

Umrechnungsfaktoren, z. B.

Größe

Umrechnungsfaktoren, z. B.

Längen

1m 1 = 10 mm = 1000 mm = = 1 km 1 cm 1m 1000 mm 1000 m

Zeit

1 = 60 min = 3600 s = 60 s = 1 min 1h 1h 1 min 60 s

Flächen

2 2 = 100 cm = 1 = 100 mm 1 cm2 1 dm2

Winkel

1 = 60’ = 60’’ = 3600’’ = 1° 1° 1’ 1° 60 s

Volumen

3 3 1 = 1000 mm = 1000 cm = 1 cm3 1 dm3

Zoll

1 inch = 25,4 mm; 1 mm =

1 inch 25,4

1. Beispiel: Das Volumen V = 3416 mm3 ist in cm3 umzurechnen. Das Volumen V wird mit dem Umrechnungsfaktor multipliziert, der im Zähler die Einheit cm3 und im Nenner die Einheit mm3 aufweist. V = 3416 mm3 =

A

1 cm3 · 3416 mm3 3416 cm3 = = 3,416 cm3 1000 mm3 1000

2. Beispiel: Die Winkelangabe E = 42° 16’ ist in Grad (°) auszudrücken. Der Teilwinkel 16’ muss in Grad (°) umgewandelt werden. Er wird mit dem Umrechnungsfaktor multipliziert, der im Zähler die Einheit Grad (°) und im Nenner die Einheit Minute (’) hat.

A = 42° + 16’ ·

1° 16 · 1° = 42° + = 42° + 0,267° = 42,267° 60’ 60

17

1.2 Formeln

Rechnen mit Größen, Prozentrechnung, Zinsrechnung Rechnen mit Größen Physikalische Größen werden mathematisch behandelt wie Produkte.

M

Regeln beim Potenzieren

s Addition und Subtraktion Bei gleichen Einheiten werden die Zahlenwerte addiert und die Einheit im Ergebnis übernommen.

a m, n …

Basis Exponenten

Beispiel: L = 1 + 2 – 3 mit 1 = 124 mm, 2 = 18 mm, 3 = 44 mm; L = ?

Multiplikation von Potenzen

L = 124 mm + 18 mm – 44 mm = (124 + 18 – 44) mm = 98 mm

a2 · a3 = a2+3

P

s Multiplikation und Division Die Zahlenwerte und die Einheiten entsprechen den Faktoren von Produkten. Division von Potenzen

Beispiel: F1 · 1 = F2 · 2 mit F1 = 180 N, 1 = 75 mm, 2 = 105 mm; F2 = ?

a2 = a2–3 a3

180 N · 75 mm N · mm F · = 128,57 = 128,57 N F2 = 1 1 = 105 mm mm 2

K

s Multiplizieren und Dividieren von Potenzen

Sonderformen

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert bzw. dividiert, indem die Exponenten addiert bzw. subtrahiert werden.

a –2 =

1 a2

Beispiel: A · a2 mit A = 15 cm2, a = 7,5 cm, e = 2,4 cm; W = ? e

W= W=

a1 = a

a0 = 1

W

15 cm2 · (7,5 cm)2 = 15 · 56,25 cm2+2 = 351,56 cm4–1 = 351,56 cm3 2,4 cm 2,4 cm1

Prozentrechnung Der Prozentsatz gibt den Teil des Grundwertes in Hundertstel an. Der Grundwert ist der Wert, von dem die Prozente zu rechnen sind. Der Prozentwert ist der Betrag, den die Prozente des Grundwertes ergeben. Ps Prozentsatz, Prozent

Pw Prozentwert

Prozentwert

Pw

Gw Grundwert

Gw · Ps 100 %

N

Beispiel: Werkstückrohteilgewicht 250 kg (Grundwert); Abbrand 2 % (Prozentsatz) Abbrand in kg = ? (Prozentwert) Pw

Gw · Ps 250 kg · 2 % 5 kg 100 % 100 %

F

Zinsrechnung K0 Kt

Anfangskapital Endkapital

Z p

Zinsen Zinssatz pro Jahr

K 0 2800,00 `; p 6 2800,00 `

% ·6 a

% ; a

Zins

· 0,5a

100%

84, 00 `

% a

K 0 4800,00 `; p 5,1 ; t 50 d; Z ? 4800,00 ` · 5,1

% a

100% · 360

· 50 d d a

K0 · p ·t 100% · 360

t 1/ 2 a; Z ?

2. Beispiel:

Z

Laufzeit in Tagen, Verzinsungszeit

Z

1. Beispiel:

Z

t

34, 00 `

1 Zinsjahr (1 a) = 360 Tage (360 d) 360 d = 12 Monate 1 Zinsmonat = 30 Tage

A

18

1.3 Winkel und Dreiecke

Winkelarten, Strahlensatz, Winkel im Dreieck, Satz des Pythagoras Winkelarten

M

g Gerade g1, g2 parallele Geraden

¿ g2 ¶

å

E, F

Stufenwinkel

F, H

Scheitelwinkel

E, H

Wechselwinkel

E, K

Nebenwinkel

©

g1

P g

Werden zwei Parallelen durch eine Gerade geschnitten, so bestehen unter den dabei gebildeten Winkeln geometrische Beziehungen.

Stufenwinkel

E=F Scheitelwinkel

F=H Wechselwinkel

E=H Nebenwinkel

E + K = 180°

Strahlensatz Xta Torsionsspannung außen Xti Torsionsspannung innen

K

Werden zwei Geraden durch zwei Parallelen geschnitten, so bilden die zugehörigen Strahlenabschnitte gleiche Verhältnisse.

a2 a1 Beispiel:

†ta †ti

b1

D d

b2

D = 40 mm, d = 30 mm, Xta = 135 N/mm2; Xti = ?

W

Xti d X ·d Xti ta D Xta D

Strahlensatz

d a1 b1 2 a2 b2 D 2 a1 a2 b1 b2

b1 b2 d D

135 N/mm2 · 30 mm 101,25 N/mm2 40 mm

Winkelsumme im Dreieck

a

Dreieckseiten Winkel im Dreieck

Beispiel:

å

¿

b

N

a, b, c E, F, K

©

E = 21°, F = 95°, K = ?

c

G = 180° – E – F = 180° – 21° – 95° = 64°

Winkelsumme im Dreieck

E + F + K = 180° In jedem Dreieck ist die Winkelsumme 180°.

Lehrsatz des Pythagoras

F

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat flächengleich der Summe der beiden Kathetenquadrate. a Kathete b Kathete c Hypotenuse

a2

b2 bc a

Quadrat über der Hypotenuse

c2 = a2 + b2

1. Beispiel:

c2

c 35 mm; a = 21 mm; b = ? b = c 2 – a 2 (35 mm)2 – (21 mm)2 28 mm

Länge der Hypotenuse

c a2 b2

2. Beispiel:

A

CNC-Programm mit R = 50 mm und I = 25 mm. K=?

P2 G0

3

R K

I

P1 X

Z

Länge der Katheten

c 2 a2 b2 R2 I 2 K 2

a c 2 – b2

K R 2 – I 2 502 mm2 – 252 mm2 K 43,, 3 mm

b c 2 – a2

19

1.3 Winkel und Dreiecke

Funktionen im Dreieck Funktionen im rechtwinkligen Dreieck (Winkelfunktionen) c Hypotenuse

a Gegenkathete von å

å b Ankathete von å ¿

c Hypotenuse

a Ankathete von ¿

b Gegenkathete von ¿

c a, b

Hypothenuse (längste Seite) Katheten Bezogen auf den Winkel E ist – b die Ankathete und – a die Gegenkathete E, F, K Winkel im Dreieck, mit K = 90° sin Schreibweise für Sinus cos Schreibweise für Kosinus tan Schreibweise für Tangens sinE Sinus des Winkels E 1. Beispiel

L3 = 140mm

Winkelfunktionen Sinus

Gegenkathete = Hypotenuse

Cosinus

=

Tangens =

Ankathete Hypotenuse Gegenkathete Ankathete

Bezogen auf den Winkel E ist:

L1 = 150 mm

L

tan E

L1 L2 180 mm 1, 286 L3 140 mm

sin E = a cos E = b tan E = a c c b

å L2= 30 mm

Bezogen auf den Winkel F ist: sin F = b cos F = a tan F = b c c a

K

Winkel A = 52° 2. Beispiel

F

L1 = 150 mm, L2 = 30 mm, E = 52°; Länge des Stoßdämpfers L = ? L

Die Berechnung eines Winkels in Grad (°) oder als Bogenmaß (rad) erfolgt mit der Arcus-Funktion, z. B. arc sin.

L1 L2 180 mm 228,42 mm sin E sin 52°

W

Funktionen im schiefwinkligen Dreieck (Sinussatz, Kosinussatz) ©

Im Sinussatz entsprechen die Seitenverhältnisse dem Sinus der entsprechenden Gegenwinkel im Dreieck. Aus einer Seite und zwei Winkeln lassen sich die anderen Werte berechnen. Kathete a Gegenwinkel sin E Kathete b Gegenwinkel sin F Hypothenuse c Gegenwinkel sin K

å

¿

a

c

Beispiel

Fz

40}

Fd

12} F

Fz

12}

} 40

å=

©= 10 2

}

}

Vielfältige Umstellungen sind möglich:

Die Berechnung erfolgt jeweils aus dem Kräfteplan.

b = a · sin F = c · sin F sin E sin K

F F F · sin F z Fz sin E sin F sin E

c = a · sin K = b · sin K sin E sin F

Fd

ß=38

a = b = c sin E sin F sin K

a = b · sin E = c · sin E sin F sin K

N

F

800 N · sin38° 766,24 N sin 40n

F F F · sin K d Fd sin E sin K sin E

Kräfteplan

Sinussatz a : b : c = sin E : sin F : sin K

F = 800 N, E = 40°, F = 38°; Fz = ?, Fd = ?

Fz

F

Fd

P

L1 = 150 mm, L2 = 30 mm, L3 = 140 mm; Winkel E = ?

ß

b

M

800 N · sin102° 1217,38 N sin 40n

Kosinussatz a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos E b2 = a2 + c2 – 2 · a · c · cos F c2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos K

Die Berechnung eines Winkels in Grad (°) oder als Bogenmaß (rad) erfolgt mit der Umstellung, z. B. Arcus-Funktion, z. B. arc sin. 2 2 2 cos E = b + c – a 2·b·c

A

20

1.4 Längen

Teilung von Längen, Bogenlänge, zusammengesetzte Länge Teilung von Längen

M

Gesamtlänge p Teilung

Randabstand = Teilung

p

p

p

n Anzahl der Bohrungen

Teilung

p

p

Beispiel:

n 1

2 m; n = 24 Bohrungen; p = ? p

l

2000 mm 80 mm n 1 24 + 1

P Gesamtlänge p Teilung

Randabstand ªTeilung

p

p

p

n Anzahl der Bohrungen a, b Randabstände

Teilung

p

p Beispiel:

a

1950 mm; a = 100 mm; b = 50 mm; n = 25 Bohrungen; p = ?

b

l

K

p

– (a b) 1950 mm – 150 mm 75 mm n –1 25 – 1

Stablänge z Anzahl der Teile s Teillänge

Trennung von Teilstücken

l lR

s Sägeschnittbreite R Restlänge

z

6 m; s = 230 mm; s = 1,2 mm; z = ?; R = ? z

s

Anzahl der Teile

Beispiel:

W ls

– (a b) n –1

s

6000 mm 25, 95 = 25 Teile s s 230 mm + 1,2 mm

s s

Restlänge

R = – z · (s + s)

R – z · (s s) 6000 mm – 25 · (230 mm + 1,2 mm) 220 mm

Bogenlänge B Bogenlänge r Radius

Beispiel: Schenkelfeder

E Mittelpunktswinkel d Durchmesser

Bogenlänge

lB

N

å

d

F

Beispiel:

r

r = 36 mm; A = 120°; B = ? T ·r ·A T · 36 mm · 120° B = = = 75, 36 mm 180° 180°

T ·r ·A 180°

B =

T ·d ·A 360°

Zusammengesetzte Länge D dm 1, 2 E

l2

Außendurchmesser mittlerer Durchmesser Teillängen Mittelpunktswinkel

d Innendurchmesser s Dicke L zusammengesetzte Länge

Beispiel (Zusammengesetzte Länge, Bild links):

D dm d

s

A

B =

D = 360 mm; s = 5 mm; E = 270°; 2 = 70 mm; dm = ?; L = ?

å l1

d m = D – s = 360 mm – 5 mm = 355 mm T · dm · A 2 L = 1 2 360n T · 355 mm · 270° 70 mm = 906, 45 mm = 360°

Zusammengesetzte Länge

L = 1 + 2 + …