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state: 3S signal is ~ 10 counts. – Aim: EsZmate upper limit on signals (and raZos) for peripheral bin. 1/31/12. Manuel Calderón de la Barca Sánchez. 2. Ra o.

Mo#va#on   •  We  want  to  es#mate  the  yield  of  ϒ  states.  

–  Cross  sec#ons,  Ra#os  ϒ(3S)/ϒ(1S),  ϒ(2S+3S)/ϒ(1S),  etc.  

•  ϒ(3S)  signal  is  small!  

–   ϒ(1S)  cross  sec#on  BRxdσ/dy  ~  680  pb  at  √s=1.8  TeV   –  Ra#os  (BR  x  σ(nS))/(BR  x  σ(1S)):   Ra#o    

√s=38  GeV  

√s=1.8  TeV  

ϒ(2S)/ϒ(1S)    

0.28    

0.26  

ϒ(3S)/ϒ(1S)    

0.18  

0.14  

–  2011  CMS  DATA:ϒ(1S)  signal  in  peripheral  bins  ~  100  counts   –  Expect  excited  states  to  be  suppressed  more  than  ground   state:  3S  signal  is  ~  10  counts.   –  Aim:  Es#mate  upper  limit  on  signals  (and  ra#os)  for   peripheral  bin.   1/31/12  

Manuel  Calderón  de  la  Barca  Sánchez  

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Procedure   •  Create  a  toy  Monte  Carlo  with  Upsilon  signal  plus  background.   –  Model  Upsilon  1S  signal  with  Gaussian  

•  mean  mass  =  9.46  GeV/c2,  width  =  0.092  GeV/c2  

–  Model  Background  using  erf  x  exponen#al  

•  Calculate  upper  limit  bin-­‐by-­‐bin  

–  Use  Bayesian  confidence  interval  

•  Guillermo  is  studying  CLs.  Expect  that  both  approaches  will  give  similar   results.  

•  Check  behavior:  

–  Does  upper  limit  increase  in  1S  signal  region?   –  Does  it  handle  properly  cases  when  background  “fluctuated   down”  (less  background  than  expected)?   –  Do  “1-­‐sigma”  intervals  roughly  correspond  to  sta#s#cal  error  bars  on   background  in  signal-­‐free  region?   –  Do  90%  and  95%  intervals  give  progressively  larger  upper  limits?  

1/31/12  

Manuel  Calderón  de  la  Barca  Sánchez  

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ϒ  mass  distribu#on  in  peripheral  bin   •  From  Guillermo’s   analysis:   –  Peripheral  bin:     •  60-­‐100%  centrality.  

–  Sta#s#cs:  ~654  counts.   –  erf  parameters:   •  erf  mean:  8.32  GeV/c2   •  erf  width:  1.14  GeV/c2  

–  Bin  width:  0.07  GeV/c2   –  Range:  7  –  14  GeV/c2   –  Counts  in  highest  bin  ~  60   1/31/12  

Manuel  Calderón  de  la  Barca  Sánchez  

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Signal  and  Background  Func#ons  

•  Signal:  Gaussian   •  Background:  erf  x  exponen#al   1/31/12  

Manuel  Calderón  de  la  Barca  Sánchez  

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Signal  and  Background  Histograms  

•  Signal:  Throw  ~190  counts  randomly  taken  from  signal  Gaussian   •  Background:Throw  ~570  counts  randomly  taken  from  “erf  x  exp”   1/31/12  

Manuel  Calderón  de  la  Barca  Sánchez  

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Toy  MC  signal+background  

•  Obtain  histogram  of  signal  +  background   •  Roughly  matches  Guillermo’s  peripheral  bin  stats.   1/31/12  

Manuel  Calderón  de  la  Barca  Sánchez  

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Calcula#on  of  Upper-­‐Limit   •  Two  approaches:  “Frequen#st”  vs.  “Bayesian”   –  PDG  J.  Phys.  G.  37  (2010)  075021,  Ch.  33  

•  Bayesian  intervals  for  Poisson  variables.  

–  Coun#ng  experiment.   –  Observe  n  total  counts  in  a  given  bin.   –  Expect  a  total  of  b  counts  due  to  known  background   sources  (e.g.  combinatorics).   –  Likelihood  that  we  observe  n  total  counts  is  Poisson   distributed:   •  Upper  limit  sup  at  confidence  level  1-­‐α  is  obtained  by:   n



–  Equa#on  for  α:    

–  Numerical  solu#on.  

α =e

( sup + b)

m

−sup m=0

n

∑b m=0

( s + b) L(n | s) =

1− α =

m!

n!

∫ ∫

sup

−∞ ∞ −∞

n

e

−( s+b )

L(n | s)π (s)ds L(n | s)π (s)ds

m

m!

–  Note:  the  “prior”,  π(s),  in  this  approach  simply  restricts  s   to  posi#ve  values,  and  is  regarded  as  providing  an   interval  whose  frequen#st  proper#es  can  be  studied.   # 0 π (s) = $ % 1 1/31/12  

Manuel  Calderón  de  la  Barca  Sánchez  

s10  or  so.  

•  Difference  at  n=20  is  0.4%  

•  But  also  runs  into  machine  precision  (nn)...   –  Can’t  do  143!,  this  number  is  >  10245   2/1/12  

Manuel  Calderón  de  la  Barca  Sánchez  

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α(s;  n,  b)   •  Probability:     –  for  a  given  n,  b,  alpha   should  decrease   monotonically  with   increasing  s.   –  for  a  given  n,  s,  alpha   should  decrease   monotonically  with   increasing  b.  

•  1-­‐σ  :  α  =  0.3173   •  90%  CL:  α  =  0.1   •  95%  CL:  α  =  0.05   2/1/12  

Manuel  Calderón  de  la  Barca  Sánchez  

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Comparison,  n=5  vs  n=10  

•  For  n=b  (i.e.  observe  exactly  the  expected   background),  at  a  given  α,  sup  is  higher  for  higher  n.   –  Larger  fluctua#ons  allow  for  a  larger  signal  to  be  buried  in   them.   2/1/12  

Manuel  Calderón  de  la  Barca  Sánchez  

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Upper  limits  

•  Le{:  Invariant  mass  distrub#on   •  Right:  Upper  limit  on  a  possible  signal  above  background   expecta#on.   2/1/12  

Manuel  Calderón  de  la  Barca  Sánchez  

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Upper  limits:  α=0.3713,  0.1,  0.05  

•  Upper  limits  should  get  larger  with  decreasing  α.   2/1/12  

Manuel  Calderón  de  la  Barca  Sánchez  

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Upper  limits:  α=0.3713,  0.1,  0.05  

•  •  •  • 

Adding  upper  limit  on  top  of  background  expecta#on  (red  line)   Upper  limit  for  α=0.3173  should  be  similar  to  1-­‐σ  error  bars  in  region  where  there  is  no   signal.   Upper  limits  should  get  larger  with  decreasing  α.   Does  not  give  bad  results  when  observe  less  counts  than  expected.   –  Upper  limit  decreases,  but  is  always  posi#ve.  

2/1/12  

Manuel  Calderón  de  la  Barca  Sánchez  

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Conclusions   •  Simple  approach  to  upper  limits   –  Based  on  Poisson  sta#s#cs.  

•  Compare  to  approach  following  Frequen#st  CLs.   –  Pursued  by  Guillermo.   –  Includes  way  to  treat  fluctua#ng  background.  

•  Can  give  a  cross  check  between  methods.   •  Note:     –  D0  CL  writeup:  Expect  both  methods  to  give  very   similar  results.   2/1/12  

Manuel  Calderón  de  la  Barca  Sánchez  

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