Truthful Mechanism Design for Multi-Dimensional ...

4 downloads 9 Views 433KB Size Report
mization in such a domain are O(m)-approximation truthful mechanisms [30, 28]. We study a ... on auction settings where revenue-maximization is the main goal.

                      

                  

 

       ! "  #    $        



                  

                                                              !" #$%                       &         '(  '  (            &                           

          )             !                                        

                       &        #                                  *            +            

 ,     -                  .    !/%      Æ                     0                                  ,                

 1          ,                             

                 )  #!%                          

£                                           !    "##$ Ý      % &!'   ("$#)#



  



   

      !     !        !    " #  $ " % # "  & !   !   

       # %         "  

  #         # '(    #! )  * $ "  (     +     

  # $ ,'(       -   $ (               !    )# $   $         

 "       + $ $ $" 

  

   .    #         $      ' !      "       &  /   %         #  /      ' "    -    /             )  + !            !        !          /     0        /     (  '    !    #     !    %   (      / $      $       # 

   "        1    2    3     )    $" 45+ 6  #   # % ! 7   3  485 #                # $ " % #   #     !   /    "    $         )#         + 9  #       $          #     ! /       !"          "   "     $(  $        : !         !       )        

  +     *                &   # #                  ,   "   $,      & %  , (  / $  *   ; !      !         )1:+ #  #  '(   #! )   (     + !  " .       '(      #!     ! ', !             !   $#  !     &  " !         !    !  %   (     "        "<          =   "> !     7   3     

  !     #    $  "   " &            "  =>+ :      =/ ,   # ,$ >  &  (   =    > 

  #       #   #, 

   " -    !     #  E    E !   /    # #     = # ,$ >      H  !                     /  "   #         #   /  " !  #    

  & $   !   !     !   $   !"  # /    #      &  "        " " 

   !  !     !        " 

"     

  #          #  !  !  %       2     )1  +         $          !   / ,   # $  

    8            &   !  $" !# % #         '         !     !    !          2           8,  '   ! , ,'      !    ,  

  .   "   ! !  !      "  '             " " Æ ",    )        Æ "   + 2      )1  A+    # ,$  

  )  E  E + !  # #   $      '            !  !   :        B,  '   !    )  #  + !     &      !    #  , $ !      !        8

            # $  $   "   

                    ) %    !   ,  + H" '           " !     #  $   !    ,           '    

     %  )  $ !         + . 1   #  #      !  1  A  "  B,  '   ! , ,'      !    ,  

  #        *  !   /      Æ "  )#   (    ,  + :  $   !      !  $" * ,      

          ! %       %  !       &   *     !  $  "            !  

#  " '         $   !   !    .   # '          "       (  !                   !  #       !   '   

    )" !   $     ! !    "+ & %  !  "       !      !  !    !   ,      # $ ,  " "   $   (               !    )  4 D A B B5+ H !           

  $    $         $  !   ) '    # % % #  ,  "          4B D5+ # "   #         !      $  ,      2  # %     $   "     !   !      ,

"    &   "    #  #          #    " 3  485 )  45+ .    (  ! $ ,  "      "  (  !    $"    2        "    

      !   (      #                           !  '       #    " ,  '       ='  >  8,  ' 

 ! , ,'      -  $ !   " !   "   '   ,     %"   #      #    $  !   !

        H  "   "       $        . !          "  "     )   +  "  $          &    !   $     '       !     $ $   $  2    (       "          !    



         $   !      #  =  , >  !       '           !  #     !  ! B    ,  '     :         (        $  !               6   #          ! I    4B5     !   ,     & $  !    #      $ !  *     '     2          ',

    $   ! $   1#" 4B85   !           ! !       !     

    

7   3  485     %  , (    ! 

    &" $  ,  '   !       $ $   #   3 "   !    6  #           1  " => #  "    ( !        "      '     2$ !  '    $     '  $"             #     %     !"  " ,            

   & *  !      Æ "       !   ',            % #        ) #   !   

+ ! %   (       "    $ !     ,  

  4BA 5 #      !  / ,   # ,$   0     



 !      '  !        Æ "



   

-    !        ! "  

    !   

"    #          !   " &  $   $ !          " 3  485  DC # $  "    Æ    ½

      %  )                       %   (*"  +



  (  !         3       !        !    #  "  #

/0 &      "      "    

" !    

             %  )+ ).       "    



           + 2     # #    

   !  #      .  (   E  !      6  $"     !   E      E

¼  ¼  

B !   E      E   J

  & ++ +    

 ¼  0

¼   ¼  ) 

 ¼     + J

¼  ¼  

 ¼  

            *            '( )+                 B                ,               '( )+



'  (



6       $    !  $" /   # $





E







J 

¼     ¼  

:  $  !   E     E

  )  + J

¼ 

 ¼    E 





 ¼    .!   E      E E     0    ¼  ¼   E 

¼  ¼  

 ¼   #  E  E     ¼

&  "  8     "   " &     "         

 

   

¼  ¼  

 

E 

  J  

 ¼ J    



 

¼



¼ 



#          J ¼    ¼   ¼   B  '( )+ 6 " !         E  

   '( )+ .!   E    !     ) " + #   ¼  E  # $  ¼     "      ¼  E  E     '( )+ &      #      B $  8,  '    ! , ,'      &     ! "  #     

   '      1  8    #$ $  '        "       !  

     " , 

  & +1

        *                   8            .  % #        "     %   !  #  '   ! !      $     "     E    ) 4BA 85+ 2$   '( )+ &%    -          #    8,  '   

)  * +$

                    - 

  

  





              

: #       B,  '   !    !    #      !      -  1            '         "   " : $       " !     $   :   " $   ! '   !  # % F # #        #                          )1  A+ :

      )1  AB+ . 1   A8   A   $" #       '        $      "   " . 1  AA # %

 "  "    !    '     #  "      Æ " :       "  $    #        '  $ "  ",     )1  A+ &      # # !  "        #,             #   E  : #   /     # /  !    !   E 0   #,  !            # /           



 

.     # $  !       # % F #0    !  ' ,  % 4 C5 !      - F #  # %    "       E )  + #          #  $"  !                "    -  F #  # % # $    "                % "      .

 $"  .     $ ! Æ !       % "     !           Æ      "   Æ   

       "          % 6 "  F #   !      Ê  !"   !  #     

!/     "   "

6    ! # $ 

B

  



 F # !      

 



%&



&

%

 



% %& 







 

&

&



B

6   6 #  # % !  ) + #   8 /    B    

E 

!/        "



6  $"      " # $

 F #        *   F # $   







 E

 



 

&  !  F #       F # !       * $ "   F #      % " -   .  )   "  ',F #+   F # ! '  $  -      !     #       %                     ! /       )+  /   "      0 )+     "       0   )+   ! /     '( 1          "    ',F #   !  #  F #  # % :              ) 6 + #    !  $" /     $"        ) + !    ) $" 0  "   #  Æ+   " !   E  :       #   )  + $    "      %  " #   ) "+ $    "    6    #  '  #   /    #   #   ½ ½ E  ½ ¾ E  ¾ ½ E    ½ ¿ E  ¾ ¾ E  ¾ ¿ E    E  - "   F #    # %            #   E  !   " !    F # !    !    "     "        "  F #   ) "+              ! /    "   *   $  !  F #  $"  " )  +    !"  )+   )+

      F #    $  # % ! $  *    ! /    "  &     ',F # "      '(   !   /  : # !         F #   " : # !   $ F #  # %   F #  # % !  ) +      ',F #    # %   ',F # !  ) + &   !  #     $ F #      !  #     !       6  $"    ! E )#  +    !    #   !      #    "     #           0 !   !    #   ! E ) #+ #        #    "       6  B  #

     !  F #  # %  6   #      ,F # ½ E ½  ½ E  ½  E  )   E  !      + -     !  F #   !  F #   ',F #   '     

                   $  !  F # : '   # !      F #  # %         GF #     '  F # !  ) + &             E )       "+       9   )  + )  + !   E      ) "+  ! #  8

& 

& 

'    

 

&



' (   &







&



& 

6  B 3    !   # %  6   #   F #G  

 

        )  + !   E      %#  &                        E     "  ! #  )  +   /            $" )   ·½ E +    "  %#  )  + -           #    F #G            #    7     #        $  !  F # "  2$   "               !  "   .  '   6  B   ) +        )     "+ &         )/      +  #           & '   !              !       '  F #   6 ,6 %    485 )  4 C5+ :   ; #   ( ,F # )  E  !   +      "           $  !  F #

     '  &   $             #  *  

!   #" '     ',F # !        6  '    F #  # % !  ) +  !  #   #   #     F # )  ( ,F #+   $"

 #              F # #   #   F # :               !      &    "   " ',F #   # #         = >  # # ! "    !  # 6'   ',F #      ! F #  ) "+ )  * $ "   ! /            +      

 $  !  ',F #   E  6   "       ¼ E  )   + 

  # =   >  F #G                   ¼  :        F #    !   !  #   ¼ E  

  1 ' 2&2& 3

 .                

    ¼ E ¼   ',' F # !  ) + ! #     F #      #  !

        



 



&    #   ',F # !  )  + -  ',' F # !     #" '    # "  !  #         ',F # !               

  ',F # !    B             ',F # !   $ 

  "  ',F # !    " J            1     

        "             ',' F # 



   !   ""#     

: #   ",      $  B,  '   &       !     6  #           )+   !  # '" %   # /           ! ) $   + #  

        /  :  '" %   # /      )+ "  ',F #     )    $+ 6 " #      /  )# #   / + " "       $"     ,   

/0 &  @$  $  !  !  #     )+ E 

            ! /   

    !    J ) 

   J )      !   !    "   $  " 

 +    



+     7   )+     



B      ',' F # !     )+           

)      ;     ! F #  ) ++ 8 -     /    /      F #,    "    !  #    /     "      /     # 

    #   )#        /      F #, + 2           ','   !      )+ &  !  #   '   !   ',' F # " "    "      !         H    ',F #     !   " E   1     ',' F # !     ',' !   "  &  # "       ',' F # !   E    )+   &       "   "      $,   ,        '    !      $"  ',F # !   " "  "     ! )     +   &    !      !  #

  & 1 '  Æ  

              #       #               . 1   A8   A #  $  -   B   B,  '  ",   ,   & #   #     "   1  AA    $ &  AB



$% % ""#  

'( )+     %  $     !   )& 1! 0 '( )+        '( )+

3 

'  (

.! '( )+               /   #     6      #      ','  &  # $  )+ E       E  F # !     )+ # $  £     E    E  #              '( )+ 1  %      )    ' "+ '( )+

)& 1+ 0 '(

)+

 



 )+     '( )+ J  

A

'  (

      ! /     #         &

             ' "    J)    +      

     '( )+   $"         '( )+ 1 %  E            # $    J )   +     9  )+ #                 

)& 11 1 2       8             '  ( 1            8 .!  E   #   $

E   £  )+ # #   $        B    F # !  $  1    /  !         8    !          )+ 9 

                )+ J     )+ H       

   £  J )   £ +     )+ "       

, &&

+ B 1$ '( 

'  (

                '( )+



)+J' )

.! '( )+    "  A8 #    1   '( )+  H"  A # % #   )+ '( )+ J  .!     /  !    B !    

  %       )+   #    1          /  !    B : #  #   %  !    8     J    # E   )+ '( )+  1     !       #   '       J          /        8       / 

!       1         -        "  "                  1              J       )    E "  AA+ -  !     ! /       8          £   J )   £  +       £ /     #   &!  #   $     £   J )   £ +   H # #        £+   # "       £   J ) .! E  )+  !  # !      !  )+ .! E '( )+  

        ! /     #         # $  £    1  £  J )   £ +     J )    +   &  ' " 

         #       '( )+



&









$% %       

:   !"    )8+ !   # ,$              

 #     $  # % #       

&    )   + E ) )  + #   !  # 

    E    E

   



  E 

 

E   E  E 

)+

 

E   E 

)A+

   

+)



 +

L     )8+   $  "

'  14 /

           %                              





   



   

, && 15 /       E )  0       

    2      E 

 

   









)+

  E )  +         $"   .    ) +

 + ¼ 



'  (

 ¼        !  ) +   F #   1  "   

  '   /    #    £ E     "   1       ) +

      # % !  ) +       # % !  ) + &     $ F # !  ) + H    ',F #     ¼   1  '                !  ) +   F #   2$             #  #                 ¼      ! 

   ',F # .                 !     % " 

  E )     "+ -   !         ¼ O  %#  )  +              ·½ E 0  ! #  )  +      E      E    E      ·½ E  H           )       "+  ¼ #     ' " !  

$    , #   ,  $     ) + E  ) $  + 1  #  

 !           '    # $  ) +   -    E   $  + 7   )+ ) !  $"      E )  +

)  * 16 &  E ) 



+           

          



'  (



  .   )



)++

  E  )+ .!  E      "   2 #     

       1     ',' # % #     

  ',F # !  )  + -              1 "  AC     F #    

  # /  !  9      /   #    E      !    ,       #     "     F # &    #,  !        P      # #  $  !  #  %"  *  " !   "  E )  +  

 E )  +

½  

¾  



 

J

 

)+

#          )+   )A+   $" 7     "   "   "   ! # %  E     E    )+          J   0     $   E   $ )+ ·½     

E  ) +    E  ) +

, && 17 0



) + 



  )+   

'  (

&%   ',' F #  !  )  +           $   /  !               /       E   E   E     F # "  2$     $ F # !  )  +    $  !  F #    ¾ ¾     E ¾     -  !  /           "       /         1     #   $ ½        1 !  #     ',F # !  ) +  "  AC )#   E     E  +   /              ',F # &   $  !  ',F #     )$  ! + J     ½   J     ¾    

, && 1 +  ) + E   )+   '  (                  !       B   





8    "     !      $"  % E    E     E    %  E    E      E  &!  %   E %    J    %  E ¾  ¾ E ¾  ¾   )"   " AD+   E %     :   #  1          !  #  F # !  )  +  $"        #,  !            /   %     & ¼   $ F # !  )  +           .  $   *    J%   E ¼  ¾  ¾      J  E ¾     J   & $  !  ',F # !  )  +   ¾  ¾         !  #  7 #                   !  1   J      %   )"   " AD+  !  #        E ¾  ¾   J  E ¼ %   J ¼ ¾ ¾  :   # 





  J)

  + 

)C+

 &    ! /          : $ %    J )&  %  +  %      7 #       '  !          /  !  

   /       1  8 )        /      + &        %   J )&  %   +  %      )   +  J )&  %   +   #    %    

  &  %    H"  "   " $"  E                    ¼  ¼    -    *   !    E   

   *  " !   #   %    J )&  %  +  J ¼   ¼  ¼      H  ! , ,  ' "   J )   +   2       E   # $





    )C+   )D+ #  

½  

½  

 J) 

 E

¾  ¾

½  



, && 1    #       '  ( &%   E     E   )+ #  







 

+  J



  

1    $   E   )#  J   + " )+

C



)D+ ¾  





·½  



  





J

 

J



   





'"   % " 

 A   AB  #        B,  '         "   " &  "     1  8  '   "   !  ,  &           #    #  #      )  " +  " ,  .   !        1  8                  "  "                '    !  )  !     + .   !  "(        # # $   ! ! "   "      *  " )+    "    "  3    " !  "  # E     #    "  "  6   $   # #   !"  $ "  )    # 

"     

 "+     #          " $ ,  $   )! "   ! "+       ! /          8 H"   " AA # % #    /        )     ¼ ¼  +   E ¼      E ¼    & "  "     

 )+ E  



 £ 



   )+  )  +

 £ 



   





)+

:      "   *     "  8AQ

4BD5 3 "  2       485

D B

485   3   - "    Æ    !    ( "   *    '  :    ,    1   DQB DC 48B5 3 3 %!

/   L  P $ " L 7

 DB

4885  1%    M  :%   "  Æ !   !    $'    . <  1/  BCQBD8 BA

( 

K &  -   '     !    (  

485  H 1 "      ,    (    BQ DD8 48A5 : ?%"                 $    8 D

BD

: $ CQ

Suggest Documents