I. Ragnemalm, "Neighborhoods for distance transformation using ordered propoga- tion," Computer Vision, Graphics and Image Processing, 56 pp. 399-409 ...
!
" # #
$ % &' ( ) * '' + , - ! . " #/ # #
!
" # $ # # % # &
! "#$ %&"'( !' # ' ' % ''' # %&" !' # ' "#$ %&"( ! ' ) * ' ' % ''' # %&" * ' ' ) !' # ' ' +' !*#! ' "! ! , " - ./0( ! ' ! %%"# ' % #''( #'( % # ! % # . 0 ) !' # #' *'! # %* !' # ' #"*! ½ ¾ ! ½ #'( ¾ 1*#"!2 # ' *"( ! " " " ' % % '! ' #' %% # ' #"*' ' !' *! # * # '' ' %&"' ' ' * ' ) ' %% # ' $ .30 ! .40 '5* " ! %""" " '( '%# " ""' .30 !'#'
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½ # % '#'? ' ! 6 ! '# " ! ' *% ! '# " # ' % " %""" " ' "' !" %! @ ' #( # -$ .//0 '*' ! 1" 2¾ " # " #$ !' # ' ' ' % #'' ' ! ./30 % % '! # '' ! ' " ) " *' 1" 2 *'6 ¾ ¾ " % #'' ' ,( 1" " 2 *' " " " % #'' ' AA ,( ! 1" 2 ¾ 6% #'' %#* @*B " ./40 !" %! # ' % " " ' ! !' # ' *' 1" 2 *'¾ ¾ " % #'' ' ,( ! 1" " 2 *' ¾ " " % #'' ' ¾ AA , A ' % " " ' 6% #'' # ! 6% #'' %#* "' % % '! ./40 ' %%( % % ' '%" ! % " " ' # %* !' # ' ! ' * ' *' *#"! # +' %' '5* " " % #''' ' #? %6! '# ! 6*% '# ) " ' % " " # # "" #'' # %* ' * # %&" #* " % #''! $ # # ' # ' " ' *%! % " " # !#"" ' ' ' % ) ! " % #'' % *' ' * "-! # %* ' *' & ) ' '*" ' *' ( '
%" % * " "$ " " '( ' ' " * * 5*! # %* *#"! !' # ' ) '5* " " # %"""-! '" *' ! !6 ' !*# " * ' '' ' *" $ # # * %"""- " ( '*" ' ' ' *#' ) ' ' !* # 12 % #'' ' "" ! *% % #'' " ( " % #'' ' !! * ( ' '5* " " ) ' ' ! %"""- " " % #'6 ' ' % #'' ' % *" * ' # ( '' "# # %* # *'! %%" %&"' ! *' $% "" % #'' ' *' ' *# ' % ''" ) ' '*" ' 12 " 1¾ 2 " # ' ) * 'C $ "!( " ' # '!! ' '* " # # * ' % " @ ( * !'#% " '( "" # + * # %* * ' ( ! !' # ' "" ! &%"# " !" "# $ %* ' ''*! ' - ' ! '( %' ! "#$ %&"'( '%# " %&" "" %' ! ' # ! '( '( 1 2 "" ! %&" ! # "* ( / %&" 1 2( 1 2 "" ! * ' ' 1 2 @ '%"# ( "" ''* 1 2 ' *5*( ! # ' *# ' %&"' ' *' %&" 1 2( Æ 1 2 "" ! *#"! !' # 1 2 ! 1 2 A '! %&"' ( ' / ! ( ! " 1 ¼ ¼2 ' * %&" D 1 2 "" *' ' / 3 A""( ¼ /( ! ' * 1 ¼¼ ¼ 2 ¼¼ ¼( 1 ¼¼ ¼2 # ' * %&" ' *' ' "' %&" ! % " " # ' #' # ' ' *' "" ' ' '%# - " " %'' # ' %&"' ) ' ' '*' ' "" %% # +! "" ' *' % ' %' ? % ! % %6! ' %( # %* # %&" 1 2 ' ' * 1 2 "" *' ! ' # '% !6 Æ 1 2 "* 6*% ' %( # %* # %&" 1 2 ' ' * 1 2 "" *' " ! ' # '% ! Æ 1 2 "* @""( ' 1 2 D 1 2 Æ 1 2 Æ 1 2( '
(2,1) (3,2) (3,3) (2,4) (4,5) (2,6) (3,7) (2,8)
@* /? &%" % " " # ! ' %' % #'' * ' 1 2 D 1 2 # '#( " ' % " " # ( %" ! ' E'"!'F #"" * ( %6! +' '#( ! 6*% '# ! '# ) ' # # 6 ' "" !! # %* ' * # %&" " ( !%! !# # '# # !'#% ' ' %' ! #"( "" !'#*'' " %6! ' % @ ' ' ( "" ! % '*'#% ' ! Æ ( ! '%" *' ! Æ ' ! ! "! !'#% " %" %6 ! '# "" %' ! 36 *%"'( '*# . 0 ' * 1> >2 ' *( # * ' & # G '( ' ) ' B*' # # '% ! ' # ' *# !( "" #" '' *' %&"' # *! # *%% ' . 0 ' % @ ' ##'' ' " ! % '( "" $ *' *# ' 12 ! 12( # *( '%# "( *'( ( ' * " ! . 0 ' " ' % ( 1 . 02 D 1> >2 ""( . 0 ' ' % ( 1 . 02 D 1> >2 @* / % !' &%" ' %' ( ' "" ' % " " # % #'' 7 ! % #'' 8 ! #' # ) ( 1 2 "" ! %6 %!#*" '# " ' "" ! ½ ! #" "' !+! 5* ' D / ! D ( '%# " ""( "" ' % ( '( # ' % % #''
r
q s
p
x=1
x=n
@* 3? &%" & *' ' % ' ( / ( . 0 ' ' 1/ 2 ! " %&" 1/ 2 ' * % #'' ( ' *%! ! ' . 0 1 2 ! " 1 2 ' * & ( ' *%! ! * ' *' # ' %&" " ) ' ' # '% ! & # ' & 1 ' " '2 *%% ' D 1 2 ' " ' & # ( ! D 12 1 2 '# ' ½ ( # ' * %&" " #( ' *"! ! # ) ' % #'' ' %%"! " * " %%!#*" '# " ' " ' ! ' '# ½ ) ' % #!* ' %%"! ' ' * # ' #'( ' ' % ! ' #" " ) ' ' ""*' ! @* 3 ' +*( ! "" ! # ) '# ! ' %%"! # ' # #! " #' 1*"'' # '' ' #' "''2 A '! @* 412 ' +*( 1 2 ! 1 2 '# ( " %'' # ' %&"' ' "" ' " ( * # ' %&" " ) ( ' *"! !" ! # ' !( ' "' !( ! ' @ ' #( @* 412( * "" "' !" ! !!( #' " ( * ( ' ' # ! # ( "' ' ( ! # ' *"! !( ' ' @* 412 ) ' ( '*" '5*# !" ' #$ ! !# ( # "" ' %%" ' ' ' * %&" # *! # ) ! '' ' *' %&"' ( %%!#*" '# ' "" " ' ' +" # # %* ! ) ' '# ' % ' %&"' *%' # '#* %&"'( # *% ' ' ' ' '#' # ( ! !
q
r
r
q s
s
p
p
row i
row i (a)
(b)
@* 4? &%" " " *' r s
q
t
q
(a)
s
t
t
p
p
p
s
(b)
(c)
@* 7? ' # # '#' " #'' *' # #$ ! * ( '( # ' #$ #$ " $ ! ' !! % % # # @* 7 ' ' ' # # " ! ' %" #$ #$ * ' !" ! # "' "" *!! *' @* 712( " ' % ! '#( # ' !( ' '# ' 1 2 ! 1 2 '# #* % #''! 1' @* 7122 ) ' ' "" ! * *' " # ! *' ! # !* #$ ! '#( # ' ' @* 71#2 ' % ''" +' "- ' * ' * #"#*" *#"! !' #'( #"#*" !' # % '! ' 6 * ' ) *' ' 6 * ' " % ! # ' ! %#'" "" ' %'? % / 1 "- 2 @ / ( ./ 0 D > ' . 0 D 1> >2( "' ' . 0 D 1/ 2 # +' " ! " # %* 1/ 2( 1 2 ! 1 2( "" / D 3 % 3 1, #'' 2
% 3/ 1!! *' % " " # 2 # " @ D / 3 ( %&" 1 2 ' "#$ ( ' . 0 D 1 2 % 33 1, ' /2 / % 4 ! " ' *' " 1 2 '# ' ½ ! ' ' * ! "" ? ( ' D ! D 12 / % 4 ! ' *' " 1 2 '# ' ! ' " ' * ! "" ? ( ' D ! D 12 % 34 1, ' 3G !#( #$ #$ %%"'2 3 % 4 '( " ! " ' *' ( ! % % 37 * " "" *' % #''! % 37 1 2 ! 1 2 '# " 1!#2 D D D 12 "' 19#$ #$2 D D 12 12 D 12 D
% 4 1 ' % ( ' +! '' *' %&"'2 % 4/ D / " 1 2 D "" / ( ' * % 43 3 " ! " ' *' ( ' ½ D /( ! % % 44 * " D 1> >2 1 ' * ' % #''!2 % 44 '# % 1 2 ! ¾ D @ D ½ ½ H / ¾( ' 1 2 D ½ D ¾ H / D D 12
% && ' "# $ ' '# ( % # # '' " ) % ' % !! %6! ' % #' 6*% ' %( % ' ! #"
"" ' *' %&"' # *! % " " # ' ' ' % % ( "" *' ' ! % " " # #( " ! '
qk-2
qj+1
qk-1
qj
qk Row i
p
@* 8? &%" '# ' '# " * ' ! # ( # ' * %&" " * ' !" ! #'' # '! ' %"#! * ' # "* %&" " ' #" ' ' ! #*' "! ' / 1' @* 32( '# ' # '%# ( # %&" " " ' " %" !+! '# 1 2 # ) '( ' #" ' @""( ' ! #*' "' ' 3 1' @* 4122( ( ' ' +*( # %&" " " ' " %" !+! '# 1 2 # " %" !+! '# 1 2 # ) '( ' #" '
"" %&"' 1 2( / ( ''! # # ' * 1 2 9 /( "" ' *' %&"' *! % " " # ( ' " ''' # %&" ' ' * # ' ( % #'' ( # %&" " # ! '# ' 1 ½ 2 ! 1 ·½ 2 1 " 1 ·½ 2 D /2 ' ' ' ' * *%% ' ' %&" "' " 1 ·½ 2( * ' ' * ' ( ' ) '( * "' * % " " # ) % ' '" "' " # %&" ' #" ' ½ ( ! " ' " 6%" !+! '# 1 ½ 2 ! # # ! ½ ! ' "" ' '# 1 ½ 2 '# ' " %&" A '5* "( * ½ "' * 1' @* 82 9 # ' *# ( '# ' 1 ½ 2 ! 1 ¾ ½ 2 '# " ( ' * ½ ' *"! !" ! % " " # "" ' ¾ ' ½ ( ! '# 1 ¾ ½ 2 '# ' " %%" ' ' " *' ¾ ¿ ( # #"*! '# 1 ·½ 2 "' " ) '
# !# ' ''*% "' " '# 1 ·½ 2 "" ' 12 D '" * ' ' "' '# 1 ½ 2 / ' ¾ # %"& ( # %6! ! 6*% ' %' # ' ' 1 2 ( ' # 5*' 12 % #'' ) ' '( ' % #'' ( # * ' ' ! # &# " # ! !" ! ' # %! ! % ' $' 12 @""( ' * # %&" ' ''! &# " # #( "" ? ) %""" " !'#! +!' !' #¾ '6 ! ' * ' 1 2 ( # ' " %* '- ( !!"" " "# $ ) " % *' '# ( # "" #"" ( ' "" % % $' Æ# '5* " # ) ' % #''! '5* ""( ' % #''! # %" % #'' / ) %"""- " ( ! !' !*# ' *'! %" ' !( "" !! % #'' # ' ! "" @ ' %*% '( " 1 2 ! ' * %&" 1 2 # "* A""( 1 2 / ( # "" # %* ! 1¾ 2 ' %' ? %6! ! 6*% #( " % *' '# # !+! '" !! %% #'' ' %( # # %* ' "" 1 2C'( ! *"! # # '## "" #"" ' " " * % ' !*! # %* '( # %"""-! '" % #'' "" ' !%! " ! %""" ! 'C ' " # %"""-! Æ# " , @ ,( Æ# " ' &' *' '# % ' % #"" ! - "" * ! & ! ' *# *' ' ) ' *" # # $ # # * %"""- ' ' % #' ' ' #'( # % #'' ' $ !%! " ¿ ) # ' %" " ' # # * ' 1 2( # ' # " % #'' ' !! % #'' 12 #' '-¾ ' % #'' '( / !*#' # ' 1 2 # % #'' ' $ " D /( ! % #'' ' * ' ( # %" ! " % #'' ' " ! !'# %% #'' ' %( # %* 1 2C'( ' ' " ' &# " ' ' ( &#% ' % #''! %""" "" '5* " " (
P
(,) (,) (,) (,)
P
(,) (,) (,)
P
(,) (,)
P
(,)
@* :? &%" '' "# # %* %% #'' ' % 5*! % #'' '" '" % #'' ' 12 ) *'( "" " * !'#*'' %6! "* 1 2C' ½ ¾ % #'' ' @ %% #'' ' %( # %&" 1 2 "' ' '# -! ' @' ( ½ # %* ' 1/ 2 "" / +' ' % '( 1/ /2 ' ¾ ( ! 13 /2 ' # %* ! '# ! ' %( 1/ 32 ' ¾( ! 13 /2 ' ¿( ! "*' 13 32 ! 14 /2 # %* ! '*" *'" ) ' % "*' 1 2C' # *' * " 1 2 ' # %* ! ) %% # %"' '%" '' "# # %* ( # ' ! % #'' ' " 1' @* :2 ' #'( %&" 1/ /2 ' +' ! ½ & ( 1/ 32 ! 13 /2 ! '*" *'" ½ ! ¾ ( '%# " ! * ( 1/ 42( 13 32 ! 14 /2 ! ½ ¾ ! ¿ ( ! ' A""( 5*! %% #'' ' % *' %%" ' 12 ) '¾ '*" ' % " 12 " " # ' ! 1 2 ' %%( # '! ! "' " & #''( % #'' ! % #'' ' # %""" " *' " % #'' ' # '"¾ !+! * *' % #'' '( %' ! " "" * 1 2 / ) " # ' "" % " 1¾ 2 #( "" ? ) %""" " !'#! +!' !' # '6 ! ' ¾ * ' 1¾ 2 ! % " 1 2 # ' ( " % #'' '( / %""" " ' '* " # '6! % #'' '( # ' # * %""" # * # %* ' # # ! ) ' ' '- %* #
@""( " # & !! !' ( %% #' # ' ) "& %' ! " ' # %* ' * ' ! !' # ' ( ' '5* " ! ' %""" ) '5* " " ' ' " " $' *' " ' % ! ! % # %* ' ) %""" " ' % " " *'' % #'' '( / #' ' % #'' ' % *" * "! ! '- 12( # *'! % '' "# # %* %* 9 " ' ' %" ( ! !+# ' "" $ #' ' & ' ( ) * + % ,- , 0 ' * ./'0.1. '122! 3 % $ , , 1 ' $ ( 33/03.4 '145! 6 7 8 ,9 , ( # 2' $ ( 3 210/' '14.! . & ) ,: 0 , 4 1 ' $ ( 6110.51 '113! ; $ * $ ? @ ,$ , 4 1 ' $ ( 6..06/' '142! '' B - ,% ,
' 24;021/ '11'! '3 807 + -0* 7 ," 0 , ( # 66, $ (
- .440.16 '113! '6 ( "C @ & @ 7 "C ,( 0 , ( # $ $
' ' ( ( '04 '112!
* +" #!, -
' ''' , '' % A %*
##( ' A"( " ( A! #! %" ' '# ' ' ( *'' /==4 !
# " ! ' A"( A! /=== ' #% ,' , ' ! # " @"" ' % ! /===63>>> " '# ' ' " # %* % #'( # " 6 ' ! %""" % #'' " ' ' * "# #" ! "# # 12 ! A %* # ' '' # , '' % ! A %* ##( I @ ! ' , "* J 6 "'( *! ' ' ' #"*! " '( % #'' ! %""" # %* ' * $ F" ' ' )# 6 5*' ! "''F( %*"' ! /=== "! # +# ,*"' A "'* " ' ' * "# #" ! "# # 12
