Test : similitudes directes (exercices avec indications)

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Similitudes directes : Exercices avec indications

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Similitudes directes : Exercices avec indications

1. Soit la similitude directe de centre O, de rapport 2 et d’angle

π . Déterminer l’image 2

de la droite d’équation y = 2x + 1. L’image d’une droite par une similitude est une droite. Plusieurs méthodes : • On peut calculer deux points A et B de la droite initiale, puis leurs transformés A0 et B 0 . La droite transformée est alors (A0 B 0 ) • On peut se contenter d’un point A et de son transformé A0 , et construire la droite qui passe par A0 qui fait l’angle voulu avec la droite initiale. • On peut calculer la formule de la similitude, l’appliquer à z = x + (2x + 1)i, puis chercher une relation y 0 = ax0 + b entre les coordonnées du transformé z 0 . Cela donnera l’équation de la droite transformée. π 2. Soit r la rotation de centre O et d’angle et soit h l’homothétie de centre A d’affixe i 2 et de rapport 2. Démontrer que h◦r est une similitude directe. Déterminer ses éléments. La composée de deux similitudes directes est une similitude directe. Son rapport est k1 × k2 et son angle est θ1 + θ2 . Avec ces éléments, on en déduit la nature de la composée. On détermine le centre en cherchant le point invariant grâce à la formule complexe. 3. Soit la transformation qui à tout z associe z 0 = −2iz + 1. Démontrer que l’image d’une droite D est une droite perpendiculaire à D. On calcule l’angle de la similitude. L’image d’une droite par une similitude est une droite qui fait avec la droite initiale l’angle de la similitude. 4. ABCD est un carré direct, I est le milieu de [AD]. Soit s la similitude directe de centre A qui transforme B en I et s0 la similitude directe de centre D qui transforme I en C. Déterminer la composée s0 ◦ s. On calcule le rapport et l’angle de chaque similitude, en utilisant les points de départ et les points d’arrivée. La composée de deux similitudes directes est une similitude directe. Son rapport est k1 × k2 et son angle est θ1 + θ2 . Avec ces éléments, on en déduit la nature de la composée, l’angle étant particulier. Ayant reconnu cette nature, on trouve le centre à l’aide d’un point et de son transformé (choisir un point dont on peut trouver facilement l’image par la composée)

5. T est la transformation définie par : z 0 = (1 − i)z + 2i. Quelle est la nature de T et quels sont les éléments géométriques qui la définissent ? On applique le cours, avec z 0 = az + b. Cette formule indique qu’il s’agit d’une similitude directe et donne le rapport, l’angle et le centre. 6. ABCD est un carré direct. Définir la similitude directe de centre A qui transforme B en C. Cette similitude existe et est unique d’après un théorème (A 6= B et A 6= C). On trouve le rapport et l’angle à l’aide des transformés de A et B. 7. ABC est un triangle rectangle en A, isocèle direct. ACD est un triangle rectangle en D, isocèle direct. Démontrer qu’il existe une similtude directe qui transforme ABC en ACD. Attention, il faut non seulement en proposer une, mais vérifier qu’elle convient. Difficulté : il faut d’abord examiner la forme et l’orientation des triangles pour savoir quel point doit être transformé en quel autre. Avec la conservation des angles orientés, il n’y a qu’une possibilité, et cela permet de repérer un point invariant. Le théorème affirmant l’existence et l’unicité d’une similitude directe ne s’applique qu’avec deux points. Mais ici il y a un troisième point . On ne peut donc pas se contenter d’invoquer le théorème. Méthode : soit s la similitude directe transformant ... en ... et ... en .... Elle existe et est unique d’après le théorème. On calcule son rapport k et son angle θ. On connaît déjà son centre, point invariant. Il faut ensuite vérifier que l’image du troisième point est bien celle qu’on attend, en calculant un rapport et un angle. 8. Soit T la transformation définie par z 0 = (1 + i)z − 3i. Quelle est la transformée de la droite d’équation y = 2x − 3 ? Voir les autres exercices analogues. 9. Machin du truc : prouver que le transformé de l’orthocentre d’un triangle par une similitude directe est l’orthocentre du triangle transformé (orthocentre : hauteurs). Transformation d’une droite en une droite, conservation des angles orientés, 10. SAA0 est isocèle en S. SAB est isocèle rectangle en A, direct. SA0 B 0 est isocèle rectangle en A0 , direct. Démontrer que (AA0 ) coupe [BB 0 ] en son milieu I. On nommera J le milieu de [AA0 ] Soit s telle que s(A) = B et s(A0 ) = B 0 . Alors s(J) = I, (SJ) ⊥ (AA0 )