Untitled

14 downloads 14 Views 374KB Size Report
EENTERMEN (fiche 6) ........................................................................................ 12. 6b. BEWERKINGEN MET EENTERMEN. ... VEELTERMEN (fiche 7).

INHOUDSTABEL

1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)............................... 3 2a. TEKENREGELS (fiche 2a) .................................................................................... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)................................................................. 6 2c. OMGEKEERDE GETAL - OMGEKEERDE PRODUCT (fiche 2c) .................... 7 2d. DISTRIBUTIEVE EIGENSCHAP VAN DE VERMENIGVULDIGING t.o.v. DE OPTELLING IN • (fiche 2d)................................................................................... 8 3. VERGELIJKINGEN VAN DE EERSTE GRAAD MET 1 ONBEKENDE (fiche 3) ....................................................................................................................................... 9 4. VRAAGSTUKKEN MET één ONBEKENDE (fiche 4)........................................ 10 5. GEHELE MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN (fiche 5) ...................... 11 6a. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET EENTERMEN (fiche 6) ........................................................................................ 12 6b. BEWERKINGEN MET EENTERMEN............................................................... 13 7. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET VEELTERMEN (fiche 7)....................................................................................... 14 8. MERKWAARDIGE PRODUCTEN (fiche 8)....................................................... 15 9. ONTBINDING IN FACTOREN (fiche 9)............................................................. 16 10. VERHOUDINGEN en EVENREDIGHEDEN (fiche 10) .................................... 17 11. SYMBOLENLIJST............................................................................................... 18

Fiche 1a

1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1) G= {

a a ∈ P en b ∈ P 0 ` b

A) BREUKEN VEREENVOUDIGEN Teller en noemer delen door hun grootste gemene deler. B) BREUKEN GELIJKNAMIG MAKEN 1° Breuken zover mogelijk afzonderlijk vereenvoudigen.(zie A) 2° Alle noemers gelijk stellen aan hun kleinste gemeen veelvoud. 3° Tellers aanpassen. C) BREUKEN OPTELLEN EN AFTREKKEN 1° Alle breuken zover mogelijk afzonderlijk vereenvoudigen. (zie A) 2° Noemers gelijknamig maken.(zie B) 3° Tellers optellen / aftrekken . 4° Noemers behouden. 5° Resultaat zover mogelijk vereenvoudigen. a c ad + cb + = b d bd D) BREUKEN VERMENIGVULDIGEN 1° Alle breuken zover mogelijk afzonderlijk vereenvoudigen. (Zie A) 2° Breuken kruislings vereenvoudigen. 3° Tellers met elkaar vermenigvuldigen. 4° Noemers met elkaar vermenigvuldigen. a c ac ⋅ = b d bd E) BREUKEN DELEN DOOR ELKAAR Eerste breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede breuk. (Zie D) a c a d : = ⋅ b d b c

© G.Guetens

3

Getallenleer in een notendop

Fiche 1b F) BREUKEN VERHEFFEN TOT EEN MACHT 1° Breuk zover mogelijk vereenvoudigen.(zie A) 2° Teller verheffen tot die macht. 3° Noemer verheffen tot die macht. n

an a   = n b b

Opmerkingen 1° ELK GEHEEL GETAL kan geschreven worden onder de vorm van EEN BREUK, met als NOEMER 1. a=

a 1

2° NOOIT WERKEN MET NEGATIEVE NOEMERS. NOEMERS STEEDS POSITIEF MAKEN. a −a = −b b 3° Om het TEGENGESTELDE van een BREUK te nemen, neem je het TEGENGESTELDE van de TELLER OF TEGENGESTELDE van de NOEMER a a −a −  = = −b b b 4° Om het OMGEKEERDE van een BREUK te nemen, TELLER EN NOEMER VAN PLAATS VERWISSELLEN. −1

b a   = a b G) VOLGORDE VAN DE BEWERKINGEN BIJ DE BREUKEN 1° In een vorm zonder haakjes 1° De machtsverheffingen en worteltrekkingen zoals ze van links naar rechts voorkomen 2° De vermenigvuldigingen en de delingen zoals ze van links naar rechts voorkomen 3° De optellingen en de aftrekkingen zoals ze van links naar rechts voorkomen 2° In een vorm met haakjes. Eerst de bewerkingen binnen de haakjes in de

© G.Guetens

4

Getallenleer in een notendop

Fiche 2a

2a. TEKENREGELS (fiche 2a)

SOM

Bewerking

Absolute waarden

Teken

zelfde tekens

Optellen met elkaar.

Behouden

verschillende tekens

Aftrekken van elkaar.

Grootste absolute waarde

Vermenigvuldigen met elkaar.

Positief

PRODUCT zelfde tekens

verschillende tekens

Vermenigvuldigen met elkaar.

Negatief

QUOTIËNT zelfde tekens

Delen door elkaar.

verschillende tekens

Delen door elkaar.

© G.Guetens

Positief Negatief

5

(+) . (+) = + (-) . (-) = + (+) . (-) = (-) . (+) = -

(+) : (+) = + (-) : (-) = + (+) : (-) = (-) : (+) = -

Getallenleer in een notendop

Fiche 2b

2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b) Tegengestelde van

GETAL

tegengesteld TEKEN nemen

SOM

tegengestelde nemen van

- (a) = - a

ALLE TERMEN

Het tegengestelde van een som is gelijk aan de som van de tegengestelden.

-(a+b)=-a-b

PRODUCT

tegengestelde nemen van EEN FACTOR

. Het tegengestelde van een product is gelijk aan het product van het tegengestelde van één factor met de andere factoren.

- (ab) = - ab = a(- b)

© G.Guetens

6

Getallenleer in een notendop

Fiche 2c

2c. OMGEKEERDE GETAL - OMGEKEERDE PRODUCT (fiche 2c) Omgekeerde van

RATIONAAL GETAL

TELLER en NOEMER van PLAATS VERWISSELEN −1

b a   = a b

PRODUCT van de OMGEKEERDEN van ALLE FACTOREN

PRODUCT

(a .b ) −1 = a −1 . b −1

© G.Guetens

7

Getallenleer in een notendop

Fiche 2d

2d. DISTRIBUTIEVE EIGENSCHAP VAN DE VERMENIGVULDIGING t.o.v. DE OPTELLING IN G G (fiche 2d)

GETAL vermenigvuldigen met een SOM Som vermenigvuldigen met een GETAL

ELKE TERM SOM GETAL

vermenigvuldigen met dit

a . ( b + c ) = a.b + a.c ( b + c ) . a = a.b + a.c Som vermenigvuldigen met een SOM

ELKE TERM EERSTE SOM vermenigvuldigen met

ELKE TERM TWEEDE SOM ( a + b ) . ( c + d ) = a.c + a.d + b.c +b.d

© G.Guetens

8

Getallenleer in een notendop

Fiche 3

3.VERGELIJKINGEN VAN DE EERSTE GRAAD MET 1 ONBEKENDE (fiche 3)

A. Term van lid veranderen Tegengestelde van de term nemen. B. Factor van lid veranderen Omgekeerde van de factor nemen. C. Soorten vergelijkingen Vergelijking Echte vergelijking a∈G0, ∀ b,c∈G:ax+b = c

Aantal oplossingen één

Oplossingenverzameling

x=

c −b a

Valse vergelijking 0x = c c ≠ 0

geen

{ }= φ

Onbepaalde vergelijking 0x = 0

oneindig veel

G

D. Vergelijkingen oplossen Werkwijze 1°) Haakjes verdrijven (gebruik distributieve eigenschap van . t.o.v. +). 2°) Noemers verdrijven (Al de termen op gelijke noemers brengen - Al de tellers aanpassen). 3°) Al de termen die een onbekende bevatten in éénzelfde lid brengen. 4°) Al de termen die geen onbekende bevatten in het andere lid brengen. 5°) Beide leden zover mogelijk uitwerken. 6°) Factor bij de onbekende naar het andere lid brengen. 7°) Zover mogelijk uitwerken. 8°) Oplossingenverzameling bepalen. 9°) Soort vergelijking bepalen.

© G.Guetens

9

Getallenleer in een notendop

Fiche 4

4. VRAAGSTUKKEN MET één ONBEKENDE (fiche 4) Vraagstukken oplossen Werkwijze

1°) Keuze van de onbekende x is het gevraagde element. Een gevraagd element uit de opgave stel je voor door x. 2°) De vergelijking opstellen. De tekst van het vraagstuk zet je om in een vergelijking. 3°) De vergelijking oplossen. 4°) Antwoord. Geef het antwoord op de gestelde vraag. 5°) Proef. Toets de oplossing aan de werkelijkheid.

© G.Guetens

10

Getallenleer in een notendop

Fiche 5

5. GEHELE MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN (fiche 5) Definitie Macht Regels

a n = a.a.a. ... .a (n − factoren a )

∀a ∈ G , ∀n ∈ | N \ {0,1}

Product verheffen tot een macht

Eke factor verheffen tot die macht.

(a .b )x = a x . b x

Breuk verheffen tot een macht

Teller verheffen tot die macht. Noemer verheffen tot die macht.

Macht verheffen tot een macht

Grondtal

ax a =   bx b

Behouden.

Exponenten

x

(a ) = a x

y

x. y

Vermenigvuldigen.

Gelijksoortige machten: machten met zelfde grondtal Eigenschappen bij gelijksoortige machten

Bewerking Gelijksoortige machten vermenigvuldigen Gelijksoortige machten delen

Grondtal

Exponenten

Behouden

Optellen

a x . a y = a x+ y

Behouden

Aftrekken

a x : a y = a x− y

Gelijknamige machten: machten met zelfde exponent Eigenschappen bij gelijknamige machten

Bewerking Gelijknamige machten vermenigvuldigen Gelijknamige machten delen

Grondtallen

Exponent

Vermenigvuldigen Behouden

an ⋅ bn = ( a ⋅ b

Delen

a n : b n = ( a : b)

Behouden

)n n

Te onthouden

∀a ∈ G

a1 = a a =1

∀a ∈ G 0

1 a

∀a ∈ G 0

0

a −1 = a

© G.Guetens

−n

1 =  a

n

∀a ∈ G 0 , ∀n ∈ | N

11

Getallenleer in een notendop

Fiche 6a

6a. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET EENTERMEN (fiche 6) EENTERM: Product van getallen en letters. GELIJKSOORTIGE EENTERMEN: Eentermen met hetzelfde lettergedeelte.

BEWERKING

COËFFICIËNTEN

LETTERGEDEELTE

SOM(verschil)

OPTELLEN

BEHOUDEN

PRODUCT

VERMENIGVULDIGEN

BEHOUDEN

(getallengedeelte)

(alleen gelijksoortige eentermen)

(product van alle letterfactoren)

en de EXPONENTEN gelijksoortige machten

OPTELLEN

© G.Guetens

12

Getallenleer in een notendop

Fiche 6b

6b. BEWERKINGEN MET EENTERMEN

BEWERKING

COËFFICIËNTEN

LETTERGEDEELTE

MACHTSVERHEFFING

VERHEFFEN TOT DIE MACHT

BEHOUDEN

QUOTIËNT

(getallengedeelte)

DELEN DOOR ELKAAR

(product van alle letterfactoren)

en de

EXPONENTEN VERMENIGVULDIGEN MET DIE MACHT BEHOUDEN

en de EXPONENTEN gelijksoortige machten

AFTREKKEN

© G.Guetens

13

Getallenleer in een notendop

Fiche 7

7. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET VEELTERMEN (fiche 7) VEELTERM: Som van (ongelijksoortige) eentermen.

BEWERKING

WERKWIJZE Haakjes verdrijven

SOM

(verschil)

PRODUCT: EENTERM met VEELTERM (veelterm met eenterm)

PRODUCT:VEELTERM met VEELTERM

GELIJKSOORTIGE EENTERMEN HERLEIDEN (optellen). ELKE TERM VEELTERM VERMENIGVULDIGEN MET EENTERM (distributieve eigenschap . t.o.v. + toepassen). Gelijksoortige eentermen herleiden (optellen).

ELKE TERM EERSTE VEELTERM VERMENIGVULDIGEN MET ELKE TERM TWEEDE VEELTERM (distributieve eigenschap . t.o.v. + toepassen). Gelijksoortige eentermen herleiden (optellen).

QUOTIËNT:VEELTERM door EENTERM

© G.Guetens

ELKE TERM VEELTERM DELEN DOOR EENTERM.

14

Getallenleer in een notendop

Fiche 8

8. MERKWAARDIGE PRODUCTEN (fiche 8) TOEGEVOEGDE TWEETERMEN toegevoegde tweetermen zijn: twee tweetermen die slechts van elkaar verschillen in het teken van één term. PRODUCT TOEGEVOEGDE TWEETERMEN Het product van toegevoegde tweetermen is gelijk aan: kwadraat gelijke term min kwadraat van tegengestelde term.

( a + b ) . ( a - b ) = a² - b ² KWADRAAT VAN EEN TWEETERM Het kwadraat van een tweeterm is gelijk aan : een drieterm bestaande uit: het kwadraat van de eerste term het dubbelproduct van beide termen het kwadraat van de tweede term.

( a + b ) ² = a ² + 2ab + b²

© G.Guetens

15

Getallenleer in een notendop

Fiche 9

9. ONTBINDING IN FACTOREN (fiche 9) Ontbinden in factoren betekent een veelterm schrijven als een product. WERKWIJZE

1°) GEMEENSCHAPPELIJKE FACTOREN AFZONDEREN

Distributieve eigenschap toepassen. ( vóór de haakjes: de factoren die in elke term van de veelterm voorkomen d.w.z. de g.g.d. van de coëfficiënten alle gemeenschappelijke letters ,met hun kleinste exponent. tussen de haakjes: het quotiënt van de veelterm en de afgezonderde eenterm.)

a.b+a.c=a.(b+c) a . ( c + d) + b . ( c + d )= ( a + b ) . ( c + d ) 2°) TWEETERM: VERSCHIL VAN TWEE KWADRATEN Formule merkwaardig product toepassen. (Verschil van twee kwadraten is gelijk aan het product van toegevoegde tweetermen.)

a² - b ² = ( a + b ) . ( a - b ) 3°) DRIETERM: KWADRAAT VAN EEN TWEETERM Formule merkwaardig product toepassen.

a² + 2ab + b² = ( a + b ) ² 4°) VIERTERM

Samennemen van termen met gemeenschappelijke factoren.

a.c + a.d + b.c + b.d = a.( c + d ) + b.( c + d ) =(a+b).(c+d)

© G.Guetens

16

Getallenleer in een notendop

Fiche 10

10. VERHOUDINGEN en EVENREDIGHEDEN (fiche 10) 1°) VERHOUDING De verhouding van twee rationale getallen, waarbij het tweede getal veschillend is van nul, is het nauwkeurig quotiënt van deze getallen. ∀ a ∈G en ∀ b ∈G 0 is de verhouding van a tot b gelijk aan

a b

2°) EVENREDIGHEDEN Een evenredigheid is een gelijkheid van twee verhoudingen. ∀ a, c ∈G en ∀ b, d ∈G 0 is

a c = een evenredigheid b d

we lezen: a staat tot b zoals c staat tot d waarbij a en d de uitersten b en c de middelsten a en c de voorgaanden en b en d de volgenden zijn. Recht evenredige grootheden (R) Twee grootheden zijn recht evenredig als de verhouding van de waarden van de eerste grootheid gelijk is aan de verhouding van de waarden van de tweede grootheid. Omgekeerd evenredige grootheden (O.R.) Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig als de verhouding van de waarden van de eerste grootheid gelijk is aan het omgekeerde van de verhouding van de waarden van de tweede grootheid. HOOFDEIGENSCHAP In een evenredigheid is het product van de uitersten gelijk aan het product van de middelsten. ∀ a, c ∈Gen ∀ b, d ∈G 0 :

© G.Guetens

17

a c = ⇔ ad = bc b d

Getallenleer in een notendop

Symbolenlijst

11. SYMBOLENLIJST

Betekenis

Symbool B

Verzameling van al de natuurlijke getallen

B0

Verzameling van al de natuurlijke getallen uitgezonderd nul

P

Verzameling van al de gehele getallen

P0

Verzameling van al de gehele getallen uitgezonderd nul

P

Verzameling van al de positieve gehele getallen

P

Verzameling van al de negatieve gehele getallen 

P 0+

Verzameling van al de positieve gehele getallen uitgezonderd nul

P 0−

Verzameling van al de negatieve gehele getallen uitgezonderd nul

G

Verzameling van al de rationale getallen

G0

Verzameling van al de rationale getallen uitgezonderd nul

G

Verzameling van al de positieve rationale getallen 

G

© G.Guetens



Verzameling van al de negatieve rationale getallen

18

Getallenleer in een notendop

Symbolenlijst

G 0+

Verzameling van al de positieve rationale getallen uitgezonderd nul

G 0−

Verzameling van al de negatieve rationale getallen uitgezonderd nul

| :

waarvoor geldt

...∈...

… is element van …

...∉...

… is geen element van …

k.g.v.

kleinste gemeen veelvoud

g.g.d.

grootste gemene deler

- (a)

tegengestelde van a

a-b

a min b

-a

negatief toestandsteken

a-1

omgekeerde van a



voor alle

…=…

… is gelijk aan …

… ≠…

… is niet gelijk aan…

φ …\…

© G.Guetens

fie: de lege verzameling … min …

19

Getallenleer in een notendop