UJIAN NASIONAL - SMA NU LEMAHABANG

Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

SKL 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana, fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers, sistem persamaan linear, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan garis singgungnya, suku banyak, algoritma sisa dan teorema pembagian, program linear, matriks dan determinan,vektor, transformasi geometri dan komposisinya, barisan dan deret, serta mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah. 2. 1.

Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma. Syarat: 𝑎∈𝑅 𝑛 ∈ℤ+

Pangkat Definisi

Sifat

𝑎𝑛 = ⏟ 𝑎 ×𝑎 ×…×𝑎

“Bilangan Pokok Sama”

“Kurung”

𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

untuk 𝑎 ≠ 0, berlaku: 𝑎0 = 1 1 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛

(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚×𝑛

𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 𝑎𝑚 𝑎𝑛

=𝑎

𝑚−𝑛

(𝑎 × 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏 𝑛 ;𝑎 ≠ 0

𝑎 𝑛

𝑎𝑛

(𝑏 ) = 𝑏𝑛 ; 𝑏 ≠ 0

Pangkat Pecahan

Bentuk Akar

Syarat: 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑛 ∈ℤ+

Definisi

Sifat

“Invers Pangkat” 𝑛

“Bentuk Akar Sama”

𝑎 = 𝑏 ⇔ √𝑎 = 𝑏

𝑛

√𝑎 = 𝑎

𝑛

𝑛

𝑝 √𝑎 + 𝑞 √𝑎 = (𝑝 + 𝑞) √𝑎 𝑛 𝑛 𝑛 𝑝 √𝑎 − 𝑞 √𝑎 = (𝑝 − 𝑞) √𝑎

"Pangkat Pecahan" 𝑛

“Kurung” 𝑚 𝑛

𝑛

1 𝑛

Haram menjadi penyebut pecahan

√ √𝑎 = 𝑚×𝑛√𝑎 𝑛 𝑛 𝑛 √𝑎𝑏 = √𝑎 × √𝑏 𝑛

𝑎

√𝑏 =

𝑛

√𝑎 √𝑏

𝑛

;𝑏 ≠ 0

"Bentuk Akar Beda" Untuk 𝑎 > 𝑏, berlaku:

Rasionalisasi

√𝑎 + √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) + 2√𝑎𝑏

“kalikan sekawan penyebut”

√𝑎 − √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) − 2√𝑎𝑏

𝑎 √𝑏 𝑎 √𝑏+√𝑐

Halaman 4

= =

𝑎 √𝑏

×

√𝑏 √𝑏

𝑎 √𝑏+√𝑐

×

√𝑏−√𝑐 √𝑏−√𝑐

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Logaritma

Syarat: 𝑎, 𝑝 > 0 𝑝≠1

Definisi

Sifat

𝑎𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎 log 𝑐 = 𝑏

"Penjumlahan Pengurangan"

Sehingga diperoleh: 𝑎0 = 1 ⇔ 𝑎 log 1 = 0 𝑎1 = 𝑎 ⇔ 𝑎 log 𝑎 = 1 𝑛 𝑎 = 𝑎𝑛 ⇔ 𝑎 log 𝑎𝑛 = 𝑛

𝑎

"Perbandingan"

log(𝑏𝑐) = 𝑎 log 𝑏 + 𝑎 log 𝑐

𝑎

𝑏

log ( 𝑐 ) = 𝑎 log 𝑏 − 𝑎 log 𝑐

𝑎

𝑎

𝑛

𝑎

log 𝑏 = 𝑛 ⋅ log 𝑏

𝑎

𝑐 log 𝑏

log 𝑏 = 𝑐

𝑎 𝑎𝑚

log 𝑎

=𝑏

1 log 𝑎

log 𝑏 = 𝑎 log 𝑐 ⋅ 𝑐 log 𝑏 𝑛 log 𝑏 𝑛 = 𝑚 ⋅ 𝑎 log 𝑏

log 𝑏 = 𝑎 log 𝑏 ⇔ 𝑎

𝑎 log 𝑏

=𝑏

Tipe soal yang sering keluar Pangkat Menyederhanakan bentuk pangkat Bilangan pokok berupa angka, ubah ke bentuk bilangan pokok yang paling sederhana. Bilangan pokok berupa variabel, lakukan operasi pangkat tiap variabel. Contoh: Tentukan bentuk sederhana dari: 5

5

212 ⋅ 126 3 84

1 ⋅ 63

= ….

Penyelesaian: 5

5

212 ⋅ 126 3 84

1 ⋅ 63

=

5

5

212 ⋅ (22 ⋅ 3)6 3

1

(23 )4 ⋅ (2 ⋅ 3)3 =

5

5

5

9

1

1

212 ⋅ 23 ⋅ 36 24 ⋅ 23 ⋅ 33 5

5 9 1

Contoh: Tentukan bentuk sederhana dari: 24𝑎−7 𝑏 −2 𝑐1 = …. 6𝑎−2 𝑏−3 𝑐 −6 Penyelesaian: 24𝑎−7 𝑏 −2 𝑐1 = 8 ⋅ 𝑎−7−(−2) ⋅ 𝑏 −2−(−3) ⋅ 𝑐1−(−6) 6𝑎−2 𝑏−3 𝑐 −6 = 8𝑎−5 𝑏𝑐 7 8𝑏𝑐 7 = 5 𝑎

5 1

= 212+3−4−3 ⋅ 36−3 1

1

= 2− 2 ⋅ 32 1

=

32 1

22

1

3 2 =( ) 2


Halaman 5

Bentuk Akar Menyederhanakan Bentuk Akar Cari faktor bilangan tersebut yang dapat diakar, sehingga mendapatkan bentuk akar paling sederhana. Contoh: √72 = √36√2 = 6√2 3 3 3 3 √54 = √27 √2 = 3 √2 Menyederhanakan bentuk akar dengan konsep √(𝒂 + 𝒃) ± 𝟐√𝒂𝒃 = √𝒂 ± √𝒃 Pastikan bilangan di depan akar adalah harus angka 2. Jika bukan 2, maka ubahlah menjadi 2. Contoh: √5 + √24 = …. Penyelesaian: √5 + √24 = √5 + √4√6 = √5 + 𝟐√6 = √(3 + 2) + 2√3 ∙ 2 = √3 + √2 Menyederhanakan bentuk akar dengan merasionalisasi penyebut pecahan bentuk akar Kalikan dengan 1 (pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah sekawan bentuk akar tersebut) Sekawan dari √𝑎 adalah √𝑎. Sekawan dari √𝑎 + √𝑏 adalah √𝑎 − √𝑏. Sekawan dari √𝑎 − √𝑏 adalah √𝑎 + √𝑏. Contoh: Bentuk sederhana dari 3√3 + √7 √7 − 2√3 adalah …. Penyelesaian: 3√3 + √7 3√3 + √7 √7 + 2√3 3√21 + 18 + 7 + 2√21 25 + 5√21 = × = = = −5 − √21 7 − 12 −5 √7 − 2√3 √7 − 2√3 √7 + 2√3

Logaritma Menyederhanakan bentuk logaritma Gunakan definisi dan sifat logaritma untuk menyederhanakan logaritma. Contoh: 5 ∙ 2 log 3 + 2 log 5 − 2 log 15 = …. 2 log 9 Penyelesaian: 5 ∙ 2 log 3 + 2 log 5 − 2 log 15 2 log 35 + 2 log 5 − 2 log 15 = 2 log 9 2 log 9 5 3 ∙5 2 log ( ) 15 = 2 log 9 2 log 34 = 2 log 9 9 = log 34 = 9 log(32 )2 = 9 log 92 = 2 ∙ 9 log 9 =2∙1 =2

Halaman 6


Menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Gunakan definisi untuk menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain. Contoh: Jika 2 log 3 = 𝑎 dan 3 log 5 = 𝑏. Nilai dari 12 log 150 = …. Penyelesaian: 12

3

log 150 =

log 150 3 log(2 ∙ 3 ∙ 52 ) 3 log 2 + 3 log 3 + 3 log 52 3 log 2 + 3 log 3 + 2 ∙ 3 log 5 = 3 = = 3 log 12 3 log 22 + 3 log 3 log(22 ∙ 3) 2 ∙ 3 log 2 + 3 log 3 1 + 1 + 2𝑏 𝑎 = 2 𝑎+1 1 + 1 + 2𝑏 𝑎 𝑎 = × 2 𝑎 + 1 𝑎 1 + 𝑎 + 2𝑎𝑏 = 2+𝑎

Cara tersebut cukup menyita waktu kalau digunakan saat mengerjakan soal UN, karena kita harus menuliskan panjang lebar konsep definisi dan sifat logaritma. Nah, perhatikan urutan mengerjakannya: Pertama, ubah logaritma menjadi perbandingan. Kedua, faktorkan numerus kedua logaritma tersebut sehingga memuat bilangan pada logaritma yang diketahui. Ketiga, menjabarkan kedua logaritma tersebut dengan menggunakan sifat penjumlahan logaritma. Keempat, mengubah bentuk logaritma ke dalam variabel yang diketahui pada soal. Kelima, apabila masih terdapat bentuk pecahan, bulatkan dengan mengalikan KPK penyebut. Selesai.

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang diketahui. 𝟐

log 𝟑 = 𝑎 dan 𝟑 log 𝟓 = 𝑏. Ternyata bilangannya adalah 2, 3, dan 5.

Lalu, cari bilangan yang sama.

Ternyata bilangan yang sama adalah 3.

Semua bilangan akan menjadi numerus dari bentuk logaritma yang akan menjadi acuan kita nanti, sedangkan bilangan yang sama akan menjadi basis dari logaritma tersebut. 1 𝑎 𝟑 log 5 = 𝑏 𝟑 log 3 = 1 𝟑

log 2 =

Cara membacanya: 1 Bilangan 2 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan . 𝑎 Bilangan 5 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan b. Bilangan 3 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 1. 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑢𝑠 ). 𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠

Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang ditanyakan. Ubah menjadi pecahan ( 𝟏𝟐

log 𝟏𝟓𝟎 ⇒

𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟐

Faktorkan kedua bilangan tersebut dengan memperhatikan ketiga angka tadi (2, 3, dan 5). Segera substitusikan faktor dari kedua bilangan tersebut seperti cara membaca ketiga logaritma acuan tadi. Jangan lupa untuk mengubah tanda perkalian menjadi penjumlahan. 1 1 150 2 × 3 × 5 × 5 𝑎 + 1 + 𝑏 + 𝑏 𝑎 + 1 + 2𝑏 = = = 1 1 2 12 2×2×3 + +1 +1 𝑎 𝑎 𝑎 Jadi, 1 + 1 + 2𝑏 𝑎 𝟏𝟐 log 𝟏𝟓𝟎 = 2 +1 𝑎


Halaman 7

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Diketahui a  A. B. C. D. E.

2.

3.

1 4 16 64 96

a 2 .b.c 3 1 adalah .... , b  2, dan c  1. Nilai dari 2 a.b 2 .c 1 𝑎 −2 𝑏𝑐 3 𝑐4 14 = = 𝑎𝑏 2 𝑐 −1 𝑎3 𝑏 1 3 ( ) 2 2 1 = 1 4 =4

1 b4 Diketahui a  4, b  2, dan c  . Nilai ( a 1 ) 2  3 adalah .... c 2 𝑏4 24 −1 2 −1 2 1 (𝑎 ) × −3 = (4 ) × A. 𝑐 1 −3 ( ) 2 2 1 16 1 = × B. 16 8 4 1 1 = C. 8 8 1 D. 16 1 E. 32 x 4 yz 2 1 1 Jika diketahui x  , y  , dan z  2. Nilai 3 2 4 adalah .... 3 5 x y z 𝑥 −4 𝑦𝑧 −2 (1−2) −4−(−3) A. 32 =𝑥 𝑦 𝑧 −2−(−4) −3 𝑦 2 𝑧 −4 𝑥 B. 60 = 𝑥 −1 𝑦 −1 𝑧 2 C. 100 1 −1 1 −1 D. 320 = ( ) ( ) (2)2 3 5 E. 640 =3∙5∙4 = 60

Halaman 8


4.

Bentuk A. B. C. D. E.

5.


6.


3 3 7

dapat disederhanakan menjadi bentuk .... 7 2 3 3√3 + √7 3√3 + √7 √7 + 2√3  25  5 21 = × √7 − 2√3 √7 − 2√3 √7 + 2√3  25  5 21 3√21 + 18 + 7 + 2√21 =  5  5 21 7 − 12  5  21 25 + 5√21 = −5  5  21 = −5 − √21

2 2 3

LOGIKA PRAKTIS: Pembilang positif semua tandanya. Sekawan penyebut juga positif semua. Pasti pembilang hasil rasionalisasi positif juga (plus plus). Lihat bentuk bilangan negatif lebih besar dari bilangan positif, artinya perkalian penyebut dengan sekawan penyebut pasti negatif. Pola jawabannya pasti negatif semua (min min). Duh, tapi sayang ada dua jawaban yang seperti kriteria tsb. (A dan E).

 dapat disederhanakan menjadi bentuk ....

2 3 43 6 4 6 4 6 4 6 4 6

√2 − 2√3 √2 − √3

=

√2 − 2√3

×

√2 + √3

√2 − √3 √2 + √3 2 + √6 − 2√6 − 6 = 2−3 −4 − √6 = −1 = 4 + √6

2 3 5

dapat disederhanakan menjadi bentuk .... 2 5 1 17  4 10 √2 + 3√5 √2 + 3√5 √2 + √5 3 = × − − √5 √5 √2 √2 √2 + √5 2  15  4 10 2 + √10 + 3√10 + 15 = 3 2−5 2 17 + 4√10 15  4 10 = 3 −3 1 1 = (17 + 4√10)  17  4 10 −3 3 1 = − (17 + 4√10) 1 3  17  4 10 3













 

 


Halaman 9

7.

Diketahui 5 log 3  a dan 3 log 4  b. Nilai 3 1 a 4 log 15 A. log 15 = 3 log 4 ab 3 log 15 1 a = 3 B. log 4 1 b 3 log(3 × 5) 1 b = 3 C. log 4 1 a 3 log 3 + 3 log 5 = ab 3 log 4 D. 1 a 1 1+ 𝑎×𝑎 ab = E. 𝑏 𝑎 1 b 𝑎+1 =

8.

𝑎𝑏

log 15  .... TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! 1 1 5 log 3 = 𝑎 ⇒ 3 log 5 = bertemu 5 tulis 𝑎 𝑎 3 log 4 = 𝑏 bertemu 4 tulis 𝑏 3 log 3 = 1 } bertemu 3 tulis 1 Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan ini lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi,

4

jadikan pecahan

log 15 ⇒



Diketahui log 6  p, log 2  q. Nilai 2 p  3q 24 log 288 A. 3 p  2q ⇒ log 288 3 3 p  2q 3 log 243 2 B. log(2 × 6 ) p  2q ⇔ 3 log(22 × 6) 3 p  2q log 23 + 3 log 62 C. ⇔ 3 2 p  3q log 22 + 3 log 6 p  2q ⇔ 3 ∙ 3 log 2 + 2 ∙ 3 log 6 D. 2 ∙ 3 log 2 + 3 log 6 3 p  2q 3𝑞 + 2𝑝 q  2 p ⇔ 2𝑞 + 𝑝 E. 2 p  3q 3

4

3

24

15 ⇒ 4

ubah tanda kali menjadi tambah,dan

3×5 ⇒ 4

1+ 𝑏

1 𝑎 = 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡

log 288  ....TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! 3 log 6 = 𝑝 bertemu 6 tulis 𝑝 3 log 2 = 𝑞 } bertemu 2 tulis 𝑞 3 log 3 = 1 bertemu 3 tulis 1 Ingat tanda kali diganti tambah ya. Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi,

24

jadikan pecahan

log 288 ⇒

 9.

faktorkan sehingga muncul angka warna biru di atas

faktorkan sehingga muncul angka warna biru di atas

288 ⇒ 24

ubah tanda kali menjadi 2 tambah,dan

23 × 6 ⇒ 22 × 6

3𝑞 + 2𝑝 = 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡 2𝑞 + 𝑝

Diketahui 2 log 3  x, 2 log 10  y. Nilai 6 log 120  .... TRIK SUPERKILAT: Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. x  y  2 6 log 120 A. 2 Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! x  1 ⇒ log 120 2 log 3 = 𝑥 bertemu 3 tulis 𝑥 2 log 6 x 1 2 } log 10 = 𝑦 bertemu 10 tulis 𝑦 2 B. log(22 × 3 × 10) 2 x  y  2⇔ 2 bertemu 2 tulis 1 log 2 = 1 log(2 × 3) Ingat tanda kali diganti tambah ya. x 2 log 22 + 2 log 3 + 2 log 10 C. Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru 2 log 2 + 2 log 3 xy  2 ⇔ disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! xy  2 2 ∙ 2 log 2 + 2 log 3 + 2 log 10 D. ⇔ 2 log 2 + 2 log 3 Jadi, x faktorkan 2+𝑥+𝑦 sehingga ubah tanda 2 xy ⇔ kali menjadi muncul E. 1+𝑥 jadikan angka warna 2 tambah,dan x 1 2+𝑥+𝑦 pecahan 120 biru di atas 2 × 3 × 10 6

log 120 ⇒



6

⇒

2×3

⇒

1+𝑥

= 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

Halaman 10
