Tesi di Laurea FRONTESPIZIO - Università di Roma - Tor Vergata

Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Facoltà di Ingegneria Tesi di Laurea in Ingegneria Gestionale

STRUMENTI DI CONTROLLO OTTIMO PER IL

REVENUE MANAGEMENT

Relatore

Candidato

Prof. Paolo Mancuso

Valerio De Simone

Correlatori Ing. Daniele Carnevale Ing. Sergio Galeani

Anno accademico 2009/2010

Indice 1. Introduzione !

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1.1. Panoramica sullʼelaborato"............................................................5

2. Trattazione teorica!

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2.1. Modello classico"............................................................................7 2.1.1. Ottimizzazione statica"................................................................8 2.1.2. Limiti del modello classico"........................................................10 2.1.3. Interpretazioni classiche delle politiche dinamiche"................10 2.2. Modello con prezzo di riferimento"................................................11 2.2.1. Prezzo di Riferimento".................................................................14 2.2.2. Trend e Stagionalità"....................................................................17 2.2.3. Ottimizzazione dinamica"............................................................18 2.2.4. Funzione obiettivo e multiobiettivo"...........................................20 2.2.5. Programma di ricerca esaustiva"...............................................21 2.2.6. Modello di riferimento".................................................................24 2.2.7. Ottimizzazione dinamica del modello di riferimento"...............25 2.2.8. Sensibilità ai costi variabili unitari"............................................27 2.2.9. Sensibilità al parametro β1"........................................................28 2.2.10. Sensibilità ai parametri β2 e β3"...............................................29 2.2.11. Sensibilità al parametro α"........................................................30 2.2.12. Sensibilità alla durata della promozione"................................32 2.2.13.Sensibilità al livello di quantizzazione".....................................33 2.2.14. Analisi del benessere del consumatore".................................34 2.3. Limiti dellʼanalisi"............................................................................35

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Tesi di Laurea - Strumenti di Controllo Ottimo per il Revenue Management

2.3.1. Prodotti sostituti e complementari!............................................35 2.3.2. Concorrenza!................................................................................36 2.3.3. Scorte e Magazzino!.....................................................................37 2.3.4. Prezzo di riferimento comunicato!.............................................38 2.3.5. Aspettativa del consumatore!.....................................................38

3. Caso reale !

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3.1. Incontro con i dati!..........................................................................39 3.1.1. Focalizzazione dellʼanalisi!.........................................................40 3.1.2. Raggruppamento settimanale dei dati!......................................40 3.2. Calibrazione del modello!...............................................................42 3.2.1. Trend e Stagionalità!....................................................................42 3.2.2. Regressione lineare multivariata!...............................................45 3.2.3. Modello di domanda calibrato!...................................................49 3.2.4. Analisi dei residui!.......................................................................50 3.3. Strategia ottima!..............................................................................52 3.3.1. Massimizzazione del fatturato!...................................................54 3.3.2. Massimizzazione del profitto!.....................................................55 3.3.3. Massimizzazione multiobiettivo!................................................57 3.3.4. Analisi del benessere del consumatore!...................................59 3.4. Analisi di robustezza!.....................................................................60 3.4.1. Simulazione Monte Carlo!...........................................................60

4. Malpractice: esperienze formative da non ripercorrere !

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4.1. Filtraggio dellʼinflazione!................................................................64 4.2. Filtraggio delle vendite!..................................................................66 4.3. Ottimizzazione tout court!..............................................................67 4.4. Stima separata di β0 e β1!..............................................................68

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Valerio De Simone - Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”

4.5. Ampliamento del modello classico!..............................................69 4.6. Funzione di trasferimento con Matlab!.........................................70 4.7. Ottimizzazione del modello settimanale!......................................73

5. Considerazioni finali!

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5.1. Idee per lo sviluppo dellʼanalisi!....................................................76

6. Appendice!

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7. Bibliografia !

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1. Introduzione Questo elaborato intende fornire un approccio integrato, teorico e pratico, allo studio dellʼinfluenza del prezzo di riferimento sulla domanda di mercato, al fine di determinare la strategia dei prezzi ottima per un rivenditore della grande distribuzione. Adottiamo un modello di domanda che considera il prezzo applicato, il prezzo di riferimento, la stagionalità ed il trend delle vendite applicabile a beni di largo consumo, a basso coinvolgimento di acquisto e non facilmente deperibili. Il prezzo di riferimento, introducendo una dipendenza della domanda dal tempo, induce ad un approccio dinamico per la risoluzione del problema; la soluzione cercata non è quindi il prezzo ottimo ma la successione ottima dei prezzi. Lʼadozione di una funzione multiobiettivo permette infine di adattare lʼottimizzazione alle diverse esigenze dei rivenditori. In letteratura esistono numerosi studi che trattano lʼargomento del prezzo di riferimento soffermandosi su unʼanalisi teorica, spesso difficilmente concretizzabile, o esponendo esempi virtuosi di applicazione di queste teorie. In questo contesto desideriamo fornire una sintesi dei principali risultati raggiunti da questi studi1 , focalizzandoci sugli aspetti di maggior interesse per un rivenditore ed integrandoli in un discorso omogeneo. Il desiderio di fornire uno strumento concreto per il revenue management ha inoltre condotto lʼanalisi verso aspetti trascurati dalla letteratura scientifica, quali la dipendenza della domanda dal tempo, la robustezza della strategia suggerita dallʼottimizzazione del modello dinamico e le ripercussioni di queste politiche sul benessere del consumatore. Queste esperienze 1 la verifica dei risultati è oggetto di questo studio

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sono state infine applicate allo studio della vendita di pasta in un rivenditore della grande distribuzione. Lo svolgimento è stato improntato alla ricerca di un senso critico, non mancando di evidenziare i limiti e le mancanze delle analisi condotte.

1.1. Panoramica sullʼelaborato Nel secondo capitolo viene ripercorsa lʼevoluzione del modello di domanda che ha condotto alla formulazione del modello dinamico completo dei termini riguardanti il prezzo di rifermento e la dipendenza dal tempo, evidenziandone anche i limiti. Viene quindi discusso lʼobiettivo del rivenditore decidendo lʼutilizzo di una funzione multiobiettivo capace di soddisfare le diverse esigenze del management. Lʼottimizzazione viene eseguita tramite un programma di ricerca esaustiva appositamente compilato. Infine viene discussa la sensibilità ai diversi parametri del modello della soluzione e dei risultati ottenuti, evidenziando anche gli effetti sul benessere del consumatore. Il terzo capitolo affronta un esempio reale, proponendosi di ottimizzare la strategia dei prezzi della pasta per un rivenditore della grande distribuzione. Partendo dai dati storici viene eseguita dapprima la calibrazione del modello; la capacità previsionale così acquisita viene sfruttata per la ricerca della politica ottima. I risultati teoricamente ottenibili implementando questa politica (fatturato, profitto e quantità vendute) vengono quindi confrontati con quelli effettivamente raggiunti dal rivenditore, evidenziando anche gli effetti di questa strategia sul benessere del consumatore. Infine viene svolta unʼanalisi di robustezza tramite una simulazione Monte Carlo per comprendere quanto i risultati finali siano sensibili agli inevitabili errori di calibrazione del modello.

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Il quarto capitolo riunisce alcuni tentativi di calibrazione del modello di domanda che, seppure teoricamente corretti, sono risultati fallimentari. Queste esperienze testimoniano lʼestrema delicatezza del processo di calibrazione del modello, di fondamentale importanza per la qualità dellʼottimizzazione.

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2. Trattazione teorica La capacità di spiegare è anche capacità di prevedere: “Un modello è un tentativo di illustrare le caratteristiche essenziali di un sistema in modo che sia semplice da capire e che sia sufficientemente vicino alla realtà per dare risultati significativi. In genere non è né possibile né conveniente per un modello catturare il carattere di un sistema in tutta la sua complessità originale; deve essere usata lʼastrazione e proprio nella scelta del grado di astrazione risiede il valore del modello” (Thompson e Formby)

2.1. Modello classico Uno dei problemi classicamente affrontati dalla microeconomia è la stima della domanda di un bene al variare del suo prezzo unitario. Il modello più semplice ed utilizzato è costituito da una curva di domanda

Q (P*)

lineare.

! P* - cv

P*

GRAFICO 2.1. - Curva di domanda lineare

Dt = β0 + β1 ˙ Pt β0 > 0 ; β1 < 0

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La curva di domanda Dt ha pendenza negativa per il vincolo imposto al coefficiente β1: i consumatori sono di solito disposti ad acquistare meno se il prezzo è maggiore. Il rettangolo blu sotteso alla curva di domanda 1 dipende dal prodotto tra il prezzo unitario per la quantità venduta e rappresenta quindi il fatturato. Considerando il fatturato al netto dei costi sostenuti dal rivenditore otteniamo invece il rettangolo verde cioè il profitto π: π = (P - cv) ˙ Q

In un mercato perfettamente concorrenziale il prezzo di equilibrio viene determinato dallʼintersezione della curva di domanda con la curva di offerta. In questo caso assumiamo che il rivenditore sostenga un costo variabile linearmente in funzione delle quantità vendute e quindi possa decidere liberamente la propria offerta senza incorrere in penali o costi aggiuntivi. Il prezzo applicato P dipenderà quindi dai costi variabili unitari cv sostenuti dal rivenditore e dalla curva di domanda Q (P), che supponiamo essere nota. Questa rappresentazione è utilizzabile per visualizzare la situazione di un giorno così come quella di un intero periodo di prezzo costante. Nel modello non è infatti presente nessuna dipendenza dal tempo o dai prezzi assunti in passato, esiste solamente una relazione istantanea tra il prezzo applicato e le quantità vendute. 2.1.1. Ottimizzazione statica La linearità del modello semplifica notevolmente ogni tipo di analisi, tra cui anche la massimizzazione del profitto. Vogliamo determinare la politica dei prezzi ottima, tale cioè da massimizzare il profitto del

1 vedi graf. 2.1.

8


rivenditore. Graficamente il problema può essere ricondotto alla ricerca del rettangolo verde di area maggiore. Osservando il grafico1 , è evidente come la condizione di massimizzazione del rettangolo verde non coincida con la massimizzazione del rettangolo blu; massimizzando il fatturato anziché il profitto verrebbe scelto un prezzo minore, aumentando le vendite senza badare però ai costi sostenuti. Come accennato, questo modello non considera nessuna dipendenza temporale o storica. In questa situazione la ricerca della politica dei prezzi che massimizzi il profitto lungo un determinato orizzonte temporale coincide con la ricerca del prezzo ottimo P* che massimizzi lʼutile di ogni singolo periodo, considerato separatamente. π = (P - cv) ˙ Q (P) = (P - cv) ˙ (β0 + β1 ˙ P) ∂π / ∂P = β0 + 2 ˙ β1 ˙ P - β1 ˙ cv = 0 P* = (β1 ˙ cv - β0) / 2 ˙ β1

Il punto critico così determinato è sicuramente un punto di massimo per il vincolo di negatività imposto alla costante β1: considerando infatti il profitto come una funzione del prezzo, questa risulta limitata solo superiormente. Abbiamo implicitamente supposto che il rivenditore sia interessato alla massimizzazione del profitto. Nel caso lʼobiettivo fosse stato la massimizzazione del fatturato, avremmo potuto ricavare il prezzo ottimo dal precedente risultato considerando nulli i costi variabili. cv = 0

P* = - β0 / 2 ˙ β1

1 vedi graf. 2.1.

9


La procedura qui esposta è applicabile solamente nel caso in cui siano soddisfatte le ipotesi circa la situazione del mercato in cui opera il rivenditore1. 2.1.2. Limiti del modello classico Come abbiamo avuto modo di vedere, questo modello notevolmente semplificato della realtà considera la domanda in funzione solamente del prezzo applicato. I limiti principali di questo approccio riguardano lʼassenza di una dipendenza temporale, capace cioè di tenere in considerazione la stagionalità della domanda ed il trend delle vendite, e la mancanza di una dipendenza dai prezzi praticati in passato. Questi ultimi in particolare hanno una notevole influenza sulla percezione del prezzo da parte del cliente e quindi sulla decisione di acquisto. Il modello inoltre non è capace di spiegare le politiche di prezzo dinamiche come le promozioni: qualsiasi scostamento del prezzo applicato dal prezzo ottimo P* comporterebbe infatti una diminuzione del profitto del rivenditore. 2.1.3. Interpretazioni classiche delle politiche dinamiche Osservando la realtà della grande distribuzione è evidente una notevole dinamicità dei prezzi applicati. Secondo alcuni studi, i motivi del frequente ricorso a sconti e promozioni sono: • Diminuzione dei costi variabili unitari, fenomeno che può dipendere dalle economie di apprendimento [9], [5] o dalle promozioni commerciali attuate dai produttori [2]. • Trasferimento delle scorte ai consumatori che sostengono costi

di

magazzino minori rispetto al rivenditore.

1 vedi par. 2.1.

10


• Effetti della competizione [7]. Il ricorso alle promozioni è però evidente anche in mercati in cui queste teorie non sono applicabili, come in categorie di prodotti maturi ove gli effetti di apprendimento sono minimi, dove le scorte del rivenditore sono minimizzate attraverso lʼutilizzo di politiche just-in-time e quando non sono presenti effetti competitivi, come nel monopolio. Queste teorie devono quindi essere tenute in considerazione ma non possono essere considerate sufficienti per la comprensione dei meccanismi alla base delle promozioni.

2.2. Modello con prezzo di riferimento La domanda di un bene dipende non solo dal suo prezzo ma anche dal guadagno o dalla perdita percepiti dal consumatore, intesi come differenza tra il prezzo di riferimento RPt ed il prezzo applicato Pt. La risposta a guadagni e perdite è però asimmetrica.

RPt

GRAFICO 2.2. - Confronto tra curva di domanda classica e con prezzo di riferimento

RPt = α ˙ RPt-1 + (1 - α) ˙ Pt-1 Dt = β0 + β1 ˙ Pt + β2 ˙ (RPt - Pt)

Pt < RPt

11


Dt = β0 + β1 ˙ Pt + β3 ˙ (RPt - Pt)

Pt > RPt

0 ≤ α < 1 ; β0, β2, β3 > 0 ; β1 < 0

Eʼ possibile analizzare il modello come un sistema il cui stato x(t) è detto prezzo di riferimento RPt, il cui ingresso u(t) è il prezzo applicato Pt e la cui uscita y(t) è la domanda Dt. La particolarità di questo sistema a tempo discreto e valori discreti, altrimenti lineare, è la presenza di uno switch allʼuscita. Questa dipende infatti dal confronto tra lʼingresso e lo stato del sistema. Eʼ proprio questa non linearità della domanda a rendere talvolta conveniente lʼadozione di una politica dinamica dei prezzi. I consumatori utilizzano quindi i prezzi passati per creare un livello di riferimento che influenza la percezione del prezzo attuale. Quando il prezzo di riferimento del consumatore è maggiore del prezzo applicato dal rivenditore, il consumatore percepisce una sensazione di guadagno, rappresentata nel modello dal termine β2. Viceversa quando il prezzo applicato è maggiore del prezzo di riferimento interviene il termine β3 che può essere inteso come associato ad una percezione di perdita. La differenza tra questi due termini indica proprio la diversa risposta del consumatore in seguito ad una percezione di guadagno o di perdita. Il termine β2 agisce aumentando la stima della domanda mentre il termine β3 interviene diminuendola. Lʼintervento di entrambi è lineare rispetto allʼentità della promozione. La curva di domanda, per quanto discontinua, ha sempre pendenza negativa: una diminuzione del prezzo comporta in ogni caso un aumento della domanda. Lo stato x(t) si esprime solamente per mezzo dei coefficienti β2 e β3. Lʼuscita del sistema inoltre, analogamente al modello classico, dipende in modo lineare dallʼingresso Pt tramite il termine β1.

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Vista la natura dinamica del modello, la rappresentazione grafica qui proposta 1 è utilizzabile solamente per lo studio della situazione del mercato in un singolo istante. Immaginiamo infatti di praticare un prezzo Pt minore del prezzo di riferimento RPt, attuando una promozione: il termine β2 innalzerebbe la domanda Dt. Nel caso il prezzo praticato Pt rimanesse invariato a lungo però la percezione di guadagno (RPt - Pt) diminuirebbe e con essa anche lʼinfluenza del termine β2, rendendo la promozione sempre meno profittevole. In altre parole, dopo un certo periodo di prezzo costante il consumatore, ormai abituatosi al prezzo praticato, non percepirebbe nessuna sensazione di guadagno o perdita tale da influenzarne il comportamento dʼacquisto. Questo modello è quindi particolarmente adatto a descrivere la situazione di un mercato in cui vengono attuate politiche di prezzo dinamiche, mentre coincide con il modello classico in caso di prezzo costante. Utilizzando questa rappresentazione è possibile visualizzare solamente il fatturato o il profitto di un singolo istante. Per visualizzare il fatturato o il profitto di un intero periodo è invece necessario aggiungere la terza dimensione del tempo per via della natura dinamica del modello. La formulazione del modello deriva evidentemente da considerazioni comportamentali di tipo aggregato; lʼinteresse dellʼanalisi riguarda la stima della domanda complessiva del mercato e non della domanda del singolo consumatore. Eʼ infatti possibile che il mercato sia maggiormente sensibile alle promozioni (β2 > β3) anche se il singolo consumatore lo è maggiormente ai rincari (β2 < β3). Questo dipende

1 vedi graf. 2.2.

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dallʼingresso nel mercato, nei periodi promozionali, di segmenti di consumatori non disposti ad acquistare a prezzo pieno [4]. 2.2.1. Prezzo di Riferimento Il prezzo di riferimento RPt è il prezzo ritenuto equo dal consumatore per lʼacquisto di un bene. Esso deriva da uno smorzamento esponenziale dei prezzi Pt assunti in passato, pesati secondo un coefficiente di memoria α e costituisce lo stato x(t) del nostro sistema. RPt = α ˙ RPt-1 + (1 - α) ˙ Pt-1 0≤α RPt

0 ≤ α < 1 ; β0, β2, β3, β4 > 0 ; β1 < 0 ; β5, ω ∈ ബ ; 0 ≤ φ ≤ 2 ˙ π

La stagionalità delle vendite è modellata secondo un andamento armonico a cui non è stato imposto nessun vincolo. Utilizzando un modello più complesso per considerare la stagionalità avremmo rischiato di filtrare anche delle informazioni. Per la stima della stagionalità è possibile variare liberamente i parametri di ampiezza β4, pulsazione ω e fase φ della sinusoide. Determinati i parametri più opportuni, per un rivenditore è interessate notare come dalla pulsazione sia possibile risalire al periodo T della stagionalità, ricordando la sua relazione inversa con il periodo. T=2˙π/ω

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Il termine β5 è infine introdotto nel modello considerare anche un eventuale trend delle vendite, cioè un aumento od una diminuzione lineare della domanda nel tempo. 2.2.3. Ottimizzazione dinamica Lo studio di un modello capace di prevedere la domanda del mercato in una situazione di prezzo variabile nel tempo trova la sua naturale applicazione nella ricerca della politica dei prezzi capace di massimizzare lʼobiettivo del rivenditore, tipicamente il profitto. Diversamente dal caso statico, adesso cerchiamo non il prezzo ottimo ma la successione ottima dei prezzi. In ogni periodo il profitto è funzione del prezzo applicato e del prezzo di riferimento che dipende a sua volta dai prezzi praticati in passato. Eʼ quindi evidente come il prezzo applicato in un periodo influenzi anche il profitto dei periodi futuri. Per questo motivo non è possibile ottimizzare separatamente i singoli periodi come è stato fatto invece per il modello classico. πt = (Pt - cv) ˙ Q (Pt , RPt)

Prima ancora di cercare la soluzione ottima è lecito chiedersi se questa effettivamente esista. La dimostrazione è eseguita ipotizzando che lʼobiettivo del rivenditore sia la massimizzazione del profitto; è comunque possibile giungere alle medesime considerazioni nel caso il rivenditore desiderasse massimizzare il fatturato od una combinazione convessa di questi obiettivi. πt = (Pt - cv) ˙ Q (Pt , RPt) = (Pt - cv) ˙ (β0 + β1 ˙ Pt + β2/3 ˙ (RPt - Pt)) = = A + B ˙ Pt + (β1 - β2/3) ˙ Pt2 β1 < 0 ; β2, β3 > 0

(β1 - β2/3) < 0 ∀t

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Il profitto πt di un singolo periodo è una funzione strettamente convessa del prezzo applicato Pt, cioè un polinomio di secondo grado. Inoltre, per i vincoli imposti ai parametri del modello, il coefficiente del termine di grado maggiore è negativo per cui la funzione ammette un punto di massimo. πtot = ∑t=1...n πt

Il profitto totale è logicamente formato dalla somma dei profitti dei singoli periodi ed essendo la somma di funzioni convesse è anchʼesso una funzione convessa. Eʼ possibile quindi affermare che la funzione profitto ammette un massimo e che tale massimo è sicuramente globale. Lʼottimizzazione in forma chiusa di questo sistema è resa molto complessa dalla discontinuità nellʼuscita. Il punto di discontinuità inoltre varia dinamicamente con il variare del prezzo di riferimento, peggiorando ulteriormente la situazione. Numerosi tentativi hanno dimostrato che il metodo analitico non è percorribile, suggerendo quindi il ricorso a metodi numerici. Lʼottimizzazione è stata condotta con lʼausilio di un programma appositamente compilato1 che ha condotto una ricerca esaustiva della successione di prezzi ottima. Questo programma non tiene conto dellʼinfluenza del tempo sulle vendite, cioè trascura i termini di trend e stagionalità. Questi si sono rivelati fondamentali per la calibrazione ma rivestono un ruolo solamente marginale per la ricerca della soluzione ottima, complicando però notevolmente lʼanalisi. Eʼ infatti evidente come considerare la stagionalità vincoli alla ricerca di una politica dei

1 vedi par. 2.2.5.

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prezzi almeno di pari periodo, rendendo il problema non trattabile per vincoli computazionali. 2.2.4. Funzione obiettivo e multiobiettivo Lʼipotesi riguardo il desiderio di massimizzare il profitto non può essere ritenuta esplicativa del comportamento di tutti i rivenditori. Nel caso di grandi imprese in cui i manager che prendono le decisioni hanno uno scarso contatto con i proprietari, è possibile che perseguano anche altri obiettivi come la massimizzazione e la crescita del fatturato o della quota di mercato, per interesse personale. Spesso infatti le retribuzioni e la carriera dei manager dipendono da risultati diversi dal profitto che possono distorcerne lʼimpegno. Anche nel caso in cui la gestione sia effettivamente condotta ricercando gli interessi della proprietà è possibile che la massimizzazione del profitto non sia la scelta migliore nel lungo periodo. Generalmente la ricerca dellʼutile conduce infatti ad aumenti del prezzo che comportano una diminuzione delle quantità vendute e quindi una flessione della quota di mercato. Per soddisfare contemporaneamente le diverse esigenze manageriali presenti allʼinterno di unʼazienda, è possibile implementare una funzione multiobiettivo che tenga conto contemporaneamente e con pesi diversi, del profitto, del fatturato e delle vendite. Senza perdere di generalità, consideriamo una combinazione convessa di questi sottoobiettivi in modo da rendere maggiormente intuitivo il valore attribuito ai diversi pesi. OBIETTIVO : max (ω1 ˙ profitto + ω2 ˙ fatturato + ω3 ˙ vendite) ω1 + ω2 + ω3 = 1 0 ≤ ω1, ω2, ω3 ≤ 1

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Variando i pesi, ad esempio, è possibile concentrarsi sul profitto di breve periodo, aumentando ω1, od adottare una politica maggiormente aggressiva, aumentando ω3. Eʼ particolarmente interessante notare come questi sotto-obiettivi siano solo parzialmente in contrasto: è possibile infatti ottenere un notevole aumento delle vendite pur sacrificando solo marginalmente il profitto. Questo evidenzia come la curva di profitto sia relativamente “piatta” in corrispondenza dellʼottimo [8]. 2.2.5. Programma di ricerca esaustiva Il programma appositamente compilato esegue un algoritmo di ricerca esaustiva della soluzione, verificando quindi tutte le soluzioni ammissibili e restituendo quella ottima. Oltre allʼimmissione dei diversi parametri del modello e della funzione multiobiettivo, il programma richiede la definizione dei prezzi ammissibili Pi ed il numero di settimane n su cui eseguire lʼottimizzazione. La ricerca del controllo ottimo viene infatti eseguita verificando tutte le possibili combinazioni di n prezzi appartenenti ad un determinato intervallo, quantizzato omogeneamente secondo un parametro Q. Pi ∈ [Pmin : (Pmin - Pmax) / (Q-1) : Pmax]

Il metodo “brute force” qui esposto è particolarmente efficace nellʼindividuare la soluzione ottima ma risulta essere anche la soluzione meno efficiente. Il numero di soluzioni considerate e quindi il tempo T necessario per la risoluzione del problema cresce infatti esponenzialmente con il numero n di periodi considerati e polinomialmente rispetto alla quantizzazione Q del controllo.

21


T ∼ n ˙ Q n-1

Il limite computazionale non è particolarmente restrittivo per quanto riguarda la quantizzazione del prezzo ma rende impossibile lʼottimizzazione di un intero anno (52 settimane). Tuttavia lanciando lʼalgoritmo anche per poche settimane appare evidente come la dinamica ottima dei prezzi sia periodica. In questa condizione, la ricerca della politica dei prezzi annuale ottima può essere ricondotta alla ricerca di una politica ottima in un sottoperiodo, ripetuto più volte nel corso dellʼanno. Considerare la stagionalità implica la ricerca di una soluzione almeno di pari periodo. Questa non è vincolata in nessun modo e potrebbe quindi verosimilmente rendere intrattabile il problema. Per tale motivo evitiamo di considerare la stagionalità ed il trend delle vendite nella ricerca della soluzione che risulta perciò subottima.

GRAFICO 2.4. - Complessità computazionale dati sperimentali

La condizione iniziale dello stato del sistema, cioè il prezzo di riferimento iniziale RP0, è un parametro che influenza notevolmente la profittabilità di una promozione perché modifica la percezione della promozione stessa da parte del consumatore. Permettendo al

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programma di variarlo liberamente, questo viene impostato particolarmente alto per aumentare la percezione di guadagno del consumatore. Una condizione così favorevole è però ottenibile solamente dopo aver sacrificato le vendite con un periodo di prezzi alti, rendendo quindi nel complesso poco vantaggiosa questa strategia. Anche nel caso il prezzo di riferimento iniziale venisse fissato a priori, la strategia suggerita dal programma potrebbe risultare similmente errata: il prezzo applicato alla fine del periodo viene infatti impostato particolarmente basso per sfruttare la percezione di guadagno del consumatore. In tal modo però anche il prezzo di riferimento finale risulta basso, compromettendo le vendite dei periodi successivi. Tipicamente i rivenditori intenzionati a cessare la propria attività adottano una politica di questo tipo, non dovendosi curare della domanda futura. Eʼ necessario evitare queste soluzioni limitando lo studio alle sole soluzioni stazionarie, cioè imponendo che lo stato RPn+1 del sistema conclusa la promozione coincida con quello iniziale RP0. Lʼinserimento di questo vincolo diminuisce inoltre gradi di libertà del problema da n ad n-1: lʼultimo controllo, cioè il prezzo applicato nellʼultimo periodo, è univocamente determinato dal vincolo di stazionarietà. RPn+1 = RP0 ර Pn = (RP0 - α ˙ RPn) / (1 - α)

Come implicitamente evidenziato1 , il prezzo di riferimento è una combinazione convessa dei prezzi passati e può quindi sempre essere

1 vedi par. 2.2.1.

23


espresso come combinazione convessa del prezzo massimo Pmax e del prezzo minimo Pmin. RPt = λ ˙ Pmax + (1 - λ) ˙ Pmin 0≤λ≤1

Appare quindi evidente che il prezzo di riferimento è relegato nello stesso intervallo dei prezzi applicabili. Imponendo la condizione di stazionarietà, la ricerca del prezzo di riferimento iniziale può essere quindi limitata allo stesso intervallo di quantizzazione definito per il prezzo. 2.2.6. Modello di riferimento Non potendo sviluppare considerazioni analitiche, lʼutilizzo di un modello di riferimento calibrato arbitrariamente permette di svolgere esempi propedeutici alla comprensione del comportamento della dinamica ottima dei prezzi al variare delle condizioni di mercato. In particolare è importante comprendere i risultati ottenibili adottando unʼottimizzazione dinamica invece che statica e come questa soluzione vari al variare dei diversi parametri del modello. La calibrazione del modello di riferimento proposta è: α = 0,8 ; β0 = 10 ; β1 = -1 ; β2 = 2 ; β3 = 1 ; cv = 4€

Lʼottimizzazione del modello statico è stata eseguita applicando le formule derivate analiticamente1 . Per lʼottimizzazione dinamica invece è stato utilizzato il programma di ricerca esaustiva utilizzando dei parametri arbitrari. n = 6 ; Q = 10; Pi ∈ [1 : 10]

1 vedi par. 2.1.1.

24


Il confronto tra i risultati raggiunti in termini di profitto, fatturato e quantità vendute viene eseguito in base 6 settimane. Il prezzo medio applicato viene calcolato come una media dei prezzi applicati pesati con le quantità vendute. La media pesata dei prezzi è non maggiore della media semplice in quanto tiene conto della diminuzione della domanda conseguente ad un innalzamento dei prezzi e viceversa del suo aumento nei periodi di promozione. 2.2.7. Ottimizzazione dinamica del modello di riferimento Iniziamo con lʼanalizzare come varia la strategia dei prezzi ottima per un rivenditore utilizzando un modello dinamico invece che un modello statico e quindi i diversi risultati ottenibili. Adottando una politica dinamica indirizzata alla massimizzazione del fatturato, i risultati numericamente raggiungibili superano quelli di una politica statica sotto ogni aspetto preso in considerazione.

GRAFICO 2.5. - Massimizzazione del fatturato con α = 0,8

Ottimizzazione statica Prezzi applicati (€)

5

Ottimizzazione dinamica

Δ

6; 6; 5; 5; 5; 4,3

25


Ottimizzazione statica


Δ

Prezzo medio

€ 5,0

€ 5,0

+ 0%

Fatturato

€ 150,0

€ 153,3

+ 2,2%

Profitto

€ 30,0

€ 31,2

+ 4,0%

Quantità

30

30,4

+ 1,3%

TABELLA 2.1. - Massimizzazione del fatturato

Anche indirizzando lʼottimizzazione verso la massimizzazione del profitto, considerando cioè anche i costi variabili unitari sostenuti dal rivenditore, i risultati numericamente raggiungibili sono positivi rispetto ad ogni aspetto considerato.

GRAFICO 2.6. - Massimizzazione del profitto con α = 0,8

Ottimizzazione statica


Δ

Prezzi applicati (€)

7

8; 7; 7; 7; 7; 6,7

Prezzo medio

€ 7,0

€ 7,0

+ 0,0%

Fatturato

€ 126,0

€ 127,9

+ 1,5%

Profitto

€ 54,0

€ 54,6

+ 1,1%

Quantità

18

18,2

+ 1,1%

TABELLA 2.2. - Massimizzazione del profitto

26


Eʼ evidente come una politica indirizzata alla massimizzazione del profitto sacrifichi notevolmente le vendite, diminuendo la quota di mercato. Una possibilità intermedia consiste nellʼadozione di una funzione multiobiettivo che tenga conto delle diverse esigenze del rivenditore. OBIETTIVO : max (ω1 ˙ profitto + ω2 ˙ fatturato + ω3 ˙ vendite) ω1 = 0,98 ω2 = 0,01 ω3 = 0,01 Ottimizzazione profitto

Ottimizzazione multipla

Δ


8; 7; 7; 7; 7; 6,7

6; 6; 7; 7; 7; 7,7

Prezzo medio

€ 7,0

€ 6,5

- 7,1%

Fatturato

€ 127,9

€ 136,8

+ 7,0%

Profitto

€ 54,6

€ 52,6

- 3,7%

Quantità

18,3

21,1

+ 15,3%

TABELLA 2.3. - Confronto profitto e multiobiettivo

Implementando una funzione multiobiettivo è quindi possibile ottenere un notevole aumento delle vendite sacrificando solo marginalmente il profitto. Questo risultato indica che la funzione profitto è relativamente “piatta” in corrispondenza dellʼottimo [8] ed è quindi possibile adottare strategie profondamente diverse senza rinunciare allʼutile. 2.2.8. Sensibilità ai costi variabili unitari Lʼinteresse viene ora focalizzato sullʼindividuazione dei cambiamenti che subisce una politica dei prezzi volta alla massimizzazione del profitto al variare dei costi di acquisto sostenuti dal rivenditore. cv = 4

cv = 5

cv = 6


8; 7; 7; 7; 7; 6,7

7; 8; 8; 8; 8; 8,3

8; 8; 8; 8; 8; 8

Prezzo medio

€ 7,0

€ 7,7

€ 8,0

27


cv = 4

cv = 5

cv = 6

Fatturato

€ 127,9

€ 104,8

€ 96,0

Profitto

€ 54,6

€ 36,4

€ 24,0

Quantità

18,3

13,7

12,0

TABELLA 2.4. - Variazione dei costi variabili unitari

Lʼaumento dei costi comporta chiaramente anche un aumento generale dei prezzi praticati ed una diminuzione del fatturato, del profitto e delle vendite. Questo aumento non si ripercuote però interamente sul prezzo; anche se non viene esplicitamente analizzato, la proporzione dellʼaumento dei costi che viene riversata sul consumatore dipende dallʼelasticità della domanda al prezzo: maggiore è il modulo del coefficiente β1, minore saranno le possibilità del rivenditore di aumentare i prezzi1 . Per questo motivo il profitto è molto sensibile alle variazioni dei costi: nellʼesempio proposto, un aumento dei costi del 25% (da 4€ a 5€) determina una flessione del profitto del 33%. Se i costi aumentano eccessivamente il rivenditore non ha più interesse a promuovere e la politica ottima risulta statica2. 2.2.9. Sensibilità al parametro β1 Lʼingresso del sistema agisce istantaneamente sullʼuscita tramite il coefficiente β1, senza essere mediato dallo stato. Verifichiamo lʼimportanza di questo coefficiente per un rivenditore intenzionato a massimizzare il profitto. β1 = -1

β1 = -1,1


8; 7; 7; 7; 7; 6,7

6; 7; 7; 7; 7; 7,3

Prezzo medio

€ 7,0

€ 6,7

Δ

- 4,3%

1 nel caso dinamico lʼelasticità della domanda al prezzo dipende anche dai coefficienti β2 e β3 2 questo risultato non cambia rilassando il vincolo sul prezzo massimo

28


β1 = -1

β1 = -1,1

Δ

Fatturato

€ 127,9

€ 103,9

- 18,8%

Profitto

€ 54,6

€ 41,7

- 23,6%

Quantità

18,3

15,6

- 14,7%

TABELLA 2.5. - Sensibilità al parametro β1

La profittabilità di una promozione è molto sensibile al coefficiente β1: un aumento del 10% del modulo di β1 (da -1 a -1,1) comporta flessioni di fatturato, profitto e vendite di entità notevolmente maggiore. 2.2.10. Sensibilità ai parametri β2 e β3 La risposta dinamica del sistema e quindi la diversa sensibilità del mercato ai guadagni ed alle perdite, dipende dai parametri β2 e β3. Sono questi parametri a rendere talvolta conveniente lʼadozione di una politica dinamica dei prezzi ed è quindi lecito aspettarsi una notevole sensibilità della strategia suggerita al valore da questi assunto. Anche in questo caso, lo studio riguarda un rivenditore intenzionato a massimizzare il profitto. β2 = 2 ; β 3 = 1

β2 = 4 ; β 3 = 1

Δ


8; 7; 7; 7; 7; 6,7

7; 7; 7; 9; 7; 9,4

Prezzo medio

€ 7,1

€ 6,8

+ 4,2%

Fatturato

€ 127,9

€ 159,6

+ 24,8%

Profitto

€ 54,6

€ 66,2

+ 21,2%

Quantità

18,3

23,4

+ 27,9%

TABELLA 2.6a. - Sensibilità ai parametri β2 e β3

Aumentando il rapporto β2 / β3 è verificabile un miglioramento generale del fatturato, del profitto e delle vendite.

29


Finora è stato implicitamente supposto che il mercato fosse maggiormente sensibile ai guadagni piuttosto che alle perdite. Analizziamo ora il caso opposto, in cui cioè β2 < β3. β2 = 2 ; β 3 = 1

β2 = 1 ; β 3 = 2

Δ


8; 7; 7; 7; 7; 6,7

7; 7; 7; 7; 7; 7

Prezzo medio

€ 7,1

€ 7,0

- 1,4%

Fatturato

€ 127,9

€ 126,0

- 1,5%

Profitto

€ 54,6

€ 54,0

- 1,1%

Quantità

18,3

18

- 1,6%

TABELLA 2.6b. - Sensibilità ai parametri β2 e β3

Una promozione può aumentare il profitto se il guadagno generato nel periodo di promozione supera le perdite che genera nel periodo successivo. Se il mercato è maggiormente sensibile alle perdite, lʼaumento della domanda nei periodi promozionali non è sufficiente a compensarne la diminuzione nel successivo periodo di aumento del prezzo. Riscontriamo quindi come la condizione β2 > β3 sia una condizione necessaria perché la politica ottima dei prezzi risulti dinamica [6]. 2.2.11. Sensibilità al parametro α Verifichiamo infine come il coefficiente di memoria α influisca sulla politica dei prezzi di un rivenditore intenzionato a massimizzare il profitto. α = 0,4

α = 0,6

α = 0,8


8; 7; 7; 8; 7; 6,8

8; 7; 8; 7; 7; 6,7

8; 7; 7; 7; 7; 6,7

Prezzo medio

€ 7,1

€ 7,1

€ 7,1

Fatturato

€ 127,9

€ 127,4

€ 127,9

Profitto

€ 55,6

€ 55,1

€ 54,6

Quantità

18,2

18

18,3 TABELLA 2.7. - Sensibilità ai parametro α

30


Il coefficiente di memoria α determina la velocità di adattamento del sistema ai prezzi applicati. Eʼ interessante notare come allʼaumentare della memoria del sistema la strategia ottima preveda una frequenza minore nella variazione del prezzo applicato. In questo caso infatti la maggiore inerzia del sistema impone un tempo maggiore per modificare il prezzo di riferimento del consumatore. Aumentando ulteriormente questo coefficiente di memoria (α = 0,9), la politica ottima diviene di prezzo costante, non potendo sfruttare gli effetti percettivi in un periodo così breve. Eʼ necessario aumentare il periodo considerato fino ad n = 7 perché ritorni ad essere conveniente una politica dinamica. Comparando i grafici1 è possibile notare la maggiore velocità di adattamento del prezzo di riferimento nel caso α = 0,4 rispetto allʼesempio con α = 0,8 ed anche la maggiore variabilità della domanda.

GRAFICO 2.7. - Massimizzazione del profitto con α = 0,4

Nonostante la variazione di questo parametro influenzi notevolmente la politica dei prezzi adottata, i risultati ottenibili in termini di fatturato,

1 vedi graf. 2.6. e 2.7.

31


profitto e quantità vendute non sono molto sensibili a queste variazioni, per quanto un mercato con meno memoria risulti in generale lievemente più profittevole. 2.2.12. Sensibilità alla durata della promozione Per comprendere come i parametri del modello influenzino la strategia di un rivenditore abbiamo fissato nei paragrafi precedenti il numero di periodi della promozione ed il set di prezzi ammissibili. Questi coefficienti non dipendono dal mercato ma sono necessari per il funzionamento del programma di ricerca esaustiva. Vogliamo quindi analizzare come queste limitazioni nella ricerca della soluzione ottima possano inficiare i risultati ottenibili. Incominciamo quindi con il verificare come varia la strategia di un rivenditore intenzionato a massimizzare il profitto con il variare del numero

n di periodi considerati nellʼottimizzazione. Effettuiamo il

confronto solamente in base al profitto, la variabile che tentiamo di massimizzare.

Per comparare i risultati ottenuti da promozioni di

diversa durata consideriamo il profitto in base 6 settimane P6. P6 = Pn ˙ 6 / n Profitto Numero di periodi

Prezzi applicati (€) Pn

P6

n=2

7; 7

€ 18,00

€ 54,00

n=3

7; 7; 7

€ 27,00

€ 54,00

+ 0,0‰

n=4

8; 7; 7; 6,5

€ 36,08

€ 54,12

+ 2,3‰

n=5

8; 7; 7; 7; 6,6

€ 45,41

€ 54,50

+ 6,9‰

n=6

8; 7; 7; 7; 7; 6,7

€ 54,62

€ 54,62

+ 2,4‰

n=7

8; 7; 7; 7; 7; 7; 6,7

€ 63,76

€ 54,65

+ 0,5‰

n=8

8; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 6,8

€ 72,85

€ 54,63

- 0,3‰

32


Profitto Numero di periodi

Prezzi applicati (€) Pn

P6

n=9

8; 8; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 6,6

€ 82,10

€ 54,73

+ 1,8‰

n = 10

8; 8; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 6,7

€ 91,28

€ 54,77

+ 0,6‰

n = 11

8; 7; 8; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 6,7

€ 100,42

€ 54,77

+ 0,1‰

TABELLA 2.8. - Sensibilità alla durata della promozione

Eʼ riscontrabile un aumento generale del profitto numericamente ottenibile dalla promozione allʼaumentare del periodo considerato, seppure sempre meno evidente. Tuttavia in un caso, aumentando il numero di periodi il profitto diminuisce; per quanto un aumento del numero di periodi considerati dallʼottimizzazione migliori generalmente i risultati ottenibili, questa non può essere considerata una regola stringente ma solamente una tendenza. 2.2.13.Sensibilità al livello di quantizzazione Continuiamo il discorso intrapreso nel paragrafo precedente verificando i risultati ottenibili da un rivenditore intenzionato a massimizzare il profitto al variare del livello di quantizzazione Q. Quantizzazione


Profitto

Q=4

7; 7; 7; 7; 7; 7

€ 54,00

Q=5

7,7; 7,7; 7,7; 7,7; 7,7; 7,7

€ 50,63

- 6,3%

Q=6

6,4; 6,4; 6,4; 6,4; 6,4; 6,4

€ 51,84

+ 2,4%

Q=7

7; 7; 7; 7; 7; 7

€ 54,00

+ 4,2%

Q=8

7,4; 7,4; 7,4; 7,4; 7,4; 7,4

€ 52,90

- 2,0‰

Q=9

7,7; 6,6; 6,6; 6,6; 6,6; 6,3

€ 53,67

+ 1,5‰

Q = 10

8; 7; 7; 7; 7; 6,7

€ 54,62

+ 1,8‰

Q = 11

6,4; 7,3; 7,3; 7,3; 7,3; 7,6

€ 54,17

- 0,8‰

Q = 12

7,5; 6,7; 6,7; 7,6; 6,7; 6,5

€ 54,49

+ 0,6‰

Q = 13

7,5; 7,5; 6,7; 6,7; 6,7; 6,2

€ 54,60

+ 0,2‰

TABELLA 2.9. - Sensibilità al livello di quantizzazione

33


Aumentando il livello di quantizzazione si osserva un trend positivo del profitto, seppure assolutamente non monotono. Ciò dimostra che è consigliabile impostare il massimo livello di quantizzazione permesso dai vincoli computazionali, per quanto è talvolta possibile ottenere risultati migliori con quantizzazioni meno fitte. Aumentando il livello di quantizzazione aumenta la numerosità dellʼinsieme dei prezzi ammissibili. Questo aumento non avviene però aggiungendo progressivamente nuovi prezzi ammissibili ma bensì cambiando lʼintero insieme dei prezzi, mantenendo omogenea la quantizzazione. Perciò un set di prezzi più ampio non comprende necessariamente tutti i prezzi precedentemente ammissibili. Q = 10 Q = 11

Pi ∈ [1; 2; 3; … ; 10] Pi ∈ [1; 1,9; 2,8; … ; 10]

Eʼ quindi possibile che un set meno numeroso ammetta dei prezzi che restituiscono una soluzione migliore di quella ottenibile con un set più numeroso. Questo fenomeno diviene però sempre meno significativo allʼaumentare del livello di quantizzazione perché con esso divengono sempre minori anche le differenze tra i prezzi ammessi nei diversi intervalli di quantizzazione. 2.2.14. Analisi del benessere del consumatore Evitando di formalizzare lʼutilità del consumatore, è possibile comunque affermare che questa aumenta allʼaumentare della quantità acquistata 1 e diminuisce allʼaumentare del prezzo di acquisto. Secondo le simulazioni effettuate, utilizzando delle politiche di prezzo dinamiche invece che statiche, il prezzo medio applicato viene 1 secondo il postulato di non sazietà, lʼutilità è funzione monotona crescente della quantità

34


mantenuto pressoché costante mentre la quantità acquistata aumenta. Il consumatore può evidentemente trarre beneficio da questa situazione: il miglioramento della condizione del rivenditore ha quindi come effetto “collaterale”1 lʼaumento del benessere del consumatore. Adottando una funzione multiobiettivo calibrata per le esigenze del rivenditore, è possibile osservare un aumento delle vendite ed una diminuzione del prezzo medio applicato. Questa situazione è perciò notevolmente vantaggiosa anche per il consumatore.

2.3. Limiti dellʼanalisi Lʼanalisi condotta è incentrata sullo studio degli effetti del prezzo di riferimento sulla strategia dei prezzi adottata da un rivenditore di beni di largo consumo. Questa analisi non costituisce comunque uno strumento completo per la determinazione della strategia ottima: è evidente come una strategia che massimizzi il profitto considerando gli effetti del prezzo di riferimento non possa tener conto di altri fattori capaci di influenzare la profittabilità. Lo studio dei fattori, diversi dal prezzo di riferimento, di cui un rivenditore deve tener conto per determinare la politica dei prezzi ottima non è oggetto della nostra analisi. Tuttavia, alcuni di questi aspetti vengono di seguito introdotti per completezza. 2.3.1. Prodotti sostituti e complementari Lʼanalisi è stata condotta alla ricerca della strategia dei prezzi che massimizzi il profitto del rivenditore derivante dalla vendita di un singolo prodotto. Così facendo, tuttavia, vengono trascurate tutte le relazioni esistenti tra le vendite dei diversi prodotti gestiti dal 1 nel senso che non è lʼobiettivo ricercato da questa strategia

35


rivenditore. In particolare la microeconomia è solita distinguere tra prodotti sostituti e prodotti complementari in base al valore dellʼelasticità incrociata: exy = (ΔDy / Dy) / (ΔPx / Px)

Questa misura la variazione della domanda di un prodotto y in funzione della variazione del prezzo di un prodotto x. Nei prodotti complementari lʼaumento del prezzo dellʼuno diminuisce le quantità vendute dellʼaltro (exy < 0), viceversa per i prodotti sostituti (exy > 0). Eʼ quindi chiaro che una variazione del prezzo di un prodotto può influenzare le vendite e la profittabilità di molti prodotti. Perciò è possibile che lʼaumento del profitto di un prodotto in promozione derivi in gran parte dalla cannibalizzazione delle vendite di prodotti sostituti, riducendo drasticamente gli effetti positivi dellʼanalisi condotta. Considerando un approccio integrato al problema, lʼanalisi andrebbe condotta alla ricerca della strategia dei prezzi complessiva dei vari prodotti, tale da massimizzare il profitto totale del rivenditore. Questa ricerca non può prescindere dalla stima dellʼelasticità incrociata tra i diversi prodotti. 2.3.2. Concorrenza Un rivenditore della grande distribuzione opera tipicamente in una situazione di oligopolio. Nonostante la concorrenza sia ostacolata dalla presenza di switching costs, cioè di costi che il consumatore deve sostenere per cambiare rivenditore, le strategie dei competitor non possono che influenzarsi vicendevolmente. Questa situazione può essere analizzata come un gioco simmetrico non cooperativo, in cui ogni rivenditore desidera massimizzare il proprio profitto. La mancanza di cooperazione tra i giocatori potrebbe condurre alla situazione

36


descritta dal “dilemma del prigioniero”. Immaginiamo ad esempio che un rivenditore A decida di adottare una politica dei prezzi dinamica, caratterizzata cioè da periodi promozionali intervallati da periodi di prezzo pieno. Un competitor B potrebbe sfruttare la situazione promuovendo nei periodi di prezzo pieno del rivenditore A, attraendo la domanda. Tali comportamenti possono inficiare notevolmente la redditività di una promozione, tanto da rendere in alcuni casi conveniente lʼadozione di una politica di prezzo costante. Lʼequilibrio di Nash così raggiunto è evidentemente non paretiano: il raggiungimento di un accordo tra i giocatori permetterebbe infatti un miglioramento della situazione per ognuno. Come ogni scelta strategica, anche la scelta della dinamica dei prezzi dovrebbe considerare le possibili reazioni dei competitor. 2.3.3. Scorte e Magazzino Lʼaumento della domanda nei periodi promozionali può provocare problemi di carattere logistico legati principalmente alla gestione del magazzino. Lʼottimizzazione della dinamica dei prezzi deve quindi tener conto della situazione del magazzino e degli approvvigionamenti. Oltre agli effetti del prezzo applicato sulla psicologia del consumatore legati al prezzo di riferimento, esiste un aspetto di logistica domestica inerente la gestione delle scorte che non viene considerato dal modello. In tal senso la diminuzione della domanda dopo un periodo promozionale non è dipesa solamente da una percezione di perdita nellʼacquisto ma anche dalla disponibilità delle scorte precedentemente accumulate. Allo stesso modo nei periodi di prezzo alto la domanda non viene azzerata per la presenza di consumatori disposti ad acquistare perché in stockout [1].

37


2.3.4. Prezzo di riferimento comunicato Come abbiamo avuto modo di vedere, il valore percepito dellʼofferta e quindi la decisione di acquisto, dipendono fortemente dal prezzo di riferimento interno del consumatore che il rivenditore può influenzare solo indirettamente. Il prezzo di riferimento comunicato, ossia quello che il rivenditore comunica essere stato il prezzo applicato prima della promozione, costituisce unʼaltra leva a disposizione di questʼultimo. Un prezzo di riferimento comunicato particolarmente alto aumenta il valore percepito dai consumatori che lo ritengono credibile; contrariamente se viene ritenuto non credibile sortisce lʼeffetto opposto [10]. 2.3.5. Aspettativa del consumatore Adoperando una politica dei prezzi ciclica, alcuni consumatori potrebbero essere indotti ad acquistare solamente nei periodi di promozione, abbassando notevolmente la domanda nei periodi di prezzo pieno. Tuttavia, i consumatori intenzionati a posticipare lʼacquisto devono sostenere dei costi di stoccaggio, tra cui i costi dovuti al deterioramento di alcuni beni deperibili. Conseguentemente ci sono sempre dei consumatori disposti ad acquistare perché in stockout [1]. Risulta quindi importante la gestione del trade off esistente tra la profittabilità teorica di una promozione ed il rischio di comportamenti opportunistici da parte dei consumatori, dovuti alla sua prevedibilità. Lo studio di questa situazione potrebbe essere condotto adoperando la teoria dei giochi. In questo caso la strategia del rivenditore, intenzionato a massimizzare una certa funzione obiettivo, verrebbe evidentemente influenzata dalla strategia dei consumatori che perseguono un diverso obiettivo.

38


3. Caso reale Conclusa lʼanalisi teorica, si desidera ora sviluppare unʼapplicazione pratica di questo studio, fornendo una serie di strumenti di controllo ottimo per il revenue management. Il procedimento adottato potrà essere facilmente adattato ad altre situazioni e servire quindi da guida per ogni manager che intenda gestire coerentemente la delicata fase di determinazione dei prezzi da applicare.

3.1. Incontro con i dati

GRAFICO 3.1. - Incontro con i dati

Disponiamo dei dati di vendita (giorno, quantità venduta e fatturato) di un particolare tipo di pasta relativi ad un ipermercato Conad. I dati coprono 1225 giorni, cioè dal 1 gennaio 2007 al 9 maggio 2010. Ottenuti i dati, per prima cosa è stato calcolato il prezzo unitario applicato come rapporto tra fatturato e quantità vendute. Nei giorni di chiusura il prezzo e le quantità sono stati considerati pari alle medie

39


della settimana precedente. Eʼ possibile osservare1

un notevole

innalzamento della domanda nei giorni di promozione. 3.1.1. Focalizzazione dellʼanalisi Osservando gli andamenti dei prezzi e delle quantità vendute negli anni, è possibile distinguere due periodi: nel 2007 i prezzi applicati sono inferiori ed i picchi di domanda relativi alle promozioni sono modesti. Viceversa nel periodo dal 2008 in poi è osservabile un aumento generale dei prezzi ed una maggiore sensibilità della domanda alle promozioni. Non siamo interessanti ad indagare le ragioni di questo cambiamento, sta di fatto che un unico modello non può essere adeguato per stimare mercati così diversi tra loro. Lʼanalisi è stata perciò focalizzata sul secondo periodo: dal 7 gennaio 2008 al 9 maggio 2010, per un totale di giorni 854 giorni. La diminuzione della numerosità del campione non comporta un decadimento della qualità dellʼanalisi perché la quantità di dati disponibili rimane comunque notevole. Al contrario focalizzando lʼanalisi su di un intervallo temporale minore, è possibile attenuare gli effetti del mutamento di comportamento dei consumatori che confonderebbero la calibrazione del modello, deteriorandone quindi la qualità. 3.1.2. Raggruppamento settimanale dei dati Eʼ evidente come i dati siano affetti da un forte rumore di fondo dovuto alla notevole aleatorietà degli acquisti. Questo potrebbe ostacolare la comprensione del reale andamento delle vendite, impedendo una calibrazione robusta del modello. Dʼaltronde questo rumore non può essere semplicemente filtrato con un filtro passa basso perché in tal

1 vedi graf. 3.1.

40


modo perderemmo anche le informazioni dei giorni di promozione, caratterizzati da repentini aumenti della domanda.

GRAFICO 3.2. - Raggruppamento settimanale dei dati

Per rendere i dati più stabili è stata sfruttata la proprietà statistica di media nulla del rumore, raggruppando le quantità settimanalmente e considerando il prezzo medio applicato nella settimana. In tale modo le oscillazioni giornaliere si compensano vicendevolmente rendendo il dato notevolmente più stabile e significativo1. Coerentemente con le considerazioni del paragrafo precedente, i dati riguardano solamente le 122 settimane del secondo periodo. Per ovvi motivi logistici i prezzi applicati dal supermercato non variano giornalmente ma spesso sono fatti variare proprio ad inizio settimana. Considerare il prezzo medio della settimana quindi non comporta particolari approssimazioni ma anzi coincide spesso semplicemente con il prezzo applicato nellʼintera settimana. Lʼutilizzo di un modello settimanale semplifica anche la successiva fase di ottimizzazione: non essendo possibile variare il prezzo

1 vedi graf. 3.2.

41


giornalmente, lʼottimizzazione di un modello giornaliero sarebbe stata necessariamente vincolata per evitare questo tipo di soluzione. Lʼutilizzo di un modello settimanale invece permette unʼottimizzazione libera. 3.2. Calibrazione del modello Ottenuti i dati e deciso il modello da adottare, una delle fasi più delicate è proprio la calibrazione, cioè la ricerca dei parametri che permettano al modello di adattarsi nel modo migliore ai dati; intendiamo in tal senso i parametri che minimizzino una certa funzione di distanza. In particolare i parametri sono stati stimati con il metodo dei minimi quadrati (OLS), in cui la formulazione di distanza che si intende minimizzare è proprio la distanza euclidea tra le quantità stimate dal modello ŷi e le quantità consuntive yi. ŷi = f (prezzo, guadagno, perdita, tempo) OBIETTIVO: min Σi (ŷi - yi)2

La calibrazione del modello è stata condotta in due fasi distinte: in un primo momento sono stati ricercati i parametri di stagionalità e trend delle vendite, utilizzati per pulire i dati dallʼinfluenza del tempo. La ricerca dei restanti parametri è stata quindi successivamente condotta sui dati filtrati. 3.2.1. Trend e Stagionalità Come abbiamo avuto modo di evidenziare1 , le quantità consuntive sono ragionevolmente affette da una dipendenza temporale. Eʼ di fondamentale importanza lʼindividuazione di questa relazione perché i coefficienti ottenuti risultino coerenti con le considerazioni teoriche. In 1 vedi par. 2.2.2.

42


particolare lʼultimo tentativo esposto nel capitolo “Malpractice: Esperienze formative da non ripercorrere”1

è risultato fallimentare

proprio per questa mancanza. Il tempo è scandito da una variabile progressiva che aumenta di valore ogni settimana. Questa variabile viene inizializzata pari ad 1 nella prima settimana del 2008, cioè lunedì 7 gennaio 2008.

GRAFICO 3.3. - Trend delle vendite

Per la stima del trend è sufficiente ipotizzare che la domanda sia una funzione lineare del tempo. Dt = k5 + β5 ˙ t k5 > 0 ; β5 ∈ ബ

Trattandosi di una regressione lineare, i coefficienti che minimizzano lo scarto quadratico medio (MSE) sono stati calcolati in forma chiusa. k5 = ηy - β5 ˙ ηt β5 = μty / σy2

I coefficienti così ottenuti sono: 1 vedi par. 4.7.

43


k5 = 89,5 ; β5 = 0,025

Siamo interessati solamente alla stima della variazione lineare della domanda nel tempo, descritta dal coefficiente β5 e non al valore assunto dalla costante k5 che infatti non compare nel modello di domanda completo. La variazione delle vendite nel tempo è minima 1: il basso valore assunto dal coefficiente β5 si traduce in un aumento annuale delle vendite di circa unʼunità di prodotto a settimana! Nonostante considerare un trend delle vendite appaia in questo caso poco significativo, è stato deciso di inserire comunque questo termine nel modello perché potrebbe risultare utile in altre analisi per cui questo testo intende costituire un esempio.

GRAFICO 3.4. - Stagionalità delle vendite

Per individuare la stagionalità delle vendite, procedendo come per la ricerca del trend, è sufficiente supporre che la domanda sia funzione solamente di una sinusoide, scritta nella forma più generale: Dt = k4 + β4 ˙ sin (ω ˙ t + φ) 1 vedi graf. 3.3.

44


k4, β4 > 0 ; ω ∈ ബ ; 0 ≤ φ ≤ 2 ˙ π

In questo caso i parametri non sono stati calcolati in forma chiusa ma è stato utilizzato il Componente aggiuntivo “Risolutore” di Microsoft Excel per minimizzare lo scarto quadratico medio tra le quantità consuntive e le quantità restituite dalla sinusoide. I parametri così ottenuti sono: k4 = 91,4 ; β4 = 32,7 ; ω = 0,10 ; φ = -1,14

Come nel caso precedente, non siamo interessati alla costante k4 ma solamente ai parametri che descrivono le variazioni stagionali della domanda. Considerando la relazione che lega la pulsazione ω al periodo T: T=2˙π/ω

T = 60,2

Il periodo risultante pari a 60,2 settimane può probabilmente significare che la frequenza dominante è annuale (52 settimane). Non è stato scelto un modello più complesso per la stima della stagionalità per evitare di filtrare anche delle informazioni importanti. Analizzando inoltre il periodo T congiuntamente al termine di sfasamento ϕ risulta che il massimo stagionale della domanda corrisponde al periodo estivo1. 3.2.2. Regressione lineare multivariata Una volta determinata la dipendenza temporale della domanda, questa può essere utilizzata per filtrare le vendite. I dati così ottenuti sono ragionevolmente dipendenti solamente dal prezzo e dal prezzo di riferimento e permettono quindi la calibrazione dei restanti parametri 1 questo dato non è indicativo del consumo generale del prodotto che potrebbe invece variare notevolmente a seconda del rivenditore analizzato

45


del modello. Questi sono di fatto i parametri più rilevanti per lʼanalisi condotta perché è tramite essi che agisce la politica dei prezzi del rivenditore.

GRAFICO 3.5. - Filtraggio temporale delle vendite

Eʼ stato evidenziato come lʼuscita del modello abbia una discontinuità che dipende del confronto tra il prezzo applicato Pt ed il prezzo di riferimento RPt, dipendente cioè dalla diversa percezione di guadagno o di perdita da parte del consumatore. RPt = α ˙ RPt-1 + (1 - α) ˙ Pt-1 Dt = β0 + β1 ˙ Pt + β2 ˙ (RPt - Pt)

Pt < RPt

Dt = β0 + β1 ˙ Pt + β3 ˙ (RPt - Pt)

Pt > RPt

0 ≤ α < 1 ; β0, β2, β3 > 0 ; β1 < 0 ල RPt = α ˙ RPt-1 + (1 - α) ˙ Pt-1 Dt = β0 + β1 ˙ Pt + β2 ˙ max [0 , (RPt - Pt)] + β3 ˙ min [0 , (RPt - Pt)] 0 ≤ α < 1 ; β0, β2, β3 > 0 ; β1 < 0

46


Per evitare i problemi indotti dalla discontinuità dellʼuscita, è possibile riscrivere il modello utilizzando delle funzioni non lineari invece che la definizione a tratti precedentemente proposta. Questa formulazione equivalente permette di evidenziare come la domanda dipenda congiuntamente dal prezzo, dalla percezione di guadagno e dalla percezione di perdita. Eʼ evidente inoltre come in ogni istante solamente uno di questi ultimi termini possa assumere un valore non nullo. Supponendo di conoscere il coefficiente di memoria α e disponendo dei dati relativi al prezzo applicato dal rivenditore, è possibile calcolare separatamente il termine di guadagno ed il termine di perdita in ogni istante. Questo processo può essere facilmente automatizzato utilizzando il software Microsoft Excel. La stima dei parametri è stata condotta effettuando una regressione lineare multivariata, considerando cioè che più variabili contribuiscono a spiegare la variabile dipendente: la domanda. ŷi = f (prezzo, guadagno, perdita)

Il Componente aggiuntivo “Strumenti di analisi dati” di Microsoft Excel permette di automatizzare questa operazione stimando i parametri con il metodo dei minimi quadrati (OLS). Per stimare il prezzo di riferimento RPt è necessario imporre una condizione iniziale, supposta pari al prezzo praticato nel primo periodo. RP0 = P0

Le prime 6 settimane sono state utilizzate solamente per calcolare il prezzo di riferimento e non per la calibrazione del modello. In tal modo la successione dei prezzi di riferimento è fin da subito influenzata solo marginalmente dallʼarbitrarietà dellʼipotesi riguardo il prezzo di

47


riferimento iniziale RP0. Il modello che intendiamo calibrare ha il compito di prevedere la domanda di un giorno feriale medio. Per non distorcere i parametri, i dati di vendita relativi alle settimane di Pasqua, Ferragosto, Natale e Capodanno non sono stati considerati nella calibrazione del modello ma solamente nella formazione della successione dei prezzi di riferimento. In questo modo evitiamo di tenere conto del particolare comportamento di acquisto di questi periodi ma consideriamo comunque il continuo aggiornamento del prezzo di riferimento da parte dei consumatori.

GRAFICO 3.6. - Adattamento del modello al variare del parametro α

I parametri così ottenuti dipendono però dal coefficiente di memoria α che non è ancora stato ottimizzato in alcun modo. La scelta del parametro è stata condotta facendolo variare tra 0,1 e 0,9 con incrementi di 0,001 cercando il valore che massimizzi lʼadattamento del modello ai dati, restituendo il massimo valore del coefficiente di determinazione R2. Questo coefficiente indica la percentuale di variabilità della variabile dipendente che può essere spiegata dal

48


modello di regressione ed ha quindi senso cercare il set di parametri capace di massimizzarlo. I parametri così ottenuti sono: β0 = 178,8 ; β1 = -1,46 ; β2 = 10,58 ; β3 = 0,69 α = 0,809 ; R2 = 0,826

Il valore assunto dal coefficiente di determinazione R2 è notevole se confrontato con i risultati ottenuti da altri studi: E. A. Greenleaf nel 1995, implementando un modello simile per la stima della domanda di burro dʼarachidi, ottenne un valore del coefficiente R2 pari a 0,392. Probabilmente la notevole differenza tra i risultati è imputabile alla mancata considerazione di una dipendenza della domanda dal tempo che nella nostra analisi è invece formalizzata con i termini di stagionalità e trend delle vendite. La calibrazione del modello ha restituito parametri coerenti con le considerazioni teoriche. Eʼ importante notare come il coefficiente β2 sia notevolmente maggiore del coefficiente β3, dimostrando una maggiore sensibilità del mercato alle promozioni rispetto ai rincari. Questa condizione è necessaria affinché una politica dinamica dei prezzi risulti profittevole1 . 3.2.3. Modello di domanda calibrato Conclusa la calibrazione del modello, questo paragrafo intende fornire una sintesi dei risultati ottenuti da cui risulta una notevole capacità di adattamento del modello. RPt = α ˙ RPt-1 + (1 - α) ˙ Pt-1 Dt = β0 + β1 ˙ Pt + β2 ˙ (RPt - Pt) + β4 ˙ sin (ω ˙ t + φ) + β5 ˙ t

Pt < RPt

Dt = β0 + β1 ˙ Pt + β3 ˙ (RPt - Pt) + β4 ˙ sin(ω ˙ t + φ) + β5 ˙ t

Pt > RPt

1 vedi par. 2.2.10.

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α = 0,809 ; β0 = 178,8 ; β1 = -1,46 ; β2 = 10,58 ; β3 = 0,69 β4 = 32,7 ; β5 = 0,025 ω = 0,10 ; φ = -1,14

GRAFICO 3.8. - Adattamento del modello ai dati

GRAFICO 3.7. - Confronto tra prezzo applicato e prezzo di riferimento con α = 0,809

3.2.4. Analisi dei residui Lʼutilizzo dello strumento dellʼanalisi di regressione presuppone alcune assunzioni che, se violate, pregiudicano la significatività del modello e lʼottimalità dei parametri stimati. Unʼanalisi dei residui permette di comprendere se si siano state violate alcune assunzioni o 50


se lʼutilizzo di un modello lineare non sia appropriato per lʼanalisi condotta. Molte ipotesi del modello di regressione riguardano i residui εi, cioè la differenza tra le quantità stimate ŷi e quelle osservate yi. ŷi = f (prezzo, guadagno, perdita, tempo) yi = f (prezzo, guadagno, perdita, tempo) + εi

In particolare i residui devono essere distribuiti secondo una distribuzione normale di media nulla e di deviazione standard costante per ogni valore delle variabili indipendenti, ed essere non correlati tra loro. Utilizzando i residui standardizzati, cioè i residui divisi per la loro deviazione standard, otteniamo una distribuzione con media nulla e deviazione standard unitaria. Questa rappresentazione agevola lʼindividuazione degli outlayers cioè di valori anomali numericamente distanti dai dati raccolti1 . εstand,i = εi / σε

Osservando il tracciato di dispersione dei residui ordinati nel tempo non è evidente nessun andamento patologico. Diversamente ordinando i residui rispetto ai valori stimati in ordine crescente2 è evidente che la deviazione standard di questi aumenta. In altre parole allʼaumentare della quantità stimata aumenta anche lʼerrore medio commesso nella stima. Questa situazione non è comunque preoccupante dal momento che evidenzia solamente una maggiore turbolenza del mercato nei periodi promozionali e/o una minore capacità predittiva del modello quando il sistema si trova lontano dalla

1 generalmente si definisce outlayer una osservazione distante dal valore stimato più di tre volte la deviazione standard della distribuzione dei residui 2 vedi graf. 3.9.

51


situazione di equilibrio. Per evitare questa situazione è ragionevole limitare lʼingresso del sistema impedendo che lo stato diverga eccessivamente dalla condizione di equilibrio statico. Non è presente inoltre nessuna configurazione sistemica dei residui che risultano invece distribuiti in modo casuale attorno allo zero, suggerendo che il modello lineare è appropriato per descrivere la domanda.

GRAFICO 3.9. - Tracciato di dispersione dei residui ordinati in base alle quantità stimate asse delle quantità in scala logaritmica base 5

3.3. Strategia ottima Tutto il lavoro finora condotto è finalizzato allʼottenimento di una successione di prezzi, ripetibile nel tempo, capace di massimizzare una certa funzione obiettivo calibrata secondo le esigenze del rivenditore. Conoscendo la politica realmente adottata dal rivenditore, è possibile confrontare i risultati ottenuti sia con quelli ottenibili adottando una politica di prezzo costante che con quelli invece ottenibili ottimizzando il modello dinamico.

52


Per vincoli computazionali1 non è possibile ottimizzare la strategia lungo lʼintero periodo coperto dai dati e neppure considerare la dipendenza della domanda dal tempo. La ricerca della dinamica dei prezzi è stata perciò limitata ad un periodo di 6 settimane, imponendo però che la soluzione restituita dal programma fosse stazionaria e quindi ripetibile nel tempo. Ottenute in questo modo le successioni cercate, per stimare la domanda risultante è stato tenuto conto della dipendenza dal tempo attraverso i termini di trend e stagionalità. In tal modo anche se la dinamica dei prezzi ha un periodo di 6 settimane, la dinamica delle quantità stimate è aperiodica. Il calcolo di parametri sintetici quali fatturato, profitto, quantità vendute e prezzo medio applicato deve perciò considerare lʼintero periodo di studio e non può essere limitato alle 6 settimane. Per comodità, questi parametri sono comunque riportati in base annuale. Lʼottimizzazione del modello statico è stata eseguita applicando le formule derivate analiticamente2, considerando anche i termini di trend e stagionalità per la stima della domanda e calcolando i parametri di sintesi in modo analogo al caso dinamico. I dati consuntivi di prezzi applicati e quantità vendute sono anchʼessi assolutamente non periodici. Anche in questo caso quindi i parametri di sintesi sono stati calcolati considerando lʼintero periodo di studio e poi riportati in base annuale. La ricerca della successione ottima dei prezzi è stata condotta allʼinterno di un intervallo di prezzi ammissibili opportunamente quantizzato. Q = 7; Pi ∈ [0,50 : 0,80]

1 vedi par. 2.2.5. 2 vedi par. 2.1.1.

53


La scelta di questo intervallo costituisce però un limite allʼottimizzazione: è frequente infatti che il programma restituisca soluzioni contenenti gli estremi dellʼintervallo, evidentemente migliorabili rilassando il vincolo. Oltre che per motivi computazionali, è necessario limitare i prezzi applicabili per evitare che il sistema diverga eccessivamente dalla situazione di equilibrio statico divenendo in tal caso poco affidabile1 . Eʼ quindi ragionevole imporre che il prezzo minimo sia maggiore dei costi variabili e che il prezzo massimo non renda negativa la domanda [6]. In alcune situazioni inoltre il prezzo massimo potrebbe essere ulteriormente limitato dal marketing per creare unʼimmagine di rivenditore economico. Disponendo dei dati di vendita del rivenditore, è possibile evitare di ripetere queste considerazioni ponendoci direttamente nella condizione scelta dal rivenditore: gli estremi dellʼintervallo sono stati quindi fissati pari al prezzo massimo e minimo effettivamente applicati. Non conoscendo lʼesatta funzione obiettivo del rivenditore, lʼanalisi comparativa è stata condotta ipotizzando separatamente che il rivenditore fosse interessato alla massimizzazione del fatturato, del profitto o di una combinazione convessa di fatturato, profitto e quantità. 3.3.1. Massimizzazione del fatturato Una politica rivolta alla massimizzazione del fatturato non tiene conto in alcun modo dei costi sostenuti, discostandosi perciò notevolmente dai risultati ottenibili massimizzando il profitto. Non è verosimile che la strategia adottata dal rivenditore non abbia considerato il profitto ma verifichiamo comunque i risultati che avrebbe potuto raggiungere nel caso avesse ricercato la massimizzazione del fatturato. 1 vedi par. 3.2.4.

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La dinamica capace di massimizzare il fatturato non dipende ovviamente dai costi sostenuti, tuttavia i risultati ottenibili in termini di profitto sono direttamente correlati a questi. Non disponendo dei dati relativi ai costi, analizziamo tre possibili scenari con costi variabili pari a 0,40€, 0,45€ e 0,50€. Il prezzo minimo storicamente applicato dal rivenditore risulta pari a 0,53€; ipotizzando che non abbia mai venduto sottocosto evitiamo di considerare situazioni di costo maggiore. Reale Prezzi applicati €/100

Ott. Statica 61,3

Ott. Dinamica 80; 50; 50; 80; 80; 52,2

Prezzo medio

€ 0,73

€ 0,61

- 16,4%

€ 0,56

- 23,3%

Fatturato

€ 3.395

€ 2.962

- 12,7%

€ 4.778

+ 40,7%

Profitto con cv = 0,40€

€ 1.535

€ 1.029

-

33,0%

€ 1.338

- 12,8%


€ 1.302

€ 787

-

39,5%

€ 908

- 30,3%


€ 1.070

€ 546

-

49,0%

€ 478

- 55,3%

Quantità

4.651

4.832

+

3,9%

8.600

+ 84,9%

TABELLA 3.1. - Massimizzazione del fatturato

Come prevedibile la massimizzazione del fatturato ha condotto ad una notevole diminuzione del profitto in tutti i casi analizzati; questo risultato inoltre peggiora progressivamente allʼaumentare dei costi evidenziando come, con lʼaumento di questi, la politica di massimizzazione del fatturato si discosti sempre più dalla massimizzazione del profitto. Adottando una politica dinamica è comunque sempre possibile ottenere risultati migliori rispetto al caso statico. 3.3.2. Massimizzazione del profitto Eʼ probabile che il rivenditore abbia stabilito la strategia dei prezzi con il fine primario di massimizzare il profitto. In tal caso è interessante

55


confrontare i risultati ottenuti con quelli ottenibili implementando la strategia suggerita dallʼottimizzazione del modello dinamico con pari funzione obiettivo. La politica ottima per la massimizzazione del profitto dipende dai costi variabili sostenuti dal rivenditore. Non disponendo di questa informazione analizziamo separatamente tre diversi scenari con costi variabili pari a 0,40€, 0,45€ e 0,50€. Reale Prezzi applicati €/100

Ott. Statica 81,3

Ott. Dinamica 80; 80; 65; 80; 65; 62,4

Prezzo medio

€ 0,73

€ 0,81

+ 11,4%

€ 0,68

- 6,7%

Fatturato

€ 3.395

€ 2.695

- 20,6%

€ 4.244

+ 25,0%

Profitto

€ 1.535

€ 1.369

- 10,8%

€ 1.751

+ 14,1%

Quantità

4.651

3.315

- 28,7%

6.234

+ 34,0%

TABELLA 3.2a. - Massimizzazione del profitto con cv = 0,40€

Reale Prezzi applicati €/100

Ott. Statica 83,8

Ott. Dinamica 70; 80; 70; 80; 80; 69,9

Prezzo medio

€ 0,73

€ 0,84

+ 14,8%

€ 0,73

+ 0,1%

Fatturato

€ 3.395

€ 2.619

- 22,9%

€ 3.789

+ 11,6%

Profitto

€ 1.302

€ 1.213

- 6,9%

€ 1.457

+ 11,9%

Quantità

4.651

3.126

- 32,8%

5.184

+ 11,4%

TABELLA 3.2b. - Massimizzazione del profitto con cv = 0,45€

Reale Prezzi applicati €/100

Ott. Statica 86,3

Ott. Dinamica 80; 70; 70; 80; 80; 70,7

Prezzo medio

€ 0,73

€ 0,86

+ 18,2%

€ 0,73

+ 0,4%

Fatturato

€ 3.395

€ 2.534

- 25,4%

€ 3.770

+ 11,0%

Profitto

€ 1.070

€ 1.066

- 0,4%

€ 1.199

+ 12,1%

Quantità

4.651

2.936

- 36,9%

5.142

+ 10,6%

TABELLA 3.2c. - Massimizzazione del profitto con cv = 0,50€

56


In tutti gli scenari analizzati, i risultati ottenuti dal rivenditore superano quelli ottenibili con una politica di prezzo costante ma sono a loro volta superati dallʼottimizzazione del modello dinamico. 3.3.3. Massimizzazione multiobiettivo Utilizzando una funzione multiobiettivo è possibile perseguire obiettivi secondari diversi dal profitto, deviando di poco dalla condizione di massimizzazione di questʼultimo. Eʼ possibile in questo modo aumentare notevolmente il fatturato e le vendite diminuendo solamente di poco il profitto1 . OBIETTIVO : max (ω1 ˙ profitto + ω2 ˙ fatturato + ω3 ˙ vendite) ω1 = 0,92 ω2 = 0,04 ω3 = 0,04

La scelta dei pesi è evidentemente arbitraria ma con pochi tentativi è facilmente ottenibile il compromesso cercato. Anche per questa analisi abbiamo dovuto considerare separatamente tre diversi scenari con costi variabili pari a 0,40€, 0,45€ e 0,50€. Max profitto

Max multiobiettivo

Δ

Prezzi applicati €/100

80; 80; 65; 80; 65; 62,4

80; 80; 65; 80; 65; 62,4

Prezzo medio

€ 0,68

€ 0,68

+ 0,0%

Fatturato

€ 4.244

€ 4.244

+ 0,0%

Profitto

€ 1.751

€ 1.751

+ 0,0%

Quantità

6.234

6.234

+ 0,0%

TABELLA 3.3a. - Massimizzazione multiobiettivo con cv = 0,40€

Nel caso di costi variabili cv = 0,40€, le politiche di massimizzazione del profitto e della funzione multiobiettivo coincidono. Questa strategia è stata graficata a titolo di esempio2. 1 vedi par. 2.2.7. 2 vedi graf. 3.9. e 3.10.

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GRAFICO 3.10. - Dinamica ottima multiobiettivo con cv = 0,40€

GRAFICO 3.11. Periodo ottimo multiobiettivo con cv = 0,40€

Max profitto

Max multiobiettivo

Δ


70; 80; 70; 80; 80; 69,9

80; 80; 65; 80; 65; 62,4

Prezzo medio

€ 0,73

€ 0,68

- 6,8%

Fatturato

€ 3.789

€ 4.244

+ 12,0%

Profitto

€ 1.457

€ 1.439

- 1,2%

Quantità

5.184

6.234

+ 20,2%

TABELLA 3.3b. - Massimizzazione multiobiettivo con cv = 0,45€

58


Max profitto

Max multiobiettivo

Δ


80; 70; 70; 80; 80; 70,7

70; 80; 70; 65; 80; 79,7

Prezzo medio

€ 0,73

€ 0,71

- 2,7%

Fatturato

€ 3.770

€ 3.956

+ 4,9%

Profitto

€ 1.199

€ 1.185

- 1.2%

Quantità

5.142

5.541

+ 7,8%

TABELLA 3.3c. - Massimizzazione multiobiettivo con cv = 0,50€

Eʼ importante sottolineare come questa sia solamente una delle possibili calibrazioni della funzione multiobiettivo. Variando i pesi è infatti possibile ottenere la combinazione che meglio soddisfa i desideri del rivenditore. 3.3.4. Analisi del benessere del consumatore Abbiamo avuto modo di verificare come lʼadozione di una politica dinamica permetta in generale di migliorare anche la situazione del consumatore rispetto ad una condizione di prezzo statico1 . Verifichiamo ora gli effetti, sul consumatore, dellʼadozione della politica suggerita dal modello dinamico al posto di quella realmente adottata dal rivenditore. La massimizzazione del fatturato, così come la massimizzazione della funzione multiobiettivo proposta, comporta un abbassamento del prezzo medio applicato ed un aumento della domanda. In questa situazione, secondo le ipotesi effettuate, il benessere del consumatore non può che aumentare. Nel caso il rivenditore ricercasse invece la massimizzazione del profitto, la politica dinamica suggerita si discosterebbe di poco da quella del rivenditore per quanto riguarda il prezzo medio, a fronte però di un aumento delle quantità vendute.

1 vedi par. 2.2.12.

59


Anche in questo caso quindi il benessere del consumatore ne gioverebbe.

3.4. Analisi di robustezza La strategia ottenuta dallʼottimizzazione del modello dinamico dipende evidentemente dai parametri utilizzati per calibrare questʼultimo. La stima dei parametri è però inevitabilmente affetta da un errore. Eʼ intuibile infatti come campioni diversi di una stessa popolazione producano stime dei parametri leggermente diverse. Gli stimatori sono dunque essi stessi delle variabili aleatorie e, in quanto tali, hanno una distribuzione che in questo caso viene chiamata distribuzione campionaria. Questa distribuzione è caratterizzata da una media e da uno scarto quadratico medio, chiamato errore standard. Per il rivenditore risulta quindi fondamentale comprendere se la strategia ottenuta ottimizzando il modello dinamico possa aumentare il profitto nonostante questo errore. Eʼ possibile utilizzare una simulazione Monte Carlo per testare questa robustezza. 3.4.1. Simulazione Monte Carlo La distribuzione dei parametri stimati tramite una regressione lineare segue lʼandamento di una variabile t di student con n-1 gradi di libertà, ove n è la numerosità del campione. Questa distribuzione, caratterizzata da un andamento platicurtico, è tuttavia approssimabile ad una distribuzione normale se il campione è sufficientemente numeroso1, come nel caso in esame. Per testare la robustezza del modello è stata utilizzata una simulazione Monte Carlo, generando 10.000 set indipendenti di parametri β0, β1, β2 e β3 estratti casualmente 1 generalmente si assume che per n > 30 la distribuzione t di student sia approssimabile ad una distribuzione normale

60


da quattro distribuzioni normali con media e deviazione standard pari a quelle dei parametri.

GRAFICO 3.12. - Funzione di distribuzione dei parametri β1, β2 e β3

I generatori di numeri pseudo casuali tipicamente implementati nei calcolatori restituiscono un numero distribuito uniformemente tra zero ed uno. Per ottenere una variabile distribuita secondo una distribuzione normale qualsiasi, è sufficiente fornire il numero generato dal calcolatore come argomento della funzione inversa di distribuzione desiderata (cioè la funzione percentile). Media

Errore standard

Intervallo di confidenza al 95%

β0

178,8

51,45

76,7 < β0 < 280,8

β1

-1,46

0,66

- 2,76 < β1 < - 0,16

β2

10,58

0,94

8,73 < β2 < 12,44

β3

0,69

1,07

- 1,43 < β3 < 2,80

TABELLA 3.4. - Parametri del modello dinamico

Per ogni set viene quindi stimato il fatturato, il profitto e le quantità vendute dal rivenditore ipotizzando che questa quadrupla di parametri rispecchi la realtà ma che il rivenditore abbia adottato la strategia

61


suggerita dallʼottimizzazione del modello dinamico. Lo svolgimento di questi calcoli è stato affidato ad una Macro in Microsoft Excel appositamente compilata. Questi risultati vengono quindi comparati con quelli ottenibili adottando una politica di prezzo costante e con quelli effettivamente conseguiti dal rivenditore. Lʼanalisi è stata ripetuta tre volte per valutare la robustezza delle politiche suggerite per la massimizzazione del profitto con costi variabili pari a 0,40€, 0,45€ e 0,50€. Politica statica Valore

Politica reale

Δ medio

Migliori

Valore

Δ medio

Migliori

Fatturato

€ 2.695

+ 67%

74%

€ 3.395

+ 32%

63%

Profitto

€ 1.369

+ 37%

63%

€ 1.535

+ 22%

58%

Quantità

€ 3.315

+ 98%

83%

€ 4.651

+ 41%

68%

TABELLA 3.5a. - Simulazione Monte Carlo con cv = 0,40€ Δ medio: variazione media osservata nelle prove Migliori: esperimenti con un risultato migliore

Politica statica Valore

Politica reale

Δ medio

Migliori

Valore

Δ medio

Migliori

Fatturato

€ 2.619

+ 54%

67%

€ 3.395

+ 19%

56%

Profitto

€ 1.213

+ 29%

59%

€ 1.302

+ 20%

56%

Quantità

€ 3.126

+ 76%

72%

€ 4.651

+ 18%

56%

TABELLA 3.5b. - Simulazione Monte Carlo con cv = 0,45€ Δ medio: variazione media osservata nelle prove Migliori: esperimenti con un risultato migliore

Politica statica Valore

Politica reale

Δ medio

Migliori

Valore

Δ medio

Migliori

Fatturato

€ 2.534

+ 59%

68%

€ 3.395

+ 18%

56%

Profitto

€ 1.066

+ 21%

56%

€ 1.070

+ 20%

56%

Quantità

€ 2.936

+ 86%

74%

€ 4.651

+ 17%

56%

TABELLA 3.5c. - Simulazione Monte Carlo con cv = 0,50€ Δ medio: variazione media osservata nelle prove Migliori: esperimenti con un risultato migliore

62


I risultati di queste simulazioni dimostrano come, nonostante il modello dinamico migliori considerevolmente il valore atteso dei parametri di performance, esista il rischio concreto che un errore nella stima dei coefficienti comprometta la profittabilità della promozione. La stima dei coefficienti è quindi di importanza primaria; per aumentare la confidenza riguardo il valore assunto da questi è ad esempio possibile svolgere degli esperimenti in-store appositamente studiati [4]. Anche se il modello non si è dimostrato particolarmente robusto, notiamo che nella maggioranza dei casi è comunque preferibile alla strategia adottata dal rivenditore.

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4. Malpractice: esperienze formative da non ripercorrere Lʼanalisi sviluppata in questo elaborato costituisce di fatto un lavoro di ricerca e come tale non è stato possibile prevederne fin dallʼinizio lʼesito e soprattutto conoscere il miglior percorso da seguire per raggiungere gli obiettivi prefissatici. In questo capitolo poniamo quindi lʼattenzione sulle molte prove fallimentari che, col tempo, hanno condotto ad un risultato addirittura migliore di quello inizialmente sperato. Per quanto tutte le esperienze qui esposte si dimostrino di fatto inconcludenti, risultano comunque utili per comprendere lʼevoluzione del pensiero che ha condotto ai risultati precedentemente esposti ed apprendere come approcci teoricamente corretti possano a volte rivelarsi fallimenti.

4.1. Filtraggio dellʼinflazione Il modello di domanda non tiene conto in nessun modo dellʼaumento generale dei prezzi che, per lʼinfluenza del termine β1 < 0, provocherebbe una diminuzione della quantità media acquistata. Effettuando una regressione lineare delle vendite otteniamo invece un trend praticamente costante, con un aumento del 2‰ negli oltre tre anni di dati. Eʼ stato perciò ritenuto opportuno filtrare lʼaumento generale dei prezzi (che chiameremo sinteticamente inflazione, da non confondere con lʼinflazione nazionale misurata dallʼISTAT). Per individuare lʼaumento dei prezzi sono stati utilizzati diversi modelli di regressione: lineare, esponenziale, logaritmica, polinomiale di 2° grado e polinomiale di 4° grado. Non sono state effettuate regressioni di

64


ordine superiore per evitare di filtrare anche informazioni utili. Tutte le regressioni sono state effettuate rispetto ad una variabile progressiva che assume valori da 1 a 1225. I coefficienti sono stati dapprima ottenuti minimizzando lo scarto quadratico medio tra le quantità stimate e le quantità consuntive utilizzando un risolutore di problemi non lineari (NLP).

GRAFICO 4.1. - Filtraggio dellʼinflazione con regressione polinomiale 4°

Gli esiti così ottenuti sono risultati coerenti per tutte le regressioni tranne che per quella polinomiale di 4° grado che necessita di una precisione notevolmente maggiore nella stima dei coefficienti. Per ottenere i coefficienti della regressione polinomiale di 4° grado è stato utilizzato un risolutore di regressione multipla a cui sono state fornite in ingresso le potenze di ordine dal primo al quarto della variabile progressiva. Da notare come anche questo risolutore utilizzi il metodo dei minimi quadrati (OLS). Aumentando la complessità dei modelli di regressione aumenta anche il valore assunto dal coefficiente di determinazione R2, pari a 0,66 per la regressione polinomiale di 4° grado. Analizzando il grafico di dispersione dei residui1 è evidente una 1 il grafico non è stato riportato per sintesi

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notevole asimmetria. Il tracciato evidenzia come questa regressione sia inadeguata per spiegare i prezzi di promozione, situazione comunque prevedibile. Il filtraggio dei dati è stato applicato solamente allʼinizio di ogni periodo di prezzo costante, per evitare che il prezzo filtrato cambiasse giornalmente. In tal modo i periodi di prezzo costante sono rimasti tali. Nei seguenti tentativi di calibrazione del modello verrà quindi utilizzato il prezzo filtrato con la regressione polinomiale di 4° grado qui riportata.

4.2. Filtraggio delle vendite

GRAFICO 4.2 - Analisi comparative delle vendite su base annuale

La semplicità del modello lo rende inadeguato a spiegare eventuali trend ed andamenti stagionali di consumo della pasta. Eʼ già stata evidenziata lʼassenza di un trend nelle quantità, resta quindi da verificare la presenza di stagionalità nelle vendite. Ipotizzando un andamento armonico della stagionalità, è stata ricercata la sinusoide, nella sua forma più generale, che minimizzasse lo scarto quadratico medio con le quantità consuntive, sviluppando di fatto una regressione sinusoidale.

66


α + β ˙ sin (ω ˙ t + φ)

La ricerca dei parametri con un risolutore di problemi non lineare (NLP) ha evidenziato come la soluzione restituita dipenda fortemente dalla soluzione iniziale, denunciando quindi la presenza di minimi locali che rendono inutilizzabile lʼottimizzatore. Lʼanalisi del grafico1 comparativo delle vendite negli anni è stata considerata sufficiente per determinare lʼassenza di stagionalità nelle vendite. Nessun filtro è stato perciò applicato alle quantità.

4.3. Ottimizzazione tout court

GRAFICO 4.3. - Modello “ottimizzazione tout court”

Effettuiamo quindi il primo tentativo di calibrazione del modello. Allo scopo, come di consueto, è stato utilizzato un risolutore di problemi non lineari (NLP), con lʼobiettivo di minimizzare lo scarto quadratico medio tra le quantità stimate e le quantità reali. Allʼottimizzatore è stato permesso di variare liberamente tutti i parametri sia dello stato che dellʼuscita del sistema, ottenendo: α = 0,955 ; β0 = 20,8 ; β1 = -0,19 ; β2 = 1,58 ; β3 = -0,18 1 vedi graf. 4.2.

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Il valore negativo assunto da β3 è in contrasto con la teoria; per assurdo significherebbe un aumento della domanda conseguente ad una sensazione di perdita nell'acquisto! Eʼ sufficiente confrontare lʼuscita del sistema con i dati reale1 per comprendere che il modello è inadeguato per prevedere i picchi di domanda delle promozioni, oggetto della nostra analisi. I parametri così ottenuti non sono quindi utilizzabili.

4.4. Stima separata di β0 e β1 Eʼ evidente come nel caso in cui il prezzo praticato Pt rimanesse invariato a lungo, il prezzo di riferimento RPt convergerebbe al valore di Pt. In tale situazione il contributo dei coefficienti β2 e β3 diverrebbe nullo per lʼannullarsi del comune termine moltiplicativo (RPt - Pt). In altre parole dopo un certo periodo di prezzo costante il consumatore, ormai abituatosi al prezzo praticato, non percepirebbe nessuna sensazione di guadagno o di perdita tale da influenzarne il comportamento dʼacquisto. Partendo da queste considerazioni i coefficienti β0 e β1 sono stati stimati con il metodo dei minimi quadrati nei soli periodi in cui |(RPt - Pt)| / Pt < 0,5%, tali cioè da poter supporre nullo il contributo dei coefficienti β2 e β3. Per la stima del prezzo di riferimento RPt è stato arbitrariamente utilizzato un parametro α = 0,95, supposto sufficientemente stringente. Solo il 4% dei dati ha soddisfatto il requisito, restituendo i seguenti parametri: β0 = 24,7 ; β1 = -0,24

1 vedi graf. 4.3.

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I restanti coefficienti del sistema sono stati stimati, come nel caso precedente, utilizzando un risolutore di problemi non lineare (NLP), con lʼobiettivo di minimizzare lo scarto quadratico medio tra le quantità stimate e le quantità reali. Allʼottimizzatore è stato permesso di variare liberamente tutti i parametri salvo β0 e β1, ottenendo: α = 0,950 ; β2 = 1,47 ; β3 = -0,02

Il parametro β3, seppure ancora negativo, perde di significatività per via del basso valore assoluto che assume. Il modello così calibrato risulta di fatto molto simile a quello precedentemente ottenuto e se ne omette perciò la rappresentazione grafica. Parimenti al caso precedente, anche questi parametri si rivelano inadeguati per la nostra analisi.

4.5. Ampliamento del modello classico Il modello che considera anche lʼinfluenza del prezzo di riferimento costituisce di fatto un ampliamento del modello classico1. Questo aumento di complessità dovrebbe essere ripagato con un aumento del potere predittivo. Il tentativo di calibrazione qui riportato scaturisce proprio da questo concetto di ampliamento: per prima cosa infatti è stato utilizzato il metodo dei minimi quadrati per stimare i parametri del modello classico, ottenendo: β0 = 70,7 ; β1 = -0,97

Fissati questi primi parametri, i restanti coefficienti sono stati ricavati utilizzando un risolutore di problemi non lineari (NLP), con lʼobiettivo di

1 vedi par. 2.1. e 2.2.

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minimizzare lo scarto quadratico medio tra le quantità stimate e le quantità reali. I parametri così ottenuti sono: α = 0,887 ; β2 = 0,49 ; β3 = 0,22

Ottimizzando dapprima il modello classico, il coefficiente β1 assume un ruolo fondamentale anche nel modello completo che cerchiamo di calibrare, diminuendo lʼimportanza del coefficiente β2 che difatti assume un valore nettamente minore rispetto a quelli ricavati precedentemente.

GRAFICO 4.4 - Modello “ampliamento modello classico”

Con questa calibrazione il coefficiente β3 assume finalmente un valore positivo, come ipotizzato dalla teoria. Conducendo unʼanalisi grafica 1 pare evidente come anche questa calibrazione del modello risulti inadatta per lʼanalisi che intendiamo condurre.

4.6. Funzione di trasferimento con Matlab Il problema principale dei modelli finora calibrati è il loro basso potere predittivo nei periodi promozionali che costituiscono proprio lʼargomento di maggiore interesse per la nostra analisi. 1vedi graf. 4.4.

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Con lʼausilio di Matlab è possibile determinare la funzione di trasferimento (f.d.t.), cioè la relazione che lega lʼingresso e lʼuscita di un sistema, con qui è possibile approssimare al meglio lʼandamento dei dati. Lʼuscita del nostro sistema però dipende dal confronto tra lʼingresso e lo stato, come precedentemente illustrato. Questo switch implica di fatto lʼesistenza di due funzioni di trasferimento, legate a due differenti sistemi. Di questi uno interviene dopo un aumento di prezzo (Σ+) mentre lʼaltro successivamente ad una diminuzione di prezzo (Σ-). Σ- ( Pt < RPt ): RPt = α2 ˙ RPt-1 + (1 - α2) ˙ Pt-1 Dt = β0 + β12 ˙ Pt + β2 ˙ (RPt - Pt) Σ+ ( Pt > RPt ): RPt = α3 ˙ RPt-1 + (1 - α3) ˙ Pt-1 Dt = β0 + β13 ˙ Pt + β3 ˙ (RPt - Pt)

Con questa scrittura è evidente inoltre come lo switch non riguardi più solamente il coefficiente moltiplicativo del prezzo di riferimento (β2, β3) ma anche il termine lineare del prezzo (β12, β13) e lo stesso stato del sistema (α2, α3). Devono perciò essere stimati due diversi coefficienti di memoria, α2 e α3, ipotizzando implicitamente una diversa velocità di adattamento del consumatore al prezzo nei diversi casi di aumento e di diminuzione del prezzo praticato dal rivenditore nonché due diversi coefficienti β12 e β13. Questa ulteriore complicazione del modello permette lʼutilizzo del software Matlab per stimare i due sistemi in modo completamente indipendente. Sono quindi stati forniti due set di dati al programma: uno relativo a tre periodi di aumento di prezzo ed uno a tre periodi di promozione ottenendo le due f.d.t. cercate.

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Matlab restituisce la funzione di trasferimento nel dominio della trasformata Z. Il motivo risiede nella semplificazione dellʼanalisi in questo dominio: disponendo della f.d.t. di un sistema nel dominio del tempo è possibile ottenerne lʼuscita svolgendo la convoluzione tra la f.d.t. e lʼingresso. Nel dominio della trasformata Z invece lʼoperazione diviene un semplice prodotto. Di seguito viene riportata la trasformazione nel dominio della trasformata Z per il solo sistema Σ-, utilizzando per sintesi la notazione classica dei controlli automatici. Si omette la trattazione esplicita del sistema Σ+ perché del tutto analoga. Σ- ( u < x ): x + = α2 ˙ x + (1 - α2) ˙ u y = β0 + β12 ˙ u + β2 ˙ (x - u)

x + = α2 ˙ x + (1 - α2) ˙ u y = β0 + β2 ˙ x + (β12 - β2) ˙ u

x(z) = z ˙ (z ˙ I - α2)-1 ˙ x0 + (z ˙ I - α2)-1 ˙ (1 - α2) ˙ u(z) y(z) = β0 + β2 ˙ x(z) + (β12 - β2) ˙ u(z)

x(z) = z ˙ (z ˙ I - α2)-1 ˙ x0 + (z ˙ I - α2)-1 ˙ (1 - α2) ˙ u(z) y(z) = β0 + β2 ˙ z ˙ (z ˙ I - α2)-1 ˙ x0 + [β2 ˙ (z ˙ I - α2)-1 ˙ (1 - α2) + (β12 - β2)] ˙ u(z)

f.d.t.- = β2 ˙ (z ˙ I - α2)-1 ˙ (1 - α2) + (β12 - β2)

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Svolgendo questi conti, i parametri restituiti da Matlab risultano: α2 = 0,943 ; β12 = 0,12 ; β2 = 2,21 ; α3 = 0,910 ; β13 = 0,16 ; β3= 1,08

Evidente è la mancanza della costante β0 e il valore positivo assunto dalla variabile β1, in contrasto con la teoria. Dʼaltra parte i valori assunti dai parametri β2 e β3 sembrano evidenziare una maggiore capacità di adattamento ai dati nei periodi promozionali. Tale constatazione ha guidato diversi tentativi di calibrazione ibrida del modello, combinando i coefficienti restituiti da Matlab con i parametri precedentemente stimati. Anche questi tentativo sono però risultati inadatti ai fine dellʼanalisi che intendiamo condurre.

4.7. Ottimizzazione del modello settimanale La scarsità dei risultati fin ora ottenuti potrebbe non essere imputabile al metodo di calibrazione utilizzato ma al forte rumore di fondo che contamina le quantità vendute. Per evitare questo problema, i dati sono stati raggruppati settimanalmente1. Dalle esperienze precedenti si è compreso come la calibrazione del modello ottenuta con un ottimizzatore di problemi non lineari (NLP) dipenda fortemente dalla soluzione iniziale fornita. Per evitare questa forte arbitrarietà nella calibrazione, la ricerca dei parametri è stata condotta utilizzando un risolutore di regressione multipla considerando le quantità come variabile dipendente ed il prezzo applicato, il guadagno percepito e la perdita percepita come variabili indipendenti. Eʼ evidente come nel caso vi fosse una percezione di guadagno, cioè la differenza (RPt - Pt) risultasse positiva, la perdita percepita sarebbe nulla e viceversa nel caso vi fosse una percezione di perdita. In tal

1 vedi par. 3.1.2.

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modo lʼunica arbitrarietà risiede nel calcolo del prezzo di riferimento RPt che dipende dal parametro di smorzamento α. Per eliminare questa arbitrarietà sono state effettuate numerose prove facendo variare il parametro α tra zero ed uno ad intervalli di 0,025. Eʼ stato quindi selezionato il modello con il migliore coefficiente di determinazione R2 che ha assunto il valore di 0,72. I coefficienti utilizzati sono: α = 0,807 ; β0 = 267,4 ; β1 = -2,66 ; β2 = 8,96 ; β3 = -3,50

Prove comparative hanno evidenziato come lʼutilizzo di un prezzo filtrato peggiorasse il coefficiente di determinazione R2 del modello, per cui è stato scelto lʼutilizzo del prezzo effettivamente praticato dal rivenditore.

GRAFICO 4.5 - Modello “settimanale”

Per il calcolo del prezzo di riferimento è necessario impostare una condizione iniziale, ipotizzata pari al prezzo applicato nella prima settimana. Per eliminare anche lʼapprossimazione conseguente a questa assunzione, le prime 6 settimane sono servite solo per assestare il prezzo di riferimento ma non sono considerate nella calibrazione del modello.

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Il raggruppamento settimanale dei dati e questa nuova metodologia di calibrazione hanno fornito un notevolissimo miglioramento del fit del modello con i dati1 . Nonostante queste esperienze positive saranno riutilizzate per la calibrazione del modello “definitivo”, questi parametri non risultano ancora adeguati allʼanalisi che intendiamo condurre per via del valore negativo assunto dal parametro β3. Questo infatti condurrebbe a risultati assurdi nella successiva fase di ottimizzazione della dinamica dei prezzi.

1 vedi graf. 4.5.

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5. Considerazioni finali Osservando la politica adottata dal rivenditore, caratterizzata da frequenti variazioni di prezzo, pare evidente il tentativo di sfruttare i fenomeni legati alla psicologia del consumatore. La formalizzazione del modello di domanda e la sua ottimizzazione rappresentano il modo migliore di perfezionare questo processo. Lʼutilizzo di una regressione lineare multivariata per la calibrazione del modello e lʼintroduzione dei termini di trend e stagionalità ci ha permesso di ottenere un fit con i dati notevolmente maggiore di quanto ci attendessimo. Lo svolgimento della simulazione Monte Carlo ha però evidenziato come lʼottimizzazione di questo modello costituisca un miglioramento rispetto alla politica adottata dal rivenditore ma sia particolarmente sensibile ad errori nella stima dei parametri del modello. La qualità del processo di calibrazione costituisce quindi la maggiore criticità dellʼanalisi. 5.1. Idee per lo sviluppo dellʼanalisi Questo studio può costituire una base per ricerche future che potrebbero riguardare il miglioramento della soluzione elaborando un più efficiente algoritmo di ricerca, capace ad esempio di analizzare strategie estese nel tempo o lʼampliamento del modello stesso di domanda al fine di considerare i prodotti sostituiti e complementari, la concorrenza, le scorte, il magazzino o lʼeffetto di apprendimento del consumatore. Nellʼelaborato sono riportati numerosi suggerimenti per sviluppare in tal senso lʼanalisi1 .

1 vedi par. 2.3.

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6. Appendice • Valore atteso ηx = E(X) = ∑i xi ˙ pi

• Varianza σx2 = E[(x - ηx)2]

• Covarianza μxy = E[(x - ηx) ˙ (y - ηy)]

• Coefficiente di determinazione R2 R2 = ∑i=1...n [ŷi - E(yi)]2 / ∑i=1...n [yi - E(yi)]2

• Funzione di densità normale fx(x) = N (η, σ 2) = [σ ˙ √(2 ˙ π)]-1 ˙ exp [-(x - η)2 / (2 ˙ σ 2)]

• Funzione massimo max (a,b) = a

se a > b

max (a,b) = b

se a < b

min (a,b) = b

se a > b

min (a,b) = a

se a < b

• Funzione minimo

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