1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)............................... 3 2a. TEKENREGELS (fiche 2a) .................................................................................... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)................................................................. 6 2c. OMGEKEERDE GETAL - OMGEKEERDE PRODUCT (fiche 2c) .................... 7 2d. DISTRIBUTIEVE EIGENSCHAP VAN DE VERMENIGVULDIGING t.o.v. DE OPTELLING IN • (fiche 2d)................................................................................... 8 3. VERGELIJKINGEN VAN DE EERSTE GRAAD MET 1 ONBEKENDE (fiche 3) ....................................................................................................................................... 9 4. VRAAGSTUKKEN MET één ONBEKENDE (fiche 4)........................................ 10 5. GEHELE MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN (fiche 5) ...................... 11 6a. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET EENTERMEN (fiche 6) ........................................................................................ 12 6b. BEWERKINGEN MET EENTERMEN............................................................... 13 7. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET VEELTERMEN (fiche 7)....................................................................................... 14 8. MERKWAARDIGE PRODUCTEN (fiche 8)....................................................... 15 9. ONTBINDING IN FACTOREN (fiche 9)............................................................. 16 10. VERHOUDINGEN en EVENREDIGHEDEN (fiche 10) .................................... 17 11. SYMBOLENLIJST............................................................................................... 18
Fiche 1a
1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1) G= {
a a ∈ P en b ∈ P 0 ` b
A) BREUKEN VEREENVOUDIGEN Teller en noemer delen door hun grootste gemene deler. B) BREUKEN GELIJKNAMIG MAKEN 1° Breuken zover mogelijk afzonderlijk vereenvoudigen.(zie A) 2° Alle noemers gelijk stellen aan hun kleinste gemeen veelvoud. 3° Tellers aanpassen. C) BREUKEN OPTELLEN EN AFTREKKEN 1° Alle breuken zover mogelijk afzonderlijk vereenvoudigen. (zie A) 2° Noemers gelijknamig maken.(zie B) 3° Tellers optellen / aftrekken . 4° Noemers behouden. 5° Resultaat zover mogelijk vereenvoudigen. a c ad + cb + = b d bd D) BREUKEN VERMENIGVULDIGEN 1° Alle breuken zover mogelijk afzonderlijk vereenvoudigen. (Zie A) 2° Breuken kruislings vereenvoudigen. 3° Tellers met elkaar vermenigvuldigen. 4° Noemers met elkaar vermenigvuldigen. a c ac ⋅ = b d bd E) BREUKEN DELEN DOOR ELKAAR Eerste breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede breuk. (Zie D) a c a d : = ⋅ b d b c
Fiche 1b F) BREUKEN VERHEFFEN TOT EEN MACHT 1° Breuk zover mogelijk vereenvoudigen.(zie A) 2° Teller verheffen tot die macht. 3° Noemer verheffen tot die macht. n
an a = n b b
Opmerkingen 1° ELK GEHEEL GETAL kan geschreven worden onder de vorm van EEN BREUK, met als NOEMER 1. a=
a 1
2° NOOIT WERKEN MET NEGATIEVE NOEMERS. NOEMERS STEEDS POSITIEF MAKEN. a −a = −b b 3° Om het TEGENGESTELDE van een BREUK te nemen, neem je het TEGENGESTELDE van de TELLER OF TEGENGESTELDE van de NOEMER a a −a − = = −b b b 4° Om het OMGEKEERDE van een BREUK te nemen, TELLER EN NOEMER VAN PLAATS VERWISSELLEN. −1
b a = a b G) VOLGORDE VAN DE BEWERKINGEN BIJ DE BREUKEN 1° In een vorm zonder haakjes 1° De machtsverheffingen en worteltrekkingen zoals ze van links naar rechts voorkomen 2° De vermenigvuldigingen en de delingen zoals ze van links naar rechts voorkomen 3° De optellingen en de aftrekkingen zoals ze van links naar rechts voorkomen 2° In een vorm met haakjes. Eerst de bewerkingen binnen de haakjes in de
3.VERGELIJKINGEN VAN DE EERSTE GRAAD MET 1 ONBEKENDE (fiche 3)
A. Term van lid veranderen Tegengestelde van de term nemen. B. Factor van lid veranderen Omgekeerde van de factor nemen. C. Soorten vergelijkingen Vergelijking Echte vergelijking a∈G0, ∀ b,c∈G:ax+b = c
Aantal oplossingen één
Oplossingenverzameling
x=
c −b a
Valse vergelijking 0x = c c ≠ 0
geen
{ }= φ
Onbepaalde vergelijking 0x = 0
oneindig veel
G
D. Vergelijkingen oplossen Werkwijze 1°) Haakjes verdrijven (gebruik distributieve eigenschap van . t.o.v. +). 2°) Noemers verdrijven (Al de termen op gelijke noemers brengen - Al de tellers aanpassen). 3°) Al de termen die een onbekende bevatten in éénzelfde lid brengen. 4°) Al de termen die geen onbekende bevatten in het andere lid brengen. 5°) Beide leden zover mogelijk uitwerken. 6°) Factor bij de onbekende naar het andere lid brengen. 7°) Zover mogelijk uitwerken. 8°) Oplossingenverzameling bepalen. 9°) Soort vergelijking bepalen.
4. VRAAGSTUKKEN MET één ONBEKENDE (fiche 4) Vraagstukken oplossen Werkwijze
1°) Keuze van de onbekende x is het gevraagde element. Een gevraagd element uit de opgave stel je voor door x. 2°) De vergelijking opstellen. De tekst van het vraagstuk zet je om in een vergelijking. 3°) De vergelijking oplossen. 4°) Antwoord. Geef het antwoord op de gestelde vraag. 5°) Proef. Toets de oplossing aan de werkelijkheid.
6a. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET EENTERMEN (fiche 6) EENTERM: Product van getallen en letters. GELIJKSOORTIGE EENTERMEN: Eentermen met hetzelfde lettergedeelte.
7. BEWERKINGEN MET ALGEBRAÏSCHE VORMEN - BEWERKINGEN MET VEELTERMEN (fiche 7) VEELTERM: Som van (ongelijksoortige) eentermen.
BEWERKING
WERKWIJZE Haakjes verdrijven
SOM
(verschil)
PRODUCT: EENTERM met VEELTERM (veelterm met eenterm)
PRODUCT:VEELTERM met VEELTERM
GELIJKSOORTIGE EENTERMEN HERLEIDEN (optellen). ELKE TERM VEELTERM VERMENIGVULDIGEN MET EENTERM (distributieve eigenschap . t.o.v. + toepassen). Gelijksoortige eentermen herleiden (optellen).
ELKE TERM EERSTE VEELTERM VERMENIGVULDIGEN MET ELKE TERM TWEEDE VEELTERM (distributieve eigenschap . t.o.v. + toepassen). Gelijksoortige eentermen herleiden (optellen).
8. MERKWAARDIGE PRODUCTEN (fiche 8) TOEGEVOEGDE TWEETERMEN toegevoegde tweetermen zijn: twee tweetermen die slechts van elkaar verschillen in het teken van één term. PRODUCT TOEGEVOEGDE TWEETERMEN Het product van toegevoegde tweetermen is gelijk aan: kwadraat gelijke term min kwadraat van tegengestelde term.
( a + b ) . ( a - b ) = a² - b ² KWADRAAT VAN EEN TWEETERM Het kwadraat van een tweeterm is gelijk aan : een drieterm bestaande uit: het kwadraat van de eerste term het dubbelproduct van beide termen het kwadraat van de tweede term.
9. ONTBINDING IN FACTOREN (fiche 9) Ontbinden in factoren betekent een veelterm schrijven als een product. WERKWIJZE
1°) GEMEENSCHAPPELIJKE FACTOREN AFZONDEREN
Distributieve eigenschap toepassen. ( vóór de haakjes: de factoren die in elke term van de veelterm voorkomen d.w.z. de g.g.d. van de coëfficiënten alle gemeenschappelijke letters ,met hun kleinste exponent. tussen de haakjes: het quotiënt van de veelterm en de afgezonderde eenterm.)
a.b+a.c=a.(b+c) a . ( c + d) + b . ( c + d )= ( a + b ) . ( c + d ) 2°) TWEETERM: VERSCHIL VAN TWEE KWADRATEN Formule merkwaardig product toepassen. (Verschil van twee kwadraten is gelijk aan het product van toegevoegde tweetermen.)
a² - b ² = ( a + b ) . ( a - b ) 3°) DRIETERM: KWADRAAT VAN EEN TWEETERM Formule merkwaardig product toepassen.
a² + 2ab + b² = ( a + b ) ² 4°) VIERTERM
Samennemen van termen met gemeenschappelijke factoren.
a.c + a.d + b.c + b.d = a.( c + d ) + b.( c + d ) =(a+b).(c+d)
10. VERHOUDINGEN en EVENREDIGHEDEN (fiche 10) 1°) VERHOUDING De verhouding van twee rationale getallen, waarbij het tweede getal veschillend is van nul, is het nauwkeurig quotiënt van deze getallen. ∀ a ∈G en ∀ b ∈G 0 is de verhouding van a tot b gelijk aan
a b
2°) EVENREDIGHEDEN Een evenredigheid is een gelijkheid van twee verhoudingen. ∀ a, c ∈G en ∀ b, d ∈G 0 is
a c = een evenredigheid b d
we lezen: a staat tot b zoals c staat tot d waarbij a en d de uitersten b en c de middelsten a en c de voorgaanden en b en d de volgenden zijn. Recht evenredige grootheden (R) Twee grootheden zijn recht evenredig als de verhouding van de waarden van de eerste grootheid gelijk is aan de verhouding van de waarden van de tweede grootheid. Omgekeerd evenredige grootheden (O.R.) Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig als de verhouding van de waarden van de eerste grootheid gelijk is aan het omgekeerde van de verhouding van de waarden van de tweede grootheid. HOOFDEIGENSCHAP In een evenredigheid is het product van de uitersten gelijk aan het product van de middelsten. ∀ a, c ∈Gen ∀ b, d ∈G 0 :
