TRIGONOMETRI XI IPA - WordPress.com

BAB III TRIGONOMETRI

Standar Kompetensi : Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya. Kompetensi Dasar : 1. Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus sudut tertentu. 2. Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus. 3. Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus. A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1. Rumus Sin ( α ± β ) Perhatikan gambar dibawah ini !

C

β α b

A

a

D

B

Sin α =

BD → BD = BC sin α = a sin α BC

cos α =

CD → CD = BC cos α = a cos α BC

sin β =

AD → AD = AC sin β = b sin β AC

cos β =

CD → CD = AC cos β = b cos β AC

Luas segitiga BCD =

1 1 . BC.CD. sin α = . a.b cos β . sin α 2 2

Luas segitiga ADC =

1 1 . AC.CD. sin β = .b. a cos α sin β 2 2

Matematikablogku.wordpress.com

1

Triginometri XI IPA SMA 2 Pwt

Luas segitiga ABC =

1 . a.b ( sin α .cos β + cos α sin β ) ……………….. (1) 2

Luas segitiga ABC =

1 1 .CB.CA sin ( α + β ) = .a.b sin ( α + β ) ………… (2) 2 2

Dari persamaan (1) dan (2) di dapat :

1 1 .a.b sin ( α + β ) = . a.b ( sin α .cos β + cos α sin β ) 2 2 sin ( α + β ) = sin α .cos β + cos α sin β Dengan mengingat hubungan (– α ) dan α yaitu : Sin (– α ) = – sin α Cos (– α ) = cos α Tan (– α ) = – tan α , maka : Sin ( α – β ) = sin ( α +(– β )) = sin α .cos(– β ) + cos α sin(– β ) = sin α .cos β – cos α sin β

Jadi,

sin ( α – β ) = sin α .cos β – cos α sin β

Contoh 1 : Tanpa kalkulator atau tabel, hitunglah nilai dari : a.

sin 15o.

b. sin 75o

Jawab : a. sin 75o = sin (45 + 30)o = sin 45o.cos 30o + cos 45o sin 30o =

1 1 1 1 2. 3 + 2. 2 2 2 2

=

1 1 6 + 2 4 4

=

1 ( 6 + 4

2)


2


b. sin 15o = sin (45 – 30)o = sin 45o.cos 30o – cos 45o sin 30o =

1 1 1 1 2. 3 – 2. 2 2 2 2

=

1 1 6 – 2 4 4

=

1 ( 6 – 4

2)

Latihan 1. 1. Jabarkan tiap bentuk berikut ini ! a. sin ( ao + bo) b. sin ( x + y) c. sin ( 2x + y)

d. sin (ao – bo) e. sin (3a – 3b) f. sin (4p – 3q)

1 1 a + b) 2 2

g. sin( 12 a– 12 b)

d. sin (

2. Sederhanakan bentuk dibawah ini ! a. sin 37ocos 23o + cos 37o sin 23o b. sin 75o cos 15o + cos 75o sin 15o c. sin 130o cos 15o + cos 130osin 15o d. sin 110o cos 50o – cos 110o sin 50o e. sin2a cos a – cos 2a sin a f. sin 8a cos 3a – cos 8a sin 3a 3. Buktikan bahwa : a. sin (90o – α o ) = cos α o b. sin (180o – α o ) = sin α o c. sin (180o + α o ) = –sin α o d. sin (270o + α o ) = – cos α o e. sin (360o – α o ) = – sin α o 4. Hitunglah tanpa menggunakan tabel atau kalkulator ! a. sin 165o d. sin 195o o b. sin (–15 ) e. sin 255o o c. sin 105 f. sin (–75o)

3 8 dan cos β = , ∠α lancip dan ∠β tumpul. Hitunglah nilai : 5 17 a. sin ( α + β ) b. sin( α – β ) 4 12 6. Jika α dan β adalah sudut – sudut lancip, dengan sin α = dan sin β = , hitunglah : 5 13 5. Diketahui sin α =

a. sin ( α + β )

b. sin( α – β )

7. Buktikan bahwa : a. b.

sin(α + β ) = tan α + tan β cos α cos β sin(α − β ) = tan α – tan β cos α cos β


3


c. d.

sin( a + b) tan a + tan b = sin( a − b) tan a − tan b sin( a + b) tan a + tan b = sin a sin b tan a. tan b

8. Jika sin α =

4 7 , sin β = ( α dan β sudut lancip). Hitunglah : 5 25

a. sin ( α + β )

b. sin( α – β )

9. Hitunglah niali dari sin 105o – sin 15o ! 10. Hitunglah nilai dari sin2 195o! 11. Diketahui sin (a– b) =

1 7 dan sin a cos b = , hitunglah : 5 25

a. cos a sin b b.

tan a tan b

12. Jika sin ( α + 30) = sin α , buktikan bahwa tan α = 2 +

3 !

13. Buktikan : sin ( α + β ) sin( α – β ) = sin2 α – sin 2 β

1 2 3 , sin (a + b) = , dan sin ( a – b) = . Hitunglah nilai tan b. 2 3 5 2 4 15. Buktikan bahwa : sin α + sin ( α + 3 π ) + sin ( α + 3 π ) = 0 14. Diketahui sin a =

2. Rumus Cos ( α ± β ) Dengan mengingat hubungan antara (90 – α ) dan α yaitu : Sin (90 – α ) = cos α Cos (90 – α ) = sin α Tan (90 – α ) = tan α , maka : Cos ( α + β ) = sin { ( 90o – ( α + β )} = sin {(90 – α ) – β } = sin (90o – α ) cos β – cos (90o – α ) sin β = cos α .cos β – sin α sin β

Jadi,

Cos( α + β ) = cos α .cos β – sin α sin β


4


Dengan mengingat hubungan (– α ) dan α yaitu : Sin (– α ) = – sin α Cos (– α ) = cos α , maka : Cos ( α – β ) = cos ( α +(– β )) = cos α .cos(– β ) – sin α sin(– β ) = cos α .cos β + sin α sin β Jadi,

Cos( α – β ) = cos α .cos β + sin α sin β Contoh : 2 Hitunglah nilai cos 15o tanpa menggunakan tabel dan kalkulator!

Jawab : Cos 15o = cos(45o – 30o) = cos 45o cos 30o + sin45o sin 30o =

1 1 1 1 2. 3 + 2. 2 2 2 2

=

1 1 6 + 2 4 4

=

1 ( 6 + 2) 4

Contoh : 3 Diketahui sin A =

3 7 3 dan sin B = . Sudut-sudut A dan B lancip. Tunjukkan bahwa cos(A+B) = 5 25 5

Jawab :

5

3

25

A

B

4

Sin A =

3 4 → cos A = 5 5

Sin B =

7 24 → cos B = 25 25


7

24

5


cos (A + B ) = cos A cos B – sin A sin B =

4 24 3 7 . – . 5 25 5 25

=

96 21 – 125 125

=

75 125

=

3 5

Latihan 2. 1. Jabarkan tiap bentuk berikut ini ! a. cos ( ao + bo) b. cos ( x + y) c. cos ( 2x + y)

d. cos (ao – bo) e. cos (3a – 3b) f. cos (4p – 3q)

1 1 a + b) 2 2

g. cos ( 12 a– 12 b)

d. cos (

2. Sederhanakan bentuk dibawah ini ! a. cos 37ocos 23o + sin 37o sin 23o b. cos 75o cos 15o + sin 75o sin 15o c. cos 130o cos 15o + sin 130osin 15o d. cos 110o cos 50o – sin 110o sin 50o e. cos 2a cos a – sin 2a sin a f. cos 8a cos 3a – sin 8a sin 3a 3. Buktikan bahwa : a. cos (90o – α o ) = sin α o b. cos (180o – α o ) = – cos α o c. cos (180o + α o ) = – cos α o d. cos (270o + α o ) = sin α o e. cos (360o – α o ) = cos α o 4. Hitunglah tanpa menggunakan tabel atau kalkulator ! a. cos 165o b. cos (–15o) c. cos 105o 5. a) Diketahui sin α = (i) . cos ( α + β )

d. cos 195o e. cos 255o f. cos (–75o)

3 8 dan cos β = , ∠α lancip dan ∠β tumpul. Hitunglah nilai : 5 17 (ii). cos ( α – β )

4 5 dan tan β = 5 12 4 12 6. Jika α dan β adalah sudut – sudut lancip, dengan sin α = dan sin β = , hitunglah : 5 13 b) Ulangi pertanyaan- pertanyaan a) , jika cos α =

a. cos ( α + β )


b. cos( α – β )

6


7. Buktikan bahwa : a) cos( α + β ) . cos( α b) cos( α + β ) . cos( α c) cos( α + β ) . cos( α d) cos( α + β ) . cos( α

– β ) = 1 – ( sin2 α + sin2 β ). – β ) = (cos2 α + cos2 β ) – 1 – β )= cos2 α – sin2 β ) – β )= cos2 β – sin2 α )

8. Buktikan bahwa : a) cos α + cos ( α +

2 4 π ) + cos( α + π ) = 0 ! 3 3

b) cos x – cos(x – 120)o – cos(x – 240)o = 2 cos xo.

9. Diketahui : 2 cos ( α + β ) = cos( α – β ). Buktikan bahwa tan α tan β =

1 ! 3

3 1 dan tan β = dengan α dan β sudut lancip. 4 7 1 Buktikan bahwa cos ( α + β ) = 2! 2 π 11. Diketahui cos (x + ) = cos x , hitunglah nilai : 3

10. Diketahui : tan α =

a) tan x b) cos x c) sin x 12. Diketahui : p = cos α – cos β dan q = sin α – sin β . Tunjukkan bahwa p2 + q2 = 2 – 2 cos( α – β ) 13. Diketahui persamaan w cos(x – 45o) + F cos(x + 45o) = 0 Buktikan bahwa : F=

w(tan x + 1) tan x1

14. Buktikan :

cos(α + β ) + cos(α − β ) = cotan α sin(α + β ) + sin(α − β )

15. Pada segitiga ABC lancip dengan sudut α , β dan γ berlaku sin α = cos γ .

3 1 dan cos β = , tentukan nilai 5 2

3. Rumus Tan ( α ± β )

tan ( α + β ) =

=

sin(α + β ) cos(α + β ) sin α cos β + cos α sin β ( Pembilang dan penyebut kita bagi cos α cos β ) cos α cos β − sin α sin β


7


sin α cos β cos α sin β + cos α cos β cos α cos β = cos α cos β sin α sin β − cos α cos β cos α cos β tan α + tan β 1 − tan α tan β

=

Jadi ,

tan ( α + β ) =

tan α + tan β 1 − tan α tan β

Demikian juga untuk tan ( α - β )

sin(α − β ) cos(α − β )

tan ( α - β )

=

sin α cos β − cos α sin β ( Pembilang dan penyebut kita bagi cos α cos β ) cos α cos β + sin α sin β

sin α cos β cos α sin β − cos α cos β cos α cos β = cos α cos β sin α sin β + cos α cos β cos α cos β =

tan α − tan β 1 + tan α tan β

Jadi ,

tan ( α – β ) =

tan α − tan β 1 + tan α tan β

Contoh : 4 Hitunglah tanpa menggunakan tabel atau kalkulator : a.

tan 15o

b. tan 75o Jawab : a. tan 15o = tan (45o – 30o) =

tan 45 o − tan 30 o 1 + tan 45 o tan 30 o


8


3− 3 1 3 3 3 = = 1 3+ 3 1 + 1. 3 3 3 1−

=

=

3− 3 3+ 3

×

3− 3 3− 3

9−6 3+3 9−3

= 2–

3

b. tan 75o = tan (45 + 30)o

tan 45 o + tan 30 o = = 1 − tan 45 o tan 30 o 3+ 3 3 = 3− 3 3 =

=

3+ 3 3− 3

×

1 3 3 1 1 − 1. 3 3 1+

3+ 3 3+ 3

9+6 3 +3 9−3

= 2+

3

Contoh : 5 Diketahui tan a = 0,75 , tan b = 2,4 , a dan b sudut lancip. Hitunglah nilai : a. tan (a – b) b. tan (a + b)

Jawab : a. tan(a – b) =

=

b. tan (a + b) =

=

tan a − tan b 0,75 − 2,4 = 1 + tan a. tan b 1 + 0,75.2,4 − 1,65 − 1,65 33 = =– 1 + 1,8 2,8 56 tan a + tan b 0,75 + 2,4 = 1 − tan a. tan b 1 − 0,75.2,4 315 63 3,15 3,15 = =– =– 1 − 1,8 − 0,8 80 16


9


Latihan 3

1. Jabarkan tiap bentuk berikut ini ! a. tan ( ao + bo) b. tan ( x + y) c. tan ( 2x + y)

d. tan (ao – bo) e. tan (3a – 3b) f. tan (4p – 3q)

1 1 a + b) 2 2

g. tan ( 12 a– 12 b)

d. tan (

2. Hitunglah tanpa menggunakan tabel atau kalkulator: a. tan 15o b. tan (–15o) c. tan 105o

d. tan 195o e. tan 255o f. tan (–75o)

3. Jika diketahui tan α = 2 dan tan β = a. tan ( α + β )

3 , hitunglah : b. tan ( α – β )

4. Jika α dan β sudut- sudut lancip, tan α = 5. a) Diketahui sin α = (i) . tan ( α + β )

5 1 1 dan tan β = , buktikan bahwa α + β = π . 6 11 4

3 8 dan cos β = , ∠α lancip dan ∠β tumpul. Hitunglah nilai : 5 17 (ii). tan ( α – β )

4 5 b) Ulangi pertanyaan- pertanyaan a) , jika cos α = dan tan β = 5 12 6. Jika tan 20o = p , hitunglah

tan 40 o + tan 25 o ! 1 − tan 40 o tan 25 o

1 4

7. Buktikan bahwa : tan ( π + α ) = 8. Jika tan α =

cos α + sin α ! cos α − sin α

1 1 dan tan β = , buktikan bahwa tan ( α + β ) = 1. Hitunglah nilai tan ( α – β )! 2 3 6

9. Dalam segitiga ABC diketahui cos C =

dan tan A tan B = 4. Hitunglah :

61 a. tan (A + B)

tan( 10. Jika

tan(

π 4

π

4

b. tan A + tan B

− A) =

+ A)

1 1 , tunjukkan bahwa : tan A = atau tan A = 3. 4 3


10


Tes Formatif 1 Pilihlah jawaban yang tepat ! 1. Nilai sin 110o = …. a. sin 20o b. cos 20o c. sin 10o

d. cos 10o e. cos 70o

2. Nilai dari tan 345o = …

3 b. 2 + 3 c. 3 –2

d. 2 3 + 2

a. 2 –

e. 2 3 – 2

3. Jika tan α = 3 tan β , maka tan ( α – β ) adalah … a. b. c.

4 tan β 1 − 3 tan 2 β 2 tan β 1 + 2 tan 2 β 4 tan α 1 − 3 tan 2 α

d. e.

4. Dalam segitiga lancip ABC diketahui sin C =

2

2 tan β sec β + 2 tan 2 β 2 tan α 1 − 3 tan 2 α 2

. Jika tan A tan B = 13 , maka tan A + tan B = …

13 (UMPTN 2001) a. –18 b. – 8 c.

d. 8 e. 18

20 3

5. Diketahui cos(A–B) = a. –3

8 2 dan cosAcosB = . Nilai tan A tan B = … 9 3 1 d. 3

1 3 1 4

b. – c.

6. Jika sin α =

e. 3

4 12 dan cos β = – , dengan α sudut tumpul dan β sudut dikuadran III, maka nilai cos 5 13

( α – β ) adalah ….

24 65 16 65 96 65

96 65 3 e. – 13

a. – b. c.


d. –

11


7. Diketahui segitiga PQR siku-siku di Q. Jika sin(Q+P) = r, maka cos P – sin R = … (UMPTN 2001) a. –2r d. r b. –r e. 2r c. 0 8. Diketahui A dan B dikuadran II, sin A =

33 65 16 65 33 65

a. – b. c.

4 5 dan cos B = – , maka nilai cos(A–B) = … 5 13 56 d. 65 63 e. 65

9. Bila besar sudut dalam segitiga ABC adalah 180o, diketahui sin B =

3 12 dan sin C = , maka nilai sin A 5 13

adalah …

33 65 16 65 33 65

a. –

d.

b.

e.

c.

56 65 63 65

10. Pada segitiga ABC diketahui A – B = 30o dan sin A. cos B = 0,7. Nilai sin C = … a. 0,3 d. 0,8 b. 0,4 e. 0,9 c. 0,6

B. RUMUS – RUMUS SUDUT RANGKAP 1. Dari rumus sin ( α + β ) = sin α .cos β + cos α sin β Jika β diganti dengan α maka didapat : sin ( α + α ) = sin α .cos α + cos α sin α sin 2 α = 2 sin α .cos α Jadi , sin 2 α = 2 sin α .cos α 2. Dari rumus cos( α + β ) = cos α .cos β – sin α sin β Jika β diganti dengan α maka didapat : cos( α + α ) = cos α .cos α – sin α sin α cos 2 α = cos2 α – sin2 α


12


Jadi , cos 2 α = cos2 α – sin2 α Dari sin2 α + cos2 α = 1 → cos2 α = 1 – sin2 α maka didapat pula : cos 2 α = 1 – sin2 α – sin2 α = 1 – 2 sin2 α Jadi,

cos 2 α = 1 – 2 sin2 α

atau

⇔

sin2 α =

1 (1 – cos 2 α ) 2

sin α = ±

1 2

1 (1 – cos α ) 2

1

sin2 2 α =

⇔

sin

1 2

(1 − cos 2α )

α =±

1 2

(1 − cos α )

Dari sin2 α + cos2 α = 1 → sin2 α = 1 – cos2 α maka didapat pula cos 2 α = cos2 α – sin2 α = cos2 α – (1 – cos2 α ) = 2 cos2 α – 1 Jadi,

cos 2 α = 2 cos2 α – 1

atau

⇔

cos2 α =

1 (1 + cos 2 α ) 2

cos α = ±

1

cos2 2 α =

⇔


13

cos

1 2

1 2

(1 + cos 2α )

1 (1 + cos α ) 2

α =±

1 2

(1 + cos α )


3. Dari Rumus Tan ( α + β ) =

tan α + tan β 1 − tan α tan β

Jika β diganti dengan α maka didapat :

tan α + tan α 1 − tan α tan α

Tan ( α + α ) =

Tan 2 α =

2 tan α 1 − tan 2 α

atau

tan α =

2 tan 12 α 1 − tan 2 12 α

Contoh : 6 Diketahui sin a =

4 dan a sudut lancip , tentukan : 5

a. sin 2a

b. cos 2a

c. tan 2a

Jawab : Sin a =

4 3 4 , berarti cos a = dan tan a = 5 5 3 5

4

a 3

4 3 24 . = 5 5 25

a.

sin 2a = 2 sin a cos a = 2.

b.

cos 2a = co2a – sin2a = ( )2 – (

c.

4 8 8 2( ) 2 tan a 3 = 3 = 3 = – 24 tan 2a = = 2 4 16 7 7 1 − tan a 1 − ( )2 1 − − 3 9 9

3 5

4 2 7 ) =– 5 25

Contoh : 7 Jika tan a = p dan a sudut lancip. Tentukan nilai : a.

sin 2a

b.

cos 2a

c.

tan 2a


14


Jawab :

p2 +1

p

a 1

p

Dengan demikian didapat nilai sin a = a.

dan cos a =

1 p2 +1

sin 2a = 2 sina cos a

p

=2

p2 +1

.

b. cos 2a = co2a – sin2a =

c.

p +1 2

tan 2a =

1 p2 +1

=

2p p2 +1

1 p2 1− p2 – = p2 +1 p2 +1 1+ p2

2 tan a 2. p = 2 1 − tan a 1 − p 2

Latihan 4 1. Gunakan rumus trigonometri sudut ganda untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri yang diberikan berikut ini ! c. tan 60o a. sin 60o o b. cos 120 d. sin 240o 2. Diketahui sin α = a. sin 2 α

12 ( α sudut lancip) , hitung : 13 b. cos 2 α

c. tan 2 α

3. Sederhanakan dengan rumus, kemudian hitunglah nilainya ! a. 2 sin22 12 o cos 22 12 o e. sin215o – cos215o b. 4 sin 15o cos 15o c. cos2 30o – sin2 30o d. 2 cos260o – 1 4. Jika tan α = a. tan 2 α 5. Diketahui tan a. tan x

f.

1 – 2 sin267 12

1 1 dan tan β = ( α dan β sudut lancip), hitunglah : 4 6

c. tan (2 α + β )

b. tan 2 β

1 2

x = a, hitung : b. cos x

c. tan x

o

d. tan ( α +2 β )

d. tan 2x

6. Buktikan identitas berikut ini ! a. (sin a + sin a)2 = 1 + sin 2a b. (2 cos a –1)(2cos a + 1) = 2 cos 2a + 1


15


sin 2a = tan a 1 + cos 2a 1 + sin 2a d. tan(a + 45)o = cos 2a 2 tan x e. = sin 2x 1 + tan 2 x c.

7. Nyatakanlah : a. sin 3a dalam sin a b. cos 3a dalam cos a

d. tan 3a dalam tan a e. cotg 3a dalam cotg a

8. a. Diketahui sin a = 0,8 ( a sudut lancip) , hitunglah sin 3a dan cos 3a b. Diketahui cotan a = 2 ( a sudut lancip), hitunglah tan 3a dan cotan 3a ! 9. Hitunglah tanpa daftar tabel atau kalkulator! a. tan 22 12 b. tan 52 12 c. tan 82 12 10. Jika sin x + cos x = p maka hitunglah a. sin2x + cos2x b. sin3x + cos3x 11. Jika x = a tan α dan y = a tan 2 α , buktikan y(a2 – x2) = 2a2x !

1 π dan < a < π , hitunglah nilai dari : 2 2

12. Jika tan a = – a. sin 4a

b. cos 4a

c. tan 4a

7 dan α sudut tumpul, hitunglah nilai dari : 13. Jika cos 2 α = – 9

a. cos α b. sin α 14. Hitunglah nilai positif tan α jika : a. tan 2 α =

4 3

b. tan 2 α =

15. a. Tunjukkan bahwa sin ( b. Hitunglah tan (

π 8

π 8

)=

c. tan α

24 7

1 2− 2 2

).

PENDALAMAN KONSEP 1. Buktikanlah :

2. Jika cos(x –

π 4

2 sin x − sin 2 x = tan2 12 2 sin x + sin 2 x ) = 2 cos(x +

π 4

), tentukan nilai :

a. tan x b. sin x c. cos x


d. tan 2x e. sin 2x f.. cos 2x

16


3. Hitunglah tanpa menggunakan tabel atau kalkulator! a. cos 56o + sin 56o tan 28o b. sin 18o sin 54o c. cos 70o + sin 70o tan 35o 4. Buktikan :

1 − cos 2a = tan a sin 2a

5. Buktikan : sin a =

2 tan 12 a 1 + tan 2 12 a

Tes Formatif 2 Pilihlah jawaban yang tepat ! 1. Bentuk cos 8x + 1 ekuivalen dengan bentuk … (Ebtanas 2000) a. – 2 sin24x d. 2 cos216x 2 b. 2 sin 4x e. 2 cos24x 2 c. 2 sin 16x 2. Bentuk cos 6x ekuivalen dengan …. a. 2 sin23x – 1 b. 1 – 2 sin23x c. 1 – 2 cos23x

d. sin23x – cos23x e. 6 cos2x – 1

3. Nilai cos215o – sin215o adalah …. a. b. c.

1 2 1 2 2 1 3 2

4. Jika cos A = a. b. c.

e. 1

12 dan A sudut lancip, maka tan 2A adalah … 13

120 119 119 119 119 120

5. Bila sin x – cos x = a. – b.

d. e.

169 119 169 120

1 , maka sin 2x adalah …. 2

3 4

1 4 1 e. – 4 d.

3 4

c. –

2

d.

1 2


17


1 2

6. Jika α sudut lancip dan sin α =

x −1 maka tan α = … 2x

a.

x2 −1 x

d.

b.

x −1 x

e. x

c.

x2 −1

7. Diketahui cotan y = a. b. c.

29 20 20 29 2

1 x

5 dan y sudut lancip. Nilai sin 2y adalah … 2 5 d. e.

29 2 29

29 8. Jika a. b. c.

cos θ π θ = a untuk θ ≠ maka tan =… 1 − sin θ 2 2 1 a +1 a a +1 a +1 a −1

9. Diketahui

15 8 15 b. – 16 6 c. 5

a. –

d. e.

a −1 a +1 a a −1

2 7 cos( x + y ) =– dan tan y = . Nilai tan 2x adalah … (UAN 2002) cos( x − y ) 5 5 10 d. 3 98 e. 15

10. Jika a sudut lancip yang memenuhi 2 cos2a = 1 + 2 sin 2a, maka tan a = … (UMPTN 2001) b. 2 +

5 3

c. 2 –

3

a. 2 +


d. e.

18

5 –2 3 –1


C. RUMUS – RUMUS UNTUK ( SIN A ± SIN B) DAN (COS A ± SIN B) Dari rumus : sin ( α + β ) = sin α .cos β + cos α sin β

…………………… (1)


………………….... (2) +

sin ( α + β ) + sin ( α – β ) = 2 sin α .cos β ……………………. (3) sin ( α + β ) = sin α .cos β + cos α sin β

…………………… (1)


………………….... (2) –

sin ( α + β ) – sin ( α – β ) = 2 cos α .sin β ……………………. (4)

Jika :

α +β = P

α +β = P

α –β = Q

α –β = Q +

–

2α = P + Q

α =

2β = P – Q

1 ( P + Q) 2

β =

1 ( P − Q) 2

Maka bentuk persamaan (3) dan (4) menjadi :

Sin P + sin Q = 2 sin

1 1 ( P + Q) cos ( P − Q) 2 2

Sin P – sin Q = 2 cos

1 1 ( P + Q) sin ( P − Q) 2 2

Demikian pula dari rumus : cos( α + β ) = cos α .cos β – sin α sin β

……………………. (1)

cos( α – β ) = cos α .cos β + sin α sin β …………………….. (2) + cos( α + β ) + cos( α – β ) = 2 cos α .cos β …………………. (3)


19


cos( α + β ) = cos α .cos β – sin α sin β

……………………. (1)

cos( α – β ) = cos α .cos β + sin α sin β …………………….. (2) – cos( α + β ) – cos( α – β ) = –2 sin α .sin β …………………. (4)

Jika :

α +β = P

α +β = P

α –β = Q

α –β = Q +

–

2α = P + Q

α =

2β = P – Q

1 ( P + Q) 2

β =

1 ( P − Q) 2

Maka bentuk persamaan (3) dan (4) menjadi :

cos P + cos Q = 2 cos

1 1 ( P + Q) cos ( P − Q) 2 2

cos P – cos Q = – 2 sin

1 1 ( P + Q) sin ( P − Q) 2 2

Jadi, untuk rumus ( sin P ± sin Q ) dan ( cos P ± cos Q ) diperoleh :

1. sin P + sin Q = 2 sin

1 1 ( P + Q) cos ( P − Q) 2 2

2. sin P – sin Q = 2 cos

1 1 ( P + Q) sin ( P − Q) 2 2

3. cos P + cos Q = 2 cos

1 1 ( P + Q) cos ( P − Q) 2 2

4. cos P – cos Q = – 2 sin


1 1 ( P + Q) sin ( P − Q) 2 2

20


Contoh :8 Nyatakan bentuk sin 8x + sin 4x dalam bentuk perkalian.

Jawab : 1 2

sin 8x + sin 4x = 2 sin

(8 x + 4 x) cos 12 (8 x − 4 x) 1 2

= 2 sin

(12 x) cos 12 (4 x)

= 2 sin 6x cos 2x

Contoh : 9 Hitunglah bentuk : cos 105o – cos 15o

Jawab : cos 105o – cos 15o = – 2 sin

1 2

= – 2 sin

(105o+15o) sin 12 (105o–15o) 1 2

(120o) sin 12 (90o)

= – 2 sin 60o sin 45o =–2( =–

1 1 3 )( 2) 2 2

1 6 2

Contoh : 10 Hitunglah cos 195o + cos 105o . Jawab : cos 195o + cos 105o = 2 cos

1 1 (195 o + 105 o ) cos (195 o − 105 o ) 2 2

= 2 cos 150o cos 45o = 2( =

1 1 3 ).( 2) 2 2

1 6 2


21


Latihan 5 1. Hitunglah tanpa menggunakan tabel dan kalkulator ! a. cos 105o – cos 15o b. sin 75o + sin 15o c. sin 105o – sin 15o d. e.

cos 75 o sin 75 o cos 75 o sin 75 o

+ cos 15 o − sin 15 o − cos 15 o + sin 15 o

2. Nyatakan bentuk berikut- bentuk dalam bentuk perkalian. a. sin x + sin y b. sin 5x + sin x c. sin 6x – sin 4x d. cos a + cos b e. cos 9a – cos 7a f. cos a + cos 2a + cos 3a 3. Jika x = sin 3p + sin p dan y = cos 3p + cos p , buktikan bahwa : a. x + y = 2 cos p ( sin 2p + cos 2p) b. x2 + y2 = 2 + 2 cos 2x c.

x = tan 2a y

4. Buktikan identitas berikut! a. b. c. d.

sin 6 x + sin 2 x = tan 4x cos 6 x + cos 2 x sin 7 a − sin 5a = tan a cos 7 a + cos 5a sin x + sin 3x = tan 2x cos x + cos 3x sin 3 p − sin p = – cotan 2p cos 3 p + cos p

5. Hitunglah : a. b.

sin 81o + sin 21o sin 69 o + sin 171o sin 46 o − sin 14 o cos 76 o + cos 44 o

6. Tunjukkan bahwa : a. sin 45o – sin 15o =

3 sin 15o

b. sin 110o + sin 10o =

3 cos 50o 2 sin 20o

c. sin 65o – sin 25o = d. cos 80o + cos 40o = cos 20o 7. Jika sin α =

3 dengan α di kuadran I , tentukan nilai sin 3 α + sin α . 5


22


8. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini untuk 0o ≤ x ≤ 360o. a. sin x + sin(x–60o) =

1 3 2

b. cos(x+90o) + cos(x–30o) = –

1 2

c. cos(2x + 90o) – cos(2x–90o) = 1 9. Diketahui sin α cos α =

10. Buktikan :

8 1 1 . Hitunglah nilai – . 25 sin α cos α

sin 6a + sin 2a − sin 4a = tan 4a cos 6a + cos 2a − cos 4a

11. Buktikan bahwa :

sin( x + y ) cos x. cos y sin( x − y ) b. tan x – tan y = cos x. cos y a. tan x + tan y =

D. RUMUS-RUMUS PERKALIAN SINUS DAN COSINUS 1. Dari rumus : sin ( α + β ) = sin α .cos β + cos α sin β sin ( α – β ) = sin α .cos β – cos α sin β + sin ( α + β ) + sin ( α – β ) = 2 sin α .cos β

2 sin α .cos β = sin ( α + β ) + sin ( α – β )

Jadi,

2. Dari rumus : sin ( α + β ) = sin α .cos β + cos α sin β sin ( α – β ) = sin α .cos β – cos α sin β – sin ( α + β ) – sin ( α – β ) = 2 cos α .sin β

Jadi,

2 cos α .sin β

= sin ( α + β ) – sin ( α – β )


23


3. Dari rumus : cos( α + β ) = cos α .cos β – sin α sin β cos( α – β ) = cos α .cos β + sin α sin β + cos( α + β ) + cos( α – β ) = 2 cos α .cos β 2 cos α .cos β = cos( α + β ) + cos( α – β )

Jadi,

4. Dari rumus : cos( α + β ) = cos α .cos β – sin α sin β cos( α – β ) = cos α .cos β + sin α sin β – cos( α + β ) – cos( α – β ) = –2 sin α .sin β Jadi, –2 sin α .sin β = cos( α + β ) – cos( α – β )

atau

2 sin α .sin β = cos( α – β ) – cos( α + β )

Contoh : 11 Nyatakan tiap bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih sinus atau kosinus! a.

2 sin 3a cos a

b. 4 cos 3x sin y c.

4 cos(x+y)cos(x-y)

d. Sin40o sin 10o

Jawab : a. 2 sin 3a cos a = sin(3a+a) + sin (3a–a) = sin 4a + sin 2a b. 4 cos 3x sin y = 2[2 cos 3x sin y] = 2[sin(3x+y) – sin(3x–y)] c. 4 cos(x+y)cos(x-y) = 2[2 cos(x+y) cos(x–y)] = 2[ cos(x+y+x–y) + cos(x+y–x+y)] = 2(cos 2x + cos 2y)


24


d. Sin40o sin 10o = – = – =–

1 (-2 sin40o sin 10o) 2 1 ( cos (40o+10o) – cos(40o–10o)) 2

1 ( cos 50o – cos 30o) 2

Contoh 12. Hitunglah : a. 2 cos 75o cos 15o b. 4 cos 105o sin 75o c. cos 105o sin 15o d. 2 sin 195o sin 15o

Jawab : a. 2 cos 75o cos 15o = cos (75 + 15)o + cos(75 – 15)o = cos 90o + cos 60o = 0+ =

1 2

1 2

b. 4 cos 105o sin 75o = 2[2 cos 105o sin 75o] = 2[ sin (105o+75o) – sin(105o–75o)] = 2( sin 180o – sin 30O) =2(0–

1 ) 2

= –1 c. cos 105o sin 15o =

d.

1 [2 cos 105o sin 15o] 2

=

1 [cos (105o + 15o) + cos (105o – 15o)] 2

=

1 [cos 120o + cos 90o] 2

=

1 1 1 (– + 0) = – 4 2 2

2 sin 195o sin 15o = – [ cos (195o + 15o) – cos (195o – 15o)] = – ( cos 210o – cos 180o) = – (–

1 1 3 + 1) = 3 –1 2 2


25


Latihan 5. 1. Nyatakan tiap bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih sinus atau kosinus! a. 2 sin5x cos 3x b. 4 cos 80o sin 20o c. cos (a + b) cos (a – b) d. sin 5x sin x 2. Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator hitunglah nilai dari bentuk berikut ini! a. 2 cos 75o sin 15o b. 4 sin 105o cos 15o c. cos 195o cos 75o d. 2 sin 105o sin 75o e. 2 cos 45o cos 15o f.

o

o

8 sin 37 12 cos7 12 o

o

g. 2 sin 52 12 cos7 12 3. Diketahui ( α + β ) =

π 2

, sin α cos β =

4. Tunjukkan bahwa : a. 2 sin( α + b. 2 sin (

π 4

π

3

) cos( α –

+ α ) cos(

π 4

π 3

)=

2 , dan sin( α – β ) = 3p. Hitunglah nilai p. 3

1 3 + sin 2 α 2

– α ) = 1 + sin 2 α

1 3 + sin 2xo 2 1 d. 2 cos(xo + 105o) sin(xo+75o) = –( + sin2xo) 2

c. 2 cos (xo + 30o) sin(xo–30o) = –

5. a. Tunjukkan bahwa 2 sin x cos(x+ π6 ) = sin(2x+ π6 ) –

1 2

b. Berdasarkan hasil a) , tunjukkan bahwa 2 sin x cos(x+ π6 ) mempunyai nilai maksimum minimum –

1 . 2

6. Diketahui α dan β sudut lancip, sin( α – β ) = a) Hitunglah sin ( α + β ) b) Nyatakan

1 dan nilai 2

1 1 3 , dan sin α cos β = . 2 2

sin(α + β ) dam bentuk yang paling sederhana. sin(α − β )

7. Diketahui (x+y) =

π 6

8. Diketahui ( α + β ) =

dan cos x cos y =

π 3

3 . Hitunglah cos(x – y). 4

dan cos α cos β =

3 . Tentukan nilai cos( α – β ). 4

9. Diketahui f(x) = 3,5 + 2 cos x cos(x – 60o). Tentukan nilai minimum dan maksimum f(x).


26


10. Jika A–B = 30o dan sin A cos B =

2 , maka tentukan nilai sin(A + B). 3

UJI KOMPETENSI SISWA A. Plilihlah salah satu jawaban yang paling tepat . 1. Fungsi f(x) = sin (x + 60o) dapat diubah menjadi f(x) = a cos x + b sin x untuk setiap nilai x, jika nilai a dan b berturut-turut ….

1 1 dan 2 2 1 1 b. – dan 2 2 1 c. 3 dan 2 a.

1 1 dan – 3 2 2 1 1 e. – 3 dan – 2 2

3

d.

3 1 2

2. Jika α dan β sudut lancip , sin α = a. b. c.

3 5 5 3 3 4

3 7 dan sin β = maka cos ( α + β ) = … 5 25 4 d. 5 5 e. 4

3. Nilai dari cos 105o = …

1 (2 – 2 ) 4 1 b. – ( 6 − 2 ) 4 1 c. (6 – 2 ) 4

1 (4 – 2 ) 4 1 e. – ( 6 – 2) 4

a.

4. Diketahui sin α = a. b. c.

16 63 11 15 33 56

d.

3 12 dan cos β = dimana α dan β sudut lancip. Nilai dari tan ( α – β )= … 5 13 56 d. 45 63 e. 45

5. Jika (1 + tan α ) (1 + tan β ) = 2 , maka nilai tan( α + β ) = … a. b.

1 4 1 2

d. 2 e. 4

c. 1


27


6. Jika 4 cos(x–y) = cos(x+y), maka nilai tanx tany = … a. b. c.

1 4 3 5 5 3

3 5 5 e. – 3

d. –

7. Nilai dari cos 15o – sin 15o adalah …

1 6 2 1 b. – 2 2 1 c. 2 2 a. –

d. e.

1 ( 6− 2) 4 1 6 2

8. Pada segitiga ABC dengan sudut-sudutnya α , β , dan γ berlaku tan α = 2 dan tan β = 1. Nilai dari tan γ = … a. 3 d. 6 b. 4 e. 7 c. 5 9. Jika α adalah sudut tumpul dengan sin α = ( α – β ) = ….

5 4 dan β adalah sudut lancip dengan tan β = , maka cos 13 3

16 65 56 b. 65 63 c. – 65

56 65 16 e. – 65

a.

d. –

10. Bentuk sederhana dari a. cos α cos β b. – cos α cos β c. – sin α sin β 11. Jika cos(A+B) = a. b. c.

7 20 7 15 8 15

sin(α − β ) adalah …. tan α − tan β

d. sin α sin β e. cos ( α – β )

2 3 dan cos A cos B = , maka nilai tanA tan B = … 5 4 5 d. 9 3 e. 5


28


12. Diketahui p + q = a. b. c.

π 4

dengan tan p =

3 . Nilai dari tan q = … 7

2 5 3 8 7 20

13. Nilai dari a. –

d. e.

3 10 1 4

sin 75 o cos 15 o − cos 75 o sin 15 o adalah …. sin 75 o sin 15 o − cos 75 o cos 15 o

1 6 2

d. 1

b. – 1

e.

1 6 2

d.

1 3 2

e.

3

c. 0

14. Nilai dari

tan 50 o − tan 20 o adalah …. 1 + tan 50 o tan 20 o

a. – 3 b. – c.

1 3 3

1 3 3

15. Diketahui α + β + γ = 180o , sin α =

56 65 33 b. – 65 16 c. – 65 a. –

16. Nilai dari :

4 5 dan cos β = . Nilai dari sin γ = … 5 13 33 d. 65 56 e. 65

1 − tan 2 x =… 1 + tan 2 x

a. cos 2x b. sin 2x c. tan 2x 17. Diketahui tan A + tan B = a. b.

1 21 1 10

d. tan x e. cotan x

1 1 dan cos a cos B = . Nilai sin(A+B) = …. 7 3 10 d. 21 11 e. 21


29


c.

3 7 2

18. Diketahui sin A =

; sudut A lancip. Nilai tan 2A = …

5 a. –2

d.

4 3 4 c. – 5

b. –

19. Diketahui sin A = a. b. c.

1 5 10 1 7 10 1 9 10

e. 2

3 1 dengan A lancip. Nilai dari cos A = …. 5 2 1 d. 10 9 1 e. 10 5

20. Ditentukan cos 2A = a. 3 6 b. 2 6 c.

4 3

1 dengan A sudut lancip. Nilai tan A = … 5 1 d. 6 3 1 e. 6 6

1 6 2

21. Nilai tan 67,5o = …

2 b. 1 + 2 c. 2 – 2

2 e. 2 + 2 2

a. –1 +

d. 2 +

o

o

22. Nilai dari 8 cos82 12 sin 37 12 adalah …. a. 4( 3 + 2 )

d. 4( 3 – 2 )

b. 2( 3 + 2 )

e.

3– 2

c. 2( 3 – 2 ) 23. Jika A – B = 30o dan sin A cos B = a. b. c.

2 , maka sin (A+B) = … 3

1 6 2 6 4 6


d.

5 6

e. 1

30


24. Nilai dari sin 105o – sin 15o = …. a. b. c.

1 2 4 1 6 4 1 2 2

d.

e. –1

25. Jika sin x – cos x = p maka sin 2x = …. a. 2p2

d. 1–p2

b. p2 + 1

e.

c. p2 – 1 26. Jika tan x = 2 dan tan y =

c.

d. 1

1 2 3 4

e. 1

27. Jika tan a =

42 125 14 b. – 125 20 c. 125

a. b. c.

1 2

4 dan sudut a lancip , maka cos 3a + cos a = …. 3

a. –

28. Nilai dari

1 (1 − p 2 ) 2

1 maka tan (x–y) = …. 2

a. 0 b.

1 3 2

d. e.

28 125 56 125

cos 75 o + cos 15 o = …. sin 75 o − sin 15 o

1 3 2 3 1 3 3

1 3 2 e. – 3

d. –

29. Nilai dari 2 sin50o. cos40o + 2 cos 90o sin 85o + 2 cos 20o sin 10o = ….

1 2 1 4 1 2

a. –

d.

b.

e.

c.


31

3 2 3 4


30. Nilai dari 2 cos35o sin 65o – 2 sin 15o cos 70o + 2 cos 145o cos 85o = ….

1 2 1 b. – 4 a. –

d.

1 2

e. 1

c. – 1 31. Jika sin x + cos x = a , maka sin3x + cos 3x = …. a. b.

1 3 (a – 3a) 2 1 (3a – a3) 2

d. a3 – 3a e.

1 (2a–3a3) 2

c. 3a – a3

32. Jika tan 3o = p, maka tan 228o = … a.

(1 − p ) 2 (1 + p ) 2

d.

1+ p 1− p

b.

1− p 1+ p

e.

1+ p2 (1 − p) 2

c.

p2 −1 1− p

d.

1 2

33. Nilai dari

cos108 o . cos 36 o adalah …. sin 198 o . sin 54 o

1 4 1 b. – 2 1 c. 4

a. –

34. Dalam segitiga ABC diketahui tan A = a. –1

e. 1

3 4 dan tan B = . Nilai sin C sama dengan …. 4 3 24 d. 25

24 25 7 c. – 25

b. –


e. 1

32


35. Jika A dan B adalah sudut –sudut lancip, cos(A–B) =

1 1 cos( A + B ) , maka = 3 dan cos A cos B = 2 2 cos( A − B )

…. a. 2 –

3

d. 1 –

1 3 3 c. 3 – 2 3

b. 1 –

36. Diketahui sin α .cos α = a. b. c.

3 25 9 25 5 8

e.

1 3 2

2 3 –1 3

8 1 1 . Nilai – = …. (Ebtanas 2001) 25 sin α cos α 3 d. 5 15 e. 8

37. Nilai sin 75o + cos 75o = … ( UAN 2006) a. b. c.

1 6 4 1 1 3 2 2 2 1 3 2

d.

1

e.

1 6 2

38. Nilai sin 105o + sin 15o = ….. (UAN 2006) a. b. c.

1 (− 6 − 2 ) 2 1 ( 3 − 2) 2 1 ( 6 − 2) 2

39. Dari segitiga ABC diketahui cos

4 5 4 b. – 5 3 c. – 5

a.

d. e.

1 ( 3 + 2) 2 1 ( 6 + 2) 2

1 3 1 1 (a + b) = dan cos (a − b) = 3 . Nilai cos a – cos b = … 2 5 2 2 1 d. – 3 2 1 e. – 2 2

40. Nilai dari 2 cos 35o cos 25o – 2 sin 30o sin 20o – 2 cos 35o sin 5o adalah …. ( UAN 2002)

3

a. b. 1 c.

d.

1 4

e.

0

1 3 2


33


B. Kerjakan soal di bawah ini dengan singkat dan tepat! 1. Buktikan! a. Jika sin (a+30)o = sin ao , maka tan ao = 2 + 3 b. Jika sin (b + 30)o = cos bo , maka tan bo =

1 3 3

2. Hitunglah :

3 5 4 b. sin 3a jika cos a = 5

a. cos 3a jika sin a =

3. Jika tan 3a = 6, maka hitunglah nilai dari :

sin a + sin 3a + sin 5a cos a + cos 3a + cos 5a

4. Tanpa tabel atau kalkulator hitunglah : a. 4 sin 20o sin 40o sin 80o b. 4 sin 10o sin 50o sin 70o 5. Buktikan tan(45o + a) – tan(45o – a) = 2 tan 2a !


34
