On appelle cercle circonscrit à un triangle le cercle qui passe par les trois
sommets du triangle. Déf.2 (médiane) ... Cours de 4ème - Triangle rectangle et
cercle.
Cours de 4ème - Triangle rectangle et cercle
Triangle rectangle et cercle I Rappels ! Déf.1 (cercle circonscrit) On appelle cercle circonscrit à un triangle le cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Déf.2 (médiane) La médiane est une droite issue d’un sommet d’un triangle et qui coupe le côté opposé à ce sommet en son milieu Déf.3 (médiatrice) La médiatrice d’un segment est une droite qui coupe perpendiculairement un segment en son milieu. Propriété 1 Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point d’intersection des médiatrices des côtés du triangle.
II Propriétés du cercle circonscrit à un triangle rectangle Propriété 2 Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. ! A ! ! ! ! !
C
B
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I
Conséquence : Propriété 3 Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse. En effet, I est le centre du cercle, [BC] est un diamètre de ce cercle et [AI] est un rayon. Donc BC AI = 2
III Démontrer qu’un triangle est rectangle Propriété 4 (réciproque de la propriété 3) Si dans un triangle la longueur de la médiane issue d’un angle est égale à la moitié du côté qu’elle coupe alors le triangle est rectangle.
Propriété 5 Si on joint les extrémités d’un diamètre à un point du cercle alors le triangle obtenu est un triangle rectangle. A
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B!
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C
[BC] diamètre du cercle et A point du cercle. Donc d’après la propriété ci dessus, le triangle ABC est un triangle rectangle en A.
