Základy automatizace - New Page 1

Univerzita Jana Evangelisty Purkyně

Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Osnova přednášky 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) Stabilita regulačního obvodu 8) Kvalita regulačního pochodu 9) Robotika


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Osnova přednášky ● ● ● ● ●

Kritéria stability Nyquistovo kritérium Hurwitzovo kritérium Routh – Schurovo kritérium Metody ke zvýšení stability systému


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Kritéria stability

Na systém působí: ●

Požadavky operátora

●

Poruchové vlivy

●

Rychlost změn Požadujeme:

●

Stabilitu systému


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Kritéria stability

G(S) – regulovaný (řízený systém) R(S) – regulátor (řídící systém) w – žádaná (řídící) veličina e – regulační odchylka

u – akční veličina v – porucha akční veličiny ε – porucha regulované veličiny y – regulovaná(řízená) veličina


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Kritéria stability Obecný přenos systému: m

G p=

bm p bm−1 p

m−1

b1 pb0

an p na n−1 pn−1a1 pa 0



G p=

bm p bm−1 p

m−1

b1 pb0

an p na n−1 pn−1a1 pa 0

Výstupní veličina: Y p=G p W p



G p=

bm p bm−1 p

m−1

b1 pb0

an p na n−1 pn−1a1 pa 0


Vstupní veličina = Dirackův impulz: W p=1



G p=

bm p bm−1 p

m−1

b1 pb0

an p na n−1 pn−1a1 pa 0


Vstupní veličina = Dirackův impulz: W p=1

Výstupní veličina: Y p=G p


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Kritéria stability Výstupní veličina systému: m

Y p=G p=

bm p bm−1 p

m−1

b1 pb0

an pn a n−1 pn−1 a 1 pa0


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Kritéria stability Výstupní veličina systému: m

Y p=G p=

bm p bm−1 p

m−1

b1 pb0

an pn a n−1 pn−1 a 1 pa0

Úprava lomené funkce: K1 K2 Kn Y p=   p−p1 p−p2 p−pn

p1; p2; p3;....pn – kořeny jmenovatele přenosu ≡ póly přenosu; reálné i komplexní


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Kritéria stability Úprava lomené funkce: K1 K2 Kn Y p=   p−p1 p−p2 p−pn

Zpětná Laplaceova transormace: p1 t

p2 t

pnt

y t=K 1 e K 2 e K n e

Jestliže y(t=0) = 0, pak pro stabilní systém y(t→∞) = 0 ● p ; p ; p ;....p musí ležet v záporné polorovině komplexní roviny 1 2 3 n ● Jsou li póly přenosu reálné musí být záporné ● Jsou -li póly přenosu komplexní, reálné části musí být záporné ●


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Změření frekvenční charakteristiky v komplexní rovině

●

Rozpojení zpětné vazby


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Změření frekvenční charakteristiky v komplexní rovině U2 ∣G 0  j ∣= U1

U1=∣U 1∣sin t −1  U 2=∣U 2∣sin  t− 2 

0 =1 −2





Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Nyquistovo kritérium ●

●

Zjištění průběhu frekvenční charakteristiky otevřené smyčky Poloha charakteristiky ku kritickému bodu [-1;0]

Uzavřený regulační obvod je stabilní, probíhá-li frekvenční charakteristika jeho otevřené smyčky vpravo od bodu [-1;0] v komplexní rovině.


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Nyquistovo kritérium

Uzavřený regulační obvod je stabilní, leží-li v komplexní rovině bod [-1;0] vlevo od frekvenční charakteristiky otevřené smyčky, postupujeme-li od nízkých frekvencí směrem k vysokým.


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Nyquistovo kritérium G 0 dB=20 log∣G 0  j ∣ G 0 dB =20 log 1=0dB ● ● ●

Kritický bod [-1;0j] Amplituda = 1 Fáze = 180°

Uzavřený regulační obvod je stabilní, jestliže absolutní hodnota fáze │φ0│přenosu otevřené smyčky je při úhlové frekvenci, kdy amplitudová charakteristika otevřené smyčky protíná úroveň 0 dB, menší než 180°.





Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Hurwitzovo kritérium stability Algebraické kritérium diferenciální rovnice n – tého řádu:  n

an

d x2 dt

n

a n−1

d

 n−1 

x2

d t n−1

d x2 a1 a 0=x1 dt


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Hurwitzovo kritérium stability Algebraické kritérium diferenciální rovnice n – tého řádu:  n

an

d x2 dt

n

a n−1

d

 n−1 

x2

d t n−1

d x2 a1 a 0=x1 dt

Charakteristický polynom:  n

A p=an p a n−1 p

n−1

a1 pa 0

Hurwitzův determinant D matice n x n


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Hurwitzovo kritérium stability Hurwitzův determinant D matice n x n

∣

an−1 a n− 3 a n a n− 2 0 a n−1  D= 0 an 0 0 . . 0 0

a n−5  a n−4  a n−3  a n−2  a n−1  . 0

∣

a n−7  . . . a n−6  . . . a n−5  . . . a n−4  . . . a n−3  . . . . . . . 0 0 a2  a 0


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Hurwitzovo kritérium stability ●

Systém je stabilní jsou-li koeficienty charakteristické rovnice ai > 0 pokud je n ≤ 2

 2

a 2 p a 1 pa 0=0

a 20

a1 0

a 00


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Hurwitzovo kritérium stability Systém je stabilní jsou-li koeficienty charakteristické rovnice ai > 0 pokud je n ≤ 2 ● Systém je stabilní jsou-li subdeterminanty příslušející prvkům hlavní diagonály vždy kladné ●



D10 D20 D30 D40

∣

an−1 a n− 3 a n a n− 2 0 a n−1  D= 0 an 0 0 . . 0 0

a n−5  a n−4  a n−3  a n−2  a n−1  . 0

∣

a n−7  . . . a n−6  . . . a n−5  . . . a n−4  . . . a n−3  . . . . . . . 0 0 a2  a 0


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Hurwitzovo kritérium stability Systém je stabilní jsou-li koeficienty charakteristické rovnice ai > 0 pokud je n ≤ 2 ● Systém je stabilní jsou-li subdeterminanty příslušející prvkům hlavní diagonály vždy kladné ● Systém je nestabilní chybí-li některý koeficient charakteristické rovnice ai nebo jestliže se střídají znaménka koeficientů ●


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Hurwitzovo kritérium stability Systém je stabilní jsou-li koeficienty charakteristické rovnice ai > 0 pokud je n ≤ 2 ● Systém je stabilní jsou-li subdeterminanty příslušející prvkům hlavní diagonály vždy kladné ● Systém je nestabilní chybí-li některý koeficient charakteristické rovnice ai nebo jestliže se střídají znaménka koeficientů ● Jinak podle univerzální věty: ●

Systém je stabilní, jsou-li všechny vyznačené subdeterminanty až do řádu „n-1“ nenulové a jejich hodnoty mají stejná znaménka



D1≠0 D2≠0 D3≠0 D4≠0

∣

an−1 a n− 3 a n a n− 2 0 a n−1  D= 0 an 0 0 . . 0 0

a n−5  a n−4  a n−3  a n−2  a n−1  . 0

∣

a n−7  . . . a n−6  . . . a n−5  . . . a n−4  . . . a n−3  . . . . . . . 0 0 a2  a 0





Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Routh - Schurovo kritérium stability ● ●

Algebraické kritérium – test aperiodicity Postupné snižování řádu charakteristické rovnice až na 2. stupeň to znamená 3 koeficienty Jsou-li všechny koeficienty kladné – systém je stabilní Jsou-li koeficienety kladné nebo nulové – systém je na mezi stability Jsou-li koeficienty opačných znamének - systém je nestabilní Jsou-li všchny koeficienty záporné – systém je stabilní (vynásobíme „-1“ a jsou kladné)


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Routh - Schurovo kritérium stability Příklad:

A p=a6 p a5 p a 4 p a 3 p a 2 p a1 pa0

an = an−1

p6 8 p55 p 424 p 36,5 p2 12p1

6

5

4

3

2




an = an−1

p6 8 p55 p 424 p 36,5 p2 12p1

a6 1  1= = a5 8

6

5

4

a 6 a5 1 8

3

a4 5

a3 24

2

a 2 a1 6,5 12

a0 1

−1cdot a 5 −1 0

−1cdot a 3 −1cdot a 1 . −3 . −1,5 . 8 2 24 5 12

. 1




an = an−1

p6 8 p55 p 424 p 36,5 p2 12p1

a6 1  1= = a5 8 a5 8  2= = a4 2

6

5

4

a 6 a5 1 8

3

a4 5

a3 24

2

a 2 a1 6,5 12

a0 1

−1cdot a 5

−1cdot a 3 −1cdot a 1 −1 . −3 . −1,5 . . 0 8 2 24 5 12 1 − 2⋅a4 − 2⋅a2 − 2⋅a0 −8 0

. −20 2 4

. −4 . 5 8 1


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Routh - Schurovo kritérium stability 6

5

4

3

2

p 8 p 5 p 24 p 6,5 p 12p1 a 6 a5 a4 a3 a2 a1 a 0 0 0 2 4 5 8 1 a4 2 1  3= = = − 3⋅a3 − 3⋅a1 a3 4 2 0 0 −2 . −4 . . 0 0 0 4 1 8 1

Příklad:


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Routh - Schurovo kritérium stability 6

5

4

3

2

p 8 p 5 p 24 p 6,5 p 12p1 a 6 a5 a4 a3 a2 a1 a 0 0 0 2 4 5 8 1 a4 2 1  3= = = − 3⋅a3 − 3⋅a1 a3 4 2 0 0 −2 . −4 . . 0 0 0 4 1 8 1 a3 4 −4⋅a 2 − 4⋅a 0 4= = =4 a2 1 0 0 0 −4 1 8 1 0 0 0 0 1 4 1

Příklad:

Systém je stabilní





Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Metody dosažení stability První metoda ●

Zmenšit zesílení regulátoru

●

Zmenšení přesnosti regulace


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Metody dosažení stability Druhá metoda ●

●

●

Potlačení vyšších frekvencí pomocí korekčního členu (o20 dB/dek) Zúžení přenášeného pásma Zhoršení dynamických vlastností regulátoru; snižuje se rychlost regulace


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Metody dosažení stability Třetí metoda ●

Úprava fáze pomocí korekčního členu tak, že amplitudová charakteristika otevřené smyčky protíná úroveň 0 dB s nejmenším sklonem

●

Nejnáročnější metoda

●

Regulátor nejlepší kvality


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Metody dosažení stability Kombinovaná metoda ●

●

●

●

●

Zapojení jednotlivých členů (např. PID) Pásmo I. - zmenšení zesílení regulátoru Pásmo II. - potlačení zisku na vyšších frekvencích Pásmo III. - vyrovnává se fáze přenosu otevřené smyčky reg. Obvodu Čerchovaně amplitudová char. korekčnního členu


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Amplitudová a fázová bezpečnost Fázová bezpečnost – γ (30°až 40°) Amplitudová bezpečnost – převrácená hodnota amplitudy (180°)


Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Opakovací otázky 1. Popište chování stabilního a nestabilního systému. 2. Které členy regulačního obvodu ovlivňují stabilitu. 3. Popište vyšetřování a měření regulačního obvodu. 4. Jaká znáte kritéria stability. 5. Vysvětlete Nyquistovo kritérium v komplexní rovině. 6. Vysvětlete Nyquistovo kritérium v logaritmických souřadnicích. 7. Popište Hurwitzovo kritérium stability. 8. Popište Rout - Schurovo kritérium stability. 9. Popište amplitudovou a fázovou bezpečnost 10. Jaké znáte metody ke zvýšení stability systému.